林有鹿4天前
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考研博1月前
27考研数列极限专题(二)本想今天把除单调有界都复盘完,谁曾想每个例题的思想方法属实有些大,根本体会不过来了。接上一条今天总结一下数列极限的性质。 1.唯一性。 例3,由于都是判断数列极限等于0的情况,举反例就借助函数图像去判断还有没有其他的点使得f(xn)为0,如果还有其他的点使其极限为0的话,那么xn的极限就不可能是0了。 例5,注意题干给出的xn的范围,举反例不能与题干条件矛盾这是首要的,观察函数特征,发现都是三角套三角并且有奇偶性,那么这时候就可以想到能不能利用偶函数的特性让xn的正负号不起作用从而实现前面极限存在,但是由于xn的奇偶项正负交错其极限不存在,这个举反例我的理解就是找到不同的xn让 f(xn)相同。 回来看例4,首先涉及到一个逆否命题的思想,由选项收敛则题干收敛的思路,因为我们不习惯判断发散对吧。和例5同样的画出图像看看有没有一条线同一个函数值贯穿两个xn,有的话那就是f(xn)收敛但是xn不收敛了。 2.有界性 自己多推几遍有界性的证明,分为两部分,N之前有界➕N之后有界,立即推数列全局有界。 3.保号性 例678这种题,求出数列极限A,这代表什么,代表着N之后xn都和A靠的要有多接近就有多接近,那么你如果在N之前找到大于A和小于A的,那是不是代表着最大最小项就不用带N之后的项玩了,完全是前N项的事情了,所以这里关键就是你能不能找到比极限值大或者小的项,分类讨论也就由此而来了。 例9是训练取epsilon标准的题目,碰到前后的标准不一样,取更苛刻的N那个。 例10用定义➕放缩去证明,证明极限等于0想到用加绝对值和夹逼准则,左边天然大于0,右边利用定义求得的不等式去放缩也趋于0即可,由于题目给的比值的形式,所以把xn写成比值的形式进行放缩。 明天继续体会! #ep27题型梳理班 @epsilon-delta
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考研博1周前
27考研泰勒中值定理。来了他来了,最强泰勒他来了,向我们走来的是童哥最强泰勒证明,下面我来总结一下。 1.首先是它的分类,可以分为皮亚诺余项与拉格朗日余项,求极限证明极限时(例28)用皮亚诺,其余大部分中值定理证明都用拉格朗日余项,注意一个是在一点n阶可导,一个是在邻域n+1阶可导。 2.夯中之夯三板斧:我总结下来四个问题,第一个,找对象?对谁进行展开,是f还是一阶导还是二阶导?具体问题具体分析,大部分都是f,例22第二问是要研究拐点所以对二阶导展开。第二个问题,展开到几阶?比从题干中你得到的最高阶低一阶,比如给你区间二阶可导,那就展开到一阶,为什么?因为二阶要给拉格朗日用。第三个问题,在哪点处展开?也就是展开点x0是谁,分三种情形,第一种也是非常明显的一种,在给了你比最高阶低一阶的导数值的那个点,比如二阶可导给了你一阶导数的一个点的值,那么就是告诉你展开点就是它了。第二种是看函数,什么叫看函数,就是题干中给你的信息里面最特殊的那一点,比如例24的x1+x2+x3/3那个点。第三种就是看区间了,在端点或者中点展开,比如例27。最后一个问题,使用点是谁?两种情况,第一种是除了刚才找到的展开点x0之外的点,第二种也是看区间的端点或者中点了,比如例26例27。 3.掌握了三板斧,并不代表着这道题目你就会证了,通过这几道例题我发现泰勒有时候只是第一步,要想证明完毕还要积累一些操作,比如保号性(例22),二者取最大值放缩(例23、例27),通过加减泰勒展开式凑出你想要的结构(例24例25),取中点判断x0在左右部分时函数值都大于一个数时说明什么,证明极限要凑导数定义等等,都是需要积累的,厚积薄发。 中值定理至此也就总结完毕了,真的收获颇多,好似一下打通了证明题的任督二脉,十分的通透,感谢童哥的倾囊相授。 #ep27题型梳理班 #27考研 @epsilon-delta
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