定角定高|BC 最小值通用公式|外接圆这步没人讲 直线 l 外有一定点 A,A 到 l 的距离 AD = h(定高)。B、C 在 l 上滑动,∠BAC = α 是定角(锐角)。当 B、C 滑动时,BC 的最小值怎么求?这就是大名鼎鼎的「定角定高 / 探照灯模型 / 隐形圆模型」。 很多同学卡在这一步:B、C 一直变,怎么找最小? 关键就一句话——把"定角"换成"外接圆上的定圆周角"。 🔑 三步通用公式 1️⃣ 作 △ABC 的外接圆 ⊙O,半径 r。由圆周角定理:∠BOC = 2α。 2️⃣ 过 O 作 OE⊥BC,等腰 △OBC 三线合一,BE = r·sinα,∠BOE = α,所以 BC = 2r·sinα。 3️⃣ A 在 ⊙O 上,A 到 BC 距离 ≤ AO + OE = r(1+cosα)。代入 AD = h,得 r ≥ h/(1+cosα)。 代回 BC 的式子,最终通用结论: ✨ BC_min = 2h·tan(α/2) 取等条件:A、O、D 三点共线,△ABC 等腰(AB = AC),D 是 BC 中点。 🎯 中学常考特殊角,用 30-60-90 / 45-45-90 边长比直接代入: • α = 30°:⊙OBC 等边,BC_min = (2-√3)·2h ≈ 0.536h • α = 45°:⊙OBC 等腰直角,BC_min = (2√2-2)·h ≈ 0.828h • α = 60°:取等时 △ABC 等边,BC_min = (2√3/3)·h ≈ 1.155h 学会这个模型,遇到「定角 + 定高」立刻条件反射"作外接圆",再也不用代数硬算面积公式 + 余弦定理 + 均值不等式。 留个思考:α = 90° 时模型退化,BC 等于什么?评论区告诉我~ #数学动画 #初中数学 #几何 #隐形圆 #探照灯模型 #动点最值
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