泰勒公式求极限练习题及答案

没有华丽的拍摄，只有慢慢的干货。每天一节高速课，期末考试不挂科啊。磊哥今天带大家来看一下，利用泰勒去求极限啊。这个是磊哥录的第二遍，所以磊哥刚才啊，画了好多细节啊，因为刚才那个视频录的时候啊，这个教案啊，讲义他倾斜了，磊哥没注意啊， 等我发现的时候已经来不及了啊。所以我们再录一遍。好了。我们来看一下，我们要用呃，用泰勒去求极限的话，这六个杰克一二三四五六啊。这个磊哥前面已经基本上给大家都挣过了啊。这个一定要备过，一定要备过。你只有把它备过了，你才可以快速的用这个泰勒， 用泰勒去秒杀这些极限的题啊。包括我们能用泰勒以前用到的肯定是等价无凶效，等价无凶效啊，不够精确。后来又学了罗比达法则啊，但是都很麻烦啊。然后你学了泰勒以后，你会发现，哎，泰勒这东西太好用了啊，但前提得会用。好了，我们来看 第一个题啊，高三减去他除以 x 四次方啊。泰勒的话，这个时候大家一定要注意啊，我们说了展开式啊，你只需要背过前两项或者前三项啊。那在你真正具体做题的时候，你还得具体要具体分析啊，我们只需要保证分子和分母，其次是就可以了啊， 也不是说必须得啊，用前两项或者前三项，一定要具体用具体分析。磊哥拿这个来举例子，我们来看分母啊，分母是 x 四次方四次方。 所以我们这块的话，要啊把分子也推到四次好了。首先来，首先来看这个 e 的负二分之 x 平方啊，那他可以仿照 e 的 x 方去写，把 把这里的 x 全部用负到二分之 x 方给他换掉啊，你照着他写就可以了。一减二分之 x 平方，这里的 x 变成负到二分之 x 平方啊。那再来平方，再除以二，再加上 x 四次方的高阶无穷效。你把它打开，打开就会变成 这个样子。好了，那我们再来看 coce。 你看 coce 里搁这只写到了一减二分之 s 方啊，那这个时候就不够用了，因为我们四次，四次才是呃，我们要的七次。所以这块你要给后头再写一下啊，就是四的阶层分支 x 四次方，再加四方的高阶无穷小啊。写到这了以后啊，你把啊 这个东西给他带回原市就可以了。我们把他带回原市啊，带回原市。剩下就是啊，加减计算的问题在这，哪个就不说了啊，这个算出来就是负的十二分之一，负的十二分之一。好了，我们再来看第二题。 高三一减去 e 的负二分之 x 平方，除以 x 平方，乘以 x 加浪一减 x。 好了，首先看这个浪一减 x 啊，我们有这个浪一加 x， 浪一加 x， 那我就可以写出浪一加 x， 我只要把这里的 x 换成负 x 就可以了啊，那这是 x， 我喜欢 fx 啊。那这边是照抄了，我在加 x 平方的高阶无穷校啊。这块写到二次就可以了。为啥？ 因为这个外头看到这个东西了没有啊，这还有个啊， x 平方，也就是有四次方。而对于这个分子来说 的话，我们刚才上一题已经处理过了。我们来看一下上一题的分子，分子在哪？在这个位置，在这个位置哪个用黑圈给他画出来了。所以这个分子我可以直接借用上一个题给他写出来。我们会发现分子是四次。哎，结果发现啊，分母也是四次。因为呃， 这个括号里，括号里是二次，外头还有个二次，二次乘二次啊，又变成了四次。所以这块推到啊，推到这个位置就可以了。那剩下一加减于计算啊，答案就是六分之一。好了，我们再来看下一题 啊。下一题的话，就是这个带根号啊，带根号了。你注意一下这个具体的计算好了，看第一个三次根号下 x 三次方，加上啊，三 x 平方，我踢个 x 出去。我们知道这个呃，哪个写到这个位置，三次根号下 x 三次方啊，这个东西等于 x 啊。所以我踢了个 x 出来以后， 三次方变一了啊，这边变成 x 分之三啊，变成 f 分之三，然后把这个 x 给他放到分母。就是啊，把这个 x 放到分母，那就是 x 分之一分之啊。这块磊哥刚才写的时候，刚才录第一遍的时候啊，这应该是三次啊，根号下啊，一加 x 分之三。那同理同理啊，这个 这个四次啊，这个四次状况下啊，我就可以写成这个样子。在这的话，做个简单的换元啊，令 t 等于 x 分之一啊，就可以了啊。令 t 等于 x 分之一后，我们来看一下原式。而只需要把原式中的所有的 x 分之一，这看 x 分之一换成 t， x 分之一换成 t， 而这边是一样的， x 分之一换成 t。 元式就可以写成这个样子 啊，写成这个样子了以后啊，我们用一个这个东西，就是一家 x 的 r 次方啊，他泰勒展开以后，是一家阿尔法贝的 x 啊，再加后头这个东西啊，这个是我们观察一下他的分母，分母只有 t 的一次方啊， t 的一次方， 也就是说我的分子啊，最高次弄到一次就可以了。我们泰勒展开，这当然说了，让大家背过啊，这个是前三项啊。那对于这个题来说啊，其实我们只需要啊，记住前两项就可以了，因为这啊就有一次了啊，你没有必要用二次了。好，我们来看一下第一部分啊，就这个一加三 t， 三次刚好下，那我可以写上一加三 t 的啊，是不是三分之一次方 啊？这里的 r 法就三分之一 x， 是不就三 t 啊？我照着公式带，一加 r 法是三分之一，三分之一 x 是三 t 啊，然后加上 t 的高阶无穷小就可以了啊，这一步就可以省略掉了，因为分母只有一次。这样的话我们就达到目的了，没有必要啊，再去写一下啊。 那同理，后头这个东西我们也可以写上一次就可以了。然后把它回代，回代到远市以后啊，用一个加减计算，这样的话，答案就出来了，是二分之三。好了，再看第四题，那第四题分子和分母啊，我们挨个来处理一下。首先看这个根号下一加 x 平方。哎，雷哥在这写了一加一平方的二分之一次方啊，这个还是用一加 x r 次方啊，给他去处理啊。这个的话就要我们说了啊，写到第三项啊，第一项一啊，第二项 r 被阿尔法背的 x 二分之一倍的 x 方啊，再加第三项，二分之 r 法，乘以 r 法减一，再乘以 x 平方那二分之。这里的 r 法是二分之一，那乘二分之一，乘二分之一减一，再乘 x 四十方，再加 x 四十方的高阶无穷小。把这个化减一下啊，化减出来就是这个样子，化减出来就是这个样子。磊哥就不念了啊，这个只是简单的计算好了， 我们再来看 e 的 x 方啊， e 的 x 方的话啊，我们用这个胎料展开式，可以选用 e 加 x 方，加上二分之二四十方，也是四十方，再加四十方的高阶无形象。而考三 x， 考三 x， 呃， 一减二分之 x 平方啊，这是二次，因为这还有个三亚 x 平方啊，三亚 x 的平方我们可以变，呃，可以用这个 x 平方，用这个等价无穷小啊，给他换掉 平方啊。所以这个时候的分子啊，啊，原来是一加二分 g s 平方啊，我们这还有个一加二分 g s 平方在在减这个东西啊，你把它俩一减的话，分子只会剩下八分之一倍的 x 四方，再加 s 四方的高阶无穷小。再来看分母 超三印，我们用这个一减啊，一减二分之 s 方，给他换掉了啊，那这个 e 的 x 方啊，我们用这个一加 x 方，再加这个东西啊， 给他换掉了啊。你里头加减计算一下啊，外头这个 x 平方是三叶 x 平方啊，等价无功效，给他换掉。换掉后答案出来了，就是这个负的二分之一。好了，今天就跟大家分享到这里。

我下面呢就是把同学问到的这个题来讲一下啊，这个呢本身是求极线，求极线的话呢，嗯，本身是零比零型的，用泰勒公式呢，这两个题目是都能做的，那我这里面重点呢，主要是想讲一下，如果就是利用泰勒公式的话，嗯，如何 去做，并且呢攒到多少项？我重点讲一下这个啊，这个题目当中咱们会看到这一项啊，他和整个的是一个因子关系，所以呢这个地方可以直接等价替换成 x， 变成 s 立方就可以了。但是呢，我这里面的这个塞 x 等价替换不行，因为我在这个地方我们看到有加减号，有加减号，咱们说不能直接等价替换，那咱们下面具体来看一下啊，如果要用洛贝塔法则做呢，这个计算量要比较大一些，为什么？因为咱们说的这一项和这一项是层级关系， 层级关系一球倒的话呢，就有两项盒，然后就比较麻烦，那我用罗布塔法则呢，也稍微写了一下，咱们来稍微感受一下啊，罗布塔法则呢，咱们说我这里面这个题目是用了三次，用了三次罗布塔， 第一次的时候，咱们看一下，这款是两项的，乘机用罗贝塔呢，那咱们说的这款就变成两项的盒啊，两项的盒， 然后接下来呢，我还是属于零比零，我再用卢比塔的时候，这一项又变成了这样的两项盒， 这变成这两项盒，然后这个地方求导的数的时候呢，也是变成了这两项的盒，也变成两项盒。