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MIT18.06 第 30 讲:线性变换及其矩阵表示 当我们用一个矩阵去乘以输入向量时,会得到一个输出向量,通常位于一个新的空间中。我们可以进一步探究这种“线性变换”对空间中所有向量的作用。事实上,矩阵最初正是为了研究线性变换而被引入的。 1. 线性变换的基本概念 本讲从“线性变换”这一更抽象的数学结构开始,而不是直接从矩阵出发。一个线性变换可以将一个向量空间中的任意向量映射到另一个空间(可能是同一个空间或不同空间),并且满足加法与数乘的线性性质。 2. 线性变换与矩阵之间的联系 虽然线性变换这个概念可以不涉及矩阵而存在,但矩阵提供了一个具体的计算表示方法。 一旦选择了坐标系,对任意输入向量应用线性变换后,都可以用一个矩阵来表示这一映射——这就是“线性变换对应矩阵”的核心思想。 3. 直观例子 讲座中通过投影变换等例子来说明线性变换如何作用于空间中的所有向量,并且指出这种作用可以不依赖具体坐标系来描述,但最终为了计算和应用,引入坐标后每个变换都对应一个矩阵。 4. 线性变换背后的统一框架 本讲强调,矩阵只是线性变换在一组基底下的表示方式,而线性代数中的许多核心概念——如零空间(null space)、列空间(column space)、行列式和特征值/特征向量——都源自于这种把空间映射用矩阵表示的观点。
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