用a4纸怎么裁剪八个平行四边形

裁对纸样等于成功一半，一分钟教会你怎么用纸样裁剪，再也不怕裁错浪费布料。拿出布料，首先找到布边，有些是毛边这样的，有些是针孔。 拿出纸样，每一块上面都有箭头，箭头和布边平行裁剪，这个符号就是需要将布料对折裁剪， 新手最容易翻撤的就是前片和袖子裁剪前片需要裁剪两块，左前片和右前片只要正面向上裁剪一块，然后把纸样翻面再裁剪一块， 或者直接把不了对着后裁剪一次就洗，这样猜出来方向才对。袖子也是一样的方法，学会了吗？

咱们来看看第二十一章关于四边形的内容。现实世界中有很多物体都有四边形的形象，例如宏伟的建筑，一望无际的农田，开关，自如的伸缩门，别具一格的窗铃。 在小学我们知道什么是四边形，还学过长方形、正方形、平行四边形和梯形一些特殊的四边形的有关知识。 本章咱们接着学习四边形，特别是一些特殊的四边形，像平行四边形、矩形、菱形、正方形。咱们这几个图形很多知识咱们都已经了解了，那咱们本章就是在了解它们概念的基础上， 利用已有的几何知识去探索证明它的性质和判定方法，体会研究图形性质的一般思路和方法， 即通过观察、实验、类比、推广特殊化等图形方法，对构成图形的边角等元素的数量关系和位置型讨论，利用几何直观发现图形的性质，通过逻辑推理证明他们。 我们今天来学第二十章的第一节。四边形与多边形和三角形一样，四边形也是一种基本的几何性质，咱们本章就类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并且把它们推广到多边形。 首先咱们来看第一块内容，叫四边形及其内角和和三角形类似，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形，组成四边形的各条线段叫做四边形的边。这些都跟三角形一样啊， 每相连两条线段的公共端点叫做四边形的顶点。那咱们这个四边形，咱们就说 a、 b、 c、 d 是 顶点边呢？是 ab 这条边， bc 这条边， cd 这条边， da 这条边，都可以这样来表示。记住这句话很重要，四边形用表示它们的各个顶点的字母表示， 例如这个四边形可以按照顶点的顺序记作四边形 a、 b、 c、 d， 你可以顺时针说，也可以逆时针说，这都无所谓，但是一定记得按顺序啊，你可以说 a、 b、 c、 d， 也可以说 b、 c、 d、 a， 甚至还可以说四边形 c、 d， a、 b， 你 倒着说也行，四边形 a、 d、 c、 b 都可以，只要按顺序就行啊。看这幅图，画出四边形 a、 b、 c、 d 的 任何一条边，例如 c、 d 所在的直线， 画一条直线啊，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样四边形我们管它叫做凸四边形，而这个图呢，就不是凸四边形。因为我们沿出一条直线之后啊，向我延长 cd， 发现有一部分在 cd 的 一侧，有一部分在另一侧，我们就不管它叫做凸四边形。 在今后呢，如果没有特殊说明，咱们所说的四边形都是这种凸四边形。也就是说，在一条线段上，我延长一条直线， 这个四边形其余部分都在一侧，不在另一侧啊，这是一个凸四边形的定义。连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫做四边形的对角线。记住，什么叫不相邻呢？ a 和 b， 他 俩是相邻的，因为他俩挨着， 但是 a 和 c， 它就不是相邻的，因为它俩隔着一个 b， 或者隔着一个 d， 这个叫不相邻。连接四边形不相邻的两个顶点的线段，我们管它叫做四边形的对角线。而我们在这幅图中啊，给我们画了两条对角线，一个是 a、 c， 一个是 b、 d， 他们分别将四边形 a、 b、 c、 d 分 成两个三角形。我们看啊，如果说 a、 c 的 话，以 a、 c 来分，分成的就是这个三角形和这个三角形 b、 d 来分呢，就是分成上面这个 a、 b、 d 这个三角形和 b、 c、 d 这个三角形啊。 这个是对角线，与三角形类似。四边形相邻两边所组成的角，叫做四边形的内角，简称四边形的角。也就是说，咱们在这随便画一个四边形 相邻两边，像这条边和这条边，这两条边叫相邻所组成的角，就是这个角，管它叫做内角啊。 还是再画一个四边形角的一边与另一边的延长线，注意，这个时候不是另一边是延长线，像我这一个边的延长线是我这样延长的，和这条边四边形的延长线，管它叫做四边形的外角啊。 像我们这里说了，请在图中二十一点一杠一之中画出四边形 a、 b、 c、 d 顶点 a、 c 处的外角，也就是说这个图我们来画一下，要求画 a 点和 c 点的外角，它们这里已经画出来了，就是像 ab 这个是 四边形的一条线段，和四边形也是过 a 点这个 a、 d 的 延长线所组成的这个角就管它叫做外角了，或者说这个角也叫外角，它在四边形的外面嘛。 好，接下来我们回顾一下之前学的知识。三角形的内角和是一百八十度，长方形的内角和是三百六十度。那么任意一个四边形的内角和是多少度啊？ 它和长方形的内角和一样吗？可不可以证明你的结论？咱们在这里看一下思路啊，四边形的一条对角线，将这个四边形分成两个三角形，所以说四边形的问题可以利用三角形的相关知识加以解决， 咱们就按上面的思路来解决这个问题啊，这个思路非常重要。外一条对角线将这个四边形分为两个三角形，这样的话，我们就将三角形和四边形的知识连接起来了， 咱们来看一下这个图啊，在四边形 a、 b、 c、 d 之中，这是一个四边形 a、 b、 c、 d 呢，被分成了两个三角形，分别是 a、 b、 c 和 a、 c、 d。 这两个三角形 在三角形 a、 b、 c 之中啊，由三角形内角和定里得到这样的关系啊，角一加角 b 加角三，等于一百八十度啊，也就是说 这个所对接的就是在三角形 a、 b、 c 之中啊， abc 的 三个内角之合是一百八十度。同理啊，我们还可以在三角形 a、 d、 c 之中，因为对角线把四边形分成两个三角形嘛， a、 d、 c 之中，角二角、四角 d 也是一百八十度。 因为我们要求四边形 a、 b、 c、 d 的 内角和四边形的四个内角分别是角 d、 b、 a， 也就是说这个角，角 b 这个角，角 b、 c、 d 这个角以及角 d 这个角， 然后分别加一下就行了。角 d、 a、 b 我 们可以写成角一加角二角 b 呢，就直接写了， b、 c、 d 呢等于角三加角四角 d 呢，也可以直接写。然后呢，我们将这几个利用加法交换率凑一凑，角一角 b， 角三刚好能凑出三角形 abc 一个一百八， 剩下的角二角、四角 d 又可以凑出一个三角形，也就是三角形 a、 d、 c。 然后呢，两个一百八相加等于三百六十度，那么我们就可以证明了，四边形的角和等于三百六十度，这句话一定要记好。 说完了内角和，那么我们来看看外角，在这幅图中啊，四边形每个顶点处都取一个外角，这些外角的和叫做四边形的外角和，那四边形的外角和等于多少呢？咱们看一看分析啊， 因为四边形的每一个内角与和他相邻的外角都叫做邻补角，所以说四边形的外角与四边形的内角的总和点是四乘一百八十度。因为我们看啊， 这个角是外角和他的邻补角，这是一个一百八十度，这个是两个一百八十度， 这个是三个一百八十度，这个是四个一百八十度。我们只要算出四个一百八十度，再把所有的内角，也就说这个角，这个角，这个角、这个角，我们把这四个内角减去，不就剩下的就是外角和吗？ 好，咱们来看啊，像这幅图中说了，因为角 d、 a、 b， 也就是说这个角和角一是邻补角，所以说角 d、 a、 b 加上角一等于一百八十度。同理，我们也可以说角 abc， 加角二角 b， c、 d， 加角三角 c， d， a， 加角四等于一百八十度。 然后呢，我们就来表示一下吧，所以说这几个角，我就把外角和它的邻补角全加一块等于这个。 