初二浙教版数学下册目录新旧对比
初二真的是一个分数题，其他不讲啊，就是数学，初一的数学是比较简单的，就是我之前也跟给大家梳理一下初一的知识呢， 呃，大部分呢都是以计算为主的，尤其是到了初二，昨天梳理了八年级上册，大家就知道了。那主要难点呢，就是三角形和特殊三角形。到了浙江版的下册的数学里面就是平行四边形和特殊平行四边形，就孩子们到这个几何呀，真的是很头疼，我女儿就是这样，一碰到几何 感觉束手无策，所以今天我给大家再梳理一下浙江版八年级下册的一个数学。他这里面呢，其实前几张比较简单，第一个呢就是二十根四啊，第二个是一二二十方程，第三个是数据的初步统计， 第四个是平行四边形啊，第五张呢是特殊平行四边形。最重要的难点呢就是最后两张，第四根，第五。我大概的给大家梳理一下，第一个是二十根四，二十根四里面主要注意什么呢？主要你注意这个二十根四它的性质，嗯，必须是大于等于零的啊，有些孩子 就是求这个取值的范围，他不知道怎么去弄。第二个呢，是一元二次方程，一元二次方程呢，这里面难点是什么呢？就是两个实数根，这两个实数根呢，很多孩子不知道，因为他有三个，就是基本的性质是什么呢？你这个实数根有没有？ 呃，有的话就是大于等于零，没有的话，呃，你就小于零这个实实数根的一个前提。嗯，还是很多都忽略掉了。那一元二次方程的求减呢？他就用了前面的因子分解了，所以很多知识他都连在一块的， 它一次分解里面一个完全平方式啊，这个就用的比较多一点，还有一个平方差公式。第三个就是比较简单一点啊，一个数据的初步统计就是平均数啊，什么众数啊，像一些方差呀， 还有一个是离差平方和呀，这些大家知道，因为它这个里面会考到一个大题，让你去统计数据的。那最后一个就是平行四边形和特殊平行四边形这两个，这两张是 比较难一点了，因为概念比较多，定律比较多，就判定比较多。那你要知道什么是平行四边形，平行四边的性质是什么，是什么样的， 平行四边形的判定是什么样的。这里面还有什么中心对称图形，什么轴对称图形，好多孩子都搞不明白，因为他好多性质他不知道。那什么是中心对称图形，就是把这个图形给它翻转一百八十度，如果还是对称的话，就是中心对称图形，特殊平行四边形里面就什么矩形、 菱形、正方形啊，这些就是判定性质啊，你一定要搞清楚，因为它里面好多证明啊，求解啊，都会用到这个性质。其实像我们考二加四的话，数学里面 还是考的比较多的，比较难一点的，他不光考初一初二的那种，还有考初三的那种，如果说家里有初一初二的，想从二加四的，或者是在期中期末啊，发现有明显短板的，但是不知道怎么去补的，都可以来找我，我可以给你做一个学前分析。如果说要八年级下册数学的一个易错点或者做难点的话，也可以私信给我。
粉丝1.5万获赞32.4万
相关视频
01:51查看AI文稿AI文稿真的是太神奇了啊，现在晚上已经十二点了，就是我刚才给我女儿整理就是浙江版数学注意串的一些知识点的时候，发现一个很奇很奇特的现象，我给大家看一下啊，就是你在做学习规划的时候肯定能用得上，这个是七年级上册的，这是七年级下册的，这个是八年级上册，这个是八年级下册。 大家有没有发现一个问题啊？你看他的这里面全是蓝色的，这里面是蓝色的，而且他这里面的计算，你看这都是像尤里素，尤里素的运算都是计算啊，二是函数啊， 有二十一元二十方，二元一次方程啊，因子分解，并且这些全部都是用蓝色标记的。你看你看，这里一元一次不等式啊，到二十根式，一元二次方程，你看全部都是用蓝色的，心的下侧有一个图形的，初步认识看见没？这个是用红色最基础的一个角， 但到了一个稍微立体一点的一个角，再到三角形，再到最后的一个平行四边形和特殊平行四边形，你没发现一个问题，他们全部都用红色的标记给它标志出来， 说明这个比较难啊。另外你看一下啊，这个是图标的一个统计，他是用绿色的照到这里看数据的分布 分析，初步他也是用绿色的，所以他这个教材里面所有东西都给你分了，分好了，所以就是我们在给孩子做学习规划的时候，就是课本的时候，哎，你就一目了然，你知道怎么去规划，像这种啊，角几何类的，它全部用红色标签就说明就知道了啊，这个很重要， 红色的字代表很显眼的吗？很重要的就警告你一定要这个，一定要好好学，像一般的这种计算的话都是用蓝色的，像一些绿色的就比较简单一点的就开绿灯了吗？所以你在做规划的时候一定要留个心眼。所以说这教本的这个教材设计的还是蛮合理的，从简单到难， 他是一个过程，循序渐进的过程，所以学数学也不能跳着去学，一定要从简单到难，慢慢的往上走。
00:43查看AI文稿AI文稿各位浙江的初中家长哈，咱初中数学课本啊，有一个小彩蛋，很多初三的孩子啊，要毕业了都没有发现啊，那这个小彩蛋呢，仅限于咱们浙江教育出版，也就是咱们的浙教版，这个小彩蛋呢，就在咱们目录上，比如说像第一张有理数啊，它是蓝色的， 第二张蓝色的在这好像没有看到什么区别，我们再翻一页啊，我们看到第六张，哎，这个地方呢，它变了一个颜色， 它代表的就是几何。我们再翻开八上的课本，我们再看一下目录，同样的，我们橙色呢都是几何，蓝色的呢都是代数部分。那各位家长可以利用好哎，各个颜色的这个板块，可以按板块带着孩子啊，去专项的练习啊，你代数弱了，你可以去突击代数的部分。
128浙江初中数学老樊
59:00查看AI文稿AI文稿浙教版八年级数学下册同步视频讲解共一百八十节，包含基础与培优为超全精讲版。本节主要围绕二次根式的内容而展开， 重点掌握二次根式的概念，以及会求含字母的二次根式中字母的取值范围和进行概数求值。 好久不见，甚是想念。哈喽，大家好，我是神奇的小猪，今天我们在系统学习一下，这叫八下。第一章二次根式一点一二次根式的意义 本节我们重点是围绕二次根式的内容而展开，需要掌握一个概念，两个求法。概念呢，就是要能够去理解二次根式的概念，行如根号 a 这样的形式，其中 a 大 于或等于零 这样的是指我们叫做二次根式二求求什么呢？第一呢，是要能够掌握二次根式有意义的条件，也就说是二次根式当中的被开方数大于或等于零。 根据能够使得二次根式有意义的条件会求含字母的二次根式中字母的取之范围。就好比说我们举个例子， 根号下的 a 加三分之一，能够使得这个式子有意义的条件什么呢？首先我们看位置，根号下的 a 加三， a 加三是位于被开方数里面，被开方数呢，是要大于或等于零的 才能得到。第一个条件，也就说是 a 加三，它要大于或等于零。其次看它的位置，它呢是位于这个分数的分母的位置， 分母呢，是不为零的，也就说是根号 a 加三不能为零，那它不能为零，就意味着根号里面的这个被开方数 a 加三，它呢就不能等于零了。原本是可以大于或等于零， 现在不能够等于零，那说明什么呢？说明 a 加三，它只能够大于零，从而进一步的推出这一个字母 a 的 取之范围。比如说左右两边同时减三，那就 a 了，左右两边同时减去一个数， 而且减去的是相同的数，不等号的方向不改变。大于还是大于零，你把它减去三，那就是负三。所以啊，我们就可以得到 a， 它呢就是大于负三的，可以这样子去求。也就是说， 利用二次根式有意义的条件，我们可以求出字母的取之范围。另外一种考法呢，就是根据二次根式有意义的值，举个例子， y， 它等于根号下的 x 减去个五， 再加上根号下的十五减去三， x 后面再加上个三，这个三并不在根号里面啊。那要求出 y 的 值怎么求呢？取决于根号 x 减去五，以及根号十五减去三， x 的 值取多少嘛？首先需要满足条件的是， 要能够使得二次根式有意义，那就意味着被开方数当中的 x 减去五，它呢要大于或等于零。 另外一个被开方数当中的十五减去三 x， 它也要大于或等于零啊，这个不等式呢，先解出来先。所以 x 减去五大于或等于零，左右两边同时加上五，那左边 x 减去五，加五得到十 x 了，左右两边同时加上一个相同的数，不等化的方向不改变，所以 x 就 大于或等于 右边呢，是零加五十五。也就说，一是我们减的呢， x 大 于或等于五的，再来看一下。二是二，是这个呢，是十五减去三 x， 它大于或等于零的，我们左右两边同时减去个十五，当然我们也可以用一项法去减我们的不等式，就是 移项后变号嘛，比如说把这个十五移到右边去，那加呢，就变减，所以就变成负三。 x 大 于或等于负十五，怎么得到呢？本质上呢，就相当于是左右两边同时减了个十五，不等号的方向不改变。大于或等于的还是大于或等于 右边呢？是零，减去一个十五，那就负十五嘛，左边呢，你会发现，十五减十五就抵消了，那得到的就是负三 x 嘛，它大于或等于负十五，再将不等式的左右两边同时乘上负一，那负三 x 乘上负一得到呢，就是三 x 负十五乘上负一，得到呢，是十五。因为负得正嘛，左右两边同乘上一个负数不等化的方向要改变，所以三 x， 它就会小于或等于十五。 将不等式的左右两边同时除以三，左边三 x 除以三，得到 x， 左右两边同时除以一个正数，不等化的方向不改变。小于或等于的还是小于或等于右边呢？十五除以三得到呢，是五嘛？所以这个二式我们解出来，它呢，就是 x 小 于或等于五， 你大于或等于五，它小于或等于五，要取出来的话，得到这个 y 的 值，那么 s 就 必须要进行取值。当 s 的 范围，它既要满足 x 大 于或等于五，又要满足 x 小 于或等于五的，那只能够是取它们的公共减，也就是说 x 啊，它只能够等于五了。这个五 t 在 x 大 于或等于五的范围之内，也在 x 小 于或等于五的范围之内嘛。那么 x 的 值知道了，我们呢，就可以求出这个 y 的 值，所以 y 就 会等于则大进去根号下的相当是五，减去五，那就零了嘛，这是零，再加上后面呢， 十五减去三乘五呢，是十五，那十五减十五呢，是零，根号零还是零？因为零的三的平方根是零，后面呢，再加上个三，这样呢，就可以求出 y 的 值， y 呢就会等于三了嘛？ x y 都知道了，我们就可以代数求值。比如说后面呢，再问你一句，则 x、 y 的 乘积等于多少， 那么就可以算 x， 我 们算出来呢，是等于五的，所以 x、 y 的 乘积，它呢就会等于十五嘛。 可以这样子来进行怠速求值。如果说停到这里还不是很理解的，也没关系，我们后面呢，会展开进行详细的讲解来看薪资导入已知球网的高 a、 d 为二点四三米，我们可以把它标注一下，这是 a、 d， 它呢会等于二点四三的。 a、 c 等于 ab， 说明，三角形 a、 b、 c， 它是等腰三角形， a、 d 相当于是等腰三角形底边 b、 c 上的高。根据等腰三角形的三线合一定理，它不单是底边上的高，也是底边上的中线， 所以点 d， 它是 b、 c 的 中点。当 c、 d 等于 a 米的时候，则 c、 d 它就为 b、 c 的 一半，也就是说它会等于二分之一 a， 那 就是二分之 a 嘛。问的是， 能否用代数式去表示 a、 c 的 长呢？这当然是可以的，因为高会与底边互相垂直，由于两条直角边当中一条边 a、 d 呢，已知 c、 d 边呢，表示出来了，那我们当然可以利用勾股定律，从而表示出斜边 a、 c 的 长。先写个结给他，因为在三角形 a、 b、 c 中， a、 c， 它呢是等于 a、 b 的， 说明三角形 a、 b、 c， 它是等腰三角形， 因为 a、 d 是 三角形 a、 b、 c 底边 b、 c 上的高，也可以说成是 a、 d， 它垂直于 b、 c， 所以 我们就可以得到这个角 a、 d、 c， 它呢就会等于九十度。 所以在二 t 三角形 a、 d、 c 中，斜边 a、 c 就 会等于根号下的两只角边的平方数之和，那就是 a、 d 的 平方。再加上 c、 d 的 平方，它呢就等于公号下的 a、 d 呢，是等于二点四三，那就是二点四三的平方，再加上 c、 d 呢，它是二分之 a 跨的平方， 这样就用含 a 的 代数式去表示了， a、 c 的 长了，后面呢，放上单位就有这么多米。 我们知道正数与零的平方根叫做算数平方根，也就是说正数的算数平方根是正数零的算数平方根是零。那举个例子，比如说九的算数平方根，那就写成是根号九，它就会等于根号三的平方， 这个呢，就要把平方和根号去掉，它就等于三了呗。五的算成平方根，就相当于是你对谁进行求算成平方根，就把谁放到根号里面嘛，那等于根号五喽。根号五呢，已经是最减二十根式了，不用再化简， 他写不成一个数的平方，再开起来嘛。你可能会说，老师，根号五可以啊，他可以把它写成是根号下的根号五的平方啊，你这样子开出来还不是根号五吗？就没有意义嘛，这样就重复了。好，那么来看一下后面的这个零的双数平方根呢是零，所以呢，我们前面已经讲过了， 负二没有双数平方根，这个就要回归到我们的定义了，如果一个数的平方就 a 方， 它会等于四，假如它等于这个正数呢，是四啊，则这个平方的底数就是它的平方根，也就是说，什么的平方会等于四呢？