调和点列的调和性怎么证明

那接下来怎么证呢？我们和明年劳斯定理或者说赛马定理他的证明逻辑是一样的。我们现在来做一个假定。 我们来做这么一个假定啊，我们现在假定我们的 pepb 以及 qaqb 他不是调和的，我们做我们做这边的假设呀。一开始我们假设 他非调和，非调和也就意味着我们的 pabpb， 它不等于我们的 qa 比上我们的 qb 好，他是不相等的。我们先做这个假设，既然他不相等，既然他不相等，大家听清楚。我们接下 下来一定可以在这个上面找一个点。比如说我可以找一个 m， 我们说我们的 ambq 他一定构成了调和点列。 好，我们往下面移，我们再写一个。我们说我们一定可以存在一个点，我写的大家应该看得到吧。我们说一定存在一个点 m， 他是我们的这个 abmq 构成调和点列，他构成调和点列怎么办？怎么体现他构成一个调和点列呢？那当然我没有满足这个笔之关系。同时 m 点肯定在这个直线上。我们说只要 m 存在这么一个直线上，我们有这么一个等式关系。我给大家写一下， 我们一定有相量 pq 是等于我们那么大倍的相量 pm 啊。我们说他有这么一个比例关系，这个是没毛病的吧。 我们说只要 p 和 m 不重合，那我们一定可以把项链 pq 表示成那么大倍的这个项链 pm。 然后我们还一定有这么一个结论，我给大家写在这边啊，我尽量往这边移一下，这边写的大家看不清楚啊，我往这边移一下， 我们说这个时候一定有我们的这个叫我们的 bm 啊。我们把 我们把这个对，我们把这一个 a 写在前面吧，我们的 am 比上我们的 bm， 然后是等于我们的 qa 等于我们的 qbqa 比上 qb。 我们接下来只要证明 pm 同和就可以了。 这个背景很重要啊，你必须要理解 这个证明到了要，我们到了要进行一个什么操作，否则的话我们接下来一系列操作你都是蒙的。就是我们这个证明跟前面不一样，前面这个证明他总的来说还是居。现在我们定比点查法， 但接下来我们这个证明他就是基本上和我们的赛瓦地理啊，每年劳资地理这些逆地理的证明基本上就类似了。 我们就先假定我们的批脸他不是我们的内分裂，那我们的 m 脸他可以是我们的内分裂，那这个时候我们一定有我们的 ambq， 他构成了我们调和脸的。 我们接下来只用证明我们 p 和 m 重合就可以了。那接下来怎么证明这个重合呢？大家听清楚，我们每一个是环环相扣的第一个，因为我们 am bq， 它是调和连连，根据我们前面讲的性质疑。好，我给大家写一下性质疑， 我们根据这么一个性质一，这个性质一，我们性质一就在这里啊。我们是完全给大家证明了，就是只要是四点是调和的，一定有 a 方分至这两个坐标至极，加上 b 方分至这两个正坐标至极是等于一。好，现在 我们的这个 ambq 是调和的。所以一定有这么个结论，我们的 a 方 xm 乘一个 xq， 加上我们 b 方分支， 这里是 b 方分值， ym 乘一个 yq， 它是等于一的。这一步应该没问题吧？我对这个的证明完全是用我们的性质移， 而性质一是可以毫无争议的严谨证明出来的。这么一个结论。那接下来再怎么办呢？我们刚刚已经设了我们项链， pq 是等于那么大倍的项链 pm， 那接下来我就把这么一个项链给他，用坐标表示出来。 我们这里就有 xq 减去一个 xp， 然后 yq 减去一个外皮，然后他是等于那么大倍的，这里是 xm 减去 xp， 然后镀上 我们的 ym 减去一个外皮。好，我们到了这一步。那到了这一步之后再怎么办呢？我们把 xq 给他表示出来，我们的 xq 肯定是等于纳姆达贝的 xm， 然后再写成 这里还要再给他加上一个，我们后面还有一个付纳姆纳贝的 sp， 前面有一个把这个 fxp 给他移过来，就变成了伊贝的 xp， 所以他就可以加成一个已减去纳姆纳贝的 xp。 那同理，我们的外 q 可以给他写成一个那么大倍的这个 ym， 然后加上一减那么大倍的这个外屏。 好，我们到了这一步。那接下来再怎么办呢？我们要做一个技术性的处理。我们总之把 q 点的坐标是这样表示了。好，我们将他这样表示了。接下来我们要这样的技术性的处理。我们给他换一个颜色，我们先写 a 方分至这个 xq 的平方，再加上 b 方分至 yq 的平方。 我这样写了有什么用呢？我接下来可以这样变，我到底看他等于等于多少，他等于多少，我怎么等呢？ xq 方是不是等于 xq 乘 xq， 我将一个 xq 给他保留不变，另外一个 xq 我给他换走。另外一个 xq 是不是等于那么大倍的 xm， 加上一键那么大倍的 xp。 好，我们换走了一个 xq。 接下来同理，我们将这个 b 方分至 yq 的平方，保留一个 yq， 剩下一个 yq 我给他换成那么大倍的 ym， 加上一键那么大倍的 外皮。好。然后我再给他这样的技术性的处理。我们接下来要分组呗，我们把 xq 给他存进去，第一项是不是有 a 方分者纳姆纳贝的 xqxm， 后面也有一个 b 方分制那么大背影的 yqym。 那这样一来，我先把那么大给他提出来， 我们里面是不是一定就有，这里是我们的 a 方，这里是 xq 乘以 xm， 再加上我们后面的这里是 b 方，上方当然就是我们的外 q 乘以我们的 ym 啊。这是我们第一部分。同理，我们再把 xq 和这个相乘，再把外 q 和这个相乘，以及我们会 出现 a 方分之一减那么大， xq 乘 x p， b 方分至一减那么大， yq 乘以外 p， 我们再提一个一减那么大出来，这里是一减那么大，然后里面就是 a 方分至 我们上面，当然就是 sq 乘一个 xp， 然后再加上 b 方分至外 q 乘一个外皮。 好，这里是外 q 成一个外批。好。我们得到这么一个结论。那这样一来，我们证明是不是结束了，因为我们四宣是人为，给定了 我们这么一个结果，他要等一个一，由此我们就知道这个结果是等一个一的。而我们根据性质一，只要是 amb 是调和点列，他也一定等一个一，所以这一部分也是一。由此我们这么一个柿子，最终的结果就是那么的成一个一，再加上一减，那么的成一个一，最终当然就是一了呗。 既然 a 分 a 方分者 xq 平方加上 b 方分者 yq 平方等于一，那不就说明呢，我们 xq 斗上 yq 这个点，他只能在我们椭圆上吗？但是啊，我们一开始强调了 pq 不在我们椭圆上。 所以我们这么一个假设，一开始做的这个假设是不不成立的。因为我们这个是与已知它是矛盾的，参与已知矛盾。既然与已知矛盾，那就说明假设 不成立。假设不成立，那原来他就是成立了呗。对，静安斋说的很对，他就是统一法。这就是我一开始讲的，他和证明我们梅念劳斯定理、赛瓦定理的逆地理用的都是同样的逻辑，都是用的统一法。

