庆阳一中的体育考试项目有哪些？

接着来看多选题部分，第八题如图所示，三根相同的细绳，上端与天花板呢对称固定， 下端呢与环形吊灯上沿的三个等间距点相连，那么每根细绳与数值方向的夹角均为三十七度啊！这个题虽说有难度，但是我们只要抓住了这一句话，问题就应该不大，他是每根绳与数值方向的夹角均为三十七度，所以我们只需要画出其中一条绳 与数值方向的受力情况即可。假如说咱每一条绳的拉力设为 t， 那 这个角就是三十七度，我们快速的就可以将 t 分 解到水平方向和竖直方向。当然我们只要数值方向上的力，即 t 倍的 cosine c 的 意思就是说其中每一条绳子在竖直方向上的锋利是 t 位的，靠三 c 的。 那总共有这样几条绳子呢？三条，所以就三个 t 靠三 c 的。 那么三条绳的拉力在竖直方向的锋利的合力三 t 靠三 c 的。 他干了一些什么事情呢？他平衡了这个环形吊灯的总重力及 mg， 那么这样一来我就可以将 t 解出来啊， t 就 应该等于 mg 除以三倍的考三 c 的 啊，考三月三十七度呢，我们都知道是五分之四，所以就应该等于十二分之五倍的 mg， 这样一来我们可以成功的去锁定 c 选项。 再看 a 选项，环形吊灯受到的重力数值向下，这个直接闭眼入选就行了啊，重力方向本来就是数值向下。 然后再看 b 三根细绳对天花板的合力，哎，你看好是绳对天花板的合力，显示竖直向下，所以 b 错了。 d 细绳对环形吊灯的拉力是因为谁发生弹性形变而产生的？这个呢，我们在讲概念的时候呢，强调过 啊，那就是 a 对 b 的 作用力，那 a 就是 受力物体啊，细绳就是受力物体，对字前面的这个物体叫受力物体。 那么我们的方法非常简单，是因为谁发生弹性变呢？失力物体啊，是因为失力物体，而这个环形吊灯呢，是受力物体，所以不对，应该是系绳， 这个失力物体发生弹性变，因为失力物体他要恢复原状，从而对受力物体产生的一个作用力，所以记住一个规律，是失力物体发生弹性变而所产生的弹力，所以记错了。那么这道题选择的时候是 ic， 那么接下来咱们再看一下第九题，有 p、 q、 n 三个物块，质量均为 m， 他 叠放在这样一个水平面上，现在这三个物块呢，受到了一个向右推力，这个推力作用在 q 上， 作用在 q 上。那么很明显我们可以看到我们拿到了一种什么题呢？叠块受力分析，叠块受力分析的方法是什么呢？整体加隔离，那整体加隔离， 这是对叠块的受力分析。那只不过呢，这个你发现整体有两层含义， p、 q、 n 三者可以视作一个整体， p q 也可以视作一个整体啊，那当然也可以将 p 当做隔离出来做受力分析。好，那我们接下来看，根据选项要求， a 选项 p、 q 两个物体之间的摩擦力是增大的。 呃，这个不对，那么既然问 p、 q 之间的摩擦力，那咱们看一下，那就是要用隔离，那么如果将 p 隔离出来做受力分析的话， 无论施加不施加这个重力啊，屁都是一个静止于斜面上的物体。所以我们这一次对屁物体做受力分析的话，可以理解为斜面上的 物体屁受到了重力啊。咱们对斜面上的物体屁做受力分析的话，应该是这样的，它受到是沿斜面向上的筋摩擦力， 那么这个静摩擦力它平衡的是 p 物块沿斜面向下重力的风力。所以无论在这对 q 施加不施加重力，它这个 p 物体都是静止在斜面上的啊。所以 a 选项不对啊， p q 两个物块之间的静摩擦力它不变。再看 b 选项， n 与地面之间没有摩擦力，这也已经错了啊。当说了地面对于叠块物体受力分析来说，它属于第三者， 当有第三方参与到受力分析的时候，我们要学会将 p、 q、 n 施作一个整体啊。将 p、 q、 n 施作一个整体的话，这个整体水平方向受到两个力，一个是向右的推力 f， 另一个必然是地面给 n 施加的向左的进摩擦力，怎么能说没有摩擦力呢？ 那根据排除法我们就知道这个题应该选 c、 d 了。那咱们解释一下， c 选项有难度啊，他说 q 可能受到五个力的作用，也可能受到六个力的作用，咱们画一下啊， q 他 肯定受到重力啊，咱们把他必须肯定受的力呢画出来， q 肯定受重力，然后呢，受到向右的推力，这是没问题的。 那么其次就是 n 给他有支持力啊， n 给他有支持力， p 给他呢，有压力，这都是必须的啊，这都是肯定会受的力。 呃，推力啊，支持力，推力 f 支持力，压力还有重力都有了，那么接下来就剩基础面上摩擦力了。我们说了，这个 q 给 p 必然有沿斜面上进摩擦力，力的作用是相互的，所以 p 对 q 沿斜面向下必然有作用力。 哦，那现在我们就数出五个，他说可能是五个，也可能是六个，这啥意思？这就是一个正交分解的思想了。我们如果将 p q 看做一个整体的话啊，如果将 p q 看做一个整体，什么意思啊？嗯，或者说我们可以这么理解，我重新画一下， 最好是把 p q 看成一个整体啊。如果把 p q 看成整体的话，这个推力和沿斜面向上有个分力， 这个风力如果平衡了这个整体沿斜面向下的这个重力的风力，那是不是啊，在 q n 这个斜面上 就没有摩擦力了啊？你想还是个斜面模型。如果我再说一遍，如果将 p q 看到一个整体，这个整体推力在沿斜面方向有个风力，这个风力如果把它的整体的重力风力平衡掉，那是不是接触面上就没有摩擦力了？这样一来的话，他是不是受到一二三四五个力的作用？ 那如果推力并没有和重力的分力平衡掉，但是这个技术面是不是有摩擦力，所以他可能受五个力，他也可能受六个力，这就看推力和摩擦力的推力和重力的大小关系。然后呢，再看 d q n 之间压力增大，这是正确的啊，因为还是正交分解的思想， 因为施加这样的推力之后，他再垂直于斜面方向呢，多了一个分力，这个分力呢，使得 q n 之间的这种压力呢增大，这个很简单，咱们接下来再看第十题，看第十题 说什么呢？如图所示， a 呢，是一个四分之一圆柱体的洁面，它的表面呢，是光滑的， 那与地面接触的下表面是粗糙的意思，和地面之间存在摩擦力，然后和墙体之间呢，还有这两为 m 的 小球处于平衡状态。现在呢，使得柱体向左，哎，就向这个位置移动少许， m 仍然和地面没有接触，系统呢，处于平衡状态。 那么这个墙和小球之间的弹力啊，以及他们之间的压力啊，还有这个地面的摩擦力，这个显然也是一个碟块问题啊，这也是一个类似于碟块的问题，连着磕了两道碟块做受力分析呢，就是整体加隔离， 那咱们隔离型的，咱们数一下受力分析个数啊， a 呢，受到重力，压力，支持力以及摩擦，四个力不占便宜，而对小球来说，三个力，弹力，弹力，所以我们对小球开始下手，他要向左的弹力划出来， 然后呢，这个两个球之间的弹力是沿着他的连心线方向啊，连心线方向向上啊，给他画出来， 这不太好画。然后这两个力的合力要平衡，重力让我们画出来，这就是小 mg， 那 这也是小 mg， 做各自的平行线啊，做各自的平行线。这样一来，我们就实现了对小 m 的 受力分析。这个咱们记为 f， 嗯，记为 f a a 吧，或者叫 f a b， 咱们把小圈起个名字叫 b 吧，叫 f a b， 这个墙它含有，我们叫 f， 或者叫 f。 墙也可以， 显然是一个动态平衡受力分析。那么动态平衡受力分析，咱们观察一下控制变量个数，重力大小和方向都不变，这个边被控制了。那么在这个 柱体向左移的时候呢？小球往下落，无论小球落到什么位置，强给他弹力始终是沿这个方向的，所以我们找到这个三角形来做控制边，这个边是大小和方向都控制，这个边是控制方向，所以我们看到了什么？我们看到了横力加 定向力的这种组合啊，横力加定向力的组合，那么对于横力加定向力组合的话，我们用的是图解法，图解法 我们开始画图，那么向下移的话，这个墙啊，这个柱体 a 也没画好啊，先演示一下，这个往左边一移， 左边移，那么他们的这个球形连线与数值上加角增大，与水平上加角减小，就是弹力了，与水平上加角呢，更小了，与竖上加角更大了，所以这个角就是增大的，这个角是减小的，所以我们画一个动态衍化之后的三角形， 哎，你就意味着是这个样子，这个角增大了，这个角减小了，哎，现在呢，我就可以清楚的看到，墙做成了弹力 f n 是 增大的， ab 之间的弹力这个斜边也是增大的，这就是我们隔离的梳理性结果。我们看一看选项里面有没有看 a 选项， 他说的是墙对墙对墙的压力呢？变大力的作用是相互的，墙对他的弹力增大，那么压力增大显然是正确的。然后 b 呢，是柱体和球之间作用，这个是增大的啊，所以排排出 b 也是有算是算是有收获吧，看，鲜明的东西出来了， c 选项，柱体和地面之间压力 d 选项，柱体和地面之间的摩擦力， 显然是有第三方记录了，我说有第三方记录的时候要用什么法呢？整体法，所以在旁边画一个小方块啊，在旁边画个小方块代表了这个柱体和 m 的 整体。这个整体在水平方向受几个力呢？受两个力，一个是墙给它向左的弹力，一个是地面给 a 向左右的筋摩擦力。 数值方向数几个零呢？也是两个零啊，也是两个零，一个是向上的支持力啊，地面的支持力我写成 f 值啊，要和前面的 f 呢，分开一个是向下的总重力，所以这个整体做受力分析就非常的清楚。压力呢，自己想象错了啊，这个压力呢，应该是大小 不变啊，应该是不变，因为他这支持平衡的是总重力，压力和支持是相互作用是相等的。然后摩擦力的话看谁呢？要看摩擦力就看 iphone 呢，通过第一个缝隙呢，是增大的，所以这摩擦力呢，应该是增大的。那么 d 选项是正确的，所以第十题呢，我们应该选择 id。