你看计算量比较大一些， 只是这个题目呢，刚好就说的他有些项呢，能够去消消元，消掉他跟他消掉了，然后这两项呢又合并了，合并成二倍的，后面去化解整理了一下，最后答案是三分之一，这个是用洛普塔法则来做， 那咱们下面来说一下，嗯，如果用泰勒公式做，那咱们说的主要的问题啊，咱们来说一下这个同学的问题呢，就说的要用泰勒公式展开的话呢，嗯，那么这样话就是说需要展到 攒到多少项，这是第一个问题啊，他提到的第一个问题，嗯，他的一个基本思路就说的我要攒到让分子的次数，比分母次数多啊，比比分母次数高，就说的我上面展开不管怎么展开，上面的次数要低于他 高的，因为指定是零了。那我这个分母的话，我们能看到分母本身就是 s 立方，就是这个是 s 立方，现在上面要展开比他高就行了，那么高到什么程度？怎么样个高法？那么他的这个同学呢，他是这样考虑的啊，他是把这个 e 的 s 次展展到这个次数 等于他后面高的就可以不写。然后把塞 x 这一项呢，我也展开也展开到这个地方，也是次数跟他相同了，或者是高于他，他是这样一个想法， 那么这样话呢，就说的他把每一个啊，每一个都展开到这个次数比他多，这样话，他说的我这样话会出现很多的一些乘积的象， 怎么多呢？咱们看这个地方得有四项，这个地方展开得有两项，四项乘两项，那这样的话就得到有八项，所以呢这样的话计算量就显得非常的非常的大啊， 那么这个地方只是一个赛亚 x， 他说我如果这个题目呢，我改成 coss， 就是我现在写的这个题目啊，咱们的第二个题目，这时候我的 es 展开的时候呢，我仍然展开成这样的四项，而这个 coss 在展开的时候要做到比分母次数多的话， 那这个地方呢？不是一减去二的阶层分之一 x 的平方，再加上四的阶层分之一 x 四次方，这个四次方就比分母次数高了吗？他这会就展开成三项，这样，话也说这个地方有 四项，这块有三项，那他们一乘就有十二项，他这块就有十二项，他说我这个项数太多了，然后呢，我就挨个去乘开，你看他挨个挨个一项一项乘开的，乘开完以后确实能计算出来，但是计算量太大了。 然后他这里面呢，还有一个问题，就是格式上是有一些问题的，有什么问题呢？我这会稍微的来提一下啊，这是咱们做题也是需要注意的，他那会在展开的时候，这个地方要加上省略号， 这个地方要加省略号，就说你后面还有很多，像你只是没有写，或者是写成是高阶无中小，是 x 立方高，就这块 也是一样的，加上一个高级无穷小，这么写也是可以的，但是不能不写啊，不写指定是不行的。那么这个地方他从这块展开的时候把所有项都写出来了，那这个计算量太大了，那我下面就来说一下，当有这种层级关系的时候，咱们不用每一个 都比分母的次数高。不，不需要的，要看他们两个展开的特点，具体的再来看一下啊。我把这个题我也稍微写了一下， 下面呢，咱们来看一下这个地方啊，我也稍微写了一下，省点时间。嗯，咱们为了能够做题更简单更快。咱们这样子啊，首先呢，咱们能够呃看出来 这个晒 x 如果展开的话，它的最低四是这个 x， 最低四是 x， 所以这样话， e x 在展开的时候呢，这 e x 展开的时候，咱们就展到哪呢？展到这个 平方向最低平方向一放到一起就是立方了吗？所以这样话也就说的这个 x 啊，这个地方的 x 决定了这个地方咱们展开到平方向就可以了，这是第一点，第二点 就说的，那我 e x 这块展开到最高四十平方向，那我 sis 展开到多少向 sis 在展开的时候呢？咱们是这样来看啊，就说我这个地方 es 最低四是这个一啊，这个是一，由于这个地方是一，那我就决定了这个地方 就决定了这块攒到哪呢？攒到 s 立方，所以呢，这个 s 立方是由这个一来进行决定的啊，一决定了，这个地方攒改到立方， 后面都不用写了，因为是更高次的。那我在写的时候就把那个省略号写，省略号也行，写圈，呃，高级无穷小，这是平方吗？就平方高就无穷小，这块是立方，这块立方高级无穷小， 这么写就可以了，这是第一个要点，攒到多少次？然后第二个要点就是在乘开的时候呢，我说没有必要挨个挨个的全写出来，只要他们乘完以后次数高于这个分母的三次方就可以。省略不写。具体来看一下啊，你看我一一跟他们挨个相乘，就是这两项 x 跟他们挨个相乘， s 跟第一项相乘是平方，但 s 跟这个后面这个第二项相乘的时候，出现四次方了，四次方就不要写了，就不写。 然后呢？再看二分之一 s 平方跟第一项相乘，有立方，立方我写到这了，立方的话我就，呃写到这了啊，立方我就写到这了，然后这个这一项 跟后面相乘，再跟他相乘的时候就出现了五次方，五次方我也这块也是不写了，然后接下来把后面的这两项啊，这两项 我就抄到这个位置上来，然后后面就写一个所有的，刚才说次数都超过立方了，那我这块就写成是 x， 立方的高就均小，这么写就可以了，也就是说在这里面没有必要算二分 x 平方再乘以什么负六分 x 立方这样的项不用去整理，也不用去算，就这个意思。 然后接下来呢，那我把能约掉的就约掉，现在这里面 x 跟他约掉，然后负 s 平方跟这个约掉，然后 s 立方整理到一起，就整理成他了，然后这时候再跟分母相处，就得到三分之一。现在这里面也就是说 我这块画的这两个箭头呢，就是需要注意一下，就说的 e s 为什么攒到平方向？是因为你这个地方最第一次是 x， 这块是 x， 那么攒到平方向这块为什么是攒到立方？是因为这个地方是一啊，这块是一，那么这块是一，那 最高攒到 s 立方，现在这块就是我写的注意点当中的四， s 当中最低四是那 x， 由于那个 x， 那我就决定了，这边就是攒到平方啊，就刚才说的这个地方跟他是对应的， 然后 ex 当中跟他说昨晚最低四十一，这会是一，那我就决定了，后面展开的话，展开到那呢？展开到立方啊，才能立方。这个就是，呃，比那个同学写的呢，就会省略一些，因为刚才那个同学在这个地方啊，就是，呃，在这个地方他还写了一个 三的阶层分之一 s 立方吗？还写了一样这一项，那我这一项是完全没有必要去写，就这意思。然后第三点呢？我这里写的就是说这两项在成开的时候，只要成开那项当中次数超过分母的次数，那么这时候呢？都给他简化省略，都给他省略到什么？这个高 就从小当中去就这个意思啊，所以这样话呢，把这个题目就整个做完了，下面咱们再把这个方法呢，稍微强化一下，再看一下这个第二题啊。第二题呢，我也是稍微的啊写了一下， 你看我这个 ex 这时候要展开到多少项？那一定要看科三 s 最低项，他展开的时候他的最低是哪呢？是这个一是吧？这个一就决定了展开到哪呢？展开到立方最低，因为分母是立方吗？所以呢，这个一就决定了展开到立方，这是第一点啊，这是我说的第一点， 然后第二点，第二点呢？ coss 展开到最高次是多少次？那我这个 es 的最低呢？最低是一，这个一，这个一就决定了，那我后面要展展到什么时候？这会展开的时候，本来我这会应该是再加上一个四的阶层分之一 s 四次方，由于这个地方的四次方已经超过分母的这个立方了，所以这样话呢，我这一项就完全可以省略不写，就这样话，就四个阶层，这项完全可以省略不写，就写到这个平方向就可以了。 所以这样话呢，我这个地方我就打了省略号，看到了没？我这个地方写的省略号啊，就是后面相当于是高阶的，我没有写。然后我下面再乘开的时候，跟刚才道理是一样的， 然后我这个一跟他第一项相乘，和后面一约掉了，没有了一跟后这个相乘，那就是负二分之二的平方 x 这个 x 跟他去相乘，跟这 x 消掉了，没有了，然后 x 又跟后面这个相乘，就是负的 就是这一项啊，负的二分之 x 立方，然后二分之 x 平方也是跟它相乘，就是这一项二分之 x 平方跟后面相乘四次方，有四次方不写了，然后这一项跟一相乘写在这， 这项跟这项相乘次数超五次了，五次就不写了。那么那些所有不写的都是超过了 s 立方，就要统一用 s 立方的高纠中小这样来表达就可以了， 后面就是整理就可以了。所以呢，后面整理的话，咱们把这个相同的都给他削掉他，然后这个地方同样的次数给他整理，整成这个样子，然后下面呢就是最高次数一比较，答案就等于他就可以了。 那我这个题目呢，也用 loft 法则呢，也稍微做了一下，所以呢，这里面我只是强调用 tale 公式到底攒到多少项，然后怎么样更简洁一些啊？这个地方咱就说这么多，看是否完全听懂了啊。

