重庆初二模拟考试几何体

大家好，有同学投稿，希望能讲一下巴蜀初二下学期的这一道期中考试的第十七题。 在正式讲解之前，我先做一个说明。有不少的同学，他们的老师可能会跟他们建议，当遇到正方形或者矩形的几何计算的时候，最好能渐细去进行解决。 但实际上间隙并不是万能的，就本题来说，间隙反而不好做是因为这个翻折的这两个角度是未知的，翻折的这两个角度它也是未知的啊，所以间隙反而不好做啊。我一般都会要求我的学生间隙法和几何法都要熟练的掌握， 在考场上的时候，哪个方法简单就用哪个方法，而不必依赖某一种方法，这样子的话只会把自己限制的很死。 好，我们来看一下这一道题目， a、 b， c， d 是 矩形，将 a、 d、 e 就 这个三角形翻折啊， 所以这两个三角形全等。然后呢，继续将这个四边形 c、 b、 g、 f 翻折，所以这两个四边形也是全等的。好，翻折了以后，大漂和 b 漂在这是重合的，并且 a 大 漂 c 漂共线， e 大 漂 g 也共线，然后告诉我们， e、 h 等于 f、 h， 也就是这两条边是相等的， a、 d 等于根号五， 让我们去先去求 c 漂 h 的 长度。好，既然是翻折，那是不是就要用翻折的性质，翻折前后对应的角和边都是相等的啊，所以这个是九十度， 这个角也是九十度，这个角 b 是 九十度，跟这个角对应也是九十度角， c 是 九十度，这也是九十度。我们先把这些特殊的九十度都看完好，那是不是很明显，这个 c 漂 f 和 e g 就 平行了， c 漂 f 是 平行于 e g 的 啊，而这个 h 它是 e f 的 终点的话，那么很明显这两个三角形 是全等的，这就是一个八字形的全等，所以 h 它也是 c 漂大漂的终点啊。我要去求 c 漂 h 的 话，是不是只需要求出 c 漂大漂就好办了，对吧？哎，好，我们继续来看。反折的性质就是对应的角上的，我们还没有看完， 大家看，那翻折前后这个角是不应该等于这个角的？而根据平行线内侧角相等，上面这个角是不应该等于下面这个角？好，那很明显， a g e 就是 等腰三角形，就是等腰三角形，这个 a g 应该是等于 e g 的。 同样的，我们来看四边形的这个翻折，翻折前后这个角度是应该等于这个桥度，对吧？而根据平行线啊，内错角相等，下面这个角度应该等于上面这个角度，那是不是说明 e f g 这个三角形也是等腰三角形的，所以 e g 等于 e f 啊？好，既然你这个 e f 它是等于 a g 的， 并且它没有平行，所以其实这个 a g f e 是 平行四边形，我们就可以得到 a g f e 是 平行四边形， a g f e 是 平行四边形，那所以这个 a e 就 等于 f g， a e 就 等于 f g， 这两条边是相等的。好，接着我们角找的差不多，就来看翻折前后的边相等，对吧？翻折前后的边相等，你看，首先看已知的边， a d a d 翻过来是不是得到 a 大 漂，所以 a 大 漂也是根号五， 而这个 b c 呢？它是不是根号五？它翻过去得到了谁呢？它翻过去是不就是 c 漂大漂，所以 c 漂大漂也是根号五， c 漂大漂也是根号五。好，那你就会发现什么大漂它是 a c 漂的终点，并且 e 大 漂和 a c 漂是垂直的，这不就是等腰三角形三线合一的那个限制吗？所以呢，我们就得到这个 a e c 漂是等腰三角形， 所以这个 e c 漂它和 a e 是 相等。好，那既然你这个大漂是 a c 漂的终点，对吧？大漂 c 漂是等于根号五， h 呢，又是大漂 c 漂的终点，所以这个 c h 漂它就等于根号五的一半，那就是二分之根号五。我们先把第一空解决 好，接着我们继续来看我们怎么来解决第二空 f 点到 e c 漂的距离，我们可以先做一个辅助线啊，把这个距离做出来，像这样 好，假设这一个垂足叫做 h， 实际上就是要求 h f 嘛，实际上就是要求 h f。 好，那咱们继续来看，怎么去求呢？哎，我们现在已经知道了这个矩形的宽，那实际上还有一个问题没解决，但是就是它的长是多少，如果你解决了长， 这个矩形相对定下来了，它的翻折就是确定的，那你就能求出这一个啊，距离 f h， 所以 我们来看怎么去解决它的长。接着我们是不是就要继续利用翻折性质，对应的边是相等的，对吧？啊？那还有这些边我们没有看呀， e， 我 设为 a， 它翻过来是不是就等于一大飘， 对吧？好，而根据这个八字形的全等，这个 e 大 漂是不就等于 c 漂 f， 所以 它也是 a 啊，那这个 c f 它也就是 a 了， 对不？啊？好，我们再来看，那这个大漂 g 呢？就这一条边翻着过去，它是相等的，和这个 g b 相等的，它的长度是 多少呢？刚才咱们是不是已经知道 c 漂 f 和 e g 是 平行的，而这个 f g， 你 看图，它和 e c 漂是相等的，所以这是一个等腰梯形，这是个等腰梯形，对于等腰梯形来说，它具有左右对称性，对不对？所以我们可以 把这个对称给它画出来，做一条垂直的线，像这样做一条垂直的线， 比如说我把这个叫做 k 点，叫做 k 点，因为它是左右对称的，对吧？所以这个 k g， 它就等于 e d 漂，它也是 a， 而这个 d 漂 k 呢？它是等于 c 漂 f， 所以 它也是 a 啊，它也是 a。 好， 那咱们是不是得到了 e g 上是三 a， 而这个 e g， 你 来看，这里 e g 和 a g 和 e f 都是相等的，它等于 三 a， 等于三 a。 好， 现在呢，我们就可以把这个 a 定下来了。实际上你来看一下啊，你这个 e f 等于三 a， 对 不对？那你这个 e h 不 就等于二分之三 a 了吗？ 你这个大漂 h 是 二分之根号五啊。那在直角三角形 e e 大 漂 h 当中，我们可以用勾股定律啊，对吧？用勾股定律，那就是二分之三 a 的 平方应该等于 a 方，加上二分之根号五的平方，我们就可以得到 a 啊，是一，这个算起来很简单， 这个 a 就是 一。好，那就意味着我在直角三角形 c 漂 f h 当中，这个 c 漂 f 是 一，我们就得到了。我要去求这个 f h， 我 是不是只需要知道这个角度 阿尔法，他的三角函数就可以，对不对？而这个阿尔法通过很简单的倒角就可以得到，他等于这个阿尔法啊，他可以得到等于这个阿尔法。 我们来算一下这个阿尔法他的正切值探见的阿尔法，那不就是在直角三角形 e 大 漂 c 漂当中吗？用 e 大 漂去除以 c 漂大漂，这个 e 大 漂是 a， 它就是 e c 漂。大漂呢，是根号五，也是根号五分之一，这就是贪间套 r 法。所以这个 f h 啊，我们做的这一个垂足 垂线段 f h， 它就等于 c 漂 f 乘以扩散而法，对吧？扩散而法，我们画一个辅助三角形来算，这是 r 法， 看见的是一比根号五，这是一，这是根号五，所以斜边就是根号六。 c、 p、 f， 他 是 a 嘛？ a 就是 一，一乘上括号乘以二法就是根号五，除以根号六，这个化简得到六分之根号三十， 所以这个距离是六分之根号三十，这就是这一道题的分享。好了，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学压轴题！

大家好，这个投稿是一中初二下学期的期中考试的几何压轴题。我们来看一下三角形 a、 b、 c 当中 c、 d 是 垂直于 a、 b 的， 然后 b、 q 是 垂直于 a、 c 的。 好，并且有 a、 d 等于 pd， a、 d 等于 pd 啊，我们第一问不看啊，第一问比较简单。 好，那实际上读题读到这里的话，你就已经能发现有一对儿全等了，你就已经能发现有一对儿全等你看啊。因为 c、 d 垂直于 a， b、 q 垂直于 a、 c， 所以 根据八字形的模型，或者有的人叫飞镖模型，这两个角一定是相等的， 对不对？再结合 a、 d 等于 d、 p， 对 吧？那是不是一定有三角形 a、 d、 c 全等于三角形 p、 d、 b 啊？就有这么一对儿全的，那就意味着 d、 c 是 等于 d、 b 的 啊， d、 c 等于 d、 b 啊，那不就说明 b、 c、 d 是 等腰直角三角形吗？对吧？所以呢，我们就会有等腰直角三角 b、 c、 d 是 等腰直角三角形。好，我们继续来往下读题，他说 e 呢是 b、 p 的 啊， b、 p 的 中点过 e 做了 b、 p 的 垂线啊，这个是垂直的，交 b、 c 于 f。 第二问，他说 d、 h 是 b、 d、 c 的 角平分线，让我们去求证 这一个，然后让我们去求证这一个，出现了根号二，对不对？出现根号二的话，一般我们要去构造一个等腰直角三角形，在这里呢，我们最好把根号二除过去，因为除过去的话，我只需要去构造根号二分之 pc， 对 不对？我只需要构造一个线段， 如果说你乘到右边的话，你要构造两个线段的根号二倍啊，它也许会麻烦一些，所以我们把它除过去，它就变成 b c 除以根号二。而刚才咱们已经证了 b c d 是 等腰直角三角形，所以 这个角 b c d 是 四十五度，那根号二分之 b c 的 话，我就可以这样构造，就做一个垂线段下来，像这样 假设这个垂足是 m， 对 吧？那所以 p m 跟 c m 都等于 p c 除以根号二。好，那所以接下来我们这个证明是不是就转化成了 c f 减 d h 等于，要么等于 c m 或者呢 等于 pm？ 我 们看一下我们取哪一个好呢？在这里的话，你取 c m 会好一些，因为这个 c f 它和 c m 它是在同一条线上的啊，所以呢，它们可以直接做加减啊，所以到时候你就可以把这个 c m 减过去，相当于你要证明的是 c f 减 c m， 你 看这个图，它是不是就变成了 f m 等于 d h 啊？