咱们看一下沁阳一中期中考试的物理试卷单选择题部分，第一题关于曲线运动的力学原理，本质下来，说法正确的是 a 选项。曲线运动的速度不可能均匀增加， 那他只要加速度恒定，就可以说明物体的速度是均匀变化的啊，所以匀变速的这个含义就是 a 恒定啊。那么举个例子，比如说平抛运动， 物体的加速就等于重力加速度 g， 它是恒定的，所以平抛运动就是这个匀变速曲线运动，它速度就是均匀增加的， 那么 a 就 错了。 b， 曲线运动的速度一定改变，这个是正确的。因为物体做曲线运动的时候，速度方向在改变，所以它一定是变速运动啊， 那么加速也一定改变，这错了啊。刚才当举的平抛运动就是例子，他加速就不变。 c， 曲线运动的大小可以不变啊，这个可以，比如说匀速的圆周运动，然后他就转折到说曲线运动不一定是变速运动，这错了。曲线运动一定是变速运动，刚才说了，方向他在发生变化， 所以 c 也是错的。再看 d， 当曲线运动的合力以速度的夹角为锐角时，速度大小和方向都改变，这是正确的。咱们随便画一个曲线运动，呃，然后画出它的速度方向， 那这是沿切线方向的方向，那么我们画一个他所受的力啊，假如说这是物体所受到的合力，我们可以将这个合力呢给他分解到半径方向和切线方向，把这个力呢分解到半径方向和切线方向，也就是我们所称之为的切向力和镜像力， 那么镜像力呢，也叫向心力，所以叫 f n， 切向力呢，就叫 f d， 现在呢，这两个分力呢，各司其职。沿切线方向分力呢，负责加减速，这个呢，它和速度方向同向锐角的话是同向，所以是加速 哎，加速做的大小改变，然后这个镜像力呢，作用效果是和速度垂直，它负责变向哎，所以当力和速度加角锐角的时候呢，它是要做加速的一个曲线，并且方向都要改变。第一题选四 d， 再看第二题。质量为一千克的物体，在数值面内做半径为一米的匀速圆锥度，从最低点到最高点，速度变化量大小十四，哎，速度变化量大小十四。那么咱们画一个情景来看一下，假如说这是一个匀速圆锥度，没画圆 匀速圆锥度，嗯，然后呢，咱们找到它的最高点和最低点，嗯，最低点，咱们把它的速度呢 啊取啊接，比如说取向左为正方向，最低速度呢，就叫 v， 那 么在最高点如果要带着方向的话，那么这个速度呢，就变成了负 v 啊 么速度，就是当这个速度在同一条直线上的时候呢，咱们用正负去区别他，区别对他的方向就可以了。如果不共线的话啊，不共线的话呢，就用向量上的加减法去算数的变化量。这个现在学还得过早，咱们等到学 选修一动量那一节的时候再做深入了解。目前速度变化量德尔塔 v 就 应该等于末速度负 v 减去出速度正 v， 它大小等于个四，那么咱们算出结果呢，也等于负二。 v 这个符号代表的是方向， 意思是说速度变化量方向呢，是向右的啊，但是它为是向右的啊，那么就是与正相反嘛。我们只要大小的话，那就可以说二 v 等于四，所以他做匀速圆周运动的速率 v 就 等于二。现在问向心力大小套向心力计算公式 m， 嗯， mv 方比 r， 这个代进去计算呢，应该就等于四牛选择 a， 咱们再看第三题， 第三题呢，说的就是，呃，空旷的地带上呢，将水飞镖呢水平抛出做平抛运动，一个呢，是从 a 点抛出，一个是从 b 点抛出。信息呢，是指它们两个都落在了 c 点，落在同一位置。 呃，现在 a 选项让我们去判断它的飞行时间长短，我们说做平抛运动的物体时间的长短是由它的高度决定的，所以根据 h 数值方向做自由落体动， h 等于二分之一 g t 方，我们就可以知道 t 等于根号下二 h b g， 谁的高度高，谁的时间就长，那显然是 t a 大 于 t b 啊， t a 大 于 t b， 那 么 a 选项就是正确的。 然后这个水平速度呢？我们要记住，水平为一， x 等于 v 零， t 去做判断，那么 v 零就等于 x， 除以 t， 我 们现在找到的信息是 x a 大 于 x b 啊，这个应该能看出来，水平为一，这是 a 的 水平为一， 这是 b 的 水平 a b b 大， 并且同时呢， t a 呢也大于 t b， 所以 这个是无法比较他们的平抛系数大小关系。 再看第四题啊，如图所示，赤道上有两颗啊，两颗卫星，也就是和赤道共平面的两颗卫星，半径分别是 r 一 r 二，然后呢， a 的 周期为 t， 则 b 的 周期多少，这是显然开普勒三定律，咱们叫 a 三 t 二 b 不 变， a 三 t 二 b 不 变， 或者说 a 三 t 二 b 相等，那么挨个往进写，对于 a 来说，它的 a 三，那就是 r 一 的三层，它的周期 t 二就是 t 一 的二层，对 b 来说呢，那就是 r 二的三层，这就是 t 二啊，或者是 t b。 那么现在呢，两个内向啊，两个内向，嗯，或者是两个外向位置互换，我们算 t 二的话呢，就是外向位置互换一下，这个换到这，这个换到这。那记 t 二平方比上 t 一 平方，等于 r 二立方比 r 一 立方。 呃，然后呢，做化解处理，两边同时开平方。根啊，那就是 t 二比 t 一， 这个呢就是根号下，咱们把这个立方之笔给它写成 b 的 立方，而二比二一，那我们看这二一等于 n 倍的二二，所以这就是换了这 n 倍的二二换进去。嗯，所以这个 b 选项是正确的。 再看第五题，说圆筒与角速度哦，密格一匀速转动，然后物体经铁桶臂做匀速圆转动，角速减小到某一值。关键词啊，角速减小到某一值啊，继续匀速圆周运动而没有滑落。受力分析正确的是，那咱们做受力分析， 指向圆心的方向的弹力， f 负责提供向心力。竖直方向，他有两个力，一个是向上的筋摩擦力， 一个是向下的重力，所以你看他在水平方向不平衡，竖直方向是平衡的。那这样以来的话，静摩擦力始终等于重力啊，静摩擦力它是不变的， 那么 a 和 b 就 不用选了啊，他说摩擦力一个增大，一个减小，然后弹力呢？弹力的作用是负责提供向心力，我们选择 m o 密格方 r， 所以 角速度减小的时候呢？弹力减小，选择 c。 再看第六题，也是一个永速远征运动，他主要说这个桃罐内有一个小物块， a 随桃罐一起转动，并且相对静止，那么此时 a 所受摩擦力恰好为零， a 总是摩擦恰好零，那就说明他只受到了重力和支持力啊，这两个力的合力，负责提供向心力，那我们把支持力这样一画，然后把重力这样一画，这样一来，这两个力的合力沿水平方向指向圆心，负责提供向心力。那我们设这个角为 c 特， 他们的大小关系可以做表述。咱们先不着急，现在呢，说将这个 omega 减小一些，那么 a 和桃罐呢？还是相对位置不变，相对静止啊，相对静止。那么与减小之前相比啊，与减小之前相比。那么 问到了向心力，支持力，摩擦力，那么首先最容易解决的就是 a 选项的向心力。向心力呢，我们可以用向心力公式 f n， 它等于 m omega 风 r。 既然什么都没有变，然后呢，就是我的意思是说它的半径位置没有变，那它的角速度说减小了， 嗯，那么以减小之前相比，他的欧米伽减小了，那么相形力呢？应该是减小啊，减小变得更小了，所以 a 是 错的。嗯，在接下来看支持力。其实这个要分析 b 选项，我们应该把 c 选项排到 b 选项的前面， 当他角速减小的时候，他就有进行运动的这种趋势啊，有进行趋势，那么是谁阻碍的这种趋势呢？我现在再重新画一个图啊，重新画一个图，因为这个图已经被用过一次了。嗯，那么当他的这个 角速度减小之后，有进行运动趋势啊，进行的趋势把重力和支持力 这下呢就受累多了，我就不用这个三角形化了，三角形化也不大支持力。嗯，那么他有径形的趋势，说明径摩擦力要沿斜面向上， 阻碍他靠近圆形啊，就是他的半径缩小这种意思啊，阻碍他做径形运动，所以径摩擦力肯定是有的， c 是 错的，并且 d 呢就排除了，沿切线向上，根据排除法呢，也可以得到是 b。 那么支持力是如何变化的呢？这个显然是减小，咱们不用多过多的去认真去分析，咱们看画一画，看啊， 之前呢是支持力在数值方向的风力，一个人去平衡这个重力之一，现在呢是还有外加一个摩擦力在数值方向上的风力，哎，他们两个都有贡献，那这样以来，有了摩擦力在数值上有贡献之后，那么支持力他贡献的就不多了，他就减小了， 所以 b 是 正确的。咱们再看第七题，高一点二五米的平台，现在有一个六十千克的滑雪爱好者，然后从这个平台做平衡运动。关键词，关键词落地时，速度方向与水平面的夹角为四十五度，这个太关键了， 他直接表明了我们的这个速度方向，那么就不用客气了，直接做出对这个速度做出正向分解啊，四十五度，我们把它分解到水平方向和数值方向啊，把速度分解到水平方向和数值方向， 那么当分解结束之后呢？水平方向叫 v 零，数值方向叫 v y， 结合已知信息 h， 我 能解决谁呢？当然这边是四十度，那肯定是 v y 嘛。 v y 根据自由落体公式，它等于根号下 r、 g、 h 的 代值计算，它就是五。 既然是四十五度，等腰直角才行，这是五，那这就是五，所以这就是五倍根号二和速度就是五倍根号二。看选项 a 选项，他离开平台边缘时的速度，这就水平速度，那就应该是五，是正确的，但是他让我们选这个不正确的呢？所以这个 a 不 选 落地点到平台边缘的水平距离，水平距离那 x 应该等于 v， 零乘以 t， 那 t 等于什么呢？根据自落体公式， 根号下至一分之二 h 啊，竖直方向，他做的是走落体运动，高度 h 一 点二五米，这个带进去是零点五秒。也就是说先解决了 c 选项 啊， c 也是正确的，但是不选，然后这两个往一块一套，二点五，那 b 也是正确的，但是也不选，那就只能选四 d 了。落地时速的我们其实已经准备好了，就是五倍根号二。

实验题部分第十一题，研究平抛物体的运动，这个实验过程当中的装置如图所示，在实验前， 哪些选项说法是正确的？ a 选项，将鞋槽的末端切线调成水平，这个是正确的，因为要保证他每次都做的是平抛运动才行，如果不水平就成了斜抛运动。 b 选项，将木板调准到数值方向，并且使得木板平面与小球下落的数值平面平行，这也是对的，因为小球运动的轨迹在数值平面，我们的木板呢，是负责记录 小球轨迹的，所以他两个平面必须平行，不平行的话，有可能这个位置记录不准确，或者说小球和木板呢，会相碰啊。记录无法进行实验。 b 选 c 选项，小球每次必须从鞋面的同一位置有静止释放，这也是正确的。为什么要这样做呢？因为在这个实验过程当中，我们无法一次性的将他的轨迹精确的记录下来，我们需要多次记录， 而这多次记录呢，记录的是必须是同一个平抛运动的轨迹才有意义。那么他第一次啊，实验的时候，轨迹下落到这个位置，咱们记录一个他所经过的位置， 在第二次做实验的时候，再记录一个位置，再记录一个位置。而这样重复的实验，多次记录他在空中做平抛运动的不同位置，然后把这些位置用平滑的曲线连接起来，从而就实现了对一个小球做平抛运动轨迹的记录。 那么这样一来，就要求他必须从同一个位置由静止开始释放，目的就是保证他做平衡的。 v 零啊，要相同。 a 选项呢，是在保证他的方向，这个呢是在保证它大小，那就是大小和方向都要确定下来，才是同一个平衡的轨迹。 再看 d 选项，在白纸上记录斜槽末端槽口的位置， o 作为小球做平抛的起点和所见坐标系的圆点，这个是不对的。呃，为什么呢？咱们画一个假如说这是平抛运动的这个槽口， 那么咱们画一个小圈，他说他所说的槽口是哪个位置，就是这个位置，这个槽口位置即为我们的平抛起点和坐标原点。这个显然是不对的，能够代表这个小球做平抛运动的这个置心位置，那是小球的球心位置， 我们应该将他的球心位置记录成我们的平抛起点和坐标系的圆点才行。 所以这道题呢，应该选择 abc， 再看第二小问，第二小问说什么呢？在研究平抛物体运动实验中，某同学记录了 abc 三点三个位置， 然后呢，他取 a 作为坐标原点，建立了一个平面直角坐标系。在坐标系当中呢，标出了 abc 的 坐标位置啊，坐标数值 让我们算平抛物的出速度和小球做平抛物的抛出点的坐标。