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"一线三等全等模型"是初中几何中的重要模型,指的是在一条直线上有三个相等的角,且通过构造全等三角形来解决问题的几何模型。 基本模型 在直线AB上,点C、D、E三点共线,且∠ACB = ∠ADB = ∠AEB。当满足特定条件时,可以构造全等三角形。 常见类型 类型一:一线三等角+一组边相等 • 条件:∠1 = ∠2 = ∠3,且AC = AD • 结论:△ABC ≌ △ADE 类型二:一线三等角+一组边平行 • 条件:∠1 = ∠2 = ∠3,且BC ∥ DE • 结论:△ABC ≌ △ADE 类型三:一线三等角+一组边垂直 • 条件:∠1 = ∠2 = ∠3 = 90°,且AC = AD • 结论:△ABC ≌ △ADE 解题步骤 1. 识别模型:在直线上找到三个相等的角 2. 构造全等:根据已知条件选择构造全等三角形 3. 证明全等:利用AAS、ASA或SAS证明全等 4. 得出结论:利用全等性质得到边角关系 典型应用 • 证明线段相等 • 证明角相等 • 求线段长度 • 证明位置关系(平行、垂直) 这个模型在几何证明题中应用广泛,需要熟练掌握构造方法和证明技巧。 一线三等角模型解题技巧 1. 找“线”和“角”:在图形中找到一条直线上有三个顶点,从这三个顶点看另外两个定点(或一条定线段)所形成的角相等。 2. 证角相等:利用已知的垂直、平行、等腰、共线等条件,推导出这三个角相等。 3. 凑全等条件:利用“三等角”加上其他已知条件(如边相等、另一组角相等),选择一对三角形,证明它们全等(常用AAS或ASA)。 4. 用全等结论:利用全等三角形的对应边相等、对应角相等来解决题目要求。 核心在于敏锐地识别出“一条直线上存在三个相等的角”这一结构,然后围绕它进行角的转换和三角形全等的构造。
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