微分方程牛顿公式

如果你看过一些优秀的微积分科普视频，大概率会觉得自己学懂了积分。毕竟我们看过太多次那样的演示，一条曲线之下，被小心翼翼的切分成无数个细长的矩形， 他们不断变薄，无限逼近，最终求和。大多数人都告诉你，这就是积分的本质，一种用无穷分割来求面积的精妙技巧。然而，作为牛顿的忠实粉丝，我每次看到这里都难免感到遗憾，因为这只是莱布尼茨建立微积分的思路。 虽然历史上牛顿和莱布尼茨关于微积分的发明权存在争议，但却鲜有人知他们是已截然不同， 甚至可以说是互补的思路，各自构建出微积分的体系。莱布尼茨从静态的几何问题出发，他研究曲线下的面积，通过分割与求和，逐步摸索出导数的概念。 而牛顿则从动态的物理视角切入，他在计算运动物体的瞬时变化率时，先定义了流数，再从变化率的逆过程得出积分。这其实非常有意思，因为两位大师的研究手法真的能鲜活的反映出思维的风格。莱布尼茨的入局是比较自然的， 通过技巧去慢慢解剖，逐步建立起重要的数学概念，这个流程精巧的像在做外科手术。而牛顿的方法则非常霸道，直接从运动的本质入手，构建整个体系，那种颠覆性和力量感堪称是一粒顶十惠的暴力美学。 历史上，牛顿确实更早创立了微积分，但由于莱布尼茨的符号系统实在太简洁太好用，随着微积分日渐数学化、工具化，牛顿那套充满智慧与物理直观的原始思想反而逐渐被掩盖，这无疑是可惜的。 所以，牛顿为什么是神？在谈论这个问题前，我想先说说其他数学家，相较于牛顿，究竟差在哪里。莱布尼茨的面前摆着一个三角形，长和宽都知道如何去计算面积，小学生都知道是长乘宽除以二。然而，莱布尼茨当时恰好在潜心研究数列的问题。 有句话说的好，一个手上拿锤子的人，看什么都像钉子。莱布尼茨非要用竖列来捣鼓。他是这么做的，把这个三角形一层一层撕开，面积就被分割为 n 块，其中每一段的宽就是 n 分 之一。计算其中的一个个长方形，面积 加起来就是一串竖列。这个竖列的最后结果和嗯，这个变量有关。莱布尼茨意识到，如果分割的足够多，嗯，足够大，这个式子的最后比值将会逼近三角形的真实面积，也就是两分之一。 这个方法看起来绕，却有一个好处，他能推广到一般函数。于是莱布尼茨继续思考，原来求曲线下的面积可以先找竖列的求和公式，然后令间隔系数趋于零就行了。 那在已知通向公式的情况下，怎么得到求和公式呢？他们的关系式就是这样，这就是最关键的转折点。怎么理解这个式子，其实就是牛顿与莱布尼茨的区别所在。莱布尼茨思索片刻后，豁然开朗， 为什么要让通向公式求和，必须要把它表示成两者之差？因为这样一相加，就刚好能产生列项相消的效果，使得中间的求和全部抵消，结果就只需要一前一后两项来表示， 所以面对一个一般的函数，我们用同样的方法来探讨如何计算其面积。首先先将面积分成很多块，然后求和。根据前面说的，为了计算出这个求和，需要把其中每一项单独拆分为作差的形式， 因为这样在求和的时候才能像多米诺骨牌一样把中间项全部互相抵消。那么最关键的任务就是找到能表示成这种形式的函数。 从图像上看，上面这段微小的面积就会对应着下面这个函数在这个区间内的出没差值，也就是这一小段。如果把德塔挨克死除过去呢？左边就是函数值， 而右边是一个需要被定义的重要数学概念。我们先看看它的几何意义是什么？ 它代表这个函数值的增量比上自变量的增量，也就是这条连线的斜率。当增量非常短， 出没位置非常接近的时候，这条线段也就成了在对应位置点处的切线。莱布尼茨意识到这是个重大的发现，为了方便表达，他在变量前面加一个字母 d， 代表着取这个变量的极短增量，也就是微分， 所以切线的斜率就被表示成了 d y 比上帝艾克斯，这被称为导数。好，我们重新梳理一下来，布尼茨发现了什么？ 他发现要求一段曲线下的面积，首先要将这段区域无限分割，然后将中间每一段微小的面积求和。 同样的，他用这个符号来代替这个求和方式，也就是积分。根据前面说的，要算出这个积分，需要去找一个能使得中间列项相消的函数，使得刚好中间全部抵消，只剩下了末端减出端。 这个函数被称为圆函数。那么具体形式是什么呢？刚才讨论出来了，他在一点处切线的斜率就是 f 函数的值，而这就是著名的牛顿莱布尼茨定律。举个例子，比如这个函数，我要计算从零到一的面积，该怎么去运用这个定律呢？ 