你看，这句话相当于提醒我们了，我们要在做正题的时候呢，先去看 a 点或者是第一个点是不是抛出起点。 我们可以看到 abbc 的 数值为零，它是六十比一百，不满足一比三比五比七比九这样的出速度为零的匀加速直线运动的比例式。 为什么这么说呢？如果 a 是 抛出起点，那么它的数值方向就是一个完整的自由落体运动啊。既然是一个完整的自由落体运动，它就满足一三五七九的这样一个比例。 既然现在说没有满足，那你就不能用自由落体公式去做。不能用自由落体公式，那能用什么呢？用位移差公式，咱们看一下， ab 的 数值为一是六十， bc 的 数值为一是一百，所以它在数值方向的位移差，而它为等于 一个 g t 方啊，这是 v 叉公式，差了一个 g t 方，它是相邻的嘛？相邻的这个相等时间间隔为一至差等于一个 a t 方，这是 v 叉公式，等于多少呢？等于零点四，所以 t 方就等于零点零四， t 就 等于零点二秒。 然后要水平速度，那就在水平方向再选一个公式，水平方向选 ab， 两点等于 v 零乘以 t 等于零点三米，这样一来我们就可以把 v 零解出来。 v 零等于什么呢？ v 零就等于零点三，出了一个 t， 零点二二分之三，一点五，所以这个平抛的出速度呢？是一点五厘米。那么小球抛出点的坐标是多少？ 呃，这个要去解决他的抛出点坐标，那我们就知道他抛出多长时间了。拿时间结合平衡的规律进行倒推啊，进行一个倒推， 那么出来多长时间呢？这个就得看 b 了啊，其他的点都解决不了这个问题， b 是 我们这个时间的核心和关键。就是什么意思呢？我如果把 b 点的数值为能够拿下， 我就知道他做这个落体的时间长短，那么这个 v b y 应该怎么解决呢？很好办，数值方向 b 是 a 和 c 的 中间时刻位置，中间时刻的数值速度啊，我在这重新画一个图看一下啊，就是把 abc 挪到数值方向， abc 只看数值方向，那么这样一来， b 就是 a 和 c 的 中间时刻位置，就像打点计时器一样， 那么 v b y， 它应该等于 y a c 除以 a 和 c 之间的时间间隔。二 t a c 之间的间隔是多少呢？一百六十厘米，那就是一点六米除以二 t 等于二乘以零点二，所以数值方向速度是四厘米秒， 再结合竖直方向做自由落体运动的规律， v b y， 它应该等于 g t， 哎，加个 b， 从这个里面我就知道它运动的 b 点，从抛出圆点运动的 b 点，总共耗时零点四秒啊，零点四秒， 那从 b 点出来已经零点四秒了，那我反推，哎，假如说啊，假如说他在 o 点出来的啊，假如说是 o 点，看放这估摸着放一个位置啊，这是 o 点，然后那个坐标标出来， 那么这样以来，这个 o b 的 数值为一，我们是不是就有办法了啊？ o b 的 数值为一，因为从 o 点出来之后，它在数值方向肯定就是一个完整的走了。听懂啊， o b 的 数值为一，这不画这画好， o b 的 数值为一，我没有办法了啊，就这些写个 y o b， 因为我知道它用到时间了， 那么 o b 的 水平为是不是也有办法？因为知道水平，速度，知道时间，所以一旦知道时间，我们好多信息呢，都打开了啊，那就写 x o b， 那 就等于 v 零乘以 t b 啊，嗯，一点五乘以零点四，那应该就等于零点六米啊，零点六米。再看 y o b 啊， y o b 呢，它等于什么呢？等于二分之一 g t 方 二分之一乘以十乘以，这个就是零点一六，嗯，那就是一点六除以二零点八米。 现在咱们慢慢推算一下，意思这两点之间水平距离是零点六，那他这个横坐标的话，就是六十厘米，减去三十厘米，这个横坐标呢，就是负的三十厘米，负的三十。然后再看纵坐标， 纵坐标呢是八十厘米，八十厘米的话，那这已经有六十了，所以上面这是二十厘米， 所以这呢应该写成负二十厘米。注意啊，这都是在负半轴上写成，这两个坐标都要记成负的，因为正半轴人家提前已经去向右和向下为正半轴方向了，所以这两个坐标要写成负的。当然，这个 善于观察的同学还可以用比利时去做啊。比利时去做什么意思呢？因为你算出时间零点四，零点四，它是个特殊值 啊，为什么呢？因为这个刚好是零点二， a， b， b， c 是 零点二，那么 o， a 是 零点二， o， a 是 零点二，从 o 点开始抛出数值方向一比三，哎，一比三，水平方向呢，它是相邻相的时间间隔，那就是一比一，也可以这样去推。 再看第十二题，某实验小组同学为了探求向心力大小与角速度的关系，设计了如图所示的实验装置。电机呢，可以带动 o o 撇匀速转动，改变电压，可以改变转速。现在 ab 呢，是固定在数值 o o 上的水平凹槽， a 端有一个压力传感器，可以测出小球和这个传感器之间的弹力大小。 b 端呢，给它固定一个宽度为 d 的 挡光片，这个显然就是要用挡光位移除，以挡光速度、挡光时间算出挡光速度的一种做法， 那么忽略它所受的摩擦力。接下来有一个四步操作，第一个， 小刚球的球心到转轴 o 撇与挡光片到 o 撇的距离相同，这是一个很关键的因素。如果说他有个比例关系，我们做题的时候难度会增加，一定要注意到这个细节，有比例关系就按比例关系去划算，他们之间的速度按照同轴转动，这呢相当于比例关系，是一比一。 那测出均为 r 啊，他们的半径是相等的，都为 r， 那 虽然是图上画的不一样，但是题上说的是一样的。 启动电机是凹槽 a b 绕转轴 o o 撇匀速转动。第三步，记录此时压力传感器的射速和光电门的挡光时间， d t 改变转速记录了。如图一这样一个图像。 看第一个，本实验所采取的实验方法。这个既然是一个探究力实验啊，它是探究象形力大小与角速的关系，那探究力实验必用控制变量法。第二个，根据上述条件， 则小刚球的角数的 omega 的 表达式应该等于什么啊？ omega 的 表达式，嗯，根据这个角速度和线速度的关系，那如果我知道了它的这个 线速度，那我就可以测角速度。那 v 就 等于啊 omega r 啊，这个 v 怎么办呢？这有个挡光片，挡光位移为 d 除以挡光时间德尔塔 t， 那 不就是它的一个限速的 v 吗？所以这样一来，我把 v 带过来，哎， g 得到什么呢？得到 d 除以德尔塔 t， 这就是挡光片的限速度， 它就等于挡光片的角速度乘以它的半径 r， 这样一来，我们就可以得到这个小钢琴的角，速度呢，应该等于 d r， 哎， d 比上 r， d 比上 r 乘以德特 d 啊，是这样一个式子， 然后再继续看。第三问，在测出多组实验数据后，为了探求相形力与角所的数学关系，可以直接探求相形力和挡光时间的 t 的 关系，绘制成如图以所示的图像。那么图以告诉我们，这个图像呢，是一个正比例函数， 所以我要找 f 和谁是一个正比例关系，或者是现象关系。 那现在咱们找一下，根据我们的物理理论知识，这个向心力啊，向心力是由压力传感器的弹力来提供的哎，所以弹力 f 他 就应该等于 m omega 平方乘以。看啊，这乘 r 的 时候要心里要过一遍，这个乘的是谁的 r， 乘的是小球的 匀速圆，这用的半径 r， 只不过是巧了，他们两个在这相等而已。如果不相等，题目增加难度，有比例关系，一定要按比例关系换算过来，那么一定要按比例关系换算过来，不然就会盲中出错。 不过对这个题来说没有影响。好，米格，刚才咱们说它等于 d 比上 r 乘以的是 t， 所以我们可以看到变量就是这个挡光时间，因为你转的快了，挡光时间就会变短。那么不变的量是什么呢？咱们整理一下，不变的量是 m d 方，哎，比上 这个，本来分母上是个 r 方，和分子上的一个 r 约掉了，所以呢，这变成了 r， 这是不变的量。变量呢，是 d， 它 t 挡光时间，然后呢，它是 分之一，还带一个平方，所以这个德塔 t 方分之一或者德塔 t 分 之一的平方，它才是。我们要找到那个自变量 x， 那 么对应的第三项问，我们就知道应该选择 c 选项。 第四问呢？就是第三问的一个延续啊，他说，呃，如果这条直线斜率为 k， 那么问小钢琴的质量，那么就不就是斜率 k 竖形结合，它应该等于 km 地方比 r 吗？做个变形，那小钢琴质量就应该等于 kr 比上地方。

接下来看一下多选题部分。第八题如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动， p 是 近日点， q 是 远日点 m， n 是 短轴的两个端点，运行周期为 t 零。 若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 p 经过 n， q 到 m， 也就是我们所看到的这样一个逆时针的转动过程， a 选项，从 n 到 q 的 阶段， n 到 q 的 阶段，太阳的引力逐渐减小，这个是正确的。 根据 y 引力定律， f 等于 g， m， m 比上距离的平方，它从 n 到 q 的 过程当中呢，逐渐的远离太阳这里的距离， r 是 逐渐增大的，所以 y 引力逐渐减小， a 是 正确的。选上再看 b， 从 m 从 p 到 m 所用的时间等于周期的四分之一，等于四分之一。咱们看一下从 m 到 p 到 m 这个说法呢，怎么感觉有点别扭？ 题目上说的是从 p 经过 n， q 到 m 的 运动过程， p 经过 n， q 到 m， 那 题干上说这个过程的话，这就没有 b， b 选项就没有判断的这个必要了 啊，这就就根本就没有判断的必要。你如果说从 m 到 p， 这个还有判断的价值啊，还判断价值？如果说是 m 到 p 这样一个情况， 这咱们说近快远慢，这是开普勒第二定律得到的结论。所以 m 到 p 呢，离太阳近一些，他跑得快，他应该是小于四分之一个梯形啊。 当然就是说从这个 p 到 m 这个过程，他肯定也不是四分之一，但是没有判断的必要，他肯定错着呢。然后再看 c 选项，海王星运行轨道半长轴的三次方与其周期平方之比等于， 哎，看画风一转，月球绕地球，这显然就已经错了，月球绕地球，地球是中心天体 啊，那么海王星呢？绕的是太阳，太阳是中心天体。咱们说开普勒 d 三定律， a 三 t 二比相等或者比不变，它是中心天体质量的函数 啊，只和中心天气质量有关，那么这两个中心天气都不一样，质量都不一样，所以这个 a 三 t 二肯定不一样啊，没有太好的必要，所以 c 选项属于投化概念。 再看 d 选项，从 p 到 q 阶段，速度逐渐减小，哎，那个从近日点到远日点，尽快远慢，所以速度逐渐减小，这个 d 是 正确的。 再看第九题，这个，某学校的科技节上，小明操纵了一个 救援船，在水中模拟咱们这个小船过河这个情景，那么这个挑战水域呢，有一个流动的速度，水流的速度是三米秒，净水中的的航速啊，他相对于净水的航速是四米秒。