二重积分被积函数与积分区域的关系

积分区域，关于原点对称的二重积分，现在我们看一道把二重积分的对称性用到极致的题目，那我们平时用的最多的对一个二重积分来说，可能是基友对称性或者是轮换对称性。但其实的话呢，当一个积分区域关于原点对称的时候，我们也可以用对称性啊，平时用的是关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，或者关于 y 等于 x 对称。 如果区域关圆点对称，他也是有对称性的，那这道题的话呢？积分区域您看一下，是一个圆心在圆点半径是一的圆域，那 x 乘 y 大于等于零，说白了就是 x y 同号啊，说明这个圆域在第一象限和第三象限的部分。所以第一步咱们先画积分区域的草图解 这个积分区的话呢，就是单位圆在一三象限的部分，所以那就是有这一块，还有这一块积分区划出来，同学让我们计算这个二重积分，这个二重积分的话，同学您发现啊，这一块的话呢，带变量 sy， 所以咱们可以把它从中间这拆成两项，圆是 i， 不就可以写成 区 d， 一比上这个位置是一加 x 方加外方 d x d y 加上一个区 d 上，这是一个 x 减 y 比上一加 x 方加外方 d x y 吗？拆成两个以后，同学我们先来看这个第二部分， 咱们的积分区地虽然不关于 x 轴对称，虽然不关于 y 的对称，但是首先它关于直线 y 等于 x 对称呀，是不是有区地上 f x y 的二重积分，等于区地上 f y x 的二重积分呀？这不叫轮换对称性吗？ 所以对这个第二部分来说，本来是区地上 x 减 y， 比上一加 x 方加外方 d x y， 那就等于区地上 我们把 x y 轮一下，那么这个位置叫一个 f x y， 那我们轮成 f， 谁呀？ y x 呀？那一轮什么 x y 要交换，那这个位置变成一个 y 减 x， 比上一加 x 方加 y 方， 这样一个二重积分，他俩是相等的，说明其中的一个就等于二分之一倍的，他俩相加呀，说明等于二分之一倍的，他们两个相加，相加分母是一样的，分母是一加 x 方加外方分子，相加 x 减外加外减 xdxy。 同学，分子，这不成零了吗？ 什么？后面这块不用算了，根据轮换对称性，他就是一个零。那么接下来我们来看前边这一块，我说老师，前面这块是不是该老老实实算了？前边这一块的倍级函数，关于 x， 关于 y， 他都是偶函数啊。如果你要直接算的话，同学，你发现你俩区域没挨着呀，没有挨着，说明你要真正的直接算，要分两块来算。第一部分啊，零到二分之派算一次， 然后呢？派到二分之三派，你再算一次，那这个就变成俩题的计算量了，因为他的区间区域是不一样的，所以直接算能做吗？肯定能做，但是那就慢了，接下来你再用轮换对称性化解不了了，咱们这个区域除了关于直线外的，你 f 对称，他是不是还 关于圆点是对称的呀？就整个这一块和这一块，这不关于圆点对称吗？关于圆点对称，咱们有关于圆点对称的结论呀，如果区地关于圆点对称，那么这时候则咱们这个二重积分区地上 f x y d x y 这个二重积分就等于什么呢？那就说如果把 x 换成负 x， y 换成负 y， 它刚好等于负的。原来的 f x y 就是把 x 换成负 x， y 呢，也换成负 y， 结果这个函数值跟原来是混相反数的，这叫关于 x y 总的来说是积的。这题不用做了，是零。那如果关于 x y 总的是偶函数，那就是把 x 换成负 x， y 换成负 y， 它还等于谁呀？ f x y， 你把 s 换负 s y 或者负 y， 这个函数表达是不变，这叫关于 s y 总的是偶的，那就等于二倍的一半的区域上他的二重积分就行了。这一半你不是关于圆点对称吗？