克拉茨猜想的推广形式有哪些

为什么一道简单的数学问题，却难倒了世界上所有的顶尖数学家？他的题目连小学生都能看懂。现在，你随机选择一个正整数，如果这个数是基数，就把它乘三再加一。如果是偶数，就把它除以二， 以此类推，不断重复以上两个规则。然后你会得到一个惊人的发现，无论你最初选择的是什么数，最终都会得到一个数字，一，一是基数，我们把它乘三加一，得到四，按照偶数除以二的规则，四会变成二，再变成一，最终陷入四二一的无限循环中。 这就是著名的克拉兹猜想，数学史上最危险的，他自一九三零年提出以来，难倒了无数数学家， 有人甚至认为他是苏联布局百年的阴谋，只为浪费美国数学家时间，从而限制美国数学的发展。那么最后，你认为你能解开这道最简单的数学问题吗？你有病！你有病！

呃，各位同学大家晚上好，那么继续往下，翔哥带大家来看一下第二十四题，那么这道题目他的这个前三个空啊，相对来说送分送的比较直接，我们直接从第四个空开始看， 因为正好从第四个空开始啊，他跟我们前面的那个一阶段、二阶段的一个猜想证明没有太直接的联系，我们现在从他的这个前置材料开始看起， 他说如果如右图所示，将矩形沿对角线分割成两个三角形时，前一页的这个猜想不再适用，现在他这个猜想可以推广为面积关系，那么他其实整道题目都延续一个这一个等式叫做什么呢？叫做 对应部分的这个占比乘以对应部分的重心坐标，然后再做相加，会得到整体的重心。那么现在推广到面积还是这么个结论啊，我们假设现在这个上面这个三角形的这个重心坐标是 a e y e 啊，然后下面这个三角形的重心坐标是 a 二 y 二，上方的这个面积我们给他记做 s 一，下方的这个面积我们记做 s 二。 那么我们把这个两个面积你给他理解成占比，或者理解成分数，上面是 s 一 份，下面是 s 二份，那么总的分数就是 s 一 加 s 二，总面积有这么大，总分数就有这么多。那么什么叫做对应坐标乘以对应占比呢？ 那么我们现在就是啊，用 s 一 除以总的面积，这就是上面的占比，然后乘以对应的重心坐标，就是 i e， 用 s 二除以 s 一 加 s 二，这就是下面这个面积的占比，乘以它对应的重心坐标，最后做一个加法得到就是总体的重心坐标，那么从左到右就是同构的，把 a 换成 y， 就 会得到总体的一个重心的重坐标的表达式，这就是整道题目贯穿始终的一个思路。 那么接下来他现在要我们去求证，如果切割成三个三角形的话，依然会使这个式子成立，那么我们要做的其实就是把图中所有点的坐标，包括不同部分的面积，用它给到我们的参数 a、 b、 m、 n 来表示出来。 现在这个题目当中啊，有一个信息是从头到尾都没有变过的，就是这个右上角顶点的坐标是一个 m、 d、 n， 现在他说引入了两条参考直线，一条是这个 x 等于 a， 那 么很明显 x 等于 a 就是 这条直线。那我们在这个地方把这个分界点的坐标写一下，这个点的坐标就是一个 a 斗岭， 另外一条是水平线， y 等于 b， 那 么这个分界点的坐标就是一个零逗 b。 然后在图中祥哥把所有线段的长度都给大家标注上啊，大家来看我一段一段写，这段长度就是 a， 那 么右边这段的长度就是一个 m 减 a， 好， 同理，这段长度就是一个 b， 好，上面这段的长度呢，就是一个 m 减 b。 那 么现在边长度标注上之后，这个 s 一 s 二 s 三，我们肯定可以很轻松的表示出来，我们就先把这个面积给大家写一遍啊啊，先算面积， s 一 的面积就是左下方这一块，它就等于 ab， s 二的面积就是右下方的这一块，右下方的这块就是用 b 乘以 m 减 a。 