他告诉我们需要找到一个函数的导数，是他注意到这个函数在求极限变化率后，恰好就是艾克斯的平方，所以他也就是我们要找的原函数。那么我们只需要把出末位置带入这个原函数，然后做差，就得到了答案。所以牛顿莱布尼兹公式很简单， 简单的就像是一句废话，无非就是在说最终的积累量等于中间所有积累之合。但他解释的规则非常深刻，因为一切事物的发展都有两个要素，就是端点与过程。而原出形式的牛顿莱布尼茨公式告诉我们， 一维坐标轴上内部的形式累积和临维端点处的值存在着密切联系，内部的信息会反映于边界处，这是未来物理学的场论和现代数学中流行理论的基础思想。 一流的数学家就像魔术师总能跟变戏法一样，把重要的数学概念引出来。但切换到牛顿的视角，你会发现，天才看见的是常人看不见的东西。回忆一下，我们前面是怎么得到面积的，是靠不断累积， 这非常符合直觉，因为我们的目标就是求面积，貌似需要靠不断的努力求和来得到它。但牛顿不那么认为，他认为没有预先存在的面积快。面积是一个正在被创造出来的东西，函数值以及函数下包围着的面积都是随着自变量的变化而在运动。 换句话说，面积是生长出来的，它的形式也是天然存在的，我们用累积求和得到它只是一种片面的理解。 于是牛顿直接把面积作为函数假设出来。从运动的角度说，面积不是由函数值积累得到的，而是和函数具有同等地位，都是关于位置的函数。那现在目标很明确了，如何在已知 f 函数的情况下求解面积函数的表达式呢？ 这启发我们需要去探求面积的生长过程。观察一条运动的垂直线段，从初端移动到末端，他像一把刷子一样扫过平面，是不是有感觉了？很明显，函数值越大，略过的面积越大，这意味着函数值其实就能反映这段面积的变化率。 这是不是莫名熟悉？前面我们说过，牛顿发明了流速法，用位移关于时间的极限变化率得到了瞬间速度，那么这里直接类比，立马可得。 s 的 流数就是 f， 而 s 也就被牛顿称为 f 的 逆流数。这反应在函数图像中就是 s 会在一段自变量区间内产生增量， 当这个区间取得非常小的时候，左右两端的函数值是近似不变的，这个增量和 f 就 显现出了关系， 面积的留数就是函数值。一句话，道尽微积分最核心的关系，整个过程没有做任何累积求和。所以并非牛顿不懂发明符号，而是他根本没有发明符号的机会，他凭借强大的物理直觉，一眼看穿了变化与积累之间本质的联系。 这种从运动与生长中洞察数学真理的方式充满原始的力量感，也让我们看到微积分不仅是计算工具，更是理解世界如何变化的语言。 但这里有一个小问题，细心的观众肯定也注意到了，这个方程中要想解除面积函数也并非意识，因为这个关系式只是面积函数的必要不充分条件，哪怕函数再加上任意一个常数，两者作差后，这个增量仍然不变。为什么会这样？ 因为我们的面积函数貌似从头到尾就没有规定过起点，只有选定起点后才能解除具体形式， 这个起点对应的就是物理学中的边界条件。另一方面，我们也可以这样想，我们在乎的其实本来就只是一段区间内，中间的面积。 起点是什么不重要，因为在给定前后端点做差后都抵消了这种积分，被称之为定积分。而没有确定边界条件时，得到的面积函数形式就被称为不定积分。 当我们回顾这段历史时，会发现莱布尼茨的工作像一位技艺高超的工匠，为我们打造了一套无与伦比的工具。 牛顿的工作则像一位洞悉宇宙奥秘的哲人，为我们揭释了变化如何创造积累的物理学原理。微积分基本定律的伟大之处正在与他完美融合了这两种视角。 他最直接的表述是，要计算一个连续变化过程的净积累。你不需要进行无穷次复杂的加法，只需找到描述该过程的原函数，并比较其起点与终点的状态。更深刻的说，一个区域内部的全部信息可以完全由其边界上的信息所 决定。这种内部蕴涵于边界的思想是近代物理学和现代数学的基石。所以，微积分远不止是关于切磋型或求谐律的计算学，它是一门关于变化与积累的通用语言。莱布尼茨给了我们语法和词汇，让这门语言得以书写和传播， 而牛顿则直指这门语言所要表达的终极真理着既然万物皆在流动，那么把握其流变之律，便知吸其整体之行。 下次当你使用微积分时，希望你能同时感受到莱布尼茨符号之下的精巧优雅与牛顿思想之中那股源于自然法则的磅礴力量。

在微积分学习中，某函数 f x 图像下， a 到 b 区间包含的面积就是定积分值，当前演示的就是微积分中的牛顿莱布尼茨公式推导过程和基本原理。