就它们相不相等，所以呢，我们要证明的是 f m 和这个 d h， 对 吧？哎，好，那怎么去证明它们相等呢？是不是常规的思路都是要去找全等，那怎么去找全等？接下来我们来看一下我们还有哪些条件其实还没有用的，要想办法把这些条件用起来，这可能就是整全等的关键。 第一个条件就是这个一啊，它是终点，这个终点是不是还没有用，对吧？还有呢，那就是这个角平分线好像也没有用起来，对不对？哎，还有就是这个 e f 和 b p 是 垂直的，也没有用好。我们先来看这个 e 是 中点，怎么用啊？我们注意到这个 b d p 啊，它像是一个直角三角形，这个 b p m 也是直角三角形，这个 b p 啊，它是斜边，对不对？那既然我在直角三角形的斜边取了中点，那往往不就是要用斜中半嘛， 对不对？所以呢，我们把斜中半连出来，我们要再连一条线，那就是把 e m 连起来啊。 好，根据一斜中半的话，我们能得到什么呢？是不是我们就能够得到这个 e？ 它是等于二分之一 b p 的， 对不对？好，这个二分之一 b p 也等于 e m。 好， 所以你看一下，我们是不是就有这个 e m 和这个 d e 是 相等的，对不对？而我们要证明的是 d h 和 f m 相等，那很明显，我们要构造的全等不就出来了吗？就需要去证明 d e、 h 和这个 m e、 f， 它们是全等的，对吧？现在我们已经有了一对边， e m 等于 d e 相等，对不？那我们怎么去找角呢啊？就比如说，假设我们要去证明 这两个角相等不可以呢？啊？在这里很明显，是不是就会涉及到九十度？因为这个 e、 f 是 垂直于 b p 的 啊？ 好，所以如果说我们能够证明 d e、 m 这个角是九十度的话，那打两个点的那两个角度，它就相等了，对吧？那这个 d e、 m 等不等于九十度呢？实际上这个证明很简单， 因为我们有两个直角三角形，对不对？所以很明显就能得到 d b m p 是 四点共圆的， d b m p 四点共圆， 那不就可以得到这个角 d e、 m 它是圆心角，对不对啊？它是圆心角，它就等于圆周角的两倍啊， 等于两倍角， d b、 c 不 就是九十度了吗？好，所以我们打点的那两个角角， d e、 h 和 m e f 是 相等的，这就有了一对角啊，那剩下的角我们还可以找谁呢啊？我们索性都找锐角好了，比如说找 这个角和这个角相等，对吧？啊，这个还是比较好找的， 我们同样利用斜中半，你看看这个角和这个角是不是应该相等的啊？而这个角呢，是不是和这个角应该相等的，对不对啊？而 打点的和这个角和是四十五度，对不对？哎，所以我们就可以证明这个 e、 d h， 它就等于 e b f， 那 就等于 e m f 啊！在这里我们简单的写一下，角 e， d， h 等于四十五度减角 b， d e 好， 那就等于角 e， b， f 等于角 e， m f 好， 所以呢，我们就可以证明三角形 e、 h 全等于三角形 m， e、 f， 所以 我们就证到了这个 d h 又等于 f m， 而这个 f m 呢，等于 c f 减 c， m 又等于 c f 减二分之根号二倍 p c， 你 再移一下项，就可以得到题目要你证的结论了，这是第二题的证明题。好，我们接着来看第三题， 这是一个动点对折问题，他说如图三， b， d 等于十啊，我们注意这个 b， c、 d 是 一个等腰直角三角形，并且 a、 d 是 等于 b p 的 啊， d p 的， 这是之前的条件， n 呢，是 b c 上的一个动点啊， m 是 中点，是 b d 的 中点， n 是 一个动点，且满足 a， d 等于根号二倍 b n 啊，那这个 a d 是 不是它等于 d p 的 嘛？对不对？所以其实就是 d p 等于根号二倍 b n。 好，让我们去求这个 b n 加 n m 的 最小值，那这是一个什么样的模型？所以像这里就涉及到了逆等项模型，逆等项模型还记得我们在之前的这个几何视频当中有讲过逆等项啊，它是这样的， 可以是三角形当中 a、 b、 c 在 b a 上有一个动点往这个方向动，假设是 p， a， c 上有一个动点往这个方向动，假设是 q， 然后 b p 始终等于 a q， 这就是 b 等线，对吧？就是两个动点在不同的这个直线上动啊，这是 b 等线，当然它可以是四边形。这种情况，比如说一个长方形， 这是 a， 这是 b 啊，在这条线上动，这是 p 点，在这条线上动，这是 q 点啊， a p 等于 b q， 这也是逆等线的这个问题。 好，那这道题呢，它是属于加权的逆等线啊。加权的逆等线就是说它在运动过程当中啊，你看 a、 b、 c， 这个 n 呢，在这个上运动， p 呢，在这个 b、 c 上运动啊，这是 d， 然后这两条线段它不是相等的关系，它是根号二倍的关系 啊，这个是 p 点，它是 d， p 等于根号二倍 b， n， 这是逆，这是加权的逆等线，就是说它带系数的系数不是一。 那对于加权的逆等项，我们怎么来解决呢？啊？那实际上对于所有的逆等项问题，我们都可以采用三个方式去解决它啊，就是到时候看题目的具体情况啊，总有一个方式是能够解决的啊。我们来简单写一下逆等项的问题 啊，你可以从哪三个方面来考虑呢？一个就是平移，这个我们在前面遇到的有一道逆等项的题，就是用平移做的，对吧？还有呢，就是构造全等， 这个呢，适用于常规的逆等线，就是不是加权逆等线的那种？如果是涉及到加权逆等线呢？它往往是要找悬星， 然后去构造相似这一道题，它就需要去找悬星构造相似，那什么叫做找悬星构造相似呢？啊？这个其实很简单，它其实有点像手拉手，就是我们有两个相似的三角形，看到没有？ a、 b、 c 和 a、 b、 e 这个三角形 a、 b、 c 是 相似于三角形 a、 b、 e 的， 你看，这不就是一个手拉手的模型吗？ 对吧？它们有一个公共的顶点 a 啊，那这个 a、 b、 c， 我 可以看成它绕着 a 点旋转一定的角度，旋转到了这边，像这样旋转到了这边， 旋转到了 a 漂、 b 漂、 c 漂，然后把这个 a 漂和 a、 b 漂、 c 漂，这个三角形通过一定的缩放，就可以和这个 a、 d、 e 重合了啊，而这个 a 点就是弦心啊，就是旋转的中心。 ok， 那 对于这种加权利等线的问题，我们往往要去找悬心啊，找悬心，我们怎么来找呢？哎，我们要找到的这个悬心，我把它叫做 o 啊，把它叫做 o， 别说我随便定一个，它具体在哪里我现在不知道，在这， 对吧？那相当于我这条线段 d、 p， 我 要绕着 o 旋转，旋转一定的角度，然后对它进行缩放，缩放为根号二分之一嘛，它的长度就变成 b、 n 的 长度了，并且恰好要和 b、 n 重合，对吧？哎，为了找出这个弦型在哪里，我们把这个 连起来，相当于我这个 o、 d、 p 绕着 o 点旋转一定的角度，然后缩范围根号二分之一，就会变成 o、 b、 n， 对 吧？就会变成 o、 b、 n。 首先我们来看要旋转多大的角度呀？原来你的 d p 是 不是这个样子的？我们先不看说法，我们就光看旋转，它旋转了以后要变成 b n 的 那个方向的话， b n 它是水平的散， 对吧？所以你这个逆时针旋转的话，你应该是旋转四十五度的，旋转四十五度，所以这个角 d o b 它应该是四十五度。 好，旋转了以后是不是有一个缩放啊？缩放为原来的根号二分之一嘛？啊？因为旋转以后， b n 它的长度比 d p 小 了嘛，所以你要乘上根号二分之一，有一定的缩放，那就意味着你这个 b o 除以 d o 是 等于二分之根号二的，等于根号二分之一，对吧？好，所以你看看这个角度，它是四十五度， d o 和 b o 又是根号二倍的关系，那就意味着 dbo 是 等腰直角三角形，它是等腰直角三角形，对吧？因为只有等腰直角三角形，才会有这种既有四十五度，又有根号二倍的关系，对不好？那所以这个悬心其实我就已经找出来了，我们来重新画一个图， 这是 d， 这是 b， 这是 c 啊。然后 dbo 是 等腰直角三角形，它是不是应该是这个样子的？我做一条垂线下来，然后再延长 这样，这是 o 啊，这个三角形 e、 e o 为等腰 直角三角形，这个 o 就是 弦心啊， o 就是 弦心，那我在这个上面有一个动点 n， 对 吧？我把这个 n o 点起， 这个点就是斜。 好，你看 我是不是看成可以看成 e p o 绕着这个 o 点顺时针旋转了，逆时针旋转了四十五度，然后缩放为原来的根号二分之一，它就变成了 b n、 o 啊，所以三角形 e、 p、 o 是 相似于三角形 b、 n、 o 的， 并且它们的相似比是根号二分之一啊，根号二分之一， 那不就意味着这个 n、 o、 p， 它也是等腰直角三角形了吗？对吧？ n o， p 也是等腰直角三角形，所以呢，这个是四十五， 这个 n p 就 等于 n o 啊，好，而我们要求的呢，你看一下，是 p n 加上 n m， 这个 m 是 不是在这个地方，它是 b d 的 中点，对吧？ m， n 加上 n， p 加上 p， n 是 不就变成了 m， n 加上 n o， 而这个 o 点弦心，它是一个固定的点啊，它是一个固定的点 好，所以 m n 加上 n o 最小，是不是就是直接把 m o 连起来，对吧？它的最小值就是 m o， 具体的长度的计算就很简单了，这个是五，这个是五， 对吧？这个 b、 o 呢，是十，这是垂直的，所以这个 m o 就 等于根号五的平方，加十的平方就等于五倍根号五。 好，这道题呢，涉及到了逆等线啊，加权的逆等线，加权逆等线啊，不管是加权的还是不加权的逆等线，他其实都可以通过这里讲的三个方式去进行思考，一个是平移，我们以前讲过，一个是构成全等啊，这个是非加权的逆等线用的比较多， 然后最后呢，是全新相似，这个是加权逆等线用的比较多。好，这就是这道题的分享，欢迎关注，强哥教你搞定四大金刚初中数学压轴题！