同学们大家好，今天来讲六百六十题的第六题。首先大家观察这个极限， 很多同学可能在看到这个极限分子这么长，第一反应就是觉得肯定这个极限很复杂，觉得头都大了，看到这样子的分子，但是其实一般看到这样子的分子的话，我们一般会对其进行一个化解， 这里先打开括号就可以得到二倍三 x， 这里的话是二倍三 x 扩三 x， 那么他是等于什么？等于三二 x 是不是？ 然后我们对分子进行化解以后， a 就等于 这个富豪，前面也是富豪，富富得振，千万不要搞错了，哦，对，就是加 sci r x 分母不变。 然后我们观察到在 x 区域零的时候，这是区域零二三 s 区域零，区域零，那么分子分母是零比零型的极限 是可以用罗比打法则的是不是？但其实像分子这样比较复杂的狮子的话，我是不推荐用罗比打法则的啊，我觉得用泰勒公式是 比较简单的计算。那么首先我们就要记住一些常用的泰罗公式，让大家来和我一起回忆一下翻译 x 的 talo 展开是什么呢？大前提是 x 区域领啊。 然后三 x 是等于 x 减三的阶层分之一 x 的三次方， 这个 x 的四次方的系数是零，那我们这里就不写，我们这里的话记一个 高阶无穷小亮，这个无穷小亮是千万不能忘忘记的，因为三 ex 和这个他是不等的，而是再加上这个 无数小量以后，他们才可以说是相等的，因为这个分母的话，它是 x 的四四方，然后这个三 x 比 x 的四次方，那我们这里的话就记为 x 的四次方， 然后我们就可以得到三 a 二， x 的话是二 x 减三的阶层分之二 x 的立放，然后这里也是加上一个 x 的四次放的高阶五圈小， 然后我们还可以得到这个 x 倍三引 x 平方，它是等于， 然后 x 平方的三次方的话就是 x 六次方， x 六次方是比四次方还要高阶的无球小量，那我们这里的话就直接 接记一个无穷小量， 我们通过整理这几个式子就可以得到分子式，对，他就只剩下一个 这样子，一个无穷小量是不是？然后分母不变，这个分子是趋于零的， 这个分子是比 x 的四次方还要高阶的五寸小量，那么这个极限就等于对等于零。 好了，这道题到这里就解完了，通过这个题的话，我们是要记住两个点，一个的话 就是在进行泰勒展开的时候，后面的这个无虫小亮是千万不要漏掉的， 然后第二个就是常用的 tale 展开，一定要记住，比如说像 fine x， 还有还有 call， fine x e x 等等。今天的分享就到这里了，大家如果有什么想听的题可以打在评论区或者私信我， 有时间的话会尽量满足大家的需求。以上分享仅供参考，感谢大家的观看，喜欢的话点个赞吧，祝大家考验成功上岸！

今天给大家介绍一种快速求极限的方法，就是凑等价无穷小。我们以这道题目为例，他是 limit x 去向于零，摊进他上一 x 减去上一，摊进他 x 比上 x 的三四方。在做这道题之前呢，我们要复习几个常见的等价无穷小， 就是 x 去向于零，摊进他 x 是等价于 ceinx， 是等价于 x 的。 第二个呢，是摊进他 x 减去 x 是等价于三分之一 x 的三次方。第三个呢，是 x 减去赛营 x 是等价于六分之一 x 的三次方。 我们知道这个 x 是形式上的 x， 哪怕你给他写成狗呢，这个也是成立的，里面这个 x 是 是全部可以写成狗的，也就是说他只是形式上的趋向于零。好，那我们就正式的啊，解决这道题目， 那么我们就直接写就等于 limit x 区向于零分子部分呢，我们让他凑等家无穷小，也就是摊进他 saying x 减去 saying x 加上 saying x 减去摊进他 x 加上摊进他 x 减去 saying 摊进他 x 分母部分呢，还是 x 的三四方？那么这个时候呀，我们就可以把这个极限呢分成三个部分，那么就等于 limit x 去向零凑。第一个等价无穷小，就是摊进 好 say x 减去 say x 比上 x 的三次方，那我们就直接写成 say x 的三次方，因为是等价无胸小嘛。然后我们加上 赛饮 x 减去摊进他 x 比上 x 的三次方，然后我们加上摊进他 x 减去赛饮，摊进他 x， 然后再比上 摊进他 x 的三四方，凑等家无穷小。那么这道极限呢，就变得极其简单了。 第一项呢，我们根据等价无中效，它不就等于三分之一赛隐 x 的三四封比上赛隐 x 的三四封。第二项呢，我们用泰勒展开也行，或者用罗比 答也行，那么他的结果啊，就是负二分之一。第三项啊，我们就可以直接写成 六分之一摊进他 x 的三次方，然后比上摊进他 x 的三次方， 那么这个极限呢，最终结果就等于三分之一减去二分之一加上六分之一，最后啊，是等于零的。 所以说说这道极限的精髓在于哪啊？在于凑等价无穷小。当然了，有的同学也可以通过加项减项啊，然后用拉格朗日中式定理把这个极限给求出来，结果呀，也是等于零的。那么今天的课程啊，我们就结束了。

哈喽，同学们好，我是专家们，告诉李老师，今天呢我们来用这个泰勒公式来去求一个极限啊。泰勒公式求极限的话，我们首先要先记住一个东西，就是当 x 区均匀的时候，我们可以直接把这个上一个 x 写上 x 减去六分之一 x 三次方。 然后呢这个特定的 x 可以写成 x 加上一个三分之一 x 三次方啊。然后我们再来看一下这个题目，这个题目的话这个是 x 曲径零的，那我们就可以用这个方法来做了，如果这里不曲径零的话，我们就不能不用这方法做哦。然后看下这个上一个词，我们就直接写成 x 减六分之一 x 三次方。 这个探店的 x 的话，我们直接写出来 x 啊，加上一个三分之一 x 三十八啊。然后你看这个 x 和这个 x 就有 约掉了吧，这个 x 和这个 s 也约掉了，之后的话，那个三十万呢，也约掉了，就等于个啊负三啊。这个就是用我们这个他的公司需求之间的一个方法啊，我们这里就不要用他的法则做了。所以的话用这个公司的话会比较简便一点。

好的同学们，看一下咱们的立体舞之前跟大家说过。说什么呢？我说只要碰到极限的题目啊。第一步先干什么来着？ 先判断未定式的类型，你必须要这样来做。只要是极限，你第一步就是判断未定式的类型，看他到底是一个什么样的极限。 我们七种未定式零比零啊！无穷比无穷，无穷减无穷，凌晨无穷一的无穷，四方无穷的零次方和零的零次方。同学们，按你们背的时候一定要像我这样的语气，像我这样的速度，像我这样的状态去把它背出来啊！这才是说 我们手手链了吗？咱不能说七周不一定是咱们零比零，无穷比无穷啊啊啊，就背不下来了。是不是 这种东西一定要是在印在你们脑子当中。所以说，再看到哪种未定式的类型，哪种未定式，他到底是定式还是未定式？一下子想到，哎，七种未定式不属于这七种未定式，那么他一定是定式，直接出结果，你就不需要自己做任何的计算。但如果他是未定式，你必须按照未定式的做法来做。 ok？ 所以判断未定式的类型。未定式的类型怎么判断？强行带入就这四个字。你强行带入什么也不用管。卡给我带你去 啊。零比零往里一带啊。 x 等于零，往里一带，分母是个零，分子往里一带是个零。好了，很显然，零比零的围巾是我前面说过。零比零 一定是有哪些方法呢？第一章我讲是不是讲过好多遍呢？第一个哎，罗比达。毫无疑问呢，你们大学就学了个罗比达对不对？你们的本科是不是其实本身就学了个罗比达，其他的也没咋学。 但是我讲完第一章，你们应该听完我第一章的课之后就会觉得哦，罗比达我能不用则不用啊是吧？能闪则闪对吧？不想给自己找麻烦，那第二个肯定优先考虑的一定是我们的等价无穷小代换 好，继续咱们的泰勒公式。好，再往后。如果是同类函数相减的时候啊， f f 相减的时候，我们肯定考虑的是拉式定理，拉特朗日中指定理。好。第五个，如果他是抽奖函数，又说明我们在哪一点， 可倒的时候肯定考虑的是倒数大定义对吧？这五种。 ok， 老师，零比零，我落必达吧。好了，你们落吧。 老师你带我们坐一坐吧。我我不带你们坐，我才不带你们坐呢。哈哈哈，是吧？哦，是这种落地打啊。你看这个狮子就非常的复杂，不光特别复杂，我分子还符合又符合来着， 我看着都麻烦，我肯定不去用这个洛比达嘛，对不对？所以在你说我就要用洛比达，那么你们就在洛比达之前，一定要先等价无穷小代换一下。先等价一下 啊。怎么等价啊？等价？我之前还说这种加减的情况下要谨慎。一 但成熟的时候你随便来来。这个分母是不两个部分是相乘的时候，那很明显他的 x 是可以等价为 x 的二的 x 次方减。一， a 的 x 次方减一，是不是等价于 x 乘上个轮 a 呀？所以很明显是 x 乘上个落啊。二 好，那分子说老师，那么我也等价一下吧。哎呦，分子你发没发现这是一个相加相减的情况呢？相加相减的情况，你们要等价之前一定要注意一下，我们不能抵消啊。不抵消的时候我说过 啊。所以你们先给我把分母，再来一下 x 的平方，乘上一个 l 二。好分子，你们先照抄一下，三次根号下 cose， x 减一，再加上个 x 平方号。这个抄的时候咱们也有有技巧，给我拉一下， 一加上个 x 的平方。你说老师，你为什么要这样做啊？我一会给你们看。我为什么要这样做？你们到这你们有没有一种冲动？