其中呢，我把这个 d， a、 b， a、 b， c， b， c， d， c， d， a 全都抠出来， 这几个是什么呀？这几个角就是四边形的内角和，我们刚求了四边形内角和等于三百六十度，等于三百六十，他们的总和是四个一百八，也就是七百二十度，七百二十度减去三百六十度，就等于三百六十度，这样我们就得到了它的外角和 四边形的外角和是三百六十度。我们在研究三角形的时候，除了研究三角形的内角和三角形的外角，我们还研究发现了三角形具有稳定性， 这是我们在学习全等三角形时明白的道理。那么四边形是否也具有稳定性呢？我们来看看这幅图啊， 在每个角上都定一枚钉子，将四根木条定成一个四边形的木架，扭动它，它的形状会改变吗？ 自然的，它会改变，同学们可以课后试一试啊。在这幅图中啊，在四边形木架上再定一个木条，把它的一对不相邻的顶点连接起来，然后扭动它，这时候木架的形状还会发生改变吗？其实是不会的啊， 因为此时我们对角线将一个四边形分成了两个三角形，四边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性啊。所以说我们看这里的分析啊， 四边形木架的形状会改变，因为四边形四条边确定之后，四个角并没有确定，说明四边形具有不稳定性。为什么这么说呢？因为我们只说四个角的内角和一定得是一百八十度， 因为我们说四个角的内角和一定是三百六十度，但是每个角都可以变，因为我们看啊，如果长度一定的情况下，我将四边形这个样子， 他也行，内角和也是三百六十度，没有问题啊。再定一个木条，四边形的木架变成了三角形木架，三角形具有稳定性，这是四边形木架的形状就不会改变。为什么？三角形如果定了三条边了， 三条边横定了，那他将再组不出任何一个三角形了，他只能组出这一种三角形。 怎么考虑呢？因为三角形，咱们就说证明三角形全等的时候，满足边边边了，两个三角形就全等了啊。所以说这是三角形具有稳定性的深层含义啊。 在日常生活中啊，有时需要利用四边形的不稳定性，例如像我们学校门口的这个推拉门，或者说这个升降机这块部分都是利用了四边形的不稳定性啊， 有时又需要扶四边形的不稳定性，例如在这个门框未安装好的时候啊，咱们师傅大概要在这里啊，定一根木条，防止窗框变形。 好，接下来我们来看一下练习题，求出下列图形中 x 的 值。我们发现这三个图形都是四边形，四边形的内角和是三百六十度，咱们要求这个 x， 咱们就需要列式计算了， 三百六十度等于这个一百四十度，加上这个九十度，再加上这两个 x 度，计算一下三百六十，我得把这个一百四和九十减去啊， 等于一百三十度等于二 x 度，那么 x 度就等于一百三十除以二啊，等于六十五度啊！我们来看第二个图，四边形内角和为三百六十度，那么三 x 度加上四 x 度，再加上这个二 x 度， 再加上最后一个三 x 度，就等于三百六十度。算算这几个 x 和是多少？三加四等于七，七加二等于九，九加三等于十二十二 x 度等于三百六十度，咱们 x 度就等于三百六十除以十二，等于三十度。 接下来我们来看第三题啊，要求出 x 度。哎，此时我们发现一个问题， x 度我们好像并不能直接求出来，我们得先求这个度，然后再拿一百八十度减去这个角就可以了。那怎么求这个角呢？很简单的， 因为四边形的内角和是三百六十度，咱们只需要拿三百六十度把这一二三三个角减去，剩下的不就，剩下的不就是我画红圈的这个角了吗？ 三百六十减去一百二十度，减去八十度，再减去七十五度，算出得数等于八十五度。而这个 x 度和八十五度是一对邻补角，它等于一百八十度，那么 x 度就等于九十五度了啊。 这是我们第一题的内容。来看第二题啊，一个四边形的一组对角互补，那他的另外一组对角有什么关系？我们随便画一个四边形，就画个正方形，画个特殊的一组对角互补，也就说这个角加这个角等于一百八十度。那么另外一组呢？ 那很简单，因为内角和是三百六十度，已经有一组一百八了，那剩下的一组肯定也是一百八，两个一百八才等于三百六十度啊，有什么关系啊？另一组对角也互补。 接下来我们来看第三题，这类图形中哪些具有稳定性？首先，第一个是两个三角形，没有问题，具有稳定性。第二个不是。第二个是四边形，它具有不稳定性。第三个，上半部分稳定了，是三角形，下半部分是四边形，它不稳定啊。 第四个一二三三个三角形构成的啊，所以说具有稳定性。第五个我们发现啊，他对角线没有问题啊，但是对角线将这个，但是对角线将这个六边形分成了两个四边形这一个，所以说他也不行，四边形具有不稳定性啊， 我们将三角形推导到了四边形，那么我们看看能不能四边形来推导多边形的内容。 多边形在生活中也很常见，我们观察图片中，我们观察这几幅图，在图中可以找到很多多边形的形象，像这个房子的形状，他就是一个多边形，这个蜂巢的每个风孔也都是 多边形，而这个他整个大门的门框也是一个多边形。生活中存在很多的多边形， 那么与三角形、四边形类似，在平面内啊，有很多条线段，首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。这里注意， n 得大于等于三，也就是说明了我们杜绝 n 等于一和 n 等于二的时候， 为什么呀？因为 n 等于就一条直线，一条线段，它够不成图形啊？ n 等于二，它也是，它也够不成图形啊。 最小的 n 等于三，它能够成三角形， n 等于四，它就能够成四边形了啊，这是我们多边形的性质，所以说我们将我们曾经学习的多边形的内容， 所以说我们将我们曾经学习的三角形、四边形都囊括到了多边形这一个大概念里啊。 多边形的边顶点、内角、外角对角线的概念与四边形对应的概念。多边形的边顶点、内角、外角对角线的概念与四边形相应的概念。类似。 多边形有几套边，就叫做几边形。多边形同样用表示它的各个顶点的字母来表示，例如我们在这幅图中， 例如我们在这幅图中记作六边形 a、 b、 c、 d、 e、 f， 也是跟四边形一样，咱们点按顺序来写啊。 在这里啊，我们说，请类比四边形。多边形的边顶点、内角、外角。对角线的定义，指出在这个六边形中的边顶点、内角、外角，画出它的全部对角线啊。咱先说边， ab 是 一条边， bc 是 一条边， cd 是 一条边， d、 e 是 一条边， e、 f 是 一条边， a、 f 是 一条边啊，就这几条边顶点呢，其实就是 a、 b、 c、 d、 e、 f 啊，这几条边 内角呢，其实就是相邻两边所加的角啊，也就是这个角， a 角、 b 角、 c 角、 d 角、 e 角、 f。 外角呢，外角可就多了啊！ 我在这里大概表示一下，外角表示的是一条边的延长线和它的另一条边所组成的加角 ab 的 延长线。哎，在这里能组一个，在这里也能出一个。 bc 的 延长线呢，在这能出一个，在这也能出一个，也就是说红线和蓝线的加角就行了。 c、 d 能出什么呀？ 这有一个，这有一个，注意不冲不漏，每一条边都能延一个啊。 d、 e 能出什么呀？能出这一条和这一条 e、 f 呢？这一条和这个 a、 f 呢？这一个和这个。这样都描述出来了啊， 再画出他全部的对角线。对角线的定义是什么？是一个点连接与他不相邻的点，就叫做对角线。我们像 a 点，与他不相邻的点有 c、 d、 e， 所以说连接 a、 c、 a、 d、 e， 这都是它的对角线。再看 b 点与 b 点不相邻的顶点，那不是 a， 不是 c， 那 就是 e、 f、 d。 连接 f、 b、 e、 b、 d、 c 点与它不相邻的点， a、 c 已经连完了啊。 c、 f、 c、 e、 d 点与它不相邻的点呢？那就是 b、 a、 f， 其中 b、 d、 a、 d 已经连完了。咱们连接 d、 f、 e 点与它不相邻点，就是 abc 已经都连完了， f 点也都连完了啊。这个是它的对角线，与四边形类似。