柯西积分公式搞笑

啊啊 nice 咋的了？九卷了啊。哦哦最后一道大题你多少？能不能别对答案了，我用的科技积分公式差一点时间不够了 哇。哎呀呀来他我去你也得这个我绝了我你是不没完了。行行行选择题 a c a b c a d 来他。哎呦我 这次考试令我很失望啊老师最后一题得零点五，我想二分之一对吗？最后那么道一大大题那么大一题就一个人对就一个人对 nice 又让他撞死了让我看看是谁来。 哦哦马比德喔喔嘶 又咋的了最后一道大题就你对了哇哇来啦。

咋的了？这道题是不是出错了？这道题是不是出错了？ 哎呀，别管他了，没关上咱俩就不错了。我用的大学公式，结果还不对。我去，他咋那么能装呢， 自从他来我都没睡成一节好条， nice。 我 去，这题竟然还得用科西积分公式。哇塞，干啥，你俩能不能小点声，都影响我用科西积分公式了。 去去去，你俩上外站去，别影响他那好同学学习。这个爹呀， 不是爱装逼。你啥意思啊，艾特一下就干哈，老师那爱装逼？行行行，没跟我搭理你，咱们作业有道题错了啊，给大家改一下。 干啦， 学习好你也不能带手机呀。老师，你听我解释，老师， nice。

今天我们要聊一聊负积分理论里面的科西积分定律和科西积分公式，以及这两个东西如何解释了解析函数的局部和整体性质之间的深刻联系。没错没错，这两个定律真的是整个负分析的核心，那我们就直接开始吧。我们先来说说路径积分， 这是为什么我们要在负平面上面定义路径积分，它和我们熟悉的十积分到底有什么本质上的差别？负平面上的路径积分其实就是把我们十轴上的积分推广到了负平面上的一条曲线， 它的定义是这样的，假设我们有一条光滑的曲线伽玛，它是一个从 a 到 b 的 一个映射，然后呢，我们在这个曲线上定义一个连续的函数 f， 那这个路径积分就可以写成从 a 到 b 对 f。 关于伽玛求导再乘以伽玛的导数的积分，听起来形式上和十积分挺像的，但是我想这个里面应该有很多不一样的几何意义吧？对，完全没错，就是十积分，它其实是在数轴上的一个区间上面进行的，结果一定是一个实数， 而且它的方向是固定的。对，但是负积分它是沿着负平面上的一条曲线，结果一般是一个负数，而且你可以有各种不同的路径， 所以它要比十积分要灵活的多，也复杂的多。确实，那路径积分它有哪些基本的性质是我们需要知道的。路径积分它满足三条基本的性质，第一个是限性性， 就比如说你有两个函数 f 和 g， 然后你有两个常数 a 和 b， 那 你对 a、 f 加 b、 g 做路径积分，就等于 a 乘以 f 的 路径积分，加上 b 乘以 g 的 路径积分。 第二个是方向敏感性，就是如果你把你的积分路径反过来，那你的积分值就会变成原来的相反数。 第三个是路径可加性，就是如果你把你的路径分成两段，那你整个的积分就等于这两段积分的和。明白了，那这些性质在具体计算或者估计路径积分的时候会有什么用呢？这些性质结合起来威力特别大。 比如说我们有一个非常重要的不等式，叫做 ml 不 等式，嗯，他说的是你这个函数 f 沿着路径伽马的积分的模是小于等于 m 乘以 l 的， 其中 m 是 在伽马上面 f 的 模的一个上界，然后 l 是 伽马的长度。 哦，这个东西就非常厉害，你用它就可以去估记很多积分的值，而且它是我们后面很多重要定律。嗯， 我想问一下，这个定律他到底是说什么？然后他的数学表达式又是什么？克西积分定律，也叫克西古萨定律，他说的是如果一个函数 f 在 一个单离通区域地内是结系的， 然后你在这个地里面随便取一条闭合的曲线伽马，那 f 沿着伽马的积分一定等于零。