那么 并且还跟我们说了，救援船从起点 m 是 垂直于河岸，实际上对岸这是最简单的小船渡河模型，微船垂直于河岸，你看这是微船， 然后呢，微水，那肯定是沿着河岸，咱们画的这个比例上呢，合适一点，这个水速呢是三，船速呢是四，所以我们把水速画短一点，这个好像对这个题来说呢，必要性不大，咱们把微船和微水合起来，这就是它的和速度 啊。那么 g 船的实际运动速度啊，为何就是沿这个方向运动的啊？沿这个方向，那这样一来，就意味着这个船 就沿这个方向运了过去，虽然船头是朝这个方向的，但是船呢，是这样飘着过去的。好了，我们对它有个基本了解了，现在做题。 a 选项，救援船将精准的抵达 n 点，这显然呢，不对啊，显然不对，他会抵达哪里呢？他会抵达的是 n 点的下游这个位置啊，下游，所以他不会抵达 n 点， 那么 a 就是 错的。咱看 b 救援船的实际航速，这个我们拿勾股定律合一下啊，这是三，这是四，那这就是五，所以 b 是 正确的。 c 救援船将抵达目标点 n 点的下游处。哎，这刚才分析就是下游处， c 也是正确的。 d， 救援船过河时间随水流的速度增大而增大而减小，这过河时间呢，只和船在垂直于河岸方向的速度有关，与 这个河岸方向的这个分速度呢，没有关系，因为这个速度不影响他渡河时间，他影响渡河时间呢，就是垂直于河岸方向的速度，而微船恰好就落在垂直于河岸这个方向，所以他此时的渡河时间啊，就应该等于 河岸的宽度垂以啊，除以沿着垂直河岸方向的速度记为船的全部 啊，那么就与水无关了啊。所以 d 是 错的。这道题选择 b， c。 再看第十题，有关圆周运动的基本模型，相对说法正确的是 a 选项，汽车通过拱形桥最高点时，对桥的压力大于重力，这说错了，应该是小于重力，咱们做一个受力分析啊。这个 当然我们不分析压力，我们分析支持力啊。压力呢，树立对象是桥，而我们的研究对象呢，是车做圆周运动。 所以通过对车做受力分析，指向圆心的重力，减去背离圆心的支持力，提供他所需要的向心力。 mv 平方比上 r， 这样以来，这个支持力呢，应该就等于重力减去向心力， 那显然是小于重力了啊。小于重力，支持力和压力是相互作用力，支持力多大，压力就多大，所以 a 角相等是错的。再看 b， 嗯，这两个如图所示，给了两个圆锥北悬挂于同一点，且处于同一水平面，那具有具有相同的数值高度 h， 那 则 ab 这两个小球做匀速圆周运动的周期相等。哎，咱们看一下。 嗯，那就是对于这种圆锥摆问题啊，或者说匀速圆锥问题，我们分三步走，叫定圆啊，一定圆，二定力，嗯，定力第三呢，定公式，咱们分三步定圆，那么就圆心，圆心在这， 我们主要定的是半径啊，那个半径怎么定呢？咱们说这种圆锥半径形呢，就绳长一样拿绳长表达半径，高度一样拿高度表达半径啊，那么我这就随便取一个啊，我取这个角度 c 塔，咱们研究这个三角形， 显然它们两个具有相同的 h， 所以 用 h 表达这个。呃，半径，那你看一下，已知 set 角零边算对边，那就用 tangent set， 它等于 r 比上 h， 所以 这个 r 呢，应该等于 h 乘以 tangent 啊，半径定小，定好了， r 等于 h 背的抬着特塞特。接下来呢，咱们到定力环节了，他受什么力呢？他受重力，受重力，然后受绳子拉力，这两个力的合力要指向圆心方向，提供向心力，所以我们要把它合起来啊，我们要把它合起来。 哎，那我把这两个力合起来，做一个平行四边形，那这个对角线就是合力，能发现这一次呢，这个边它和这个边平行且相等都等于 mg， 那 就是已知 c， 它的零边算对边。哎，那和刚才算半径的这个三角函数关系是一样的，所以我们确定下来的合力就是 mg 倍的 tangent seat， 让用我们所确定的合力去提供他所需要的象形理。那第三步就是定公式。定什么公式呢？他说周期相等，那就定周期，那就是 m j 倍的 tangent seat 等于。 呃，周期公式选择 m 四派方比 t 方， 咱们不选周期了，咱们动点脑子，换个思路，咱们选个 omega 方， r， r 就是 h 整数。那为什么角速度一样，周期就不一样了嘛？啊，咱们弄个周期的话，解方程给自己找到了一些负担，所以把两边的 m 抹掉，整数它可以抹掉，那么可以得到 omega。 原来它等于根号下 g， b， h 啊，确实一样，就是说这两个百，它只和这个百的高度和 g 有 关啊，它与这个绳长呀，这个半径大小啊， c， 它这些东西都没有关系啊，就是这些都约掉了，所以它两个都等于根号下 g， b， h， 确实 b 是 正确的。 呃，再看 c 同小球在光滑固定的圆锥同内 ab 这两个位置做匀速圆锥运动，则小球在 a 位置角速度不等于 b 角。那其实和刚才这个题呢，做法是类似的， 那就是这个题呢，综合性比较强，这就是一个倒放圆锥啊，倒放圆锥，我们还是定圆定力定公式，不过这一次呢，定圆的时候呢，你发现我们没有办法去确定它们半径的这个， 呃，和某一个量的等量代换关系，或者这个具体的值，我们只能分清 a 比 b 大 就可以了。接下来确定力，那我在这画 还是这样画吧。啊，这有个 a， 咱们以 a 作为研究对象，做受力分析，他手用力支持力。哎，那这两个力的合力要指向水平圆心，提供他所需要的相心力。哎，那我们把它画上，这个有点短了，嗯，补偿。 那么把这两个力呢？它合起来，嗯，做平行四边形，做平行四边形。好了， 现在我们得到了这个合理的关系，这呢就需要我们人为的引入一个量，主动的引入一个量，就是取这个锥角的一半啊，圆锥倒放圆锥锥角的一半为 c， 它，那这样以来的话，我们可以看到，哎，这个角，这个角都是 c， 它用同角的余角相等，可以去找。 所以这一次，呃，如果用 m g， m g 去表达它的合力 sit 的 话，我们发现需要用 tangent， 嗯，还是 tangent， 那 就是 tangent。 让我看一下啊， tangent sit， 它等于对边，对边 m g 比上零，比 f 和啊， m g 比上 f 和。 这样以来，你看啊，这个合力的话，它就等于 m g 除以 tangent sit 啊，这就我们定下合理定公式呢，就定 m omega 平方乘以 r， 所以 我们可以指出 omega 等于根号下什么东西呢？ g 比上 r 倍的 tan 的 c， 所以 发现了谁的这个半径大，他的角速度反而小，半径大反而小，那意思就是 omega a 小 于 omega b 啊，起码人家 c 选选，说这个是不相等，确实是正确的啊。再看 d， 火车转弯超过规定行驶速度时， 内轨和龙源之间啊，龙源，龙源就是这个侧向的这个，这个就叫龙源啊，和龙源和内轨的龙源之间有计算。这个错了，超过规定行驶速度超速了，他有离心趋势啊，火车转弯的时候，哎，咱们可以这样模拟一下。哎，这样说说，这向左转弯 他离心的话，他是向外侧离心，挤压的是外侧轨道的龙源啊，外侧轨轨道龙源，不是，内侧轨道和龙源有挤压，这个刚好说反了。所以这道题呢选择的是 bc。

哈喽，同学们好，今天呢，我们不讲难题，今天老师教大家几个初中数学做题过程中能够遇到的计算小技巧。首先老师举一个最简单的例子，老师画一个等边三角形， 只要题目中告诉我们这是一个等边三角形，哎，我们聪明的同学很快就能够知道，他的三条边全部都相等，三个角也都相等，并且每个角都是六十度。 假设题目中给出这个等边三角形的某一条边长是根号二加一，那么同学们很快就能够推断出他的另外两条边的边长也是根号二加一，这是为什么呢？因为同学们心里都清楚，等边三角形三边比例 为一比一比一。那么同学们知道其他几个特殊的三角形三边比的关系吗？而且他们比例关系又是怎么用的呢？来听老师给大家讲。首先我们来看第一个三角形，这是一个等腰直角三角形， 顶角是一个直角，而且呢，他的两条腰长全部都相等，假设他的某一条腰长为 x， 那 么自然而然呢，他的另一条腰长也是 x， 那 么他的斜边怎么算呢？ 老师的同学就会这么算， x 的 平方加上 x 的 平方等于二 x 的 平方，然后呢，给二 x 的 平方开根号，开出来等于根号二 x， 哎，他的斜边长等于根号二个 x， 这样算算一次可以两次，可以三次，四次的时候就该总结了啊，那么同学们就要记住，等腰直角三角形， 等腰直角三角形，他三边比的关系是一比一，比根号二，牢牢的记住这个比例关系 好。那么有的同学说，老师我记住了，这很简单，那么他该怎么用呢？听老师说，假设我们做题的时候遇到某一道题，他告诉我这个三角形，他的斜边长是二分之根号二， 二分之根号二是一个等腰直角三角形，它的斜边长为二分之根号二。那么老师请问你要算它的直角边该怎么算？ 老师的同学又要开始动笔了，设它的一条直角边为 x， 另一条直角边也为 x， x 的 平方加上 x 的 平方等于二分之根号二个平方，然后呢，把 x 给它解出来。那么老师要问我教你的三边比的关系是干嘛用的呀？ 我们可以直接一步二分之根号二乘上一个二分之一，这边呢也就是二分之一，另一条直角边也是二分之一，不信的同学们可以自己检验一遍，看一下二分之一的平方加上二分之一平方，然后给他开根号是不是等于二分之根号二， 他就是这么来算的。明白了，没有？根据他三边比的关系是一比一比根号二，他就是这么来算的，明白了，没有？根据他任意一边的 边长，而且呢，他的两个底角都是四十五度，这都不用说，这是我们的第一个。再看第二个含三十度角的直角三角形，对，他是一个直角三角形， 而且呢，必须有一个角的度数是三十度，这是我们的前提条件。那么他的三边比的关系是多少呢？我们用最我们知道最简单的勾股定律是三四五， 但是呢，他不符合我们这道题啊，他必须要有，要有一个角的度数是三十度。同学们记住啊，含三十度直角三角形， 他的三边比的关系短，指的是他的短直角边，比上他的长直角边，再比上他的斜边短比长比斜，他三边比的关系是一比根号三比二。 记住这个比例啊，也就是说这条边长是一，长直角边是根号三，然后呢，斜边的是二。同学们看一下，三十度的 角所对的直角边等于斜边的一半，是不是这边是一，这边是二，然后呢，我们就可以算出它的直角边是根号三。也一样啊，如果题目中给出任意的一个 数值，假设给出短边的数值为 x， 那 么很快就知道这是二 x， 这是根号三个 x， 因为它的三边比永远成比例，明白没有？这是我们的第二个。再看第三个， 顶角是一百二十度，顶角是一百二十度，一百二十度的等腰三角形，那么同学们算一下它的两个底角是多少度？ 对，根据三角形的内角和定力，那么他的三边比关系呢？是，就是同学们这样记，顶角一百二十度 等腰三角形，必须得要是等腰三角形， 腰比上腰， 再比上它的底边三边比呢，为一，比一比根号三。