大家对照的图像看，这个应该不难理解，然后这个 s 三的面积啊，就是上方这块的面积水平方向的这个边就是 m， 数值方向的边就是 m 减 b， 所以 它的面积就是 m， 再乘以一个 m 减 b， 那么这个总面积不用说啊，总面积肯定就是我写一个 s 总吧，因为它这个地方的分母啊， s 一 加 s 二加 s 三，它其实表示的就是 s 总 s 总就是矩形的面积等于 m n， 这个我们就不用再累加一遍了。然后我们去分别写出对应三个矩形它的一个重心的坐标，我们先写距一， 那么距一的坐标，很明显它应该就是 a 根 b， 距一就是二分之 a 到二分之 b， 然后巨鳄这个地方，我们给他来一个钟点公式，我们把巨鳄的这个对角线上的两个端点给大家写一下，这个端点的坐标是一个 a 零，然后这个端点的坐标应该是一个 m 逗 m 逗 b， 那 么来一个钟点公式，相加的一半，横向就是 m 加 a 的 一半，纵向就是 b 加零的一半，所以这个巨鳄他的一个重心坐标就是二分之 m 加 a 斗一个二分之 b， 那 距三也是一样的操作方法。距三的这个重心坐标，那我们就用这个端点跟这个端点相加除以二，横向就是 m 加零的一半，纵向就是 n 加 b 的 一半，所以距三的重心坐标就是横向就是二分之 m， 然后纵向的话就是一个 n 加 b 的 一半。 好了，现在这三个东西都有了之后，下一步我们就是要做一件事情，把这个面积跟这一个对应坐标啊相乘，然后再相加除以一个总的面积，也就是我们通过带入这个式子来做检验。那么我们现在来带大家一项项算啊，我们先算 s， e， a， e 吧，我们把三项拆开来算 好，首先来一个 s 一 x 一 s 一 是一个 ab 啊，就把刚才这些数据完整的抄一遍就好了。 a 一 就是距一的横坐标，乘一个二分之 a 好， 化简一下就是二分之一 a 方啊，乘一个 b， 然后是 s 二 a 二， s 二的话就是这个 b 乘以 m 减 a， 然后 x 二的话就是一个 好，二分之 m 加 a， 好， 大家不要怕，这个算是长它这个刚好可以用平方差公式来化解。我们这个 b 根二分之一先放到前面二分之 b， 然后 m 减 a， m 加 a， 这刚好会变成一个 m 方 啊， m 方减 a 方，我们就保留这个结构，先不要把它展开啊，然后再往下是 s 三， s 三，把刚才这个数据带进来， s 三的这个面积就是这个 m 乘以 m 减 b， m 乘以一个 m 减 b， 然后第三个啊，第三个重心的横坐标就是一个这里的二分之 m 啊，乘以一个二分之 m 啊，这边三个应该看错了一个点哈，这个这个纵向的这条线段的长度应该是一个 n 减 b， 我 刚才在这个地方写错了一个字母，这里应该是一个 n 减 b。 好，这个地方改成 n 啊，改成 n 之后呢，把它打开，打开之后这个 m 乘二分之 m， 就是 一个二分之一 m 平方，然后括号里面是一个 n 减 b。 好， 那么现在我们对它再做进一步的化简。第二个这个式子再打开就是二分之一啊，乘以 m 平方 b， 好减去二分之一 a 平方 b。 第三个式子把它打开，就是二分之一 m 平方 n 啊，再减去一个二分之一 m 平方 b。 所以 原式的这个分子 啊，就是 s a 一 s 一 a 加上 s 二， a 二加上一个 s 三 s 三，就是把我们刚才这三个等式的这个总和做一个加法。