今天我们来讲一下极点极限内容的第三讲，调和点列。我们假设点屁是椭圆外一点，那么将点屁作为极点的话，那么他的极限就应该是点屁所对应的切点弦。 此时我们再过点 p 向椭圆引一条割线，与椭圆相交于 ab， 两点与极限相交于点 q， 那么此时 p、 a、 q、 b 四个点就称之为调和点列。而这四个点所形成的线段关系满足以下几种比例形式，首先就是 a p b b p 等于 a q 比 b q。 如果我们以线段 ab 为基准，那么点 p 就是这个线段的外分点，点 q 就是这个线段的内分点，这个时候就有 pq 分之二等于 pa 分之一，加 pb 分之一。同样的，如果我们以线段 pq 为 记准，此时点 b 就是外分点，点 a 就是内分点，则有比例 ba 分之二，等于 bq 分之一，加 bp 分之一。下面我们通过一道例题来看一下调和点列的应用。这里我们跳过第一问来看第二问， 此时我们发现题目中给定的这个等量关系经过化解之后，和我们刚才所讲的条和点列的比例关系是相同的。所以我们可以得出结论，点 q 就应该在点屁所对应的极限上。 那么根据我们第一讲所讲的内容，我们写出点 p 所对应的极限是四分之四倍的 x 加二分之一倍的 y 等于一。进入化减，可以得出点 q 在定值线二 x 加 y 减二等于零。上下课。

调和点列第二集，如果你是一个三分钟热度的人，我觉得我的视频一定适合你。学完三分钟，你就发现圆锥曲线这件事变得太简单了，你就能预判老师的预判考试，就像直接抄答案。 上节课我们介绍了调和点列。如果一条直线上四个点， a m， b n 满足 a m， b b m 等于 a m b b m， 那么 a m， b m 这四个点叫做调和点列。 我们在直线外任找一点 p， 把 p a， p， m， p， b， p， n 连起来，这四条线叫做调和线数。调和线数有什么性质呢？我们学两个就行。第一个性质，如果 p a， p m， p b， p n。 未调和线数，那么我们用任意一条直线去结这组调和线数，得到四个焦点依然未调和点列，很神奇吧？ 不过聪明的你可能会问，那如果这条各线和其中一条直线平行，那就没有四个焦点了。这个时候怎么办？别急，这就是我们要讲的第二个性质。 此时你可以理解为有一个焦点在那遥远的地方，于是剩下的三个点和这个很远很远的点，他们四个依然成调和点列。如果调和点列中有一个点是无穷远处的点，那么显然 f 就会是 d g 的终点。 有那么显然吗？如果你觉得不显然，自己选一下条和点列的比例关系就明白了。无恶与 线竖中哪一条平行的直线去截，都会有这个性质哟。接下来我们就看看怎么用。 我们再看一下这道北京高考题，上次用调和点略配和相思太麻烦，那么用今天学的知识直接秒他。 椭圆方程为八分之艾克斯方，加上两分之外方等于一 a 的坐标为负二，负一点 b 为艾克斯，等于负四与艾克斯轴的焦点。显然 b 的坐标为负四。零 或 b 做一条直线，与椭圆交于 m n， 把 m a， n， a 连起来，分别与艾克斯等于负四，交于 p q 两点，求 p b 与 p q 的长度比值。我们先做出 b 的极限，就是 x 等于负二极限与 m n 的焦点积为一， 于是 b m， e， n 成调和点列。然后我们把 a、 b， a， m， a， e， a， n 连起来，于是这四条线成调和线数。由于 p q 平行于线数中的 a e， 根据前面讲的性质，马上就可以得到 p b 等于 b q。 这样是不是很快？ 我们在看这道二十二年的全国已高考题，这道题是近几年人追曲线的扛把子。 椭圆方程为三分之 x 方，加上四分之 y 方，等于一点 a 坐标零，负二点 b 坐标二分之三，负一过点 p 一负二，做一条直线，于椭圆交于 m n 或 m 做一条水平线，与 a b 交于 t， 然后再把 m t 延长一倍，让 m t 等于 t h 把 h n 连起来，证明 h n 过定点。我们算一下点 p 的极限，发现正好就是直线 a b。 设 m n 和 a b 的焦点为 c， 那么 p， m， c， n 成调和点列，把 a p， a， m， a， c， n 连起来， 显然这四条线成调和线数，因为 m t 平行于线数中的 a p。 我们假设 m t 与 a n 的焦点为 h 一撇，根据前面讲的调和线数的性质， m t 就等于 t h 一撇。 对比一下条件，我们就能得到 h 和 h 一撇是一个点，也就是说 n， h， a 三点贡献。显然 h n 过 a 点。 学完今天的内容，你是不是有点小期待，有点想快点去实践一下了，对吧？那我们今天的课就讲到这里了。