大家好，有同学投稿，希望能讲一下巴数初二下本期考试的这一道第九题，我们来看一下，在正方形 a、 b， c、 d 中， e 和 f 都是中点，然后 a、 f 和 d， e 的 交点是 g， 然后呢， o 是 a， c 的 中点，然后告诉我们 o， h 等于一， 然后让我们去求正方形的边长。那既然 h 和 o 它都是 中点，是不是马上就会有中微线，所以 o， h 呢？它就是三角形 a， c、 g 的 中微线，我们把 c、 g 连起来，很自然，这个 c， g 就 等于二。 那接下来我们就要基于这个 c， g 等于二去求正方形的边长。在这里呢，我介绍两种方法，一种是几何的方法，从三角函数去进行考虑， 我们可以发现这个角度阿尔法，它是一个确定的角，它按键的阿尔法正切是等于二分之一的。那我们呃， c、 h 的 话，是不是可以在 c， g， d 这个三角形当中去看啊？这个 c、 h 阿尔法这个角是确定的，是已知的。如果我们能够把 d， g 和 d， c 表示出来，那是不是可以用余弦定力把 c、 g 表示出来，我们就得到一个方程，这样子我们就可以把边长求出来啊。 好，为了方便求解，我们从最小的线段开始去设啊，在这里呢，我们可以设 g， f 这条线段是 a， 那 么很明显 d， g 就是 两 a， d， f 是 根号五 a， c， f 也是根号五 a。 好，那我们接着是不是就可以用余弦定力啊？用余弦定力， c， g 的 平方好，也就是等于四，它应该等于 eg 的 平方，也就是两 a 的 平方加上 dc 的 平方，也就是两倍，根号五 a 的 平方减去 两倍 e， g， 也就是二乘二 a， 再乘上 d、 c 两倍，根号为好，再乘上扩散阿尔法，根据探见的阿尔法等于二分之一，我们可以画一个阿尔法的三角形 像这样，那么扩散阿尔法就是根号五分之二，所以最后再乘上根号五分之二。 好，这个等式的右边我们合并同类项可以得到，它就是八 a 方，所以四等于八 a 方， a 就 等于二分之根号二。那么这个正方形的边长，它是不是两倍，根号五 a 呀？ 把数据带进来，我们就可以得到，它是根号十，所以这个答案它就选 a。 这是我们讲的第一个方法， 是从几何从三角函数去进行求解。那么第二个方法我们来看一下。 第二个方法，很明显它就是间隙法，像此类几何问题，它无非就是两种方法， 几何法，也就是三角函数法以及间隙法，间隙法就是纯代数方法啊。好，我们可以以 c 点为圆点，像这样建一个坐标系。 然后呢，我们可以设这个边长为两 m， 为什么是两 m 呢？那因为设它为两 m， 那 么 e 点和 f 点，它的这个坐标啊，就不会出现分数啊，就会好一些 啊，所以我们设边长为两 m， 对 吧？好，那很明显 e 的 坐标就是负 m 零嘛啊，所以呢，我们可以写出直线 e 的 表达式，那就是 y 等于二 x 加上 二 m， 对 吧？然后呢，还可以写出直线 a f 的 表达式， 那就是 y 等于负二分之一 x， 因为它和 d e 是 垂直的，所以它的这个呃斜率是二的，负倒数是负二分之一。好，再加上我们 好把它们两个方程连立起来，是不是就得到交点 g 的 坐标了？好，所以我们连立求解就得到 g 的 坐标，这个连理求解很简单，就得到负五分之二 m， 这是横坐标，纵坐标是五分之六 m。 好， 然后 c g 是 不是等于二的？所以呢，接着我们就用点到圆点的这个距离公式，我们就得到 负五分之二 m 的 平方，加上五分之六 m 的 平方，等于二的平方。好，然后我们就可以把这个 m 很 简单的就能把它解出来，是根号十分之五。 好，那这个正方形的边长是不是两倍 m 呢？所以两倍 m 把数据都带进来就可以得到，仍然是根号式，这就是这道正方形的题目，我们采用了两种方法去求解，希望大家两种方法都要掌握的非常熟练。 好，这就是今天的分享，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学压轴题！

平时想把这些题给做对，一个是肯定是得反复练，你是初二的话，你就现在开始练这种大体，你是初三的话，你就科死了一类题型怎么叫刷呢？好，说一下西服二十五题第二问，首先我们看一下，他说三角形 abc 中 abc 是 九十度， 它是指，这个好，我们来标注一下，这样垂直。好，然后 d 在 bc 边上，这个没什么说的。第二问，角 c 是 三十度， 好，给标注上。 ok， e 点在 c、 b 的 延长线上，这些都不用管它这什么在上面好，注意，这既是 d， f 的 终点。好，这就有说法了，它是终点，我建议你们就这样，你画一条线，那中间呢？给它标黑，表示这是一个终点，两边都是相等的。 然后呢，这还有一个信息是 a， e， a， e 在 这， a， d 在 这，然后 c， d 相等。好，你们也可以给他标一下，我跟你说一下，你做这种几何题的时候，你最好去买一种那种多色的圆珠笔， 然后你看见这种相等的线段或者是终点线段，你给他标一下，标一下之后，你下次就看着这个图，你不用去看题目了，我一看这个三个颜色相等，我知道它是相等的 好，然后这不是有个相等的吗？你把三十度也给划过来，三十度划过来，好，三十度划了，我们知道这是个六十度，标在这吧，反正这是相等的，这是六十度。 ok， 那 信息应该完了，这还有个信息， e， h， a 是 这个角，我们给他一个名称，比如说角 c， t， o， k 加上 g， a， d 加上 j， d， 哦，把抄在这的 g， a， d， g， a， d 这个小的这个角等于六十度，等于六十度。 ok， 他 说求 h g 和 a g 的 关系，其实就第一眼看着这个， 其实能感受出来这是个直角，那么这个直角无非就是它到底是一二根号三的关系，还是说是一二根号五的关系，无非就这两种情况，我们来仔细一个一个的操作啊。现在有这个信息之后，我们来观察，他说这个 theta 加上这个 beta， 他是等于六十度的，是这么一个信息，然后我们刚才在这三边相等的信息中得到了，哎，这是六十度，那么这是六十度的话，这也肯定是六十度，那么这就是一个等边三角形，好，我们给他画出来等边三角形， 哎，表示这几段红色的都是相等的，然后这地方有个黑色的，来区分一下这段，这段、这段，这段全相等，所以我知道什么呀？所以我知道这是个六十度，哎，这是个六十度的话，那么这是 c， 嘣，把这个东西 c 它给弄进来，对吧？ 我们画一下，把 c 它给它弄进来， ok， 好， c 它进来之后，仔细观察一下这个终点，想到终点我能想到什么呀？想到终点无非就两种，要么是中线被长，要么就是中位线。 然后我观察下，假设中线被长，我发现这个 theta 可以 移到这来，再加上这有个 theta， 这有个红色线，这有个红色线，我马上就知道原来是要让我挣这两个圈的。 ok， 我 对他做一个中线被缠，先把这个被缠出来，被缠到这，好，做一个到这，好，到 m 点。 ok， 好， 那么我们观察一下这中线被缠了之后肯定有个八字圈，等八字圈，对，他直接跑到这来，我们把标志上这是个 c 档，好，来观察一下基本信息，这条是红色的， 这条是红色的，这也是红色的。这条我不用红色啊，免得引起误会，我换个黑色的， ok， 这是红色的，这是红色的。灯边的这是 c t， 这是 c t。 再找一个就行了，随便找一个就可以了。来想一下，怎么找到另外一个信息呢？因为我们知道刚才这个地方是不是，哎？知道了， c t 加上 b t 是 不是六十度的？ 那么你观察这是不是有一个外角，这是一个六十度的外角，这是 c t， 那 么这个地方指定就是 b t 了， 所以这个地方是贝塔。好，这是不是就齐了？齐了之后我们就得到这个三角形和这个三角形也能全等。好，我把前面的两步跟你说一下，首先第一步被乘 a g 至 m 点，使得 a g 等于 g m。 明白，好，然后呢？连接 md 吧，连接 md 了之后， e 正，正什么呢？正，这个八字全等，正，这个八字全等。正完，八字全等了之后就正，刚才我们构造出来这个，这个三角形和这个三角形全等。刚才我提到过了，有这个边 还有一个 theta， 再加上刚才新找的一个 beta， 这个三个相等的，所以说这两三角形是全等的。好，全等之后呢，我们现在的核心问题就是要正，能不能正到？这个是一个直角三角形，为什么要正它呢？你观察这里是一个 h g， 这里是 a g， 对吧？这是 h g， 是 a g， 如果他能够是一个直角，这边本身已经是个六十度了，说明这个问题是不是就解决了？那他怎么才能是个直角？这又是个中点，我想到他有没有可能是三线合一的地方？好，于是我想把这边连一下，看一下能不能正出来， 比如说我正出来他是个等边是不就可以了？还记得刚才我们正那个全等吗？这个和这个全等，这个蓝色线就可以把它划到这来， 这也是蓝色线，那么这也是蓝色线，这也是蓝色线。这个地方 c 它加 b， 它一直都是六十度，说明这是一个等边三角形。既然它是个等边三角形的话，那么我们第四步正 a h m 是 等边三角形，这就搞定了。搞定之后， 一开始是不是说了，这是背长出去的 g 点就是中点，那么这个地方就是他的三线合一，三线合一就是他的高，这就是直角。