rad弧度制与角度制的换算公式

以前我们用角度来度量角，比如一个角等于四十五度。其实咱还能用弧度来度量角。那什么是弧度呢？ 人们规定，在一个圆里，长度等于半径长的圆弧，他所对的圆心角二法就是一弧度的角。我再说一遍，长度等于半径长的圆弧，他所对的圆心角二法就是一弧度的角。像这样，以弧度为单位来度两角，就是弧度。至啦， 弧度还可以这么写，写成一弧度。通常弧度的单位可以省略，也就是一。比如你看到角贝塔等于三，其实就是三弧度。有了弧度后，你就有两种方式来度量角，比如零角可以是零度，也可以是零弧度或者零。只要有度，这个单位就是角度，没有单位其实就是弧度，只是被省略了而已。 认识弧度，我再来讲讲弧度与角度的相互换算。这还得从这个圆开始讲起。一弧度的角对应的圆 胡长为半径二。我们知道这个角和周角的笔直，就等于这个胡长和整个圆周长的笔直。写成算式，就是一笔周角等于二，比圆周长，咱可以把周角的弧度数设为 x， 而圆周长等于二派二。 接着来解 x， 你看这两个 r 刚好约掉，所以 x 就等于二派，这个二派就是周角的弧度数了。又因为周角的度数是三百六十度，于是二派就等于三百六十度，也就是派等于一百八十度。这就是角度和弧度的关系，有了这关系，角度就能换成弧度。 比如五百四十度，根据派等于一百八十度，五百四十度正好等于三个一百八十度，一个一百八十度是派，所以五百四十度等于三派。你看只要算出角度里有几个一百八十度就等于几派，这样就转化成弧度了。在 试试六十度，他有几个一百八十度呢？用六十度除以一百八十度就行，等于三分之一，所以六十度等于三分之一乘一百八十度。一百八十度等于派，所以等于三分之一乘派，也就是三分之派。 刚才都是正的，那如果是负的呢？比如负一百三十五度，方法一样，用它除以一百八十度，等于负四分之三，所以负一百三十五度，等于负四分之三乘一百八十度。一百八十度等于派，就等于负四分之三派。 所以度数是负的，是负角时，对应弧度也是负的，有时候还会出现不整的度数，比如一百五十七度，三十分，看这三十分得先换成度才行。六十分等于一度，那三十分就是半度，所以这个就是一百五十七点五度。接着用老办法把它除以一百八 八十度，等于八分之七，也就是八分之七乘一百八十度，也就是八分之七派。搞定了。像这样把角度转化成弧度时，可以把角度除以一百八十度，算算有几个一百八十度就等于级派。 这个会了，咱再说说弧度转化成角度，比如四派，也就是四个派吗？根据派等于一百八十度，也就等于四个一百八十度，得七百二十度。看来弧度数里有几个派，就等于几个一百八十度，这样就转化成角度了。 再比如二分之三派，派等于一百八十度，那就等于二分之三乘一百八十度，结果得二百七十度。 这两个例子都能直接看出有几个派，有时候弧度里没有派，比如三分之四，这回就得算算有几个派了。用三分之四除以派等于三派分之四， 三分之四就等于三派分之四成派派等于一百八十度，所以等于三派分之四乘一百八十度，也就是派分之二百四十度，这样就转化好了。最后来试个负的，比如负二，用负二除以派等于负派分之二， 所以负二等于负派分之二成派，也就等于负派分之二乘一百八十度，也就是负派分之三百六十度。 通过这些例子不难看出，根据派等于一百八十度角度转化成弧度时，算算角度里有几个一百八十度就是己派弧度转化成角度时呢，就得算有几个派，就是几个一百八十度了。 其中转化前后正负是保持一致的。要注意的是，角度和弧度不能混在一起用。比如六十度加 k 乘三百六十度，你可以写成三方之派加 k 乘二派，但要是写成六十度加 k 乘二派，那就完蛋了。 如果我进一步问你，叫阿尔法等于二，他在第几象限，你会判断吗？看坐标器以前的象限范围都是角度表示的，可以先把他们换成弧度。零度就等于零九十度，等于二分之一个一百八十度，也就是二分之派一百八十度，就等于派 二百七十度，等于二分之三个一百八十度，也就是二分之三派三百六十度等于二派，那二在哪个范围呢？想一想，派约为三点一四，二分之派就约为一点五七，所以二在二分之派和派之间，也就是第二项线。 像这样要判断弧度的象限，可以先把象限范围换成弧度，然后再来判断。好了。回顾刚才的内容，关键就是记住，派等于一百八十度，角度转换为弧度时，要算算角度里有几个。一百八十度，也就是己派，弧度转换为角度时，就算算有几个派，也就。