有前面的学习，我们发现，对一个简单的被击函数歪点 x 三方而言，如果我们用定义法去求他的定积分，就没有那么容易了。甚至对于某一个函数，比方说歪点 x 分之一，如果要去求这个函数，有一到二的时候， x 分之一的 最低分的值，如果用定义法去求的话，基本上求不出来。那么截止到目前为止，我们已经学习了微积分里面两个非常重要的概念， 呃，倒数和定积分，那么倒数和定积分之间存不存在某种联系？我们能不能够用这种联系来求某一个函数的定积分呢？今天我们就探讨一下这个问题。 来举一个例子，现在有一个云变速直线运动的物体，假如说时间和位移之间的关系，我记为是 y 等于 ft， 他所对的图像是大概是这样的一个图像啊，现在我们求一下这个函数 在时间段有 a 到 b 的时候位移的变化量，那么根据这个函数的概念，我们知道在十克 a 的时候，他所对应的位移是 f a， 在 b 时刻他所对的位移呢？我们带到函数表达室里面去，就可以算出来是 fb， 所以说由 a 到 b 这个时间段里面，这个 运动的物体，他位的变化量就 s 啊，就等于 fb 减去 f a， 这个我们作为一式。然后现在这是根据胃 移和时间间的关系求出来了在 ab 时间段内的位移变化量。那么我们根据 前面倒数的概念，又知道对这个函数 ft 进行求道，他所对应的导函数的函数值就等于该云变速直线运动的物体在 t 那一时刻的瞬时速度，也就是说 vt 等的是 fplt， 那么我们能不能够用 vt 来表示该云变速直线运动的物体 从 a 到 b 这个时间段里面的位移的变化量呢？我们研究一下这个问题，那么为了去解决这个问题，首先我把 ab 这个区间 平均分成 n 分，假如分点是 t 零 t 一一直到 t n 的情况下，那么可以这样去写啊，其实这个 a 他就小于啊， t 一就小于 t 二一直小于 t n， t n 其实就等于 b 了。第二个情况，其中第一小段就是由 a 到 t， 第二小段就是 t 一到 t 二，第三个区间就是 t 二到 t 三，那么第挨个就可以写成是 t i 减一到 ti， 以此类推。那么最后一个就是 tn 减一到 tn， 也就是 b， 我把这个 a 到 b 这个区间 平均分成了 n 分，我们知道由 a 到 b 这个区间的长度是 b 减 a， 数值上面大数减小数是距离吗？总长度是 b 减 a， 被平均分成了 n 分，那么所以说每一段的长度我记为得是 t 的情况下，这个得是 t 就等于 n 分之 b 减 a， 然后注意随着 n 的增加， a 到 b 这个区间段就被分的越来越细，当 n 的值非常非常大的时候，从 d i 减一到 t i 这个时间段，他的这个量变化量是很小的，那么在这个很小的时间段内，我们可以粗略的认为这个云变速直接运动的物体啊，他是在做匀速直接运动的，因为他速度的变化量很， 所以说我们就可以先去求出来，近似的求出来这个云变速直线运动的物体在 d i 段里面的位移的变化量的近视值， 然后把这个示意图给画一下，把 d i 段给画出来，稍微放大一下，这是 ti 线一这个地方呢，是 ti。 刚才讲 当 n 的值很大的时候，这一段的长度是很小的，而在这个很小的时间变化方以内的速度变化量就很小。我们姑且认为 自私的认为他是在做元素这些运动的，那么这是 ft 的图像，我们对这个函数求打，假如说这点 是屁点，以屁为切点的时候，他期限的斜率就等于在屁点处，对应的是时速度， 而这个顺时速度为 t i 减一又等于几呢？又等于元函数导函数在 t i 减一的时候，对应的函数值， 这个是可以算出来的。然后这一段总共的时间区间长度是都是他提啊，所以在这段里面他发生的这个位移 就可以算出来。我们记为 h i 的情况下，他等于几呢？他就等于 vt i 减一乘以等。 而注意， vt i 减一又等于几啊？又等于原来的函数的导函数就是 m p t i 减一， 导致他的 t 是这样一个指，当 n 区域无形拉的时候，这个 hi 是可以理解，就是祭祀等于这个 ti 减一，到 ti 这个时间段里面，他位移的变化量的实际值，当实际值是哪多少 啊？这个地方呢？是 fti 简易这个地方 ti 的时候，对呢，指的是 fti 他实际位的变化。