直角的话，那么 a g 和 h g 的 比值就刚好是刚好三， a g 等于 h g。 我 跟你们说一下，你要平时想把这些题给做对，一个是肯定是得反复练，你得把所有比如说七龙珠的题把 他全部弄出来。每周你刷个四个题，五个题，你说四题五题，多了三个题，怎么叫刷呢？就是如果你一开始不会，你就慢慢的看一下答案，把他的所有思路按照自己的一种方式把它写出来，每一个步骤你要能看懂，哎，这个步骤，哦，是这样整，这个是这样整，这个是这样整，每一步都要从你脑子里去过一下。 然后题的话，你其实很好找，比如说你找一下，比如你找林老师要也可以，或者直接你去市面上买也行，把所有期中出的这种大几何题找一下，最后几天你还来得及。如果你是初二哈，你是初二的话，你就现在开始练这种大题， 那种二次全等、三次全等才能出来的一种大几何。你是初三的话，你就磕死了一类题，比如说你说中线备长，我不是很会，那你就练四点公园， 就确保了把一类题给练透。你不要去想着我什么题都来一点了，因为在这个时候的最后几天了吧，你得堵方向了。比如说你就把四点公园的题型练会，万一考试就考这个，我就把这个背长，中线或者中位线的练会，总有一个方向是 你能够把它练熟的。这是我刚才要跟你说的，最后几天怎么去练这个几何，还提的一个事啊，就说如果这种几何，比如说你找到一个老师，你听他讲了一遍之后，最后把它录下来，比如今儿我把这个课程录下来， 录下来之后回头，哎，我学生过来，他说老师，这个题上次我没听懂，没听懂对吧？我再去讲一遍的话是不是很费神？或者三个、五个同学没听懂，哎，那我怎么办呢？我由于上次是录下来了的，我把这个视频再给他，你再听一遍，再把细节给扣到位，反正我们每节课都会录的，录过录了之后都放在我们小程序里边。好了，最后几天了，你们也加油吧，今就说这么多。

初二家长注意了，挖机和总丢分多半卡在全等三角形。角平分线模型上，很多同学背会了角平分线性质，一做题就不会用。 记住核心套路，见角平分线就有三种，辅助线做垂线接等长做平行线任选一种就能构造全等三角形。题目里只要出现了角平分线，不用瞎琢磨，直接按固定辅助线思路走，边角关系立马清晰。 很多娃儿只会硬算，不会识别模型换过图形就看不懂了。考试大题经常卡扣丢分。 角平分线是全等三角形的高频必考模型，也是中考几何大题常客，把这个模型吃透，不用海量刷题，几何思路瞬间通透，初二数学就能稳稳提分，赶紧收藏给娃儿多看几遍！

前年初二期末数学考试题二十五题的第三问，学霸只需要五秒钟。我们来看一下三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 角， b、 c 等于阿尔法点 d 在 a、 c 上，如图，点 k 在 a、 b 上，满足 a、 k 等于 cb 好。若 a、 b 等于 a、 c 等于六，当 b、 d 加 c、 k 取得最小值时，直接写出 a、 k 的 值。那么看这里面有两个动点，双动点， 还有 a、 k 和 c、 d 相等等线段来看，这个就是标准的逆等线模型。 我们的方法就是通过几何变换将这两个动点合并， 这里等线段 a、 k 放过来， c 刚好成和。哎，我们的方法就是做个平行，做这一条 c、 e 平行于 ab， 并且 c、 e 等于 ab， 那 我们来看接下来连接 b 好，平行的话，这个角就是 r 法，这个角和 a、 a、 b 就 和 a、 c 相等来， c、 d 等于 ak， 那 说明这个三角形 a、 k、 c 和 c、 d、 e 全等，就相当于把这一个三角形放到这边来了。接下来我们看是不是 c、 k 就 等于 b、 d。 那 所以 b、 d 加 c、 k 就 等于 b、 d 加 d、 e 来什么时候最短呢？它就大于等于 b、 e。 当 b、 d、 e 三点共线时， 好， b、 d 加 c、 k 取得最小值 得。 三角形 a、 d、 b 全等于三角形 c、 d、 e、 c、 d 就 等于 a、 d， 那 就等于二分之一， a、 c 等于三， c、 d 和 a、 k 是 相等的，所以 a、 k 就 等于三。 如果初三的同学学了平行四边形 a、 b、 c、 d 就是 一个平行四边形，好，更加直观，那这里这个地点就是平行四边形的对角线的焦点。平行四边形对角线相互平分。

如果你现在正在吃饭，赶紧把饭倒了，听我讲一个重要的试卷，如果你现在在初二，数学在一百三十分左右，那么这个视频一定要看完。这个视频我会带着你把这张鲁班八年级期末卷的压轴题难题全都精讲一遍，包括了几何综合题、代数综合题、二次函数压轴题。好，话不多说，我们开列，那我们来看一下这道题啊，这道题是 鲁班的巴夏期末卷，然后我只把这几个难题讲了一下，九题、十题，还有这个十七题，以及后面的二五二六这几个题啊。其他简单题你们自己做就行了。那我们先看下第九题，我带着你们把题目给过一下哈。首先这是个正方形，这是个正方形，一点是任意点， a， e， b 是 一百三十五度 b， e 垂直 e c， 这 b e 垂直 e c， e c 等于八，这给了一个八的形，形求 a b， 就 求正方形的边长。那我们来看下这个题具体怎么操作呢？首先因为我看到这有个一百三十五度，所以我想到他的一个补角应该是四十五度，那么我就对他进行一个，对他进行一个延长， 延长之后这有个四十五度。好，所以延长之后，我对他这进行了一个构造，构造了一个手拉手全短出来。具体怎么操作呢？我们看一眼。首先 延长 a e， 延长 a e 到这个位置，然后做 b e 的 垂线，这是做的一个垂线，交 a e 于 m， 然后因为这是做的垂线，这是一个九十度，然后这是它的一个补角，四十五度，所以说这个 e b m 是 一个等腰 r t e b m 是 个等腰 r t a b 是 我们要求的，现在我们要求 等于说求 ab， 求 bc， 都是一样的，都是边长，所以我对这进行了一个延长，这构造了一个直角三角形啊，用勾股去解它，好。第三步，我们可以观察到，这由于是一个等腰 r t， 而这也是一个一样等长的 ab 等于 bc， 其实你可以马上看得出来，其实这是一个手拉手全等。 第三步，手拉手全等好，手拉手全等。之后呢，我们就得到一些很有用的信息，比如这是一百三十五度，那么这是一百三十五度。我们把拆分一下，由于这是四十五度， 所以这是一个九十度，这是九十度，由于这是四十五度，所以这个 emc 是 等于 r t。 ok， 好， emc 是 等于 r t 了，之后这是四十五度，转过来，这也是四十五度。好，所以这边也是一个等于 r t， 也就是 b n m 也是个等于 r t。 好， 我们可以开始操作了，这是八， 所以这里就是四倍根号二。好，这是四倍根号，这边也是四倍根号二，我们写上，所以这个 b m 和 b e 就 应该是四，好，这是四的话，那么 b n 就 应该是二倍根号二， 这下面也是二倍根号二，所以我们就得到了这段长是六倍根号二，这是二倍根号二，那么就可以解这条啊，这这个直角三角形了，对吧？好，解出来是四倍根号五啊。仔细观察一下，看一下有没有什么疑问，我给你放在这里自己记一下。下一个题观察一下，他说 m 是 这么一长串， m 是 一长串，然后它的系数呢？ 均为整数，均为整数。好，其中满足 a 零小于 a 一 小于 a 三小于 a 四，但其中注意了， a 零是可以等于零的， a 四是可以等于二十的， 而这个这个表示的是每两个相邻数的差值必须是在二到四之间。也就是说，比如说 a 三和 a 二，你的差值只能在二到四之间，不能太大了这个数。然后他说下列是说法正确的是哪些好？先看第一个，他说满足整数条件，当 x 等于一的时候， m 能够去到二十五这个值。 首先我们观察 m 等于这长串，当 x 等于一，那我们就把 x 全带一，那只剩下了它前面的系数结束，就是 a 零一直加到 a 四。好，我们来调整一下射，比如说射 a 零是最小的， 中间这边我也是尝试了很多次，尝试了两到三次，把它凑出来了，刚好有个二十五，就是这儿取三，这儿取五，取七，取十，刚好这个加起来是等于二十五，我保证了它一定它们的间隔在二到四之间。比如说如果你随便取，比如零二 四，你到后面的话，你取出来的值你可能没有二十五，如果你取大了，比如说零二四，后面要取到，呃，比如说要十一或者是十一才能满足他，对吧？ 这种是其实是可以的。然后呢，这种三五七也是可以的，主要是看你自己怎么取这个值，你也不能取的太离谱。比如说零五七这种就不行，因为它超过四了，你取值的时候 一定要注意，它不能超过四，也不能小于二零到二，二到四，四到八，这是可以的。这取出来是刚好是十加四十四好，这里取十一好，上面这一组也是可以的，这组是我刚才试出来的，你也可以试一下哪些是满足的，哪些是不满足的，所以第一个怎么都是正确的，它存在就行了。 好，我们来看第二个题啊。第二个题的话，他说 m 在 x 等于一的这个位置， x 等于一的这个位置，满足 a 零等于五 五， a 零等于五的话，你就把 a 零取五放进去。好，他说这个 m 要等于六十三，我们把它按顶格处理，就是全都是间隔四，那么就是五九十三、十一、二十一， 这个时候取出来的值是六十五，但是他说能不能让 a 二取到十二，假定 a 二取到十二，那么五九十二，这里就变成间隔三了， 后面呢，我尽量让它满上，这里就间隔四，间隔四。好，但是呢，如果你要保证等于六十三，你会发现这个加起来的话刚好是六十三，但是必须是最后一位得二十一。但是二十一就不行啊，这里它间隔是五了，我们规定的间隔是四，所以说你当 a 二取十二的时候，后面无论你怎么取，无论怎么取都取不出来，你说能不能往前面调整呢？ 