显然是 二的平方等于四，负二的平方也等于四，说明二和负二都是四的平方根。平方根呢，是有两个的，上中平方根呢，只有一个啊， 那这样呢，要怎么写呢？ a 就 会等于正负根号四，你对谁进行开平方，就把谁放到根号里面嘛，那这个呢，就会等于正负根号二的平方，然后把平方根号去掉，就可以得到 a 的 话，就会等于正负二。被这样子来的啊。 而你会发现，你找不到一个数的平方，他呢会等于负数的吧，比如说他等于负一，你能够知道 a 的 平方等于负一吗？这不可能，因为一个数的平方他本身就有恢复性， 对吧？当 a 等于零的时候，它的平方等于零，当 a 等于负一的时候，它的平方等于一，那就大于零了呗，对吧？当 a 等于负一的时候，它的平方就会等于一大于零嘛。所以你会发现，不管 a 怎么取值，总之 a 的 平方，它的范围都是大于或等于零的， 它具有非复性嘛。好，也就是说你是找不到一个数的。平方等于一个负数的，说明负数呢，它没有算数平方根啊， 也没有平方根。要注意，平方根与双数平方根的本质区别就在于，人家的双数平方根呢，是只有一个正数的双数平方根呢，是正数，对吧？他并不是说正负啊，而一个正数的平方根呢，是有两个，他呢是有正有负，他们负为相反，数 和呢是为零的。有一点需要特别注意的是，零的平方根是零，零的双数平方根也是零，而一的平方根呢是正负一一的双数平方根呢是一，所以它们的相同点应该是 零的，算成平方根和零的平方根是一样的。根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空。直角三角形的斜边长是多少呢？斜边我们可以把它标记一下，比如说这个直角三角形为直角三角形， a、 b、 c 要求的是这个 a、 c 的 长度，那么 a、 c 的 长度它会等于啥的？我们说斜边的平方，它呢就会等于两条直角边的平方和，那就 ab 的 平方再加上这个 b、 c 的 平方嘛， 然后呢再开方，这呢开的是算式平方根，因为它的结果呢是正的嘛。好，然后呢把它带进去，我们带一下， ab 呢是二，相当于根号下的二的平方，再加上 b， c 呢是 a， 那 就 a 的 平方，所以这个呢，就会等于 根号下的 a 方加上四喽，或者说你就按照它的顺序写也行，就会等于根号下的四加 a 方， 我们可以这样来嘛，所以斜边长我们就写成是根号下的四加 a 方，正方形的边长，它这里告诉我们正方形的一个面积了，那我们假设正方形的面积呢是 边长是 a， 它的面积就应该是 a 乘 a 嘛，相当是 a 方，就会等于 b 减去三，我们对它进行开方。记住，这求边长应该说是取的是它的其中一个正的那个负的舍掉啊， 所以 a 应该就会等于根号下的 b 减去三，你对谁进行开放，就把谁放到它的根号里面嘛。其实这里如果严谨来说，应该是说有两个，一个是正的嘛，一个是负的，对吧？或者说 a 等于负的根号， b 减三，有正有负嘛。 因为它的边长是大于零，所以说它等于负的根号 b 减三呢，这是不成立的。要把它舍去，边长不可能是负吗？第三，等腰直角三角形的直角边长是多少呢？ 告诉我们，等腰直角三角形的面积是 s， 我 们可以假设它的边长呢为 a， 则等腰直角三角形的面积是怎么算的？那当然是二分之一倍的底层高，那二分之一乘三 a， 再乘三 a， 就 会等于它的面积 s， 也就是说二分之一倍的 a 方，它等于 s， 我 们左右两边乘个二给它 在，那就变成二分之一倍的 a 方，乘上个二，右边呢是 s， 乘上二，那就是二 s 了。左边的二分之一和二约分约掉得到呢，就是 a 方，相当于是 a 方，它等于二 s a， 它等于多少呢？一个数的平方等于一个数， 面积肯定会大于零。已知一个数的平方，它等于一个正数，要求这个平方的底数多少。我们说这个平方的底数就相当于是这一个正数的平方根。那怎么样去求一个正数的平方根呢？那当然是要求谁的平方根，就把谁放在根号里面， 要求二 s 的 平方根，那就把二 s 放在根号里面。一个正数的平方根有两个分别呢，是一个是正的，另外一个是负的，他们是负为相反数的关系，所以需要在在根号的前面添上一个正负号， a 就 会等于正负根号下的二 s， 把它分开写，那就是 a 等于根号二 s。 另外一个呢，是 a 等于负的，根号二 x， 二 x 是 大于零的，开出来也会大于零，前面是负的，所以得到这个 a 呢，是为小于零。那这个呢，就是不满足题的，我们需要将它舍去。 所以了，这样呢，我们就可以将等腰直角三角形的直角边长表示为是正的根号二 s。 正号呢，可以省略啊，有单位放单位前面，这个呢，是公号下的四加 a 方单位呢是厘米。 第二小位呢是公号下的 b 减去三厘米，第三小位呢是公号二 s 单位呢是厘米， 有单位呢放单位。你认为所得到的各代数式，它们有着怎样共同的特点呢？首先我们要下个定义，什么样叫二式根式，像根号 a， 方加四根号 b， 减三根号二，四根号五，这样 表示算数平方根的代数式，我们叫做二次根式，也就是说形容根号 a， 其中 a 大 于或等于零的式子，我们叫做二次根式。根号里面的这个数叫做被开方数， 根号 a 就 表示 a 的 算数平方根了。当然 a 它并不是说指一个数，而是指代数式，它可以是一个整式，也可以是一个分式。因为代数式包括我们的整数和分式啊。 比如说举个例子，公号下的 a 方加四，它的倍开方数呢，就是 a 方加四这个整体。再比如说公号 a， 那 倍开方数呢，就是 a。 根号 a 被换数是 a， a 呢是一个单项式， a 方加四是一个多项式，这两者呢，它们都为等式。 我们再举个被开方数呢，是分式的来，就比如说根号下的 a 加一分之三， 显然他的被开方数呢，分母是含有未知数的，有 a， 所以 他就是一个分式，这也是可以的，需要满足什么条件呢？就是 a 加一分之三，他呢是要大于或等于零的，这样呢就可以了。那为什么被开方数会大于或等于零呢？这呢是跟我们的 一个代数式的平方，它具有恢复性的有关，因为 x 的 平方，它是大于或等于零的。我们假设 x 的 平方，也就说有两个相同因素所算出来的乘积，它等于 a， s 平方大于或等于零，他们是等价的，说明 a 也会大于或等于零。而要求 a 的 平方根，我们之前怎么写的呢？就是要求谁的平方根就把谁放在根号里面，所以要把这个 a 放在根号里面， 并在根号的前面添上正负号。而我们的二次根式要求的是一个数的算数平方根，所以前面这个呢，是正的，就不用打上正负号。 我们观察一下位置，原来这个 a 它在外面，现在呢，只不过换了个位置，把它放在根号里面了，就位置调整了一下，那这个 a 和这个 a 是 一样的，当这个 a 大 于或等于零的时候，就意味着 调整到被开方数里面的这个 a， 它同样是满足大于或等于零的，它只是换了下位置，并没有改变它的一个本质。 但是当你把它调到根号里面去说的时候，我们就把它说成是被开方数大于或等于零了，而没有把它翻译成是一个代数式的平方，它具有恢复性，它会大于或等于零。 说法呢，是不同，本质上的话，它只是调了个位置啊，所以啊，它的被开方数是需要满足大于或等于零的。后面做这个题的时候呢， 你只要能够找到被开方数，令这一个整体大于或等于零，这样呢，是能够使得二次根式成立有意义的条件。也就是说，要使得二次根式有意义，我们就令它的被开方数的部分大于或等于零， 是作为被开方数的这一个整体，它要大于或等于零啊。典型的题一，求下列二次根式中字母 a 的 取次范围。 只要是二次根式，则被开方数它就要大于或等于零。被开方数，它指的是根号里面的这一个整体。比如说，第一小问当中呢，被开方数它指的是 a 加一。 第二小问当中的被开方数，它指的是 a 减去三跨的平方。第三小问当中的被开方数，它指的是一减去二 a 分 之一根据二是根，是有意义的条件。我们要使得被开方数大于或等于零， 记根号里面的部分要大于或等于零，我们就可以得到 a 加一啊，它是要大于或等于零的。 再根据不等式的基本性质，将不等式的左右两边同时加上，或者说同时减去一个相同的数。不等号的方向呢，是不改变的，简称同加同减，方向不变。 比如说，我们将不等式的左边减去个一，再将不等式的右边零也减去个一，这个不等号的方向呢，是不用改变的。所以，原来是大于或等于的，现在依旧呢，是大于或等于 左边呢，加一减一抵消，那这样呢，就可以得到 a， 他 呢就会大于或等于负一， 也就说第一小问当中 a 的 取之范围啊，他就是 a 大 于或等于负一。这呢就跟我们八上学到的不等式有着密切的联系了。所以要学好我们的二次根式，我们必须要把八上的不等式给学好。 如果你学到八下了，而八上的不等式还没有学好的，那么还是有必要重新回过去，先学一下八上，先把八上的基础打好了再来学，这一章会更加有利。举个很简单的例子，比如说二，他一定会大于一， 我们将不等式的左边二加上个三给他，右边一同时加上三给他。 虽然说左右两边的数量发生了变化，但是不等号的方向是不改变的，原来是大于，现在还是大于。你看，二加三呢，是五，一加三呢，是四，五会大于四吧。这很明显是成立的。 这个叫不等式的左右两边同时加上一个相同的数，不等号的方向呢，不改变嘛。同样道理喽，减也是一样的。 比如说将不等式的左边这个二给他，减去个一给他，右边这个一也减去个一给他，左右两边同时减去一个相同的数，不等后的方向呢，不改变，原来是大于的，现在依旧呢是大于，所以一呢，是大于零的。这呢也是成立的。 我们说不等式的左右两边同时减去一个一嘛， 显然不等换的方向呢，是不改变的，所以同加同减方向不变。同乘和同除呢，这呢分两种情况，同乘和同除一个正数不等号的方向不用改变。举个例子， 同样是二是大于一的，我们将不等式的左边乘上一个正数，比数乘上十吧，再将不等式的右边一也同时乘上这个正数十， 此时不等号的方向依旧是不变的，因为二乘十呢，是二十，左边是二十，右边呢，一乘十是十，二十当然大于十，所以大于还是大于。 同时除以一个正数呢，也是一样的，不等号的方向不用改变。比如说，左边呢，是二的， 你给他除一个，一给他。右边呢，是一的，你给他除一个，一给他。 二乘一等于二，一乘一等于一，二依旧呢会大于一，左边依旧会大于右边不等号的方向不改变。再往下，这个我们可以总结为是不等式的左右两边同乘或同除以一个不为零的正数，他的不等号的方向呢，不改变。 改变的呢，只有一种，就是不等式的左右两边同乘或同垂一个复式的时候，不等号的方向要改变。举个例子，二，我将它乘三个负一，这个一乘三个负一。我们知道， 二乘三负一等于负二，一乘三负一等于负一。负二在负一的左边，左边的数远远小于右边的数，所以大于就变成小于了。此时我们左右两边同时乘的是一个负数，所以不等号的方向要改变。 将不等式的左右两边同时除以一个负数，不等号的方向是否要改变呢？比如说，左边二，我给他出一个负一给他，不等式的右边一也出一个负一给他。我们知道，二除以负一等于的是负二， 一除以负一等于的是负一，负二呢，是小于负一的。显然，不等式的左右两边 同乘或同除一个不为零的负数，不等号的方向呢，是发生改变的。所以啊，对于不等式，我们是可以总结出来， 同加同减方向不变，同乘或同除一个正数，方向不变。同乘或同除一个负数，方向要改变，我们简称二不变。一变， 能够使得不等号方向发生改变呢，就是不等号的左右两边同时乘，或者说同时除的是一个不为零的负数，这个时候，不等号的方向呢，是要改变的。第二项问， 被开方数呢，是 a 减去三块二的平方，一个大数的平方一定会大于或等于零的，也就是说， a 减去三块二的平方，它呢会大于或等于零。 无论 a 取何值，都能够使得 a 减去三跨的平方大于或等于零啊。举个例子， a 取的是一个正数，比如说取到一，一减去三是负二，负二跨的平方呢，它等于四。四呢，是大于零的。 a 取到一个正数是三，三减去三呢，是等于零。零的平方呢，也是零。 a 呢，取到是一个负数，比如说负一负一减三是负四，负四跨平方呢，等于十六十六呢，大于零， a 取到是一个等于零的数，零减去三呢，是负三，负三跨平方呢，等于九。 所以你会发现它得到的结果啊，都是大于或等于零的。而无论 a 取值范围呢，是全体实数。 第三，想问空号下的一减去二 a 分 之一，被开方数呢，是一减去二 a 分 之一，它呢是要大于或等于零的。 所以需要满足什么条件呢？那就是第一个条件，一减二， a 分 之一大于或等于零，即被开方数大于或等于零，一减二 a 作为分母的分母呢？不能问零，所以一减去二 a， 它必须要不等于零。 