在多边形中啊，有的是凸多边形，有的不是凸多边形。今后咱们如果没有特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形啊。 图多边形的定义我在这里再重复一下啊，就是说我随便画一个多边形，我们延长一条线，我们发现这个多边形的剩余部分都在这条线的一侧，它就是多边形。咱们以后都研究这种图形啊， 我们知道正方形的各个角都相等，各条边也相等。像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等。多边形各条都相等的多边形，我们管它叫做正多边形，在这里举一些例子，像什么正三角形、正方形、正五边形、正六边形，这都叫正多边形啊。 接下来咱们类比四边形内角和的推导过程，推导出五边形、六边形的内角和各是多少度。由上述的推导过程，能不能得出多边形的内角和边数的关系啊？ 咱们先来看一下这个五边形啊，从五边形的一个顶点出发，可以做出几条六角线呢？咱们这里做了做出两条啊，因为他不相邻的点就两个嘛，他们将五边形分成几个三角形啊？一个两个，三个分成的是三个三角形， 那么五边形内角和等于多少？一个三角形就是一个一百八，三个一百八，六边形呢？可以做几条啊？一二三做三条， 他们将六边形分成了一二三四、四个三角形，六边形内角和就等于四个三角形，就是四乘一百八十度。 所以说我们就会发现了，从 n 边形的一个顶点出发，像五边形就能做俩，六边形就能做仨，都是他的边数减去三条对角线。所以说我们在这里写一下啊， 可以做 n 减三条。那分成了几个三角形呢？我们会发现啊，五边形分成了三个三角形，六边形分成了四个三角形，都是在他的边的基础上减去两个，也就是 n 减二个三角形。 那他所对应的内角和呢？有几个三角形？就是几个一百八十度，也就是 n 减二乘以一百八十度。记住这一块的内容啊，这样就得出了多边形的内角和公式。 n 减二乘以一百八十度啊， 在这里呢，同学们可以课后思考一下，把一个多边形分成若干个三角形，还有没有其他的分法，还能怎么分呢？由新的分法能得出多边形的内角和公式吗？ 我们先要在这里我举个例子，画一个五边形啊，刚才我们是在顶点处划分三角形的，如果说我要是在终点处呢， 就在中间随便找一个点啊，像我这么分一个三角形，两个三角形，三个三角形。此时我们就会发现，将五边形分成了几个三角形，一二三四五分成了五个三角形。那不得是五乘一百八十度吗？ 这才是他的那角和呀，和我们这个，这不是，这不是五减二得等于三乘一百八十度吗？那这少的这两，那这两个之间差了两个一百八十度是从哪来的呀？ 我们这种在中点分的三角形的情况下，我们中间的这一圈三百六十度是不算在我们的三角形的内角和的，因为这几个角我们是不算在多边形的内角和里的，因为你看这几个角，他根本不是多边形的内角啊， 所以说咱们在这个基础上还得减去两个一百八十度。做完之后还是三个一百八十度，这是其中一种分法，还有很多种分法，同学们都可以进行推导啊。 说完了内角，我们来看看外角与四边形，外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，他们的和呢叫做多边形的外角和。多边形的外角和等于多少度，请你说明理由。与四边形类似，多边形的每一个内角和它相邻的外角都叫做邻补角， 因此呢， n 边形的内角和与外角和的总和等于 n 乘以一百八十度。所以说，我们先表示出来有几个外角就有几个一百八， n 乘一百八十度，我们再减去内角和就行了。内角和我们刚才已经有了，是 n 减二乘一百八十度等于三百六十度。接下来我们来化解一下这个式子啊， 那就是 n 乘以一百八十度减去，这个我们在一个括号里进行处理啊， n 乘以一百八十度减去二乘一百八十度，这是我们的单项式乘多项式啊，然后再处理，前面拖着不动， n 乘以一百八十度减去后面的 n 乘以一百八十度。 此时我们发现啊，这有一个负，这有一个负，负负为正，得再加上二乘一百八十度，放一块等于二乘一百八十度，也就是三百六十度啊，这样也就得到了多边形的外角和等于三百六十度。 也可以理解为为什么多边形的外角和等于三百六十度呢？我们像这幅图来看，从多边形的个边依次走过个顶点啊，就是这么走的，按顺序走的。 然后呢，转向出发时的方向，行程中转向的各个角度的和，就是多边形的外角和。我向，从这里转，转向转到这，从这里转向转到这，从这里转向接着转，以此类推啊， 转向的角度就是它多边，转向的角度就是多边形的外角和。那咱们最后不回到原点了吗？回到原点不就是转了三百六十度才能回到原点了吗？ 所以说这里说了，由于走了一周，所转的各个角的和就等于一个周角，周角是三百六十度嘛。所以说多边形的外角和等于三百六十度。 我们来看看例题啊，一个多边形的内角和等于外角和的两倍。问这个多边形是几边形？咱们先把这个多边形的边数设出来，就是 n， 由于它的内角和等于 n， 减二乘以一百八十度，外角和呢等于三百六十度。 那咱们就来说一下内角和等于外角和的两倍，那内角和是 n， 减二乘一百八十度，就等于外角和的两倍。二乘以三百六十度。然后去解方程就行了啊， 怎么解呢？先将它单项式乘多少式，就是 n 乘以一百八十度，减去二乘以一百八十度，再减就等于二乘以三百六十度。我们可以把三百六十度分成了二乘一百八十度， 这个二和这个二相乘，就是四乘一百八十度，再加过去，把这个减面加挪到等式的右边，加上二乘以一百八十度，那不就是六乘以一百八十度 等于 n 乘一百八十度，一百八十度一百八十度，消掉了 n 等于六，得出 n 等于六了，就说明这个多边形是六边形了，因为我们 n 代表的是多边形的边数吗？ 我们接下来来看一下练习题。首先来看第一个，求出下列图形中 x 的 值，这个我们就会发现这是一个几边形，一二三四五五边形，先想一想它的内角和是多少呀？ n 减二乘以一百八十度，此时 n 呢，我们得带五五减二乘以一百八十度， 五减二十三呢？三乘以一百八十度，等于五百四十度啊，咱们呢，再依次列后，咱们接下来再列算式就行了。九十度加上一百二十度，再加一百五十度， 再加上这一个 x 度，再加这一个 x 度，也就是说加上三 x 度等于五百四十度啊，所以说呢，三 x 度就等于这个五百四十，把这一堆减去啊， 等于一百八十度啊。然后呢，除以三 x 度等于一百八十，除以三等于六十度啊，也 x 值就是六十。在这个呢，我们可以发现，这是一个一二三四五六六边形，它的内角和是 n 减二乘以一百八十度， 那 n 带六六点二，就是四四乘以一百八十度，等于七百二十度。而这个七百二十度等于什么呢？等于一二三四四个 x 度，再加上两个九十， 那么四 x 度就等于拿七百二十减去两个九十啊，等于五百四十度，那么 x 就 等于拿五百四十除以四就可以了啊， 等于一百三十五。第三个，有一个问题啊，他说了，这是一个五边形，一二三四，他说了这是一个五边形，所以说我们先求出他的内角和是 n 减二乘以一百八十度， n 的是五五减二，就是三三乘以一百八十度，等于五百四十度。 按理说，五百四十度等于这个角加这个角，再加上这个角，再加上这两个角才可以。但问题来了，这两个角我不知道是多少啊， 告诉我们了， ab 和 cd 是 平行的，这条边和这条边平行的，所以说我们用两只线平行同旁内角互补就可以了。也就是说，因为 ab 平行于 cd， 所以 说角 b 加上角 c， 它等于一百八十度。 所以说啊，咱们这个角 b 加上角 c， 再加上幺三五，再加上这个 x 度，再加上幺五零度，就等于五百四十度。 其中角 b 加角 c 等于一百八十度，所以说我们 x 度就等于我们拿五百四十减一百五，减一百三十五，再减去这个整体一百八就可以了啊，等于七十五度，它不求 x 值吗？ x 值我们再把度去掉就行了， x 等于七十五啊。 接下来来看一下第二题。第一，问一个多边形，内角和等于一千零八十度，问这个多边形是几边形？