这里，这里也没办法往前面调整，因为在这个位置的话，这是九，你要往前面取，取到八的话，五和八倒是满足，但是八到十二的话的话，你你不能往前面调整，往前面调整的话，你后面还得继续打，比如变到二十二去， 那肯定不行，所以的话你只能取到这个值，这是最最小的一个值了，但是你依旧不满足，这是等于五，所以说你要取的话，你可能只能从其他地方去调整，才能取到六十三。你要从 a 二等于十二这个地方去调整，是取不到六十三。好，让他说第三个 a 零加 a 四等于十，满足条件的 m 有 十三个啊，没有十三个哈，我们来看一下 a 零加 a 四等于十。我们先考虑第一种情况，零和十的情况，然后依次讨论。 呃，先取最小的二四六，对吧？好，然后二四不动，取二四七，二四八，二四八，二四九就不行了，间隔小于二了。好，然后我们就开始把这增加一个二五二五七型的，二五八型，二五九也不行了，再来二六二六八可以，二六九不行，而前面不能增加了，因为再就是二七了，二七间隔就是五了， 这就不行。好，二四六取了之后，取大一点点，三五七，三五七是最小的，然后再在这三五八，三五八的话，这个位置就不能往后面取了，然后这前面也不能动了，再往前面动，动三六八， 三六八，三六八。取了之后没有三六九了，好，就停止，那就四六八，四六八是零和十的，零和十的以后，最后一个 取不到，其他值了。然后呢？零和十考虑完了之后，我们再考虑一和九，一和九，考虑的结果只有一三五七，尤其只有这一个，因为这间隔全都是二，抵满了， 没有可以动的了。好，然后呢，你说如果取二和八的话更不行，因为二四六八的话，这已经是直接是零了，不行，所以说它一共只有十一个，把这全数下来只有十一个，所以这个第三个是错的。哦，所以这个题的话应该是选 b。 好， 来看下十七题，十七题比较简单，十七题先带着你把题过一遍。在平四边形 a、 b、 c、 d 中， e 为 a， b 上一点，将 b、 c、 e b， c、 e 翻折到 c、 e、 f b 点恰好对应它 f 点在这个位置，然后呢，做了一个垂直 ef， 垂直 a、 d 啊，这做了一个垂直，垂直完了之后呢？这是个 a、 d 是 十二 a d 十二 c d 五，但是我们可以马上想到应该是个五十二十三的一个三角形， 那看一下能不能把它正出来哈。求 b 的 长度，求 b 的 长度的话，其实也是求 e、 f 的 长度。呃，这是五，这是十二，所以 bc 是 十二， bc 是 十二之后，这里是一个。呃，相当于是角平分线吗？角平分线到内错角上去，这是二 c 塔，这是二 c 塔，这是阿尔法，这是阿尔法，这也是二 c 塔， 对吧？因为阿尔法加上二 c 塔，这是垂直的，说明这是能理解吗？因为这也是垂直的，所以阿尔法加上二 c 塔，这是垂直的，所以阿尔法加上二 c 塔，这也就垂直了。 这也垂直了之后，它是一个平行的啊，这也是垂直的。为什么是平行的？因为它说是平行四边形嘛，那说明这就是一个直角，这是直角的话，那么这就是五幺二幺三的一个。 呃，三角形五幺二幺三号，这就是一，那么因为这段是十二吗？这段是一，那么他求 b 一 的长度，也就是求 e、 f 的 长度。那么这个问题就比较简单的，你可以改写成 af 比上 f 一， 恰好等于五比十二，然后 af 等于一好，然后你就把 f 一 给求出来了， f 一 自己去去写一下，就求出来。这个地方比较简单哈。这个题十七题，然后 说一下。先说一下这个题，二十六题，二十六题难度不大，我们来观察一下这个题目，他说 ab 等于 ac， 然后 bc 是 九十度，所以他是一个等幺二 t， 等幺二 t 完了之后， d 在 bc 下方将 cd 哎绕 c 点逆时针旋转好，这也构造了一个绿色的等幺二 t， 连接了 e a e b a e 平行的 bc 上下平行， f 是 终点，好做终点。那么用这个式子表示 a f 和 e d 的 关系啊，观察这啊， 这是终点。很明显，我们你应该想到对它进行一个被长或者是延长，因为具体要看题目怎么说。由于这给了平行的，所以说你不能说被长，因为你被长的话，你不一定 m 能落在 b c 上，所以说你只说延长，那么我们就说延长 a f 到 m， 然后这有平行，这有中点，马上就可以证它，这是个八字全等。 好，第一步，延长 a f 交于 m 点，然后呢证这个这两个三角形进行八字全等比较好，证，不解释了。好，证到八字全等之后，你会发现一个新的全等就出现了，因为我们的颜色标的很清晰，所以这里和这个全等是马上就出来了的。看见了吗？这个全等和这个全等 好，由于这是四十五度，然后两直线平行内错角过去，这也是四十五度，再加上一条红色的边，然后前面全等，蓝色的边，马上就是边角边的全等，这一个全等也就出来了。出来之后他问的是 af 和 ed 的 关系，很明显， am 是 等于 ec 的 好，是有这样的， am 是 等于 ec 的， am 的 话可以改写成二倍 af， 而 e c 的 话，跟这是一个根号二的关系，也就是 e d 除以根号二，所以二为根号二， a f 就 等于 e d 啊，这是这个题啊，比较简单，给你们截图拍照一下，说一下第二十五题， 二十五题第一问直接送你们了，就是 y 等于负 x 平方加二， x 加三，然后我把该的点给你标上去，然后直接看第二问，第二问的话，他是这样的，他说 p 点是 bc 上的一个动点， b 点是一个动点好，然后呢，连接之后，他说当 pcb 这个三角形 面积最大的时候，求 pm 加上 bm 的 一个最值，就是一个典型的将军密码。什么时候这个面积最大呢啊？很明显，根据牵扯法， pr 的 值最大的时候， pr 的 长度最大的时候，就能得到这个三角形的 面积最大啊，具体怎么求呢？把抛物线的方程刚才我们已经求出来了，然后把 bc 的 直线方程求出来，用 p 点坐标减去 r 点坐标，我们来看一下该怎么操作哈。首先抛物线的方程是这个 已经出来了，然后是 b c 的 直线方程，因为这儿有两点嘛，所以说 b c 的 直线方程可算，算完了之后，我们就设设 p 点的一个坐标为 p 等，负 p 平方加二， p 加三， ok， 然后呢， r 点的坐标也为 p， 因为它的一个横坐标都相等，所以说都设为 p。 重坐标的话，就是这个直线方程就是负 p 加三，然后你用上面减下面上面这个，减去下面这个对它进行配方，配方之后，那么 p 点就是取，然后二分之三。但这儿有一个技巧啊， 就说这个 p 点的最值一定是 c 点加 b 点的，加起来除以一半，因为零加三除以二刚好是二分之三，你也可以验证你有没有画对，只要你画出来是二分之三，那就说明是对的，就刚好是这两个点加起来的一半。我们对 pr 配方之后就得到这么一个值，所以说你会看出来 p 点取二分之三的时候， 整个值有八分之二十七。好，然后呢，此时你把 p 点带回去，带回这个方程， p 点横坐标是二分之三，所以纵坐标是四分之十五， 带回去你就把它求出来了。好，紧接着他说要求这段我给你画一下啊。紧接着他要求这段 p m 加 mb 的 一个最小值，这是一个标准的将军密码，我们把 mb 关于这个 y 轴对称过来，得到 b 一 撇， b 一 撇的话，负三负零。好，这个时候我们会发现 pm 加 mb 一 撇的最小值恰好就是 b p 一 撇。好， 这就是他的一个两点间最短的。那么怎么求呢？哦，只需要知道 b 点的一个坐标和 p 点的一个坐标两点间具体公式就直接出来了啊。如果两点间具体公式不会的话，你这个你得问问老师或者查查资料了，我直接给你写了，我给你算出来了。 b 点是负三斗零， p 点是二分之三斗四分之五，两点间具体公式。好，这是他的最短值。好，第二问非常简单，简直是最基础的，必须要会，我们看下第三问，也是要会的。这个题难度比较小，他说先将 原抛物线沿 c b 运动，有说法的 c b c b b 是 这样移动，移动到这儿，使得新抛物点经过 b 点这样过来的。 ok 啊，其实你说这个题它到到底怎么移移动的，你可以观察一下，你看 c 点到 b 点，这是一个四十五度的， 等于二 t， 相当于是下三右三。所以说你把原抛物线向下平行三个单位，向右平行三个单位，那么新的抛物线就出来了。新的抛物线我直接给你了，这就是新的抛物线，原抛物线进行下三右三就出来了。好，新抛物线出来了之后呢，我们还会得到那些信息？他说新抛物线与 x 的 一个焦点即为 e 点，这是 e 点，我帮你求出来了，是五斗零。这个求法也比较简单，新抛物线它的一个两根式就出来了， e 点是五斗零。他说与原抛物线的对称轴交于 d 点， 这交于 d 点，那么远，抛物线的对称轴是 e， 那 么这就是一等负八，在这个位置，已知 n 为新抛物线上的一点好，随便找了一点，他说满足。好，这注意，我画给你看。 n、 e、 d， n、 e、 d 是 这， n、 e、 d 是 这个，加上 b、 c、 o， b、 c、 o， 这是个四十五度。我给你写一下这四十五度，就说这个角，这个 c 塔加上这个四十五度，恰好等于 b、 e、 d， 那 不就恰好满足了？ 刚好有一个四十五度，加上一个 theta 角，等于一个完整的 b、 e、 d 角， b， e、 d， 这个大角好，直接写出所有的符合的 n 点好，并写出求其中一个过程。我把两个过程都写了好，最简单一个是怎么弄呢？ 最简单一个就是直接在这做一个四十五度的线，那么做了四十五度的线之后，你观察一下， n、 e、 d， n、 e、 d 不 就这个 theta 吗？ b c o 不是 四十五度吗？就替代为这个四十五度，好，替换成 b e d。 这样想等了，那么这个题怎么求呢？