几何画板怎么制作跳动的心

头条号，初中数学院，这节咱们说一说如何用几个画板绘制表示一个呢？爱心的这样的一个图案啊， 这个图呢，它可以放大，也可以缩小，也可以拖动这个点呢，移动到任何一个地方。好，咱们来学一学怎么绘制这个图案。 点绘制，然后呢点绘制新函数，然后就输入表达式，这个一个是开发 啊，平方根的，然后用一个一减去加一个括号，这个括号里面呢，来一个绝对值的符号 x， 再减去一 这个的平方 啊，第一步会出这个，那这个单位点可以拖长一点啊，把它拉大一点，他就有这个按 爱心上边这个图案，咱可以把线形放大， 绘图这个彩样， 比如要到两千，他就 ok 了。那第一个是会这个函数， 再换一个 反三角函数，点绘图绘制新的函数，输入那个 ug 口算一减 x 的绝对值，减 去拍就 ok 了，这里按个口算，然后呢一减去输入一个绝对值 x 的绝对值的符号，再呢减去 圆周率，这个 pi ok， 大家看出来没有？那这个下半部这个图案 把线形调大一点，然后这里绘图的样本 两千个样板，这样线型呢就平滑美观了。这样，然后这个竖轴 可以选中，把它隐藏了，然后这个格子点绘图隐藏网格，然后这两个点是用来一个是平移这个爱心啊，还有一个呢，这有一个 对，可以拖动这个爱心它的大小，所以咱们可以用几个画板绘出美妙的图案，嗯， 大家觉得怎么样？ 请大家也来啊，操作一下，画出一个表达这个爱心的图案好吗？ 谢谢观看，再见！想学节画板课件制作技术的老师可以到头条号初中数学院来学习 节画板培训的这个专栏的名称是数学案例与节画板课件技呃制作技术。谢谢大家的关注，再见。

哈喽，各位同学大家好。呃，这个我们今天啊呃给各位同学讲的是如何把几何画板的动态演示图啊，输出为 这个加 f 的动图。我们知道经常会呃，在上课的过程当中，呃，利用几何画板去画一些这个动图，但是几何画板输出的这个图片啊，他不能输出这个加 f 的这个动图格式。 所以啊，今天老王秀老师给大家分享一种把几何画板动态演示图输出为加 f 动图的一种方法。那比如说我们现在这个呃，给大家演示一下这个，在这个几何画板当中，我们经常 会画一些这个动图，你比如说王学老师在这随意画画一个动图， 我们先画一个动图案，大家稍等一下隐藏员，然后把这个 藏一下电影藏下。好，接下来我们把这个线形呢，呃，线样是我们这个中细颜色， 颜色变成黑色。好，你看我王旭老师呢就给大家演就是。呃，比如在上课当中，我们经常会讲这个几何的手拉手模型啊，那么几何的手拉手模型啊，就可以生成一个动态的一个图，那么 我们看两个等边三角形，共顶点等线段，其实就会形成这个手拉手模型，对不对？手拉手模型， 那么王学老师就把这个动态的这个过程啊，你比如说这个等边三角形，他在旋转的过程当中，你看这两个三角形是不是始终是全等的，但是这个过程呢，是王学老师手动完成的，那么哎， 王学老师把它设计成一个动图，你比如说伸成这个点的一个动画，伸成一个点，伸成这个点的动画，那么这个 你看这有个控制台，这个当然这个速度是可以调控的，这边往上增的话，就会显示为 会形成一个这个动图，形成一个动图，那么这个动图啊，如何输出为加 f 呢？加 f 呢？哎，那么王旭老师今天研究了一上午，终于找到了一个快速的方法，就当我们在几个画板当中画出这样动图之后 啊，大家可以上这个啊，网站上去搜一个软件，叫做 surnq g f， three two g f， 那么这是一个啊，免费的啊，首先特别强调这是一个免费的一个软件啊，大家点开这个，你比如说点开一个中文版的， 中文版的，然后点个高速下载，下载之后啊，他其实的内存也很小，看大家可以看一下，只有九百四十 k 啊，九百四十 k， 当大家下 载完之后，大家下载完之后啊，找到那个下载的问呃位置，把这个解压之后，解压之后里面啊里面点开这个软件，点开这个软件之后就会形成这样的一个啊，录屏的，录屏的一个 系统，录屏那个系统啊，王学老师把其他的关一下，其他关一下，然后就会形成的一个啊录像机，他这个功能还挺全的，既有录像啊机，也有摄像头，也有画板，也有编辑器，那么我们就点击 这个录像机，我们就可以把这个动态的这个图案给他录下来，然后转化为在他的系统内转化为这个 gif， 大家明白我这个操作了没有？你看 王学老师在这边点一下录制，那么哎停，我们把这个动图是不是已经记录到了，记录完了，记录完之后， 哎，他就会生成一个，你看在这里就会形成一个，生成一个文件，写上文件，对吧？好，那你比如说这里有什么播放啊？播放的话就可以看这个播放的这个动图的状态编辑， 我们可以在这里啊进行一系列的操作，这具体的操作的话啊，大家这个下来自己啊摸索一下就可以了，然后呢怎么转变为加 f 呢？