要是这段我们就 s a 的情况下，然后我做个过屁点，做 x， 做平行线啊，这是切线，他的倾斜角呢，是这个角倾斜角的正七指呢，就是切线的 节律，也就是 fpl t i 减一，然后这段长度我们看一下是多少啊，这段其实就是什么呢？这是多少道题吗？ 马上我们讲述。这个是 x 啊，这个 x 比上得是 t， 其实就等于弹进他 c， 而这个弹进的 c 呢，就是倾斜角的正斜值， 倾斜的正切值呢，就等于切线的几率，在这里面就是 f p l t i 减一，那么所以说这个 x 啊，其实就等于倒数 t f p l t i 减一，也就是我刚才写的这个 h m， 当 n 的值变大的时候，这个区间程度变小，这个值 就是个 hi， 这个值是与这个 si 这个值是非常非常接近的。当 nt 无穷大的时候，我们就祭祀认为他们是相等，那么我们先可以求出来的是这个 位移他的变化量的近四指是多少呢？在这段里面是 hi 哈，如果我对这个 hi 进行求和，你看，哎，这是第 a 段，那么 h 一的时候就是第一段， hr 就第二段， h n 就是第 n 段了，我把这 n 段求和 c 个满 i 从一到 n 求和，这个值又等于几啊？就等于 c 更吗？ i 从一到 n， 呃，都是他 t f p t i 减一是这个值， 那么我们就求一下这个柿子它的极限值， n 趋向于无菌大的时候的极限值， 当 n 区域无穷大的时候的极限值，就等于了这个运动的物体有 a 到 b 这个时间段里面的位的变化量，也就是他呢。就 祭祀的本来是等于是 c， 哥们， i 从一到 nsi 的啊，这本来是祭祀的，我们取极限值，那就等于这个实际的值了，而这个极限值啊，雷美塔德尔塔，当 n 趋向于 是当 n 趋向于不是德尔塔，是德尔。当 n 趋向于无穷大的时候啊，这个极限值就是一个。呃 f p t i 减一，然后乘以德尔特的极限值，也就是雷美特， 当 n 趋向于无穷大的时候，这个 f p t i 减一，不就是 v t i 减一吗？都是 t。 而根据定积分的含义，我们知道这个东西这个表达是，其实就等于几，就等于函数 vt 在 a 到 b 这个区间里面的 a 几分，而这个 v t 刚才讲又可以写成是由 a 到 b， f 片 t 都是他 t 这样一个值， 那么所以说这个式子啊，这个式子就可以写成式，他又等于。刚才我们已经求出来了由 a 到 b 这个云变速之间运动的物体的位移啊，他等于几啊？他就等于 fb 减去 f a 了吗？ 从这个式子我们就可以看出来啊，这个一个函数，他在某个区间就是 ab 区间内的定积分的值，那等于什么呀？他等于他的圆函数就是你就看谁的倒函数等于 原函数字边曲 b 对应的函数值就是积分上限对应的函数值，减去积分下限对应的函数值。对于一个一般性的情况而言，就对于函数，对于函数我 id fx 而言 啊，我们要想去求这个函数有 a 到 b， 他的定积分值，我们只需要求出来 大 f x 他所对应的值由 b 到 a 对应的函数的差距就可以了。就是前提是 海顶的 fx 这个函数是连续可导的，那么我们先找到一个函数，其中这个函数满足什么条件啊？ fpx 等于 fx， 那相当于是 fx， 就是原来这个。呃，小 f fx 得到函数了 啊，大 f x 的导函数等于小 f x， 所以说小 f x 就是大 f x 得导函数，那么有 a 到 b， 小 f x d x 就等于 f c 小 f x 这个函数，他的原函数积分上限对应的函数值，减去积分下限所对应的函数值。 而为了方便我们习惯上面把这个式子又写成是大 f x 这个反式竖写竖杠，下面是积分下线，上面是积分上线 好，就等于这个值了。这就给我们提供了另外一种全新的求定积分的方法，就是如果我想去求某个函数的定积分，在 ab 区间内的定积分，我只需要求出来该函数 元函数积分上线对应的函数值，减去积分下线对应的函数值就可以了。而对于某个函数这个函数而言，他的圆函数怎么样去求啊？我们往往是要结合前面学过的呃导数的求法和对应的导数的四的运算啊，进行反向去求就可以了， 也就是我们所谓的反导的思想。反导的思想就是本来是求导呢，现在是我要去考虑哪一个函数的导函数等于他，那么现在我就可以回答刚开始提出这个问题了，就是我想求一下这个函数在一到二这个区间里面的定积分的值。 那我们首先就要去考虑一下哪个函数的导函数等于 x 分的一样，我们前面已经学过，就是捞眼 x， 所以说这个式子他就等于几呢？