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杨付民8月前
非周期数列连小数——超越数还是代数数? 非周期无穷数列的各项有效数字连在一起,以第一位作为整数部分构成的小数,多半都是无理数。比如从自然数列各项只取首位有效数字得到的小数g=0.1234567891111…还有2的正整数幂数列2,4,8,16,…只取首位数构成的小数2.4813…也是无理数。类似的,把初值2换成别的非10的幂形式的正整数,数列各项首位数连成的无限小数都是无理数,例如:5的正整数幂数列5,25,125,625,3125…各项只取首位数,连成的无限小数5.2163173……还是个无理数。唯有初值为10的整幂时连成的无限小数1.111…是有理数。以上所述的这些无理数都可以写成无穷幂级数形式:g=[10^{lga1}]+[10^{lga2}]/10+[10^{lga3}]/100+……( an为数列通项)非周期无穷整数列的各项全选连在一起,以第一位作为整数部分构成的小数,也是无理数,只是它们的级数式要复杂一些,例如5的正整数幂数列5,25,125,,…构成小数5.25125……幂级数式5+5²/(10^[1+lg5²])+5³/(10^[3+lg5³])+……5^n/(10^[(nn+n)/2+n*lg5])+……下面以幂数列各项首位数连成的小数g为例证明g是无理数。已知其通项为[10^{n*lga}],当正整数a不是10的幂时, {n*lga} (n=1,2,…) 是在(0,1)区间中一致分布的。所以[10^{n*lga}]这个取值为1~9的数列应该像本福特定律描述的那样, 1出现的频率最高, 而9出现的频率最低, 并且可以证明它不是周期数列所以将[10^{n*lga}]这个数列的十进制表示连在一起得到的数 ∑[10^{n*lga}]/10^n (n∈N*) 不是有理数, 同时也不是正规数, 所以它更可能是超越数而不是代数数。但是,根据这种无理数的特殊无穷级数式判断,我们很有可能永远无法证明它们到底是超越无理数还是代数无理数。(因为级数式含有取整函数)所以目前既不能说它们是否超越数又不能说它们是否代数数。不知道的事情怎么能乱说呢?正如欧拉常数0.5772……一样,只能说它们目前都是归属状态不明或者说混沌状态的无理数,简称“混沌”无理数。到了真相大白的那一天,结果无论怎么样,那都是值得庆祝的事情吧。
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