同学们大家好，这节课我们接着上一节的来讲一讲原密定理推广的相量证明方法。好，首先我们把原密定理的这个基本内容再给大家复习复习。 我们当时得到了这样一个等式，那么我们需要知道这个等式怎么得来的。 x 代表什么？ x 就是代表这个 p px 等于 x 倍的 u。 好。然后我们令这个 in 这个 o 就是 o x 哎， o x， o x 等于 o p， 再加上 p x， 因此它就等于 o p o p 再加 x 的平方。好。然后实际上是 o p 再加上 x。 有啊好。然后就可以得到这样一个式子。那么很显然，当这个 厉害了。当这个 x 呢，它是等于这个 b 点或者 c 点的时候，那么 o p 和这个 o c 呢？它这个是等于 r 的。所以说呢，这个 x 呢，是有两个 g， x 是有两个 g。 好，我们就设这个 p b 等于 x 倍的有，或者说就是百的倍的有吧。 p c 呢， 等于 g m 倍的 u。 好了。那么我们现在令 b c p p r p 成调和点点 g， 其四点共点。那么你看 p b c 我是知道的， p p r 呢，也在这一条直线上 调调和点呢，就是 b p。 然后 p c 等于 c， p p r p p r b 等于负一好了。那么因为它是点公线，所以令 p p 撇呢，等于这个 y。 那么因此呢，你可以来看一下，因为 p b 等于白的，那 b p 肯定等于负白的。啥？ p c 等于嘎嘛是吧。好。然后 c p 片怎么办呢？ c p 片，我们就用相连相减，它就等于 p p 片，再减去 c， 再减去 p c 是吧。 p c 是等于达吗？ p b 边是等于 y。 同理呢，这个 p 撇 b 呢，就等于 p b， 再减去 p b 撇， p b 是等于白的，白的减 y 对吧？白的减 y。 好。这样一整理，我就可以把这个 y 给 表示出来了。嗯， y 可以表示出来。那么我们令 p p p 二乘以 p o， 因为 pp 片等于多少呢？因为 pp 片就等于 y u 嘛，是吧？哎，它就等于 y u， 而 y 是等于这个形式。然后再乘以这个形式。好，然后这个二给它写到这个地方。给它写到这个地方。 好了。那么我们刚才得到的这样一个式子， bed 加感冒等于负二 o p u bed 加感冒等于负二 o p u 艾特消了。所以说他就等于这样一个式子，就等于这样一个式子。那也就是说呢，这就可以得到 pppr 在 po 上的投影的长度等于这样一个长数 是吧？还等于这样一个长数。好了，那这样一个长数到底等于多少呢？它肯定等于 p t e。 例平方。根据勾股定理，然后再除以 o p。 好。这里有张图。 好。那么我们可以来看一下这个 p t 一除以 o p 等于多少？ p t 一除以 o p 好。因为这个角肯定是直角。 p t e 除以 o b， 肯定等于 cosin 角 o p t 等于 cosine 角 t p o 和 o p t 值 是一样的。而 p t 再乘以靠身角，靠近这个角，又等于 p q q 是线段。呃，这个 t t r 的终点。这个是怎么来证明的？好，因为根据橡胶小呃，根据前线长定律， 他是等到三角形，他又是他的重点，他跟他垂直。所以他在成为靠谁？肯定得到的就应该是多少呢？肯定得到的就应该是 tq 啊。 pko 是一个定制杀，所以说不点 p 的任意隔线与这个 t p 二的焦点 p p 二与这个 e c p 都是成条和点列的。那意思是什么意思呢？是这样的 任意割线对吧？好，这个是 c， 这个是 b， 这个是皮皮吧，他是成条连连。好，我们这节课就上到这。

现在我们讲另外一个概念，叫做调和限速， 调和线数是什么意思呢？我们先理解什么叫线数，现在就是四根线，四根直线呢？五线长的直线交易一点就叫线数，按照农民伯伯的说法的话，这个叫一闸线， 这什么叫调和线数呢？就是我拿一根直线过去，跟他一连四个点出来了吧。如果这四个点构成了调和点点，那么我们就说这个线数啊，叫调和线数 啊。那我们看看这个，这个定义看起来比较悬的，那我换一个线，他还是调和点亮吗？ 不是调和点点，以后这个就不能再叫调和限速了，他会这样吗？那我们看下来，看他定义背后的是什么？这个 h 啊，就是 o h 是 o 到这条直线的距离， 那根据这个他的调点，这个容易又调点这个公式，是吧？等于是然后呢，我们两边都配上这个 h， 这个乘起来，乘起这个什么？这个是底层高啊， a b 乘上这个高度就这个面积啊，三角形面积啊。结果呢，我们就推出了这个， 这 a b、 o a b 这个面积和 o、 o c、 d 这个面积乘起来，要等于 o、 b、 c 乘上这个大的最大的面积。 两个这两个三角形乘两个三角形乘起来，我们再把这个面积啊，我们再换一种算法，换一种算法呢？换成正选的算法，就是 o a b 的面积是等于 o a 乘上 o o b 乘上这个角的正选 啊， ocd 的面积是等于 oc 乘在 od 乘在这个角度正选，那这两个乘起来的话，就变成什么？变成了 ov 乘 ob 是吧？乘这两个角的正选是吧？啊？配一个二分之一，两个二分之十分之一， 那这边呢？也是一样的啊，这也是一样的，我们把这约掉，长度都约掉，这约了以后就变成完全，最后就变成角度了， 变得角度正旋。可是这角度正旋它是，它是这个直线之间的本身有的这个关系啊，所以说 这一个啊，定义是他的本质定义，这个才是本质定义。觉得是不是调和限速，你得关键看他成立不成立，是吧？这个是个表面的，他可以退出他来， 那相反的他也可以推出他来，是不是有互相推？都是，我们都是等价嘛，等价推的嘛，都是等价符号，等价推，也就是说这个是本质的，这个是表面的， 那我们再看啊，如果说我们换了一根直线，换这根线换这根线，这个线换这个线以后，你发现如果这个是调和点点，那么这个就是调和线索，调和线的，那这个角度就关心这就存在，存在把它换成一根线， 然后呢你会发现我们再反反推，反推在 a、 b、 c、 d， 新的 a、 b、 c、 d， 那这个现代它是不是也沉淀？ 现在关也成立，也成立了，那他也是个调和点点，是不是？那我们再画这个线，这根线，这个线，我们要看他是不是调和点点的话，就这个关系是不是成立。我们首先要看到这个对角啊，他是对的角啊，这个正弦呢？是不是也成立？ 你看他，他这个本身是个调和点点，是由这边定义的，这个这四个角，他是这一、二、三加这个这大角是有这个关系的啊，这这边的这三个角啊，和这个大角跟他都是对角关系，所以他肯定也成立， 那它也成立的话呢？这个 a、 b、 c、 d 这个线段关系啊，它肯定也成立，所以呢，这一个呢，也是一个调和点点，很，这很有意思啊，随便画它也，它也 调我点亮啊，就说你就可以这么讲，我能不能这么画，他也是调我点亮吗？这这角都不一样了，是吧？这也不算对角关系了啊。但是你注意到啊，这个这个角度虽然不是他们对角，但是他是他的补角啊，是 o、 a、 o b 的 a、 o d 的补角，这个 那补缴的政权不也相同吗？