我们把式子列出来， n 减二乘以一百八十度，这才是内角和呀，等于幺零八零度， 那么 n 减二，咱们拿幺零八零除以一百八，最后等于六，那 n 呢？等于八，它是一个八边形啊。第二个，一个多边形，每一个内角都等于一百二十度。问这个多边形是几边形， 咱们可以通过外角来进行处理啊，每一个内角都等于一百二十度， 咱们外角和是三百六十度，那每一个内角都等于一百二十度，那他的邻补角不就是外角吗？他的外角就等于一百八十减去一百二十， 这是他每一个外角的度数，每一个外角都是一百八减一百二，也就是六十。有几个外角不就有几个边吗？所以说前面再乘一个 n 就 行了，然后计算 n 等于三百六十除以，这个是六十等于六啊，所以说他是一个六边形。最后一个， 一个多边形，每一个外角都等于七十二度。问这个多边形是几边形，这和我们第二问其实是一样的啊，三百六十度不就是外角和吗？它等于每一个外角都是七十二，那不就是 n 乘以七十二吗？ 有几个七十二就有几个边，那 n 呢？就等于我们拿三百六十除以七十二，最后等于五，所以说它是一个五边形。接下来我们来看复习巩固。第一个四边形的四个角都可以是锐角吗？当然不可以啊， 都是锐角，那四个小于九十度的角，它肯定总和就是小于三百六十度，可以都是钝角吗？也不行啊，四个大于九十度的角摞一块，指定也是大于三百六十度的， 他不满足。四边形内角和等于三百六十度，可以都是直角吗？没问题啊，正反正是都是直角，四个九十度嘛，四乘以九十度刚好等于三百六十度啊。 如果问为什么的话，就说四边形内角和为三百六十度。接下来我们来进行填表。首先，不管多边形是几条边，它的外角和都是三六零啊。 而算内角和，咱们就用 n 减二乘以一百八十度来算啊。这个 n 带三三减二等于一，一乘一百八十度，就等于一百八十度啊。四边形是三百六十度，五边形是五百四十度，六边形是七百二十度，八边形幺零八零度。 十二边形一千八百度，二十边形三二四零度啊！这个同学课后自己去计算就可以了啊。 第三个，求正五边形和正十边形每个内角的度数。咱们先回一下正多边形的定义，就是每条边都相等，每个内角都相等 正五边形，只要求出正五边形的内角和是多少，再除以五就行了。正十边形也是一样的，求出正十边形的内角和再除以十就行了。先求正五边形内角和是 n 减二乘以一百八十度。 n 呢，带五五减二就是三三乘以一百八十度，等于五百四十度， 五百四十度除以五，他不五边形吗？有五个内角啊，等于一百零八度啊！而十边形呢，还是带 n 减二乘以一百八十度，此时 n 就 带十了。十减二等于八乘以一百八十度，等于幺四四零度。 幺四四零再除以十，这不就是每条边的度数，这不就是每个内角的度数了吗？等于一百四十四度。 第四题，第一问，一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数，那就说明内角和等于三百六十度啊。因为外角和一直都是三百六十度，所以说 n 减二乘以一百八十，它等于三百六十度， 那三百六十除以一百八就等于二啊。 n 减二等于二， n 就 等于四，它是一个四边形啊，一个多边形的内角和是外角和的一半，那多边形的内角和就是 n 减二乘以一百八十度，等于外角和的一半，就是拿三百六十度乘以二分之一， 那三百六十乘以一百八就等于一了。 n 减二等于一，那么 n 呢？等于三，它是一个三边形啊， 也就是三角形。第五题，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 之中啊，角 a、 角 c 相等，角 b、 角 d 都相等。问 ab 和 dc 有 什么位置关系啊？也就是问，这两条面咱们知道啊，如果正方形中啊， 对角相等，那就说明角 a 和角 c 是 相等的，角 b 和角 d 是 相等的。所以说咱们写一下啊， 角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d， 而咱们四边形内，角和是三百六十度啊，角 a 加上角 b 加上角 c 加上角 d， 它都等于三百六十度。 咱们利用等量关系，我们由于角 c 等于角 a， 我 们把所有的角 c 替换成角 a， 而角 b 呢，都等于角 d， 所以 说把所有的角 b 都换成角 d 等于三百六十度。那我们可以推导出这样的一个式子，这不就是两倍的角 a 加角 d 吗？等于三百六十度， 那么角 a 加上角 d， 那 就等于三百六十度除以二等于一百八十度。所以说同旁内角互补，两直线平行。 同样的道理， bc 和 ad 呢？ bc 和 ad 这两条线，咱们也可以通过这样的推导，刚才我们是把角 b 换成了角 d， 角 c 呢？换成了角 a。 如果说你要证明 a、 d 和 bc， 咱们就得想办法 找 a、 d 和 bc 的 同旁内角。也就是说，角 a 加上角 b， 我 得正出它等于一百八十度。 咱们就把角 c 啊换成角 a 就 行了，因为这俩角相等吗？角 c 换成角 a， 角 d 呢？我就直接换成角 b 就 行了。在这个式子里面，把角 d 换成角 b 等于三百六十度，一样推倒可以推出二倍的角 a 加上角 b 等于三百六十度。 那么角 a 加上角 b 不 就等于三百六十度除以二吗？等于一百八十度，角 a 加角 b 等于一百八十度了。它所对应的 a、 d 和 bc 这两条直线，就可以运用同旁内角互补，两直线平行整出来了。 第六题，在 n 边形内，任取一个点，连接 o 点与 n 边形各个顶点， n 边形被分成了多少个三角形啊？用这种方法推倒 n 边形的内角和公式。刚才我已经描述了这种方法了，咱们一块再来试试啊。 这样的话，我们会发现啊，有一个边不就分一个三角形吗？对吧？有一个边就是一个三角形，那他整个所有的三角形的内角和，那不就是 n 乘以一百八十度吗？但是我们还得把中间的这一圈减去，这一圈就是三百六十度啊，因为是一个周角吗？ 那就是 n 乘以一百八十度，减去三百六十度，就是二乘以一百八十度。把一百八十度提出来，就是 n 减二乘以一百八十度了。 也可以推出 n 边形的那角和公式。在这里把前面这个大话也写好了，不要忘记前面还有一个问题啊， n 边形被分成多少个三角形啊？ n 个三角形啊，这是在这种分法的情况下啊。 接下来我们来看第七题。五边形 a、 b、 c、 d 的 内角都相等。说了角一等于角二，角三等于角四，求 x 的 值，那咱们把咱们能推到的关系都表示出来就可以了。 五边形 a、 b、 c、 d 的 内角和都相等，所以说明它是一个正五边形。咱可以算出五边形的每一个内角是多少啊？ n 减二 乘以一百八十，其中的 n 带五，因为五变形吗？五减二乘一百八十，那就是三乘一百八十。刚才已经算过很多遍了啊，等于五百四十度。那一共有五个角，五百四十度，除以五等于一百零八度啊。一个角是一百零八度， 那推导一下吧。这个角是一百零八度，也就是说，角一加上 x 度，再加上角三等于一百零八度。其中呢，角一、角二加上角一等于一百八十度。 因为 a、 d、 e 是 一个值。因为 a、 d、 e 是 一个三角形吗？角一加上角二加上角一等于一百八十度。同理啊，角三加角四加角 c， 不 也等于一百八十度吗？因为在三角形 b、 c、 d 之中啊。 又说了角一、角二相等，角三角四相等，而这个角 c 跟角 e 我 们都得到了呀，他都是五边形，内角都等于一百零八度。那咱们通过底下这两个式子推导一下啊。我在这里写过程，角一和角二相等，那就是二倍的角一，咱就算一个吧。 二倍的角 e 把角二变成角一了，加上角 e， 角 e 是 一百零八度，等于一百八十度。那二倍的角 e 就 等于一百八十度。减去一百零八度等于七十二度，那角一不就等于七十二度除以二等于三十六度吗？ 而第二个式的角三、角四呢？