分子一是一个正数，在不为零的前提下，我们得到的结果，它是否会大于或等于零呢？首先，等于零的话是完全不可能的，因为你找不到一除一个什么样的数，它会等于零的嘛？ 找不到，那是因为人家本身呢，是不成立嘛。所以一减二 a 分 之一啊，它只能够大于零，而不可能等于零。 这个我们推出来的就是一减二 a 分 之一，它大于零，我们解这个不等式即可。 怎么解比较快？分子呢，是大于零的，要使得商大于零，那当然是分母也要大于零。同号两数相乘为正，所以我们就可以很快得到。一减去二 a， 他 呢就必须要大于零。 我们根据不等式的基本性质，将不等式的左右两边同时减去个一给他，那一减去二 a， 你 给他减去个一，右边的话是零，再减去个一，不等号的左右两边同时减去一个相同的数，不等号的方向呢，是不改变的。 所以大于还是大于左边呢？这个是加一减一就抵消了，那就剩下个负二 a， 所以 负二 a， 它就会大于负一，再将不等式的左右两边同时乘上个负一，那就是负二 a。 乘上这个负一，右边的话是负一，也乘上个负一，不等号的方向就要改变，由原来的大于变成小于，所以我们就可以得到这个二 a， 它呢就会小于这个一， 再将不等式的左右两边同时除以二，左边的二 a 除以二，右边呢是一除以二，左右两边同时除以一个正数，不等化的方向不改变，所以说小于还是小于，那这样呢，我们就可以得到 a， 它就会小于二分之一了。 我们根据不等式的基本性质，将不等式的左右两边同时减去个一，给他，那一减去二 a， 你 给他减去个一，右边的话是零，再减去个一，不等号的左右两边同时减去一个相同的数，不等号的方向呢，是不改变的。所以大于还是大于 左边呢？这个是加一减一就抵消了，那就剩下个负二 a， 所以 负二 a， 它就会大于负一，再将不等式的左右两边同时乘上个负一，那就是负二 a 乘上这个负一，右边的话是负一，也乘上个负一。不等号的方向就要改变，由原来的大于变成小于，所以我们就可以得到这个二 a， 它呢就会小于这个一， 再将不等式的左右两边同时除以二，左边的二 a 除以二，右边呢是一除以二。左右两边同时除以一个正数，不等化的方向不改变。所以说小于还是小于，那这样呢，我们就可以得到 a， 它就会小于二分之一了。 这样呢，我们就可以下结论了。第一小问 a 是 大于或等于负一的。第二小问 a 呢？它是取全体实数。 第三小问 a 的 取值范围呢？是 a 小 于二分之一，第三小问相当于呢？有难度。一减二， a 分 之一，分子呢？大于零。一个大于零的数除以一个什么样的数才能够取得结果等于零呢？我们是找不到的。 也就是说，一减二 a 分 之一，它不能够等于零，那不能等于零，只能够大于零。大于零，由于分子是一个正数，同号两数相除呢，会大于零，所以一减二， a 呢大于零，解出这个不等式即可。 当然，我们呢，也可以用移项法解不等式，解出来，结果呢，是一样的，就相当于是将这个左边的一移到右边，那就可以得到负二 a， 他 呢，就会大于这个负一， 再将不等式的左右两边同时除以负二，左边负二， a 除以负二，得到呢是 a， 右边的负一除以负二，得到是二分之一，左右两边同时除以一个负数，不等号的方向要改变，所以 a 就 会小于二分之一。 例题二，当 x 等于负四时，求二是根式公号下的一减去二 x 的 值，那 x 既然都等于负四了，我们当然可以把它进行代数求值，这是完全没有问题的嘛。所以我们可以考虑将 x 等于负四，带入这个二次根式中，也就说带入二次根式根号下的一减二 x 中，看看它可以得到个啥呢？那就可以得到，相当于是根号下的一减去二乘 x 呢是负四，负呢，要括起来这样子写，规范一点啊。 这个呢，把它算一下嘛，那就等于根号下的一，怎么样呢？这个呢，你可以把它理解成是减号，对吧？相当于是一减去这个二乘负四，二乘负四呢，是 负八嘛？因为一号两数相乘为负啊，并把他们的绝对值相乘，那二乘上四是八喽，前面符号是负的负八，这呢，就相当于是变成一，然后减去一个数，会等于加上这个数的相反数，加上这个减数的相反数，减数呢，是负八，它的相反数呢，那就是八了嘛。 当然，这里呢，还有另外一种理解，就是负的负八，你可以把它理解成相当于是负一乘上这个负八嘛。 那不是同号两数相乘为正吗？对吧？加快并把他们的绝对值相乘吗？那负一的角值呢？是一，负八的角值呢是八，这呢就会等于正八，也就八吗？那还可以怎么来呢？其实我们可以举个例子，比如说负三，你完全可以把它理解成是负一 乘上个三得到的吗？也就是说，如果一个数的前面他有负号，我们可以把它理解成是负一乘上这个数。那我如果我们把这个负八当做一个整体，在他的前面添加了一个符号，你可以把它理解成是负一乘负八 这个意思，当然也可以把它理解成是在这个数的前面，在任何一个数的前面添加一个符号，求得了，就他的相反数呢，是正数，他们到原点的距离是相等的。 求下列二次根式中字母 x 的 取值范围，根号下来的 x 减去一，这个我们根据二次根式有意义的条件可以得到，它的被开方数是需要大于或等于零的。也就是说，这个 x 减去一大于或等于零，我们将它左右两边同时加上一个数，就 x 减去一，再加上一，右边也加上一个数加一，那么不等号的方向是不用改变，所以还是大于或等于零，那么左边呢，我们就可以算加一减一抵消就变成只有 x 了呗， 所以 x 呢，会大于或等于一，这呢就是第一小问的第二题，根号下的四 x 的 平方。我们要知道被开方数是要大于或等于零的，我们将它左右两边同时除以这个四，左右两边同时除以一个正数，它不等号的方向是不用改变，还是会大于或等于零？ 左边的话，你四除以四呢，就是一了嘛。那就相当于是左边变成一 x 的 平方加四平方，它就会大于或等于零。除以 这个四呢，是零。零除以任何一个不等于零的数都得零嘛。好，那么 x 的 平方大于或等于零，显然 x 不 管是取什么数，它呢都会使它大于或等于零。比如说 x 取零， 零的话，它会等于零。如果 x 取到负一负一平方是一大于零，如果 x 呢，取到这个二二的平方呢，是四，四也会大于零，所以它的范围都会大于或等于零， 跟这个 x 的 取值是无关的。 x 呢，可以取任何数，所以这样呢，就可以推出 x 为任意实数啊。好，再来看一下。第三，这呢是被开方数，是一个分数的形式，对吧？是分式的形式，一加三 x 分 之一，它呢要大于或等于零， 然后作为分母的话，这个一加三 x， 你 可以把它分解来看代码，它又不能为零。好，那么 这样呢，我们就可以进行进一步的推出来分母，它不能为零，那一除以任何一个不等于零的数，都不会得到结果。是零的嘛。那既然不能等于零，把零呢，排除，说明它这个一减去三 x 分 之一，它的范围呀，应该是大于零，那么它要大零。分母是 一减三 x， 分 子呢，是一，它要为正的话，说明是同号两数相除为正。或者说同号两数相除会大于零吗？ 那则分子都是正了，说明它的分母也要为正嘛，也就相当于可以推出一加上三 x， 它呢要大于零。然后呢，把这个给解出来就行了。不等式的左右两边同时减去个一， 那么右边呢，是零减去一，这呢，相当于是它会大于它，那这样子来看，就可以发现，一减一没了，那左边就变成三 x 喽。所以是三 x 会大于负一嘛。我们将它等式的左右两边同时乘上这个 多少？是不是同时乘上这个三分之一啊？那就是相当于是三 x 乘上三分之一呗，他就会大于相当于是负一乘上这个三分之一。然后呢，一样的左边呢，约下分，用三去约三乘三十一，三乘三十一嘛，所以 这样呢，就可以得到，相当于是他的左边是 x， 他 就会大于。右边呢，是负一乘上三分之一，就会等于负三分之一。 范围也出来了， x 大 于负三分之。这是第三题的答案。来看一下第四题的答案，这呢是被开方数先分别出来，显然它是负五 x， 则这个负五 x， 他呢就要大于或等于零。被开方说大于或等于零嘛，我们将它左右两边相当于是同时乘上这个负五分之一，那左右两边同时乘上一个负数，不等化的方向要改变，就小于或等于零乘上负五分之一，那左边呢，就可以约分约一下喽，用负五去约负五，对吧？ 负五或者这样理解行吗？负五和负五分之一，他们是负为倒数，他们的乘积是等于一的吗？那就是一 x， 左边就是 x 喽，他就会小于或等于零，乘任何一个数都得零，所以说这个呢，就是小于或等于零，这个呢，是我们第四题的一个答案，而在求的时候呢，我们最好是养成习惯，都全部写三个结给他 看到练习的第二题，我们在听课导入的时候讲过这样的一个问题，求往的高 a、 d 是 二点四三米， a、 c 等于 ab， cb 为 a 米，你能用 a 的 代数式去表示 a、 c 的 长吗？那这个呢，前面我们说过它呢，是怎么算的？就相当于是 a、 d 啊，这一段， 它等于二点四三， a、 b 等于这个 a、 c， 说明这个三角形 a、 b、 c 是 等腰三角形， c、 b 是 为 a。 那 你要知道， a、 d 是 底边 b、 c 上的高，它又是等腰三角形，说明我们可以根据三线合一定律，从而求出这个 c、 d 的 长 c、 d 呢，是暂时不知道啊，它会等于二分之一的这个 b、 c 嘛，就二分之 a 咯，那这个 a、 d 又知道，所以我们可以求出这个 a、 c 了嘛。也就是说，我们如果要写过程，可以怎么说呢？可以这样子来， 因为在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 等于 ab， 解析了等腰再说高， a、 d 是 高，那我们就可以利用三线合一定理。当然，你这里呢，这个 c、 b 等于 a 米，也说一下嘛，对吧，它不单是底边上的高，也是底边上的中线嘛。所以 d 是 bc 的 重点，这个 c、 d 的 话，就会等于二分之一的 bc 等于二分之一，乘 a， 它就会等于二分之一 a， 单位呢是 m。 好， 这样呢，我们就可以说，在二 t 三角形 a、 d、 c 中，这个斜边 a、 c 就 会等于根号下的 a、 d 的 平方，再加上 c、 d 的 平方再开方嘛。 那么这呢，就变成相当于是根号下的二点四三跨的完全平方，再加上这个二分之 a 跨的完全平方，记得呢，把它往后喽再算， a 等于根号下的 相当于是二点四三的完全平方，再加上这呢分数的平方，它就会等于分子与分母分别平方嘛，那就是四分之 a 方，或者说把它写成是四分之一 a 的 平方 这样子了，这呢是由它的一个勾股定律得到的，那么它说现在是当 a 等于二，要求这个拉索 a c 的 长，那简单呢，对吧？当 a 等于二时，那则 a c， 它呢就会等于根号下的 相当于是二点四三块二的完全平方，再把它加上四分之一乘上二的平方，那就是这样子写。所以呢，这个呢，就会等于相当于是根号下的二点四三块二的完全平方，再加上 这个二的平方呢，是四嘛？四分之一乘四是一喽，加一。好，这样呢，把它继续往后算，算的话，你是开呢，是很难开了，所以我们需要的是约等于，也就说我们可以借助一下我们的计算器啊，二点四三，他的一个平方就表示两个二点四三相乘嘛， 那两个二点四三相乘在这里呢，我们可以先继续算，就等于根号下的五点九零四九，再加上一，那他呢就会等于 根号下的六点九零四九，把它给开出来。这个按键器啊，因为这个数呢，它不是特殊数，很难开，它就会约等于，因为它要保留两位小数嘛，精确到零点零一，就表示要保留两位小数，所以就约等于个二点 六三呢，单位呢是米。最后我们来总结下本节我们重点是围绕二次根式而展开，重点讲到了两个方面的内容，第一个呢是定义，第二个呢是取值范围。什么叫二次根式呢？ 用算式平方根表示的式子叫做二次根式，或者说是形容根号 a 这样的形式，我们叫做二次根式嘛。其中 a 是 要大于或等于零的，也就说被开方数，它呢是为非负数。二是根式有一个很明显的特征，就是 它带有个根号根号 a， 它的一个取值范围是具有双重非负性的，被开方数大于或等于零，开出来的 a 的 双数平方根，它也会大于或等于零，所以具有双重非负性。我们可以抓住被开方数为非负数，这样呢，就可以建立起不等式， 从而求出他的一个解集。如果说多个条件都要满足，那我们取的是多个条件同时满足时的公共解嘛。所以利用二次根式的非复性， 我们也可以求出特定的未知数的值，从而去求出其他代数式的值，这呢也是完全可以的。好了，这就是我们本节所讲的一个内容。紧接着 我们讲解一下本节的作业题部分来看，作业题的第一题求下列二次根式中字母 a 的 取值范围。显然考的是二次根式有 e 的 条件，它要使得它的被开方数要 大于或等于零，所以这个第一小问当中，它的被开方数是 a， a 要大于或等于零。第二小问，被开方数呢是二 a 加一分之一，它呢要大于或等于零， 而他的分母二 a 减一是不等于零的，那一除以一个不为零的时候，结果一定不会为零，说明他就可以推出来这个二 a 加一分之一，他只能够大于零。 