什么冲动？我想把它拆了，我想把这个分这个分式给拆了。老师，你怎么能拆呢？他不是零比零的未定时，你怎么能拆呢？ 咱这个跟第一张更新的时间隔得有稍微有点长啊。确实是子英老师这段时间特别忙啊，事情有点多，大家往后的话会持续更新下去啊，基本上能够尽快给大家更新完毕。 你为什么要拆呢？忘了哈，前面有点忘的话是怪子英老师啊，隔的时间太久啊。啊，来， 我一拆之后发没发现这两个 x 平方， x 平方刚好抵消掉。我只要 抵消掉了，说明什么呢？极限存在呀，是吧？论二分之一。我极限既然存在了，说明什么呢？可拆呀，看到了吗？好，所以我们极限存在就可拆。我立马给我拆出两个极限来。 x 区零分母是 x 平方，乘算个 l 二，好，它减一对不对？这个我分子，我先给你们扣一下。为什么扣一下，一会给你们看。加上我后边这个一拆，很显然是 lon 二分之一，对不对？所以我只要看前面就可以了。 我一看前面这个狮子哦三的三次根号下 cose x 减一。来。想一下我这个地方不用说，我给你们用特别多的 方法去做。特别多的方法我在第一章给你们做了对不对？这个地方来一下。同学们还记不记得有一个这样的式子，一加框框四方减一等价为谁？框框区域领就可以 m 四根号下一加框框四方减一等价为谁？等价为谁啊？ m 分之一倍的框框。还记得这个等价无穷小代化吗？不记得的看一下我们的第一张补充内容。 所以那这个位置我看 cosex， cosex 去一啊，我只要去一我就可以给你操。 因为我是吧，整体也是取一的，所以说我要出来一个一，我给他减个一加个一。那我看 cofenx 减一是不是趋于零啊？所以他一出来是不是直接是 三分之一倍的 cosex 减一？看到了没有？这就是三次根号下一加框框减一，我们插了之后，后面存在只需要看前面直接三分之一倍的 cosex 减一。 接下来算。这个规定是你说老师，我还是想罗比达好。我说 ok， 可以，罗比达。 接下来法医你们落必达落两次，我不做我不做了啊。为什么落两次？我们在第一章的时候说了，分母是 x 平方，落两次之后次方数刚好没了，所以不是未定式，所以直接出结果。我讲的是反二，只是还等价。 继续等价给你们看。一等价到底啊，来每次 x 区域零啊，三乘上个轮，二乘上个 x 平方。我们再讲这个的时候， cose x 减一等价为谁？ 特价为谁？负二分之一倍的 x 大平方吗？ 所以他一出很显然是不是负二分之一倍的 x 大平方啊？负二分之一倍的 x 平方，所以直接是负二分之一倍的 x 大平方。好，再加上一个论二分之一 x 方， x 方约掉了。前面是个负的六分之一乘上个 long 二分之一，后面加过来，最终结果是六乘上个 long 二分之五出结果。 罗比达能不用则不用。那这道题目因为拉格朗日不用，因为没有同类函数相减。拉这个导出定义不用是因为他也没有抽象函数，也没有同类函数相减。太乐大减小用了对吧？不是不能用大减小用了啊。这两个。

今天我们来看一道求极限的问题啊，这个题目呢，呃，式子看起来其实并不复杂，但是呢，我们仔细一分析吧，这道题啊，其实来者不善，为什么？因为它接触比较高， x 四次方， 我们给大家讲三种接法啊，那么第一种接法很多心里想的什么呀，叫万物皆可洛比达是不是啊，不就是一个极限吗？多求几十道数不就完了吗？那如果你用洛比达，第一步求完之后是这样子的， 求到法则应该都比较熟悉。我相信啊，求到这之后，有团就已经开始后悔了，已经求出这个东西了，你还要再求，而且这个过程很有可能还要再重复三次，因为下面是 x 三次吗？那这个忍不了啊，这个很显哎，老师我灵机一动，你这不是有个 cos x 吗？他是不是去一了，把他带进去 就变这个形式，哎，这个是看起来清爽一些了是吧，我们就再次落表，变完之后呢，你看这个两个 cosex 可以提出来，提完之后变成这种形式，这个 cose x 再代成一。这个里面啊，借助于等价无同的听话的公式啊，就是 x 区域零售 cos x 减一等价于负的二分之一 x 方，这一步你就等价什么呀，是不就等价于负的二分之一的平方，然后 sex 在等价于 x， 所以体现等于负的二十四分之一？好，算完了 算很开心是不是？那我就告诉你啊，从这一步开始，往后所有的过程，你都只是在自己感动自己，没用。为啥呀，这个 cos x 能不能带成一啊， 怎么可能把极限式一部分随波往里带啊，如果能这样算，那极限不就太简单了，是不是啊？这种要往里带有个要求什么呀？他得是整个极限式的飞利因子， 顺到这一步已经错了，但是从这到这，这是没问题的啊，因为这个 cos x， 它是整个极限式的非定因子，这个往里带没问题，但这个 cos x 并不是。这个用诺比达的方法啊，到这我觉得要再往 去转啊，就比较困难了。好，那我们介绍第二个方法，诺比达户型是谁啊？泰勒嘛，泰勒比诺比达主要高级一些，那就是我们把它来展开，但这道题用泰勒呢，也会有点复杂，为什么呢？因为看啊，分母是四次方的，所以说你要攒或者攒到几次啊？四次方， 我们把这个 cos x， 它的四阶的它的表示写出来啊，是前面这个，那 cosin 三 x 呢？是不是再把前面的 x 带成 sex？ 那就是这个， 你看这个数字已经这么长了，是吧？啊，别着急啊，我们把它化剪一下。呃，化剪之后是这个样子，你看这个一减一剪掉了 负二分之 x 方，减去负二分之三 x 方是这项，这个四的阶层是二十四，那么这个二四分之一提到什么区啊？里面是一个 x 四次方，减去三 x 四次方，再加一个小 ox 方，这个怎么来的啊？因为你小 o 三 ex 四次方，也就是小 ox 四次方，两个小 o 合到一起变成一个小 o 啊。这个式子还是有点复杂， 但是你再观察一下呢，很多地方它的减值是存在的。小 ox 四次方，它除以 x 次方极限是不是直接就是零？ x 四次方跟下面除减也存在，上一 x 次方跟下面除极限也存在，当你发现相加的几部分当中有一部分它的极限是存在的，懂的啊，可以把它拆出去单独算。 你看，我们就拆成这样几项。呃，这个小 o x 四方除以 x 方间是零的，就不写了。呃，有一个负的二十四分之一 x 四十方分之三 x 四方和二十四分之一 x 四十方分之 x 方，这是这个拆开之后写下来，然后呢，前面这个照抄下来就行。你看这个极限是二十四分之一，这个也是二十四分之一减掉了，这不我们算最前面这个减就可以了。 首先我们用平方差公式把它写成这样，前面这个三 x 减 x， 我们对它用一次它的公式，它等加于负的六分之一 x 的立方。三 x 加 x 呢？你把那个 再次攒到一阶就可以了，它是等价于二 x 的，整个这一部分就等价于负的三分之一 x 的四次方，把它带过来，极限就出来了负的六分之一。这是这道题的第二个解法。这个解法呢，我觉得计算量呢，已经可以接受了。但是呢，我们还有更简单的做法，这两部分其实有点关联。 什么关系？这叫同事超哥。什么意思啊？他俩是一家人，哪家人看都是姓 cosine 的啊，一个叫 x， 一个叫 sex， 一家人。这不两兄弟吗？两兄弟一个减号的打架吗？两兄弟打架叫同事超哥。做题说，如果遇到同事超哥， 那基本的思想是什么呢？是要用拉格朗式中指定语对它进行变形，怎么变呢？你看，如果是 f x 减去 f 三 x 啊，就应该等于 x 减三 x 乘以 f 一撇可塞，其中的这个可塞呢，它是介于 x 和塞 x 之间的。那么具体的我们这个题目里啊，这个 f 一撇， 这可赛就是负的上一可赛，这样写上就可以了啊。然后下一步呢，我们再来做，等 t， 你这个 x 减三 x， 用它的公式等价于六分之一 x 的力道上一可赛，因为可赛是不是也是区军零的，所以上一可赛又等价于可赛。 但最后呢，我们还要对这个可赛啊来做一个估计。可赛是鉴于 x 和三 x 之间的，而你注意两头这个 x 和三 x 是什么的哦，是等价的， 那我们可以得到什么呢？你看啊，可塞除以 x， 它是不是应该大于 x 分三， x 小于一。借助于我们的不等式， x 大于零的时候塞 x 小 xx 小于零的时候塞 x 大 x 啊，当除了之后呢？呃， x 大于零和 x 小于零，这个不等式都是成立的。 而你，所以 x 分之三， x 是不是趋近于一的，那 x 分之可赛就确定多少啊？它夹在这个 x 分之三 x 和一之间，那它是不是也是趋近于一的？ x 趋于零的时候，这个可赛啊，它是等价于 x 的，所以呢，把它再等对成 x， 那么之前就等于负的六分之一，这就是这道题的三个写法。

