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【中配】从零开始了解混沌,以双摆为例 双摆通常被视为混沌系统的教科书级案例——对初始条件的极度敏感使得预测其长期轨迹几乎不可能。但 2swap 的这期视频告诉我们:并非所有的双摆都是混沌的。 核心内容 并非全盘混沌 视频展示了一些特殊的双摆,即使初始位置有微小偏差,它们也不会发散,甚至会追踪出重复的模式(例如作者称之为“蝴蝶结/椒盐卷饼 Pretzel”的模式)。这与典型的混沌表现形成了鲜明对比。 相空间与分形 作者将双摆的两个摆角分别映射为 X 和 Y 轴。 有序摆:会画出美妙的利萨茹曲线(Lissajous curve),转换成音频听起来比较纯净。 混沌摆:在图中乱作一团,听起来则是刺耳的噪音。 稳定岛 (Islands of Stability) 在代表混沌区域的白色海洋中,存在着被称为“稳定岛”的黑色区域。这些点对应的起始位置会产生稳定的、可预测的轨迹,如: 椒盐卷饼型 鞋带型 爱心型(存在于极小的稳定岛中)[00:04:58] 能量与动量的影响 通常极低能量(靠近垂直向下静止状态)的摆是稳定的。但作者进一步探索了“动量空间”,即在摆角为零但赋予不同初速度的情况,发现高能量区域同样存在秩序的微光。 解析解的难题 描述双摆的微分方程对于非平凡的起始位置没有解析解(即没有简单的公式能直接算出未来的位置)。即便如此,这个系统依然孕育出了这些秩序的宝石。 原视频:Double Pendulums are Chaoticn't 原作者:2swap #知识前沿派对 #青年创作者成长计划 勘误说明(来自视频描述): 在视频结尾,作者曾提到“非平凡起始位置没有闭式解”。准确来说,目前尚未有数学证明能给出“初始角度 + 时间 → 未来位置”的通用闭式函数。虽然不排除某些特定起始条件可能存在特定的函数,但目前尚未发现,且极有可能并不存在。
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