好的，我们来看一下弧度制，弧度角度的换算。首先来看一下弧度制定义好。什么是弧度制呢？我们用弧度周围角的单位来度两角的单位置，称之为弧度制。我们规定这个弧度怎么计算呢？我们用圆的半径跟圆心角所对应的弧长，用 无常比上半径得到的这个度数，我们称之为弧度，规定我们用跟半径一样长的无常比上我们的半径得到的弧度就为一股 好，这个就是我们规定的弧度。反过来我们可以通过这个式子可以得到弧长，弓式，那弧长就等于他的弧度乘以半径，记得这个度是我们的弧度，而不是我们的角度，弧度的单位就是啊， ad 来点，为了方便书写的话，我们其实很多情况下，我们写弧度的时候，这个单位是可以不用带的，斜角度的 时候就要戴上这个度角的弧度是度量的，是角，原来的角度也是进行度量角的，那他们俩有什么关系呢？那我们在计算的时候，一个周角是多少度呢？是不是三百六十度？他换成弧度是怎么算的呢？周角所对应的弧度是不是刚好这个一个圆周长，那圆的周长就是二派啊， 然后比上他的半径，那就是啊，得到的就刚好是二派啊，所以我们得到一个周角的弧度就应该为二派，所以也就得到三百六十度就是二派， 他段位是瑞典，一般我们在数学过程中是没有写他的单位的。那一个平角呢，平角是一百八十度，对应的也就是半圆的弧长，比上他的半径，那就是派啊，比上啊就等于派好，所以我们得到一百八十度角，就刚好等于派瑞典。好的，那我们一度等于多少弧度呢？ 或者说 n 度等于多少弧度呢？我们刚才已经学习过了，一百八十度刚好是等于派弧度，我们要换算成一度，那左边这边是不是除以一百八十，右边这个也是除以一百八十度，我们就会得到什么一度就刚好是派，除以一百八十，然后 约等于零点零幺七四五度，那我们 n 度是不是用 n 乘以这个一百八十分之派，然后得到我们的弧度？反过来，如果是一弧度又等于多少度呢？或者说阿法弧度是等于多少度，那我们看一下还是一样。一百八十 度就等于拍，把这边的弧度变成一，是不是两边同时出一拍，所以得到右边这个是一弧度，那这边就是一百八十度出一拍。对，所以得到一弧度就等于一百 八十除以派，约等于五十七点三零度，也等于五十七度十八分，那如果是阿法杜，那用阿法乘以这个一百八十除以派就可以了，这个就是弧度跟角度之间的转换，大家一定要记一下。

大家好，今天这节课的话，咱们就来讲一下三角函数的第二讲啊，角度制和弧度制。其实说到这个角度制的话，肯定不陌生，这个角度制在小学就学过，角度制指的是什么呢？ 用度分秒来测量角度大小，也就是说把整个圆周啊，分成了三百六十度，转了整整一圈，那么其中三百六十分之一不就是一度吗？就这么来定义的， 那么在角度之中他的转换是什么呀？是六十进制的转换，所以你千万不要说小学生只学过十进制，不是答，度分秒就是六十进制，他这个一度等于六十分， 然后一分等于六十秒，是吧？那反过来说，一分等于六十分之一度吧，一秒就等于六十分之一分吧，这不就结束了吗？六十间制啊，那么角度制的话大家都知道了，初中也一直在用，今天的主角呢，主要是弧度制， 高中就学这个弧度制了。我还是说一下，为什么要引入这个弧度制啊？角度角度，这个三度能等于三，肯定不一样，单位都不一样吧，所以呢，三度它这个整体啊，它不是实数，但是我们将来要学的三角函数，比如说这是正线函数吧， 函数函数，我们要求 x 必须是十数八，然后外他也必须是十数八，是数字跟数字之间对应关系，你总不能是数字跟角度之间对应关系，这个是不行的， 所以我们有必要把什么把角度转换成实数，那怎么转换成实数呢？