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分析力学 分析力学是力学的一个分支,它以广义坐标为基础,通过变分原理和能量方法研究力学系统的运动规律。与牛顿力学不同,分析力学不直接使用力和加速度的概念,而是从更高层次的能量和功的角度出发,建立更为普遍的力学理论框架。这一理论体系不仅适用于宏观物体的运动分析,还在量子力学、统计力学等领域有着重要应用。18世纪。欧拉、拉格朗日等为解决复杂约束系统的运动问题,开始探索新的力学表述方式。1788年,拉格朗日发表了《分析力学》,标志着这一学科的正式诞生。19世纪,哈密顿发展了分析力学,提出了哈密顿原理和正则方程,使理论体系更加完善。 分析力学的核心内容包括拉格朗日力学和哈密顿力学两大体系。拉格朗日力学以拉格朗日方程为基础,通过定义拉格朗日函数(动能减去势能),建立系统的运动方程。这种方法特别适合处理有约束的系统,因为它可以自动包含约束条件,避免了牛顿力学中需要单独处理约束力的繁琐过程。拉格朗日方程的形式为:,其中是广义坐标,是广义速度。 哈密顿力学通过引入广义动量,将二阶的拉格朗日方程转化为一阶的哈密顿正则方程。哈密顿函数H定义为,正则方程的形式为:。这种表述方式在统计力学和量子力学中特别有用,因为它揭示了力学系统的对称性和守恒量。 分析力学的一个重要特点是其变分原理基础。哈密顿原理指出,系统的真实运动是使作用量取极值的路径。这一原理将力学问题转化为数学上的变分问题,变分原理不仅适用于力学系统,还被推广到场论、量子力学等领域,成为现代物理学的基石之一。 在约束系统的处理上,分析力学显示出独特优势。牛顿力学需要明确所有约束力,而分析力学通过适当选择广义坐标,可以自动满足约束条件。例如,单摆的运动可以自然地用角度作为广义坐标,而不必考虑绳子的张力。对于完整约束(只与坐标和时间有关)和非完整约束(还涉及速度)的系统,分析力学都有相应的处理方法。 分析力学还深入研究了守恒定律与对称性的关系。诺特定理指出,每一种连续对称性都对应一个守恒量。例如,时间平移对称性对应能量守恒,空间平移对称性对应动量守恒,空间旋转对称性对应角动量守恒。分析力学的思想和方法被广泛应用。量子力学中的路径积分表述直接来源于哈密顿原理;统计力学中的相空间概念来自哈密顿力学;场论中的拉格朗日密度是分析力学拉格朗日函数的推广。分析力学的数学形式也为广义相对论、弦理论等前沿领域提供了重要工具。
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