二分之一 a 方 b， 二分之一 a 方 b 一 加一减，刚好抵消了二分之一 m 方 b 二分之一 m 方 b 一 加一减抵消了，所以就剩下一个二分之一 m 平方 n， 所以这个分子部分就搞定了。那么分子部分搞定了之后，我们直接拿它除以这个分母，分母表示的其实就是这个矩形的总面积 s 总，那么总面积我们前面算过了，就是一个 m n， 所以 做一个约分之后，它就等于二分之一 m。 而整个矩形的这个重心坐标，我们假设据作据，它肯定就是右上角顶点的一半二分之 m 二分逗 n， 所以 我们发现求出来的这个重心跟矩形的重心是吻合的，因此这个公式我们就推导完了。 那这个推导完之后，接下来他这个第五个空其实是送分的，为什么呢？因为我们知道这个重心的横纵坐标，按照前面的小题，他都是同构相同结构，我们在做改写的时候，只需要把这里面的 a 一 改成 y 一， a 二改成 y 二， a 三改成 y 三就可以了，所以这个第五个空没有任何的难度。

一个安徽农村的放鸭娃，后来成了普林斯顿大学的数学教授，他就是数学家张寿武。小时候他在河边放鸭。谁能想到，二十年后，他直接攻克了世界难题 bugamala 猜想，一战成名，后来又推广了 gor sagir 公式， 证明呢，算术几何领域的平均 comis 猜想。这两项工作，任何一项都足以让他跻身世界一流数学家行列。二零一一年，他当选美国艺术与科学学院讲师，拿了陈星数学金奖、谷根海姆奖。但我觉得他更牛的一点是，他在普林斯顿带出了一整批中国顶尖数学家， 田野、袁新毅、张伟、刘易峰，这些人现在都是数论和算术几何领域的中流砥柱。从放鸭娃到一代宗师，张硕武用一辈子做了一件事，把中国数学的名字写在了世界最前沿。我是黎博士，关注我，听更多数学家的故事！

好，上课，同学们好，老师好，请坐。 今天同学们的桌子上都有这么一个黑袋子，里面有一百个球，其中有若干个红球跟黄球。请同学们设计一个实验方案来估计袋子中红球的比例是多少， 你打算怎么摸球？我就随便摸十个球吧，摸十个球看红球多少个，黄球多少个，然后来估计这全部球的比例，很好坐下来。 刚刚这个过程就是我们前面讲的简单随机抽样的过程，想用样本当中红球的比例来估计总体红球的比例。 所以接下来同学们以二十个球为样本开始摸球实验，并把结果填写在第一个记录单上。我们的实验要求是大家要把袋子里的球每次摸球前搅匀，然后保证每次摸球都是随机抽取，保证数据的真实性。好，那现在大家开始摸球吧， 两种都有， 再摸五颗，再摸五颗。 对，我叫 我就是一个低端数据 好做好的小组，把结果填在纸上，就可以把袋子收起来放回到篮子里。 这还讲一下你们小组是实验过程是怎么样？呃，我们刚开始先就是随机一个一个抽，一个一个抽，有放回去吗？没有没有，没有就逐个抽，不放回。对啊，抽了二十次，对，结果是结果是 九个红球，十一个黄球。啊，九个红球。好，请坐。晨晨，你们是怎么做的？我们是一次摸二十个，一次摸二十个，然后我们摸到了八个红球，八个红球，十二个红球。好，请坐。那同学们想一想。