你可以这样求它，你把一 n 一 的方程给它表示出来，这个方程它斜率为一嘛？是不斜率为一嘛？这个地方因为是四十五度的， 又经过点五斗零，所以说你可以马上把它的直线方程给秒出来，就是 y 等于 x 减五，那么 y 等于 x 减五之后，这是一个直线方程，这是一个抛物线，你只需要把直线方程和抛物线连立起来解方程，你就能把这个点 n 等于二斗负三 出来。你解出来的时候应该是两个值，一个是五，一个是二，五就是 e 点嘛，二的话就是 n 一 点，那么你就可以把第一个 n 一 点就解出来了，这是最简单的那个，那第二个复杂一点。好，我还是详细讲一下， 讲一下哈。首先第一个点在这出现了一个 c 叉，那么第二个的话，它肯定是在这个位置出现一个 c 叉，才能保证满足刚才那个角度的一个关系式，所以这个 c 叉出现在下面。出现在下面在哪呢？在这个位置它有个焦点， 但这个图的话就不是很好画好。我们用一个探间体的一个和差公式来算一下这个倒角公式，之前在视频中讲过，这是倒角公式，复习一下吧，再复习一下， 这是 k 一， 这是 k 二，从这儿旋转到这儿，这是个 theta 探间体， theta 的 关系式一定满足中边角 点奇十角除以一，加上 k 一 乘以 k 二。好，我们用这个公式来计算这个题会非常简单，首先我们观察探间体 n、 e、 d 这个角是不是等于探间体 d、 e、 n 这两个探间体值相等。于是呢，我们就可以用这个倒角公式， 从这逆时针旋转，这个是它的中边角 k、 d、 e， 这是一个它一个奇式的 k、 n、 e、 e， 这样好，这样旋转过来之后呢， 它满足于这个公式，满足于这个公式，明白好，把它套进去就行了。同样的道理，这两个线也满足这个公式，这是它一个中边，这是它的一个斜边 啊。你把它的斜率套进去，套进去之后，我们会知道 k 这个一 n 一 斜率是等于一的，而这个斜率是多少呢？这有五斗零，这有一斗负八，两点间有两点，那么直接可以把它斜率算出来，斜率等于二，斜率等于一，斜率等于二。带入这个方程，你会发现马上能够把 k 一 n 二， 也就是这条线 k、 e、 n 二的斜率七给解出来，这条直线斜率是等于七了，但是前面这个地方还有一个点是五斗率，五斗零，所以你可以马上把这个 k、 e、 n 二的直线方程给算出来。 直线方程出来了，根据看前面一个问的一个做法，这不是抛物线吗？然后这是直线，然后跟它有连立，有一个焦点把它连立起来，解，解出来是两个指，一个指是五，一个指是负四，五的话就是一点负四就是这个焦点，那么这个 n 二点就是负四的负六分之三。 ok， 那 么这就是一个整个的一个题目，整体难度较小。好，就说到这了。

今天带大家继续来学习一下中学数学多面体的有关检查题的考点内容啊啊！第一个，画一个边长为 画一个边长为一厘米的正三角形的水平直观图，也就说第一步先要把你的三角形放在哪呀？放在十字坐标系中， 它为 a、 b， c， 它两个边上都为一嘛。那么第二步你就要确定谁动谁不动的问题了啊，也就说 x 轴不动， y 要动， y 要怎么动？顺时针旋转四十五度， 旋转四十五度，那么在 y 轴上的这个点 a a， y 轴上的这个点 a， 那 么就应该要变成本身的一半， a 撇变成本身的一半，连接你的 a 撇和 c， 这就是你的水平直观图案。画到边上的话，就应该是大概是这样， 能理解吧，大概就是这样的啊，那我们来接着往下看第二十二题，二十二题说融成一个，将一个长方形的铁块融成一个正方的铜块，那么正方的 融成后的冷场，那我们先可以知道啊，融成的它，它的体积是不变的，通过它我可知道我正方长方形的体积， 长方形的体积应该是二乘三，二乘四乘八，二四得八八八六十四，那么也就是说明了你正方体的体积应该也是六十四， 对不对？那么六十四正常体怎么来的？ a 乘 a 再乘 a 求来的吧， a 的 地方 a 的 立方要等于六十四的话，也就说明了我的 a 应该要得四， 所以算出来你棱长应该是四，二应该是四。然后第二十 三题，二十三题说了求它的正棱锥的高，那我们要第一个要先知道我棱锥的体积应该是三分之一底面积 成功要因为它底边是一个正六边形，也就是说正六边形有六个三角形，有六个正三角形画出来的啊， 没有那么标准啊。然后一二三个正三角形，六个正三角形来得来的啊。那我们可以已知的是，它的边长为六，那么它为六，它为六， 它相应的它应该也为六。六个正三角形嘛，正三角形等边三角形它为六，它是不可作角，它为三六的平方为，也就是说 a b o， 这是 d， d， b 为三，它为它，那么 o， d 是 不是你的勾 o d 就 应该等于它是根号底下三十六减三，三十六减九，三的平方为九，也就是二十二十七，二十七为三倍的根号三， 所以说明了他的面积。三角形的面积是不是可以有了？也就是三二分之一乘六，乘以三倍的根号三，这是一个，那么你再乘六个呢？约掉以后就应该是三 三三得九六九五十四，也就说明了它的面积应该是五十四倍的根号，三 cm 的 平方，这是你的底面积，高是多少？高为谁？也就应该是三分之一乘以五十四倍的根号三，乘以十， 也就应该是约掉它乘以三八二十四，八一百 八十倍的根号三 cm 的 立方，所以说这是你正六零锥的体积。那么今天的内容就到这里，大家再见。

初中几何的鬼门关是全等三角形，但凡你去问初二初三的学生，数学学的不好的原因是什么？回答都是几何不好。 初中几何的关键是全等三角形，你会发现，学完全等三角形以后，大批学生的成绩就直线往下走。这次重庆一中初一下的期中考试就是典例，之前考一百三一百二了，升值很多，一百分左右。 其实在全等三角形之前，数学的本质就是计算，孩子可以根据条件顺着往下面做就可以了。但全等三角形之后就不一样了，题目不再给你关键条件了，需要去构造辅助线。辅助线怎么做？ 为什么这样做？做了又有什么用？很多孩子做辅助线全靠试和猜，甚至辅助线做好了以后， 有些孩子依然做不出来题目。那其实在学的时候就应该搞懂辅助线怎么来的的底层逻辑，如何完成后续的推导过程。其实像后面所学的四边形、圆的综合做不出来题目，都是全等三角形，这个板块儿学得不好。 那么从全等三角形开始，孩子需要具备两方面的能力。第一，主动深度思考的能力。注意，我说的是深度思考， 需要主动去挖掘题目中的隐藏条件，以及对题目中的条件进行转化。比如说等边对等角，看到平行线我会找角，因为题目往往给的条件是残缺的，需要主动构造辅助线，盘合整个题目。这个点就拦截了百分之七十的学生。 第二，逻辑思维能力。几何的证明有极强的前后因果关系。很多孩子不善于去用一阶结论去推导二阶的证明，同时在推导过程中会遇到很多障碍，比如看到终点到底选背上中线还是勾到中卫线 啊？解长补短，到底是解长还是补短，不会在推导的十字路口去选正确的路。同时还有一大部分孩子会踩的一个误区，喜欢被各种模型结论想进行套用， 最终发现实现不了。那么评论区我们家长可以打出来你们家的孩子几何的问题在哪里？我们一起来交流交流。

先将初二的数学期末考试题是哪个老师出的？太难了，不会做呀， 卡了，我要上大招了！来，我们用高中的方法来解一下初中的初二的数学压轴题啊！四十五度， 那你就知道这个角六十七点五度，那这个角二十二点五度啊，这是什么让你求证？ a， f 等于二倍的 c， d 高中的方法辅助线都不用做，我们来看一下，二十二点五度，我们设这个 c， d 等于 x， 那 af， 那 就跟四十五度有关。来，都用 x 表示了，就出来了啊。来，正切它内体二十二点五度， 那是不是等于 sine 二十二点五度？除以 cosine 二十二点五度二倍角公式，用起分子分母同时乘一个这样的二倍的 sine 二十二点五度， cosine 二十二点五度， 那就二倍的 sine 二十二点五度的平方下面，那不就是 sine 四十五度吗？上面跟二加一 x， 那所以 a， c 就 等于 d， 一 等于根二加一， 来看一下，它等于 x， a， c 等于根二加一 x， 那 a， d 是 不是等于根二 x， 请问 af 等于多少？所以 af 等于根二倍的 ad， 那 就等于二 x 数出来啊，二 x， 所以 a， f 等于二倍的 c， d 一 减。 cosine 四十五度，就等于二分之根号二，除以一减二，分之根号二，再减一下，根二减一， 那所以 c， d 比上这个 d， e 就 等于 x 比 d， e 等于根二减一，所以 d， e 就 等于。

卷纸上画了一个等腰直角三角形，孩子读了题，两条腰相等，顶角九十度。然后他把所有已知条件列了一遍，还是做不出来。他说，妈妈，条件都用完了。 不是条件用完了，是他没看到图形里没写出来的条件。我待优等生十年，发现几何压轴题卡住的孩子 十有八九是没找到隐形条件。等腰直角三角形，题目不会告诉你，但你必须知道，底边上的高中线角平分线是重合的，斜边上的高等于斜边的一半。 等边三角形，三条线合一，高和边长的关系是固定的。正方形对角线交点既是中点又是角平分线对角线互相垂直，还有最容易被忽略的坐标细里，横轴和竖轴本身就垂直。 这个直角题目不会写，但你要用它来列方程。孩子想不到隐形条件就等于提少条件，那少条件怎么做？今晚第一步，找一道最近卡住的几何压轴题，在图形上圈出所有题目没写但肯定成立的关系。 比如等腰直角，把相等的边相等的角垂直平行全标出来，找到三个就行。第二步，让他用嘴说一遍，这个图形里除了题目给的，我还看到了什么？ 说不完整没关系，说多少算多少。第三步，把找到的隐形条件写在便利贴上，贴到书桌上方。每次做几何题前看一遍，这条视频值得收藏！ 每次做几何压轴题前拿出来看一遍隐形条件清单。你家孩子做压轴题，是完全无从下手，还是做着做着卡在某一步评论区扣开头或卡住？ 我分两期，告诉你不同阶段怎么突破？我是李老师，关注我，帮孩子从优等生走向顶尖！

