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【中配】数学是如何变难的:从加法到傅里叶变换 很多人对数学的恐惧源于那些“看起来很恐怖”的符号和公式。但这期视频告诉我们,数学变难的过程其实是工具不断进化的过程——为了获得更强大的功能,我们不得不增加符号的复杂性。 1. 工具的进化:从加法到指数 加法到乘法:乘法不仅是“重复的加法”,它赋予了我们描述面积的新能力。 指数到四阶运算 (Tetration):指数描述了指数级增长和多维空间。而四阶运算(重复指数)因为数值增长过快、在现实中缺乏应用场景,所以并没有成为大众熟知的工具。 2. 代数的魔力:当数字变成字母 为什么要用字母?:字母是通往“通用解”的钥匙。解一个数字方程只能得到一个结果;解一个字母方程(如 $y = 1/x$),你就一次性解决了所有类似的情况。 3. 微积分:捕捉变化与积累 导数 (Derivatives): 它是为了解决“瞬时变化率”而生的。 为了避免 0/0 的逻辑陷阱,数学家引入了极限 (Limit)。 导数是“近视”的:它只关心当前点的斜率,而不关心函数的过去或未来。 积分 (Integrals): 符号 $\int$ 实际上是一个被拉长的 S(Sum),代表求和。 它的本质是无数个“无限薄”的矩形面积之和。 积分与导数互为逆运算:导数求变化率,积分求原值。 4. 三角函数:旋转的语言 5. 虚数与欧拉公式:完美的统一 虚数 $i$ 的必要性:在实数轴上,你无法通过乘法实现旋转。而虚数 $i$ 提供了一个垂直的轴,让我们可以描述二维平面上的旋转。 欧拉恒等式:$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$。这个公式将指数函数、旋转和三角函数完美地统一在了一起。 6. 终极挑战:傅里叶变换 (Fourier Transform) 核心功能:利用上述所有工具(积分、复数、欧拉公式),傅里叶变换充当了“波形的解理器”。 原视频标题:How Math Becomes Difficult 原作者:MAKiT #很高兴认识你 #青年创作者成长计划 #热爱加1计划 #知识前沿派对
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