是不是？所以说你可以验证一下， 验证一下这这 a、 b、 c、 d 这个线段所对应的这个角头的正弦，这个值乘起来是不是相等， 你会发现他们确实相等，那相等的话呢？这根线 a、 b、 c、 d， 这就是个调和点点啊，这个你们要做一下证明一下，证明这个也好，证明这个也好，都可以，你证明 完以后你就会发现，哇，这个线真的随便画，随便画就可以了，就出来是肯定是个跳舞点点，因为他们的对角对应的他们那个线段所对应的那个角度的正选值，他就是相同的， 那随着我随便画的话，这个就可以了，这段都是一个调和点点， 这就是为什么有一个调和点点，我们把它叫调和限速的原因。就算有一个，那你再画其他的都是的，只要有一个是的，那其他的随便画都是的，那都是，那本质上就是，那就是调和限速了，就说限速本身他有这个特性的 啊。那我们来看一看啊，我们验证一下，它有一个一 一二三四，这个是 x 等于零，这个斜率为三，斜率为二，这个斜率为一，是吧？那我们划一个线，跟他一交，交出十四个点来。为什么要选这个线啊？你选别的线也可以啊，但我选这个线，我的交点做不好，算了。 教你坐标，刷完以后，我就验证一下这个试纸，看他是不是调好点点啊？你验证一下他确实是的，这个你们可以看一看，最好动手做一做 啊。我们现在讲啊，这个假设啊，我们说两个调和线数， 是吧？有三根线相同，一二三相同，那第四个有没有可能不一样啊？ 那不会不一样的，你看到啊，我们做一根，做一根线，跟它交四个点，是吧？那四个点的话，跟 a、 b、 d 都相同的话，这个 c 比喻相同， c 相同的话，那就这个这两根线是一根线，所以说这个线数啊， 这个也是相同的，四根线都相同。我们这个它原因是调和点点，是吧？三点决定了调和点点，那我们也可以说三根线， 也就决定了这个调和线数，是吧？这是我的唯一性。那什么叫存在性呢？存在性就是我已经有三根线，我想在这里面，在这个空档里面插一根线，插一根线呢，让它变成了一个四中四根线呢？变成 调和线索。那怎么做呢？那我们就拿一个，就拿一根线有三个点，根据这三个点，这是调和点点，我们找到一个 c 点，让他变成调和点，对吧？ 那边调点点，我的故事一连接这根线就出来了，是不是调个线，所以这个线好做，是吧？他是存在的，是不是？所以说这个线能是能做出来的，那在后面讲的话，我们会说 已经有三根线，我们呢？在这里啊，我们做第四根线，让他变成一个调和线索，你就不要怀疑我这个这根线沉着吗？有可能吧， 那我现在已经告诉你了，他是存在的，然后呢？我们这里又告诉了他是唯一的，也就是唯一存在 啊。现在讲这个另外一个东西啊，就说这个，我们这是个调和线数，已经是个调和线数了，然后我们随单根线四个连四个点，是吧？ a、 b、 c 点，这是个调和线， 调为点点，再拉，再拉，再拉，再拉，最后当这个条线跟他拉的平行的时候，这个焦点到哪去了？这跟他平行是没有焦点的，或者说焦点在无圈远了，是吧？我们最好把它截成在无圈远，不要说没有 在这个变化的过程中，当它没有到 o 型元的时候，这个是指的成绩吧，是吧？ 这个是成立的话，当他变得无限圆条，那这一个就逐渐变成零了，是吧？是吧？变成零了，那这个是 当它真的平行的时候，这个是必须陈列，是不是？陈列话就这样了，那这个就 a、 b、 c， 这个 b 就是 a、 c 的终点了， 是不是啊？你可能说，哎，老师，这这这三个点呢？这三个点怎么能够， 怎么能叫调和点点呢？你不说是这个随便拿根线跟他交就四个点吗？你这只叫三个点，出来以后，那也这也叫调和点点吗？那三个点不能叫调和点点，但是你要加一个无限圆点，你可以认为他是一个调和点点，就叫广义的吧， 是吧？呃，有了这个广义的调和点点以后呢？我们我们说的话就比较绝对了，就任何一根线跟调和点，点硬 点啊，你就有四个点，万一只有三个点，那就会出现这样的情况，那肯定是，肯定是跟谁平行的吗？他，他第四个点没有了吗？跟他平行他才没有吗？那平行的时候，那还有还有很多个数，这个点亮很特殊，调零的就是这两个，这三个点是等距的， 加个无选原点啊。等距的三点加上无选原点，算是调和，也算调和零点。哎，这这个是一个 调和线数所具有的有非常重要的特性。就是说我拉一根线跟其中一条平行的时候， 他只有三个点相交，只相加三个点，那这三个点呢？是等等距的，所以我们把它叫平行等距。 那这个啊，这个概念呢？为什么是很重要啊？就是说 如果这个线数我不知道是不是调过线数，是吧？但是我这么有这么一根线跟他平行，然后呢？交出三个点来，刚好是等距的， 那我能不能因此判断这个线数就是调和线数呢？如果他是调和线数，我们得到三点等距。如果三点等距，能不能判断他是调和线数呢？可以了，也是正对，可以反推。为什么可以啊？ 你看啦，这一个，如果这三个不是条位线索，或是我不知道他是不是的，那我能不能做一做一 根线，在这里做一根线呢？做一根线，做一根线，让它变成调位线数，是不是在这里他就啪啦啪啦做一根线调位线，那这个星座的这根线和这一二三这三个原来老的三根线，他是 因为是我做错调和线索，所以他这里交点一个新的 b 点，是吧？那新的 b 点是不是也要在 a c 中间呢？是吧？如果他在 a c 中间，你看呢？他在 a c 中间的话，那不就跟这个 b 点，跟这个老的 b 点重合了吗？那也就说我做的那根线呢， 实际上跟老这根线就是老的这根线跟他重合了，是吧？所以因此推出这个老的这个线索，本来就是调和线索， 是不是随着这个平行等距，是这个调和线数的当前紧张，他是他的冲压条件？ 现在我们带来说分轴啊，这个这个调和点列不相邻的两个点，一组 a c 是一组， b d 是一组，是不是啊？那这个 a c 呢？就一组必定的就是他的对手，是吧？ 然后呢，这个调和线数的也是这么分，你旋转的时候不相零，这个一选就对了，再选就对了。这两个红线旋转不相零的黑线旋转不相零，是吧？也就是红的是一轴，黑的是一轴，这个叫混轴。 分者的目的是为了为了描述下面所说的东西，其实他们没有别的意义啊。调和线数，调和线数的弦力，你随便画四根线，他是调和线数，但是他的弦率，他们之间的弦率看不出有什么关系的。 