这点一下这个文件，这里有个文件选项，然后另存为另存为， 然后王雪老师把这个放大一下，啊，并存为并存为呢啊，我们就选这个啊，基亚亚服，你看他默认的是这 g f 的选项，对不对？那你看文件文件，我们就说存到这个桌面文件呢，我们就设置桌面啊，名字呢？就是手啦， 手模型，手拉手模型，你看保存类型，你看其他 f 动图保存，然后再找 点一下保存，他就会在桌面上生成啊，这个相应的这个 gif 的动作，哎，王旭老师给大家可以打开看一下，你看桌面上这个 照片，打开就会形成这个 gif 动图， 哎，你看大家可以看一下这个加 f 动图，这个加 f 动图的话，大家就可以，比如说啊，你就可以发到这个微信表情包里啊，或者是啊，大家在做一些，比如说这个微信公众号的时候啊，想用一些动图的时候，都可以采用这种方法啊进行啊。 呃，通过这个我们这个软件把这个动图的过程录制下来，转化为 gf， 就可以实现我们这个需求。 好，那个，呃，有任何不明白的点都可以去私信我小老师，或者啊，或者那个这个软件你可以私信我，我可以发给你，好吧？我们今天就到这里。

今天给大家分享的宝藏 app 是 几何画板免费版，有了它就可以动态几何与数学可式化精准绘图，亲测好用。接下来我手把手教会大家如何下载它的最新版手机平板，双端都可以使用。 首先点右下角分享键分享复制链接，复制成功后我们打开这个蓝色小鸟，没有的话就去安装一个，打开后会弹出一个资源包，如果没有弹出，就在这里搜索六乳资源，然后打开这个文件夹，找到这个软件保存下载安装就可以用了。

天气重新 风花。

这一集老梁教大家如何用这个画板软件来制作最值问题啊，这个动画， 那像这个案例啊，咱们可以这样来做，第一步，点自定义工具啊， 找到我的基本作图工具里面的正方形工具，就可以点出一个正方形， 然后咱们可以选中点 d， 这里 b、 d， c， b、 c 啊，我们把标签改一改， 批量修改为 a、 b、 c、 d， 这个点的大小咱们可以调小，也可以调大啊，都是可以的，在显示菜单这里可以调。 那这个正方形工具啊，这个点 b 是 主动点，拖动可以平移左右拖动点 c 啊，它可以放大而且缩小。 然后咱们选中线段 a、 d， 构成线段上的点就得动点了，那这个点咱们可以调大一点， 因为动点，那我老梁习惯啊，调整为绿色。 在选中这个点 d 的 时候呢，我们顺便做一个动画按钮，点编辑操作类按钮，这里有动画按钮， 刚才他在编辑区外部，咱们可以鼠标 放到动画按钮旁边，单机选中以后，可以平移到任何地方啊，那这里咱们可以改为动画或者动画点映啊，都可以 把标签动画标签改一改，这样他都有一个动画。 然后咱们选中点 b 和点 d， 构成线段，线形要细点， 那咱们再点这个动画按钮，它就停下，再点它又走是切换点的， 选中点 e 和线段 a、 d， 咱们再点构造菜单啊，那可以构造平行四或者垂线，那现在咱们应该构造的是垂线， 鼠标点出啊，垂线与对角线 b、 d 的 交点 f， 这个点 f 是 被动点，所以咱们设为红色啊，绿色的是主动点，选中这个 e 和 f， 构造线端，选中这条垂线点显示这样的隐藏掉啊。隐藏垂线， 咱们再选点 e 和点 b 构造线端， 选中线段的前提下再点构造 中点啊，就得中点距。选中点距和点 f 来构造 线段啊，这个线段可以做粗一点啊，因为我们是研究这条线段的最最小值颜色啊，咱们在也显示在他这里设定了红色。 学会了吗？想学几何画板的啊，可以订购老梁初中数学院上的 数学案例集结画板课间制作技术的专栏来学习。感谢大家的支持，再见！ 下一集咱们再说一下如何去破解这道难题。

大家好，这一讲我们讲几何画板教程。第五十一讲三角形的内心性质的掩饰模型， 我们通过这个图形，我们可以给大家演示内心它的相关性质。第一，内心它是三个内角角平分线的焦点，如图 a 爱 b 爱 ci， 他是三条交平分线相交于爱。再说这个三角形，无论形状他怎么改变， 他都是这三条角平分线他的 脚底。另外第二， 内心他是内千元的言心，如图。第三，内心到三边的距离相等，就是这三个数据， 这三个数据在图形如何怎么改变，他们到大小，你就说这个爱到三边到距离都是相等的， 就是内心到三边的距离相等。另外内心 这个夹角，这个角 bic， 如图这个钝角他等于九十度 加二分之一角 a 加二分之这个角 bac， 你看我们度量了一个角 bac 的度数，你随便怎么变 角 bic 的度数，无论他怎么变，我们计算了一个九十度加他的一半这个数据，我们又度量了一个角 bic， 他们始终是相等关系，所以有这样一个结论， 所以接下来教大家如何制作这个掩饰的数学模型。 首先我们打开几何画板，打开几何画板过后，我们再 这里点工具这找到内心，找到内心过后， 我们拖出一个三角形，他自动生成了一个内心。