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#初二 #数学 #数学思维 #将军饮马 📐将军饮马问题的本质是利用对称性转化路径,核心思路可概括为“找点—连线—求值”三步。在平面几何中,求直线同侧两点到直线上某点距离之和的最小值时,需先作其中一点关于直线的对称点,这一步的依据是轴对称性质:对称轴上任意一点到对称点的距离相等。接着连接对称点与另一点,所得线段与对称轴的交点即为所求的饮马点,此时线段长度就是最短路径,其数学原理是“两点之间线段最短”这一公理。 做题时需注意三个关键环节。首先要准确识别对称轴,题目中通常以直线、射线或线段的形式给出,如河流、公路等实际场景的抽象,若对称轴判断失误,后续所有计算都会偏离正确方向。其次,对称点的作图必须规范,确保对称点到对称轴的距离与原点点到对称轴的距离相等,这是保证路径转化等价性的前提。最后,要验证所求点是否满足题目中的附加条件,例如点是否在线段上、是否有特殊位置限制等,避免因忽略细节导致答案错误。 从数学思维层面看,将军饮马问题体现了转化与化归的思想,将折线距离问题转化为直线距离问题,这种思维方式在几何最值问题中具有普适性。它揭示了在复杂问题面前,通过构造对称关系可以化繁为简,找到问题的最优解。对称如同数学世界的一面镜子,不仅能映照出图形的不变性,更能指引我们探索最短路径的奥秘。
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