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杨付民4月前
两兄弟常数M1=0.6739…、M2=0.526…都是无理数吗? 引言:自守数最早由德国数学家恩斯特·鲍德温(Ernst Bachmann)在19世纪中叶提出并深入研究,他发表了一系列关于自守数的论文。已知一个位数是k的自然数n,如果它的平方n^2末k位数仍等于它本身n,那么就称这个自然数是自守数。(k=1+[lg n])比如n=0,1,5,6,25,625,76,376,9376等等。一般认为自守数的个数是无限的,对于一个多位的自守数,去掉它的前几位数后余下的数仍然是自守数。比如自守数n=787,109,376。去掉7,余87,109,376是自守数,去掉787109,余376仍然是自守数。这样的多位自守数个位数只能是5或者6。 正文:如果这些自守数的个数是无限的,那么自守数的位数就可以任意长,把这样的自守数的数码倒序排列至无穷,作为小数部分可以构造两个无限小数,整数部分为0,我称其为两兄弟常数M1、M2。即兄常数M1=0.673901787…,和弟常数M2=0.526098212…。请问:两兄弟常数M1和M2都是无理数吗? 已知一个K位自守数为n,.其个位数为5或者6。则n²倒数K+1位数码为m,设10^K*x+n为K+1位的自守数,有9x+m ≡0 mod 10(个位数5)或者11x+m ≡0 mod 10。,(个位数6)可以证明,对于任何一个k位自守数n,对应都有唯一一个一位数码m=[{n²/10^(k+1)}*10],而数码m在上述两个同余方程中分别都有唯一对应的x值,使得10^k*x+n是一个k+1位的自守数。。由此可以从十分位的初值6或5开始递推出两兄弟常数M1和M2后面的各位数码至无穷。于是又可以证明两兄弟常数M1和M2都是确定的无限小数。它们很可能都是无理数,只是目前还不知道它们到底是代数数还是超越数呢?
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