接下来我们我们把这三个点 选中构造线段，构造好线段过后，我们把三个顶点标上 顶点字母 apc， 接下来我们要演示他是三个脚平分线的焦点，我们 就来看啊，依次三个顶点就 bac 这构造交平分线，再选中 bc 构造焦点， 再把这个隐藏胶皮明显，再把这个胶点和 a 构造线段，因为三角形的角平分线是线段，把这个线段构造成虚线， 而且是细线。好，同理。依次点 a， 点 b， 点 c 构造角平分线，再把 ac 选中构造焦点，再把这个隐藏角平分线， 再选中 b 和这个 ac 边这个焦点构造线段，它自动使虚线。同理， acb 选中构造脚品危险，再把 ap 选中构造脚点，再隐藏 平分线，再把这个焦点和 c 构造线段。好， 这就演，这能够演示他是二十三条角平面线，三角形，这三条角平面的焦点。好，接下来我们要演示 他是把他内千元做出来，并且他到三边的距离相等。我们选中爱和 ab 构造垂线，选中 ab 构造垂竹，再隐藏 这个垂线，把爱和这个垂足构造线段同理。 i 选中 bc， 选中构造垂线，再 在这个垂线和 bc， 这个叫垂足 垂线和直选，用这两样构造焦点，就是垂足隐藏垂线，再把爱和垂足构造线段，也就说到 内心到必然到距离。 同比啊，这是 ipc 选中构造垂线， 对照垂线过后，把这个垂线隐藏。哦， 还要把 ac 选中构造焦点，把垂竹构造出来，再隐藏好，再把这两个点这个垂线段构造出来。 嗯，给他用文字工具标上大垂足一百幅。嗯，给他 选中爱和地构造圆，这个圆 我们要用，给他用实线，给他用红色。好， 接下来我们度量，把爱和地想成度量距离， 选中这个，这个是可以能改变这大小的啊。选中爱和一度量距离，选中爱和 f 度量距离，你看，这体现了内心到三边的距离相等。好，最后我们演示，我们就要度量一个角 aac 到度数，度量一个角度，度量角度过后我们再做一个计算 数据。计算，计算什么呢？嗯，九十度来看啊，九十度在哪里呢？单位度九十度加 二分之一就是一除以二再 乘以角 bac 等于好，就计算了这样一个度数，我们同时在度量一个角 bic， 度量他的角， 这两个大小是相等的，就掩饰了一个结论叫 bic， 等于九十度加二分之一叫 bic。 这就是这个。关于内心，你看，无论我们怎么改变，内心的位置肯定永远在，无论形状如何，都在三角形的内部啊。内心。 好，这是 关于内心 他的性质的掩饰模型。

大家好，这一讲我们讲几何画板教程。第五十讲三角形的外形性质的掩饰模型。 你看，先给他说一下这个外星，他是三边垂直平分线的焦点，如图这三条虚线， 他就是三边的垂直平分线，那我们就能够说明这个二是三边垂直平分线的焦点，那么这个我们要 这个也可以把它隐藏掉，嗯，掩掩饰了过后把它隐藏 成交。好， 接下来我们要演示了这个外星的位置，你看啊你看， 当这个角 c 是超过九十度的时候，这个外星在三角形的外部。当 你看这个时候他是九十度的时候，外形在斜边到终点，当 这是个锐角的时候，外形在三角形的内， 这是外星的位置，这个外星到三个顶点的距离相等。用下面这个数据来说话，无论这个怎么改变，你看，无论无论这个三角形怎么改变， 他都是一样的。因为这个外星他到三个顶点都是圆的半径，所以他们是相等的，依据了 他的这个外星是怎么来到垂直评论下的性质地。 第四，我们可以当这个角同看啊，当是个锐角三角形哦，在内部的 有这个结论，有什么结论呢？就是 角 aob 是角角，他是他的二倍，是他的二倍， 是他的二倍，在任何一个时刻他都是他的二倍， 就是叫 aob 等于他。那这是一个是一个什么定义呢？就是 同湖所对的同源或等源中啊，同，这是同一个源中同湖。 这个胡 ab 所对的这个圆心角是这个圆周角的二倍，实际上这个外形这个结论因为避免和内心的性质混淆，好演示过后过节假节，接下来给大家说怎么 做这个掩饰图。首先打开几个画板， 打开几乎花瓣， 打开球花瓣过后，在这里我们用点工具看到啊，点工具选择外星，通过拖动， 那就得到一个外星。得到外星过后，我们把这三个点选中 构造线段，得到一个三角形，得到这样一个三角形，嗯， 这个三角形好，接下来这三个顶点，把这个点 把它烧小。哦，这些点烧小。 好，这一个我们把它抢掉，这个外星我们给他整的中等大，嗯，给他标上字母。 接下来我们把圆构造出来，我们先选圆心，随便选一个顶点， a 构造圆，圆也构造好过后，你看， 接下来我们 为了体现这个外星，他是三边垂直平微线的焦点，我们打开啊，我们选中 ab 边构造终点，这个点我们把它稍小， 再选中 ab 构造垂线，垂线用细线，再用虚线。 嗯，在同同里把 bc 构造他的终点，再选中 bc 构造垂线也适用虚线。 ac 终点， 再选中 ac 构造垂线，垂线用虚线，这样就能够掩饰他是三边垂直平平线的焦点。 好，嗯，接下来我们要 掩饰到是什么呢？