我就把角四变成角三，角三加角三等于二倍的角三加上角四 加上角 c， 角 c 也是一百零八度，等于一百八十度，那减过来不就行了吗？二倍的角三等于一百八十度，减去一百零八度等于七十二度啊，角三就等于三十六度，也是一样的。这个时候我们就发现了， 角一加角三加角 x， 角一加角三加 x 度等于一百零八度，那么 x 就 等于一百零八，我减去一个角一，减去一个角三，不就减去两个三十六吗？一百零八减去两个三十六，是七十二， 等于三十六度啊， x 值为三十六。接下来我们来看看通往探索。首先来看第八题，在四边形 a、 b、 c、 d 中啊， a、 c、 b、 d 是 它的两条对角线，要求比较 a、 c 加 b、 d 与四边形周长的大小， 咱们来看看啊。此时有对角线，我们就得想三角形，因为对角线是将我们的三角形和四边形相连接的题， 其中 a、 c 这条边呢，我们可以表示一下， a、 c 这条边就是在三角形 a、 b、 c 之中啊，我们由两边之合大于第三边表示出来， a、 b 加上 bc， 它肯定是大于 a、 c 的。 a、 c 这条边还在三角形 a、 c、 d 之中，就可以得到 a、 d 加上 c、 d， 它一定也是大于 a、 c 的。 说完 a、 c 了，再说 b、 d、 b、 d 是 在两个三角形中，在三角形 a、 b、 d 之中， ab 加上 a、 d 也铁定大于 b、 d。 在 三角形 a、 b、 d。 说完了，还有一个 b、 c、 d、 b、 c、 d 之中啊， b、 c 加上 c、 d 也一定是大于 b、 d 的， 咱们就看看呗。四边形的周长，咱就把它们都搂一块，因为都搂一块，我们就会发现啊，它们的这几条边就构成了四边形的周长。咱们看看啊， 分别相加 ab 加上 bc， 再加上 ad 加上 cd， 再加上 ab 加上 ad， 再加上 bc 加上 cd， 它一定是大于一二三四两倍的 ac 加上两倍的 bd。 咱们看看啊，推导一下啊，上面这一大堆出来什么？我看看啊！ 一个 ab 两个 ab， 二倍的括号，一个 ab， 一个 bc， 两个 bc 加上 bc， 再加一个 ad， 两个 ad， 所以 说再加一个 ad， 一个 cd， 两个 cd， 它是大于二倍的 ac 加上 bd 的， 我们再把这两个二消掉啊。左边， ab 加上 bc 加上 abd， 加上 cd 大 于 ac 加上 这一大串 a、 b 加上 bc， 再加上 a、 d， 再加上 c、 d， 刚好就是四边形的周长，而 a、 c 加 b、 d 刚好就是我们要比较的这部分，所以说就可以得到这样的关系啊， 四边形 abcd 的 周长大于 a、 c 加 b、 d。 第九题，要是四边形木架不变形，至少要再补上几个木条，五边形和六边形呢？这道题就是考，我们最少要补上几条对角线，才可以将它分成三角形。 还记得几条对角线吗？我们刚才在这里标上了啊，是 n 减三条啊。 第一个，它不是四边形吗？四减三它等于一啊，也就是说这么一画就行了，补一条就行了。当然你可以这么补，你也可以这么补啊，怎么补都行，就补一条就行了。五边形的需要补几个呀？ n 减三呢？那就是五减三等于二，补两条，看看怎么补啊？随便找一个顶点，与他不相邻的两，随便找一个顶点连接与他不相邻的两个点，这么一补就行了。你可以找这个顶点，还可以找其他的一二三四四个顶点啊。六边形呢？ n 减三就是六减三等于三，他补三个也是我以这个点为例，一二三这么补也可以啊。 这是我们关于四边形的第一节的内容啊。后面还有一个弹珠语，发现同学们可以课后自行去尝试一下。

拿到纸样后如何裁剪布料？如果你的纸样是一整张的，先沿着裁剪线将纸样裁剪下来。裁剪纸样的时候有一个小细节， 纸样上的这个小短线叫做刀口，拼布的时候对齐用的，裁剪的时候记得剪开，那样画图的时候会方便很多。 这种毛边就是布边。找到裁剪好纸样上的箭头，将箭头与布边平行，如果有花纹，要注意一下花纹的方向，确认一下纸样上有没有对折符号，如果有对折符号，说明布料需要对折裁剪， 或者画完一半后对称过来画另一半，但是中间要连在一起，确认一下有没有成二的字样，尤其是前片、袖子等 可以对折裁剪，但是注意中间是要分开来的，或者画完一个之后翻到背面画另一边，但是千万不要平移，不然你就顺拐了。像这种单片的没有特殊符号标注的，就可以直接裁剪了。

准备好一个平行四边形，按住黄点拖动，把它缩成你想要的样子，按住 ctrl 和 shift 键，用鼠标拖动，复制两个，把第二个给它水平翻转一下，把它拖到第一个四边形的下边对齐， 然后再把另外一个再放到下面调整，把它们对齐，把它们全部选中，点击形状格式，再点击合并形状里的结合，这三个就合并为一个形状了。拖动调整一下，让它们在画布里面，再按住 ctrl 和 shift 键向右拖动，复 这几个，全选所有形状，拖到页面的右边，把它们进行横向分布，再次把它们进行结合。插入一张准备好的图片，把图片放大，可以 适当裁剪一下图片，裁剪到你想要留下的位置，把它拖到形状的上面，右键把图片置于底层， 最后先点击图片，按住 shift 键后再加选形状，点击形状格式，合并形状里的相交，这样图片和形状就结合在一起了。再给形状调整一下位置，在左边放上准备好的文字，这样就可以了，你学会了吗？

用纸折个小汽车，正方形纸分别斜角对折打开，沿中间点，将两角向中间折， 沿折痕对折成梯形，短边朝下，尖角沿左边往下压，另一边同样折法，翻面，右边车头部位画出平行四边形，沿线剪开， 再将尖角向上折，多次折出车轮形状，或者直接用剪成圆形。另一个轮子同样折法， 挂上车窗和车轮， 小汽车就折好了。

超详细纸样裁剪教程，哈喽大家好，这里是手电丢丢，今天学一下怎样裁剪纸板。首先拿到纸样，先看一下上面的信息，一般我会区分下面料材质和数量，同数量同材质的纸板放一起，像腰头、门襟、领子这种要贴衬的 也单独放好。纸板上有个箭头，是标注沙线方向的，要平行于布边，只要标注两片的面料，要对折裁剪面料颇好。放好纸板，要检查一下上下层是不是都在的，有没有错位， 不建议一片一片裁剪，很容易裁错。人体两边都是对称的，所以裁出来的裁片也是对称的。 纸样上有两条线，要沿着外侧的线去裁，里侧的线是净纸样，是我们车缝线迹的位置。这个小梯形是剪口，按位置剪个零点五左右，是标记位置的作用。一些省道位置要画好。 需要烫衬的裁片要先烫衬再裁剪，这样尺寸不会有偏差。 不同材质的裁片都要剪好。裁片和纸板一起裁剪，剪好之后一起收纳，做的时候也可以及时看到纸板上的相关信息。好啦，学会了吗？

八下数学最难的九个模型全部吃透，晚上班级前三。八下数学平行四边形九个模型，模型一，垂北四边形模型二，正方形半角模型。模型三，十字架模型四，对角互补模型。模型五，矩形折叠模型， 梯形六，梯子模型，梯形七，中点四边形模型九，手拉手模型，正方形一套旧电子版全键码五五。