数学课堂激情飞扬，跟着宋老师一起进入思维的殿堂。各位同学大家好，我是火光课堂初中数学的宋老师，我们这周呢给大家分享一下巴蜀初二半期最后一个题的最后一个小问。 好，这个小问呢，同学们在考试的时候可能看这个题目的描述啊，就不想看了。好，那我们今天呢就给大家详细的去分析一下这个题目。好，第三个，它说如图三啊，点 d 呢？在射线 ca 上啊，这句话很重要啊，它是在射线 ca 上， 那也就说 d 呢，它有两种状态，它可以在线段 c a 上，也可以在 c a 的 延长线上。 ok， 它有两种啊，位置情况， 然后点 l i 是 线段 b c 上的两个定点啊，不与 b c 重合，然后去连接啊。呃， a l a i l 加上角 al i， 再加上二分之一的角 b a c 是 等于一百八十度的。好，那我们根据三角形的内角和，我们可以知道啊，这个角 a i l 加上角 a l i， 再加上角 i a l， 它是等于一百八的。那也就是说我们就可以知道自己的呃，角 i a l 呢，它就等于我们这里的二分之一的角 b a c。 而题目告诉我们啊，这个三角形 a b c 呢，它是一个等边三角形，所以说 b a c 呢，它就是六十度。那所以我们就可以知道 i a l 这个角呢，它是三十度啊，它是等于三十度的。 好，接着往下看，他说啊， m r s 分 别是线段呃 l i， a i 和 a l 上的一点，然后去连接 m r r s m s。 当 m r s 这个三角形的周长最小的时候。好，来第一个问题，我们先解决 这个三角形啊， m r s， 它的周长什么是最小？好，来，我们看，我们要去算这个周长的最小值啊，我写在哪？呃， 好，我写这吧。好，来算周长的最小值。三角形啊， m r s 啊，它就等于我们的 m r 再加上 r s， 再加上我们的 ms， 好， 来，要求三条线段和的最小值，哎，那这里我们就，呃，会想到我们可以去利用将军一马模型去做，对不对？好，但是这里问题来了，哎，我们将军一马问题呢，它至少会有 一个定点啊，但是这里呢， m r s 它三个点都是动的，哎，有人说老师它都是动的，我就处理不了。好，那你看，那既然我们哎要用将军密码模型去解决，然后这里呢，又要这三个点其中有一个点是定点，那你就去 确定一个呗，你就假设一个点固定不动呗。好，那么这里假设哪个点不动呢？哎，对，我们就假设这个 m 点不动啊，假设 m 点不动，因为为什么呢？因为 m 它的位置比较特殊嘛，对吧？它在 b c 这条线段上啊。 ok， 好， 那我就假设这个 m 不 动， 好，那你看，就变成什么，哎， m 不 动，我就要去求 ms 啊， rs 要求 mr 这三条线段合得最小值来， rs 是 动的， m 不 动。哎，那这里，哎，我们就 用我们将军印码模型最基础的呃，解决问题的逻辑，对吧？就是去做定点关于动点所在直线的对称点，哎，打 我们要求和的啊线段啊，给它连成一条折线，就是把要求和的两条线段，比如说，哎，求 rs， 求 ms 和的 最小值，哎，要把求这两条线段和最小值，我就把这两条线段放到动点所在直线的 e 测去，哎，这样子我才能，哎给它形成折线，然后我才能够给它连成，呃，线段，根据两点之间线段最短，去求我们的最值，对不对？好，那这里来，我就去做 m 点，关于这个 a l 的 对称点， 我把它记作 m 一， 然后呢？再去做 m 点，关于这个 ai 的 对称点，我把它记作 m 二， 好，然后呢，我再把这里的 m 二 r 和这里的 s m 一 给它连起来， 好，那这里我们就可以知道来，呃，这个 ms 是 等于 m 一 s 的 mr 是 等于 m 二 r 的。 好，那这里 这是 r s。 好 了，你看，这里，我们要求这三条线段回到，回到最小就变成了 mr， 它是等于 m 二 r 的， 然后 r s 不 变，然后 m s， 它是等于 m e s 的。 好了，你看，我要求一撇加两撇加三撇，哎，这三条线的合角值就变成了，哎，求这个一撇加两撇加三撇，哎，求这三条折线合的最小值。什么时候最小呢？ 哎，那就是把我们的 m 一 m 二连起来，它就最小了， 啊， 它就小于等于 a， 哦，不对，不是小于等于啊，它这里我用最值嘛， 啊，它的最小值啊，就是它的最小值。 好，就是这三条线段和的最小值，哎，就是我们这里的 m 一 m 二。好，那么这个问题来了， m 一 m 二什么时候最小呢？哎，因为这里你看 m 点它，其实， 哎，它是不是也是动的？只是我们假定它不动，对不对？好，那这里 m 一 m 二什么最小呢？好，来这里，我们再去把 这里的 a m 二连起来，把这里的 a m 一 连起来，然后再把这里的 a m 连起来。好，把这三条线段连起来之后，我们可以知道，哎，这个 a m 二， 它是等于 a m， 哎，它是等于我们这个 a m 一 的。你说这三条线段呢？都是相等的。好，这里注意哦，然后，啊， 啊，然后我们来看这里，相等的话，你看这个角，哎，这两个粉色的角，啊，这两个粉色的弧角是相等的，然后呢，还有这两个， 还有这两个粉色的圈角也是相等的，也就是说呢，哎，根据我们对称的性质，这个角 m 二 a i 和 m a i 它是相等的，然后这个角 m a l 和这个 m e a l 这两个角相等的。好，然后你看这里啊，一个粉色的弧角加上圈角，它是等于我们的 i a l 是 等于三十度的。好，那这里我们就可以知道，这个角 m e a m 二，它就是等于 i a l 的 两倍，它是等于六十度的。 好，那它等于六十度，那这里 a m 二又等于 a m 一， 那所以说 a m m 二，它就是一个等边三角形，哎，有一个角是六十度的等腰，它就等边嘛。好，那这里我们就可以知道， m 一 m 二，它其实呢就是等于谁的呢？就是等于我们的 am 一 等于 am 二，而 am 一 am 二是等于 am 的。 好，那你看这里，我们要去求啊，这 m 一 m 二和的作用值， 那我们其实就是去求 am 和的最小值。来，这个时候，哎，那这个就转化成我们，哎比较熟悉的一个最值问题了，哎，就是定点到动点距离，什么是最小？哎，那肯定就是过这个定点 a 去做这个动点 轨迹的垂线不就好了吗？所以说来，那 a m 尺寸最小，那就是去过 a 点去做这个 b c 这个垂线，那这个呢，就是我 a m 最小的位置，那就是 m 一 m 二最小的位置，那也就是我这个三角形周长最小的位置。那所以说这个时候我们可以知道，此时啊， a m， 它应该是垂直于 b c 的。 好，那这里我们就找到了 m 点的位置。 ok， 这是第一个锥子模型，将军一马问题去解决好，这个解决之后，我们接着往下看。 好，然后做 m 点关于 a c 的 对称点 n。 好，那这儿啊，在这儿他给你做了啊，然后连接 a n 啊，点 p q 呢？分别在射线 a n 和 b d 上一点好，然后连接 c p， a q， 然后既 a， b d 呢？等 r 法，哎，若 a p 又是等于 b q 的， 哎，则当 a q 加 c p 最小的时候，用 r 法去表示 p a q 的 角度。好，来，这里，哎，呃， p o q 都是动点，然后还有一组位首尾相连的等线段，哎，这就是我们的逆等线模型， 对吧？好，这是第二个对折模型。好，那这里呢，这个一等式模型怎么去做啊？这个图呢？啊，太复杂了，我们把它分离出来啊，这里我只需要这个图的作用，我只需要去找到 m 的 位置就可以了。好吧，来， m 在 哪？就是在这垂的时候。 好，这 m， 然后呢，我再去做 m 点关于 a c 的 对称点啊， 啊，大概在这个位置。假设呢，这个是我的 n 点啊，这是 n 点好，然后把它连起来。 好，他要说的是射线 a n 嘛，那我就画长一点。好啊，他说啊，连接 a n 点， p q 呢？分别是射线 a n 和 b d 上的一点啊。呃，那假设在这儿，这是 p 点的位置 啊， q 呢？是 b d 上一点好，然后 a q 等于啊， a p 等于 b q， 那 这就是 q 好， 那这里呢？它是等于它的好，然后我们去连接 c p， 连接 a q， 好，然后这里呢？ a b d 啊，它是等于 r 法的好，然后他要问，我们去叫我们去问啊，这个 a q 啊，加上这个 c p 值最小的时候，好来 a p 和 c q 啊，什么时候值最小？ 那这里呢？哎，我们说了逆的一些模型呢，我们还是要把它转化成我们的，哎，将军一马模型去做，那我们说将军一马模型去求两条线段合的最小值呢？哎，那他们一定会有一个公共的端点，并且呢这个公共的端点呢？哎，还得是那个动点。 好，那这里你看，这里 p 和 q 是 动的，那所以说，哎，我就得让 p 和 q 重合，那这里怎么重合呢？哎，那我就去呃构造啊，一个三角形 呃和。哎，题目中包含 a q 和 c p， 以及包含这一组等线段的其中一个三角形全等就可以了，哎，这就是我们一等线的呃 啊，解析模式啊，或者说解析套路都可以。好，那这里呢？你看，哎，我要去求和的，或者说我要去转移的线段呢，要么是 a q， 要么是 c p 啊，就看你转移谁好，那这里呢，我们就我就统一去转移 a q， 对 不对？好，我去转移 a q 啊，然后呢， 你看，呃与 q 点相连的等线段呢？是谁？