那么什么情况下才能够大于零呢？这个呢，是分数相除那把弦相除的形式吗？那就是一除以二， a 加一， 显然同号两数相乘才是为正，才会大于零。既然分子是正，说明它的分母一定也得是正才行，所以二 a 加一， 它也要大于零嘛。这个时候我们就把它解出来就行了。你可以把它的不等式的左右两边同时减去个一，那不等号的方向呢，是不变的，右边呢，也是零减一， 左边呢，相当于是一减一就抵消了嘛，那就变成二 a， 它就会大于负一，我们再将它左右两边同时乘上二分之一，那就二 a 乘二分之一，左边乘的是一个正数不等号的方向，不用改变，所以说会大于右边呢。负一也要将它乘上个二分之一嘛。 好，那么左边就是用二除以二乘二是一，二乘二是一，对吧？左边就是 a 了嘛，所以 a 就 会大于负一乘上二分之一，就是负的二分之一。所以第二位的取值范围是 a 大 于负二分之一。再来看第三小问， 他的被开方数指的是一减去三 a， 那 么所以就可以得到他的被开方数一减三 a， 它大于或等于零，我们可以首先将它左右两边同时减去一，那不等号的方向不变，依旧是大于或等于右边的话，也要把它减去个一嘛。那左边这个的话是啥呢？左边这个一减一没有了嘛，那就剩下个负三 a， 它就会大于或等于零减一呢，是负一， 再将它左右两边同时除以这个负三，那就是负三。 a 除以负三，就相当于是乘这个负三分之一嘛。相当是左右两边同时乘上一个负数，那右边呢，是负一，也乘上个负三分之一， 左右两边同时乘上一个负数。不等号的方向要改变，大于或等于就变成小于或等于，那这个呢，就把它约下分负三和负三分之一的分母负三约分，对不对？ 同号两数相乘为正嘛，对吧？符号是正的，那左边就是 a 咯， a 会小于或等于负一乘上负三分之一，同号两数相乘为正，那就正的括号一 乘上三分之一嘛，它就会等于三分之一。所以 a 会小于或等于三分之一啊。第二题， x 等于负二时，求 x 根式根号下的二加二分之一， x 的 值是多少呢？ 我们可以把 x 等于负二，带入这个二分之一， x 的 值是多少呢？我们可以把 x 等于负二，代入这个二根号下的 二加二分之一，乘负二往下，就是会等于二。再加二分之一，乘上负二呢，就会等于负一了嘛。这呢，就相当于是二减一等于一， 根号一呢，就是一喽，所以它的值就是一。第三题，当 x 分 别取下列值时，求二是根式根号下的四减 x 的 值是多少呢？ 那就把它们分别带一下呗。比如说第一问当中，我们可以把 x 等于零，带入根号下的四减二 x， 这样呢，就可以得到，它的话就会等于根号下的四减去二乘零。 二乘零是零，那就是根号四减去零，它等于根号四。根号四呢，可以把它写成是根号二的平方，根号下的二的平方，平方在内，就会等于平方的底数的绝对值，它就会等于二的绝对值。一个正数去掉绝对值等于它本身，所以根号下的二的平方，它呢就会等于二。 第二题， x 等于一时，我们就可以考虑把 x 等于一带入这个二。次根是四减去二 x， 那 这呢就会等于相当是根号下的四减去二乘一等于根号四减二等于根号二。第三， 把 x 等于负一时，我们可以把这个 x 等于负一带入根号下的四减去二 x， 它呢就会等于根号下的四减，这个二乘 x 呢，是等于负一，那乘三负一呗，那这个呢，就等于根号下的四减去二乘负一呢，是负二嘛？减去一个数会等于加上这个数的相反数，就变成根号下的四加上二等于个根号。六、 作业题，第四题，一艘轮船先向东北方向航行两小时，再向西北方向航行七小时，船的航速呢，是每小时二十五千米，我们可以把它的这个图给画出来，先见一下它的平面直角坐标系线。好，就比如说是这样的 东北，我们假设船在哪里呢？船它是从我们的这个 x 轴和 y 轴的焦点，也就是坐标原点这里作为一个出发地。向东北，那就是左西右东，上北下南， 东北方向，我们可以标一下也行，比如说这样子就东北方向走航行了两小时，我们假设它航行两小时到达了，是这个 a d 吧， 然后呢，再向西北方向航行 t 小 时，你现在已经到达这里了，你在航行，那应该是在哪里建立方向标呢？应该是在我们点 a 处这里建立方向标，然后呢，再航行嘛？他是向西北，左西右东，上北，向南，西北，在这里嘛， 这样子去航行，航行 t 小 时，它没有说是多少小时，我们假设是，嗯，它航行了 t 小 时之后，到达了这个点 b 处。第一小问，让我们去求的是用关于 t 的 代数式去表示船离出发地的距离。 现在船是到达点 b 处，它离出发地的距离，显然我们还需要把它给连起来，也就是说这个角那就是九十度的。 那什么叫东北方向，或者说正东北方向呢？就相当于是沿着东和北的夹角的角平分线上向他的右上角上去航行，沿着他的东和北的夹角的角平分线的右上角的方向去航行。就这样的嘛， 也就意味着东北方向其实他指的是东往上偏，对吧？东偏北四十五度，或者北偏东四十五度啊， 这个意思，这里是暗差的角的度数的。好，那么你这个是四十五度，我们不要忘记了，上面我们建立这个黄色的这个平面直角坐标系和我们下面这一条水平的这个 x 轴，它们是互相平行嘛，那两直线平行，显然 它的一个内错角呢，是相等的，说明这个角一定也会等于四十五度嘛。好，然后呢，再向这个西北方向航行， 你现在是到达点 a 向西北方向，西北方向指的是啥呢？是正的西北方向，也就是说他的西偏北是四十五度，这个北偏西也是四十五度，这个意思。好，那么这就出来了呗， 显然则这个角 o a、 b， 它呢就会等于九十度了嘛。好，现在呢，我们就可以去解决我们的第一问和第二问，第一问把它的代数式呢表示出来，船离出发地的距离，船是最终到达的点 b 距离，出发地是 o 点的距离指的是 o b 嘛？ 那这个 o b 就 相当于是求的是直角三角形当中的斜边长，我们可以优先先求出 o a 和这个 a b 嘛。 那么 o a 首先要注意，它是从点 o 出发，沿着东北方向航行两小时，到达这个点 a 处，它的速度呢是二十五千米每小时，说明这个 o a 等于几呢？它就会等于它的速度乘时间速度是二十五时间呢，是两小时嘛，所以这样呢，得到的 o a 的 距离呢是五十， 单位呢，是千米嘛？好，我们再算出它的一个 a b a b 呢？要注意了，它是沿着这个西北方向航行 t 小 时 速度呢？还是这时候轮船行驶的速度，那就是二十五千米每小时，我们将它的速度乘上时间，时间是 t， 它呢就会等于二十五， t 单位呢是千米，那紧接着我们就可以求这个 o b 了， o b 好 球，你可以这样子说，因为在这个 r t 三角形 o a b 中，这个斜边 o b， 它就会等于根号下的。以后呢，可以直接写就会等于根号下的两只角边的平方和再开方嘛，那就是 o a 的 平方，再加上这个 a b 的 平方 再开方，再呢把它带进去求一下 o a， 这呢是五十，那就是五十的平方，再加上 a b 呢，是二十五 t， 那 就是二十五 t 跨的平方嘛，我们可以把五十的平方把它分解成是二十五 乘二跨的平方，然后再加上这呢相当于是二十五 t 跨的平方嘛，然后呢，把它继续往后拆开来，对吧？那就会等于根号下的二十五的平方，再乘上二的平方是四嘛？然后再加上这呢，也一样的， 相当是 g 的 乘方，它会等于各个元素分别乘方再相乘嘛，那就是二十五 t 的 平方，它会等于二十五的平方，再乘上这个 t 的 平方。 显然在这里呢，我们可以把这个二十五的平方提一下，那么他就会等于根号下的是二十五的平方，再乘上括号，就相当于是四再加上这个 t 的 平方吗？这个要怎么去算呢？这就涉及到我们后面学到的二次根式的一个相关的运算了。 我们先举个例子吧，比如说根号四乘这个根号九，它呢会等于多少呢？是会等于根号二的平方乘上根号三的平方，根号二的平方，我们说怎么去开方呢？就是把它的平方根号去掉之二，后面呢，同理喽，就是把平方根号去掉，这个呢就是三， 所以二乘三呢，等于六，同时这个根号四乘根号九，其实它也会等于根号下的 它呢，相当是两个二次根，是分别相乘，你也可以给他打三个大的根号给他把他的这个倍开方数一起相乘。你看这样呢，就相当于是根号四九三十六，三十六，三十六呢，相当于是六的平方，所以把它平完，根号去掉，它就等于六，所以是相等的。这意思也就说 两个二次根是相乘，它可以把它的倍开方数合起来相乘，然后呢，再给他带上个大的根号给他嘛。 同样的道理，如果说两个就说被开方数里面是他的被开方数是相乘的，那么我们也可以把它分别带上根号，分别相乘也行，就等于根号四乘，根号九， 也就说合起来相乘，他可以把它分开乘，分开相乘可以把它合起来一起乘，那根据这样的一个特征，我们在这里呢，也就可以解了 它，把它再合起来相乘，你可以把它当做是两个部分，一个呢是二十五的平方，另外一个因素呢是四加 t 的 平方， 那么把它分开来，就变成是就根号二十五的平方，再乘上根号下的四加 t 的 平方，左边这个二十五的平方，再开根号，就把它的平方根号去掉，它就会等于二十五二十五倍的四加 t 方吗？你看这样不就搞定了吗？ 它的单位呢是千米啊，这呢就我们的第一小问，现在我们就用 t 的 代数式去表示了，那我们再来看一下。第二，当 t 等于三时，传离出发地的距离， 传离出发地的距离我们已经标出来了，那就是二十五倍的根号四加上 t 方，现在呢相当是 t 等于三，那就把这个 t 带进去呗，也就说当这个 t 等于三十，则这个传离出发地的距离 就为多少呢？就是二十五再乘上，相当于根号下的四加上 t 方那三个平方呗， 这样子来，那这呢就等于二十五乘上这个相当是根号下的四加九喽，等于二十五乘上根号十三。根号十三是一个无理数，你要用计算器的摁一下，二十五乘上根号 十三，然后呢把它算出来，后面呢它是约等于九十点一四的，这个怎么去按？计算器的话自己按呢，我就不提了，所以最后呢作答，当 t 等于三十，它离出发地的距离约为九十点一四千米，是约为啊， 因为根号十三是一个无理数，它并不是一个有限小数啊，是无限不循环小数。第五题，若阿根是根号 x 的 平方，它等于三 九， x 的 值呢是多少？我们可以考虑将它左右两边同时平方，那这呢就变成根号 x 的 平方，然后呢的平方，它就会等于三个平方嘛， 也就相当于是根号 x 的 平方的平方，它呢就会等于九。这个呢，就要注意一下，啥意思呢？怎么去运算？根号 x 的 平方的平方，它呢就会等于相当于是 两个根号 x 的 平方相乘。我们前面说过，这呢是两个根是分别相乘，我们可以把它带上大的根号，把这两个被开方数合在一起相乘，那就变成 二十平方乘三 x 的 平方，那这个不就相当于是根号下的，你看通底数名相乘，底数不变，指数相加二加二呢，是四，对吧？就 x 的 四次方，就可以把它写成 x 的 平方，跨的平方吗？这样来，那么你把它开起来就可以开了，把平方去掉，就等于 x 的 平方了呗。 所以这个呢，就相当会等一个 x 的 平方等于九，那此时的话，你应该可以知道了，一个数的平方等于九，也就说存在一个数的平方等于一个正数，则这个数呢，这个平方的底数， 它呢就有两个，它们是负为相反数，应该是三的平方是九，负三的平方呢，也是九。所以 x 呢，会等于正负三嘛？ 不出来了吗？这个平方左右两边同时平方是一个技巧，要能够知道怎么用啊。第六题，物体自由下落时，下落距离 h 可用公式 h 等于五 t 方来去估计 其中 t 表示物体下落所经过的时间。第一小问，把这个公式变成为用 h 表示 t 的 公式，用 h 表示 t， 也就说你要把它变成是 t 等于什么？ h 的 形式 就变形呗。那怎么变呢？我们可以这样来，因为 h 是 等于五 t 方的。首先把它左右两边交换位置，那就是五， t 方就会等于 h， 你 把它左右两边同时除以五，或者说这是五 t 方向，五乘上 t 方等于 h， 那 么这个 t 方就会等于相当是 g 除以它的另外一个元素除以五嘛，所以 t 方就会等于五分之 h， 对吧？然后呢，又因为这个 t 方呢，它是大于或等于零的，它大于或等于零，那就相当于是右边这个五分之 h 也会大于或等于零。它们相等的嘛，它大于或等于零，说明啥呢？说明五分之 h 啊，它呢是一个 非负数，非负数呢，它是有它的平方根的，所以我们把它开一下方，所以 t， 它呢，就会等于正负的根号下的它，对吧？嗯，就一个呢，是正的，一个呢是负的嘛？因为平方根有两个正负根号下的五分之 h。 我 们前面呢，也说了嘛， 你大于或等于零，那肯定不可能是负的啊。所以说，这里要求其就相当于是求的是啥呢？求的就相当于是他的一个算数平方根嘛。五分之二取的算数平方根只能够是正，而不可能是负啊， 一个正数的平方根是正数，显然是他的算数平方根才有这种可能啊。