要想数学成绩好，每天练习不可少。 八年级数学下册课本的一百六十八页纸，我们看了第十一题，一张平行四边形的纸片， a、 b、 c、 d， a、 d 大 于 a、 b 就是 平行四边形的邻边，是不相等的一长一短的。第一小题，折叠平行四边形 a、 b、 c、 d 可以 得到角 b、 a、 d 与角 b、 c、 d 的 平行线 啊，把这个 b、 a 啊，把这个翻过来，到这边来，那我们就可以得到这里的两个角相等，角一等于角二， 然后呢，我们可以得到这两个角向呢？角四等于角五，嗯，为什么角三在哪里呢？我把角三写到这里，因为这个原来是平行四边形，所以这个角二等于角三， a、 d 平行于 bc， 那 么当然角五就等于角六，所以角一等于角二等于角三，那我们就可以得到 a、 b 是 等于这个 b、 e 的。 哎，同样的，这个角四等于角五，角五等于角六，角四等于角六，所以这个角 d、 f 等于 d、 c、 e。 而根据平行四边的对边相等，那于是我们就得到 d、 c 跟 ab 呃，相等，那不就是 b、 e 跟 d f 也就相等了吗？那么这样呢，我们就可以得到什么一个结果呢？我们就可以得到这个叫做 a、 f 是 平行且等于 c、 e 的， 因为 a、 d 平行四边的这边是平行且相等的，所以这 a、 f， a、 d 平行于 b， c、 e 就是 a、 f 平行于 c、 e 啊。现在 d、 f 呢？等于 b、 e 的 话，那么所以 a d 减 b， d、 f 等于 b c、 e， 所以 留下了 a、 f 等于 c e 好 e 的 这边平行且相等的，所以这个四边形 a 呃， e， c、 f 就是 平行四边形啊。第一个证明大概这样的。好，我们看到第二题，他说你还有哪些折法？折出一个平行四边，选择其中一种，说明你的正确性，嗯， 比如说咱们这是一个平行四边。形啊，平行四边，比如说这是 a、 b、 c、 d。 好， 咱们也像刚才这样折过一个角。好，咱们就这样折了，折了这个，另外我们就不折了，对吧？好，那么这样折了之后呢，那我们就可以得到好这一个呢？ 啊，刚才这个 d、 e 是 折痕啊， d， e 是 折痕，然后 c 呢，就折到了 c 一 撇这个位置来了。好，所以这个 c、 d， 但是 c 一 撇 d， 刚才我们说这个，呃，什么？这个两个角相等角，这两个角啊，这个角相等，对吧？呃，那我们就可以得到这个 c、 d 等于这个 c、 e 撇 d。 呃，并且呢，我们这个 c、 d 啊，跟这个 c、 c、 e 撇 d 是 平行 c、 e 的， 那我们看到这个角一等于角二，角一等于角三，所以角二等于角三，所以 c、 d 又等于 c、 e， 所以 我们说 c 撇 d 平行且等于 c、 e， 所以 这 e 的 这边平行相等的四边是平行四平行啊，这样我们就得出平行四边形，其实这个平行四边呢，准确的说它是个菱形， 因为它一左邻边相等，而且我们不仅知道这边是个平行四边，我们看到这个 a、 b、 e、 c 一 撇，由于刚才这边等于这边，所以 a、 c 一 撇等于 b、 e 也平行了，所以这边也是个平行四边形。注意啊，这右边是个平行四边形，而且它是个菱形，左边是个平行四边形，是个普通的平行四边形。 当然我们有很多折法，你比如说我们把这个 b、 a， 哎，刚才咱要是说不这样折怎么折呢？要不我画一个吧， 啊，要不我们我们画一个， 好，看到 a、 b、 c、 d， 咱们把这 b、 a 沿着这个对角线 a、 c 折到哪里了呢？ b 折到它的这个 这里了，我们看是吧？啊，沿着这个 bc 啊，折到，折到这里了，那么然后这个 d 呢？沿着这个对角线 a、 c， 我 们折到大概这里了。 c， 这是 b 一 撇，这是 d 一 撇，那么我们来看到这样一个四边形呢， 哎，这个 a、 d 一 撇， c、 b 一 撇，也是不是平行四边形？当然如果说你这是个平行四边形，如果你这样对折，把它的中点给它找出来，对吧？把它的中点给它找出来，你再这样一对折， 啊，这一对折，把这里的中点也给他找出来。好，你再这样一对折好，把这里的中点依次类推，把这样一对折好，把这边的中点 好，那我们把这四边的中点对折找出来之后，我们再这样一对折，这个一对折，我们再这样一对折。 哎，我们中间呢，得到的也是一个平行四边形啊，这个我们根据什么东西呢？ 我们根据看到这里，呃，如果说这里我们用 a、 b、 c、 d 对 吧？这里 e、 f、 g、 h 对 吧？ e、 h 平行切的 b、 d 里边， e、 f 平行切点 a、 c 的 一半， h、 g 平行切点 a、 c 的 一半，所以这个 e、 h 跟 f、 g 是 平行且相等的，那么 e、 f 跟 h、 g 呢？也是平行且相等的。 呃，所以你不管用一组对边平行且相等，或者是两组对边分别平行，或者是两组对边分别相等，都可以得到中间这一个 e、 f、 g、 h 是 平行四边形，当然我们大家还可能有其他的不同的折法，多练练，你的成绩会越来越好，记得点赞关注哦！

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免费帮你提高成绩！你刷到我就跑了吗？ 八年级数学下册小册的八十一页纸上的第六题，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， 大家一定要把已知这个理清的第一个重要的， a、 b、 c、 d 是 平行四边形，下面角 b、 a、 d 和角 a、 b、 c、 d、 b、 a、 d 的 平行线，角一等于角二等于角三。为什么？角一等于角是角平行，角二等于角三是两直线平行内错角相等， 加 a、 b、 c 的 平行线，加 a、 b、 c 的 线，我们看到角四等于角五，哎呀，等于角五，这就没有等于角六，对不对？在哪里呢？哦，角四等于这里的角六对吧？角四等于角五，角四等于角六，两直线平行内错角相等，这是一对角平行线。 好，现在我们的第一个要求的 c、 d 的 ab 的 ab 是 等于 f 的 第一个，我们就正完了 啊，为什么 c、 d 等于 ab 呢？因为四平行 a、 b、 c、 d 是 平行四边的对边相等呢？ c、 d 不 就等于 ab 了吗？ 那为什么 ab 等于 b、 f 呢？刚才我们说已知 a、 f 平分角 b、 a、 d 角一等于角二，又因为四平行 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 a、 d 平行， bc 就是 a、 d 平行 b、 f， 所以 两直角面内角相等，角二等于角三好，等量倒换角一等于角三，根据等角对等边，所以 b、 a 就 等于 b、 f 好， c、 d 等于 ab， ab 等于 f b， 所以 这个 c、 d 就 等于 b、 f， 对 吧？这样我们就整完了，好过程呢，大家自己写啊！第三个，如果 c、 d 等于六，那就是 ab 等于六， ab 等于六，就是 b、 f 也等于六。刚才说了 b、 f 等于六，那 c、 f 等于几呢？ 好，那我们来看到刚才这里角五等于角六，所以 c b 是 等于 c e 的， c b 等于 c e 的， 那我们再来看到这个，这个角三呢，等于角一等于角二。 哎，那我们看到这里还有什么已知条件呢？刚才我们这里的角一加角二加角四加角五啊，是等于一百八十度的啊，所以呢，我们看到角一加角四啊，是等于九十度的， 哎，角一加加二加加四加九，因为两直角同边的角互补，所以这四个角加一八八了，所以角一加加四点九十度，所以这里是直角，也就说我们得到了叫做什么东西呢？得到了叫做这个 b e 垂直 a f b e 垂直 a f b e 垂直 a f， 那 就说 b e f， 它是一个直角三角形， 加 b e f 等于九十度，那么 b f 等于九十度的话，那我们就知道了，这个角三角五加角三就等于角六，加角七就等于九十度。 由于角五等于角六，所以角三等于角七，角三等于角七，所以这个 c f 就 等于 c e， 而刚才 c e 呢，是等于 c b 的， 也就是说我们得到 c 为 b f 中点， 刚才我们的 b f 等于六，所以这个 c f 啊，就得二分之一乘六等于三， c f 等于三， c f 等于三。当然大家也可能会想到其他的一些证明方法啊。嗯， 但是我是一边看一边讲一边说啊，这个步骤呢，也没有都写清楚，大家自己去再把它理清楚。我们再看一遍，刚才我们得到一个重要的这里直角，对吧？这三个角下呢，得到这个 c e 等于 c b， 然后呢，我要得到 c e 等于 c f 的 话，就要得到角七等于角三， 呃，当然呢，角七你可以等于角一，再等于角三。哎呦，我再来看，你发现我刚才说的有点多啊，你看角一等于角二，角二等于角三，对吧？而这两直线平行的角七等于角一，所以角七等于角三。