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康托尔,集合论的创始人。 康托尔(1845年3月3日-1918年1月6日),德国数学家,以其对无穷集合的研究,开创了集合论这一全新领域,成为现代数学不可或缺的基石之一。康托尔出生于俄国圣彼得堡。他的父亲是一位丹麦商人,母亲则出身于一个学术世家。自幼,康托尔便展现出了对数学和哲学的浓厚兴趣。1862年,他进入瑞士苏黎世大学学习数学、物理学和哲学,随后转至柏林大学,师从数学巨匠卡尔·魏尔斯特拉斯和利奥波德·克罗内克。在柏林的日子里,康托尔不仅深化了自己的数学造诣,也逐渐萌发了对无穷概念探索的热情。 19世纪末,康托尔发表了一系列革命性的论文,正式提出了集合论的基本概念。他认为,数学的本质在于研究集合的结构与性质,而无穷集合则是理解数学宇宙的关键。康托尔引入了自然数集、实数集乃至更抽象的一般集合概念,并发明了势这一衡量集合大小的方法。尤为重要的是,他证明了实数集与自然数集之间不可比较的大小关系,即实数集是“不可数”的,这一发现颠覆了人们对无穷的传统认知。 然而,康托尔的集合论并非一帆风顺。随着研究的深入,他发现了几个令人困惑的问题,后世称之为“康托尔悖论”。康托尔的这些发现,尤其是悖论,让他在数学界遭受了巨大的争议。尤其是他的导师克罗内克,对康托尔的无穷理论持强烈批评态度,认为它们缺乏实际意义且逻辑上不严谨。这种来自同行的压力,加上个人生活中的不幸,使得康托尔的职业生涯后期充满了挣扎。尽管如此,他坚持自己的信念,继续致力于完善集合论,尽管这些努力在当时并未得到广泛认可。 尽管遭遇了重重困难,康托尔的工作最终得到了历史的公正评价。他的集合论不仅为数学提供了坚实的理论基础,还为逻辑学、计算机科学乃至哲学等领域开辟了新的研究方向。20世纪初,数学家们开始通过公理化方法来重构集合论,以避免悖论,这一努力最终催生了ZFC系统(策梅洛-弗兰克尔集合论加上选择公理),成为现代数学的标准基础之一。 康托尔的思想也深刻影响了现代数学的发展,如拓扑学、测度论、泛函分析等分支,都直接或间接地建立在集合论的基础之上。此外,他对无穷概念的探索,激发了人们对无限、连续性和宇宙本质的深度思考,对哲学产生了深远影响。 历史背景:清1644-1911。欧洲历史:古典时代,中世纪,近现代;中世纪,始于公元476年,终于公元1453年;近现代,始于1640英国资产阶级革命,终于1917俄国十月革命胜利。
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