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全民自学数学工厂•第9课 · 常用数集:自然数N 不刷题,不考试,从零自学到大学数学。 想完整学完的,点关注,一集一集跟着刷。 #全民自学数学工厂 #数学思维 #从零开始学数学 #高等数学入门 #自学数学 今天我们一次性讲透第一个常用数集:自然数集N。它是我们接触最早、最常用的数集,也是整个数系的基础。 标准定义: 所有的自然数,汇聚在一起组成的集合,就叫作自然数集,用大写字母N来表示。 先搞懂一个最核心的问题:到底什么是自然数? 现在全球通用的数学标准里,自然数是从0开始的,依次是0,1,2,3,4,5……所有的非负整数,都是自然数。 这里有一个高频易错点,一定要记牢: 很多人小时候学的“自然数从1开始”,是旧的教材标准,现在的新课标、全球通用的数学体系里,0是自然数,而且是最小的自然数。补充:(在数论等部分数学分支中,也有将自然数定义为从1开始的用法,本内容对标国内新课标与国际通用标准,采用0是自然数的定义) 考试里只要问“最小的自然数是几”,答案一定是0,绝对不能写1。 再给你自然数集N的3个核心特点,好记又好用: 第一个是无限性:自然数集是无限集,没有最大的自然数。不管你写出多大的自然数,加1之后又会得到一个更大的自然数,永远没有尽头。 第二个是有序性:自然数是按从小到大的顺序排列的,每一个自然数,都有唯一的一个后一个数,也有唯一的一个前一个数,0除外。 第三个是非负性:自然数集里的所有数,都是大于等于0的整数,没有负数,没有小数、分数。 举几个例子,一眼就会判断属于关系: 0 ∈ N,1 ∈ N,100 ∈ N,10000 ∈ N,这些都是对的; -1 ∉ N,0.5 ∉ N,1/3 ∉ N,这些都是对的,因为它们不是非负整数,不属于自然数集。 这里还有一个常用的拓展符号,考试里经常出现: N* 或者 N+,表示正整数集,也就是1,2,3,4,5……所有大于0的自然数组成的集合,和自然数集N的区别,就是去掉了数字0。 一句话分清:N是0,1,2,3……;N*是1,2,3,4……,没有0。 为什么自然数集这么重要? 因为它是我们人类认识的第一个数系,是整个数学大厦的基石。 我们后面要学的整数、有理数、实数,全都是在自然数集的基础上拓展出来的。 极简总结: 自然数集N,是所有非负整数组成的集合,最小的自然数是0, 正整数集记作N*或N+,是去掉0的自然数集,是整个数系的基础。
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第一层:自然数(最基础的计数) 集合符号:\mathbb{N} 这是人类最早认识的数,用来数物体的个数。 - 包含:0, 1, 2, 3, 4...(注:现代数学通常将0归入自然数)。 - 特点:最小的是0,没有最大的,一个个挨得很紧。 - 地位:数字世界的基石。 第二层:整数(引入了负数与零) 集合符号:\mathbb{Z} 当我们不仅要数“有多少”,还要考虑“亏欠”和“基准”(比如海平面)时,就有了整数。 - 包含:所有的自然数 + 负整数(...-3, -2, -1)。 - 关系:自然数是整数的一部分。 - 特点:在数轴上左右无限延伸,但中间没有缝隙(除了0和1之间)。 第三层:有理数(可以整除的数) 集合符号:\mathbb{Q} 这是数学中非常重要的一个大类。只要能写成两个整数之比(分数形式 \frac{p}{q},且 q \neq 0)的数,都是有理数。 - 包含:- 整数(因为 2 = \frac{2}{1})。 - 有限小数(如 0.5, -3.14)。 - 无限循环小数(如 0.333... = \frac{1}{3})。 - 特点:它们在数轴上排列得非常密集,任意两个有理数之间一定还能找到无数个有理数。 第四层:无理数(无限不循环) 集合符号:\mathbb{I} 这是与有理数完全对立的数。它们不能写成分数形式,写成小数是无限且不循环的。 - 常见例子:- \pi(圆周率):3.1415926... - \sqrt{2}(正方形对角线):1.41421356... - 自然常数 e:2.71828... - 特点:虽然密密麻麻地挤在数轴上,但它们“格格不入”,打断了有理数的连续性。 第五层:实数(数轴上的所有点) 集合符号:\mathbb{R} 这就是我们通常意义上的“数”。实数 = 有理数 + 无理数。 - 对应关系:实数与数轴上的每一个点一一对应。也就是说,你在数轴上随便戳一个点,它对应的数要么是有理数,要么是无理数。 - 范围:覆盖了从负无穷大(-∞)到正无穷大(+∞)的整个连续线条。   🏁 核心关系与总结 在 0 到 ∞ 这个范围内,所有的数字都被包含在 实数 系统里了。 为了方便记忆,你可以看这个包含关系: 自然数 (\mathbb{N}) \subset 整数
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