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MIT18.085 第9讲:振动分析 这一讲 Gilbert Strang 教授主要探讨了振动系统的线性模型、矩阵特征分解在振动问题中的应用, 以及数值时间步进方法在振动系统中的表现与稳定性。 1. 振动问题的数学模型 引入经典的振动问题,例如质点和弹簧组成的系统,其运动由常微分方程描述。 2. 特征分解在振动中的作用 利用之前讲过的特征值/特征向量方法,将振动系统分解到各个本征模式上,使得复杂的振动问题可以分解为多个独立的简谐振动。 即用矩阵 V 由特征向量组成)对系统进行变换,使得方程化为对角系统,从而便于分析和求解。 正交特征向量对应不同的模态,每个模态对应一个振动频率(与特征值相关)。 3. 数值时步进方法与振动 时间离散化方法 在实际求解振动系统时,常使用数值时间步进方法,例如:Leapfrog 方法 是一种显式的时间步进方法,在振动中常用于保持能量。 Trapezoidal Rule(梯形法)是一种隐式时间步进方法,在许多振动问题上具有良好的稳定性质,即可以保持系统不发散(保能或近似保能)。 能量与稳定性 振动系统有一个常见的物理量:能量(系统的动能与势能之和)。 在理想情况下(无阻尼、无外力),能量应该随时间守恒; 选择合适的数值方法,就能近似保持这种能量守恒性质,而不产生数值发散或衰减。 特别地,梯形法的离散更新会使解保持在一个“环路”上(例如简谐振动的单位圆),反映了能量守恒的离散形式, 而 Euler 显式法等一些基本方法则可能导致能量逐步增加或减少(即数值不稳定)。 4. 综合理解 本讲将前面学习的内容串联起来: 通过 特征分解把振动系统分解为简单模态; 在此基础上,引入数值时间步进方法. 比较不同方法在振动问题上的表现,讨论稳定性与能量守恒等关键性质。 因此,这一讲既是对线性常微分方程在物理模型中的应用,又是对数值解法(尤其时间离散方法)在动力学系统中的性能分析。 #结构动力学 #数值分析 #振型分解
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