外星的位置，这个位置就不用特别的，你只要拖动哦，拖动就可以了，但是为了体现他是个盾教， 那我们度量一个角，你看按照 acb 这个顺序度量角度，度量出来这个角度过后， 你可以把文本进行增大，看的更清楚，就读量了他的角度，你看他 超过了九十度，他就是个钝角，他在外部，在内部。好，你看等于九十度，他就在， 他就在写一遍终点就是这个第二种演示， 另外他要你要体现，那么就度量一个 oa， 这里度量一个距离， a 度量一个 o， 选中 o 和 b 度量距离，再选中 o 和 c 度量距离，这个体现了他到三个停电的距离相等。 另外我们要度量这个二倍，那么我们就选中 角 anb。 好，我们度量一个角度，你看这一个角度就是他的二倍， 叫 aob， 就是叫 aacb， 到二倍就是演示这个性质。 那我们有了这一个图和相关的数据，你就可以演示外星到所有的性质， 这样对学生的理解他就更直观，而且构这个图也比较方便快捷。好，这一讲我们就讲到这里 啊。

第四十四讲圆的顶级动态和牛津绕木桩， 那这两个呢，其实都是我们前面所讲的方法的一个呃，一个迁移或者说辨识。我们先来说顶的，呃，圆的顶级动态 啊，如何得到一个随机的这样一个， 呃，我们在做这个抛豆实验的时候啊，如何制作一个随机的点值，并且能够 能够进行叠带啊？我们先构造一个正方形，其实我们不需要构造一个正方形，我们只需要啊构造两条垂直的线段就可以了，当然垂不垂直也无所谓，我们就借用这个 啊，抛豆实验当中的这个这个这个部分的过程吧，好，选中这两条线段来构造线段上的顶啊，给他一个标签，一个是 a 顶， 一个是 b 顶，好，选中这两点直接度量顶值。然后呢我把这两个顶值做一个计算啊，就是 把这两个点值呢都都参与进来啊，就是直接相加啊，两个点值。好，下面呢，我们再随机的构造一个点， 然后构造一条线段，那么以选中这个点和这条线段，那构造一个圆，那就这个圆呢，其实就是以 哎，圆的这个我们可以把这条线段进行适当的拖动 啊，比如啊，这这个样子大小已经差不多了，然后我就可以把它拖动到框子的外面去，然后只要拖动这个圆心啊，就可以改变圆的位置啊，给他一个标签，然后呢 这个好像也用不到了啊，这啊用的到的，暂时还是用的到， 嗯，选中这个点值的和和这个圆进行在圆上绘制一个点，这个点就是一个随机的，嗯，下面就可以叠带，比如我，哎，这个怎么回事？这个怎么这么大， 可以把它改变过来啊，然后呢？比如这是我们希望的是三十六就可以了啊， 保存一下，如果你下一次再文本框的话，那他自然就是三十六。好了，我这个也正好也按错了，也不是需要这个文本框，我们是新建一个参数， 这个参数呢，就是产生点的次数啊，的个数应该是八十吧，八十，然后 因为这个参数我们只需要正整数，所以它的变化改变是一，然后这个精确度也是单位一好了，然后选中点 a 和点 b， 以，这两个是它们都是 半字有点啊，分别是由线段两条线段产生的半字有点， 半字有点是可以叠代的，呃，因为这两个半字有点啊，进而产生了原上的这个，呃，以这两个半字有点的点值的和， 进而产产生了在这个圆上这样一个随机的点，所以我们就可以进行进行叠带，选中 a， 选中 b 和这个叠带的次数，呃，变换深度叠带。 然后呢？呃，之前我也讲过， a 可以 直接到 a 上， b 可以 直接到 b 上啊，但是因为都是随机的嘛，所以我们还是把 a 到 b 上， b 到 a 上， 然后这个结构，这不需要，有些时候他自动生成这样一个数据表，我们不需要注意，不忙叠代，一定是叠代到对象的随机位置好，那什么意思呢？就是你这个 a 到了，替换到点 b 上以后呢，替换到的是点 b 的 随机位置，所以 b 呢，又到 a 的 随机位置，而不是初始位置，所以我们可以得得到这样一个啊典籍。 那我们说在讲圆的时候啊，把这个圆进行隐藏，再把这个初始的这个一开始迭代的这个点呢，就出象，是吧？也把它隐藏好了， 适当改变位置啊，把这些辅助的这些数据点值啊，都把它移动到框子的外面啊，这就是 迭代的次数。然后呢，我们再给两个新建两个参数，一个是 a， 我 们让 a 等于零， 好，它这个因为你刚才的参数是精确度是单位啊，改变也是单位。一好了，我们再建立一个 呃参数，比如，呃是 b， 它的这个比方说是 一千一千个 d。 呃，什么意思呢？就是我们在学习圆的时候，我们说圆是以圆是 到定点等于定长的点的集合。呃，在课堂教学的时候呢，我们可以让学生，比如在草稿本上画一个距离点 o 两厘米或者三厘米吧，画三个点，那么不同的同学都可以画呃，随机的画三个点。那老师可以提问，这样的，这样的点有多少个？同学肯定能回答，有无数个，那这样子的话，有无数个，我把这无数个点全部收集过来， 好，它到它那就是先选中 n， 再选中 a 啊，这进行移动。这个移动呢，我们可以是高速。呃，标签呢？