他就等于捞眼 x 这个卡人数啊。积分下线是一，积分上下面二呢对应的纸，我们分别把上线对应的纸带进去，那就捞引二，再减去下线对应的函数值，捞引一，捞引一是零啊，说这个结果直接等于捞引二就可以了。 再计算一个，比方说一开始说那个零到一 x 三方， dx 和他在一起啊，首先我们就考虑一下哪一个还是个倒，还是等于 x 三次方，那我们前面倒还是个公式 啊，可以很容易推倒出来，其实是四分之一，被埃克斯的四次方，他的岛还是在等于 x 三方吗？那么他积分下线是零，上线是一，我们分别把一带 圆盘里面去，他对应的函数只是四分之一，减去零的时候再带进去，结果是零，那么最终结果就是四分之一。由此啊，就用这种呃公 是刚才推手的这个结论来求出来了刚才这两个函数他的定积分的值。而刚才给大家说的这个公式就是我们所谓的微积分基本定理，也叫做牛顿来过一次公式，他可以很方便的去求某个函数的定积分的值 啊。这是当然这个应用也是有前提的，有的时候我们没有办法去反导反出来，那我们就结合定积分的几何意义去算就可以了啊。如果是可以反导，那么优先考虑用这个公式，可以使问题大大简化，你听懂了吗？

各位同学大家好，我是刚老师，咱们本节课来学习一下微积分基本定理，那么它又叫做牛顿来不宁次公式。 在咱们之前啊，已经学了导函数以及定积分的相关概念，我们发现有些函数的定积分用概念来求还是可以求的出来， 但是呢，部分函数啊，再用他的概念来求的话，是比较难求的，甚至呢，还有求不出来的情况。那么这个时候啊，我们就得考虑有没有更方便更快捷的方法来求一个函数的定积分呢？咱们今天所说这个内容啊，就是为了求一个函数的定积分的，所以啊，在这之前，我们务必要学习到 导函数的概念以及定积分的相关概念。那么有关导函数以及定积分的概念啊，在之前的视频里面已经有做过讲解，那么有不懂的同学可以翻看我之前做的视频。好，我们来看一下这个定理。 我们有个函数，大 fx 提完岛之后呢，变成了小 fx， 所以呢，小 fx 就是大 fx 的导函数，那么反过来呢，大 fx 是小 fx 的原函数， 并且呢，小 fx 一定要在 ab 这个圈上连续才可以。那么我们假定啊，我们知道小 fx， 但是呢，我们要求个东西，要求大 fb 减去个大 f a， 这个时候应该怎么求呢？好，我们先来画个图。好，我们结合图像来看一下大 f 和秀 f 之间的一些联系。我们假定 fx 图像如图，那么求的东西， f b 减肥不就是 b 点处的纵坐标，减去个 a 点处的纵坐标，那也就是说这个长就是咱们所求的东西，我们把它继承德尔塔外，那么我们用另一种方式把这个德尔塔外给他求出来， 那么这个方法呀，跟咱们求定积分的这个方法有点类似，也是分的是四步，但是呢具体的过程啊，跟咱们求定积分的过程还是有所不同的，注意观察好，我们来看一下有哪几步。第一步， 第一步我们用 n 减一个点，将这个 ab 区间给他等分， 分成 n 范，那么每一范的距离不就是 n 分之 b 减 a 吗？那么第一点就是 x 零，第二点就是 x 一，第三个点呢就是 x 二，那么最后一点就是 x n， 那么等分完之后啊，我们还是过这些点做一下 x 图的垂线。 那么做完抽烟之后啊，我们看一下第 xi 区间，也就是说从 xi 进一到 xl 这个区间，那么在这个小区间上外的变化量怎么体现呢？小区间上呀，这点长就是他的外的变化量，那么这个图案有点小，我们把它局部放大一下。 好，我们来观察一下在 dx 区域上它的外的变化量 多少，那么在这里啊，也就是他的动作标减去一个他的动作标，那么不就是这点长度吗？我把它记成第二他外癌，那么把他局部放大之后啊，就是 这点高度，然后呢，我们过这个点做一个曲线的切线，那我们得到一个三角形，我们看这个长，我们把这个长啊继承是第二套 y i 片，那么现在来看啊，他俩的这个值啊，还是不相等，但是呢，当咱们把这个区间无 线的等分，也就是等分成无群大范之后啊，也就说这个距离要无穷的缩小，当他缩小到一定程度的时候，他们两者的这个值啊，几乎就是相等的。那么这就是咱们的第二步，叫做进四替代。 我们先让这个德尔塔 y i 啊进四等于德尔塔 y i p， 那目前他是不相等的，我们看一下德尔塔 y i p 又怎么求？我们发现他是一个三角形的一条直角边，这点长啊， 不就是德尔塔 x 吗？