那就表示了这个 t 了呗，对吧？用 h 去表示 t 的 表达式嘛， 大家知道啊，比如说我们之前呢，学过用 x 表示 y， 就 把它写成 y， 等于什么 x 的 形式呗，对吧？比如说 y 等于 x 加一的形式，这样也可以啊，用 x 表示 y， 就 把它写成 y， 等于什么？用 h 表示 t， 就 把它写成 t 等于什么 h 嘛。第二小问， 一个物体从六十米高的塔顶自由下落落到地面， 下落的距离相当于是 h， 它是等于六十米的，而下落的距离可以用公式 h 等于五倍的梯方来表示。 当下落的距离已知的时候，我们是可以求出落到地面它所需要的时间 t 的。 所以第二问也非常的简单，当 h 等于六十米时，我们就可以把 h 等于六十带入到 h 等于五倍的梯方当中，那这样呢，就可以得到 h， 也就说六十，他呢就会等于五倍的梯方。你可以给他写好一点，相当是记五倍的梯方，他等于六十， 那么梯方等于多少呢？他当然就会等于六十，再除以五嘛，所以这个梯方他呢就会等于一五，得五二五，一十就十二嘛。 其中 t 呢，它是大于零的，相当于是一个正数的平方等于一个正数，然后这个平方的底数就这一个正数的算数平方根。所以啊， 实际上求的就是十二的算数平方根，那 t 呢，就会等于要求谁的算数平方根，就把谁放到根号里面，所以把十二放到根号里面， 就可以写成是工号十二，负的工号十二我们是排除了，因为从六十米高的地方开始下落，直到下落到地面，这一定需要时间，一定会有时间产生，时间 t 呢会大于零的啊， 最后呢要精确到零点一秒。等我们后面学了二次根式的运算之后，我们再来对根号十二进行计算，真的是比较合理的，因为那时候我们已经知道方法了，但现在我们还没学，那怎么办呢？你可以先用我们的计算器摁一摁 n 出来之后，那么根号十二呢，它就会约等于三点五，也就是说原本呢，它是等于三点四，六四多的， 他是一个无限小数，精确到零点一，相当于是精确到十分位的四。这里我们需要向右看多一位嘛，右边这位呢是六满五，要向前进一，所以他就约等于三点五啊，有单位呢放单位，单位呢是秒。 最后呢记得做挡。一个物体从六十米高的塔顶自由下落，落到地面呢，需要的是三点五秒。
02:41查看AI文稿AI文稿初中教辅点评第三弹今天我们讲的是核心考点，传说中武汉初中教辅的神， 应该说是神之一，只要我们到时候再说这本书，它在去年才出的浙教版，之前我们只有一个人教版，那么它的特点我们先看一下目录， 本书的配置不是按照课时来的，而是按照知识点来，同一个知识点他会分分的非常的详细，你可以通过这一组练习，把勾股定律吃的透透的，他基本上把所有利用勾股定律的题目都总结到位了。 我们再来看一下具体的题目，每一个专题配备多个考点，这些考点其实就是题目对应的设置的这个方法。这本书它最大的优点就是把方法总结的很到位，很细致， 这是对学生思想的点拨。但实际操作下来，由于他讲的真的太细了，学生自己做题的时候，如果是混在一起的一张综合卷，其实学生并不能够立马想到这是用什么方法做的，这是一个问题。 他题目配置的还是比较新的，一些是经典的，一些是比如说我二零二五年宁波镇海交川书院的期末卷，里面的新的题目更新是比较及时的，题目难度是及中等、偏上难这些档次。 他的答案因为新的浙教版是电子版，我们来看一下人教版的这些答案 讲的没有像必刷题那样那么详细，基本上就是一个提示，而且往往会出现异症这种词。学生如果说技术比较薄的，可能都看不中这道题目到底用的什么方法。总的来说，这本书适合中等及中等偏上 八十分以上的学生去进行专题的突破训练，他不是综合练习，比如说我这个勾股定力三角形这一块学的不好，那我就用这本书勾股定力这一块一次性大量的去刷题，相信一定是会有很大的帮助的。 但这也意味着你做这本书是非常耗时的，他比一般的教辅花的时间要多，如果学生只有在放假这星期天两天里面去做，可能他是做不完的。这本书其实比起推荐学生，我更推荐老师进行一个自我提升。
51:14查看AI文稿AI文稿好久不见，甚是想念。哈喽，大家好，我是梦导师，今天我们再详细的讲解一下，这叫八下。第一章二次根式，本节我们重点讲的是一点二点一，二次根式的性质。先来看本节的学习目标，本节我们重点是围绕二次根式的性质而展开， 学到的是怎样的二次根式的性质呢？有两个基本性质，第一个呢就是公号 a 跨的平方， 平方在外，它呢是会等于被开方数 a 的。 第二个重要的性质呢，就是平方在内的平方，在根号的里面就是根号下的 a 方这样的形式，那它会等于什么呢？它会等于平方的底数的绝对值，那就等于 a 的 绝对值。 如果说 a 大 于零，去掉绝对值之后，就会等于它本身，它就等于 a， 如果说 a 等于零， 去掉角之后，那么它呢就会等于零。如果 a 它小于零，去掉角之后呢，它就会等于角的角里面的数的相反数，那就 a 的 相反数就是负 a 嘛， 这呢就是我们本节所要讲解到的二次根式的两个重要的性质，要能够运用二次根式的一个性质进行化简求值。下面我们来展开前讲解。 根据右图，你能推测出根号 a 和 a 的 关系吗？右图是一个正方形，它的面积是 a， 其中边长是根号 a， 那 它的面积怎么算？就是 根号 a 乘高 a 表示的是两个根号 a 相乘，我们根据之前学过的乘方的知识可以发现， 两个根 a 相乘，它可以写成是根号 a 跨的平方，或者说根号 a 跨的二次方，它们是相等的，而它的一个结果是怎么算出来的呢？我们可以来推一下，就好比说举个例子， 这个边长呢，是四，那根号四乘，根号四，它怎么求？这个根号四，它可以把它写成是根号二的平方， 这也是一样，可以把它写成高二的平方，那怎么开方的呢？我们说把它写成平方的形式，然后呢，只要把它的平方和根号去掉了，相当于是求四的算式平方根嘛，那把平方根号去掉，就会等于二了呗，那这个呢，也是一样是二则，这样呢，是等于多少呢？它是不是就会等于四了？ 当然，你看你这个的是和啥是一样的呢？是和我们这个根号里面的这个数是完全一样的呀，其实重算的话，你也可以去发现。这呢，我们是把它分开去乘嘛，那他可不可以把它合起来去乘呢？这是可以的， 我们说两个是根式相乘，他呢，也可以把它带上个大的根号，把他们的倍开方数分别相乘，就等于根号四的平方，然后把它的平方根号去掉， 所以它等于四倍。如果它的被开方数是 a 呢，那就相当于是根号 a 乘高 a 嘛，我们也可以推一下，则它就会等于相当于是根号下的 a 乘 a， 那 它等于几？是不是就会等于根号 a 方，然后呢，把平方和根号去掉，它呢，就会等于 a 的 呗。 不过要注意的一点是，它会等于这个 a 的 绝对值啊，因为 a 不 可能是负的嘛。当然，因为这是正方形的边长，它肯定不是负的呀，也不是等于零，应该是一个大于零的数嘛，所以大于零去掉角值，就会等于它本身，那就等于 a 喽，这样来的啊，这是它的一个推导，那既然 高 a 乘高 a， 它会等于高 a 的 平方，对吧？所以说它的结果也会等于 a， 这个呢，我们就可以推出来了，对吧？ 这关系呢，是成立的，也就说根号 a 的 平方，它呢就会等于 a， 而这个根号 a 里面的平方，这个呢，它就会等于这个 a 的 绝对值。因为你这个 a， 它是可以是正的，也可以是负的，也可以是零嘛。 所以说，如果单独来看，但是你开出来，你得要保证它具有恢复性嘛，也就说因为 a 的 平方大约等于零，那什么具有恢复性呢？你可就是它的绝对值呗，所以你可以给它加个绝对值， 那具体 a 是 多少，就看 a 是 大于零等于零还是小于零了。那如果说 a 它大于零，那你把它去掉角值，就等于它本身，就好比这一样，对吧？它因为是边长，所以它大于零，它就等于 a， 那如果 a 等于零呢？它去掉角值就等于 a， a 呢，是等于零嘛，对吧？那如果说 a 小 于零，它去掉角值等于它的相反数，就是负 a 嘛，这样来的。所以去掉角的值之后，到底是等于多少，主要是看它的 a 的 大小来看。薪资导入，根据平方根的意义 完成以下填空，公号二块的平方等于多少？公号七块的平方等于多少？公号二分之一块的平方等于多少？公号零块的平方，它等于多少呢？我们可以通过举例，从而推导出二次根式的一个重要的性质，那就是 公号 a 跨的平方，平方在外，它是会等于被开方数 a 的， 其中 a 大 于或等于零，因为 a 作为的就是被开方数，那这个性质怎么得到的呢？我们可以举个例子来加以理解，跟我们之前学过的 平方根和算数平方根的知识呢有关。就比如说你要求出这个根号四，它等于多少？我们就要先翻译一下根号四，它表示什么？它表示的是四的算数平方根， 而要求一个正数的算数平方根，那我们就要知道这一个正数的平方根是多少。怎么样去定义平方根的呢？那就是如果一个数的平方根是多少，比如说这个数呢，是 x， x 的 平方它等于四， 则这个平方的底数就是这一个正数的平方根。我们知道二的平方它等于四，负二平方也等于四，说明 x 啊，它可以取二，也可以取负二。既然这个平方的底数 是这两个相同因素相乘所算出来的乘积的算数平方根，就这一个正数的平方根。算平方根怎么界定呢？就相当于是 在我们所算出来的平方根当中取中的那一个，取出来的中的那一个平方根就是这一个正数的算数平方根。所以四的算数平方根呢，就是二嘛，根号二跨的平方不会算 根号四跨的平方，你总该会算了吧，因为根号四，它等于二，二的平方它等于四。其实我们来对比一下，我们所算出来的得数与被开方数的关系很明显，他们呢是相等的， 算出来的得数是四，被开方数也是四，平方呢，是在外的，所以我们就可以总结了，平方在外就会等于被开方数， 这样呢就不难填空公号二跨的平方，平方在外就会等于他的被开方数，被开方数是几呢？是二，所以他就等于二。公号七跨的平方，他的被开方数呢？是七，所以他就等于七。 根号下的二分之一，跨了平方，它的倍开方数。我们就看根号里面这个部分，就是二分之一嘛，等于它的倍开方数，所以它等于的是二分之一。根号零跨了平方，就等于它的倍开方数，那就是零。 所以用它的二次根式进行相关的运算是非常快的。我们理解的时候，可以通过举例子呢去加以理解二次根式的性质， 当然这个性质仅仅是二次根式重要性质当中的其中一个，还有另外一个呢，就是平方在内的，就是公号下的 a 方，它呢是会等于平方的底数的绝对值的，所以它会等于 a 的 绝对值。 为什么加绝对值呢？同样的，我们可以举例子来加以理解。比如说公号下的负二跨的平方，那它就会等于公号四，因为两个负二相乘是同号，两数相乘为正负二乘，负二呢，就等于四嘛。而公号四呢，我们在前面已经算过了，它呢是等于二的。 此时我们观察一下，当平方在根号的里面的时候，这个平方的底数和这个得数有着怎样的关系呢？显然是不相等的。 如果要把得数统一为含有这个平方的底数来表示，那么怎么表示？那这个二，我们就可以把它写成是负二的绝对值， 负二的值则表示负二到原点的距离，那当然等于二，所以说是成立的。如果说你不加绝对值，就等于它平方的底数，那么它等于负二的负二，也不等于它的一个得数二呀， 所以要等于这个得数二，又要能够用这个平方的底数来表示，比如说我们的得数又含有这个负二的，那么我们只需要在这个负二的前后打上个绝对值的符号给他就 ok 了嘛，所以加绝对值就可以完美的解决。 这样呢，后面我们在记的时候就可以说二次根式具有以下两个重要的性质，第一个呢是平方在外会等于他的被开方数，第二个性质呢就是平方在内，他就会等于平方的底数的绝对值。 要去掉绝对值，就跟绝对值里面的数的大小有关，如果我们判断出来绝对值里面的部分，他呢是大于或等于零的， 去掉角值之后就会等于它本身就等于 a， 如果角的值里面的部分它呢是小于零的，去掉角值之后就会等于它的相反数，那就会等于负 a， 这个我们在后面呢也会即将讲到，就在这一节。好，我们接着往后讲， 下面我们就来展开讲解一下。二是根式的第二个重要的性质，那就是公号下的 a 方，它等于 a 的 绝对值 还是一样的，我们可以通过举例子来加以解决，比如说公号下的二的平方，他呢就会等于公号四表示的是四的算数平方根，四的平方根就是正负二， 而四的算数平方根就是在正和负的两个平方根当中取出正的那一个，所以他就会等于正二正好呢可以省略，那他当然就等于二， 二的绝对值呢，他当然也是等于二的。再来看第二组公号下的负五跨的平方，两个负五相乘，得到是二十五，也就说他就会等于公号下的五的平方，相当是要求二十五的算数平方根，那我们就把二十五的平方根先得到 二十五的平方根呢，是正负五，取正那个平方根，那他就会等于五嘛，而负五的绝对值，他也是等于五的，因为负五的绝对值，他表示的是负五到原点的距离，那当然是五 根号下的零的平方，零的平方是零，根号零，它就等于零，因为零的上侧平方根是零，而零的角值呢，就表示零到零的距离，那当然是零。