也就是说， 这给你某一条，它的腰长是 a 的 话，它的另一条腰长肯定也为 a， 那 么它的斜边长不能说斜边啊，它的底边长就是根号三个 a。 同学们明白了没有？ 一定记住这三个特殊的比例关系啊，能够呢，为我们的同学在这个解答题目的过程中省下一大笔时间，时间就是金钱，这是第一种类型，老师要教给大家的。 接下来哦对，我们看一下，关于这种类型，他还有一个计算小妙招， 直角三角形，口算直角三角形，比如说呢，这里有一个换个颜色，这里有一个直角三角形。 同学们都知道，考察直角三角形中，考试中它百分之九十五的概率给你的勾股数 都是不会是简简单单你背出来那些勾股数，三四、五六、八十九，四十四、十一，五十二、十三。这一类勾股数，他通常都是由一组常用的勾股数乘以一个较为复杂的数字得到的。举个例子，比如说，这里是五分之十二， 这里是五分之十六，你告诉我，你要算他的斜边，除了用勾股定力之外，还有别的办法吗？老师教给大家啊，分两步， 分两步。这里有个前提，就说如果他告诉你的斜边或者直角边是小数的话，我们一定要先给他换算成分数的形式，先给他换成分数，这样的话好做一点。步骤一提分母， 同学们来看这两个直角边，它的分母是不是都是五，都是五，五分之一乘以十二，这个呢是五分之一乘以一个十六。第二步， 找俩整数，找这两个整数 的最大公分母，最大公因子， 最大公因数。 同学们看一下十二和十六，它的最大公因数是多少？ 四，对不对？十四。所以说呢，它的这个短的直角边就等于就等于五分之四乘以三，这个直角边呢，就等于五分之四乘以四 a， 那他的斜边肯定就等于五分之四乘以五，斜边就等于五分之二十，也就等于四百分百正确，不信的同学们可以带进去给他检验一下。这个呢，也是我们的一个计算小技巧啊， 这是第一种类型的，我们再来看第二种类型，第二种类型还是与直角三角形相关， 在算直角三角形类题目的时候，尤其是现在上初二下册的同学，今年第二章学的内容就是勾股定律，我们经常会用到这一类题型，做题用方法的时候会用到一个方法，叫做等面积法， 什么意思呢？就是对于一个直角三角形呢，我们计算它的面积的方法有两两种，一种是以以它的某一条直角边为底，一种是以它的斜边为底，那么也就是说 设它的高为 h， 也就是说二分之一个 a b 是 不是就等于二分之一个 c h， 对 吧？等面积话通常会让我们算它的 h， 那 么哎，关于这个 h 呢，老师给大家 呃，总结一个公式来记啊看，二分之一个 a， b 等于二分之一个 c h， 二分之一很快可以约掉，也就是说 c h 呢？等于 ab， h 呢？我们就一步可以得到，等于 ab 除以 c， 也就是 c 分 之 ab， 写错了，这里是 h 啊， 把这个公式挪到你们的笔记小本本上。 如果是选择填空题呢？同学们可以直接用，大胆用，放心用。如果是大题的话，同学们是， 如果是大题的话，需要稍微的去写一下过程啊，证明的过程 h 就 等于当你知道一个直角三角形三边长的时候，求它的斜边上的高，直接用它的两条直角边的积除以斜边就可以得到了，这是我们讲的第二个。 那么接下来这个小技巧是教给同学们来口算一次函数的表达式的。口算一次函数表达式， 这个时候就有同学们要说了，一次函数那么难的东西，能够口算的出来说啊，可以的，我们先知道一次函数， 它的表达是 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零，对吧？假设说给你两个点的坐标， 给你两两个点坐标点， a 的 坐标是二三点， b 的 坐标是四七。求这个一次函数的解析是老师的同学又要闪亮登场， 怎么样？把这个点 a 点 b 两个数字给它带进去，然后形成一个二元一次方程，通过这个二元一次方程呢，从而把我们的 a， k 的 值和 b 的 值是不是解出来。 嗯，这个方法也对，也对，我们刚开始接触函数的时候用的就是这个方法，但是呢，在老师这里来说啊，在老师这里来说啊，一个字太怎么样了， 太慢了啊！那么老师教大家一个简单的方法，我们开的值可以怎么来算？开的值可以用横坐标减横坐标 分之纵坐标减去我们的纵坐标。拿这道题来说，什么个意思呢？就是说，看 横坐标减横坐标，我们用大的减小的，也就是四减二，是不是等于二分之纵坐标减，纵坐标七减三，是不是等于四，也就是二分之四是不是等于二？这个二刚好就是 k 的 值，同学们信不信？ 不信的同学可以自己带你去算一下哈。所以说呢，这个方程式它就啊这个一次函数解解析式，它就变成了 y 等于二 x 加上一个 b， 这个 b 就 好算了呀，把这个 y 等于二 x， 任意带入到任意坐标里面去，带入任意坐标， 任意一个坐标里面去，都能够把 b 的 值从那儿取出来， b 的 值取出来之后呢？然后呢就带入到另一个另一个坐标里面，可以去检查一下看对不对。 这个这个呢就是老师今天给大家分享的几个实用又高效的计算小技巧，如果想听的同学们可以点赞加关注，下一次老师再给大家分享，加油加油！

六、 抖币快板快中考体育半班一班一中中考加油！ 我是大七一中 初一班班主任，年少浮光，乘风破浪，愿你们全力以赴，从容并战，续写华章！初四一班加油！我是初四二班班主任！孩子们，四年汗水不会负你 把考试当成最后一次训练，稳住心态，发挥出最好的自己，加油！必胜！ 我是大庆一中初四三班班主任，绽放青春，挥洒汗水！中考体育三班加油！我是大庆一中初四四班班主任，青春无畏，逐梦扬威！愿你们旗开得胜，披考大捷，凯旋而归！四班的孩子们加油！我是大庆一中初四五班班主任， 少年义气，如梦飞翔！愿你们全力以赴，驰骋考场，不负韶华，共创辉煌！五班的孩子们加油！ 四年级的所有宝贝们能够在物理考试当中取得圆满的成绩，取得满分，一路最强，我们最棒！加油！ 我是大兴一中初四九班班主任，体育中考在即，祝我一中的学子们蓄力许久，就等今朝绽放！愿大家放平心态，从容应战，跑出风采，笑出佳绩！体育中考大捷 我是大兴一中初四十班的班主任，少年当成功，考场尽锋芒！愿你们乘风破浪，旗开得胜，共创荣光！初四十班的孩子们加油！ 我是初四十一班班主任，挥洒汗水，奔赴荣光！祝愿初四十一班中考体育全员超常发挥，旗开得胜，稳拿满分！中考加油 第一周！初四十三班中考必胜！我是初四十四班班主任，稳住心态，你比想象中更强大！大步向前，胜利就在前方！孩子们，体育中考加油！我是初四十五班的班主任让心跳和秒表同频， 用速度与力量书写热血沸腾的中考曲章。愿一中学子体考圆满，战过佳绩！加油！我是大庆一中四中部十六班的范玮，我祝愿出色的所有学子在本次的体育考试中获得优异的成绩，一切顺利！ 十八班的孩子们，少年当自强，赛场展锋芒。平日苦练，今朝亮剑，大胆去考，勇敢去拼，老师等你们凯旋归来！体育中考加油！ 我是大庆第一中学初四十九班的班主任，祝愿初四的学子在即将到来的体测中驰骋赛场展锋芒，满分加进又行囊！加油！我是初四二十班的班主任，业 绩已是圆满拼搏， 体育中考顶峰相见！我是大庆一中初四二十二班班主任，祝一中学子在体育考试中稳住心态，超常发挥，不负努力，满分而归！ 一中亮剑，尽显锋芒，中考必胜！

好的，欢迎回来，这里是正宁一中二零二六体育运动会比赛现场，马上要进行的是高二男子一百米决赛第二组， 这里给出了第一组的成绩以及第二组运动员名单，其中十四班和十班各有两名选手进入决赛，来自十一班的两位选手凭借小组赛的优异表现，强势站上了百米决赛赛道。比赛马上开始，让我们期待选手们的表现，这就位 预备好的。这一场起跑非常顺利，二十三道选手并驾齐驱，其他选手也在奋力追赶。比赛过半，选手经过主席台，二十三道选手仍处于领先 冲线，十二秒五三道选手率先冲过终点线，十二秒五二道选手紧随其后。这里给出了冲线时刻的俯拍视角，十一班的选手不负众望，将两个小组的冠军双双收入囊中。二道和四道两位选手几乎同时冲线， 成绩正在统计，让我们回看一下比赛的精彩回放。 好的，所有选手的成绩已经出现在了画面中，让我们再次恭喜十一班刘星同学获得高二男子一百米决赛的冠军。

哈喽，大家好，我是周教练，四十五天的时间让你家孩子中考体育从五十二分到八十四分，你敢相信吗？这个是三月十日第一次的一个测试表，一千米是五分五十二米是七秒二一， 篮球是十七秒五五，总分五十二分。这是最近的一次一千米考试，四分二十六秒， 比之前提升了一分二十六秒，篮球也是从之前的十七秒五五提升到了十二秒三零。最后祝所有考生取得理想成绩，加油！

hello， 同学们好，我们来看今天的题目，今天所选的这个二十五题呢，它是我们二零二五年 兰州的一道中考真题哎，也是里面的，一共是二十六道题，这是第二十五题，也就是我们的压轴题。 好，我们一起来看。先来读题说数学讨论课上，小明会指出如图一所示的图形，正方形 a， b， c， d 与正方形 b， e， f， g， 其中的 a、 b 是 大于 b e 的 点 e， g 分 别在 e， g， 分 别在 ab 和 bc 上。根据图形提出了问题，如图二所示， 将这个小的正方形绕点 b， a 他 们两个的共同的顶点旋转。旋转的角度呢？在零度到一百八十度之间。直线 a e， 这条直线与 c g 这条直线相交于点 h， 然后连接 b h， 让我们来探究这三条线段之间的关系， 还有一个是谁？ a h b h a 这三条线段之间的关系。看第一题， 小明将上述问题特殊化，如图三，当点 g 和点 h 重合的时候，让我们写出它们三者之间的关系。那么我们同学们一起来看啊，我们先把这三条线段给它找出来， a h， 也就是我们的 a j， 因为它们是重合的嘛，和 b h， 还有我们的 c h。 我 们先来观察这三条线段，老师说过，我们做题的时候不着急下手，我们先来观察，同学们来看这三条线段，乍一看好像没有关系， 但是呢， a， 我 们可以倒推推出这道题啊，我们可以看到 a j， 它是最长的这条线段对吧？ a j 的 长度呢，就等于 a e 的 长度，加上 e j 或者 e h， 我 们写成 e h 吧，因为题目上问的都与 h h 相关 哎。然后我们来看 a e 可以 转换成这三条线段里面的哪一条？ a e 好 像和 c g 又有点像，然后我们再仔细一看，是不是可以证明两全等三角形啊， 也就是说三角形 a e、 b 这个三角形和我们的三角形 h c 和我们的这个三角形。同学们看一下， 因为边相等，边相等，都是大正方形的边，这个边也相等，是小正方形的边 a， 我 们再找一个夹角，这两个夹角也刚好相等，因为旋转的性质可得，所以呢，这两三角全得之后， a e 我 们就可以把它用 c h 给它替换掉， 然后这个 e h 怎么办呢？ e h 也是这段 e h。 我 们看 这两边相等，旋转出来的三角形 b， e、 g 是 一个什么三角形啊？