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常微分方程 常微分方程是指包含一个自变量、一个未知函数及其导数的方程。与偏微分方程不同,常微分方程中的未知函数仅依赖于单一变量。例如,dy/dx = 2x就是一个简单的常微分方程,其解为y = x² + C,其中C为任意常数。常微分方程的阶数是指方程中出现的最高阶导数的阶数。例如,d²y/dx² + 3dy/dx + 2y = 0是一个二阶常微分方程。常微分方程可以是线性的,也可以是非线性的。线性常微分方程中,未知函数及其导数的次数均为一次,且不出现它们的乘积项。非线性方程则不具备这一特性,求解难度通常更大 常微分方程可以分为以下几类,可分离变量方程:这类方程可以表示为f(y)dy = g(x)dx的形式,通过两边积分即可求解。例如,dy/dx = y/x可以通过分离变量得到dy/y = dx/x,积分后得到ln|y| = ln|x| + C,即y = Cx。线性常微分方程:一阶线性常微分方程的标准形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)。这类方程可以通过积分因子法求解。积分因子μ(x) = e^∫P(x)dx,乘以方程两边后,左边恰好是μ(x)y的导数,从而可以方便地求出解 齐次方程:如果方程可以表示为dy/dx = f(y/x),则称为齐次方程。通过变量替换v = y/x,可以将方程转化为可分离变量的形式。恰当方程:对于形如M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的方程,如果∂M/∂y = ∂N/∂x,则称其为恰当方程。这类方程可以通过寻找势函数来求解。高阶线性常微分方程:对于高阶方程,解的结构通常包括通解和特解。通解是齐次方程的解,而特解是非齐次方程的一个具体解。叠加原理告诉我们,非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上非齐次方程的特解 常见的数值解法包括,欧拉方法、龙格-库塔方法、有限差分法。常微分方程应用广泛。常微分方程在科学和工程中的应用不胜枚举。物理学中的应用,牛顿第二定律F = ma本质上是一个二阶常微分方程。例如,弹簧振子的运动可以用mx'' + kx = 0来描述,其解为简谐振动。在电路分析中,RLC电路的电流变化也可以用常微分方程来描述。生物学中的应用,人口增长模型是常微分方程的经典应用之一。马尔萨斯模型dP/dt = kP描述的是人口按指数增长,而更复杂的Logistic模型dP/dt = kP(1 - P/K)则考虑了资源限制对人口增长的影响
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