哦，他的数学表达就是这样的， f 沿着伽马的积分等于零。哎，这个定律有什么直观的解释或者说几何意义吗？有啊，就是你可以把它想象成 你在一个解析函数的这个世界里面，沿着任何一条闭合的路径走一圈，你最后得到的这个净效应永远都是零哦， 就好像你没有做功一样，你就回到了原点，听起来真的很神奇啊，那柯西积分定律在计算积分的时候到底能带来多大的方便呢？它最大的威力就是你面对一个解析函数的闭合路径积分的时候，你根本不用去算， 你直接就可以写出答案是零。哇，这个比你在十分信里面要算，比如从零到二派 cosine theta 的 积分， 你还要去算原函数，然后再带入上下限，要简单太多了。这么说的话，解析函数的这个积分性质比实函数要好很多啊。对，这其实背后的原因就是因为解析函数它满足科西离曼方程， 这个方程就保证了 f d z， 它是一个恰当的微分形式，所以它沿着闭合路径的积分一定是零。 ok， 我 们接下来要讲的就是科西积分公司了 啊，这个公式一直被称为是负分析的精髓啊。我特别想知道这个公式它到底是怎么把一个解析函数在区域内部的值和它在边界上的值联系起来的？ 克息积分公式，它是说，假如你有一个函数 f 在 一条闭合曲线伽马上及其内部是解析的，然后 a 是 这个伽马内部的任意点， 那么这个函数在 a 点的值可以通过一个积分来表示，就是 fa 等于二派 i 分 之一乘以 f， z 除以 z 减 a 沿着伽马的积分。这看起来真的很神奇，你能再解释一下它的意义吗？当然可以，就你看这个公式的左边，它是函数在内部一点 a 的 值， 然后右边呢？它完全是由函数在边界干马上的值决定的。嗯，换句话说，你只要知道了这个函数在区域边界上的信息，你就可以知道它在里面每一点的信息 哇，这就像是你通过测量一个房间所有墙壁的温度，就能精确计算出房间内任意一点的温度一样，这真的是让人大开眼界啊。那科西积分公式到底有哪些让人惊叹的应用呢？比如说刘维尔定律，它的证明就只有一行 啊，他是说有界的整函数一定是常数。这个定律的证明关键就在于柯西积分公式 还有代数基本定律也是可以用柯西积分公式来证明的，他是说任何一个非零次的负系数多项式一定有负根。 嗯，这两个结果都是负分析里面的经典结论，科西积分公司居然能推出这么深刻的结果，那我想问一下，在十分析里面有类似的结论吗？其实没有。十分析里面你看正弦函数它是有界的，而且不是常数，但是在负平面上面，正弦函数它是无界的 哦，这就是负分析和实分析里面非常不一样的地方。确实，我们下面来说说最大魔原理。嗯，这个原理到底说了什么？然后他在求函数的最大值的时候到底有多好用？最大魔原理是说，假如你有一个函数 f 在 某个区域 d 内是解析的，而且它不是一个常数， 那这个函数的模长是不可能在 d 的 内部取到最大值的哦，也就是说，它的最大值一定是在这个区域的边界上取到。听起来像是一个专门用来找最值的定理啊。没错没错，比如说你要求这个 c 的 平方加一在这个单位圆盘上面的最大值，你根本不用去管，它的内部你只要去看这个边界，就是让这个 z 等于 e 的 i 乘 c 它四方，然后你把它带进去之后， 经过一些计算，你会发现它的模长就是二倍的 cosine theta 的 绝对值，嗯，然后你马上就能看出来它的最大值是二， 而且这个最大值是在一和负一处取到的。好的，我还想问一下解析函数的平均垂性质，嗯，这个东西到底是怎么说的？它和最大模原理之间又有什么联系？