等腰直角三角形，这是正方形的一个直角，等腰直角三角形，三边比的关系，一比一，比根号二，也就是说我们的 e h 呢，可以等于根号二个 b h。 那这道题目就迎刃而解了， a g， 我 们给他因为 g h 点是重合的，是不是可以换成 a h？ 这道题的大致思路就是这样的，接下来我们来写一下过程， 看到这，如果有做会的同学就可以不用看了啊，直接自己上手去做就可以了 啊。首先我们来看呢，因为四边形 a b、 c， d， e， b， e， f、 g 是 不是均是正方形？因为它们两个 老师写一下吧， 所以呢，它们所对的每条边都是相等的，也就是说 ab 等于 bc， 就 等于我们的 b g。 然后我们接下来再看角 abc 是 不是就等于角 e b g 等于多少度，它是垂直的，所以呢，也等于九十度，然后等于九十度之后，关键的一个等角转化啊，我们来看，角 abc 减去角 e， b c 就 等于角 e b g 减去角 e b c， 也就是说 角 a， b e 的 度数和我们的角 c， b g 的 度数是一样大的，所以呢，我们就可以，我们把这个关系呃，证明全等三角形的条件给它罗列一下， a b 等于 c b， 我 们在这个后面呢，可以用数学答题里面的风格符号是逗号啊，一定记去，除了可用逗号给它隔一下，也可以不用隔，如果你写的比较近的话，就尽量给它折开隔开，然后呢，把它的角给它写上， 然后呢，我们的 b e 就 等于 b g， 哎，由此呢，我们可以得到三角形 a b e 就 全等于三角形 c b g 了，我们利用的是边角边来证明的。 证明之后呢，因为这个，哎，然后呢，又因为 a e 的 长，你看 a e 的 长，所以呢，证明全等三角形，主要是为了证明 a e 等于 c g， 然后呢， b e 等于什么？ b g， 然后呢，角 e b j 等于九十度，所以呢，我们就可以判定三角形 e b j 是 一个等腰直角三角形， 哎，对，判定它是等腰直角三角形呢，我们根据三边比的关系就可以确定， e j 呢，它就等于根号二个 b j， e j 等于根号二个 b j。 最后一句，所以我们写这里啊， a j， 我 们来看一下，就等于，或者我们直接写成 a h a e 的 长度加上 e h 的 长度，然后呢，我们找出来 a e 等于 c j， 也就是说等于 c h， 对 吧？我们用 c h 给它一替换， c h 加上， 嗯， e h， 我 们来看一下， e e h 又等于什么？ e h 也就等于 e j 等于根号二个 b j 也就等于根号二个 b h， 所以呢，就等于根号根号二个 b h。 好，这三个你看老师用紫色笔画出来的这三个就是我们的最终答案。 a h 等于 c h 加上根号二个 b h。 小 二问，小二问说小明借鉴小疑问中特殊化的解题策略之后，再解决图二所示的一般化问题。当 g 与 h 不 重合的时候， g h 不 重合的时候，让我们写出 a h b h 以及 c h 这三条线段之间的数量关系。那在做这道题之前，我们先回顾一下小疑问的做题方法，小疑问我们先给他证明了一个全等， 然后紧接着呢，得出了一个等腰直角三角形来解决的 等腰直角三角形来解决。那么我们看一下小二我能否使用同样的方法来解答这道问题。如果说需要一个等腰直角三角形的话，那就得角 e b h 是 一个直角，很明显这不是一个直角，那怎么办呢？我们就给它构造一个直角出来 过点 b 做 b h 垂直于做某一条线段，它垂直于 b h 即可。那我们做下来的话，如果是这样的话， 这个点呢，标一个点 m， 这里是垂直的， 哎，这样等腰，这样直角三角形就有了。那我们再根据图来看，哎，是不是好像这个 c h b 三角形 c h b 和三角形 m a b 有 点像，全等我们试着来证明一下。首先有小疑问，我们会知道这个三角形，小疑问给我们的啊， a b e。 第一问，我们证明出来的三角形 a b e 肯定是全等于三角形 c， b， g 的 啊。所以呢，第一问用到的结论。我们第二问证明题是可以用的这俩三角形全等之后， 也就是说这个角他们两个是不相等，然后呢， ab 都是正方形的一条边， ab 等于 bc 有 一个角一个边， 再能不能找到一个角？哎，对这个角和这个角，同学们看一下是不是也相等的？因为同样都是用一个直角减去了一个公共角，所以呢，我们就可以推断出 三角形 m a， b 全等于三角形 h， c， b 用的是角边角 来证明的。这两个全等之后，哎，这又有一个直角，我们照猫画，照着第一问就能够做出。第二用的是同样的一种方法啊，好，我们来看同学们自己写上解字啊， 我们来写一下过程，同样的做到，这如果听懂的同学步骤，听懂的同学就可以自己去写过程，完了来和老师的对比一下就可以了。我们把过程写的详细一点， 首先呢，过点 b 做 bm， 垂直于 bh， 交 ae 于点 p， 所以呢，我们就可以得到一个角，则角啊，于点 m 啊， m a， m b， h 是 不是就等于九十度了？对，它等于九十度之后，我们来证明政权的， 由一得 它俩三角形全等着呢，所以呢，我们就可以直接利用它的结论，角一 a， b 是 等于角 h， c， b 的。 然后呢，我们再写一下全等三角形的另外两个结论，当然，你们算了写好吧啊，呃，再写第二个 ab 等于 bc， 因为都是正方形嘛。然后下一个这个角，同学们看一下这个角的度数的过程，我们应该怎么写？ 角 a， b， c 减去角 m， m， b， h 就 等于另一个九十度的角。哦，一个是减去 m， b， c 就等于角 m， b， h 减去一个角，同样一个角 m， b， c a， 它们两个既然是相等的话，那也就是说角 a， b， m 等于角 c， b， h。 好， 由此我们可以列全等三角形的三个条件， e， a， b。 所以呢，三角形谁也全等于谁也 m， a， b 就 全等于三角形 h c， b。 然后嘞，用的是角边角来证明的角边角证，证明这个三角形 全等之后，那两三角形全等了。我们主要是为了说明什么， b， m 等于 b h 对 不对？所以呢，嗯，三角形 m， b， h 是 一个 等腰直角三角形，同学们先详细啊，它是一个等腰直角三角形，之后我们就会知道 m h 等于谁呀？根号二个 b h， 我 们就可以用 等腰直角三角形三边比关系给它替换掉。而然后题目上我们回归到题目， a， h 等于什么？我们可以看到题目上所求的 a h， 它等于就是这条线段 a m 再加上个 m h， a m 和谁想的和 c h 想的，再加上 m h 等于根号二个 b h a， 这不就出来了吗？它们三边比的关系就是 a h 等于 c h， 加上根号二个 b h。 好， 我们来看第三题。小明将图二所示 图中的旋转角阿尔法的范围再度扩大，我们之前是零度到一百八十度，那他现在旋转到了一百八十度到三百六十度之间，直线 a e 与 c g 相交于点 h。 这道题给我们出的第一个难题就是他没有把图直接的呈现给我们，所以呢，需要我们去做图。那么怎么做呢？ 做图形的时候，认准它的一条线段去旋转，那么这个整个图形也就跟着旋转了相应的度数。比如说这道题里面，我们就用 b e 去旋转， 当我们把 b e 旋转到一百八十度到三百六十度之间的时候，那么整个正方形 b e、 f g 也就旋转了一百八十度，相应的对数，相应的度数。好，我们来看 b e， 你看 b e， 如果旋转到这的时候，是不是旋转了九十度，旋转到这的时候也就是一百八十度。哎，那我们也可以他在一百八十到三百六十度之间，所以呢，我们从这里开始， 到这里结束，在中间的这个范围区间内去 b e 都是可以的啊，都是可以的。我们假设吧， b e 旋转到这了，这个点标为一个 e 点，我们就要相应的画出它的其他的三条边即可， 有点像个梯形， 有点像长方形，等一下啊， 还是有点不，不是很标准啊，我们能够在这把这个题做出来就行，就假设旋转到这了吧。 f g， 然后呢，直线 a e 与 c g 相交于点 h， 我 们连接 a e， 连接 c g 相交的这个点，我们标一个点 h， 然后呢，让我们来连接 b h， b h 这条线，对，然后呢直接写出 a e， 我 们先把这三条线再给它找出来 a h 和我们的 bh， 还有我们的 c h 这三条线段之间的关系。哎，熟悉的感觉又来了，是不是和前两道题的做法是一模一样的？前两道题的做法是政权等， 找出等腰直角三角形，然后呢，我们换线段得到的三条线段之间的关系。那么我们在这里同样的方法，先做一个等腰直角三角形出来，等腰做不出来，我们先做一个直角三角形出来，过点 b 做， 嗯，标一个点，标个点 p 吧，点 p 垂直于这个 bh， 你 看，直角就有了，直角有了，我们来找全等，这个做的不是很标准啊， 这样的，我们来正全找找全等。 首先呢，我们可以像第一问一样，和第一问一模一样的做法，通过边角边证明三角形 b a， e 全等于三角形 b a e 全等于三角形 b c g。 哎，用什么来证明的呢？边角边，为什么？因为两个都是正方形，你看，我是用绿色的线头来画，你看，这里是一条边，这里是一条边，这个呢，是一个边，它是一个正方形。然后嘞，这个呢，也是一个边，它是一个正方形。 然后再找到他们的夹角相等边角边，他们的夹角是怎么相等的？因为都是旋转得到的，这是一个公共角，都是九十度加上一个公共角得到的。所以说呢，这两个三角形全等了。这道题过程老师简单写，同学们自己去写。 证明全等之后的目的是为了什么呢？找出这一对相等角，为我们证明下一等全等三角形来做 做准备。我们来看下一个拳头三角形的证明方法。首先呢，老师这里写到的 b c h 角 b c h 就 等于角，这个 b c p 也可以啊，他指的是同一个角，就等于角 b a h 或者 h a b， 这是由这个全等我们得到的。接下来呢，有一条 共同的线段， 同学们能不能看得出来老师在正哪两个三角形全等，我说蓝色的，给大家标注出来一下，老师在正这两个三角形全等 看出来没有？正这两个三角形全等，这两个三角形全等之后，我们可以换线段嘛， 然后最后一个一对角是这个角等于这个角，和前面的方法都是一样的啊，同学们把过程一定要写详细， abh 就 等于 cbd 好， 由此呢，我们就可以得到 三角形 h， a b 全等于三角形 b c h。 通过呢，是角边角来证明的。角边角证明了之后呢，我们就知道 b h 等于 bp h 等于 b p， 且它们的夹角等于九十度。所以说呢，三角形 b p h 将会是一个等腰直角三角形， 它是等腰直角三角形之后，我们就可以算出 p h 就 等于什么根号二个 b h 嘛，三边比例的关系。所以说，我们来回到原题上，它求的是 a h， 我 们三条黄色的线段之间的数量关系。那我们来看， c h 是不是就等于 c p 的 值，加上 p h 的 值就等于 c p 就 等于我们的 a h， 再加上 p h， 看，这等于根号二个 b h。 所以呢，最后的结论就是 c h 的 值等于 a h， 加上根号二个 b h 的 值。好，我们回顾一下这道题啊，这道题看似问了三问，其实三问都用的是同样的一种方法证明两个全等啊，政权等， 第一步都是政权等，两个权，政权等，然后呢，构造一个等腰直角三角形， 然后呢，最后一步就是换线段， 从而得到的。这道题好搞定，同学们加油！