没有华丽的拍摄，只有满满的干货，每天一节高数课，期末考试不挂科。今天磊哥带大家来看一下常见的麦克劳林公式的推导啊，这个特别特别重要。好了，我们首先看一下课本上给大家写的 啊，就是磊哥给大家整理出来的啊， e 的 x 方三 e x 考三 x 愣一加 x 一加 x r 次方啊，那包括下面还有这个 e 减 x 分之，一加 x 分之，还有 target x 啊，这个谁想要这个表的话，可以私信给磊哥 啊，磊哥单独给你发就可以了啊。我们来看一下他，我拿 e 的 s 方举例子， e 的 s 方他写了一大堆啊，但是我们在真正做题的时候，就没有必要把这个全部记住啊，但是你没有必要记住，但是你得会推倒啊，我们其实只需要记住前三项 啊，雷哥给大家写出来了，就用红色笔写的，而只需要记住前三项就可以了啊，为什么呢？因为我们可以回忆一下以前的那个等价无穷小。我们说对等价无穷小的是当时说过一句话啊，就是极限适中的相加或相减的部分啊， 不能随意用这个等价无穷小去替换啊，因为等价无穷小的话，他不够精确啊。 那麦克劳林的话，就是我们昨天啊，包括上节课已经说了啊，他是用多项式无限逼近啊，无限逼近这个函数啊，所以他可以精确到我们想要的东西啊，所以我们说泰勒公式，泰勒公式，泰勒公式其实是个特别特别好用的东西啊，他在做极限的时候 啊，可能说这个题啊，我可能用罗比达法则也能做啊，我可能啊，用别的方法也能做，但是如果你 用泰勒的话啊，那这个题几乎就是秒杀的啊，就直接秒杀了啊，我们可以来回忆一下啊，包括我们以前的这个等价无穷小替换，你比如说三页 啊，三叶的话，我们等价无需要提换，说是三叶和 x， 三叶 x 和 x 是啊，等价的，嗯，那这块的话，在做后面提极限的时候，他是不够精确的啊，那我们三叶 x 线如果在用泰勒去，包括麦克林啊，麦克劳林去做的时候，就三叶 x 和这个 x 减 啊，六分之 x 三次方啊，这个是等价的。呃，用它啊，去做题的话就快的多了啊，这个磊哥就给大家不多做解释了啊，就这个表，嗯， 这个表，如果啊，谁想要的话啊，可以给磊哥私信啊，我们今天主要来看一下呃，这个麦克劳林公式的推导啊，这个一级肯定是推不完的啊，我们分了 好几节。分了好几节啊，那我们今天先来看第一节啊，就是麦克劳林公式，磊哥帮大家再写了一遍，就 fx 等于这一堆啊，这块最后这个鱼像的话，我们一般用的是这个皮亚诺鱼像 啊，拉格朗日，鱼像的话不太好写就很麻烦啊，鱼就是对于鱼像这个东西啊，大家不要过多的去纠结啊，这东西就不考， 完全不考啊，谁简单我用谁啊，那肯定皮阿诺就想写出来比较简单一些啊，所以你会发现很多老师写的时候都写皮阿诺一项啊，当然拉格朗日一项的话，磊哥啊，在后面的几集里头啊，会给大家再去解释一下啊，所以我们在这平时写的时候都写的是皮阿诺一项。 好，那我们来看一下，我们要去求 fx 等 e 的 x 方的 n 接麦克劳林公式。好，那我们先来看一下呃，这个 e 的 s 方，你会发现给 e 的 s 方去求 e 接导数，是它本身， 你求二阶倒还是一的 s 方，你去求三阶倒还是一的 s 方啊，所以我们很容易知道他的 n 阶岛就是一的 s 方啊，这个包括磊哥在前前面呃出的视频里头求这个的高阶倒数啊，磊哥已经给大家证明过了啊，感兴趣的同学，呃，可以去前面的高阶岛那块去找一找。 好，那我们知道 fx 的 n 接导数还是它本身。那我们来看一下 f 零 f 零的话，那你把呃 x 换成零，往这个里头一带，那 f 零 e 的零次方也很简单，那 f 零的 e 解导数 的一， f 零的二阶倒数还是一，因为 f 只要是一的零次方啊，他全是一，那 f 零的 n 界倒数，那还是一，所以啊，我们把它带到这个麦克劳林公式里头去就可以了。好了，那我们来看一下 fx 用这个一的 x 方啊，给他换掉 啊，那 f 零 f 零加上这一堆东西，加上这一堆东西，我们给他挨个来换一下。首先看这个 f 零 f 零等于一， f 零的一结导数还等于他全等于一，那我把这个呃 f 零的 n 结导数全部省略掉，那上面这个式子就变成一加 x 加二分，加 x 封 二分之 x 方，因为二的接成就是二乘一嘛。啊，加加加加到最后啊，这个就出来了。好，那我们具体通过一个题啊，来看一下啊，这个就是这个麦克劳林啊，他到底在算题的时候到底有多快多方便，我们要求这个东西当 s 去应领，他就求他的极限。 好，那我们来看一下，我们知道这个 e 的 x 方啊，等于这是我们刚才推的一加 x 再加二的减分 s 方，再加 x 方的高阶无穷小啊，把它，呃，这是 e 的 s 方，那你想我，我现在把 x x 用这个负二分之 x 方整体换掉 啊，把这个 x 啊，用这个负的二分之 s 方整体换掉一照抄 x 用它换掉啊，那这里的 x 方啊，那就变成了负的二分之 x 平方的平方 变成四分之 x 四次方啊，剩下照抄，然后把这个画剪一下，一就是一减二分之 s 方照抄啊，那这个画一下就是八分之 x 四次方加上 x 四次方的高接五形象好了，给他一个相啊，把这个移过来， 把这两个啊，这两个给他移过去，移到等号的左边，那就变成左等号，左边就变成这个东西，他等于啊，他啊，那他和八分之一 x 四次方啊，是等价的。好了，那我们来看一下啊，这个整体刚好是这个的分子 啊，这个题就可以很快的去解出来了啊，这是第一个，完了以后我们再来看第二个三 ex 啊，三 ex 的话，哪个在前面求高阶倒的时候也给 推过了这个三英的高阶岛啊，是三英的 x 加二分真派，包括推岛过程，我们前面写作很详细啊，如果大家忘了这个推导过程，其实你自己去推也是可以的。我们知道 fx 是三英 x， 那在一阶岛靠三 x 啊，考三我又可以。想要三 ex 加二分之派，这是诱导公式，高中学的那二届导，那就给考三去求导，负的三 x， 负的三 x， 我又可以想要三 ex 加二分之二派。高中学的诱导公式，三届导就是给二届导啊，再去求导， 三的导数是靠三页啊，符号照抄啊，负的靠三页，又可以写成三页 x 加这个二分之三派啊，写到这了以后啊，我们就会发现啊，他的周期就出来了啊，周期就出来了啊，因为你可以再去求四节导，四节导的话，你会发现，给考三页再去求导，又变成三页了，你看三页靠三页， 负的三音，负的靠三音啊，又开始三音靠三音，负的三音，负的靠三音。哎，就我们好像发现他的周期是四啊，周期是四啊，那同理，我们再来看， fx 等于三 x， 那我可以算出， f 零啊，就等于零。 fx 一节倒数等于靠三 x 啊，那靠三零是不就等于一 啊，负的三一零啊，又等于零啊，负的靠三一零啊，不等于负一啊，啊，那同理，我们看零一零负一，那这边啊，他的四阶倒数，那三页三页又是零啊，五阶倒数 啊，又是一零一零负一零一零负一啊，这样的话，这个啊，我们就很容易看出来啊，他的这个，呃，周期是四啊，周期是四了以后我们来把他的啊麦克劳林公式啊，来写一下，我给大家稍微折一下， 方便大家去看。好，我们先来看一下这个啊，他的这个麦克劳林，我先用三 x 把它写出来， f 零啊，这麦克劳林照抄后头，后头哪个省略掉了？省略掉了啊，先没写啊，然后的话， f 零， f 零等于零， f 零等于零啊，零我不用写了， f 零的一阶倒数等于一 啊，那一乘 x 就是 xf 零的二阶倒数。哎，又等于零啊，这一部分又等于零 啊，零这一部分又等于零。零我又不写了，看三阶倒三阶倒等于负一啊，那就是负的三的结成分至 x 三次方，按到同理，后面我们可以得到五的结成分至 x 五次方，减去七的结成分至 x 七次方。第二、第二第二啊， 后面先省略掉，然后再看下一步三亚 x 就等于他啊，然后我们现在要根据前面啊，根据前头这些东西去找规律。我们来看一下，三的结成 x， 三字 五的结成 x 五次方，七的结成 x 七次方啊，那这是不是三五七九啊？是不是基数？所以我们这个分母可以写成二人加一的结成啊。第一项不要管，第一项不要管啊，从从从这一项开始 啊，当然等于一的时候啊，他是不就三？当然等于二的时候，他是不就五？当然等于三的时候啊，他是不就七啊。第一项你可以认为是当然等于零的时候。好了，那我们就可以看到这个基数，那分母的话，我可以想二 n 加一的 结成，那你再来看 x 次数这个部位，他俩是一样的，那就 x r n 加一次方啊。前头为啥有个负一的 n 次方？因为负一的 n 次方是用来调节啊，正负号的。你来看一下第一项啊，第一项是负的三的结成分成 x 三方，他有个负号 啊，那这我肯定用的负一的 n 次方，因为当 n 等于一的时候，负一的一次方啊，是负一负一的平方啊，就变成一了 啊，当然按到二的时候这是五，这样是完全符合题的啊，最后再加上一个 x， 二 n 加一四万的高阶无穷小啊，这样就可以了啊。