比较左右两边的式子，猜想一下，根号下的 a 方与 a 的 角值有什么关系呢？ 当 a 大 于或等于零时，根号下的 a 方它等于什么？分情况讨论，当 a 大 于零时，就好比说，我们前面所算出来的根号下的二的平方，它呢是等于二的，算出来的结果等于二，而根号下的二的平方，它的底数呢，也是二，这个结果 和这个平方的底数是相等的。这种情况是当 a 大 于零时所得到的，那当 a 等于零时，就别说公号下的零的平方，它等于零，结果呢，是零，这个平方的底数也是零，同样会等于它本身。 所以啊，我们就可以得到，当 a 大 于或等于零时，公号下的 a 方它就等于 a， 当 a 小 于零时呢，就别说 根号下的负五跨的平方，此时这个平方的底数呢，是负五，而得到的得数呢，是五五呢，它又等于负五的绝对值。所以如果把得数用这个平方的底数来表示，那么这个得数五，它就会等于负五的绝对值， 而不能够直接写成是这个平方的底数负五，因为答案要等于的是五而不是负五，负五的绝对值呢，就会等于五嘛，那就会与我们的答案相匹配。所以啊，当 a 小 于零的时候，括号下的 a 方他比较特殊，他呢就会等于平方的底数的绝对值就会等于 a 的 绝对值， 要给他加上绝对值给他，这样就可以得到了。一般的二是根式，就有下面的第二个重要的性质，那就是平方在内，也就说公号下的 a 方，他就会等于平方的底数的绝对值，会等于 a 的 绝对值。 当 a 大 于或等于零时，去掉绝对值就会等于它本身等于 a。 当 a 小 零时，去掉绝对值，就会等于它的相反数，那就是负 a 等于它的相反数，指的是等于绝对值里面这一个部分的相反数。 只需要对角的这里面的部分填上负号，就可以变为它的相反数。就好比说角的这里面的部分，它并不是 a， 而是二 a 加上个一，那 当二 a 加一想要零的时候，去掉角，则就会等于它的相反数，所以就是会等于负的括号二 a 加一这样子来处理的。 接着我们就可以把我们所学到的二次根式的两个重要的性质运用到我们的计算当中，从而对我们的算式进行化简。求值 来看典型例题一，第一小问，我们先写个解原式，先对它二次根式里面的被开方数进行一个相关的化解，这个负十的平方，它就相当于是 多少呢？你可以把它这样子写，根号下的一个负数的偶次方为正吗？那负十乘负十就是一百喽，也就相当于是它会等于十的平方的，然后呢，再减去 这个呢，相当于是根号十五跨的平方，那根据我们前面学过的那两个这样的性质，就可以直接进行匀算。 一个呢，是根号 a 括号的平方，那么他就会等于 a， 其中 a 大 于或等于零。第二个重要的性质呢，就是这个平方，在根号里面的根号 a 的 平方，他呢就会等于 a 的 绝对值。当 a 大 于或等于零时，他去掉绝对值就会等于 a， 零的话，去掉值就等于零，那也是 a 吗？对不对？ a 是 零啊， 所以可以包括零啊。 a 小 于或等于零时，去掉角值等于它的相反数，那就是负 a 嘛。好，所以你会发现的是这种根号 a 的 平方，这个 a 它是小于零的，那么去掉角值等于它的相反数。所以从这里当中，其实你也可以得到原本根号负十括号的平方，它呢会等于 相当是负十的绝对值，而这个负十呢，是负的，所以去掉角值等于它的相反数嘛，那就是负的负十喽。一个负数去掉角值等于它的相反数，或者说负数的绝对值是正数，那就等于十这个意思，所以显然左边这个呢，等于十，再减去一个数的 平方，对吧？就根号 a 跨的平方，它就等于 a， 会等于它的倍开放数的，所以右边这个呢，就会等于十五了。 那么我们将这个十减去个十五，这个呢，相当于是减去一个数，会等于加上这个数的相反数，加上这个减数的相反数，减数是十五，它的相反数是负十五，实际上是相当于是把它的加号和括号还原回来了，这呢就是一号两数相加， 取绝对的较大的反取负的加框，将较大数角值减去较小数角值，那么这个呢，就会等于负五。第二题，他呢有 中括号，我们可以先算出括号里面的线吗？好，这里呢，是怎么算？首先勾二，我们先保留先，再减去这个负勾二，它的一个平方。要注意啊，它有两种方法，那第一种方法呢，就是根据 我们的这个性质来，相当于是根号下的 a 的 平方，他呢就会等于这个 a 的 角值。就负二的角值吗？因为 a 就 相当于是角值。一个负数的角值是正数，或者说角值里面的数呢，是小零的数，那么它去掉角值，等于它的相反数，就会等于 负二的相反数。在负二的前面添加一个负号嘛，它就会等于二喽。负的负二就相当于是负二的相反数，那就二嘛， 那就相当于是变成根号二，再减去个二，这呢不要把它算错了啊。好，后面呢，是将它再乘上个根号二，再加上二倍根号二，我们继续把它往后算，前面这里呢，可以把它展开勾二乘勾二，再减去二乘勾二，再加上二倍勾二。好， 前面这个就相当于是勾二乘勾二，那就是两个勾二相乘，它表示勾二的平方嘛，再减去二乘勾二，你可以把这个乘号省略，那就是二倍勾二，再加上这个二倍勾二。 好，前面这个呢，就相当于是勾二 a 跨的平方，它就会等于 a 的， 所以说它会等于二，然后呢，后面这个那就相当于是把它加上个 这个负二倍根号二，对吧？再加上这个二倍根号，二倍减去个数会等于加上这个数的相反数，减号变加号，减数变成它的相反数，减数呢是二倍根号二，它的相反数是负二倍根号二， 那这样呢，就可以看得出来，后面呢这两个加数，他们呢是负为相反数的，那负为相反数的和是为零，所以我们可以用减倍圆算吗？ 这个呢，可以给他打个中括号给他，那就变成相当于是二加零了，所以说他呢会等于二。例题二根号下的五分之三减三分之二的差的完全平方，再把它加上五分之四减三分之二的绝对值，这个要怎么算呢？ 一样的，首先我们要注意它的一个形式，这个显然是属于根号 a 的 平方的形式，平方在根号的里面，那么它呢会等于 a 的 绝对值，这个就意味着我们要判断下，这个五分之三减去 三分之二，他们两个谁大谁小，得到的结果是大零还是小零喽？这个 a 它是指的是这个整体五分之三与三分之二的差，那我们可以把它进行通分式下呗。 五分之三减三分之二，同分的话，应该是找分母的最小公倍数十五，五分之三，分子分母同时乘上这个三，那就是十五分之九，再减去 这个三分之二，分子分母同时乘上五，那就是十五分之二乘五是十，这呢显然是啥呢？是不是可以把它转成有理数的加法？减去一个数，等于加上这个数的相反数，减号变加号减速变为它的相反数， 十五分之十的相反数是负的十五分之十，显然这个呢就变成一号两数相加的一个加法。有理数的加法，我们取的是绝对值较大的符号，一号两数相加，取绝对值较大的符号加括号，将较大数角值负十五分之十的角值呢，是 十五分之十，再减去较小的数的绝对值，就是十五分之九嘛，那么这个呢，就会等于负的十五分之一了啊，也就说五分之三减三分之二呀，它的值是小于零的，对吧？好，你把它写一下嘛，这个它会等于相当于是五分之三减 三分之二的绝对值。那么后面呢，是赵超仙加五分之四减去三分之二的绝对值。 前面这个我们已经判断了吗？绝对值里面的数，它呢是小于零，那么小于零去掉绝对值就会等于它的相反数。相反数是指在这个 数或者式的前面，在一个整体的前面吗？添三个符号，那就负的五分之三，再减三分之二。然后呢，后一个我们还要是要判断它绝对值里面的大小，那就是五分之四减三分之二的大小吗？ 一样的，通一下分，怎么通呢？就是它分母的最小公倍数是十五嘛，所以我们可以将分子与分母同时乘上三三五、十五，三四十二嘛，再减去三分之二呢，是分子分母同时乘上这个五，那就是十五分之二，乘五呢是十，这呢就会等于十五分之 二呀。十五分之二，显然它是大于零的嘛，所以大于零去掉九的值，就会等于啥呢？就会等于它本身了，所以就加上五分之四，再减 三分之二，这样子来。好，紧接着我们就继续把它往后算，这个怎么来呢？按照我们刚才那个理解也可以吗？你看前面这个算出来是负的十五分之十一，里面这个呢是负的十五分之一的 前面有个符号，所以说这样呢，就变成正了嘛，那就是十五分之一。如果说我们写好一点也行吧，那就是负的负十五分之一，再把它加上，后面这个呢，你把它算出来，它呢是等于十五分之二的嘛， 所以那这样呢，就相当于是负十五分之一的相反数，就是十五分之一，再加上这个十五分之二，那就等于十五分之三， 十五分之三，把它约分嘛，对不对？用三去约三，三十一五除以三呢是五，所以它就会等于五分之一，那不就搞定了吗？ 答案，本题的话，你也可以考虑算到哪一步的时候呢？算到这一步的时候，你也可以换一种方法把它去括号，然后呢合并一下同类项也可以算，就比如说括号，那么下一步就可以怎么写呢？这就是括号前面是减号，去掉括号前编号，这呢相当于是零加上五分之三，他的五分之三的前面是 这个加号是正二，对吧？去掉括号呢，那就是变成负的，就负的五分之三，这个再来减三分之二呢，把它去掉括号，那就变成加上这个三分之二嘛，这样子来和后面这个加上五分之四，减去三分之二， 嗯，这样子来看，你会发现加三分之二减三分之二，这就抵消了呗。那由此呢，我们就可以得到，剩下呢是两个相当是负五分之三 和这个五分之四进行一个相加喽，那这个呢，显然是同分母的，它呢是属于一号，两数相加，我们取绝对值较大的数的负二，那肯定是取正的呗。然后呢，加快将较大数角值减去较小数角值，那五分之四减去五分之三，那不就是 五分之一了吗？当然，我们也可以考虑用到我们的一个加法的交换率，就五分之四，加上负的五分之三，把这个加号呢和括号给去掉，那就变成五分之四减五分之三等于五分之一。 你看这样子算也可以啊。好，我们来总结下，对于根号里面有平方的，他会等于这个 a 的 绝对值，会等于他的这个平方的底数的绝对值。所以为此我们就需要去判断这个平方的底数，它的大小 是大于零，小于零还是等于零。而对于单纯的去绝对值，那也要先算出绝对值里面的一个大小，大于或等于零的时候，去掉角值，等于它本身，小于零的时候，去掉角值，等于它的相反数。再来看可得练习的第一题，根号三跨了平方，平方在外就会等于 他的被开方数，被开方数呢是三，所以他就等于三公号下的三分之四。跨的平方，平方在内就会等于平方的底数的绝对值，那就会等于三分之四的绝对值。三分之四的绝对值表示三分之四到零的距离嘛， 那就可以写成是三分之四减去个零，再加绝对值。因为在数轴上任意两点的距离，我们可以将它表示成是 a 减去 b 加绝对值。写成这样的形式，我们就可以把它翻译成是三分之四到零的距离， 因为 a 减去 b 加绝对值，它表示的是 a 到 b 的 一个距离嘛，那当然是三分之四。 化简的时候需要提醒一下，有时候这个平方的底数，它是一个带分数的，那怎么办呢？就比如说它写成的是公号下的一又三分之一跨的平方，我们就需要把这个平方的底数带分数的化成假分数来，那就等于公号下的 把一个代分数化成假分数。怎么化呢？那就是分母不变，这个分子呢，就为整数乘分母再加分子嘛，那就是一乘上三，再加上个一，一乘三是三，再加一呢是四，所以就是三分之四跨的平方， 平方在内就会等于平方的底数的绝对值，那它就会等于三分之四的绝对值，同样算出来，结果呢，会等于三分之四。 根号下的负四跨的平方，平方在哪里呢？平方在内，它就会等于平方的底数的绝对值，那就会等于负四的绝对值。负四的绝对值表示负四到圆点的距离，那当然就会等于四嘛。 下一个比较特殊负的根号，三跨的平方，把它写完整，实际上他呢就会等于负一，再乘上这个根号。三中跨外的平方是积的乘方，因为我们之前呢学过公式，那就是 a 乘 b 跨的平方，它就会等于把每个元素分别乘方，再将所得的 m 呢再相乘，那就是 a 给它二次方， b 给它二次方，中间呢用乘号连接， 这呢我们是可以举个例子的，就比如说 a 呢取二， b 呢取三，相当于是二乘三跨的平方，那它是否会等于二的平方再乘上三的平方呢？ 当然是等于的，二乘三的是六六的话，胯的平方它就等于三十六，右边三的平方是九四九三十六，左右两边当然是相等的，所以 g 的 乘方就会等于把胯里面的每个因素分别乘方， 再将所得的密用乘号给连接起来，也就是说再相乘嘛，所以啊，他就会等于相当于是负一胯的二次方，再乘上根号三 挎的平方，负一挎的平方表示两个负一相乘，负负得正，他就等于正一就一了。在乘上括号三挎平方是平方在外，就会等于他的背开方数，背开方数呢，是三，那么他就等于三嘛，相当于是一乘三，那他就会等于三， 所以负根号三跨的平方，它等于的是三。小结下，当平方的底数是一个带分数的时候，我们需要把它化成假分数。 当平方里面有负号的时候，我们可以把这个负号看作是负一，因为原本他就是负一乘上根号三的，只不过说负一乘根号三的时候，他往往是会把这个负一的一给省略了，而只留下这个负号，所以进行一个还原就好理解。 