此时就引入了弧度制了，弧度是这么说的，我们先来看比较小的这个圆，一会再来看电影啊， 在比较小的这个园中呢，比如说他的半径是一吧，这个是没问题的啊，那么他的周长的话是多少？这个周长的话，他是正好等于二派。二，这不就正好等于二派吗？对吧？ 然后右边这个圆的大一点，比如说啊，他这个半径是等于二的，那么他的周长等于多少？等于二派乘几啊？乘二，所以最后算出来呢，是等于四派。但是有一点 请大家告诉我，我图中这个箭头表示多少度？嗯，表示三百六十度。那既然表示这个三百六十度的话， 想一想，这个二派比上这个半径，其实也就是周长比上第一个半径，那不就是二派比上一。哦，原来这个二派呢，他跟这个三百六十度之间啊，有一种对应关系，那别着急。再来看右边这个比较大的圆，还是用这个周长比上这个比较大的半径， 他其实呢，就是个四派比上二，那最终算出来还是二派。原来只要你这个圆中角是等于三百六十度的，他所对应的时数就是多少，就是二派。那现在我懂了， 三百六十度对应的二排吧，那你说一百八十度应该对应的多少，那肯定对应的是一个排啊。此时呢，就引入了什么，就引入了弧度制了，啥意思？这是角度吧， 你看这个二派是不是实数？是实数啊，看好了啊，弧度制是这么说的，任意一只脚 rf 的弧 弧度。看好了啊，弧度数的绝对值。为什么有绝对值呢？其实好说，因为高中的话，你顺时针是负角吗？这个 r 有可能出现一个负三十度，对不对？所以说带上绝对号啊，它是等于这个 l b 上，这个 l 指的什么呢？ 这个 l 一定要记住，它指的是扇形的弧长，弧长除半径，原来就是这个角啊，那现在我们看左边这个图看一下，这就是 r， 这没问题吧？然后这一段红色的部分呢，这就是扇形的弧长，那么此时 r 和的绝对值就等 l b 上 r， 这就没问题了。这个 l 的话，最特殊的情况，最大最大的善行，那么就正好是什么？正好是圆呀，圆的话，那这个 l 就变成了周长，周长的话，那就是二排 r b 上 r， 最后还是二排，然后 懂这个意思了。那继续来看这种以弧度作为单位来度量角的制度呢，就叫做角的弧度制啊，这是弧度制，那么记做什么？记做一个弧度，这个怎么读呢？就度做弧度啊， 通常来说，这个 led 这个弧度单位是省略，你说为什么省略？原因很简单，你 l 的单位是长度单位吧， l 单位也是长度单位吧， 比如说他是等于两米比上一米的，两米比上一米，你这个米和米比掉以后，他是一个倍数关系，倍数关系往往是不用带那个单位的，能理解这个意思啊，所以说这个 led 通常是省的啊。那现在我们就规定正角的弧度，那就是正角啊，然后负角的弧度数呢，就为负角。负角是什么？顺时针就是负方向吗？然后零角的弧度数呢？就为零。现在你看这个图不就清楚这个意思了吗？你看 逆时针正方向吧。所以说如果弧长，它就正好是等于 r 的话，那此时我们算一下它等于多少？等于 l b 上 r， 那不叫 r b 上 r 原来等于一弧度啊，懂这个意思了。但是如果旋转方向是负方向，也就是说顺时针旋转了，那就是负一个弧度了，这个理解就行。 那现在看了啊，一道简单的题，将下列角度与弧度互换。刚刚我讲过了，三百六十度对应的二排，但是我不建议你记这个，你还不如一开始就有什么。一开始我们就记一百八十度，他对应的是多少，对应的是派。弧度呢？你记这 这个的话会简单许多，这个弧度我们通常就省掉了啊。看，就一边这个公式好了。嗯，他需要你把这样的弧度转换成角度好转换呀。 十二分之一原来是成派吧，我写成一百八十度，派就是一百八十度。那最终的话，你看等于多少？等于十五度啊，这个非常简单。那后边这个三分之四也一样嘛，三分之四派，他们就是三分之四乘一百八十度，然后等于多少，他就等于二百四十度，也非常简单。 那最后这个一零八零，我们找一个负数吧，找个特殊的负一百二十度。哎，这个不会了。你真不会啊，一百八十度竟然等于派胡度。那一度的话，其实就是左右两边同时除了一百八十，那一度不就正好等于一百八十分之派 rad 一百八十分之派弧度吗？