但是我们在 呃真正用的时候，其实厚度这一滴都用不上啊，主要用的是啊浅这这一部分，主要用的是这一部分， 因为我们知道前面学等价无穷小的时候，我们只替换到了三叶 x 和 x 是等价无穷小的，但是这个精确度是远远不够的啊，所以如果三叶 x 和这个 x 减去三的结成分之 x 三次方啊， 是等价的话，那我们这样的话算题就可以直接去算了。好，那我们具体来通过一个啊例题来看一下。好，我们一块来看一下这个例题啊，一块来感受一下这个麦克劳林啊，在算极限的时候啊，真的是特别特别方便。好啊，那我们现在来看 看一下。呃，这个是 x， 我们现在要求的是这个，给大家再折一下。好，我们一块来看一下这个啊，别着急了，要把这个折好。好，我们先来看一下这个， 我们要求的是 x 均零的时候给这顿序求极限啊，我们知道三 ex 有麦克劳林公式等于他啊，那我把它又写成了他啊，这就很好理解，那么我们看分子是 x 减三 x， 我把这一个项倒一下， s 减三页， xx 减三页 x 就会等于啊，等于他 啊，那他和六分之 x 三次方啊，是等价的啊，把分子直接换成六分之 x 三次方啊，答案直接就出来了啊，这就是麦克老林公式啊，在解析线的时候特别特别好用啊，在接下来 来的机器里头，我们会接着帮大家去推导麦克劳力公社啊，还有最近很多啊同学给磊哥留言说是想讲不定积分啊，其实不定积分磊哥今天准备了一部分，不定积分的话就 题型比较多一些，呃，因为讲的比较少的话，你还是不会做不定积分的题啊。不定积分他大的方向分为几种方法，然后在这方法里头啊，大家要去大量的做题，开阔眼界啊，这样才会去 呃做不定积分的题。这个大家不要着急，磊哥后面会呃陆续呃给大家出这个教学视频。好，今天就到这里。

抵制他，求他。根据他的公式，已知写成他。结果是三十六。

我们说解高阶导数啊，你们手上的方法啊，起码有三个吧，第一个叫什么？叫归纳法，第二个叫莱姆尼兹，第三个是泰勒公式对比。那么我们说这道题目，他给的函数是不是只有一个函数？一个函数让你在 x 零处的 n 阶导数。 那么我们我我推荐这道题的做法呢？是第一个方法跟第三个方法对吧？你归纳的话也行，这归纳也不难啊，你就求导，哎，外一撇，哎，外两撇，外三撇，你求，我觉得这个东西，这个方法我也不用讲，你肯定能求出来，所以这道题呢，我讲的话肯定讲太乐，是吧？解，这个是三步骤，第一步你把 f 抽象展开， 你不在零处吗？那我就展开到零处，麦克劳林展开时是吧？第二个步骤就是你题目要求的是这个函数，我怎么样具体展开。第三步比较细数，我们来写一下，这道题就是这样的来，第一步，任何可导函数 x 都可以被泰勒写成，谁加上 f 一撇零，再加二的阶乘分之一， f 撇撇零乘以 x 方一直写，是不是写到 n 的阶程分之 f， n 接到零， x 的 n 字方继续加，这是所有的科导函数都可以这么写啊。那么比方说啊，给你举例子，比方说这个 lawn 一加 x， 他的泰勒展开是怎么来的？有同学说你要背，你不会背，我就带你算怎么来？第一项一定是 f 零， 也就是说这个人你带零进去，你带零进去，请问乱一是不是零加第二项，第二项是，你求个岛乘以 x， 你求个岛是一加 x， x 分之一带零进去是一，一乘个 x， 第一第二项就是 x， 对吧？然后呢？你这一项是啥呢？哎，我就不给你算了，一定是减去二分之 x 平方，你应该你自己会背，是不是？然后加上三分之 x 三次，他是这么来的，哎，一直写写写，写到后面这叫什么？ 负一的 n 减一次 n 的分之一 x 的 n 次方，对不对？然后一直往下写啊？你验证一下，这个地方有的时候可能自己也会配错， 那因为你看你这是积数四，前面是正的，那假设我，恩取个积数的话，积又取个啥？取个七七减一是六， ok， 首数是正的，没问题， 对吧？所以你要知道所有的这可导函数的这样的展开一定是一样相等的啊。所以我要问你， lawn e 加 x 这个函数，假设我的 y 是等于他的，我想问你 y 撇撇零等于几？你的两种方法是直接，一是方法把它算出来，第二个是直接对比，由于你的 x 平方向的前面的系数含有 f 撇撇零， 所以也就是意味着什么？意味着 x 平方前的系数应该是相等的，也就是这一坨应该是等于这一坨啊，我们就可以得到啊，有这件事情可以得到二的阶层， f 撇撇零，它是等于负二分之一的，对吧？所以我们就可以得到 f 撇撇零就等于负一， 这不两边同时乘以二嘛，这不是负一啊，也就是说如果这个函数求二级的把零带进去，就应该是负一好了。那这样的话呢，我们就来看第二步，我们现在给的函数是不是叫 y 等于 low n 一减二 x， 我们要把它具体展开，那具体展开的话，我们是根据上面这个公式会比较快一点，对不对？那就直接写啊，那就是，呃， x， 那就不是 x 了，就是负二， x 作为第一项 啊。对，对着写啊。然后第二项是啥？减去二分之负二， x 平方吗？ 是不是？哎，一直写，我们就写到第，我们写找那个 x 的 n 次方钱的系数，那就找到这叫负一的 n 减一，然后是 n 分之一来叫负二 x 的 n 次方， 继续往后加，那么我们现在就知道了，哎，第二步搞定了，他具体展开第三步呢，就是比较系数，哎，我要求的是他的 n 阶段，那我就看 x n 前的系数，也就说明这 这个人一定和这个人相等，对吧？我们就来第三步。所以 n 的阶乘分之一， f 的 n 阶倒代零。哎，你再乘个 x， n 也行啊，不乘也行，是不一定等于负一的 n 减一，然后 n 分之一这边有个负二的 n 次方， x 的 n 次， 这两个人一定相等，你推出 f n 街道，你去算它这两个人约了嘛？ 啊，然后呢，我们怎么再操作一下呢？这边就还剩个 n 的阶层，就方程两边同时乘以 n 的阶层，看会得到什么？ 会得到负一的，这是 n 减一，这不负二的 n 次方吗？是不是有个负一的 n 次，是不叫 n 上面是 n 的阶层，然后是二的 n 次，而这一项议程是负一的二 n 减一，二 n 减一是永远 是基数次，而基数次的话就都是负的，对吧？所以他就等于负的这个 n 的阶层除以 n。 啥东西啊？ n 的阶层可以写成 n 乘以 n 减一的阶层， 对吧？再除个 n， 那约掉之后不是 n 减一的阶层，所以它就是负的 n 减一的阶程，再乘以二的 n 次方。

大家好，这是今年高考最难选择题，很多人用泰勒公式剪，挺不错的，不管什么方法，只要结果正确就好，是吧？谁管你过程呢，我这里介绍一种方法，就非常简单，感觉小学生也能学会。 我们一起看一下 a， b， c 比较大，小， b 最简单，我们先算 b 点九分之一，就约等于零点一一一，保留三位小数。好，我们看一下 a 怎么算呢？这就用到一个公式， 有这个公式，我们先算一人零点一次方，那就等于带入前三下就够了， 就等于一点一， 加上零点零零五，就等于一点一零五，所以 a 就等于零点一一零五。接下来 c 怎么算？ 这里应该是约等于啊，因为我们只用了这公式的一部分。计算器用到这样一个公式， 这个公式和他是姐妹公式，就是麦克劳林公式的两种不同表现形式。好，我们对 c 画一下，那 c 就等于 no， e 九分之十 就等于 no， 一加九分之一。好，这样子就可以了，是吧？带入 的话，带入前两位就好了，约等于九分之一，减去后面算一下，一百六十二分，约等于吗？ 零点一一一一，减去零点零零幺二， 就等于零点零九四九。好，我们比较一下 abc 的大小， 很容易看出 c 小于 a 小于 b， 他就选细做出来了，你看简单不？学霸方法就是厉害，又快又准。