这样呢，我们就可以利用 g 的 乘方把它展开，进行相关的运算。第二题，数 a 在 数轴上的位置，如图所示，告诉我们数轴就想告诉你这个 a 的 一个大小，他不需要知道他具体多少，但是我们从他的数轴可以分辨他的一个大字的大小，他在圆点的左侧， 所以 a 一定会小于零的，则这个根号 a 的 平方是根号，平方在根号里面，那么它就会等于这个 a 的 绝对值。现在 a 呢，是小于零，那么去掉角值就会等于它的相反数，所以在 a 的 前面添加个符号，就可以得到本题的一个答案，那应该是负 a， 我们来继续应用二次根式的性质来解决我们的计算题。性质呢，有两个，第一个就是平方在外的，比如说根号 a 跨的平方，它呢就会等于 a， 其中 a 大 于或等于零。第二个就是平方在内的，是根号下的 a 方，它呢就会等于 a 的 绝对值。它去掉绝对值等于多少，主要是取决于绝对值里面 a 的 大小。 a 大 于零，去掉绝对值等于它本身。 a 等于零，去掉角值等于零， a 小 于零，去掉角值等于负 a 嘛。根号下的负七的平方，我们可以用二次根式的性质二，它就会等于这个底数的绝对值，也就是说是等于负七的绝对值嘛，再减去根号 七的平方，它呢就会等于它的底数，哎，也就多等于七嘛。好，然后呢，算一下负数，去掉角值等于它的相反数，那就是在负七的前面填个负的，再减去个七，负的负七表示负七的相反数，那就七了嘛，再减去个七，所以说这个呢，就会等于零啊。 第二题写上减圆是等于这呢是负根号十一块的平方，再加上根号下的负十三块的平方，怎么来做呢？首先分它的类型嘛，我们可以这样理解，一个负数的偶次方是为正的，它就会等于根号十一块的平方，再加上根号下的 负十三块的平方，它是满足我们的二次根式的性质二，那么它呢，就会等于这个底数的绝对值，也就是负十三的绝对值嘛。根号十一的平方，就形容根号 a 块的平方，那么它是会等于它的底数的，所以这呢，会等于十一， 再加上这个负十三的绝对值。一个负数的绝对值是正数，那就十三了嘛，所以这样呢，把它加起来，它就会等于二十四。 第三题，如图，点 p 的 坐标是根号五都二，也就是说第根号五列第二行，因为横为行，竖为列，用竖的来表示呢，是先写列再写行的嘛。它是直角坐标系当中的一个点，要求的是点 p 到圆点的距离，那显然，这里呢，他要求的是 这个 o p， 我 们需要把这个 o p 给求出来，这怎么求呢？简单点 p 的 横坐标表示的是 d 根号五列，那么 d 根号五列到 y 轴的距离不就相当于是这一段嘛，我们呢，是可以把它求出来的嘛。 好，那要怎么求呢？也就是说这个标写吧，这个是 a 吧，也是 o a， 它就等于根号五了。点 p 到 s 轴的距离吗？所以这个呢， p a 它就等于二嘛。 好，这个呢是坐标，你要注意是过点 a 下时候做垂线，这呢是垂直的，那就把它转化成是求勾股定律的问题喽。 所以点 p 到圆点的距离，就可以把它表示为是 o p 它的距离，那么它就会等于根号下的，相当于是会等于 o a 的 平方，加上这个 a p 的 平方等于两直角边的平方和再开方嘛。 然后呢，把它带进去了，就等于根号下的 o a 呢，是根号五块的平方，再加上 ap 呢，是二的平方，那么这个呢，等于多少？算一下，根号五的平方会等于多少呢？这个就相当于是形容根号 a 括号的平方，当 a 大 于或等于零的时候，它呢是会等于 a 的， 所以这个呢，相当 a 是 五嘛，所以它等于 a， 那 就等于五喽。根号五括号的平方，它等于五，那五再加上这个四，所以它就会等于根号九，根号九，它就会等于根号三的平方。可以把这个 平方和根号去掉，所以它就会等于三嘛。我们来总结一下本节课我们主要学到的两个重要的性质，就是二次根式的性质。性质一，就是 根号 a 跨的平方，它呢会等于 a， 其中 a 会大约等于零。用文字来描述，就是平方在外，它就会等于它的倍开方数，你是 a， 它就会等于 a。 好 比说，举个例子，根号二跨的平方，它就会等于它的倍开方数，那就二嘛，它就等于二喽。另外一种就是平方在内的根号下的 a 的 平方，它就会等于 a 的 绝对值。也就说，如果平方在里面，则它就会等于密的底数的绝对值 值。 a 的 绝对值嘛，当 a 大 于等于零时，去掉角值等于它本身等于 a。 当 a 小 于等于零时，去掉角值，它就会等于负 a。 当然，这个呢，如果把它细分成三种情况，也是一样成立的。当 a 大 于零时，去掉角值等于 a。 当 a 等于零时，去掉角值等于零。当 a 小 于零时，去掉角值等于负 a 嘛。 所以呢，我们也可以举个例子，比如说根号二的平方，先分辨平方在里，它就会等于根号里面密的底数的绝对值，那就二的绝对值，那它就等于二。再举个例子，比如说根号下的负二括号的平方，那平方在里，它就会等于 密的底数的绝对值就是负二的绝对值，那负二的值呢，是会等于它的相反数，在负二的前面添加一个负号，而一个负数的相反数呢，是正数，它就等于二嘛。 当然它也不局限于说，只能够说是一个数的平方，它也可以是这样来，比如说 x 加三二跨的平方，同样它是在这个根号里面，那么它就会等于这一个整体，底数呢是 x 加三二，应该把它当做一个整体， 它就等于这个密的底数。要注意啊，密的底数指的什么意思呢？指的是这个乘方的底边这个数呗，那就 x 加三二喽，对吧？会等于它底数的角值，那 x 加二的角值吗？这样子来，那这个呢就要判断它的大小了。我们假设这个 x 如果说加上二，它大于零，那么它去掉角值就会等于它本身会等于 x 加二，如果说它这个 x 加二小于零呢，那么你把它去掉角值，就会等于 它的相反数，就是负的括 x 加上二相反数，在这一个整体的前面添上个符号啊，它就等于负 x 减二嘛。当然，如果说它等于零等于零的话，就相当于是 的这个 x 加上二等于零喽，那这样呢，就可以推出 x 呢，就会等于负二。好，这呢就是我们这一节的内容的讲解， 我们在运用的时候呢，就要判断它是属于我们二四根式这两个性质当中呢？哪一个性质可以从它的形式上去判断出来，从而去运用这样的一个性质进行相关的运算，会使得我们的计算更加简便，而不用每次都去推一遍。 接着上一部分的学习，我们再来讲解一下，这叫八下。第一章二式根式一点二点一，二式根式的性质这一部分我们重点讲解本节的作业题部分， 先来看 a 组的基础巩固作业题的 d 题。根号六跨的平方，平方在外，而他的被开方数是满足大于或等于零的，那么 这个就显然他呢是满足我们的二次根式的一个性质。一，也就是说根号 a 跨的平方，他就会等于他的被开方数， a， 这里的被开方数呢是六，所以说他等于六。第二根号下的负七分之二的平方，平方是在根号里面的， 则他就满足我们的一个二次根式的性质。二，根号下的 a 的 平方，他就会等于 a 的 绝对值，也就是说这个呢，会等于负 七分之二的绝对值，再把它去掉绝对值，绝对，这里面的数呢是小于零。去掉角等于它的相反数，就会等于在负七分之二的前面添加一个符号。一个负数的相反数呢，是正数，它就会等于七分之二数。相同符号相反，这个减就要变成加了吗？ 这个负的七分之二，它就表示负七分之二的相反数呢，很简单，就是数呢是一样的，符号呢是相反的， 负为相反数的，和是为零的。第二题，已知 a 等于负二，化简， a 减去根号下的 a 方的绝对值的结果是多少呢？我们呢，可以把它带进去，既然是 a 等于负二，所以我们就可以说 a 等于负二，带入 a 减根号下的 a 方的绝对值，那一带就会得到，相当于是他会等于相当于是负二喽。然后呢，再减去根号下的负二跨的平方吗？ 这呢，负二呢，就没什么好画，主要是后面那个，显然这个呢，是平方在内，应该是带我们二次根式的性质二 在内的，那它就会等于，这个就相当是 a 的 平方的底数的绝对值嘛，也就等于它的底数的绝对值，那就会等于负二的绝对值。那里面有个小的绝对值，外面呢，有个大的绝对值，那先算里面那个小的绝对值呗。那负二减去 负二的绝对值，一个负数的绝对值呢？是正数，它表示负二到原点的距离是二嘛？这样子写，那负二减二就相当于是负二，再加上这个负二， 这呢是同号两数相加，我们取相同的负二加括号，并把它们的角值相加，那就是负的括号二加二喽。外面呢，是有角的值的，这呢就相当于是会等于负四的角值。负四的角值用它的几和 e 来理解，那就是 负四到原点的距离，那显然是四嘛，对不对？所以说它会等于四，也就是说，一个负数去掉角值等于它的相反数，它等于四，那显然它就相当于是等价，于是负四的相反数，在负四的前面添加了个括号呗。 所以这个结果呢，也不难求，那就是四了啊。第三题计算题第一小问，负的根号五块二的平方，减去根号十六，再加上根号下的负二的平方，首先先统一格式，写上减元式， 这个是负根号五块二的平方，一个负数的偶次方是为正的，它等价于是根号五块二的平方，再减去根号十六，这根号十六，你可以把它写成是根号四的平方，再加上根号下的 负二括号的平方，那这呢就涉及到一些运算了，根号五括号的平方是平方在外，他呢就会等于这个被开方数嘛，所以他满足的是二次根式的性质一，他等于五喽，再减去根号四的平方，是平方在根号里面，那他就会等于相当于是 这个平方的底数的绝对值，那就是就是幂的底数嘛，对不对？幂的底数的绝对值就是四的绝对值，这样子来，然后呢，再加上根号下的负二块的平方，他同样满足的是我们的一个二次根式的先知二 平方在外直接会等于这个被开方数，平方在内，它会等于密的底数的绝对值，这样子说嘛，所以它就会等于负二的绝对值，然后呢，把它算一下，这呢是五四的绝对值是四喽，那就五减去四，负二的绝对值， 就负二到原点的绝对是二嘛，对不对？那加上二，这样呢，把它给算一下，所以这个等于多少？是不是五减去四呢？是一，一加二呢，它就会等于三了嘛， 所以第一小问它会等于三。再来看第二小问，根号下的五分之二括号的平方，平方在外，它就会等于被开方数五分之二嘛，因为它的这个被开方数也是大会等于零满足这个条件，所以我们用二次根式的性质一，然后呢，再减去 这个呢，是根号下的零点一的平方，平方在内，它就会等于密的底数的绝对值，那就是零点一的绝对值，然后呢，再减去，这个要注意的是，根号四分之一，它是啥呢？ 根号四分之一，其它等价又相当于是两个二分之一相乘就二分之一的平方吗？对吧？可以这样子写，所以， 所以呢，你把它写成这个形式就可以看得出来了嘛。我们先写一下吧，所以它就会等于根号下的二分之一块的平方，然后把它算一下，前面呢，是五分之二，再减去零点一的绝对值是零点一嘛。当然，你也可以把它写成分数，那就是十分之一喽， 再减去二分之一的平方，这里呢，有个根号是根号下的二分之一平方，显然平方在内，它就会等于它这个密的底数的绝对值，那就二分之一的绝对值喽，这样呢，往下写，那就是五分之二，减去这个十分之一，再减去 整数，把它去掉。角值等于它本身吗？那还是二分之一啊，这里呢，你可以通一下分，把它全部通成。分母是十的来，那么五分之二分子分母应该同时乘上 二，他就会等于十分之四，再减去十分之一，这呢，再减去十分之几呢？二分之一的分子分母同时乘上五嘛，二乘五是十，一乘五呢是五，那么这呢，把它算一下，就是十分之四减十分之一，同分母相减，分母不变。分子相减四，减去一是三，再减去这个十分之五， 再把它转成有理数的一个加法来减去一个数，会等于加上这个数的相反数，加上减数的相反数是负的十分之五嘛，对吧？一个正数的相反数是负数啊， 那么这样呢，就好算了，接着就可以判断，它呢是属于一号，两数相加，我们取绝对值较大的符号，那取负的加宽，将较大数角值减去这个较小的数的角值就是十分之五，减十分之三等于十分之二嘛，那就是负的十分之二， 然后呢，把它进行约分，用二除以二，除以二是一，十除以二呢是五，所以它就会等于负的五分之一，也就是负的零点二嘛。 好，再来看第三题，第三题它并没有告诉我们具体的数，但是呢，它也可以化解，因为它的形式是满足我们二次根式的性质的。根号 a 跨的平方是跨在外，它就会等于被开方数 a， 再加上后一个呢，是 平方在内，它就会等于这个 me 的 底数的绝对值，那就 a 的 绝对值呗。要注意啊， a 的 n 次方，这个 a 叫做底数， n 叫做次数， n 叫做次数。整一个 a 的 n 次方，它就构成了 me， a 的 n 次方，我们叫做 me 嘛，对吧？ 所以这个 a， 我 们把它叫做是 me 的 底数，然后呢，把它去绝对值了呢？要看一下 a 的 大小， a 呢是大于或等于零的，所以去掉抉择，等于它本身，那就 a 加 a， 它就会等于二 a。 