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#中考数学 #解题思路 #二次函数最值问题 #将军饮马一、基础题型:单线段最值问题 题型1:抛物线上一点到坐标轴/直线的距离最值 (配图:二次函数图像,标注抛物线上动点P,x轴、y轴垂线) 这种题是送分题!核心方法就一步:设动点坐标,列线段表达式,转化为二次函数求最值。 举个例子:已知抛物线y=-x²+2x+3,点P是抛物线上第一象限的动点,求点P到x轴的最大距离。 第一步,设点:因为P在抛物线上,设P的横坐标为m,纵坐标就是-m²+2m+3; 第二步,列线段长:到x轴的距离就是纵坐标的长度,也就是线段长L=-m²+2m+3; 第三步,求最值:这是个开口向下的二次函数,顶点处取最大值,用顶点公式,横坐标x=-b/2a=1,代入算出纵坐标是4,所以最大距离就是4。 记住:单线段距离,直接用坐标表示线段长,转化为二次函数顶点式求最值,开口向上有最小值,开口向下有最大值! 题型2:抛物线上动点与定点的线段最值 (配图:抛物线+定点A,动点P连接AP,动态展示AP长度变化) 如果是求抛物线上动点P到定点A的线段PA最短,方法一样! 设P(x, y),y用抛物线解析式代替,然后用两点间距离公式表示PA,因为距离是正数,PA²和PA的最值一致,直接算PA²的二次函数最值就行,避免根号计算,更简单! 二、进阶题型:线段和(将军饮马)最值问题 (配图:经典将军饮马模型,结合二次函数图像) 这是考试压轴题常考的!核心思路:利用对称转化线段,两点之间线段最短。 比如:抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,在对称轴上找一点P,使PA+PC最小,求P点坐标。 第一步,找对称轴:先算抛物线对称轴x=1; 第二步,做对称点:A、B关于对称轴对称,连接BC,BC与对称轴的交点就是P! 第三步,算坐标:先求B、C坐标,再求BC的解析式,最后把对称轴x=1代入,就能算出P点坐标。 关键技巧:遇线段和最值,找对称点,化折为直,找交点,和咱们学的将军饮马模型完全一样,只是套在了二次函数图像里!
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