是 b q， 那 你看 b q 和 a q， 你 就只能放在 a b q 中去，那所以说我就需要去在哎这个 a p 这里去构造一个三角形，和这里的 a b q 全等，从而把这个线段 a q 呢给它转移到呃这个 c p 的 位置去，就是让 q 点和 p 点这两个动点呢？去重合。 好，那这里你看，那这里我们就去构造全等三角形。好，那首先啊， b q 和 a p 有 一组边相等了。好，那然后呢，我是在 a p 的 上方还是下方去构造一个三角形和 a b q 全等呢？ 哎，那这里我们说了嘛，我们要去用将军印码问题去解决，那将军印码问题最基础的解决方案就是，哎，把两条求和的线段放到动点所在直线的 e 侧去。好了。你看，屁是动点，动点所在直线呢？是 a n， 那 就要放到 e 侧，你看 c n 已经在 a n 的 下方了，那我就把这个 a q 给它放到上面去。 所以说我就是以 a p 为边，在啊这个 a p 的 上边去勾搭一个三角形和 a b q， 它是全等的。好，那有边了，那接下来我就勾搭一个角相等，那你看以 b q 为边的角，哎， 有两个 a q b 和这里的 a b d， 你 看一下哪个角是固定的？哎，很明显的， a b d 是 固定的吗？它告诉你等于 r 法。哎，那所以说，哎，我就去做这个角。 好，我就去做一个这个角啊， p a 假设 a b c 是 对 d 嘛？ 啊？有 d 了，那就 e。 好， 我就去做这个角啊， e a p 是 等于 a， b q 是 等于啊，阿尔法的啊，这个是阿尔法。 好，那你看，我要去构造旋转三角形，已经有两种条件了，来， b q 呢？ b q 等于 a q 一 组边，然后阿尔法角一组角，那所以说我就只需要再去构造一组条件，哎，怎么呢？就去看，哎， 呃，这个以阿尔法角这个阿尔法角的两边，对吧？呃，这个 b q 已经相等了，我再使这个阿尔法角另一边相等不就好了吗？哎，那就是这个阿尔法另一边 a d 和这个阿尔法角另一边 a e 大 小相等就可以了，所以这里我就去使得并截取啊，这个 a e 呢，是等于我们这里的 a b 的。 好，然后呢，怎么办？再把这里的 p e 连起来啊，连起来之后呢，那我马上就可以知道。哎，有两个三角形是全等的。 好，那我们马上就可以知道啊，三角形这里的 a p e， 它就是全等于我们的三角形 b q a 用边角边去乘全等。好，根据这组全等之后，我们就可以知道，来这里 p e 呢，就等于我们这里的 a q。 好， 所以说我就把这里的 a q 呢就转移到 p e 这去了。那我们再看一下 p 和 q 它是否重合了，来看一下 p e 的 对应点是 q 点没有问题。好，那所以说这个题目要让我们去求的啊， a q 加上 c p 和的最小值，那其实就是去求 我们这里的 p e 再加上 c p 和的最小值。 好，然后你来看来要求我们这里的 p e 加上 c p 这两条折线和的最小值。而那就是只需要干嘛？哎，根据我们两点之间线的最短，把它拉直就可以了，所以说我就只需要去把这里的哎 c e 给连起来就可以了 啊，那其实就是我们这里的 c e 的 长度。好，那这时候啊，它不是让我们去求这个直径小多少？它让我们去啊，用 r 法表示 p a q 的 这个度数来， p a q 是 这个角。好，来，这个角怎么去表示呢？ 好，刚才我们说了啊， m 点在什么位置呢？ m 点就是在这里啊，刚好垂直于 bc 的 时候。好，这个 abc 呢，它是一个 等边三角形啊，根据等边三角形啊，三线合一的性质嘛，那我们可以知道 a m， 它是顶边上的高线，还是顶角的角平分线，所以说这两个角呢，哎，它都是三十度。好，然后呢？呃， 这个 a n 怎么来的呢？是做了 m 点，关于这个 a c 的 对称点，得到了 n 点，那说这个角呢，也是三十度。好，那我们这里就可以知道 b a n 呢，这个角啊，或者说 b a p， 这个角呢，它就是九十度。 好，那这里，呃，要算这个 p a q， 哎，那就是九十度，再加上这个角叉角就是这个 b a q 就 可以了。好，那然后你看一下这里的 b a q 是 等于谁的？ 好，那这里我们就可以知道。来，根据我们这里刚才的这个全等啊，这里的角啊， b a q 啊， b a q， 它就是等于我们的 a e p 的。 好，那所以我就只需要去把这个 a e p 算上就可以了。 a e p 怎么算呢？好，那你看，这连起来之后啊，其实这个点呢，就是我的这个 p 点。 好，这里注意哈， p 和 n 啊，它们不一定是重合的啊，只是这里图画的比较像，它们像重合的啊，那这里其实就是我 p 点，那其实呢，这个角，欸，这个角就是我的这个角啊。 a p。 好， 那这个角怎么去表示呢？来，这里， a e 是 等于 a b 的 a b 呢，是等于我们的 a c 的， 所以说 a c e 呢，它是一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶角呢，是在这儿。哎，它是三十度啊，换个颜色，这个颜色 看不太清楚啊，那这个它的顶角呢，是三十度，再加上 r 法好，那所以说它的每一个底角呢？这个角，哎，就是我们的七十五度，再减去二分之一的 r， 法好，那所以说这里我们就可以知道 这里的角， 这里的角 p a q 啊，它就等于我们的这里的角 p a 啊， b a p， 再加上这里的角 b a q， 那 其实也就是等于 b a p 呢，是九十度，再加上 b a q 呢，它等于 a p e 是 等于七十五度，再减去二分之一。而法 好，那就九十度，再加上七十五度，减二分之二法就等于多少呢？哎，一百六十五度，再减去二分之二，法 好，那这里呢？有同学可能啊，做的出来一个答案，哎，他就沾沾自喜了，但是下来考试下来一会发现，哎，老师，这个题为什么会有两个答案呢？好，这就是我在一开始读题的时候就跟你说了这个问题 来，他说了点 d 是 在射线 ca 上，那他既，那他就有两种情况，一种情况就是在 ca 的 延长线上，还有一种情况就是在线段 ca 上，所以说这道题目应该有两种情况来，这是第一种情况， d 在 ca 延长线上， 好，第二种情况， d， d 在 线段啊， c a 上， 好，那时候来，我们重新画一个图，我感觉我把可以把这个图我给它放那边去一点，放个颜色啊，这个白的里边黑的吧。好，把它换过来， 这也换过来， 好，那这里还是一样的，我就还是去做 m 啊，这是垂的。好，然后我还是做这个对伸点啊，我就直接随口画啊，好，这个 n 应该是在这个位置的。 好，然后这个时候呢来 d 呢，就在 c 上， 好，那这是 d， 然后这个呢是 f 好，然后 p 呢？在这儿还是取个 p q 呢？在这儿 好，然后我把它连起来，把 a q 和这个 c p 连起来。好，这里还是啊 q 的 啊， b q 啊，等于 ap 好，还是要去求这两条蓝色线段和的，这样子还是一样的啊，我这里还是去转移 a q 嘛，还是以 a p 为边啊，在它的上方呃，去构造，呃，一个三角形和 a b q 全等，那还是一样的， 那这里构造一个角， 往下放一下， 好，假设这个是 f， 那 去构造一个角啊， p a f 呢，它等于我们这里的 a b q 啊，是等于 r 的 好，然后呢再去在 a f 上面截一段啊，这个 a f 呢，它是等于 ab 的 好，然后呢我再去把 p f 连起来啊啊，这个构造的方式呢，就跟我们这种情况是一样的。好，那这里啊要去求我们这里的 呃， a q 加 c p 和最小值，那其实还是一样的，这里呢就是三角形。谁啊？三角形 a b q 嘛，三角形 a b q 啊，它就全等于三角形 a b， 那 就是 f a p 啊，边角边正的全短。那这里我们就把这里的 a q 呢给它转移到这里的 f p 这里去了啊，那所以还是一样的 a q 再加上 c p 和的最小值啊，就变成了我们的 f p 加上 c p 和的最小 啊，还是把这里的 c f 连起来就最小啊，那时候这个把它连起来 啊，还是一样的啊，这连起来之后，这里的 p 和 n 啊，不一定同和啊。啊，那这个呢就是我的这个 p 点的位置啊，点的位置 啊，还是一样的，他要求什么？他要去求这个角啊， p a q。 好 了，这个时候你会发现啊， p a q， 他 在这个角 b a p 的 里边了，这个角 p a p 呢？还是多少度呢？还是九十度没有变？那说这个时候你发现啊，这个角 p a q， 它就应该是等于我们这里的角。呃， b a p 啊，再减去我们这里的角， 这里的角 b a q。 好， 那这个角 b a p 呢？还是九十度，那 b a q 呢？还是一样的来，这里的角 b a q， 它是等于什么的呢？角 a f p， 那 也就是还是一个角，那你看这个 a c f， 它还是一个顶角，为多少度呢啊？这儿是三十啊，还是顶角为 三十度加 r 法的一个等腰三角形，那这个顶角啊，这个这个底角 a f p 呢？还是七十五度，减去二分之一 r 法好，那这里呢，就变成了我们的九十度减去七十五度，减去二分之 r 法，那就等于十五度在 加上我们的二分之 r。 好， 那所以说这就是这个题目啊，它有我们的两个答案好，为什么会有两个答案呢？就是各位同学在读题的时候啊，一定要仔细啊，一定要仔细，就是在色写 c a 上，好吧， 好，这就是我们这个啊，八数初二半期啊，最后一个题目的最后一个小问啊，其实就考察了，呃，两类对子模型啊，一个是将军印马模型，然后呢？一个是我们的逆等线模型，好吧，然后呢，还考察了一个，对吧？大家这个审题的仔细程度， 好吧，这就是这个题目，给大家简单分析到这，好，我们下期再见！点赞加关注，金刚校考不迷路！