平均值性质是说，假如你有一个函数 f 在 这个圆盘 z 减 a 的 模小于等于 r 上面是解析的， 那这个函数在圆心 a 处的值就等于它在这个圆周上面的平均值。哦，它的公式是这样的， fa 等于二派分之一乘以 从零到二派对 f。 关于 a 加上 r 乘以 e 的 i 乘 cot 次方的积分，这个公式真的是非常的对称，非常的漂亮。那它的几何意义是不是也很直观？对，它的几何意义就是说这个函数在圆心处的值是被它的圆周上的值民主决定的， 就他是一个真正的平均值。然后这也解释了为什么最大魔原理是对的，因为假如你在内部有一个点，他取到了最大值，那他作为周围点的平均值，他必须要等于周围所有点的值。 嗯，所以这个函数就只能是一个常数。原来这些定律之间有这么紧密的联系啊。是啊，你看，我们从这个路径积分开始，一步一步的推出来克西积分公式，然后克西不等式 刘维尔定律平均值性质，最后到这个最大摩原理，这整个的过程是环环相扣的，而且每一步都依赖于上一步。嗯嗯，他是一个非常完美的逻辑链， 这也是负分析的理论为什么这么优美的原因。好的，我们最后来讨论一下，就是负积分理论到底解释了解析函数的哪些内在的本质， 然后他在整个数学的体系里面到底有什么样的意义？负积分理论其实他最核心的就是告诉我们解析函数的局部性质和局性质是有着非常惊人的联系的， 就你只要知道他在一个小的区域里面的性态，你就可以推出他在整个区域上面的性态哇，而且他的内部的值和他的边界上的值也是互相决定的， 这种深刻的联系是解析函数特有的，而且在实分析里面是完全找不到的类似的东西。所以这就是为什么负分析会被很多人认为是数学里面最美的分支之一。对，没错，就整个负分析，它就是这样一个 有几条非常简洁的公里出发，然后通过非常严密的逻辑推理，最后构建出的一座理论大厦，而且它里面的每一个结论都是那么的深刻，那么的优美。嗯，所以我们说它是数学里面的一颗明珠，真的是一点都不夸张。

各位，科西不等式啊，简直是太好用了啊，这么复杂的一个式子啊，只要一个公式就可以秒了，不相信我们来看一下啊，说，求五倍根号 x 减一，加根号下九减二， k 二 x 最小最大值啊！ 这个题很复杂啊，用其他方法，但是用科西不等式，一下就秒了，科西不等式长什么样子， 他说什么呢？科西发明的不等式啊，他说 a 平方加 b 平方乘上 c 平方加 d 平方，它是大于等于什么？ a， c 加 b， d 括起来的平方， 就说 a 和 c 结合一下， b 和 d 结合一下啊，加起来的平方公式很好记啊，那这这个公式怎么用呢？各位，你看了没有，这是不是两个啊？这两个式子能不能看成 a c 和 b d 啊？ a 我 能不能看成五，你看 a 是 不是五， c 是 多少， c 是 不是根号 x 减一， b 是 不是他的系数，他的系数是不是一啊？ d 呢？我可不可以看着他，他不是小于等于这么一大坨吗？直接代入公式就可以了啊，但是注意观察了啊，这个式子要进行变形，怎么变形？各位， 你得让 c 平方加 d 平方是个定值，就说这个家伙的平方和这个家伙的平方，他是一个定值， x 得消掉，所以说要变形，怎么变形？各位注意了啊，你看我怎么变形的啊， 这个五倍根号 x 减一，我可以变成什么？五倍的根号二 x 减二，再除上二。 哎，有同学问，为什么要变成这个样子，这有个二 x， 你 看这有个负二 x， 这样的话，各位注意啦，你看我再加上根号 九减二 x， 发现个问题没有，这有个负二 x， 这有个二 x 是 不是能消掉呀？但是下面这个分母啊，我得提出来放到外边啊，放到外边这一步能不能看明白？ 