好射 f x 在负一到一的 b 区间上具有三阶连续倒数啊。负一到一的 b 区间上具有三阶连续倒数。并且 f 负一等于个零， f 一等于个一， f 一撇零等于个零。 也就是我们告诉你了两个函数值， f 负一和 f 一的函数值告诉你了在零点处的倒数值。证明在负一到一的开区间内至少存在一点可赛。十，我们的三阶倒等于个三 啊。零到一的看戏内至少存在一点可赛，是我们的三阶倒等于个三。 ok， 那这道题目设计到了几阶倒？设计到了三阶倒，而题目本身给你是不是只有一这个原函数啊？给你的这个只是出职问 问题。所以我会发现我最终要证明的这个当中设计到三阶岛了。一般差两阶级两阶以上的时候，我们就完全考虑他的公式了。你想想，如果你要三阶倒，而且你还是个等于三的， 那不好找啊，对不对？所以这道题目肯定是用谁泰罗公式。那如果你说三条等于零吧，那我还有可能考虑用好六次罗二，但也没有必要哈。所以这道题很明显考我们考虑的是泰罗公式。 差两阶级以上啊，差两阶级以上的时候我们就考虑台乐了啊，差两阶级以上我们就考虑台乐。 好，那考虑太多的时候，我们就会考虑说到底是在哪一个点展开。那我们这个 x 零到底取几好了？我们说一下啊，这个在哪一个点点转开 x 零 到底取几？有这么几个点，第一个是注点，注点就是一阶倒数为零的点，那第二个就是极致点，第三个就是终点，第四个就是啊，端点， 注点即止点，终点和端点在这几个上面去展开啊。注点即止点，终点和端点这几个上面去展开是比较特殊的， 一般是在这几个特殊的情况下展开。好了，这道题目很明显我有 f 一点零等于零，所以 x 等于零是什么注点？所以这道题目就是在 x 等于零处进行盘罗展开。 所以直接写将我们的函数 fx 在 x 等于零处进行泰勒展开。 好，在 x 零处进行泰勒展开。那接下来就展呗。我们题目告诉你，有三阶连续到数，我们是不是展开到三阶道 四季岛没有用了。所以说四阶的高跌物型他也没有用了。而且我最终是要求三阶倒的可撒一点。所以我们是在三阶岛用谁拉个朗日雨向泰勒展开做 fx， 他就等于个 f 零。加上 f 一撇零乘上个 x 减零。 哎，加上二的阶层分支 f 片片零乘上一个 x 减零的平方。哎，再加上三的阶层分支 f 片片片可赛。你这个题目有可赛了，你就不用可赛了。换谁？换。一塔乘上个 x 减零的 三次方 ok 了。写一下范围，一塔介于零与 x 之间。因为我也不知道 x 和零谁大谁小怎么的。因为我的范围是负一到一吗？接下来能不能划紧一波？能啊， f 一撇零不是等于零了吗？所以这一项就没了。 所以 f 零有没有告诉你没有，没有就落下来吧。 加上哎，二的阶层分支 f 片片零乘个 x 的平方。好，继续。 哎，这个加上三的阶层分支 f 片片片一塔乘上个 x 的三次方。 ok， 再写一下范围，一塔介于零与 x 之间。好了，这个就是我们的泰勒展开了对吧？ 那接下来你看我题目告诉你了 f 负一的值。题目告诉你了 f 一的值，我是不是把它带入进去去花钱啊。所以带入 x 等于个负一和 x 等于个一这两个指则，你就会得到了两个方程组。第一个是 f 负一， f 负一往里一带，他就是一个 f 零加上二的接成分之 f 撇撇零。负一的平方是个一，不写了。 那负一往里一带，负一的三四方是个负一，所以减去三的接成分之 f 撇撇。怎么样？ 我现在知道了，我是在负一到零之间给他换数，换上科赛一。写一下科赛一属于负一到零。 ok， 那 f 负一等于几？往里一带是个零。好， f 一往里一带。 f 零加上一个二 的阶层分支， f 片片零加上一个三的阶层分支 f 片片片可赛二。那可赛二。我属于零到一之间， f 一往里一带。是的，这个一 没问题了。你看啊，我题目最终只跟三界岛有关，与二字岛是没有关系的，与原函数也是没有关系的。所以这两个的这两个位置是相同的。我们俩能不能消掉？当然可以，怎么样？一减就没了， 而且一减这个负号状态变正好了。所以直接给他写个一十，直接给他写个二十，直接二十减一十， 马上结束了。所以二是减去一是，我们就可以得到左边是个减，你右边呢？加上一 等于三的阶层分支，两个相加， f 撇撇撇可三一加上 f 撇撇撇可三二。 我要让他三级岛等一个三亚。我这分母是个三字阶程怎么办？马上结束了。三级岛怎么样？连续啊。呦妈呀，三级岛连续啊。三级岛连续的话，我们就用什么 戒指定理啊。对，给他一出结束。 我这写吧好不好？我不写下一页了啊。因为 fx 在我们的负一到一上有三阶连续倒数 对不对？我有三阶连续倒数。所以很明显我们有戒指定理得。 我一定会存在一个点可赛，在我可赛一到可赛二之间。而可赛一到可赛二正好包含在我的负一到一之间。稍等啊，我把这一跳 存在。可赛属于。哎，可赛一到可赛二之间正好包含在我的负一到一之间，明白吗？然后我一看，我们就能够使 f 皮皮皮可塞，我就等于一个二分之 f 皮皮皮可塞一，加上 f 皮皮皮可塞二。 ok， 他是个六，最终结果等于个三。得证 非常漂亮啊。我们去用了我们的泰勒，然后最后用了一次我们的戒指定理。戒指定理这个讲过的给你们哈。嗯， ok。 他其实这个定戒指定理就是我们的推戒指定理的推广啊。详细去证就是先用最值，再用戒指。

哈喽，同学们大家好，我是 mst 涛哥。本期视频我将和大家一起来探讨一下偏购函数与其指点偏移问题的关系。 首先我们看到这样一个函数图像，它是由 fx 和 gx 交错在一起。呃，这里我告诉大家， gx 它是由泰的函数，你和出来的一个二次函数啊，它的对称者为 x 零，就在后面都有用啊。它的顶点是 x 零和 fx 零。 我们来看一下题目要求，让我们证明 x 一加 x 大于两倍 x 零显然就是直点偏一类的题目对吧？我们来看一下根据题目我们得到什么消息，什么信息啊？ 首先 fx 一，他是等于 fx 二等于 g 的 x 三等于 g 的 x 四，他是 等于 a 啊。那我们是不是还可以得到 x 三小于 x 一，小于 x 零，小于 x 四小于 x 二，因为我们根据这一排来的对不对？ 这一次呢，我带大家从逆向的思维来，他让我们证明 x 一加上 x 二大于两倍的 x 零对不对？首先我介绍他是一个二次函数 gx， 对不对？那我们的 根据奥斯函数图像性质，我们的 x 三加上 x 四是不是就等于两倍的 x 零？那条件问题的话就转化成了什么？ 让我们证明 x 一加上 x 二大于 x 三加上 x 等于两倍的 x 零，对不对？我是不是又可以把它拆分成什么 x 一大于 x 三， x 十二到 x 四是不就可以了？那这里的话，我们要借助一下 gx 图像的一个性质啊，它是一个二次函数，开口为 x 零。我们可以把这些点的坐标全部标到 gx 图像来看一看 x 三， x 一， x 四， x 二，这是 g x 图像对不对？让我们看一下条题目条件就是转化值吗？这个 x 一到于 x 三，是不是就等价于让我们证明 g 的 x 一小于 g 的 x 三？ 那这里就要结合到一个消炎的思想了。根据我们题目一开始得到一个条件，这里面是不是有 gx 三啊？那我们就要想办法在消炎啊，你看我怎么消的 gx 三，他是不 等于 f x 一啊，对不对？那题目条件是不是就等价于让我们证明 fx 一减去一个 g 的 x 一大于零啊？ 那我们可以另一个新的函数，大 hx 是等于小 fx 减去一个 g 的 x 吧。让我们知名大 h 的 x 一是等于零。 那我们来看右边啊，看我们证明 x 二大于 x 四，那是不是就等于让鱼让我们证明 等教育让我们证明记得 x 二大于记得 x 四。还是同理，我们利用消炎的思想，我们看一下记得 x 四等于什么？是不等于 f 的 x 二对吧？ 所以说他就等于 fdx 啊。跟左边一样，是不是让我们证明 f 的 x 二减去 g 的 x 二，他是不是变成小榆林了？那就是同理，让我们证明大的 hxr 是不是要小榆林了。 那我们根据 hx 图像，我们又可以发现一个性质是什么？因为我们在刚才的时候已经介绍了 gx 图像的顶点是不是 x 零 fx 零。记住这个 fx 零。 我们带进来大 h 的 x 零等于什么？是不等于小 f 的 x 零减去 g 的 x 零是不就等于 fx 零减去 fx 零，那是不等于零。 那根据这两个图像，根据这两个信息啊，我们可以得到什么？因为我们又知道 x 一是不是小于 x 零，小于 x 二，我们是不是可以得到 hx 是单调递减， 这边是 x 零逗号零。 x 一在这里他是大于零的， x 二是不是在这里他是小于零的。所以说我们根据整一个韩式图像，我们来倒推，本来让我们证明的是 x 一加 x 大于两倍 x 零。我们现在是不是只要证明我们的 hx 是单调递减的？ 这是不是有一个转化的思想？在视频的开头，我介绍了 gx 图像的来源，是由于泰勒函数在 fx 等于 x 零处的展开，对不对？因为这涉及到大学的内容，所以说我就简单介绍一下，大家把答案记住就可以了。 fx 在 x 零处的展开式。当我们 gx 图像的表达式，就可以写成 gx 等于 fx 零，加上 fe 撇的 x 零除以一的接乘，再乘以 x 减 x 零，加上 f 一撇撇的 x 零除以二的接乘，乘以 x 减去 x 零的平方。因为我们要的是二次函数，所以说展开到二节就可以了。 然后我们又知道 x 零是不是 fx 的极致点，所以说我们知道它的音阶导航数是不等于零，那么这一块的话是不是全部都等于零了？所以说我们的 gx 函数可以写成什么？ fepapx 零 b 上二乘以 x 减 x 零，括号的平方加上 fx 零对不对？ 这就是我们 gx 的一个最终的表达结果。我在每道偏购体的开头，我都会设一个这个 gx 图像，我相信大家现在应该知道他是怎么来的吧。我希望大家可以记住这个答案。 ok， 感谢大家的观看，谢谢！