哎，这样就比刚才我说的简单一些，所以大家， 所以大家就是要多练啊，多看几遍，你可能会找到，呃，更简编的做法。我们看到第八十二页纸第一题，若等腰梯形的一个底角是一百二十度， 一个底角是一百二十度，那么他的另一个底角呢？他说的等腰梯形， 那么这里我们说这应该，那就是上底角了啊，这个底角一百二十度，那这个底角也是一百二十度，这个底角就是六十度，所以上底等于三，下底等于几呢？好，我们过这里做平行， 所以这边也就等于三，那么因此下底等于这个五的话，那么比如说做 b e 平行 c、 d， 所以 这个 b e 啊，做 a e 平行 c d 啊，做 a e 平行 c、 d， 那 我们说这个， 呃，由这角六十度，我们这个 a、 e 呢，就等于 b， c 就 等于 ab， 所以 我们就得到正三角形 a、 b、 e。 好 b 的 二 ab， a、 e 也都等于二，于是这个腰长就等于二。 好，我们得到这里是一个等边三角形，腰长等于二。第二个 a、 b 等于四，对角线相交于点， o， a， c 加 b， d 等于一十六， a， c 加 b d， a c 等于这个两倍的 o a， 两倍的 o c， b， d 等于两倍的 o b， 两倍的 o d。 好，现在问 c o d 的 周长 c o d， 那 a、 b 等于四，这是平行四边形，所以 c、 d 也就等于四， o， c 加 o， d 就是 b， d 加 a， c d 半这个一十六，那么这两个加起来等于八喽，八加四就等于一十二，所以这个周长等于一十二。记得点赞关注哦！

八下数学最难的平行四边形模型全部吃透，稳进班级前三。八下数学平行四边形九个重点模型，模型一，垂美四边形模型二，正方形半角模型。 模型三，十字架模型四，对角互补模型五，矩形折叠模型。 八下数学期末冲刺，每天三道题，勾股定律，平行四边形一次函数一到三，四到六完整版。

要想数学成绩好，每天练习不可少，八年级数学下册小册八十四也成了。第三题跟我一起做。 如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线， a、 c、 b、 d 交于一点 o 啊，这里的 a、 b、 c、 d， 它本身是平行四边形 好。然后呢，这个 d、 e 是 平行于 a、 c 的， d， e 平行于 a、 c， 当然 d、 e 也是平行于 o、 c 的 啊。 c、 e 平行于 b， d， c、 e 平行于 b， d、 c、 e， 那 也是平行 o、 d 的。 那么这 这一组对比，这里一组对比，两组对比，分别平行的四平行是平行四平行，所以 o、 c、 e、 d 它就是平行四平行， o、 c、 e、 d 对 吧？根据两组对比，分别平行的四边是平行四平行 好。然后 a、 c 等于三，那就是 a、 c 等于二，那就是 o、 c 等于一， d 等于一，对吧？ b、 d 等于三，就是 o、 b、 o、 d 都等于一点五， 一点五。呃，这里的，因为原来的 a、 b、 c、 d 平行四边的对角线互相平分， o、 c 的 a、 c 的 一半， o、 d 的 一半。刚才平行四边的对边相等，对边相等，所以那么这个周长就很容易知道，一加一点五就是二点五乘以二等于五， 所以这个 o、 c、 e、 d 的 周长等于五。我们看到第四题，第四题是要写过程的题目。 已知图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别是对角线上的两点，并且 d、 f 在 哪里呢？ d、 f 等于 b、 e 啊啊，已知好有两个平行四边，两个已知条件，现在要求的 a、 e、 c、 f 是 平行四边形。 那么每个同学的正法是各不相同的。下面呢，我这里说两种，一种不做辅的线，一种做辅的线。我们先说不做辅的线的好，不做辅的线呢？因为四边形 a， b， c， d， 对 吧？是平行四边形。先把已知抄一遍，那我们就可以得到这个 d c 跟 a、 b 是 既平行又相等的，平行的，那我们得到角一就等于角二，对吧？所以角一等于角二 好要，因为这个叫做 d f 等于 b e， d f 等于 b e， 所以 我们这个得到三角形 d， c， f 是 前等于三角 d， c f， 那 就是 b a e， 理由是什么呢？叫做 s a s， 对 吧？ d c 等于 b a， 角一等于角二，对吧？这个 d f 等于 b e 呃，所以三角形。两个三角形确定之后，我们就有了 c， f 等于 a e， 所以 c f 等于 a e。 并且还有什么东西呢？角 c f d， 角 c f， d 等于角 a， e b， 对吧？这个这里前等三角对应角相等，前等三角的对应角呢？我们就并成的是，呃，两条直线被第三的直线所截的内错角，所以这个 a、 e 就 平行于 c f 啊，刚才 a e 等于 c f， a e 平行于 c f， 所以 四边形 a， e， c f 是 平行四平行啊，字有的我们写完。呃，如果说我们这一道题啊，我们也可以这样做啊，怎么做呢？咱们看到这，咱们把这个 a c 给它连起来， 好加这个叫做 b d 点 o， 那 我们就知道 o a 是 o c 的， o b 是 o d 的 o b 的 o d 的 啊。根据这个 d f 等于 b e， 所以 我们就可以得到 d， 叫做 b f 等于 d e， 因为这个 b d 减去 d， f 等于 b e 减去 b e， 所以 我们得到这个 d e 啊，等于 b f， 而 o d 等于 o b， 所以 o d 减 d， e 等于 o b 减 b e， 那 么这样呢，我们就可以证明 o e 等于 o f。 好，然后呢，由于这个 o a 是 等于 o c、 e 的， 为什么呢？因为整个四边形 a， b， c， d 是 平行四边形啊，所以这样呢，我们也能够得到这个四边形，叫做 a， e， c， f 是 平行四边形。 好，由于时间，这里的过程我都没有写完了啊，大家自己可以把它理一下。我们通过 d f 等于 b e 啊，得到 b， d 减去 d f 与 b d 减去 b e 相等，所以这个 b f 就 等于 d e， 然后又根据 o d 减去 d， e 等于 o b 减去这个 b f， 所以 o e 等于 o f。 当然这这之前你要先写，因为四边形 a， b， c， d 是 平行四边形，对吧？这个 o a 等于 o c， o b 等于 o d。 当然最开始这个辅助线要给它说出来， 我们看到第五题有时间呢，不能多写啊，多写时间来不及啊，用硬直板拼出一个，减去一个平行四边形 a， b， c， d 对 角线相加入一点 o o。 好， 这里的图形在下面这里了， 再用大的针在 o o 处加一个细目条，直的细目条啊，放置在这个，这个叫 e、 f， 这个细目条绕着这个 o o 任意的去旋转，所以注意您是绕着点 o o 啊，也就是说只要过对角线的这个焦点， 那么这样的直线交它的边呢？如 o e， 如 o f。 第一个 o e， o f 是 不是始终相等的？我们说 o e 跟 o f 呢，始终是相等的，有时间步骤我都不写了，因为我们很显然可以证明，三角形 o a e 前等于三角形 o c， f， o a e。 当然你说 o d， e 跟 o b、 f 两个三圈呢，也是可以的啊，我们看到 o a 是 等于 o c 的， 这个角 o a e 等于角 o c f， 为什么呢？因为 ab 本来是平行四边形，平行四边的对边是平行的，并且这里还有个对顶角上的角 a o e 等于角 c o f， 所以 这里根据 a s a e， 那 么这样的两个三圈呢， o e 就 要等于 o f 了。好，第二个以 a s a e c f 为顶点的四平行，四平行， 我们说肯定是，为什么呢？刚才这个 o a 等于 o c 我 们是知道的，然后我们又证明了 o e 等于 o f， 对 不对？对，角线互相平分的四边就是平行四边，所以这个四边形叫做 a e c f 就是 平行四边形 啊，这个根据对角线互相平分的四边是平行四边。这个这个步骤也不难做，我就说到这里，记得点赞关注哦！

