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向量积 R³空间中两个向量的向量积是一个满足以下三个条件的向量:它与两个原向量均垂直,其模长等于由两向量生成的平行四边形的面积,并且其方向取决于两向量的顺序。 关键性质 ✅ 垂直性:结果向量的方向与生成它的两个向量都正交——这就是为什么它被用作平面和曲面的法向量。 ✅ 模长 = 面积:其长度精确度量了由两向量构成的平行四边形的面积(等于两向量模长乘以它们夹角正弦值的乘积)。 ✅ 双向性:只有两种可能的方向;颠倒向量顺序会反转叉积结果的方向。 ✅ 部分线性:当另一个向量固定时,它对每个参数都是线性的,这便于通过分量进行计算。 代数解释(无显式公式) ➤ 如果你在标准基下写出向量的分量,结果向量的分量来自特定的线性组合——本质上是由原始分量构成的子式(2×2行列式)。这种代数构造与上述几何解释是等价的。 相关应用 • 计算参数化曲面的法向量和面积微元(曲面积分)。 • 计算机图形学:计算法向量用于着色和方向检测。 • 物理与力学:扭矩、力矩和力的方向。 实际应用与注意事项 ⚠️ 如果两向量平行或其中一个是零向量,则叉积结果为零向量(因为面积为0)。 ⚠️ 当使用叉积来确定法向量时,请记住向量的顺序决定了方向——这在定向积分和3D网格中非常重要。 #数学 #物理 #向量积
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