但是如果有一根线，四根当中有一根线是垂直的或者是水平的，那另外三根线的弦律就有一个关系了。什么关系呢？我们来看一看这个调和线数，这一个是垂直的，是不是？他垂直的话，那另外还有三个不垂直的 不锤子，他他们他锤子是因为他锤子以后协力就没了，是吧？或者说叫无穷是吧？啊？另外三个那是有限的，有限的这个节能， 就说什么呢？杰伦就说这个跟他是同轴的吧。这科二是科一、科二、科三构成等差狩猎，是吧？等差数列，等差数列，这个看起来这个关系是，哎，蛮有意思啊， 那怎么证明他呢？证明他就这样的。你这个锤子，那我也做个锤子线。做个锤子线更偏心了嘛，偏心的。 a、 b、 c 要等距嘛？ 等距的概念是什么？这是外坐标啊，就是说外坐标就有这个关系嘛？等差的关系嘛？等差关系，外坐标我们都处成 o、 h， 从这个从这里到他的距离下去，你会发现这个就是 k 三嘛？ 是不是就是斜率吧，这个 c y 除了，那不就是斜率吗？啊？所以说这个 他就成立了。 然后呢？如果 uk 是水平的， 那我们就也做个水平线， a、 b、 c 构成一个等距的，等距的就它的 x 是等距的，是吧？然后都除了这个它的它的距离， 你会发现这个东西啊，它是一个 k 三的导数，靠倒过来，它除它等于 k 三，是吧？这个除这个等于 k 三，给它倒过来了。写了，所以这个是这样的，这两个也是一样的，所以它这个是陈列 是吧？这是调和线所所具有的这个这个特性。如果一个垂直或者一个水平，那另外三个就有，就有这种关系，那反过来， 如果一个垂直三，这三个有这关系的话， 他一定是调和像素吗？那我说这个他是的，为什么呢？那么假设他不是的， 那不是的，我们就，我们就保留这这一根、两根、三根，把它保留，是吧？保留我们另外再做一根出来，是吧？做一根总是可以的吧？让它变成调和限速，是吧？让它变成调和限速以后，我们出来一个新的 k 二，是吧？啊？根据我们这个这个节能， 你就是，你是调和限速的，你，你，你有有一个是垂直的，那这个关系得吃力吧，是吧？那我的新的 k 二是不是也满了？这关系，那新的 k 二满的这关系，人家老的，人家这是个条件，本来就满了这关， 那说明什么呢？说明我这个我做出这个直线的，跟这个跟这科二两个科二是相等的，是相等，也就是我的两条直线，我做的这条直线实际上跟这条直线重活的，那重活的， 那说明人家本来就是个调和线数，是不是？因为我做了以后，是做了以后是调和了吗？然后发现他们两个本来就是，就是这根线吧？跟别重活了吗？那说明这个本来就是调和线数，所以说有这个关系，可以推出这个线数，是调和线数， 那这个也是一样的，那也就说这一个特性呢？是调和限速，他可以推出调和限速，调和限速可以推出他来，他是当前进档，他是调和限速的冲压条件。 that， 这个以后我们在应用的时候，我们经常会这么用，我们经常用哎，因为这个是调和了，所以我们有这关系，是吧？因为有这关系，所以他调和了 啊，这里我们这个练习啊，这个什么练习呢？就是应用这个应应，应用这两个式子，那这一个是零垂直了吧？这三个是不是得得得，是等差的啊？斜着等差的，这个是三，这个不知道，这个是一， 但是等差的话，以一三，那肯定中间是个二嘛，是不是啊？ 那这一个呢？四根线，这个躺平了，这一个是三，这个不知道，这个是一是吧？躺平了，那这三个这叫调和等差是吧？ 调后的，那我们算一下，这个不知道，我们的 k 二等于一倒数，三倒数是吧？算出来可以等于二分之三是吧？对对对，好，算是吧。 啊？现在我们讲啊，讲前面存在线的时候，我们说这个调好线数啊，这这个线肯定存在的，因为我们可以计算出来， 我们可以计算出来的，换拉个线，用这三个点计算出来，但是我们也没有去真的去计算，你只能说理论上存在，是吧？ 那是没问题的。那我们就是假如我们三个线画了，我们要得做头，是吧？给定条线的三条直线，这三条直线他画给你了，给，给定你了，这种三条线画给你，你要能够把第四个马上画出， 就用这个圆规尺，是吧？圆规直尺把它画出来，你能画出来吗？想一想， 那我们这有一个画环，他怎么画的？他啊？作为一根线， 跟这个水平是吧？跟这个水平呢？都不是相加两个点了吗？是吧？他总共三个点嘛？有有三根线嘛？跟一个平行的，跟他是没焦点的嘛，还叫两个点嘛？ 他这两个点呢？因为他要在这位置找，所以呢，他就翻倍，把这个距离啊，翻倍，用圆规一翻倍，再把这个点找到，这个点找到一连起来， 接着调好线索。为什么他调好线索啊？因为这个线跟他平行的这三点等距嘛，所以这三个，这个条， 这四条线一定是调和线索，那你还能想出别的办法来吗？是吧？我们把这个抹掉， 你是不是我能够做一个跟他平行的也可以啊，是吧？跟他平行的，然后我在中间找一点，是吧？ 这肯定有两个焦点呢，两个焦点中间一个终点是吧？然后一连是吧？那也可以，是吧？啊？这个 这是用觉得用那个知识圆规可以把它做出来的啊，也不需要计算就能把这个调和线数给做出来了 啊。现在我们想说我们刚才调和点调我们也是计算的，是吧？我们现在就是不要计算的，我们就三个点，调点我也不告诉坐标多少 啊，你能不能把它做出来？这个是吧？你没话上来吧，我昨天没告诉你吧，然后呢？做出来做怎么做呢？这么做 我随便找一点，当然其实也不是很随缘啊，我就最好，我就就到底下这个跟他垂，跟他跟那条线垂直的，对吧？找一个，那你那上去找偏了也可以，是吧？啊？坐在线，坐在这把这三个点连起来，三个点连起来吧，连起来以后呢？ 我就想办法做一个调和线数，是吧？调和线怎么做呢？这一二三有了是吧？我在这里我做一个单线平行， 跟这个平行，跟这个平行的话，这一点我就取重点，取重点这一拉是吧？拉了以后这就是一个什么调和线数， 为什么调和限速啊？因为都要跟他平行的这个三点等距嘛，所以他就是调和限速，那他的调和限速，那这个焦点跟正常线的焦点这四个点，那就是调和点点了， 是吧？那这个是一种方法啊，你能想出其他方法来吗？

