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《白话分形》第五回 有2维的线段吗 上一回咱们提到数学家皮亚诺构造了一个布满平面的连续曲线,皮亚诺曲线。并给大家提了一个问题,这条曲线的维数是多少? 要想搞清楚这个问题,咱们先搞清楚通常说的维数到底是什么玩意儿。我们知道,点是0维,线是1维,面是2维,立体是3维,这是我们在欧几里得几何学中学到的经典维数。显然它们代表了不同类型的几何对象,那么这些几何对象到底什么类型不同呢? 不知道你发现没有,其实是它们的填充空间的能力不同。你看,点没有大小,所以它只能填充空间的一个位置,而线是点的连接,便有了大小,所以它比点,能填充更多的空间,同样的,面比线、立体比面的填充空间能力更强,所以它们的维数相应会更大。所以,我们可以给维数这样一个定义,维数是几何对象填充空间的能力的一种度量。 那你可能要问了,不同的线,填充空间的能力也不同呀?确实,经典维数的定义还很粗糙,它还不能区分几何对象更细致的不同。那么我们尝试着构造一个维数,看看能不能区分不同填充能力的线类型。 首先,我们做一条长度为1的线段,请你把它分成三等分,每一份的长度都是原来的三分之一,经过这次操作,这条直线变成了三条短线。我们可以用上面的关系表达出来。等号左边的3表示分成三等分后变成多少个线段,等号右边分式的分母三分之一表示三等分后的线段长度是原来的三分之一,括号右上角是指数1。 那么,我们再做一个边长为1的正方形,请你把正方形的边长三等分,那么这个正方形就变成9个小正方形,同样可以写成如上的关系式,没错吧? 如果再给你一个边长为1的立方体,当你把立方体的边长三等分,那么这个立方体就变成了27个小立方体,于是乎也可以写成如上的关系式,没毛病。 这时我们发现这三个关系式有一个共性,那就是每一个关系式中的指数恰是相应的几何对象的维数,那么我们对前面的表达式写一个通式,于是便得到了一个计算维数的通用公式,这里的N代表分解后变成的个数,k是把原来的边长分成几分之几,D便是我们要找的维数,而这个就是所谓的相似维数,这个维数显然可以包容经典维数。 那么,我们回过头来看看这条皮亚诺曲线。上一回说过,皮亚诺曲线是按规则操作无穷次的结果,它是一条无穷长的线段,显然它比一条直线填充空间的能力更强。 那么它到底有多强呢?我们用同样的方法计算它的维数,当你把初始的皮亚诺曲线三等分后,你会发现它变成9个小皮亚诺曲线,利用前面的相似维数计算公式计算,便得到了它的维数是2。
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