这弧度我们通常就省掉了啊。 所以说负一百二十度带上负号啊，等于多少？等于一百二十 再乘多少呢？一百二十再乘一百八十分之派，这样的话，最终就换成了负三分之二派，换成了弧度制了。最后我们其他题目我就不再讲了，你自己算一下，对一下答案就可以了。好了，剩下的你自己练习一下。 还有一些我还得说一下啊，常用的一些公式，主要是跟扇形面就弧长有关的。假设扇形的半径是 r， 我大概画一个草图吧，比如说这个呢，就是扇形，然后它这个半径啊，是大 r， 弧长的话，我们就写成 l 了，这个 r 呢，就是圆心角， 那么此时的话，我们并不知道 r 和究竟是顺时针还是逆时针，所以在写的过程中带上一个绝对号就行了，对不对？因为有可能是正角，也有可能是副角，那根据弧度 的定义， r 和的绝对值等于弧长比上半径吧。那反过来不就出现这个弧长公式了吗？很好用的啊，扇形面积的话，其实有点类似于，初中就学过，有点类似于这个三角形的面积。二分之一弧长成半径，这个是清楚的， 然后你再把弧长带入哪啊，你把这个 l 等于多少？等于二分之一。注意了啊， l 我们就写成第一个式子，代入 r 乘 r， 但是后边还有个 r 吧，那就是 r 的平方，然后就推出后边这个十字来了，一定记住两个呢，都得记住了，那现在我们就练一道题吧，这道题目呢，非常简单，他这么说， 有一个扇形周长是六厘米，那行啊，那半径的话，我们不妨就假设个 r 吧，没问题，周长是六厘米的话，你这个胡长是 l， 那就相当于 l 加上二， r 等于六厘米啊，我们不能说有 有两个量吧，我们最好是把 l 和二都换成一个量，那不就变成了什么？那就变成了这个 l 是等于六减二 r 的。 他说什么呀？他说他是中心角，是一弧度。一弧度就太好了，也就是中间这个 f 的绝对值等于一，对吧？那再入了啊，相当于 l， b 上 r 等于一 l， 你说是多少？刚写完六减二 r， b 上 r 等于一，所以很快呢，就算出来。原来这个 r 等于二啊，对吧？带上单位其实就是二厘米。 他最终让你算的不是 r 是什么呢？是面积。面积都好说，湖长我是等于多少？等于二厘米， 我半径也等于二厘米。那最后一算不就行了吗？面积的话，那就是二分之一，乘二，再乘二，最终算出来就是二厘米，二平方厘米啊，一定带上单位了。那这节课呢，我们就讲完了，弧度直达。一定下去，再好好做一下，分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下期和再见。

同学们好，我们今天继续来讲三角函数中的第三节弧度痣，那么弧度痣是角度痣它的一个另外一种角度的另外一种呈现方式。在我们之前 表示一个角的大小，一般都是用角度痣，比如多少度，多少度，比如四十五度，七十度这样的东西。那学了等结之后，咱们会利用弧度痣来表示角度的大小。来看弧度痣的定义。 弧度字他的定义是在单位语言中，长度为一的这边长度为一的弧所对的圆心角称为易弧度，他的单位符号是弧度。以弧度作为单位来衡量 角的单位置叫做弧度距。那么这里面什么意思呢？也说在单位圆里面，这边说了一个单位圆啊，单位圆指的是一个半径为一的圆成为单位圆，也说单位圆圆心角所对的弧长 方位圆，圆心角锁对了弧长，我们就可以用这个弧长来表示角度，比如正面，假如正面是一百二十度，那么我们算一下这个弧长， 算下个这个弧长，很容易算出来。这个是因为是三分之一的圆周长正面，所以是三分之二派 故障等身份证吧。所以呢，我们也可以用三分之二派来表示一百二十度，也就说以后一百二十度就是三分之二派，三分之二派就是一百二十度。但是在 同一种表达方式里面，尽量不要出现两种表达方式啊，不要出现这里面又写弧度，后面又写角度，这样不可取，要么通通都写弧度，要么通通都写角度啊。 所以他的转换，转换公式，我们可以利用他的一个球啊，弧长的一个公式来转换，假如这个圆形角是 n 度，圆形角是 n 度，那么我们知道 他的一个弧长 ab， 啊，弧长 abl ab， 他是等于 n 除以三百六十度。