圆锥曲线压轴救星调和点列参数方程好，大家好，我是专讲压轴题的鲁天下。那昨天在群里边啊，我们有同学问到了这样一个题目啊，在我们课程群里边，昨晚上十点半的时候啊，问到了这样的题。这题应该是近期模考题吧， 然后给答疑了。然后整体整个质量还是可以，因为里边牵着的很多东西可以讲啊。这个题我们可以用调个点列参数方程，定比点差以及通法好去把它给做出来啊。相对来说这个参数方程是最快的啊，待会会给大家讲。但他处理背景其实就是几点几线调个点列。我们可以看一下。首先给他这个抛片 还是 y 方等于啊， x 方等于二倍 y 哇，这个抛物线 y 一点去做了三条直线， l 一， l 二 l 三。那其中 l 一和 l 二 是他的抛物线的切线。然后看到这咱们肯定就会想，这个不就是一个对应的阿基米的三角形吗？所以我们肯定会想这个是 x 零 y 零，那对应的 l a b 是不是直接能够写出来，因为它 a b 就刚好对应点 p 的极限嘛，也就刚好是 x x 零等于我们的二。这儿的话就是 y 加 y 零。 大家从这到这的这个过程其实就是利用我们的直线同购还有课程里边的是吧？这个就是我们知道一些前张性的那种啊啊，就是做题的好处就是你可以把这些过程先省掉，把整体思路梳理清楚之后再去填补这些过程，就把框架打好。 最近考阿基米的三角形还特别多哈，阿基米的三角形总共我们讲了十二种啊，对应的考法对好。那么有了这个 小结论，我们再看。他说有一个 l 三和我们的 a b， 也就是说这个叫切点选，相交于点扣，然后满足了 g 这个三角形 a p q， a p 大， b p q， b p e 对吧？这几个面积分别是 s 一、 s 二、 s 三、 a 四。比如说当这个批运动的时候，要去证明它是一个定制，那么我们讲一般情况下解析，结合里面的面积相关，我们可以转换成长度相关，长度相关可以转换成坐标相关对吧？啊，用这样去操作。 然后咱们看一下 s 一比上 s 二， a p q 比上 a p 大， a 点在这儿对吧？然后把这儿给连接起来嘛， a p q 还有个 a p 大。那这样的话，这两个三角形 s 一 s 二 是不是相当于可以把它的一个底边分别看成是 p q 和 p 大，然后高的话都是从一点到这个 p q 的高，所以它高是相同的。那么这样的话， s 一比上 s 二，我是不是就可以转换，所以就刚好是 p q 的长度 比上一个 p 大的长度？那同样道理，我们这儿是不是有个 b p q， b p q 在这个位置还有一个 b p e 啊，把一点这儿连接起来啊，这个看起来麻烦是吧？其实做起来也一点都不简单。 好，你看把这儿连起来，然后是不是会有一个 s 三比上 s 四，是不是就刚好等于多少？ 是不是这儿同时以 b 点为顶点嘛？然后这儿是不是就是 p q 比赛，我们到 p 一去了。对，那么相当于急诊是吗？ 哪个位定制去了？这个就是 p q 除以 p 大，加上 p q 除以 p e 是一个定制。而这个玩意儿我们刚刚讲过，以 p 点作为几点， 他对应的极限啊。我们可以通过高观点来看他的答案。极点极限，然后过极点 的一条线和曲线相交，以及极限相交，那对应的速度就会成调和点列，那就有 p w q e。 所以这个题可以把我们课程里边很多内容串起来。调和点列 对吧？那调和点呢？我们讲到有很多种性质是吧？大家还记得这个对应的可以推哪些性质吧？就冲掉的应该是有六六大对 不是啊，大海印象有六大性质，我们可以看一下。好在我们的圆珠曲线十四大模型课的课程同步讲义里边的第二讲条条点列基础以及高考背景啊。那么这个地方是讲了有六大性质，这些我都给大家证明过了。那么这个能考到哪个性质啊？考到第二个性质，第二个这一个。然后这个地方有一个 我们对应的调到中向，看到吧，有个调到中向，也就说 a b， 刚好就是 a c 和 a 大的调和中下。好吧，有了这一点的话，我们其实就很好推刚才那个结论。刚刚那结论就是当你这个成挑点点之后，那你对应的会有个内分，就是 p， 这儿是就是 p w 就是内分，这儿分之一加上一个。 这个一点是外分嘛， p 一分之一，那就等于这个调到中向分之二，它这个是结论，但它这个地方啊，是可以通过它推到它的。然后我们就只是看答案，就是你看答案可以很快看出来。那这个是不是等价于的时候把 p q 乘过去 乘一个什么，这个乘过来是不是就刚好得到了这个 p 哒分支， p q 加上 p 一分之 pq 从高等于几等于二嘛。所以这道题答案就是二啊，就不用做了。当然这个只是看答案的一个方式是吧？啊，这个证明也非常简单啊，就是一个简单的线段变形就可以了。 好，那么这个就是利用我们的刚才讲的一个高观点去看他对我们课程里边从零开始给他讲，就他其实就是一点竞赛的 小知识，入门知识对吧，而且高考啊，和那那六个相关的啊，是特别容易出题的。那有了这个背景之后，我们要正这个式子，可以用哪些东西去写他呢？大家看一下就得这个玩意。这写的话，第一种方式啊， 大家肯定会想，哎，这个不就可以把它变成我们的长度笔吗？因为你这儿有 p q 笔上 p 搭嘛。然后它这儿大家看一个细节，斜率是不是给到了一个大于零的情况 有没有？呃，它的斜率的话，是不是有可能是在这边有可能这边有可能大于零小于零是吧？然后我们最开始的时候是可以直接的用这个比例去做它，就是我们过点 p 去做一条水水平线嘛， 来让大家看的更明白一点。主要水平线下来，然后这是做垂足，对，现在利用相似对吧，用坐标这个样子，然后这儿做个垂足下来。 对，这样的话就这样子看明白吧。那你的 p q 比上 p 大是不是就刚好就是我们的这个字，这个字其实就是 y q 减个 y 零是吧，因为它肯定在上方嘛，比上一个呃对应的上边这一节是吧？ p 大的话就这一节嘛，就是 y 大减个 y 零啊。加一个同理是不是。这儿 p q 的话是不是就是 y q 减 y 零， 然后比上一个 p e 的话，说一点，就是 y 一减个 y 零。好，然后这儿给它提出来，是不是就刚好是 y q 减 y 零。你可以先刷一下里边，里边这个整体就是 y 大减 y 零分之一， 加上一个 y 大哦， y 计算减完零分之一， 然后把这个给带进去去划算。因为你这儿直线是可以出来的， q 点坐标也是可以出来的。