就是我把二这个分母放到外边，这样的话，你看这么一坨啊，他就是 c 的 平方， 这么一坨呢，就是 d 的 平方，然后这个系数是一好，他应该小于等于多少呢？你看根据这个公式啊，他是不是 a 啊，这是 a， 这是谁？这是 c， 这个一是 b， 这个是 d， 对 不对？它小于等于多少？ a 平方加 b 平方， a 平方不就它的平方吗？它的平方是多少？ a 的 平方是不是二分之二十五呀？ 下面平方，上面也平方加 b 平方，你看 a 平方加 b 平方， b 平方不就一的平方吗？对不对？乘上 c 平方加 d 平方， c 平方不就是根号里边这个东西吗？ d 平方呢？就是他呀，他的平方加他的平方，消掉了。九减二是不等于七啊，没了，你看这是多少？二分之二十七 再乘上七，对不对？所以说啊，这个方法必须得学会啊，最后给大家推荐一套书啊，这套书呢叫初中数学亚洲体里边有几何的，有函数的啊， 都是中考常见的体型啊，难度都比较大，但是会的方法也很简单，所以说平常这些难题啊，一定要多练啊各位。

告诉我是不是啊？啊，对，多简单呢，不就代入吗？啊， look in my s。 爸，这道题你会吗？太简单啊，爸不会做呀，你咋总不会呢？因为我教你的那个科西不等式吗？哦， 没记住啊，那可事吗？太笨，我教你吧。嗯，管号 a 的 平方加 b 的 平方。 成语， c 的 平方加 d 的 平方，它是不是方和 g？ 哦， 它是不是大于等于 g 和 f？ 它大于等于 g 和方， g 和方是这种形式。哦，括号 ac 加 b， d 的 平方，是不是？啊？对对，我想起来了， 带入呗。啊，把五 x 和二 i 带入， 这回 a 就 等于五， c 就 等于 x， b 就 等于二， d 就 等于 y， 是 不是，快点告诉我是不是啊？啊，对，多简单啊，不就带入吗？是不是？ 那爸爸问你，五的平方是多少？二十五，五的平方是不是二十五？ 那二的平方呢？二的平方是四，二的平方是不是四？对，二十五加四等于多少？二十九对，它等于二十九。 那爸爸， c 是 不是等于 x， 对 d 是 不是等于 y？ 嗯，他不就是一个调的吗？就一个调的吗？一个调来的。对，它就等于三， 二十九乘以三等于多少？二十九乘以三，三九，二十七，进二十，快点。爸爸，对，八十七， 因为这有一个平方，所以我们要加一个开根号，是不是啊？所以这这题不就等于开根线的八十七吗？这样老简单了，是不是啊， 是不是很简单？嘿，笨，下课。

注意看，这是自然指数函数，他在分析学中有着最为重要的地位，其原因就在于他的导数就是他自己。那既然他的导数就是自己，那也就意味着能够通过求导得到这个函数的原函数也仍然是他自己，所以他的不定积分也是他自己。 那如果我们在变量 x 上再加上一个系数呢？他的不定积分就是这个样子的。这个逻辑很简单，因为如果我们对这个式子求导，就会得到我们的原式。 好，现在我们来看一个复杂一点的，如果我们要求这样一个纪分式呢？这个问题可并不是随便问的哦。这是在十九世纪初，南岛数学界的一道历史名题，在很长一段时间里，没有人知道答案。直到一八二一年，一位名叫弗洛拉尼的意大利数学家在写给他朋友的一封信里给出了一个巧妙的答案， 本视频归属于合集微积分之美。这个合集的部分内容将选自我本人的新书微积分之美，伟大的定力和天才的数学思维。这本书专注于硬核数学科普，它将由机械工业出版社出版，会在今年的上半年正式发布。这里先做一个预告，好让我们继续。 这个积分式看上去怪怪的，他很重要吗？很重要。我们在学积分的时候呢，已经很熟悉求积分的两种方式，一种是直接用定义来求，也就是求离曼和的极限。