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杨付民2天前
多进制全1素数问题 本文研究一个名为《多进制全1素数问题》的数论问题:是否存在无穷多个正整数m,使得全1数Rmᵦ在多个不同进制B下同时为素数?查询得知,该问题在公开文献中尚未被系统性地提出或命名。 在任意进制ᵦ下,由m个1组成的数可以表示为: Rmᵦ= (ᵦ^m-1)/(ᵦ-1)=ᵦᵐ⁻¹+ᵦᵐ⁻²+…ᵦ+1 这个公式是等比数列求和的结果。问题基本上等价于:能找到多少正整数m,使得对于多个不同的ᵦ值,上述形式的数都是素数。 首先考虑到当m=p*q是合数时,Rmᵦ= (ᵦ^m-1)/(ᵦ-1)至少有两个大于1而小于自身的因数(ᵦ^p-1)/(ᵦ-1)、(ᵦ^q-1)/(ᵦ-1),所以这种情况下Rmᵦ不太可能为素数。因此满足条件的m只能是素数。 当ᵦ+1是任何大于2的素数时,ᵦ进制数11ᵦ=1*ᵦ+1=ᵦ+1。所以m=2时是一个,其中R2ᵦ中的进制数ᵦ=2、4、6、10、12……。 m=3时又是一个,其中R3ᵦ的进制数ᵦ=3、5、6、8、12……换算成10进制R3ᵦ=13、31、43、73、157…… m=5时也是一个,其中R5ᵦ的进制数ᵦ=2、7、12、13……换算成10进制R5ᵦ=31,2801,22621、30941…… m=7时也是一个,其中R7ᵦ的进制数ᵦ=2、3、5、6……换算成10进制R7ᵦ=127,1093,19531、55987…… m=11时也是一个,其中R11ᵦ的进制数ᵦ=5、17……换算成10进制R11ᵦ=12,207,031、2,141,993,519,227…… m=13时也是一个,其中R13ᵦ的进制数ᵦ=2、3、5、7……换算成10进制R13ᵦ=8191,797161,305175781、16148168401…… 手机运行代码Python已经发现当m是小于230的素数时均满足至少有两个进制ᵦ使得Rmᵦ为素数。→ 全部结果: m = 2, 进制ᵦ= [2, 4] m = 3, 进制ᵦ= [2, 3] m = 5, 进制ᵦ= [2, 7] m = 7, 进制ᵦ= [2, 3] m = 11, 进制ᵦ= [5, 17] m = 13, 进制ᵦ= [2, 3] m = 17, 进制ᵦ= [2, 11] m = 19, 进制ᵦ= [2, 10] m = 23, 进制ᵦ= [10, 40] m = 29, 进制ᵦ= [6, 40]
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