可以是上 上面这一半，可是下面这一半都可以啊。那同学您看一下我们这个区域，它就关于圆脸对称呀。您这一块和这一块关于圆脸对称，而我们这个倍级函数，你把 x 换成负 x， 你把 y 换成负 y， 它表达是变吗？不变。是不是？关于 xy， 总的来说是偶的，那总的来说是偶的，就变成二倍的一半了吗？ 所以这个题就会变成二倍的一半，您可以要这一半，也可以要这一半，都是 ok 的。当然我一般情况下要上边比较方便一点啊，把这个叫第一，所以第一上一加 x 方加外方分之一 d f d y， 那接下来纯粹的第一上的这个二重积分，显然这么极坐标系非常好做吗？所以我们改一下角度，是零到二分之派 dc 踏 奇径是零到一，这就是一个一加 r 方分之一 r d r， 最终结果我们把它算开以后是二分之派位的烙印二，所以你看你用了一下这个关于原点的对称性，它的计算量就会更小。当然这个题也用到了什么呀？轮换对称性，把后边这一块呢干成零了，所以我说这个题的话呢，把对称性用的是非常的充分的，那么这道题你学会了吗？

比如说历史三，注意这开始变花样，那么二中结婚变花样能变出来什么花样？那一种呢？就是这个地方被接函数代绝对值， 那这个时候处理的时候，跟我们一元定期分一样，那个方式分区间拿掉绝对值，这就是分区域拿掉绝对值，那么大家看他的区域是谁啊？是一个正方形分区。从哪分？从绝对值里边等于零分， 那么绝对是等里边等于零，就是个单位圆啊。哦，本来是正方形，用这里边等于零， x 方加外方等于一 这个圆弧，把这个去就分成两个部分，为什么要拿它分？因为在这两个部分上，绝对的里边是保持很 定的符号。我好拿掉绝对值啊，那你得确定在第一上绝对值里边是正还是负啊？在这个里边，显然里边是绝对值里边是负的， 在这个上是正的，正的上直接拿掉绝对值，负的上拿掉绝对值得加括号，所以把它写成 第一上的积分，因为绝对值里边负的，拿掉绝对值加符号。一，减 x 方减外方， 第二块区域上第二上，人家绝对值里面是正的，直接拿到绝对值，这就叫分区域拿到绝对值，这处理带绝对值积分的一个最关键的一步。 然后完了以后分别算这两个结分，大家看看在第一上就是这个四分之一圆上， 不管从被介函数还是七分域都很适合用谁啊？集坐标，这就没说的，绝对是集坐标，但是对外面这个区域呢？要说这个被介函数适合用集坐标， 那你要用基座标算可以不可以？但是你注意你的二在这是从他到这个直线，在这是从他到这个，你看得分两块 就很啰嗦，直角坐标更啰嗦。那咋办呢？这个是注意这一块不好算，直接算，不好算，那采取一种迂回的方法。 哎，那他直这个上直接算，不好算，我就算他这个倍的函数在整个正方形减去谁啊？第一上的几，就一种迂回的办法。 所以呢，这个时候注意，第一项不动这一项积分，在第二上积分就等于他在地上积分减去他在第一上的积分。然后这个时候你就发现这一项和这一项用这个符号拿进去，这两项是一样的， 那最后就写成二倍的他加上这个积分。注意，这个呢，我们刚才说了，不管从被积函数还是积分域都很适合几坐标，没说的用几坐标， 现在这个呢，飞机函数很适合几坐标，但这个基本也是正方形，适合谁？直角坐标，那这个当然用直角坐标算非常方便， 所以这个用几组标算，这个用直角的标算，分别算，立马就能得到答案。那 啊，这个呢？第一个，你看这个用几坐标算很好算，这个正方形用直角坐标算也非常好算，那这个算的过程我们就不在这看了。所以这种带有绝对值的积分，第一步就是分区域拿掉绝对值， 然后一般情况下分成两个积分，一个好算，一个不好算，不好算。那个一般不去硬算，用减法 啊，用它在整个区域上积分减去另外一个区域上的积分，这是这种题目共有的一个特点。好，这是一种变化，要被这函数出现，谁啊？绝对值。