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向量垂直引爆三角最值!条件翻译+辅助角公式,三步求巅峰! 【江苏淮安高三调研精讲】一道融合向量与三角的巅峰题目,如何将垂直条件“翻译”为三角等式,进而求出复杂表达式的最大值? 题目:在△ABC中,(AC向量 - BC向量) ⊥ (AC向量 + 3BC向量),求 cosC + 4sinAcosB 的最大值。 条件抽象,目标复杂。今天带你完成“条件翻译→化简统一→求最值”的标准三步走,直击满分! 🚀 核心思路引导 第一步:如何“翻译”向量垂直条件? 看到向量垂直,你首先想到什么?点积为零! 将 (AC - BC) · (AC + 3BC) = 0 展开。这里有一个关键技巧:将向量全部转化为以A、B、C为顶点的边向量(如 AB、BC、CA)。展开后,你能利用三角形中 AB + BC + CA = 0 进行化简,得到一个关于边长的简洁等式吗? 第二步:如何化简目标表达式? 目标是 cosC + 4sinAcosB,包含不同角的三角函数。我们常用的策略是统一角度。利用 A+B+C=π,可以把 cosB 或 sinA 转化为关于A和C的表达式吗?或者,有没有可能利用第一步得到的边长关系,结合余弦定理和正弦定理,将整个表达式转化为关于某个角(比如角C)的单一三角函数? 第三步:如何求出最大值? 经过艰苦化简,表达式最终会呈现为 M sin(ωX + φ) + N 的形式。这时,辅助角公式与三角函数的有界性就是我们的终极武器。最大值将一目了然。 想知道那个关键的边长等式是什么吗?化简过程中,是统一成角C还是角A更方便?最终的最大值是A(√2)、B(√3)、C(2√3)还是D(2√7)? 点击视频,我将为你完整演绎这场从向量语言到三角语言,再到最值求解的精彩推理,带你掌握破解复杂综合题的通用策略! 跟住博主,打通知识板块,提升综合战力! 关注我,获取更多: ✨ 高考数学向量与三角综合题精讲 ✨ 多知识点融合解题策略 ✨ 数学思想方法深度剖析 #高考数学 #平面向量 #解三角形 #三角函数最值 #综合题
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