hello， 同学们好，我们来看今天的题目。今天这道题呢，老师选自二零二四年兰州中考的倒数第二题 哎，也算是压轴题的其中一道。我们来读题说，在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题。如图，在三角形 a、 b、 c 中点 m、 n， 分 别为 a、 b、 a、 c 上的动点不含端点，且 a m， a n 等于 b m。 也就是说，总题目上给的这个条件，是我们后面做题的每一道题都能够用到的已知条件。 答案第一想问说，如图一，当三角形 a、 b、 c 为等边三角形的时候，此时呢，我们就要想起来一些关于等边三角形的性质。小严发现，将 m a 绕点 m， 逆时针旋转一百二十度，得到 md。 我 们来看图， m a 是 这条线段，绕点 m， 逆时针旋转一百二十度，得到 md， 对，这条线呢，是我们的 md。 然后呢，它是这样逆时针旋转了一百二十度， 连接 b、 d， 把 b、 d 给它连接起来，则 m、 n 是 等于 d b 的， 请思考并证明。哎，那就是让我们证明，那我们把 呃原题里面总题目里面的这个条线也给它标注出来， a n 等于 b m， 也就是说这条边 等于这条边的好。做到这之后呢，同学们会发现，原题目录里有一个条件我们还没有用上，就是这个等边三角形。我们知道等边三角形，三条边都相等，三个角都相等，每个角都是多少多 六十度，那我们观察就会发现， ab， 它是一条直线啊。那么角 a、 m、 d 等于一百二十度的时候，那同学们告诉我这个角是多少度呢？是不是也是六十度？哎，那这就一目了然了， 我们可以证明三角形 m a n 全等于三角形 d b m 对 不对？利用边角边，粉边对粉边相等，紫色的角和紫色的角相等，绿边对绿边相等，对不对？ 好，那么接下来呢，我们来写一下过程。 第一道题，它是证明题，我们就写正。 首先第一步应该写什么呢？哎，因为三角形 abc 为等边三角形， 所以呢，角 a 等于多少度？六十度。然后呢，因为 m a 是， 它是绕着这个点 m 逆时针 旋转一百二十度得到的， 得到的是 m d， 所以呢，我们就会知道 dm 是 等于 am 的， 就可以推出这条线段的，而且呢，角 amd 等于一百二十度。 同学们注意啊，数学里面的风格符号是逗号啊，所以呢，我们会知道角 dm 等于多少度？六十度？角 dm 啊，这是 dm b 啊， b 呢，它又等于角 a 了，这个角相等了。然后呢，又因为题目上说的 a n 是 等于 b m 的， 所以呢，我们就可以判定三角形 a n m 全等于三角形 m b d。 用的是哪种方法呢？边角边的这种方法，所以呢，我们就可以得出结论， m n 是 要等于 d b 的。 第一问搞定。接着来看第二小问，小梁尝试改变三角形的形状后，进一步探究。如图二， 在三角形 a b c 中得到 a b 等于 a c， 然后呢，它的夹角等于九十度，也就是这个角等于九十度。那么我们就会得知三角形 abc， 它是一个等腰直角三角形对不对？ a e 垂直 a n， 哎，我们知道这两条线段，三角形内的这两条线段，它是相互垂直的，延长 a e 与 b、 c 相交于点 f m a 绕点 m， 哎，逆时针呢，又刚好旋转了九十度得到的 md。 那 么我们也会知道三角形 m a、 d 也会是一个等腰直角三角形。 等腰直角三角形连接 d a 和 d b 是 猜想四边形 a、 f、 b、 d 的 形状，老师猜它是一个四边平行四边形，那么接下来我们就要去证明它为什么是一个平行四边形。首先同学们会想到这是一个等腰 等腰三角形，等腰直角三角形。那么我们知道等腰直角三角形，它的两条腰等边对等角，两个角都是多少度？四十五度。然后呢，三角形 m、 a、 d， 它的底角会不会也是四十五度？对内错角相等，两直线平行，我们就证明了 a、 d 它是平行于 b、 f 的， 那么我们知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形，那么还要去证明 d、 b 和 a、 f 也是平行的。我们看一下该怎么来证明呢？ a、 f 和 b 这个 b、 d 相关的，我们会观察到它有两个三角形，这个三角形和这个三角形， 哎，我们知道这两三角形它都是直角三角形，直角三角形。然后呢，这条边和这条边是相等的，我们能不能再找出一个条件证明这两个三角形全等？对，原题目总题目上说了 a n 等于 b m 啊， 也就是说这条边呢，等于这条边，我们可以利用边角边去证明这两个三角形全等，目的是为了什么呢？目的是为了推出全等三角形，它的这个锐角是相等的，最小的这个锐角相等的 全等三角形对应角相等，为什么要证明这个锐角相等？目的是为了推出。你看，我们要证明 d b 平行于 a f， 是不是要去证明这两个角相等？因为我们要，因为只有这两个角是内错角嘛，去证明这两个角相等。在这个三角形里面，这两三角形全等了，哎，然后呢，这是一个直角， 我们先用三角形 a， b， m 啊， d b， m 和三角形 a， m， n 全等证明出来，这个最小的锐角是相等的，也就是这个角 r 等于这个角 r， 然后呢，又给它放到 r t 三角形 a m， e 当中去看， r t 三 a m e， 这是一个直角，然后这个角也是阿尔法，那它所剩余的这个角贝塔是不是也等于这个角角贝塔了？那么我们会观察到内错角相等，两直线平行。 所以呢，这道题最后的做法，利用的判定，判定是两组对边分别平行的四边形是平行四边形。好，接下来我们来写一下过程啊， 写下过程说，嗯，首先呢，是因为 a b 等于 a c， 所以呢，角 b， a， c 等于九十度，这些呢，都是题目中告诉我们的。所以呢，我们可以推出角 a， b， c 等于四十五度， abc 等于四十五度。因为 m a 绕点 m 逆时针 旋转九十度得到 和上一题一样的得到 md， 所以呢，我们根据它旋转的性质就可以知道 m a 是 等于 md 的。 所以呢，我们也会知道中间的这个角 d m b 也就等于角 d m a 等于九十度。然后呢，我们就会知道角 m a， d 等于角 a， b， f 等于四十五度，因为他们同样都是两个直角三角形的底角，所以呢，我们就会推出直线 a， d 是 平行于 b、 f 的。 那么接下来要证三角形全等，就说在三角形 a， n， m 和这个三角形 m、 b， d 中 写出它的三个条件很简单， m， a 等于 dm， 然后呢，这两个角都是直角。角 m， a， n 等于角 d， m， b， 然后来， a， n 等于 m b， 从而呢，推出这两个三角形全等。老师简单写了啊，这两三角形全等之后，所以呢，角 a， m， n 就 等于角 m， d， b， 哎，这两个小锐角相等。然后呢，又因为 a， e， 它是垂直于 m， n 的， 所以呢，角 a， m， n 加上角 m， a， e， 同学们看一下，是不是等于九十度啊？ 等于九十度。然后嘞，又因为角 m、 d， b， 再加上角 m， b， d 等于九十度。 所以呢，我们可以推出角大的那个锐角，它是相等的。 d， b， m 等于角 m， a， f 这两个角相等。所以呢，我们就可以推出 d， b， 它是平行于 a、 f 的。 所以呢，四边形 题目中它所问的四边形 a、 f， b， d 为一个平行四边形， 原因是什么？依据就是两组对边分别平行的四边形是平行四边形。这就是我们的第二问。 好，我们接着来看这道题目的第三小问。宋老师提出新的探求方向，如图三所示， 在三角形 a， b， c 中， ab 等于 a， c 等于四角 b， a， c 等于九十度。那我们就知道这个三角形它依然是一个等腰直角。三角形加角等于九十度，连接 b， n 和 c m， 请直接写出 b， n， 再加上 cm 的 最小值。 那么这道题呢，老师用两种方法为大家讲解。首先第一种方法，同学们先观察这道题目，总题是目上，他还给了我们一个条件的 看，总题目上他说 a n 还等于 b m 呢，也就是说这条线段 它它是永远等于这条线段的。 同学们会不会想起一点，什么 线段等长，但方向相反，并且像这种分别在两条相交线段上运动，这两条线段另一端点连接的，求它的和的最小值。我们管这一类问题叫什么逆等线模型， 逆等线模型意思就是说呢，再重复一遍啊，有两条等长等长，就是我们这道题目里面给到的 b m 和 a n， 但是呢，方向是相反的， 方向是相反的，分别在两条相交线上运动，你看 am 和 an 是 不是就在 ab 和 ac 这两条相交线上运动？然后呢，求它的另外两个端点连接处连接起来的线段的最小值，的和和的最小值， 对吧？那么遇到这一类问题，我们通常是怎么来解答的呢？首先就是构造这个平行四边形，构造一个平行四边形，目的呢，是为了转换线段， 把里面的 b n 或者 c m 的 其中一条给它转换成别的线段更好算的线段。哎，这其中呢，我们可能会用到全等三角形，可能会用到直角三角形，它的解体方法。那么我们具体来看这道题我们应该怎么做？ 首先构造一个全等三角形，我们过 老师就边讲边把这道题的过程写出来了啊，过点 a 做 a g， 平行于 b c i， 我 们要勾到全等三角形，呃，那个平行四边形了吗？ 然后呢，把 b g 给它连接起来，这里标一个点 g， 而且它还要，既然是平行四边形，除了平行之外还要相等，且 a g 呢， 一定是要等于 c b 的， 然后呢，连接我们的 g b 连接起来了，我们的 g b， 好，这个平行四边形我们就做好了， 光有平行四边形还不够，通常它还会有全等三角形存在，那么我看一下这道题里面的全等三角形不存在，我们找不出来一组全，一组这个全等的三角形，那就继续在想着做辅助线连接 g m 连接 g b g m， 此时呢，就有了全等三角形了，同学们看一下， 我们一步一步去证明，因为 ab 等于 ac， 它是一个等腰三角形，然后加腰等于九十度，那么我们知道它的底角是多少度， 这这都是四十五度，对不对？