另一种呢，是用微积分基本定律，也就是先求圆函数。 但是这个公式很有意思，他既没有求极限，也没有用圆函数，我们待会就会看到，他其实是用函数的两个特值来求积分值。哎，你这么一说还真是，如果这个就让你很惊讶的话，那么到了负分析里面的留数定例，你会更加惊讶， 因为留数定例正好反过来，他说的是我们用积分可以求函数的特值，所以积分和特值和积分之间一定存在着某种奇妙的联系。 不过今天我们就先不拓展到负分析范围了啊，我们来看看弗鲁拉尼是怎么得到这个公式的。在十九世纪初期，微积分严格化运动还没有启动，所以用现代的眼光来看，那时候的数学研究处处都是脑洞大开，处处都是直觉的闪光。 比如弗鲁拉尼在证明这个式子时，只是非常随意的先给出了一个更一般化的公式，也就是这个。 这个后来就被称为弗鲁拉尼积分。弗鲁拉尼说啊，兄弟们，如果我们要求这样一个积分，那么我们不需要求原函数，而只要求函数的两个特值就行了，也就是零和无穷大数的函数值。比如，如果函数是带负系数的自然指数函数，那么左边积分式就会变成这个样子。 我们只需要计算出 x 在 零和无穷大处的特值，当 x 趋于零时，函数值就趋于一，当 x 趋于无穷大时，函数值就趋零，所以我们就得到负的平方 b 分 之 a。 根据指数的运算法则，负的平方 b 分 之 a 就 等于平方 a 分 之 b。 正 b 不是问题，是你的前提条件到底是怎么来的？为什么前面这个积愤事能够成立？弗洛拉尼说了，这个异症，什么叫异症？你这不是来捣乱的吗？你这个想法很正常啊。 实际上当时的数学界呢，也是这么认为的，因为弗洛拉尼的真实身份呢，是一位工程师，他在数学界不算是太有名气，所以当时其他的数学家呢，也都认为他纯粹就是在瞎搞，所以也没当回事。 直到我们的科西大神也看到了这个问题。科西首先看到的是这个式子，这个式子在工程数学中非常的重要，因为它可以用来计算差值积分。于是科西心想，要么我先来证明一下这个式子呗。 首先让我们来看看被积函数，它可以拆分成这样，嗯，减数和被减数在形式上是一模一样的，而且我们可以用求导计算来得到这种形式的函数。比如，如果我们在这样一个函数上对参数 t 求导，那么实际上就是把 x 看成是系数，而把 t 看成是自变量，它的导数就是这样的。 所以如果我们要让导数就是 e 的 t x 次方的话，就需要在原函数里把 x 除掉。于是乎，被积函数的原函数其实就是这样子的。嗯，这种形式本身不就是个定积分吗？于是我们把原积分式转换成了一个双重积分。嗯，可惜，心想事情变得有意思起来 来。因为我们假设函数是收敛的，所以可以交换一下积分次序，那么括号里面的积分就是这样喽。 哎，这确实是零和无穷大的两个特质。于是括号里面的积分就直接变成了 t 分 之一， 然后我们再计算外层的积分，这个就很简单了， t 分 之一的圆函数，那就是圆 t 喽，直接把上下界带入到圆函数再相减，最后因为圆可以把减法变成除法，最终我们就得到了圆 a 分 之 b。 哎，看起来这个弗鲁拉尼的直觉并没有错 哦，我大致明白了，这种函数差的形式总是可以转换为定积分的形式，所以我们可以把它一般化。没错，这也正是科西大神接下去要做的事情。我们一起来看看科西大神是怎么证明一般化的公式的。 在证明了自然指数函数的特例之后，科西进一步把目光锁定在了弗鲁拉尼公式本身。这是个高度抽象化的公式，我们连这个 f x 到底是个什么函数也不清楚，这种高度抽象化的问题在科西之前简直让人无从下手。但是我们的科西大神又岂是一般人？ 