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马尔可夫过程 马尔可夫过程是一种具有“无记忆性”的随机过程,由俄国数学家安德雷·马尔可夫于1906年首次提出。其核心特性是“马尔可夫性”,即系统未来状态仅依赖于当前状态,而与过去状态无关。这一特性使其在物理学、化学、生物学、经济学、人工智能等领域展现出强大的建模能力,成为现代概率论与统计学中不可或缺的工具。 理论基础与数学定义。马尔可夫过程的数学本质可由状态空间和转移概率描述。设随机序列的状态空间为,若对任意时间及状态,满足: 则该过程称为马尔可夫过程。若时间与状态均离散,称为马尔可夫链;若时间连续,则需用转移速率矩阵描述,如泊松过程。转移概率矩阵是分析离散马尔可夫链的关键。以天气模型为例,假设某地天气仅“晴”“雨”两种状态,转移矩阵为: 表示晴天次日仍晴的概率为90%,转为雨的概率为10%。通过矩阵幂运算可预测多步后的状态分布。 分类与应用场景。离散时间马尔可夫链,适用于阶段性决策问题,如搜索引擎的页面排名算法(PageRank)。Google早期通过网页间的链接关系构建转移矩阵,将网页重要性视为马尔可夫链的稳态分布,解决了海量网页排序的难题。连续时间马尔可夫过程,常用于排队论与可靠性工程。例如,医院急诊室的病人到达服从泊松过程,服务时间服从指数分布,可用CTMC建模分析平均等待时间。 隐马尔可夫模型,在语音识别和基因序列分析中,HMM通过观测数据反推隐含状态。如语音识别中,声学信号是观测值,对应的文字是隐藏状态,维特比算法能高效解码最可能的状态序列。马尔可夫决策过程,强化学习的理论基础。智能体在环境中选择动作以获得最大累积奖励,其策略优化依赖于贝尔曼方程。AlphaGo的决策过程即基于MDP的扩展——部分可观察马尔可夫决策过程(POMDP)。 实际案例解析。自然语言处理,马尔可夫链可用于文本生成。通过分析语料库中单词的转移概率,可生成看似合理的句子。例如,基于“今天→天气→晴朗”的统计频率,模型可能输出“今天天气晴朗”。尽管缺乏长程语义,该方法在早期聊天机器人中广泛应用。 马尔可夫过程以其简洁的数学形式和强大的适应性,成为连接理论与实践的桥梁。从天气预报到自动驾驶,其应用不断拓展边界。然而,面对现实世界的复杂依赖性,如何在模型精度与计算可行性间取得平衡,仍是未来研究的核心命题。正如诺贝尔奖得主保罗·萨缪尔森所言:“马尔可夫链不仅是工具,更是一种思考世界的方式。”
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