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星形线中的方程艺术!巧用三角恒等式,避开复杂计算速求a 【高三联考精讲】一道藏在优美星形线中的代数题!你能看出它巧妙的解题入口吗? 已知星形线上一点 P(acos³θ, asin³θ),且满足 x₀y₀ = 8a²/125 和 x₀ + y₀ = 9/5,求参数 a 的值。 许多同学被参数方程和复杂的分数吓住。今天带你抓住结构核心,三步实现优雅求解! 🚀 核心思路引导 第一步:识别“隐藏”的已知条件 题目给出了 x₀ 和 y₀ 的乘积与和,这让你联想到什么代数公式? 是的,完全立方和公式:(x+y)³ = x³ + y³ + 3xy(x+y)。这个公式将成为我们连接已知与未知的关键桥梁! 第二步:建立关于 a 与 θ 的方程 将 x₀ = acos³θ, y₀ = asin³θ 代入 x₀ + y₀ = 9/5,可以得到方程(1)。 将它们代入 x₀y₀ = 8a²/125,可以得到方程(2)。仔细观察方程(2),它能简化成什么? 第三步:利用立方和公式,实现惊艳消元 最关键的一步来了!对 x₀ + y₀ = 9/5 的两边同时进行立方,即计算 (x₀ + y₀)³。 利用立方和公式展开后,你会发现 x₀³ + y₀³ 可以表示为 a³(sin⁶θ+cos⁶θ),而 sin⁶θ+cos⁶θ 恰好可以利用方程(2)的结果进行代换。这样一来,复杂的角度 θ 被神奇地消去了,最终得到一个只关于 a 的简洁方程! 猜猜看,消去θ后得到的方程是什么?最终的a值是A(√2)、B(√3)、C(2)还是D(√5)呢? 点击视频,我将为你完整展示这个“构造—代换—消元”的精妙过程,带你领略代数变换如何照亮几何问题! 跟住博主,学会用结构的眼光看数学! 关注我,获取更多: ✨ 高考数学中的经典曲线 ✨ 参数方程巧妙应用 ✨ 代数恒等变换技巧 #高考数学 #参数方程 #星形线 #代数变换 #数学文化
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