可以是粗式化， 把这个拿过来啊，粗式化，把 n 选中 n 和选中是一千移动，比如啊，是慢速， 好，把初步放到这个开始收集啊，好，把这个不需要的也放到旁边。那这个空白区域呢，可以输入呃学习活动的这个名称，比如，呃活动一， 利用刻度尺在超过呃画画三个或者五个到点 o 的 距离等于三厘米的点，那那 五个点也行，三个点也行，那这样子的话，这位同学可以画这样五个，那位同学可以画那样五个，那这时候呢，可以教师可以提问啊，这样的点我们一共可以画多少个，是吧？那大家肯定会回答，肯定有无数个，那么我们把这无数个点把它收集过来， 那会发现啊，这些顶级所能够构成的图形呢，是明显是一个圆啊，啊，在出实化，这就是 圆的定义，圆的集合定义啊，圆有两种定义，一个叫， 呃运动定义和和这个集合的定义，当然圆还还有第二定义，第二定义是圆是到两个定点的距离之比， 等于一个不等于一的常数的这样一个集合。好，这是那是圆的第二定义，圆的第一定呢就是， 呃，定点和定长啊，可以是运动法，也可以是集合法。好，这是圆的点级的这个动态收集，下面呢我们再来 制作，我们之前也学过一个，呃，鎏金鎏金碰钉子下面，如果鎏金碰这个钉子呢，可以看作是一个点，对吧？嗯， 如果鎏金碰到这个木桩呢，那又是另外一种形态。好，我们给出三三个自由点， 然后呢再建立一个参数，这个参数是圆的半径 r， 这个 r 呢等于两厘米啊，两厘米距离，然后选中这个点，选中这个参数来构造一个圆，这个圆呢就是 半径就是两厘米。好，现在我们给他一个标签，比如这是点 o， 点 o 啊，这是点 a， 这是点 b， 然后我们双击 o， 选择选中点 a 和点 b， 然后进行缩放，这个缩放比是二分之一，然后给他一个标签。好， 下面呢我们就可以可以构造两个圆，一个圆，两个圆 啊，把这个拖动到适当的位置啊，好了，第一个圆与他有个焦点，第二个圆与他呢，也有个焦点啊，那比如说我给他一个点地， 它是底 e， 下面呢，就是来度量 a、 d、 b 的 大小，选中 a， 选中 d， 选中 b， 嗯，度量角， 好，来看一下，如果这样子的话，你看看它永远是一个，呃，是一个正角，对吧？是一个正角，下面呢，我们希望它可以是负角，什么意思呢？嗯，如果我连接 a、 a、 e 和 a e 和 o e， 那 我们说角 a、 e、 o 肯定等于九十度，因为 a、 o 是 直径，所以直径所对的圆周角等于九十度。如果我们再连接 o、 d 和 b、 d 的 话， 同样的道理，因为 o、 b 是 这个圆的直径啊，是直径，所以这个角 o、 d、 b 也等于九十度。现在现在我把它往下拖一点，当点 d 与点 e 重合的时候，那这个角呢，就是一百八十度啊，一百八十度 啊，不怎么容易拖动的到啊啊，当顶翼顶地与顶翼重合的时候呢，这个角就是一百八十度，而这样子呢就变小了，所以我们 有什么办法呢？就是参数选项里面有一个角度，角度呢，我们给他一个方向角，那这样他就有一个正负角了，这边就是负角，这边就是正角。好，现在呢，我们把刚才是为了说清楚情况，我们把这个这些线段呢都隐藏着， 显示隐藏线段啊，下面就是做一个简单的计算，那就是 s、 g、 n， 立刻一一加 s g n 啊，这个数它有正有负。好了，那就说 如果点 d 在 这个圆上，在这个圆上，如果点 d 在 点 e 的 左侧，那左侧 或者说在它的负方向上，它就是一，在它的正方向上就是零，那我们如果以 o 为圆心啊，这个逆时针方向为正的话，说明点 d 在 点 e 的 负方向上，也就是在他的顺时针方向，那他就是一，而如果点 d 在 点 e 的 正方向上，那就是零。现在 我们双击点 d， 选中点 b， 进行一个缩放， 缩放笔呢，就是这个他啊，我们立刻给他一个点的标签啊，就是一号点，因为经常重合，所以我们立刻给他一个隐藏按钮 啊，隐藏按钮，那这样子的话，你看看，只要这样他就到到到与点 d 是 重合的。然后呢，我们再双击一点，把一号点隐藏，又选中点 b， 再做一个缩放，还是刚才的缩放笔， 呃，立刻给他一个标签，二号点，也立刻给他一个隐藏按钮 啊，一号点，二号点，这时候呢，一号点和二号点都是重合的，只要这样子，那你看看，只要点 d 在 点 e 的 正方向上，那么这个 s g n 值呢？是零，那么点 b 呢？进行缩放啊，分别与点 d 和点 e 重合，现在我们就把它呃放处于这样的位置好，然后给点 d 一个 隐藏按钮，把它隐藏了，给点 e 一个隐藏按钮，也把它隐藏了。好，就让这时候的 s g n 值是零，哎， 把点的，这时候的 s g、 n 值是零，那我们构造选中零，呃，圆点，二号点和一号点按照逆时针旋转，所以构造了圆上的弧，给这段弧呢，一个另外一种颜色 啊，比如我们把它显示成红颜色，显示成红颜色以后，呃应呃选中圆，构造圆的内部， 呃，我们就把它看作是木桩啊，把它看作是木桩啊，木桩是黑颜色的，嗯，把圆也隐藏了，然后呢，我们连接连接 a 二一号点和 b 点，好，选中这两条线段，也把它显示为红颜色。