八年级数学是中学生成绩好坏的转折点，你呢，想往哪儿转呢？ 八年级数学下册小册八十二页之后，我们看到第三题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，这个图形在这儿啊，它说了平行四边形对角线 a、 c、 b、 d 交于点 o。 我 们说对角线呢，是互相平分， o， a 的 入 c， o、 b 的 入 d。 呃， e、 f 经过点 o， 我 们说 e、 f 经过点 o 的 任何一条过对称中心的这个点，都将把它分成两部分，全等的图形，其面积相等。现在 a、 b 等于三， a、 c 等于四， a、 d 等于五， a、 c 等于四，这个 a、 c 等于四。呃， a、 d 等于五，就是 bc 等于五，那就说这个角是九十度，也就 b、 a、 c 的， 这是三、四、五这样的直角三角形。因此，这个平行四边形 a、 b、 c、 d， 它的面积面积等于底，乘以高就等于三，乘以四等于一十二。 呃，题目问的是，图中的阴影部分的面积很小，你看这个阴影部分跟这个阴影部分是相等的啊。那么这样呢？ b、 c、 d 呃，就可以成为整个阴影部分面积，所以它就等于整个平行四边面积的一半。刚才说平行四边面积等于一十二，所以它的一半就等于六。 那么 o、 e， a、 o、 o、 f、 c 两个三平对吧？ o， a， a 等于 o、 c 对 吧？内错角相等，内错角相等。哎呀，这很容易证明，我就不多说了。我们看到第四题， 在平行四边 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行于 b、 c。 呦，说错了啊，不是平行四边形在四边形，现在只有 a、 d 平行于 b、 c。 呃，然后 a、 b 等于 c、 d 等于二，那就说它这个等腰梯形了。呃， b、 c 等于五，加 b、 a、 d 的 平行线 b、 a、 d。 好， 看到这里，角一等于角二， 角一等于角二呢？角二等于角三。因为刚才说了上下平行，所以角一等于角三，等角的两边。 b， a 等于 b、 e， 这个就等于二。那么刚才 b、 c 等于五的话， b 这二，那这就三， e、 c 就 等于三， e、 c 等于三。那么这样呢，我们就可以得到什么东西呢？嗯，得到 a、 d。 哎，他说了 a、 e 是 等于 c， 平行于 c、 d， 刚才 a、 d 是 平行于 e、 c、 e， 所以 平行四边形呢？呃，两者对比，分别平行，那么这个梯形的面积，那就可以等于什么东西呢？上底加下底乘以高除以二，梯形的面积。哎，高，写错了啊，高不是这么多。 呃，刚才这个二是幺，那么它的高呢？我们来看到这里，刚才我们说这个 a、 e 啊，应该也等于 c、 d 等于二。哦，那它就是个正三角形了。正三角形 a、 b、 e， 对 吧？呃，那二，这就是一，这就根号三 啊，这就是根号三啊，根号三啊，这个是一，这是根号三啊，所以，那就是八，二分之八就四，所以它就是四，根号三， 它的面积等于四，根号三。我们看到第五题，平四边的对角线交于点啊，平四边交于点的话，我们说对角线互相平分， o、 d 等于 o b， o a 等于 o c。 现在这个 e、 f 是 对角线的 o a、 o c 中的重点。刚才说 o a 等于 o c， 那 么 o f 等于这个 o、 c 的 一半， o e 呢？等于 o a 的 一半，所以 o f 等于 o a。 那 么当然这个对顶角也是相等的， o、 d 是 等于 o b 的。 嗯，那我们就有了三角形 o、 b、 e 前等于三角形 o、 d、 f。 呃，理由，我们可以根据 b a。 角 b a， o， b 等于 o d， 对 吧？角 b o e 等于角 d o f。 呃， o e 等于 o f， 那 么这样呢？我们两个三圈了之后呢？ b， e 就 等于 d f 了？好，这里的基础的证明呢，都难度不大。 好，我们看到下面这个题，身体平行四边形的对角线 a、 c、 b， d 交于点 o， e、 f 经过点 o， 且于相交。好。第一个，我们说证明这个 o、 e 的 o、 f， 那 是很容易的啊，咱们随便找两个三角形的，你比如找这个三角形 b， o、 e。 三角形 b， o e 前等三角形 d、 o、 f 的， 你看这个 o、 b 的 o、 d 的， 呃，这个角 b、 o、 e 等于角，这个 d、 o、 f， 这个角叫做 o， b， e 等于角 o， d、 f。 当然这个角 o、 f， d 等于角 o e， b， 这也是相等的啊，所以你可以可以根据角边角 a、 s a， 其实你根据 a、 a、 s 也是行的，对吧？你根据 a、 a、 s 也是可以的。这两个三角形等的话， o、 e 就 等于 o f 了啊，这，第一个，嗯，这个很容易， 我们来看到第二个，如果这个 a、 d 等于一 b， d， b， d 在 哪里呢？ b、 d 等于二， b， d 等于二，那个 b、 o、 d、 o 也等于一啊，这个 o、 b 也等于一啊，因为这个对角线呢，是互相平分的， a、 c 平分 b， d， b， d 平分 a， c 就是 o， a 等于 o c， o， d 等于 o b。 现在 a、 c 等于二根号，那 o， e 就 等于根号二，哎，这样我们就可以得到 a、 d， o。 三角形 a， d， o， 它就是一个什么东西呢？叫等腰直角三角形等于二 c。 三角形。好，这里就是直角，而且这个角和这个角都是四十五度 啊，角 d o a 角 d a o 等于四十五度。第一个，当角阿尔法是多少度的时候， e f 乘以 a c， e f 要乘以 a c e 角 a o f 等于九十度。刚才我们说角 a、 o d 是 四十五度，所以只要这个角阿尔法等于四十五度就可以了， 对吧？角 alpha 等于四十五度，那么角 a、 o f 不 就是四十五加四十五等于九十度了吗？那第一个还是很容易的。第二个，在一的条件下，现在要求三角形 a、 d、 f 的 周长。 三角形 a d f 周长，那个周长是什么呢？就是 a d 加 d f 加 a f， a d 是 等于一的， d f 加 a f 是 什么呢？ 我们能不能证明 a f 等于这个 f c 呢？而 dc 又等于几呢？ dc 应该等于 ab 啊，那么这个 ab 又等于几呢？ ab， 刚才我们这直角，这边是一，这边是二，那就一的平方加二，平方四开，根号根号五， 也就是说这个 d f 加 f c 就 等于根号五。好，现在我们就要想办法证明 f a 等于 f c。 这里有一个关键的东西，你看到了吗？就是当阿尔法为四十五度的时候，在 e 的 条件下， o a a 等于 o c 直角有一个关键的 啊，就是我们要得到这个 e、 f 啊，是 a c 的 中垂线， 你要没看到它，问题就麻烦多了。你要看到 e、 f 是 a c 的 重叠线，那我们就能够找到重叠线上的点。 f a 等于 f c， f a 等于 f c， 那 么所以 f d 加 f a 等于 f d 加 f c 就是 d， c 就是 ab 就是 根号五，所以它的周长那就是一加根号五。记得点赞关注哦！

八下数学平行四边形重点模型全部吃透，稳进班级前三。八下数学平行线九个重点模型，模型一，垂美四边形模型二，正方形半角模型。 模型三，十字架模型。模型四，对角互补模型。模型五，矩形折叠模型。模型六，梯子模型。模型七，中点四边形模型 八，一线三垂直模型九，手拉手模型一，正方形完整版可打印，有幺零九直接分享！