【中配】第十三章:薛定谔方程从何而来? | 量子力学数学基础 在经历了十二章节的数学铺垫后,我们终于迎来了量子力学的巅峰:薛定谔方程 (Schrödinger Equation)。这不再是一个凭空出现的公式,而是逻辑演化的必然结果。本章将揭示时间演化的奥秘,并推导出这个统治微观世界的根本方程。 1. 时间演化必须是“酉”的 物理学的一个基本要求是:如果一个粒子现在存在,那么它在未来也必须存在。 概率守恒:这意味着态矢量 $|\psi(t)\rangle$ 的模长必须始终为 $1$。 酉算符的介入:正如第十一章所述,只有酉算符 $\hat{U}$ 能够保持内积不变。因此,系统从时间 $0$ 到 $t$ 的演化可以写为: $$|\psi(t)\rangle = \hat{U}(t) |\psi(0)\rangle$$ 2. 无穷小演化与导数 为了得到方程,我们观察一个极短时间 $dt$ 内的变化。 在 $dt \to 0$ 时,演化算符 $\hat{U}(dt)$ 应该非常接近单位算符 $\hat{I}$。 我们可以将其展开为:$\hat{U}(dt) \approx \hat{I} - i \hat{\Omega} dt$。 这里的 $\hat{\Omega}$ 必须是一个厄米算符,才能保证 $\hat{U}$ 的酉性。这个算符 $\hat{\Omega}$ 就是时间演化的“产生子”。 3. 能量:时间的产生子 根据第十二章关于经典力学产生子的讨论,我们知道**能量(哈密顿量 $H$)**是负责推动时间流逝的物理量。 对应关系:在量子力学中,产生子 $\hat{\Omega}$ 必须与哈密顿算符 $\hat{H}$ 成正比。 量纲修正:为了让单位匹配(能量的单位是焦耳,而 $\hat{\Omega}$ 的单位是时间的倒数),我们需要引入普朗克常数 $\hbar$。 最终关系定格为:$\hat{\Omega} = \frac{\hat{H}}{\hbar}$。 4. 最终推导:薛定谔方程 将上述微元演化带入导数的定义中: 整理后便得到了那行伟大的公式 原视频标题:Where does the Schrödinger equation come from? 原作者:Quantum Sense #青年创作者成长计划
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