这时候呢，我们就可以把不必要的先把圆 a 和圆 a 一 撇，圆 b 一 撇进行隐藏 好，一号点隐藏，二号点隐藏啊，这样子就可以了。嗯，现在我们把这个线段 a、 b 看作是 牛皮筋啊，橡皮筋啊，当绕的时候呢，就可以绕着这个木桩啊，有这样一个效果，当然这个也不可能是绕着，很非常的夸张的啊，绕，绕着这个程度呢啊，这个角是还是负的时候，他永远是绕着的，一旦是正的，他就不行了啊， 一旦是正的，它就是线段 a、 b 本身啊，这样子好，已经绕到极限了，不能再绕了啊，这样子 好，这节呢，我们这一讲呢，我们就讲了啊，圆的顶点的动态和牛牛筋绕木桩啊，都是我们前面所讲的，一个是抛豆，抛豆实验的这个一个一个迁移使用啊，可以产生随机 呃，点值，随机的点的点值，然后进行迭代，这个呢是运用的是负角度的 s、 g、 n 值，那也进行一个变换啊，或者说变式 产生一个牛筋，不是碰这个钉子，钉子可以看作是一个置顶，一个顶呃，绕木桩呢，就形成一个比较，一个直观的一个一个一个视觉效果吧。好，这讲呢，我们就讲到这里。

好，本视频我们来简单的聊一聊如何利用几何画板制作网格，比如我们先画一个，需要画一个 十三行十列的网格，我们先来画横着的，首先 这里面定义坐标系是一个灰色的，那遇到这种情况呢，我们可以先制作一个点，然后绘图，选中这个点，绘图定义原点， 下面就是选中这两个点，按照按复制 ctrl c， 然后撤销 ctrl z， 再 ctrl z， 那 么我们已经复制了刚才那两个点，再 ctrl v。 那 这两个点有什么好处呢？就是右边的点你可以随便随意拖动，它能够保持水平位置，左边的点控制位置就有点像圆一样，左边这个点控制位置，右边这个点控制大小，而且这两个点保持水平的， 呃水保持水平位置。下面呢，双击左边这个点，选中右边这个点，变换缩放。注意我们是实列，所以横向的应该是实格十分之一， 选择第一个点，再选择第二个点，变换中标记向量，也就是向右平移这段距离，选中第二个点，平移确定， 再来一次平移，确定，然后选中这个点，再来一次平移，确定好了， 然后呢，我们选择第四个点和第五个点，那么我们就把这两个点呢他们的变换方式给他做一个创建自定义变换， 然后我们只需要按住第一个点，另一只手不停的按住，按住 control 一 一一一好了，那这样就有十十个点了，下面呢我们来选中 另外十个点，因为这个这个这个点呢是变换中心，所以它既可以缩放，它既是缩放中心，也是旋转中心， 旋转九十度，拖一下来，好，看来框框里面看不到，所以我们就按照这个点把它缩小，让你看得到，看得到以后呢，我们按住这个点和这个点，标记项链 一定要变换三次，平移，一次，两次，三次好，最后这两个点呢，选中一二两个点，再次创建 自定义变换。好，我们来看一下，我们这里面有两个自定义变换，变换一是向右平移变换，二是向上平移。 那这时候呢，我们再来连接这两个点，按照网格的习惯，我们把它写成 设置成细线，虚线，然后再深蓝色，按住第一条线。还记得 control， 一 是向右平移一格， 按住 control， 不 停地按一一一一，记住是按住 control 之后，另一只手手指呢不停地按一 好了，然后水平做出这条线段， 然后 ctrl 二，二是向上平移，一二三四五六七八九十十一，十二十三。这样我们就画出了 十三行十列的网格， 选，全部选中，把这个点呢，用最小的来设置成最小的，然后拖动这个点就可以放大或缩小啊，比如再选中这样的位置已经差不多了。下面还有个操作， 因为我们网格线是虚线和细线，但是里面的图它是实线，所以再次全部选中，显示里面典型， 再换成中等，然后选中线，中等，再设置成实线。好，那么 几何画板它这个功能呢，它就是记住了你的点的类型和线的类型，那这时候呢，已经可以把它隐藏， ctrl h， ctrl h。 好， 下面按照题目的意思，我们把题目中的三角形画出来， 注意这个点是这两条网格线的交点，那这两个网格线呢？就变成红色，注意这个细节，一条，第二条，我手里面是，手里面是有题目的， 你可以看着我如何制作就可以 啊，这是 c 点，最后再把它连接起来，那就是原题的 abc， 三个点选中 abc， 然后显示里面有焦点的标签，这时候切换成大写字母 a， 那 它就自动是按照你的选点的顺序 abc 就 可以了。 然后这道题目的第一题是在图中画出平移之后的三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇。好，我们选择他说是点 a 一 撇的位置是一二三四五。 