哎，因为他这边圆角温度在三百六十度的这么多分 周长是二派化解一下，所以呢，弧长 ab， 他的一个长度就是一百八八十分之 n 派。因此我们正面会可以得到啊 的 n 度对应的弧度至，这边是角度至。啊，这边是角度至。角度，弧度，如果角度是 n 度，那么他对应的弧度是 n 除以一百八十乘以派。 举个例子，假如这边是三十度，他对应的弧度至，那就是六分之派六分之半，如果是九十度，对应的就是二分之派。啊，这是一个角度和弧度，他的一个，这个是互化公式，互化公式啊，互化公式。 比如说以后呢，我们三十度可以用六分之派来表示，九十度可以利用二分之派来表示，他们之间的互化公式就是这么多，这么多。啊，这是这个定义。那么常见的角度至以弧度至的换算，这面有啊，这面 写了一下，三百六十度对应的是二派后面这个弧度。啊，这个是单位，这是单位，这个单位我们一般可以不写，可以省略，可以省略。啊， 那么一百八十度对应着就是派。弧度后面弧度化角度二派就对应的是三百六十度，派对应的就是一百八十度，因此这个弧度转化为角度。啊，弧度，如果给出的是一个弧度为 x， 弧度 x， 他对应的角度就是 x 除以派乘以一百八十 度就行了。比如正面如果是 x 等于派，他对应的不就是正好一百八十多吗？啊，这是弧度和角度，如果角度给的是一个 x 或者 n 度，他对应的弧度就是 n 除以一百八乘以派，这是一个角度和弧度至他的一个互画。常见的我们一些常见的角度，你要知道怎么画成弧度啊，比如一个一百度画成 化成弧度式，他就得到一百先除以一百八，这样乘以派是等于九分之五派，因此一百度他对的弧度就是九分之五派。 这个如果学了物理，其实我们初物理，初中学的一个物理是，比如重力加速度，初中学的是一个牛每公斤 啊，那么高中学的其实一个米每平方啊，米每平方秒，所以呢，这是两种不同的表达 方式，但是所表达的效果是一模一样的啊，这面是一些特殊角的角啊，度数与弧度数他的一个对应关系，一度对应的是一百八十分之派，然后呢， 四十四十五度是四分之半。正面需要记一些比较简单的东西啊，记些比较简单的，比如是正面一度约等于零点零一七四五。弧度，这个一般很少用，但是一弧度 对应的是约等于五十七点三度，这个东西一般很常用啊，这个稍微记一下， 一弧度约等于五十七点三度，快接近六十度了，快接近六十度了啊。呃，前面是一个角度至和弧度至他的一个互化公式，那么我们再来看一个弧长公式和散 形面积公式。已知 r 为扇形所在圆的半径， n 为他的一个度数， r 法为所对应的圆形角的弧度至。 那在角度这里面，弧长公式这个还是比较好理解的啊，就是 n 度除以三百六十度乘以二，派乘以二 就可以了，转换一下就是一百八十分之恩派啊。那么在弧度正面 l 直接是等于绝对值的，就是圆心角的弧度至乘以半径。所以呢，我们利用弧度至，会发现他的一个 弧长公式很简单，弧长公式就是圆心角绝对值乘以半径就行了。那扇形公式也这个啊，这个是初中的东西，我就不多讲了，主要讲 高中的。高中的为什么是二分之一 l 乘 a 呢？在正面啊，我为了辅助你们记一下，给你推导一下这个扇形的面积公式。其实扇形的面积公式其实很像三角形面积公式 这里面扇形 aob， 他的一个面积怎么来算呢？怎么来算呢？只需要把它看成一个三角形 aob 三角形就行了。那么我们知道这个三角形的面积公式，说底层高啊，你相当于可以把 ab 的 ab 当成底， 把正面 ab 当成底，那么高正好是这个半径啊。所以呢，他的一个面积是二分之一，底以 djl 和弧长乘以高，高就是半径好，那这个 弧长是不是又可以用圆心角的弧度字乘以半径呢？把它改一下，因此他的一个扇形的面积就可以写成这样形式啊，扇形的面积扇形的面积其实就跟三角形的面积类似，推倒一下，甚至你直接推倒也花不了多长时间。 这是一个扇形弧长公式，还有一个扇形面积公式啊。