无人能解的最简单数学问题，克拉斯猜想现在随机选择一个数，不要考虑任何问题，就随便选择一个数字。但是有两个规则，如果这个数是基数，那么就把它乘三加一，如果是个偶数，那么就把它除以二，以此类推，不断重复这两条规则，最后就会得到数字一，一是基数，所以我们把它乘三加一等于四，按 上面的规则，四会变成二，再变成一，最后一直在这里无限循环下去。这个猜想是，对于任意正正数，如果不断重复上数的两条规则，最终都会进入四二一的循环当中，这就是著名的克拉斯猜想。 而对于克拉斯猜想，前任数学家曾说过，不要把时间浪费在这个猜想上。如果谁说正在证明克拉斯猜想，那他多少是有一点毛病。著名数学家保罗鄂多斯曾说过，一张目前的数学水平还无法成熟的解决这个猜想，而克拉斯猜想目前仍旧如同一座大山一样，盘踞在数学的世界当中，等待着人们的解决。

好，谢谢。用它代表七点四，它代表三点四元。好，那还可以，怎么贴？ 请你来吧。 好，两位女生已经贴完了，我们看一下，不管是蓝色的纸条在前，还是红色的纸条在前， 他们两个合起来就是两张纸条的长度，交换位置之后，总长度还是一样的，一样的。那这两个纸条只能代表这两个数吗？不是，那可以代表哪些数呢？ 请你说。还可以代表一点五，嗯，七点九一，嗯，呃，五点八，嗯，然后是， 呃，二点七，说的完吗？说不完，也就是说他可以，他们可以代表很多很多，任意的数都可以，对不对？对，请做， 不管哪个在前，哪个在后，合在一起就是他们的总长度。整数是这样，小数也是这样，有没有一点似曾相识的感觉呢？有，有，他像我们之前学过的什么 一小组最后那位男生加法的交换率。加法的交换率，同意吗？同意，一起做。 谁记得加法交换率用字母怎么表示呀？请你说， a 加 b 等于 b 加 a， 是 不是？是 兔妈妈也有想买的东西，那商品是面包，它的价格是二点零九元，第二件是 南瓜，五点八元，第三件是 梨子，四点二元。按照兔妈妈选商品的顺序，陈老师将算式列了出来，那兔妈妈要花多少钱来买这些商品呢？谁能帮他算一算？ 好，这一组第四位，我们可以先用五点八加四点二等于十，再用十加二点零九元，等于十二点零九， 先把先把五点八加四点二等于十，嗯，再用十加 二点零九等于十二点零九元。好，那陈老师想问一下，为什么可以先把四五点八和四点二加起来呢？好，如果他们他们两个可以凑整数，这样子可以让我们算的更快。嗯， 那你觉得他有点像是运用了一个什么样的运算定律吗？加法结合率。是的，我们，好，请坐。我们学过整数的加法结合率，那 你觉得小数的加法是不是也能够用加法结合率来计算呢？是， 那我们的加法结合率怎么样？用字母来表示，有同学记得吗？请你说， a 加 b 括号加 c 等于等于 a 等于 a 加 b 括号，把谁扩起来？把 b 加 c 扩起来。好，请坐。通过刚才的学习呢，我们发现了 整数的加法交换律和加法结合律对于小数来说同样 也可以。嗯，好。小兔子们也赶来选商品了，他们选的商品分别是玉米、胡萝卜、蓝莓和面包， 可是他们不会计算一共要花多少钱，请同学们在学习单上面用托式计算，帮妈妈算一下一共要花多少钱呢？ 我们先独立计算三分钟的时间。 好，下面呀，我们以四人为一个小组来讨论一下。讨论之前先看一下交流的要求， 我们把它读一读，一，有习友计算方法，马桶更减变，为什么时间三分钟？好， 四人小组讨论开始。 八八八， 通过同学们的讨论，刚才的几个问题，相信大家已经有结论了。我找到了一位同学的作品，这张是谁的？好，请你上来跟大家说一说好吗？ 我是这么认为的，我觉得你们先看啊，我这边扩起来的三点四加二点六是不是等于六 而六是不是整数？是，是。再看我这边的七点九，一加二点零九 是不是等于十而十是不是整数？是，所以我这种方方法更简单，算的算的更快了。什么疑问吗？没有。 好，有人举手了。请你刚才的组员。