因为你直线 ab 是出来了， 这条线你设一个 k 出来就是单参对吧。 x 零 y 零当然是可以相消的嘛。但这样写的话是不是有一点麻烦，因为你会发觉分母这有个减 x 零。所以有同学讲老师，我可以把这个坐标往上提一个 y 零啊。其实这道题如果平行坐标系啊，计算量会小一点啊， 因为它算起来长度更，长度比更简单一点。对啊，这是第一种思路。第二个思路的话， 大家明显的会发觉，我们这个地方所有的长度是不是都是从 p 点出发的对吧？这个叫做定道交， 就是如果你求的是定点到焦点对应的长度相关。接二零二一新高考医院那个题也是对吧。那我们一般可以考虑参数方程， 你参数方程这个里边 t 的几个亿其实就是定到交的。一般是定到交吗？是吧？对，如果是原到交的话，就是几几坐标吗？对，这两个的话，在高考当中，新高考的话现在是没有了。对，但新高考的科学习题里边有这个东西， 他对应的一个提示啊，所以这个也是可以学，有余力的同学可以去学一下啊，因为他也不是超纲的那种。然后这儿的话，参数方面写起来是最舒服的。你看 我们假设过点就是 a 二三嘛，那对应的标准参数方式，我们把这个完整过程给他写一下。 x 等于 x 零，加上 t 倍科三因色差。然后这儿是 y 等于 y 零，加上 t 乘三 c 它对。然后这儿加上是 t 位参数。那所 t 的表达意义是不是刚好就是这个点到 p 点对应的这个距离啊，就 t 的绝对值相当于嘛。按我们这个地方的话，不管你斜率大于零，小于零的话，这个它这个对应的都是在上方就同向的。咱们这儿可以 t 的话，就表示它就可以了 啊，而且它这儿是对称的，我们可以设这个 kiss 大于零的是吧？不是一般性嘛， 就是 a 二三啊， k 三吧。啊，那有了这个辅助，那这道题就简单多了。 因为你这样抛线啊，写进去是不是连理起来，那就有 x 八，就是 x 零加上 t 乘以扩散其他的平方，减个二 y 零减 t 倍三一 c 它啊，这是一个二倍，刚好等于零。把它整理一下，关于 t 的一元二次好，我们把它整理出来，刚好可以得到一个 cosin c 它的平方， t 方加个二倍 x 零， cosin c 它减个二倍三一 c 它。 然后这二十 t 加个 x 零的平方，减二倍弯零的平方 啊，刚好是等于零的。然后把它整理过来。整理过来之后，我们对应的梯子是不是刚好是梯搭和梯一，这个梯搭加上梯一可以算刚好等于扩散色差的平方。就把尾搭先写出来嘛。啊，是不是就是二倍三色差 减二倍 x 零 call ten 最大。然后这儿的话这个刚好是 t 哒，乘以 t 减， 等于扩展这条平方分子 x 零的平方减二百万零的平方。啊。我们这个地方要正的这个式子啊，是不是应该把它写出来。其实要正的是哪个是定制区啊同学。是不是这儿就可以把它看成 p q 的话就是可以看成是 t q。 对，因为斜率我们这边摸着为真的比上一个什么 t 搭加上一个 t 一分之 t q， 而这个时候可以提一个 t q t q 出来。提 t q 的目的其实就是为了让后边变成对称。尾达就是 t 达分之一加 t 一分之一就 t 达乘以 t 一 分之。题答加题。所以这道题这个东西很多啊，就学的东西很多啊，你看他就变成这个样子，这就对称为答，等会就可以带进去。那带进去之后我们希望他是个定制。那这里边这个 这个变量太多了是吧？还有个 tq 不晓得。所以 tq 其实就是这条直线和我们 ab 直线的教练。 ab 直线。这需要写过程把它写出来啊。但是你看起来我这是直接可以写啊，是用了结论，但你过程必须自己去填补 对吧？我们课程里边讲了直线同够可以写，二次同够也可以写对吧。啊。然后走到这之后的话，你是不是要去算我们的 ab 来对应对应的这个焦点。抠嘛，抠点的话是不是就把这个带进去就可以了，就是 x 零加上 t 乘以扩散引写它啊。乘一个 x 零 加上一个 y 的话，就是 y 零啊。等于哈，这是等于等于 y 零加上 t 乘以 size 加 y 零，是不是这就二倍 y 零？所以这个 t 是可以算出来的。大家看见没有？这个 t 其实就是我们的 t q， 所以 t q 可以算出来，就刚好是 x 零的平方减二倍 y 零，除以个三亿色的减掉 x 零乘扩散色的 啊。那么样子是不是就坐像了？大家看到没有？基本上这个地方就要出来了。字嗯，得字的话，你看把它带进来，比如说我的 s 一比上 s 二加上 s 三比上 s 四， 是不刚好是等于这一坨，也是等于这一坨嘛。所以你把它带进来，是不是就刚好 tq 带进来，是不是也可以是零的平方减二倍 y 零？当然同学，如果你这不写这句话，也可以全部加上绝对值嘛， 对吧？加上绝对值之后带进去也是可以的。就是这儿是三一 c 塔 啊，然后这儿乘积呢，这个是不是应该是乘减，这儿是和，然后就是二倍三一舍塔减二倍 x 零， q 三一舍塔除以个 q 三一舍它平方，然后加乘以下边儿这个倒数嘛，有 q 三一舍塔的平方 除以个 x 零的平方减二倍 y 零的平方。对。那这样的话，你看能消掉的东西太多了啊，这个和这个干掉，然后这个和这个干掉，这个这个提个二出来，是不是约掉，是不是就只有一个二了，对吧？所以这个结果就是二看到没 好。那么第三个做法定位点，它就是可以做的，因为大家也知道，我们其实在给大家证明那个对应的几点极限里边这个配几法则的时候，其实就是用的 定笔点叉，所以 pk 两点他对应的关系存在这样特征。就咱们这也可以用定笔点叉去尝试一下。当然他肯定这个方法也不及我们的这个第二个方法好用，对吧？那么我们可以看一下。 嗯，这个点我们在前面给大家讲，就是有的时候就是你一个题做不来，可以用一些什么曲线系对吧？曲线系的话，因为在教材里边有这个直线系相关的是吧？还有圆系方程啊。这个是他的一点提示吧，但是这个稍微有点勉强，但这个参数方程就不同，因为参数方程刚好在 这个选择性必修一是吧？选择性必修一啊。新教材等六十八页，大家可以去看一下。这刚好是有这个提示的。你看吧。他所发现。因为新高考现在出题才几年，里边很多东西没剖出来，就是可能同学们平常研究的比较少对吧，我们平常 看的是这些犄角旮旯，全部看透了，看了很多哈。