他是德尔塔 x， 那么他们之间有一个比例，这个比例不就恰好是啊这个角的正切直吗？哎，我发现这个角的正切啊，不就是这条切线的斜律吗？ 所以他们之一个关系是，那么德尔特外片就等于 k 成一个德尔塔 x， 他们怎么来的呢？我们发现对边比零边等于角的正切就等于 k， 那么对边就等于 k 成一个零边， 然而这个 k 啊，又是啊，这个点处的切线的斜率，也就是说这个点处的倒函数，那么他就等于 f x i 减 一片德尔塔 x。 第三步求和，我们把每个区间上的这个德尔塔 y i。 片给他求和。我们继承人士啊，德尔塔外片， 那么这个德尔塔外撇就等于德尔塔外一加德尔塔外二，一直加到德尔塔外。恩，我们给他用求和符号表示，那么他又可以写成， 那么他就可以写成他，因为德尔投外挨片就等于他，我们给他求和。好，紧接着是第四步，叫做求极限，那么我们所求这个德 外，本来一个是静思等于德尔特外片，那么如何让他们相等呢？我们只需要给这个德尔特外片啊曲极线，让这个区间的距离无限的缩小成零 的时候，那么第二头外挨撇就等于了第二头外挨，那么他的和也就是上等了。这个时候我们再看一下这个东西又是什么，那么这个时候啊，第二头外就等于了给这个式子曲奇线 让这个德尔塔 x 啊无限的接近于零。哎，我发现这是 f p r， 那么大 f 的导航数不就恰好等于小 f 吗？所以大 f p x i 仅一，就是啊，小 fx i 减一啊，把它换掉。 好，我们换完之后就变成他了。哎，我发现这个东西啊，不就是一个函数的定积分吗？他不就是需要 fx 在一个区间上的定积分吗？我们根据定义 知这个东西就是小 fx 在 a b 区间上的定积分，那么他又等于 doty， doty 不就是 fb 减 f a 吗？哎，所以我们正出大 fb 减大 f a 就是小 fx 在 a b 区间上的定积分， 那么这个式子啊，就叫做微积分的基本定理，我们又叫做牛顿莱布尼子公式，为了方便表示啊，我们把大 fb 减去个大 f a， 可以写成，我们可以写成这个形式， 他就等于 fb。 简爱妃，好，以上啊，就是咱们这节课的所有的内容。

这是整个微积分最美妙的定律。他说，微分和积分是一对逆运算，就像加法和减法、乘法和除法一样。定律有两部分，第一部分，如果你把一个积分上限函数对上限求导，得到的就是被积函数本身。 第二部分，要算定积分，只需找到任意一个圆函数，把上下限带进去相减就行。 这个发现让复杂的面积计算变成了简单的函数求值。牛顿和莱布尼茨各自独立发现了这个惊人的联系，开创了现代数学的新纪元。

好，各位同学，大家好，我们现在来看一下牛顿法，要牛顿迭代法 什么意思呢？它是一个现行化的另一种有用的应用。那么比如说先要解一个形式， f x 等于零的一个方程啊，去列 f f x 等于零的一个方程，哎，我要解决它怎么办呢？怎么去解决它，你死活都解不出来，所以说你退而求其次，那么猜试着这个方程应该会有一个解啊，或者说多个解，我们比如说猜一个，哎，猜一个解出来啊，这是猜测啊，猜测， 猜测，而且把它记为 a， 我们将其这个解就叫做 a 号。那么利用一个图像来表示一下这个意义 啊，另外图像来表示个意啊，我们大家给他画图像才行啊，没有图像是不行的啊，这个说法是站不住脚。我们来看一下，比如说我任意的一个曲线啊， 我这拆开它，这个啊解叫做 a， 那么真正的一个解实际在这， 我拿另一个颜色笔红色标记出来，是不是在这啊，对不对？这是真正的结啊，真正的结 啊，真正的记。那么这时候我们就要利用到牛顿法，牛顿法只有两个应用方向，第一个叫做求方论根，第二叫做最优化的形式。牛顿法涉及的方程呢，叫做求导。那么下面的讨论均是用连续为分啊，也就是连续可为的前提下去讨论的。 第二个就我们所说的啊，最优化处理，我们首先来看一下， f a 实际上并不等于零，但是 f a 不等于零， 所以说 a 其实不是他这个什么根，哎，就说你这个根呢，是一个什么错根呢？我们叫做啊错根，或者他叫做一个什么近似的估算啊？近似的估算，你只是一个什么呀？ 估算，那么可以把它尝试成什么第一个的估计啊，就说我现在我也不知道到底是对的还是错，因为你可能一下子说准确啊，也有可能这个啊，你比如说像这种情况，你说的很准确，哎， 可能就是他的根啊，那这就验证一下就行，但要是不试怎么办？