好，请。你 为什么不能把那个七七点九五加二点零九呼起来呀？那不够，那不够容易算吗？ 好，你回答他，你算的时候会会一次性算两个吗？会啊会啊，没关系，他分两次算也可以， 如果，如果我们一次性算出来的话，那就可以省略哪一步呀？你看一下可以省略哪一步。是不是这样？你是不是也是这样想的？要省略中间那一步是。好，请坐。还有没有什么问题呢？没有， 有吗？请你说哦，我觉得他那一步他第二步中间那一步七点九一加二点零九再加六，他后面加了一个加六，他为什么还要在后面再加一个六呢？ 他不应该在上一步就已经加完了吗？因为这边因为这个六是质量，是三点四加二点六的得数，而这边已经没有括号了， 所以咱们直接试算九点七点九一加二点零九。 那为什么还要七点加六？好了，坐吧。因为这边这个六还没有加上，不能把六给丢了呀，是不是？是啊，那老师有一个问题， 你这里是运用到了什么才能够想到这个加法结合对吧？嗯，好，陈老师，看到你们小组还讨论出了第二种计算方法。对，也请你跟大家说一说吧。 第二种就是你们都知道的从左往右算的， 先算，先算二点六加七点九一等于十点五 一，然后十点五一，再加三点四加二点零九就等于十三点九一加二点零九，最后等于最后等于十六十六。 两种方法都算完之后，我们比划一下这两种方法的相同点和不同点。我们同学发现了，好，你说和是一样的，和是一样的。不同点呢？ 不同点就是他们的顺序不一样啊，不同的顺序算的顺序不一样。好，请坐，刚才大家都听清楚了吗？听清楚啦。 好，请大家再和陈老师一起观察一下这里的数字和特点。 二点六和三点四又准，所以我们把它们放在一起， 要放在一起的话，三点四跟二点六中间还隔着七点，所以我们首先要用加法万绿，加法万绿将 二点，将三点四。

当时的拓扑学界正深陷于抽象的迷雾，庞家来猜想是领域内的核心难题。这个从一九零四年就提出的猜想，困扰了数学家半个多世纪， 几乎成了拓扑学里一座翻不过的大山。几乎所有数学家都顺着先解决三维，再推广到高维的路径。大家默认最贴近我们生活的三维空间，一定是最基础、最应该先突破的。就像我们在一个维度里解不开的难题， 总想着在原地死磕，反复尝试同样的思路，却忘了换一种视角，找一个对称的结构，搭建一座跨维度的桥梁。这种思维惯性不止出现在数学中，也常常在我们的学习、研究 甚至日常思考中出现。遇到困难就盯着眼前的问题纠结不放，却忽略了更高维度、更底层的结构，往往才是破局的关键。数学里一直有这样的例子，很多在殊论里看起来完全无解、毫无头绪的问题 根本运算不出来，却能通过椭圆函数制作密码本切换到分析的视角，事件就已变得非常清晰可见。一个领域里的困局，换到另一个框架下，可能就是顺理成章的结论。 斯美尔做的本质上就是这件事情。他给被卡在三维原地打转，所有人都束手无策的旁家来猜想搭了一座通往高维的桥。 他没有跟着大家一起在三维里硬碰硬，而是选择跳出三维的束缚，直接走向了更高维结构，反而更宽松的空间。他反其道而行之，绕开了所有人都肯不动的三维难关，直接在五维及以上空间里通过对莫尔斯理论的创造性应用， 完成了单联通流行的拓扑分类，证明了高维旁家来猜想。在他之前，很少有人敢相信， 高维的问题往往会比三维更简单。大家都觉得维度越高，结构越复杂。而斯美尔用结果证明，有时候约束越少，自由度越高，问题反而容易被清晰描述和严格表达。这不仅是一个数学定律的证明， 更是一种研究思路的革命。不要被直觉绑架，不要被习惯困住，不要以为熟悉的维度就一定简单了。