那所以这些东西他也可能成为出题点，因为即便你这个你没去探究发现，他也是有其他通法作为入口去做这种题的。所以我觉得这个高考他也是有机会啊上去的。所以如果你用差速方式做，这肯定是没问题的。看明白吧，这就是他的一个基本的点。 这个标准参数方程对看吧，参数方程看吧。这个提示给的很明显了。然后同样是在第八十九页的时候，大家可以看一下这个位置，在这个课习题里边第十题看到吧，这个不就是圆的参数方程吗， 对不对？这个其实就是把老教材里边选做的这个，把它放在新教材里边了，对吧？所以他是有参考的，明白吧，所以我们是学有余力啊。当然其实这 这个玩意学起来也非常简单啊。这直线参数方式的话，在我们圆锥曲线十四大模型课里边啊，最后一讲，因为这个玩意不懒，所以放到最后。那一般情况下你自己去学的话，基本上就三十分钟 到一个小时就能把它学透。还有一个再学一个 row 的几个亿有的极速标方程，大家可以学一下。嗯，相对来说参数方程更实用一点啊。那这里边我们牵涉讲到的其实就刚刚讲了几点极限，大家看到没有 啊？刚才去看就是埃及米的三角形那个玩意。那条点类的话，我们就从最基本的给他讲的这六大一阶性质，六大两大核心性质就是高考常考的。那这些操作看到吗？ 啊，刚刚那个阿吉米的三角形也有。呃，这个阿吉米的三角形我们讲到有十二大星子，就是一个是六大一般星子，一个是特殊情况下的六六大结论啊。这个阿吉米的三角形还是可可以成为 高考的出题点，最近老是出哈模考题，把这个点考出来也是可以接受的。然后直线同购，还有曲线二次同购啊，还有旋律启示化，有分式同购来看一下啊，就是我们这个是系统内容，就把我们的这些以高考为载体进行的一个 啊拓展啊，就是帮助你专门去突破压轴题的，真的就是看答案，然后默写过程啊，这样的操作啊。所以呢，时间很紧的情况之下，没有那么多时间去刷题或者看教材，研究教材对吧。我们系统的帮大家梳理好这些常考的啊，以高考为载体对吧。 好啊，大家可以。呃，如果对课程有需求的啊，或者需要练一下阿基米的三角形的啊，阿基米的三角形这个文档啊，练习可以发给大家。就是练习的文档可以发给大家啊。练习题啊，大家可以加上这个微信 啊，就是幺八二四四二三，幺二零九。好吧。呃，大家再下来自己再完善一下。这种题的话，还可以出很多的操作的。呃，它和面积相关吧，这是一种方式。另一种的话，它也可以把这个我们刚刚讲的这这个形式啊， 刚刚讲的那个就是分之二这个这个造型啊，分之二那个造型就 p 大分之一加 p 一分之一等于 p q 分之二是吧。它这个也可以换换了。然后也可以签收到其他的面积进来啊，比如这里面可以给这上面去找个终点来，也是可以操作的。所以它变现很多了。

调和点列第三集学了前面的内容，你是不是感觉极点极限只能用来解决定点问题？那你对黑化之后的调和点列一无所知，只需要略微出手就能一眼看穿答案。 尊都假都废话不多说，小本本拿出来 上节课。我们说过，对于调和线数 p a、 p m、 p b、 p m， 我们用线数中任意一条直线的平行线去结这组线数，得到三个焦点 e、 f、 g。 一定有 e f 等于 f g。 在此基础上，我们再增加一个条件，让 p m 垂直于 p m， 它的威力立马就会增大。这时三角形 e p m 和三角形 g p m 就是直角三角 角形了。结合 e、 f 等于 f， g、 p、 f 是公共边，这两个直角三角形就全等了对不对？于是就有角 apm 等于角 bpm。 那么现在我们就可以用调和线数解决角度问题了。我们康康这个性质怎么用？ 椭圆方程为二分之 a x 方加 y 方等于一， m 的坐标为二，零。过焦点 f 做直线交椭圆于 a、 b 两点，连接 a m b m， 证明角 o m a 等于 o m b。 我们先做出焦点 f 的极限，就是艾克斯等于二，正好经过 m 点，我们延长 ab 交极限于一点。于是 e、 a、 f b 成调和点列。我们把 m、 e、 m a、 m f、 m b 连起来，于是 m a、 m f、 m b 成调和线数。因为线数中的 m f 垂直于 m b。 根据刚刚学的知识，马上就得到角 oma 等于 omb。 我们再看一道最新的考题。 双曲线方程为 x 方减， y 方等于一， m 的坐标为一负一或 m。 做一条直线交双曲线，左右两只于 a、 b 两点。请问在直线 y 等于 x 减二上能否找到一点 p， 使得角 m p a 等于 m p b？ 通常题目中给出一个奇怪的点坐标时，我们都可以先做出他的极限。康康 m 的极限为 y， 等于负 x 加一。设直线 ab 和极限的交点为 n， 于是 amb 安成调和点列。我们把极 线 y 等于负艾克斯加一和直线 y 等于艾克斯减二的焦点记做 t t a、 t m、 t b t n 连起来。于是 t a t m、 t b、 t n 成条和线数。因为 t m 和 t n 一个斜率是一，一个斜率是负一，所以 t m 垂直于 t m， 所以角 m t a 等于 m t b。 所以 t 就是我们要找的 p。 点坐标为二分之三，负二分之一，即点。极限。可以解决的问题还有很多很多，当然也不是都这么简单。我的作用就是尽量让你无痛学习 这些技能。如果你喜欢我，欢迎关注我，带你解锁更多高阶技能。

如图， abcd 是条点列，这有他们的胶笔呢。 abcd 是等于负一的， 由胶笔可以推出。第三点。知识点就分割点分线段成比例。第三点可以推出导出第四点。 a 七分之一，加 ad 分之一是等于 ab 一分之二的， 得到 ac 分之一，加 ad 分之一等于 ab 分之二。扩手 db 分之一，加 da 分之一是等于 dc 分之二的。以 ab 为直径做圆，圆心为欧轴，有阿方等于 oc 乘于 od， 也是可以由第三点退出来。那么这个圆呢？就叫做关于定点 cd 的啊。是圆 有三个重要的特征，一个是角， app 等于九度， pb 是角不用线，还有两个相似三角形。第七点呢，是两个线段， ab 线段也 cd 线段的一个成绩关系。 第八点呢，是割点到现在 ab 的距离成绩的关系。