第四题，根号下的七分之四减二分之一跨的平方，平方在内，显然它呢是满足我们的二次根式的性质二， 它就会等于这个 m 的 底数的绝对值，那 m 的 底数就相当于是七分之四减二分之一的绝对值，那就是七分之四减二分之一加绝对值给它嘛。然后呢，再加上后面这个呢，也是平方在内， 它呢就会等于密的底数的绝对值，那就是七分之四减一，加个绝对值给他。接下来呢，我们应该是判断的是它绝对值里面的这个数的大小，你可以考虑把它进行通分，那直接算也行，通分七和二负为质数，所以它的一个 公分母，也就是共同的分母。是谁呢？我们是找他们的最小公倍数，同分嘛，化成同分母，七二负一质数，则他们的最小公倍数是五，他们的乘积七二二呢，是十四，所以七分之四要分子分母同时乘上二七乘二是十四，四乘二呢，是等于八嘛， 再减去这个二分之一。二分之一要注意，我们要通分，所以应该是分子分母同时乘上七，那就是二乘七，十四一乘七呢，是七嘛？好，那么紧接着呢，我们要来继续往后看了，再呢，再加上七分之四，减去个一一的话，你可以把它看作是七分之七嘛。 十四分之八减去十四分之七，它是等于十四分之一的，也就是说这个七分之四减二分之一啊，它是大于零的，那它大于零去掉角值，就等于它本身了呗。 当然，你直接把它算出来也行，这呢也是一种方法。所以那这个呢，就是会等于十四分之一喽的绝对值吗？再加上七分之四，减去七，就是同分母相减的呀。那么你可以把它看作是 七分之四，加上括号负的七分之七嘛，十四分之一的绝对值，它就会等于十四分之一， 然后呢，再把它加上个这呢显然是一号两数相加，我们取绝对值较大的法取负的嘛，加括号，将较大数角值，那就是负七分之七的角值是七分之七，再减去较小数角值七分之四，然后呢，把 算一下，就十四分之一，再加上这呢，相当于是负的七分之三的绝对值嘛。那十四分之一再加上一个负数，去掉角值，等它的相反数，负数的相反是正的嘛，对不对？数相同，符号相反，那就正 七分之三就七分之三呗。然后呢，把它通下分，那就是十四分之一，再加上七分之三通分。分子分母同时乘上二，那就是十四分之 三乘二呢，是六，他就会等于十四分之七，然后呢，分子分母同时除以七，他呢就会等于二分之一嘛？这样子来，那你可能会说，老师，这样子也算太麻烦了吧？ 对，是很麻烦，所以我们有没有解密方法呢？有，就是你不算他，你判断来，你自己在表格纸上把它先通一下，分看一下。显然左边这个七分之四减二分之一是大于零的，所以把它去掉九的值，他就会等于七分之四减二分之一。而后面这个呢， 七分之四减去七分之七，显示不够减，他会小于零，那小于零去掉九的值就会等于他的相反数，所以就会是减去括号这个七分之四减一喽。在七分之四减一这个数的前面添上个括号吗？ 记得把它去括号，那七分之四减二分之括号，前面是减号，去掉括号前编号，现在就变成减去七分之四，再加上个一。你看一下就可以发现，七分之四减七分之四，那不是没有了吗？剩下的就相当于是变成负二分之一 加上个一了吗？那这个呢，你可以这样看，把它交换两个加数的位置就一加上负二分之一，显然这呢是属于，你可以把这个加和夸去掉，就变成一减二分之一呗，它就等于二分之一， 你看这样子算反呢，更加简易，你要先判断觉得这里面的大小啊，这里呢，你可以这样说嘛，因为七分之四减二分之一，它大于零，然后呢，七分之四减去个一，它小于零，所以喽，这个原式就会等于这样往下写就 ok 了嘛， 根号三减一，括号再乘上根号三，显然是两数差，乘上一个数，我们就可以利用前面学过的乘法分配率，将里面的数分配给外面的数相乘，那这样呢，就变成相当于是根号三乘根号三，这个中间是减号，那这也就减 减去这个一乘上根号三嘛，这样子来，再加上个根号三，那么这呢，两个根号三相乘，就可以把它写成是根号三跨的平方，再减去一乘根号三，是根号三，再把它加上个根号三，显然在这里要注意， 加根号三，减根号三就抵消了嘛。而前面这个根号三跨的平方是平方在外，那么它就会等于这个被开放数，也就是三嘛。 再来看 b 组的能力提升。第五题根号下的一减根号二跨的完全平方，平方是在根号里面的，所以到底是用二次根式的先至一还是先至二呢？其实取决于它的形式，你可以看它的标志性的东西，比如说平方， 平方在外，它就会等于它的被开方数，平方在内，就会等于根号里面的这个密的底数的绝对值。所以本题呢，也是一样的道理喽， 左边和右边就说加号，左边和右边这两个二次根式，它的平方啊，都是在里面的，那么我们就可以从中判断出来，它应该用到我们的一个二次根式的性质二，也就是根号 a 的 平方，它就会等于 这个密的底数的绝对值，所以它就会等于一减去根号二的绝对值，后面呢，再加上这呢也是一样，平方在内，它就会等于这个密的底数的绝对值。密的底数是谁呢？就是根号二加一呗， 所以就会加上这个勾二，再加上一的绝对值，然后呢把它去掉绝对值，而去绝对值呢，就需要涉及到你要先判断它们的大小，所以你可以这样子说，因为这个一减 二要注意，勾二呢是一点四一四多，所以这个一并没有勾二大，那就小，减大就会小于零，小于零去掉绝对值，就会等于它的相反数。在它的这个数的前面添上一个括号呗，那就是负的括号一减去勾二， 后面呢，根二呢，是一点四多加一，那就是二点多，二点多是大约零的数，那他觉得这里面是正数，所以去掉角值就会等于他本身，所以再加上根号二，再加一喽， 将来前面呢，把它的括号给去掉，括号前面是减号，去掉括号全编号，所以呢，相当于是零，加上一减二，所以一前面的负二相当是正的， 那正就是要把它变成负倍，就减一喽，减根号二就变成加上一，然后再加上一， 可以把能化解的化解，这个加一减一就抵消勾二，加勾二呢，就会等于两个勾二，那就是二倍勾啊，如图，点 p 是 直角坐标系上一点。第一小问，用二是根式表示点 p 到圆点的距离，点 p 在 这里，点 o 在 这里，它的距离应该是把这个 o p 给连起来。 他告诉了我们点 p 的 坐标是 x y， 我 们说过这个点 p 向 s 轴做垂线，它所对的数就是 x。 过这个点 p 向 y 轴做垂线，它所对的数就是 y。 好， 另外呢，我们还要知道是这个点 p 到 s 轴的距离， 它其实就相当会等于这个 y 的 绝对值。啥意思呢？这就跟我们之前学过的平面直角坐标系有关了，因为 他用竖的来表示呢，是怎么样的？我们说横为行，竖为列，先写列再写行的嘛。所以这个 s 表示第几列？这个 y 呢，表示第几行？显然他这个我标下吧，这个是 a。 好 了，这个 a p 的 距离，他就等价于相当于是 他第几行，也就 d y 行到 x 的 距离嘛。那这不就相当会等于 y 的 绝对值了吗？那同理的这个另外的我们能知道吗？比如说举个例子，这个是 b 吧， e p 的 距离，其实它就等价于是它的 d x 行，因为横为行，竖为列，先写列 x 呢，表示第几列就相当于是数值 往下的 d x 列到 y 轴的距离。那这个不就是相当于会等于这个 x 的 绝对值吗？比如说 x 等于二的话，它到这个 y 轴的距离不就是二吗？所以它会等于 x 的 绝对值吗？ 这样子了。另外点 p 呢，在第一项线，所以 y 的 角的值是 y， 这个 a p 啊，就等于 y， 这个 p b 呢？它的第一项线，它的横坐标也是正的嘛，所以 x 会大于零， y 也会大于零，则它去掉角值都会各自会等于多少？它原本身，对吧？不用再变啊，因为正数去掉角值等于它本身嘛。那这样呢，我们就知道了，就相当于是知道了 这个 a p， 它呢是等于 y 的， 它的距离，对吧？你也可以打上绝对值也行。这样子，那么这个 p b 呢？其就相当于会等于这个 o a 嘛？因为是对边相等啊，那它呢，会等于这个 x 的 绝对值， 也就是 x 了嘛。你要写详细一点也行，这个呢，会 a p 会等于 y 的 绝对值，会等于 o， a 的 绝对值相当于， 那么它呢，就会得 x， 因为它在第一项线呢，对不对？也就是说，因为 x 大 于零的， y 也是大于零的嘛。所以喽，把它这个呢都表示一下好，然后你要求这个点 p 到 o 的 距离，就相当于是求它的斜边呗。 斜边怎么求呢？那就利用我们的勾股定律， o p， 它呢会等于根号下的，相当于是 o a 的 平方，再加上 a p 的 平方嘛。 o a 就 相当于是 x 的 绝对值，是 x 嘛，加十平方喽，再加上 a p 呢，是会等于这个 y 的 角值等于 y， 对 吧？就是 y 的 平方呗。 所以这就表示了这个呢，也就是我们的第一问，那就解决了啊。好，再来看一下我们的第二问， x 等于根号二， y 呢等于根号七，求这个点 p 到圆点的距离。那么第二问就相对而言更简单一些，你只要把它带进去就行了。也就说，当 x 等于根号二， y 等于根号七时， 你把它带入这个 o p 等于根号下的 x 平方，加上 y 平方当中，进行一个运算嘛， 就相当于是根号下的根号二跨的平方，再加上根号七跨的平方，那么这个会等于多少呢？显然这呢是满足根号 a 跨的平方，它等于 a 加了一个二次根式的性质的，其中 a 大 于或等于零， 所以平方在外它就会等于被开方数，这个呢是二，再加上后面一个呢，也是一样的，它就会等于平方在外，就等于它的被开方数等于七呗。二加七呢是九，根号九， 中号九，我们可以这样理解，九的算数平方根，首先把它的平方根先算出来，然后呢算的平方根取正就行了嘛。 我们说负三的平方是九，三的平方呢也是九，所以九的平方根呢，就是正负三，正三或者负三，因为九它是一个正数，那正数的平方根就是它的算数平方根嘛，所以说一个正数的算的平方根是正数，它呢就会等于三了嘛。
25:29
02:27查看AI文稿AI文稿同学们你们好，我是郑老师，你们看哎，这是一本新鲜出炉的自教版，新版的八年级下册的科学书，现在连书店都还没有卖哦。那么今天郑老师来为大家介绍一下这本书的主要内容。相比于八上的纯物理大量的计算，那八下的内容相对来说计算量要少很多， 就第一张化学有关这辆手痕计算，第二张加强计算以及第三张电磁继电器相关的欧姆定律计算，整体难度和质量比八上降低很多。 那么接下去郑老师简单的介绍一下各章的内容。第一章我们又回到了化学，主要的内容是涉及到了实验室制氧气的各种方法以及实验装置的连接，包括氧气与各种物质反应的反应方程和各种实验现象。 第三节化学反应中的物质质量的关系。主要涉及内容就是一些化学计算，根据质量守恒定律去计算反应物与生成物之间的质量关系。二章大气与气候变化主要核心点是大气压强，马德堡半球实验，脱离拆离实验， 其中重要一点就是大气压的简单计算和高压锅的气压平衡计算。当然第三节又是化学的二氧化碳实验室制取 二氧化碳的物理性质和化学性质，到后面是碳氧循环，光和作用和呼吸作用，重点就是实验题光和作用和呼吸作用的原料以及产物 实验探索，实验题是必考。第三章是物理部分，但是这章的物理相对来说比较简单，这里涉及到磁体电声磁声电二次的实验，法拉帝电子感应现象，电机发电机的原理，难点是家庭电路故障的分析容易犯错。 第四张是人体的系统，这块知识以前是九上的生物部分，新教材把这块知识放到了八年级下册，核心内容主要就是三块，第一块食物的消化与吸收，消化道和消化腺，其中探索酶的活性是实验的重点。 第二块主要是心脏和血液循环，体循环、肺循环不太容易记住。最后一块是肾脏功能和结构，肾小球的滤过和肾小管的重吸收作用。 总之，哪怕生物也不是死记硬背的，要理解理解整个知识体系和逻辑原理才能做题。听完八下教材简单的分析，相对于八上纯物理，同学们是不是松了口气呢？ 关于怎么拿到新教材评论区可以留言好关注郑老师学好科学，加油！谢谢大家！
89科学老郑
00:23查看AI文稿AI文稿这本来自华东师范大学出版推出的中学培优教辅，是每个追求卓越的你不可或缺的学习利器。它覆盖了七至九年级的全阶段学习内容， 精心打磨，系统性强，帮助你在学习的路上一路领先。不论你是想提前接触知识点，还是期望在现有基础上更进一步，这本书都能满足你的需求，用它来丰富自己的知识库吧！
1好货多多
04:14查看AI文稿AI文稿你以为它是普通的火锅底料？不，它可是经过人工精心挑选的优质原料制作而成的，每一块都凝聚了师傅们的匠心工艺！你以为它是一般的调味品？错！它可是地地道道的重庆风味，麻辣鲜香，让你在家就能品尝到正宗的重庆味道！ 你以为他只是好吃？非也，这里采用传统配方与现代技术相结合的方式，确保您吃的安心又健康。历经百年传承，这款牛油火锅底料绝对值得一试！ 你以为它是普通的火锅底料？不，它可是经过人工精心挑选的优质原料制作而成的，每一块都凝聚了师傅们的匠心工艺！你以为它是一般的调味品？错！它可是地地道道的重庆风味，麻辣鲜香，让你在家就能品尝到正宗的重庆味道！你以为它只是好吃？ 非也，这里采用传统配方与现代技术相结合的方式。
0墨超好物