将三角形 a、 b、 c 平移之后，得到三角形 a 一 撇， b 一 撇，三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇，然后告诉我们呢， a 一 撇的位置，那就是 a 加一撇，可以了。 好，这是原题，也就是说圆三角形 a、 b、 c。 在 网格网格上把三角形 a、 b、 c 平移，得到三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇，然后 a 一 撇，这个点呢在这个地方， 所以这时候呢，我们按选中 a 和 a 一 撇，变换标记向量，把另外三条边和两个点选中平移。哎，弄错了， 标记，选中另外三条边以及点 b 和点 c， 因为点 a 边已经平移了，这时候按照平移就可以，这时候呢，我们再把点标一下，标一下，这样就可以了。 然后作为课堂上我们不可能是这样子，所以呢，按照题目的讲解， 因为从点 a 平移到点 a 表示向上平移五格。那跟题目跟学生讲题目的时候，也应该是我们把另外两点也按照点 a 的 平移方式向上平移五格，所以选中 b、 b 一 撇，隐藏，然后选中，选中 c 一 撇，隐藏顺次另外三条选中三条边，用另外一种颜色，比方说深绿色， 如果这时候选择选中的是网格线，鼠标呢，还放了这地方，再按一次，它就选中了 a、 a 一 撇， b 一 撇这条线段。选中三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇的三条边，然后编辑 操作类按钮隐藏好，再把它隐藏。然后呢，文件保存再次打开的时候就是这个画面，所以你跟同学学生讲的时候，就是 我们也把点 b 和点 c 按照点 a 的 平移方式向上平移五格，就会得到点 b 一 撇，点 c 一 撇，再顺次连接 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇，就会得到 三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇。好，下面这道题目呢，还要求我们画出 a、 c 边上的中线 b、 e、 a、 c 边上的中线 b、 e。 所以呢，我们先要选中或者说取 a、 c 的 中点。注意， a、 c 是 一条网格线，那它很显然是由 一行两行两行三列的撇对角线，两行三列的矩形的撇对角线，它是有两条这样的 网格线拼接而成的，所以中点正好是一个格点，所以只要鼠标按一下，这个点就自然就出来。然后选中文本工具， 双击双击，然后按照题目的意思，我们是 e 点啊，把 e 拖动到合适的位置，再利用线段工具连接 b、 e， 我 们再换一种颜色， 右击右击红色。好，这时候我们选选中点 e 隐藏，选中线段 b、 e。 操作类，操作类按钮隐藏 好，我们再来看一下效果。先讲第一题平移，再讲第二小题，取 a、 c 边的中点，连接 b， 得到中线。那这道题目呢，还有疑问，就是做出 b、 c 边上的高 a、 d。 显然三角形 a、 b、 c 是 一个钝角，三角形做 b， c 边上的高 a、 d， 那 就从边 bc 的 对角顶点 a 出发，向线段 bc 所在直线做垂线段。 由于网格做图题，他是按照网格的方式，就就是说你每你做的每一条线段，延长的每条线段都是经过特定的格点的。 我们再来看看 bc， bc 是 一二三四四行两列的撇对角线，但是呢，四乘二的撇对角线，我们可以经过约分，那就是二乘一 一二，它是由两段二乘一的撇对角线，所以 它是由两段二乘一的撇撇对角线拼接而成的。所以如果我们延长 c、 b 的 话，应该是一段一段的延长，首先延长 d 段，那么在点 b 的 左一下二两格取这个格点 延，也就是说你延长 c、 b 必须要经过这个格点，延长以后呢，我们再取格点，然后取了这个格点以后，用线段工具连接点 b 和这个格点，好过点 a 向 bc 所在直线或者说直线 bc 做垂线的话，我们也是，这是 二乘一的撇对角线，那么我们过点 a， 就 必须要做一乘二的捺对角线，一行两列，所以要经过这个格点。经过这个格点以后呢，我们会发现与 c、 b 的 延长线没有交点，所以我们需要再延长一段啊，第一段它，第二段它，所以取这个隔点再连接点 a 与这个隔点， 显然延长以后与这两个有交点了，这两条线线段有交点了，那这个交点呢，一定是垂足，所以再用文本工具 双击这个点，那就是它要我们做出的是高 a、 d， 好， 把点 d 拖动到合适的位置 好。再来看看在讲解的时候如何延长 c、 b。 