一九六六年， 三十六岁的斯美尔凭借这个突破性的成果，拿到了数学界最高荣誉奖菲尔兹奖。他用实际行动告诉了整个数学界，真正重要的突破，往往不依赖于旧路径，而是来自于赶走一条没人走过的路。 斯美尔从来都不认为数学是象牙塔里少数人的游戏，是指存在于草稿纸和刊刊论文里的抽象符号。 他始终相信，数学是理解世界的语言，是可以走进现实，走进其他学科真正解决问题的工具。他的办公室书架上除了拓扑学专注，还摆着经济学、计算机等领域的著作。不同领域的思想放在一起，彼此碰撞，让他总 能在其他学科的困境里找到数学的用武之地。就像我们熟悉的华罗庚先生，他也并没有把数学只留在课堂和课本里，而是深入实际，用数学为经济建设、优化工农业生产提供全新的工具，让抽象的数学变成实实在在的价值。斯梅尔也一样， 他没有把自己局限在拓扑的小圈子里，而是把拓扑学的力气投入了当时争论不休的经济学界，用拓扑工具回答了经济学的基础问题，让原本模糊不清的市场均衡理论有了严格的数学支撑。 他深知学科交叉的价值，既然从来都不应该有为强，真正重要的问题往往都在学科交叉的地方。他后来提出的斯梅尔马西模型，更是把拓扑和动力系统 混沌理论紧紧地连在了一起，用一个简单的几何操作结实了确定性系统中混沌的本质，为后来整个复杂系统研究气象、物理、生物动力学等打开了基础。他提出的斯美尔机器， 则把数学和计算理论及其学习联系在一起，让传统只处理离散符号的计算机科学开始关注连续世界的进化与优化，深刻影响了后来的数据计算、人工智能算法设计 今天很多人都在焦虑，人工智能会不会取代人类？ ai 计算能力越来越快，模型能力越强， 是不是人类的数学能力、思考能力就不再重要了？但斯美尔告诉我们，人类最不可替代的从来不是计算能力，而是提出问题、搭建跨学科桥梁、做开放式猜想的能力。机器虽可以高效执行任务，重复计算、优化模型， 但他很难真正提出一个全新的问题，很难凭空想象出一个高维的结构，很难在看似无关的学科之间建立连接。数学家从来都不是只会算计的人，而是专门做想象的人。 他们用自己的定义语言去描述山峦的流行结构、矿石的对称群、海洋的吞流规律，去解释市场的均衡，细胞的同步，蜂群的决策。就像古代的诗人，用诗词描写山河大海，用文字捕捉世间情感。 他们用数学给这个复杂的世界写出了最美好的诗，用严谨又充满想象力的结构理解宇宙生命 文明的底层逻辑。斯美尔一生从物理实验课不及格、一度对自己方向迷茫的本科生，到打破传统、重构拓扑学的颠覆者， 再到打通多个领域，引领跨学科革命的引路人，他始终都带着那种最纯粹的好奇，不被身份、专业、过往经历束缚。 他曾说，优秀的数学家在定义或理论之间看到相似，最顶尖的数学家在相似之间看到相似。这句话不只适用于数学，也适用于所有思考与创造。能看到联系，才能看到本质， 能在不同事物之间建立桥梁，才能做出真正原创的东西。他一辈子都在做的事，就是给不同的学科、不同的维度、不同的问题搭起一座数学的桥。他不迷信权威，不顾守常规，敢于逆着主流思路走，敢于从高维看低维问题， 敢于把数学用在所有人都想不到的地方。而我们能从他身上学到的，从来不是多难的拓扑公式， 不是复杂的几何证明，而是永远对世界保持好奇，永远敢换一个维度看问题，永远敢提出别人不敢想的问题。 毕竟，这个世界最伟大的突破，从来不是重复计算出来的，而是从循规蹈矩、模仿中走出来的，靠的是天马行空的想象力，来自于敢于跨界，敢于换视角，敢于坚持自己独立思考的勇气。