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带权费马点|√3·PA+PB+PC 最小值,旋转角咋定 △ABC 内一动点 P,三段距离里有一个带 √3 系数。√3·PA + PB + PC 的最小值怎么求? 已知条件: - AB=6,AC=3√3,∠BAC=30°(这其实是 30-60-90 直角三角形) - P 是 △ABC 内一点 - 求 √3·PA + PB + PC 最小值 关键思路: 1️⃣ 系数 √3 是带权费马点的特殊信号。系数 → 旋转角的对照表:1 → 60°、√2 → 90°、√3 → 120°。旋转中心选系数所乘那条线段的定端点——所以绕 A 旋 120°。 2️⃣ 为什么必须是 120°?等腰 △APD 顶角 120°,作高 AH⊥PD,△APH 就是 30-60-90 直角三角形,PH = (√3/2)·AP,所以 PD = 2·PH = √3·AP——这个角度刚好把 √3 系数"吃"干净。 3️⃣ 把 △BAP 绕 A 顺时针旋 120° 到 △EAD:B→E、P→D。旋转保长,AE=AB=6;SAS 全等给 DE=PB,把另一段未带权的 PB 也搬过来。 4️⃣ 折线代换:√3·PA + PB + PC = PD + DE + PC = 折线 C→P→D→E 的总长。 5️⃣ 三角不等式:折线 ≥ 直线 CE,等号当且仅当 C、P、D、E 依次共线时成立。 6️⃣ 算定长 CE:∠CAE = 30°+120° = 150°;延长 CA 到 O 让 OE⊥CO,∠EAO=30°,由 30-60-90 直接得 EO=3、AO=3√3、CO=6√3。勾股 ⇒ CE=√((6√3)²+3²)=√117=3√13。 最终答案:min = CE = 3√13。 特殊系数 √2、√3 都对应固定旋转角,记住这张对照表,带权费马点就再也不用猜了——评论区说说你以前怎么处理这种带 √3 的题? #数学动画 #初中数学 #几何
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