来看第一题判断题下列说法错误的是 a 选项半圆所对的圆心角啊，我们知道半圆所对的圆心角说一百八十度啊， 那么一百八十度前面知道，那正好是派弧度，因此 a 是对的，并选下周角，周周角是三百六十度，他对应的正好是二派 度，这个弧度一般可以省略省力啊，这也是对的。 c 易弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径， 那我们刚刚说了，弧长 l 说等于圆心角乘以半径啊，正面圆心角说一弧度啊，一弧度，所以半径 l， 就说直接点啊，这个 c 选项是对的。 d 选项 长度等于半径的悬。所对的圆形角啊，长度等于半径，那么我们画一下长度等于半径的悬，那其实同学们知道的话，这正好是六十度啊， 因为这个两相等，这是这旋跟半极相等，正好构成一个等边三角形，他甩的圆形角说六十多 啊，六十度对应的是三分之派弧度六十除以一百八乘以派是三分之派弧度啊，因此 d 选项是错误的。这是第一题。再来看第二题，时针经过一小时，时针转过了多少？ 那时针我们知道是一个小时走三十度，是顺时针走三十度。三十度对应的弧度至是等于三十除以一百八十度乘以派，说六分之派， 因此时针转过来是负六分之派啊，最这是顺时针啊，顺时针负六分之派弧度。再来看一个辨识，这里面是弧度至和角度至进行互换。第一个叫 角度化为弧度，利用的公式就是，如果是 n 度，他对应的就是 n 除以一百八乘以派。 如果是弧度式，换成角度，如果给做一个阿法，他对应的就是阿法除以派乘以一百八， 这两个公式是很重要的啊，那熟练之后其实很简单，熟练之后啊，这两个公式同学们一定要重点记忆。再来看第一个，二十多，那么利用第一个公式啊，二十多，所以他对应的弧度值是二十除以一百八，看， 是等于九分之派。第二个，负十五度，他就是负的十五除以一百八乘以派，这应该是十二分之负十二分之派啊。第三个，第三个， 那就是十二分之七派除以派乘以一百八，正面对应的是一百， 这个是十五乘以七，一百零五度。第四个，负的五分之十一派，那就负五分之十一派。除以派乘一百八是等于乘一百八十度，是等于负的。正面是三十六三 三六乘以十一三六，三百九十六度，三百九十六度。好，这是角度至和弧度至进行孵化转化，公式是正面的。再来看第三题， 若斜塔是负，哎，这里面没有给出是什么东西，因此默认他就是一个弧度痣，这叫斜塔的中边。在第几枪线，我们前面说过， 易弧度约等于五十七点三度，所以斜塔是等于负五弧度，那就是约等于负五乘以五十七点三度， 约等于他正面是等于两百二百五的五七三十二百八十五，二百八十六点五度。 负的啊啊，负的二百八十六点五度。我们知道角度这个循环一周期又是回到原来的中边了，因此我这个负二百八十六点五度， 再加个三百六十度，这等于大概是七十多度啊，七十多度，七十三点五度啊，只有三点五度，他是落在第一象限的，落在第一象限，因此他的中边是落在第一象限。这个是利用 先把它换成角度字再来判断了啊啊，再来看第四题，好插的是一个扇形的弧长公式以及面积公式， 这里面已知扇形的周长是六厘米，那么我们画一下这个扇形，随便画一个啊，射圆心角为阿法，半径为二，因此他的一个弧长就是阿法乘以半径， 周长式等于二，那周长式等于六，因此二熬加上阿法乘以二是等于六啊。面积是二平方厘米，面积说二分之一乘以阿法乘以二的平方是等于二， 解出耳法来就行了。正面是要求耳法解出耳法啊，怎么解呢？这个是一个二元的两个未知数，正好两个方， 正面要削去半径。我们知道求由第一个来说可以求出，而是的六除以二加二法，那带到第二个式子里面就是二分之一乘以二法，乘以三十六， 二加儿法，括号的平方是等于二啊，整理一下十八好儿法，这里面都有十八两，两边都有， 稍微整理一下就是九儿法是等于二加儿法或者平方。那么带一过去，我发现，哎，就验证，因为选项是题，选择题啊，就验证儿法等于一，佛题 好，耳法等四呢，带过去，四九三六，这边三二六也火题，因此此题是选择是 c 选项。