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两步破局:化一公式+对称性,三角函数零点问题优雅求解! 【山东实验中学高三阶段测精讲】一道考察三角函数深层性质的经典题:不求零点,如何直接得到它们之和的余弦值? 已知函数 f(x)=2sin⁡x+cos⁡x−3f(x)=2sinx+cosx−3 在 (0,π)(0,π) 上有两个零点 x1,x2x1,x2,求 cos⁡(x1+x2)cos(x1+x2) 的值。 如果你试图分别求出 x1,x2x1,x2 再计算,那将非常复杂。博主带你抓住函数图像的“对称性”,实现无痛秒杀! 🚀 核心思路引导 第一步:如何统一函数形式?——辅助角公式(化一公式) 看到 2sinx + cosx,你的第一反应应该是什么?没错,就是利用辅助角公式,将其合成为一个正弦函数:f(x)=5sin⁡(x+φ)−3f(x)=5sin(x+φ)−3。(其中 φφ 是辅助角) 第二步:零点的本质是什么? 令 f(x)=0f(x)=0,得到 sin⁡(x+φ)=35sin(x+φ)=53。这个方程在 (0,π)(0,π) 内有两个解,这说明了什么? 这正好对应了正弦函数在一个特定单调区间内,同一个函数值对应两个不同的自变量。这两个自变量(即 x1+φx1+φ 和 x2+φx2+φ )有什么关系?——它们关于直线 x=π2x=2π 对称! 第三步:利用对称性,秒得结论 由对称性可得:(x1+φ)+(x2+φ)=π(x1+φ)+(x2+φ)=π。由此,你能直接解出 x1+x2=π−2φx1+x2=π−2φ吗? 那么,最终要求的问题转化为求 cos⁡2φcos2φ。 第四步:如何求 cos⁡2φcos2φ ?——无需知道φ本身 根据辅助角公式中 sin⁡φsinφ 和 cos⁡φcosφ 的值(由系数决定),利用二倍角公式 即可直接算出,完全不必求出 φφ 的具体角度! 猜猜看,最终计算出的是一个简洁的分数吗?它是正数还是负数?对应选项A、B、C、D中的哪一个? 点击视频,我将为你完整演绎这个“化一→找对称→消参求值”的精妙过程,让你彻底掌握这类问题的核心思想! 跟住博主,用“整体性质”替代“硬核计算”! 关注我,获取更多: ✨ 高考数学三角函数综合题巧解 ✨ 函数图像与性质的深度应用 ✨ 数学中的化归与整体思想 #高考数学 #三角函数 #零点问题 #辅助角公式 #二倍角公式
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