【中配】二维与三维随机游走的本质区别:马尔可夫链视角 在数学界有一句名言:“一个喝醉的人终究会找到回家的路,但一只喝醉的鸟可能会永远迷失。”这期视频深入浅出地解释了为什么随机游走在二维和三维空间中有着截然不同的命运。 1. 核心定义:醉汉与醉鸟的数学模型 随机游走 (Random Walk):假设个体在网格点上随机移动,每一步的方向概率均等。 二维情况 (2D):醉汉在地面上游走。数学证明,他回到起点的概率是 1。这在数学上被称为常返 (Recurrent)。 三维情况 (3D):醉鸟在空中飞行。它回到起点的概率小于 1。这被称为离散 (Transient)。 2. 问题的本质:马尔可夫链 (Markov Chains) 视频利用马尔可夫链框架来分析这一现象: 马尔可夫性质:一旦你到达某个状态,你就会“忘记”是怎么来的。未来的走向只取决于当前状态。 状态判定: 常返状态:如果你保证能回到起点,那么由于马尔可夫性质,你会无数次地回到起点。此时,回到起点的期望次数是无限大。 3. 关键转折点:如何判定“常返”还是“离散”? 判定一个状态是常返还是离散,关键在于计算回到起点的期望次数 $V$: 级数判定法:期望次数 $V$ 等于在第 $n$ 步回到起点的概率之和($\sum P_n$)。 如果这个级数发散(等于无穷),则状态是常返的(二维情况)。 如果这个级数收敛(等于有限值),则状态是离散的(三维情况)。 4. 探索深处:空间维度与路径计数 作者展示了如何显式计算第 $2n$ 步回到起点的概率: 路径组合学:回到起点意味着向左走的步数等于向右走,向上等于向下。 二维与三维的差异: 在 2D 中,第 $2n$ 步回来的概率大约按 $1/n$ 的比例缩放。由于调和级数 $\sum 1/n$ 是发散的,所以二维游走是常返的。 在 3D 中,由于多了一个维度,概率按 $1/n^{1.5}$ 比例缩放。这个级数是收敛的,因此三维游走是离散的。 直观理解:维度越高,外部空间的“容积”就越大。一旦你走远了,要在浩瀚的高维空间中撞回那个小小的起点就变得异常困难。 原视频标题:Random walks in 2D and 3D are fundamentally different 原作者:Mathemaniac #青年创作者成长计划 #抖音年味新知贺岁
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【中配】计算机科学最大的谜团:P vs NP 问题 如果有一种计算机能在一瞬间计算出任何答案,世界会变成什么样?或者,是否有些问题即便对于最强大的计算机而言也是永远无法逾越的鸿沟?这期视频深入浅出地探讨了计算机科学中最伟大的未解之谜——P vs NP 问题,以及它如何关系到从医学突破到互联网安全的每一个角落。 1. 核心定义:P 与 NP 的较量 P 类问题 (Polynomial Time):指的是那些计算机可以“快速”解决的问题。例如,在地图上寻找两点间的最短路径、按字母顺序排列名单等。只要输入增加,计算时间按多项式级增长,这在实际应用中是可行的。 NP 类问题 (Nondeterministic Polynomial Time):指的是那些“验证起来很快,但寻找答案可能极慢”的问题。 2. 问题的本质:P 等于 NP 吗? 这不仅仅是一个数学游戏,它关乎宇宙的逻辑: 如果 P = NP:意味着每一个容易验证的问题其实都容易解决。如果这是真的,人类将迎来奇迹:癌症药物的研发、超高效率的物流优化、甚至完美的 AI 都会瞬间实现。 如果 P ≠ NP:这意味着世界上确实存在本质上“难”的问题,这虽然听起来令人沮丧,但却是现代互联网的基石——因为现有的所有加密技术(保护你的银行卡和隐私)都依赖于“破解它在数学上极难”这一假设。 3. 关键转折点:NP 完全性 (NP-Completeness) 20 世纪 70 年代,科学家发现了一个震撼的事实:数以百计最难的 NP 问题其实是“等价的”。 一通百通:如果你能找到一种快速算法解决其中任何一个(如旅行商问题、布尔满足感问题 SAT),你就等同于解决了所有的 NP 问题,从而证明 P = NP。 4. 探索深处:电路复杂度与元复杂度 (Meta-Complexity) 为了证明 P 不等于 NP,研究人员转向了电路复杂度的研究: 自然证明壁垒:科学家发现,用现有的数学工具证明“某个问题很难”本身就遇到了一种自我矛盾的障碍。 原视频标题:Biggest Puzzle in Computer Science: P vs. NP #青年创作者成长计划 #知识前沿派对 原作者:Quanta Magazine
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