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最大似然估计 最大似然估计法是统计学中一种重要的参数估计方法,其核心思想是通过样本数据来估计总体参数,使得在该参数下观测到当前样本的概率达到最大。这种方法由英国统计学家R.A.费希尔在20世纪初提出,并迅速成为统计学理论中的重要工具之一。最大似然估计法不仅具有明确的数学理论基础,而且在许多实际应用中表现出良好的性质,如一致性、渐近正态性和有效性等。 要理解最大似然估计法,首先需要明确“似然函数”的概念。似然函数是给定样本观测值时,关于未知参数的函数。对于离散型随机变量,似然函数表示在参数取某个值时,观测到当前样本的概率;对于连续型随机变量,似然函数则是样本的联合概率密度函数在观测值处的取值。最大似然估计的目标就是找到使似然函数达到最大值的参数值。具体来说,假设我们有一个概率模型,其概率分布依赖于参数θ,给定一组独立同分布的样本观测值x₁, x₂, ..., xₙ,似然函数可以表示为L(θ) = P(x₁|θ) × P(x₂|θ) × ... × P(xₙ|θ)。为了简化计算,通常取对数似然函数ln L(θ),因为对数函数是单调递增的,最大化对数似然函数等价于最大化似然函数本身。 最大似然估计法的计算步骤通常包括以下几个环节:首先,根据问题的背景选择合适的概率模型,明确模型中的未知参数;其次,写出似然函数或对数似然函数的表达式;然后,对似然函数或对数似然函数求导,找到极值点;最后,验证极值点是否为最大值点,从而确定参数的估计值。最大似然估计法的一个重要性质是其大样本性质。当样本量趋于无穷大时,最大似然估计具有一致性,即估计值会收敛到真实的参数值。此外,最大似然估计在满足一定正则条件下是渐近正态的,这意味着随着样本量的增加,估计量的分布会趋近于正态分布,其方差达到克拉默-拉奥下界,即具有最小的渐近方差。这些优良的统计性质使得最大似然估计在理论上备受推崇。然而,最大似然估计法也存在一些局限性。 在实际应用中,最大似然估计法被广泛用于各种领域。与最大似然估计法相关的还有贝叶斯估计方法。两者都是基于概率模型的参数估计方法,但哲学基础不同。最大似然估计将参数视为固定但未知的常数,而贝叶斯估计则将参数视为随机变量,需要指定先验分布。当样本量较大时,两种方法的结果往往接近;但在小样本情况下,贝叶斯方法可以结合先验信息,有时能获得更好的估计效果。
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