他在想，别的先不说，至少从这个式子里，我们可以确定一件事情，那就是函数的参数总是以乘积的形式出现。一般人看到这种形式的第一反应就是， a 和 b 是 系数， x 是 自变量。但我们说了，科西大神可不是一般人， 他说了，既然这里一会是 a， 一 会又是 b， 那 我们把它也当成是变量好嘞，比如把 a 和 b 看成是变量 y 的 两个特值，这样之前的函数就变成了一个二元函数 f x y。 注意了，二元函数的通用形式本来应该是这样的，就是 x 和 y 可以 以任意的形式出现，但在我们的公式里，只使用了二元函数的一种特殊形式，也就是 x y 以乘积的形式出现。那么我们来看看这个一般和特殊之间到底有什么联系？ 现在我们在等式右边使用换元法，使 u 等于 x y， 那 么当我们对 g 函数求 x 的 偏导时，右边就应该套用列式法则，也就是 f u 的 导数再乘以 u 对 x 求偏导，那也就是 y。 一下下我们就得到这么个式子。 同样的逻辑，如果我们换成对 y 求偏导，那么就可以得到这么个式子。于是我们可以把两个式子的右边又串起来，再得到一个等式，也就是这么个式子。 好了，这是我们待会要用到的一个工具。现在我们来看看这个积分式。首先我们把 x y 独立出来，那么剩下一个函数差 来，我们把函数差写成上下界的形式，就是这样。嗯，很明显，我们可以把 f、 x， y 看成是一个圆函数，那么它的积分形式就是这样。我们把积分形式带入到圆积分式里面去，于是我们得到了一个双重积分，我们把 x 分 之一调换一下位置，变成这个样子。 然后再把 f、 x， y 换成我们前面构建的二元函数 g x， y， 并且直接简写成 g。 好 了，这一部分就是我们刚才求导所得，它可以替换成这样。接下来交换一下积分次序， 把 y 分 之一写到外层积分里面去。好了，让我们把内层积分再写成函数差的形式。还记得我们构建的 g 函数就等于 f、 x、 y 吗？所以括号里面就是 f 无穷大，减去 f 零。提到积分之外， 再求外乘积分，那就是圆 a 减去圆 b 喽，那也就是圆 b 分 之 a 正 b。 好 了，今天我们就到这里，我们下集再见，拜拜！

来了来了来了，他来了，我今天准备讲一下这个科西不等式是怎么退的。哦， 来，我们先写出科西不等式这个公式。好的啊，对，没错，就是我们的方和积大于等于积和方。 那接下来的证明过程呢？我还是采用竖形结合的方式来向大家展现。我们先来画一个以 a b 为两边的直角三角形，这样我们可以用勾股定律求出我们的斜边。行行行，然后第一个三角形扩大 c 倍， 第二个三角形扩大 d 倍，我们就可以得到两个相似三角形，然后分别得出每条边的数据。 ok， 好， 我们上课记直接复制吧，我不想画了，哎，这位小姐。然后我们就可以很轻松的证明中间的这一块是一个直角三角形，然后和这两个小的三角形为相似三角形， 我们就可以把数据分别标上去了。好棒呀！接下来就是进行中间这个直角三角形斜边的计算啦，我们可以根据旁边两个小三角形的斜边，然后来算出我们这个大三角形的斜边。 对，没错，还是勾股定律，我们用一个算式把它给表示出来，真不错，然后我们就发现了这个图，其实我们可以观察出这个斜边的最小值，也就是它与我们这个底 a c 加 b d 平行的时候就会有最小值。对，现在就是这个科西不等式的粗糙版本。对， 来，我们现在搞下精装修，给他两边同时平方一下。对，现在就能得到科西不等式的完整体了。对，干什么拿这比较简单的呀。

如何做得到吗？ 如果我说错了， 那你又为何垂头丧气抱怨现在的生活不快乐？ 又如何做得到吗？