好，大家好，这里呢给大家展示了一下咱们考研里面啊，需要用到的，并且也需要我们背过的一些麦克劳林公式。 但是这个公式啊，一般来说第一是比较难记，第二呢是容易记混，所以后面呢，咱们期望给大家一个推倒的一种方法，能够让大家自己的把这个式子推倒出来，这样你也就能够很轻松的记住了。那我们废话不多说，直接开始， 那讲泰勒公式呢？那我们首先要知道泰勒公式的一个原始式子哈，也就我们的 f x 到底可以写成谁呢？那我可以写成一个谁， f x 零， 那再加一个谁啊？ f x 零的一阶岛乘以一个 x 减去 x 零，那后面咱们找规律嘛，那自然就再来一个二阶岛，但你二阶岛的同时，你别忘了下面还要补一个二的阶层这样的一个小系数，那后面就 x 减去 x 零的平方，那自然一 一直加呀加呀加，加到谁啊？那就加到 x 零的一个 n 接倒呗，那就除以一个 n 的接成，再去乘以一个 x 减去 x 零的 n 次方。那我们知道啊，你这样写的话，是永远写不进的，所以对于后面的式子，咱们直接加一个余项就行了，咱们加一个简单的 piano 余项 以后加一个谁啊，也就 x 减去 x 零的 n 次方的一个高阶无中小就行了。但是泰勒展开的这个式子啊，其实应用的不太多，我们一般呢就用麦克劳林的一个公式，那麦克劳林公式其实说白了也就是泰勒里面的 x 零啊，咱把 x 零啊带成零就可以了， 所以你会发现咱麦克劳零公式啊，会更简单一点，那我的 f x 等于谁啊？那你看，把 x 零都换成零，那就是 f 零加上一个谁，零点处的一阶倒，那后面就直接乘以一个 x 就行了呗，那自然再加 加一个谁啊？那二的阶层分成什么？零点处的二阶岛，那再乘以一个 x 的平方，自然一直加呀加呀加，加到谁啊？ n 阶岛怎么着？除以一个 n 的阶层，再去乘以一个 x 的 n 次方，那再加一个什么 xn 的一个高阶无穷小呗，这也就是我的皮亚诺鱼象呗， 对吧？那这样的话，就是我的麦克劳林的展开的一个原始公式。那对于这个原始公式啊，咱们同学们得记住，这是咱们唯一一个需要记住的式子，那你要知道他大体的分布。 那记这个式子呢？其实还有一个更简单的做法，为什么呢？因为你会发现哈，咱们说倒数这个东西啊，你零点处的倒数，零点处不管几节倒数，他其实说白了都是一个数，所以你会发现这个式子的构成，其实就是咱们那个多项式的构成。那你看，咱把系数写成 a 零到 aan， 那你会发现第一个，那其实这个式子就是 f x 会等于谁啊？说等于一个，比如这个叫 a 零吧，那后面这个系数呢？咱们叫做 a， 一乘以一个 x， 再加一个 a， 二乘以一个 x 的平方，一直加呀加，加到谁啊？加到一个 an 乘以一个 x n 次方，再加一个小 ox n 次方嘛，所以你会发现这就是一个典型的多项式。 所以说我们在进行背诵啊，这个麦克奥林公式的时候，你就要记住一个多项式的一个形式就可以了， 所以你会发现不同的函数，那你想嘛， a 零到 an 都是个系数吗？你会发现后面这 x x 的平方 x n 次方，这个形式是固定的，所以也就是确定不同函数的麦克劳林公式，我只需要确定前面的系数就可以了。 那我们后面的问题呢，就是解决这个系数到底是谁。所以你会发现在形式上，我这个系数啊，其实等于谁啊？是我 n 的阶层分之 什么受零点处的 n j 导啊。所以你看，那我确定这个系数，也就是我只要确定不同函数在零点处的 n j 导就行了，所以这时候咱们再来记，那请问第一个最简单的一个 e x 方，这个 为什么？因为 e 的 x 方不管求多少次导都是 e 的 x 方，那我们把零点处带进去，因为它不管是几阶导在零点处，它的值都会是 e 的零，四方也就是一嘛， 对吧？那既然他都是一的话，那对于这个式子而言，你看咱们直接写就行了。那我的 f x e 的 x 方等于谁啊？那 a 零那就是一个一吗？ 那再加一个谁啊？那 f 一撇零，那还是一个一，那加上一个 x， 那 f 二撇零也是一个零，那是不是再加上一个谁啊？什么二的阶成分之一啊？那我直接把 x 平方写到这吗？对吧？咱把式子简单一点，那自然这样一直加呀加呀加，加到谁啊？那就一个 n 的结成分之 x 的 n 次方，再加一个小 ox 的 n 次方，那这就是我的 e 的 x 方的这一个，你看是不？相对来说这样一梳啊呀，就很好记了，其实你哪怕记不住怎么办？咱们自己推一遍也能够推出来， 是不是？好，那咱们再看第二个，那除了 e x 方这种啊，还有一种呢？他求导的时候啊，是有规律性的，是咱们常见的这个三 x 跟 cosin x， 咱们先看三 x 这个，你想，我要确定它零点处的各种导数，那我就要把它的导数写出来呗，对吧？那你看，比如我们的原函数啊，咱们在右边写个小表吧，比如咱们原函数 fx 是等于三 x 的，那我求一次导变成谁了， 是不？变成了 co 三 x， 那我再求四导，变成谁了，就变成一个负的三 x， 那我再求导，又是负的 扣三 x， 再求导，哎，三 x 又回来了，所以你会发现三 x 在求导的过程中其实是一个循环的过程，那咱们再确定零点处的值是谁，那你看三一零应该是零， 扣三零应该是一负的三一零还是零，对吧？负的扣三零呢，应该是一个负一，所以你会发现他的倒数是在零一零负一，零一零负一这样的一个循环里面的。那循环里面我们去写这个式子头，你会发现，那比如我这里的 fx， 比如还是三一 x 吧，那三一 x 等于谁了？ 那咱们的三 x 等于谁了？你看，首先第一个，那就是 f 零嘛，那我的 f 零是等于零的，那咱们就不写，那么那第二个，那 f 一撇零是等于几啊？那 f 一撇零是不是就是我这里的一啦？那其实也就是一个 x， 那你再看我 x 平方前面 f 两撇零是不还是 零啊？所以从这里你会发现，他所有的偶次项前面的系数是不都是零？所以我的三 x 展开就只有什么只有几次项，那下一个就是我的 x 三次方，那我的 x 三次方，那你怎么写呢？那你看 f 三撇零是不等于一个负一啊？那其实这个系数就应该是一个什么 说一个负的三的阶层分之一吗？那我直接把 x 三次方直接抄到这来就可以了。所以按照这个规律，我们就知道下一个应该是一个什么五的阶层， x 的五次方减去一个七的阶层， x 的七次方， 那自然，那这个时候你看，那我肯定是写不进的，那咱们就来确定确定他后面的通向是谁，对吧？那他的通向是谁呢？那你会发现咱们直接找规律写就行了。我把这个往下移动一下啊，咱们找规律写就行了。那下面一个就是谁啊？那肯定是 x 多少次方呗？ s 多少次方啊？你看一三五七全是基数，那应该是一个，比如咱们就写二 n 加一呗，那这确定他就是个基数吗？对吧？那同时下面这个系数呢？你会发现七次方下面是七的阶层，那二 n 加一次方底下应该是一个二 n 加一的阶层。 那我前面这个符号是正负正负正负交替的吗？那肯定是负一的多少次方，那具体多少次方呢？咱们看首先第一个哈，你看这里的 x 应该取取谁的时候啊？这是不是一次方啊？是不相当于 n 等于零的时候啊？ n 等于零的时候，前面是一个正数，对吧？那这个呢？是不是 n 等于一的时候，前面是一个负数啊？那这里又是一个 n 等于二的时候，你看又是一个正数，然后呢？ n 等于三的时候，是不是一个负数啊？所以这前面应该是一个负一的多少？是不是直接一个负一的 n 次方就可以了？那你看，别，别忘了后面他还要加一个余项，那余项就是 x 是什么？二 n 加一次方的高阶无穷小嘛。所以你看，这就是我三 e x 的一个麦克劳令展开，那关于三 e x 你说，哎，那我前面推倒的这个过程有点复杂，那你会发现，根据咱们刚刚说的哈，它的规律其实已经很明显了。 为什么说他的规律很明显呢？那你会发现咱们写的这个过程中啊，你会发现他就呈现出这样的一个小规律。什么规律呢？是不所有的偶次项前面的序数没有，所以我的三 s 是不是只有什么积次项吧？所以这也很好理解，因为你要知道我的三 s 其实说白了是一个什么，是不是一个积函数啊？ 对吧？因为它是一个积函数，所以呢，它只有什么？若对应的只有积次项啊，对 那几次项的话，那你看，还要确定一个前面符号，前面的符号是什么？是不一正一负的一个符号变换啊。同时你看整个的式子里面还要怎么着？你不要露下我的阶层吗？你不要露下这个阶层吗？所以这样的话，你会发现我三 x 的式子非常好记了。