然后它的边是四，它的边是四，我们可以很容易的算出 bc 的 边是四倍的根号二。然后呢，又因为 ag， 它是平行于 bc 的， 那也就是这个角是不是等于这个角也等于四十五度？ 你看老师用粉色笔画出来的这三个角，它之间都是相等的，对吧？然后呢，根据题目我们还会知道 b a b 等于 a n， 也就是说 a m 是 不是就等于 c n， 我们做出来的 a g， 它也等于我们的 bc， 对 吧？我们就可以利用边角边来证明这两个三角形全等。同学们看来了没有， 在这个这个三角形里面也是一样的，这这个边，这个角，然后呢， bc 这个边边角边。好，接下来跟着老师来写一下过程， 因为 ab 等于 ac 等于四，这是题上告诉我们的，我们先给它罗列出来， 所以呢，它的底角两个底角角 abc 就 等于角， abc 就 等于四十五度，我们还能够很轻而易举的算出 bc 的 长度是四倍的根号二。 然后呢，因为我们做出来 a g， 它是平行于 bc 的， 所以呢，内错角相等，角 g a b c 就 等于角 abc， 当然了，它也还等于角，这个 abc 啊，我们不写运道没用。然后呢，又因为 a n 等于 b m， a b 等于 a c， 所以呢， a b 减去一个 b m 是 不是就等于 a c 减去一个 a n， 即 我们要求的 a m 就 等于 c n。 然后呢，又因为 a g 是 等于 b c 的， 所以呢，我们这两个动角三角形它就全等了，三角形 g a m 就 全等于三角形 b c n， 而且呢，我们用的是边角边来证明的。所以呢， g m 是 不是就等于 b n 了？看 g m 的 长度就等于 b n 的 长度。那么这道题里面，它求 b n 加 c m 的 最小值 啊，换一个颜色写在这啊，它求的是 b n 加 cm 的 最小值，其实我们也可以给它转化为 g m 再加上 cm 的 最小值。那么同学们来看， g m 加上 cm 的 最小值，肯定是两点之间，什么最短？线段最短，所以呢，我们连接 g c， 哎，这再补一个， 连接 g c 连接 g c， 其实这上我们就是要求 g c 的 长度，同学们可以这么写， 所以呢， b n 再加 cm 就 等于 g m 再加 cm， 它的值肯定是大于等于 g c 的， 对不对？所以说呢，当 g m c 三点共线的时候，这一点很关键啊，老师按步骤给法，就在找这一步三点共线的时候， b n 再加上 c m 的 值是最小的， 它的最小值是多少？ c g 的 长度。 那么我们接下来就转化为算 c g 这个长度的值了，那么看一下，要算 c g， 我 们知道平行四边形的两条边长 算 c g 好 像不太好算，不太好算呢，我们就给它构造特殊的三角形，构造一个直角三角形出来， 这个作图要怎么写呢？我们接着在前面作图，这写啊，过 g 做这个 g o 垂直于 c b， 然后呢，交 c b 的 延长线， 我们要把 c b 给它延长一下于点 o， 它其实就是这样的。 这里，那么你看，我们是不是构造了一个 r t 三角形，对吧？ 构造一个 r t 三角形，只要我们算出这个 o 的 长度和 o c 的 长度，即可算出 g c 的 长度。那么同学们来看 bc 的 长度，我们已经知道了，要是用紫色的笔来写啊，我们知道这还等于四十五度，这， 嗯，这里等于多少度？ 两直线平行内错角相等，对不对？因为我们刚刚证明上面是一个平行四边形，这里也等于九十度，那么同时可以说明这也是一个四十五度，对不对？ 这里就是这个角，也是一个四十五度。然后呢，这是直角，所以呢，我们知道 g 三角形， g o b， 它是一个等腰直角三角形， 等腰直角三角形呢？然后呢， a c 的 值又等于 g b 的 长是等于四，所以呢，我们很容易可以算出 g o 和 o b 的 值， g o 和 o b 的 值算出来之后呢，这道题也就迎刃而解了。好，同学们跟着我一起来写一下过程啊。 嗯，我们来写，因为 a g 是 等于这个 c b 的， 等于 c b， 所以呢，我们先证明这个四边形，它是平行四边形， a g b c 是。 哎呀，老师就简单写了啊，是平行四边形，依据是什么？一组对边平行且相等的四边形，是平行四边形。然后呢， a、 c 是 这样的话， a、 c 就 平行于 b、 g 了， 平行于 b、 g 之后，我们可以知道这两个角都是九十度， a b、 g 就 等于角， b a、 c 就 等于九十度，我们可以算出角 g， b、 o 也等于四十五度。所以呢，三角形 o b、 o、 g 是 一个等腰直角三角形， 它是一个等腰直角三角形。然后呢，又因为 b g 的 长度就等于 a c 的 长度等于四， o g 的 长度呢，等于 o b 的 长度等于二分之根号二个 b g 是 不是就等于二倍的根号二？ 它等于二倍的根号二。之后呢，同学们来看， o c 等于多少？二倍的根号二，再加上四倍的根号二，是不是等于六倍的根号二？然后嘞， o、 o、 g 呢，就等于 二倍的根号二。上面我们已经写过了，所以呢，在 r t 三角形 g、 o、 c 中，我们来算， g、 c 的 长度就等于根号下 二倍根号二的平方，再加上六倍根号二的平方，我们可以算出来，它就等于四倍的根号五。好，这就是我们的第一种方法， 那么我们一起来看第二种方法。第二种方法老师用到的是设未知数法， 当然有这个还不够，我们还要用到坐标系， 还要用到将军印嘛。 好，那我们具体来看这道题该怎么做？我们呢，设 b m 为 x， b m x b m 是 等于 an 的， 那么 an 呢，也是 x， 则 a m 等于多少？它就剩下四减 x， 它还等于 n c 的 长度，对不对？ x x 四减 x， 四减 x。 然后呢，我们知道这是一个直角，这是一个直角，我们看一下在 r t 三角形 a， b， n 中， b n 应该怎么求？题上不是说要求 b n 的 最小值吗？ b n 加 c m 的 最小值，那我们要并表示出来 b n 用勾股定律来求，是不是就等于 x 的 平方，加上 a， b 等于 a， b 等于四，加上十六？同理，在 r t 三角形 a m， c 中， c m 就 等于 同样的，我们用勾股定律来表示， a c 依然等于十六，再加上一个， 加上一个四减 x 的 平方，对不对啊？这个边的平方加上这个边的平方，然后他开平方。那么此时有聪明的同学就会观察之后发现 b n 和 c m 这两个式子， 你们观察一下会发现什么？ 它是不是很像某个点到某个点的坐标，我们换一个坐标系在这。 当然这个不用写入过程啊，老师给同学们演示一下，好像是动轴 x 轴上有一点 p， 任意的一个点 b， n 呢？就好像是点 p 到谁的距离 点 p， 我 们给他设一个，嗯，设一个什么 x 零吧，他的坐标是 x 零到这个点，我们假设这是一点一点是零四 零四。同学们看一下，点 p 到点 e 的 坐标，点 p 到点 e 的 距离距离公式是不是这个 x 二 减去 x 一 的平方距离两点间距离坐标公式是 d 等于根号下 x 二减 x 一 的平方，加上 y 二减 y 一 的平方，我们用 x 减去，也就是等于根号下把这个两个点给它带进去， x 减零还是 x 的 平方，再加上 y 二减 y 一 零减四的平方？负四的平方是不是等于 y 加十六，对吧？同理，你看这个 c m c m 这个式子是不是像好像有一点是四四，这个点我们标一个点 f 四四，点 p 到四四的距离，我们再来套一下根号下 x， 我们用点 f 的 坐标减去点 p 的 坐标四减 x， 四减 x 平方加上四减零的平方十六，是不是刚好符合？把它放到坐标系里面去看之后呢，它就是相当于 x 轴上某一个动点点 p x 零到点 e 零四和到点 f 四四的距离的和。而这个时候呢，我们就可以用将军印码类问题来给它解决掉。求 p e 加 p f 的 最小值，我们做点 e 的 对称点 e 撇， 也就是说求的是 e 撇 f 的 最小值，对不对？那么 e 撇 f 等于什么？ 再构建一个直角三角形连接 e f， 我 们知道这等于四，这等于四，所以呢，它们联合起来这段距离是等于八，这段距离是等于四，哎，很轻而易举的就能够求出，它就等于根号下八的平方加上四的平方， 根号下八十，也就等于我们的四倍根号五。用我们第一种方法算出来，答案是一模一样的。 那么我们来写一下过程，过程该怎么写呢？写到这儿之后同学们来看， 所以呢， b n 再加上 c m 就 等于根号下 x 平方加上十六，加上根号下十六，加上括号四减 x 的 平方， 然后嘞，该式表示， 该式表示 x 轴上， 嗯，动点 p x 零到我们的 e 点零四， f 点四四二十八，多余的东西就擦掉， 这个我就不擦了，因为一擦的话，原来里面这的这个图就出来了，这个是给同学们的演示图啊，同学们可以看一下就行，不用写到我们的过程中去，这个是放在草稿本上的东西，四四的什么距离之和， 求的是这个的距离之后，那么我们做一嗯撇零负四，关于 e 对 称， 关于 x 轴的对称点，关于 x 轴对称，哎，这句话说的不太合适，我们做点 e 这样写啊， 点 e e e 点是零四，关于 x 轴的对称点，哎，这下就合适了，对称点一撇谁呢？零负四，则我们就会知道 p e 加 p f 的 最小值 是是什么？ p p e 撇，再加上个 p f， 也就是你说 g， 现在我们求的是 e 撇 f 的 值，那么我们的 e 撇 f 呢？它就等于根号下 四减减零的平方，加上括号四四减去负四的平方 哦，也可以不用勾股定老师，直接用两点之间的两点间的距离之和就可以算出来啊， 等于根号下的十六，加上六十四，就等于四倍的根号五搞定。同学们加油啊，加油！

哈喽，大家好，告诉大家一个好消息，我们庆阳市奔跑吧少年二零二六届尤尼克斯未来之志金世嘉体育杯青少年单项赛现在已经全面开启报名了，现在由我给大家介绍一下我们此次比赛的内容。 本次比赛由庆阳市全民健身中心指导，庆阳市雨鞋主办，专门设专门针对我们青少年设立男女单打两个项目，分六个组别，八到十八岁的小朋友都可以参加。 我们的比赛时间是二零二六年六月二十号到二十一号，地点在庆阳市棋皇大道体育馆，不管是学校、俱乐部还是个人，我们都可以直接参加报名，本次报名费只要一百元，而且还送纪念品。 这次的奖品全是尤尼克斯专业的羽毛球装备，我们的冠军可以获得一只八百元的羽毛球拍。其他的奖项设置也超级丰厚，热爱羽毛球的少年们快来赛场展现自己，突破自我，我在比赛现场等你们！

一级学员来报，一级学员来报，是全体运动 员。