必须要取这个格点，所以按住选中这个格点，隐藏连接点 b 和这个格点隐藏 过点 a 做 c、 b 的 沿垂线的时候呢，由于必须要有垂足， 所以过这个格顶，它是垂直的，但是它没有交点，所以我们还需要再次延长一段，所以取这个格顶，选中它 隐藏，再选择选中这条网格顶线段隐藏， 选择选中点 d， 隐藏好，我们最后看一下效果，全部隐藏，然后保存，再次打开的时候，画面就是这个样子。 第一步，平移点 b 点 c 一 撇，顺次连接 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇， 取线段 a、 c 的 中点正好是格点 e 连接 b e， 做出了三角形 a、 b、 c、 a、 c 边上的中线 延长 c、 b。 由于它是钝角三角形，延长 c、 b。 一定要按照网格的方式，或者说网格的特定要求去延长，而不是只是用无刻度的直尺 随手延长 c、 b。 他 必须要经过这个格点，所以讲解的时候呢，一定要先取中这个格点，然后连接点 b 和这个格点，那我们就延长了 c、 b。 那 过点 a 做 c、 b 的 垂线， 做这条线格点，线段不够，因为没有交点，我们要得到交点，交点就是垂足，所以要延长两段这样的，这样的， 呃，隔顶线段，也就是一行两列的捺对角线，一段不够，没有交点两段，所以我们要取这个隔顶连接点 a 和这个隔顶，这样 这两条垂线垂线段，这两条相互垂直的线段有了交点，那这个交点就是 就是垂足，这样我们就做出了三角形 a、 b、 c、 b、 c 边上的高 a、 d。 好， 本节视频呢，我们就讲到这里，谢谢大家。

数学老师的课时间真的不要全浪费在画图上了，尤其是几何个画个圆，找个中点反复修改代号时，推荐你用大角几何画板，直接解放双手，左侧工具栏立，常用的作图工具全都有，支持画直线、圆规画圆精准又快速，终点垂线、平行线这些标准作图 不用手动测量，一键快速生成零误差。还有图形变换功能，平移旋转对称为四， 想怎么变就怎么变。不用重新画图，右侧甚至能上传图片， ai 帮你一键转化成可编辑的几何图形，课效率直接翻倍！平时课时用它省下来的时间，多琢磨教学思路，真的很高效！

各位老师好，这节课我们继续来看几何画本基础操作的第七讲，迭代与深度迭代。 迭代是最难的一种变换，我也是正在学习研究中，所以对迭代的理解有限，我只能把我所掌握的有关迭代的基础操作介绍给大家。 那么迭代与深度迭代，它实际上是我们前面讲的平移、旋转、缩放与反射这四种变换的重复执行命令。 首先我们来看迭代，选中圆工具，在绘图区构造一个圆， 选中这个点，按 ctrl 加 s 进行隐藏。选中点工具，在圆上构造一个自由点， 双击圆心作为旋转中心，选中这个点，找到变换栏中的旋转命令。 固定角度六十度点旋转，选中这两个点，按 ctrl 加 l 键，勾到线段， 选中这个点，执行迭代命令。 在迭代对话框中有原像和出像， 那我们把这个点叠代到第二个点，我们这样看，显示里面有增加叠代，有减少叠代，因为这个呢，我们要做一个正六边形，我们要增加叠代点一下， 然后还差一次，我们可以按加号，然后在结构里面大家看一下有所有对象的像。第二个是仅保留 非典类象，我们来看一下它的区别，所有对象的象也是我们通过迭代所构造，这些点它都是显示出来的，如果选择了仅保留 非点类像，那么通过叠带构造的点它是没有显示出来。我们来看一下点叠带，这样这个正六边形我们就做完了， 让我们可以把这个圆以圆心把它隐藏掉，按 ctrl 加 s 进行隐藏，大家看一下这是叠带， 那么下面我们再来看深度迭代，还是选中圆工具构造一个圆， 选中这个点，按 ctrl 加 h 进行隐藏， 还在圆上构造一个自由点，找到数据，新建参数 名称我们改为 n， 数字呢，我们改为等于三点确定， 找到数据栏进行计算，点击 n 减一等于二，再找到数据栏，点击计算 三百六十度，找到单位最下面的度，然后除以 n 等于三确定。 双击圆心，选中这个点，找到变换栏中的旋转命令 旋转参数，我们选择一百二十度，点击旋转，选中这两个点，按 ctrl 加 l 构造线段， 选中这个点，再点击 n 减一等于二， n 减一等于二，代表的是迭代的次数，也是迭代的深度。找到变换栏，按下 shift 键，那么迭代就变为深度迭代。点击深度迭代， 我们看下对角框，那么原像是这个点出像点击旋转之后的点和刚才一样结构呢？我们还是选择仅保留非点类像点击点带。 那我们看一下，我们对 n 等于三这个参数如果进行变化的话，我们把三改为四，大家看一下， 他就变成了一个正方形，改为六就变为了正六边形，我们按加号 变成了正七变形，按减号进行递减。 所以叠带与深度叠带的区别在于，叠带完成之后，我们是没有办法改变它的叠的深度，而深度叠带我们可以通过参数进行 迭代，深度的变化可以增加，也可以减少。有关迭代与深度迭代的区别与联系，我就给大家介绍到这里。好，各位老师再见。