不试我们可以把它近视为第一次尝试，就说在图案把它怎么的来估算出来，那也就是说意味着 f a 需要在什么？ 这个地方是可以怎么的？是不可以倒的，也就是可为的，也就是不管怎样，让我们来看一下这种情况，比如说啊，比如说我这是 a 了，叫做开始第一次估算了点，对吧？那么我们看好这个地方是不是真正的一个点，像是 c。 好了，那这时候我 我在使 c 靠近那个点 b， 而 b 也是一个什么更好的估算点，也就说在这个地方啊，他是个什么东西，他是一个什么呀？哎，最近似于 c 的一个估计值，对不对？好，我们这时候来 在这引下切线，我们把点 a 啊，像这，像这个曲线哈，做曲线教一下啊，教一下，假如说你这个曲线是这个样子的，这个图画的可能有点别扭， 往上浇，浇浇，浇一下哈，好，浇，这，这是不是有一个什么呀？这是不是有一个点啊？和这个曲线是不是交一点？交点之后，然后由这个点去做垂线，然后 啊，这是切线啊，这个切线我估计画的不是很直，但是它经过了必点啊，经过了必点，那么也就是说这样的一个 x 的结局为 b 显而易见，相对于真正零点，它比 a 更接近，对吧？也就是比 a 更更近似。那么这时候我就要用到什么呀？用到 求 b 的一个什么呀？哎，具体是多少，那就要用到什么呀？哎，牛顿法的形式去求，怎么求呢？我们来看一下， 我们来看下怎么求，那就要原理，他就是利用的是开了公式在 x 零处展开，且展开到一阶的形式，什么意思啊？这个话说有点秃啊，我给大家解释一下，实际意思很好办。你说 l x 等于啥？它就等于的？是 啊，等于是 f a 的值加上一个，对他做一个什么倒数，这东西是不是斜率 k 啊？ k 在怎么地？ k 在车上， 一个 x 减去他，他看这是不是？这是不是斜斜式的形式，再加一个什么？再加一个 b 的形式，这不就是个什么呀？是不是前方什么就出来了，对不对？好， 它的 x o 结局是为了求 x o 的一个结局，那让这东西等于零，让 l x 等于零，我们来看一下，那则有 f a 加上一个它的倒数乘上一个 s 减 a 就等于零，那么这个时候 x 怎么求？ x 很好，求 x 就等于什么？ x 就等于 a 减去 f a 除以个 f pro 啊，就是他。那么这时候啊，这是 s 结局，那么结局就是此。是谁啊？是不是 b b 到原点距离吗？那不就是 b 点那个啥横坐标不就出来了吗？对不对？那所以说就有如下一个公式，那 b 就等于什么？ b 就等于 a 减去一个 f a 除以一个什么呀？ f prawn a 啊，这就出来了， 那么这就是一个什么呀？牛顿找点法形式，那如下方法更好找，我再去找一次啊，找第二次，比如说我还能再找到一个什么，那么 b 处再和他交一下，然后再做切线，哎，我会发现能找到什么？找到这个地点 d 点又比 b 更接近于 c， 那我还是按照这样的方法去把 b 点带入求 b 点的导数，然后再 s 减 b， 那么让它等于零，那么我求得的 x 就是一个谁的结局，就是一个 d 点的结局，那么 d 就可以表示如下的形式，那就 d 也就可以表示什么 b 减去 f b， 偶尔一个 f 创 b， 他一定是他的，那么这样的话，我就可以怎么叠，再用这样的过程，一直找他，一直找他，绝对能找到什么 c 啊，谁要是能找到 c， 我们看一个例， 意思，比如说我让你找他的一个什么根，或者说他的一个解，我们来看下到底能不能找到谁呢？这个方程 x 五四方 啊，加上一个二 s 减一，我们要找一下它的什么解？首先该方程有解吗？如果说该方程是连续的啊，就函数连续的，那么 f 零是等于负一的啊， f 一等于正二，那么根据借着定理，我们刚刚说了，方程至少有什么一个解啊，至少一个解啊，就是借着定理 f a 到的 f b 啊，小于零，那么则它有什么呀？哎，至少在这个选项有什么有一个结啊，至少有一个结，我们看一下 f 零 等于负一的 f 啊，一是等于几的二啊，一正一负，那么直积为小于零。哎，那好，我们来看一下，我们来看一下。那我就要找什么呀？ 使用牛顿法找啊，使用牛顿法找的。我们来看一下， f 零是等于负一的，而 f 一等于二，这并不是很接近于啥？零 啊，并不接近零，那我们就让这个谁啊，就让 a 等于零好了，把 a 等于这个地方值，那 b 就等于 a 减去 fa， 除以个 f pro， 我们看下，算下多少，那零减去个 f， 零 除以个什么？ iphone 零， iphone 零就要把这个东西做一个倒数啊，那就是多少就是零减去五的， 嗯，零到五次密啊，再加上二乘零，再减一除以个啥？除以个五乘零的四次密，再加个二，最后答案是个二分之一，二分之一的正二分之一啊， 算还是个正二分之一，我看一下，算还正二分之一，但是呢， b 是个二分之一，比零更接近那个什么呀？是不近四十啊，那这时候二分之一是多少啊？我们把这个带入进去，我们看一下是不等于零，我们发现他是三十二分之一的，三十二分之一好像已经接近于零了啊，接近于零了， 那么为什么不能重复使用这个方法呢？那么我们来看一下，我们来看一下 啊，那我就要把什么呀，再求着下一个什么呀，哎，下一个更近似的什么呀？哎，一个点，那就要把二分之一当成 a 了，那现在 a 就要等于什么？新的一个值二分之一往里面带，求出新的 b 来，那新的 b 就应该多少，二分之一减去多少， 哎， f 二分之一除以个啊， f 撇二分之一，那所以我们求来啊，实际是个三十七分之十八，三十七分之十八，我们 会发现它比三十二分之一更远，但是这时候为什么会有这样的一个答案？也就是说啊，这个，它这个值啊，值啊， 大概是个多少？零点零二，是吧，也就说非常小的数了，那也就是说啊，三十七分之十八确实是对 f 的一个真正零点的一个什么呀？ 相当好的一个近似啊，就是说更好的一个近似值，当我们无限这样算下去，始终会怎么的啊？是把这个近似值给他算出来啊，近似值给他算出来， 而且有的时候可能是更精确的值，但是牛肉切换法是不能用这种曲线的，比如说像这种曲线是不可能的啊，这种螺旋线是不可能的。还有种话是跟他怎么的啊？没有焦点话是不能算的啊，跟他无焦是不能算的啊，牛肉切换法他有这个弊端性 啊，有弊端性，必须得记住是连续可违，而且最好。是啊，好算的情况啊，最好是不出现这种情况， 这是一个真谛啊这是一个真谛，那就是说啊，让 f 撇 a 的值减于零啊，会有 b 啊，就是横坐标的一个结距会出现，那就 b 等于 a 除减去一个啥呀？ f a 除以一个 f 撇 a 啊，那么 当然啊，当然啊，有的时候不一定。为什么呢，我们来看这种情况，这种情况啊，就是使用牛顿切减法就有点土奥了，土五了，就是说呀，可能不太适用。 我们来看下这种情况啊，给大家举个例子，这种情况也是我们很常见一个例子啊，这种情况 将这个左手要拉长一点，比如说这种情况啊， 这种情况，这是那个 a 还是我那个估计点，这是真正的一个啥，是不是那个啊，函数为零的点，也就是他的解，但是呢，这时候我由这个点做切线，大家看一下会出现什么情况， 看看会出现什么情况好， 我们会发现这个点怎么的好像比 a 更远了，更远离了 啊，更远离了。我们看一下，这时候他俩相交，我们看一下交到这，这到这的距离和这到 a 的距离怎么叠？明显要远一些，那就开始估算的点是在 a 的，但 是呢，你这会怎么的跑远这个 b 啊？更好的估算点在这，但是这个点你看他比 a 接近于这个近似值吗？不接近的，那怎么办？大家想想， 当然还有一种情况，也就是 f x 等于零啊，不止一个解，而且得到的可能不是你想要那个解。还有这种情况，我们再来看第三种啊，虽说牛顿切换法它有一个误区啊，有的东西它是出不来这个解的，或者说比较麻烦啊，用它太麻烦了， 我们看一下这种情况啊，还有这种 huh， 比如说这是我开始点 a， 然后呢，我搁这儿做，就搁这个地方做， 往这个 a 啊，我往这边移一点，移到这个位置，大概是这个位置，大概是这个位置，对，到这，我们来看一下， 这假如说是个零点，也就是啊，零点，这还是个零点，对不对？好，我们看一下他教一下话，会教呢？会教到这啊，会教到这啊， 那就是说这个 b 啊，啊，没毛病的。确实啊，跟我这个 c 点比较接近，但是呢，我还有个零点在这，这多起来情况，那我想问一下，这个地方怎么办？难道你还要做两条吗？啊？肯定是不行的，对不对？你这样 话只能解出来一个，但是多个的话怎么的？这种情况是不行的，所以说近似可能会变得越来越糟啊。糟糕，也就说啊，你解解释可能漏解一个。解啊，这边还有一个，他确实存在，这边是解，假如说这是个 r， 那么为什么你会得到这种情况？我们下一次再来验证一下为什么会有这种情况？这是牛顿切选法的弊端性啊。