好。再来看最后一个题啊，也是 是一个扇形的问题啊，这里面周长为四，面积为一，求圆心角对应的弧度啊。这个跟前面第四题是基本上操作是一样的，这面是半径为饵，圆心角为饵法，因此他的弧长就是饵，法生以饵 这里带入过去，因此周长为四，那就二加上，而法乘是等于四面积，面积就是二分之一，而法乘以二的平方是等于一 啊。同理由，第一个可以就说啊，是等于四，除以乘法加二，那单数到第二个是二分之一啊，法乘以十六，除以乘法加二或者平方是等于一。等你一下， 阿法加号块的平方是等于八倍的阿法啊，所以阿法是 正好是等于二啊，只有一个十根，所以他的弧度是弧度，弧度数，圆形角弧度正好是二弧度 啊。本节课学习的就是一个弧度字以及一个扇形面积以及弧长公式这几个，这三个知识点一定要熟练掌握后 后续我们很多的一个角度基本上都是用弧度字来表示，如果弧度字搞不清楚，有可能就是学的比较慢。

在电学里面经常被提到的角度和弧度究竟是个什么概念？角度和弧度啊，在数学领域呢，应用的比较多，当然他也会延伸到其他的领域，比如说电学里面就经常被提及到这两个名词， 这两个名词呢，他们有他自己的一套算法和规则啊，也就是弧度字跟角度字，我们称其为呢弧度字跟角度字，他呢就如同十斤至二斤字一样，也是能够进行，相互之间可以进行转换，但是呢，他们之间呢不一样，所描述的方法不一样。今天呢，我们就和朋友们呢一起来简单的分享一下这两个方面的内容。 我们首先来看这个角度制，这个很好理解，在小学里面呢，我们就开始已经结束了，比方说我们的直角三角形里面的三十度，六十度，九十度啊，这里面这个度啊，就是用角度制啊， 对这个角的大小来进行描述的啊，多少度多少度，但是弧度字呢，他就不一样，相对的他要稍微复杂一些。我们先暂且这样来理解他的含义，比方说这里有个圆，那么我们以圆心为基准，做上两条的半径线啊，分别是 a 和 b， 然后他的半径呢为二， 那么这两条线之间呢，就会形成一个假角，当然这个角呢，我们也可以用角度来啊，对他进行描述，多少度多少度。当然同时呢，我们也可以用弧度字啊，对这个角的大小呢进行描述。弧度字呢，他是另外一种描述方法啊，也是另外的一种对角度呢进行描述的一种方法。 我们来看一下，假设这两点为和 ab 的话，那么弧度阿尔法等于和 ab 比上他的 半径，弧度字呢，他是这样描述的，阿尔法等于胡， ab 除以呢，他的半径就是这个角度，当然这个弧长的话，我们一般呢啊，是用小写字母 l 进行表示，那么也就是 l 比三二， 他的单位弧度的单位是多少呢？啊，成为 red 角度的单位是度。我们再来看一下，比方说我们再做一条半径啊， rc， 那么湖 a 到湖 c 之间，这个湖长呢，就更长了，但是这个半径呢，仍然不变，那么谁说湖长的变长呢，他的那个相应的弧度的角度啊，啊，也就会变大，所以说这个弧度角度的大小呢啊，与他的这个湖长 啊有个相对应的关系，弧长越长，那么他所对应的角度呢，也就越大，所以说啊，角度的大小 跟他的弧长呢？哎，有关系。现在呢，我们再来举一个例子看看，比方说我们这里那个弧长 l 等于四，半斤呢， r 等于也等于四，那么求这个阿尔法的角度等于，根据这个公式，弧长比上他的半斤， 按了比上二四除以四等于一，一什么呢？一 red 好，那么弧度字呢，也可以计算和描述角度了， 那么他和角度之间可不可以进行相互转换呢？可以的，我们来看一下。对于我们的角度啊，有锐角，那么再大一点呢，有直角，再比直角大一点呢，有钝角， 那么比钝角再大一点呢？啊，还有周角，周角是什么呢啊？也就是说对于一个完整的语言来说 啊，这里有个圆心，然后呢有一条半径，这条半径呢，以圆心为基准，那么旋转一圈所形成的角度啊，叫周角是多少度呢？三百六十度，那么这个三百六十度他是多少弧度呢？我们来看一下 啊，这是他的半径，那么他的弧长是多少呢啊？一圈啊，刚好是围绕这个一圈，三百六十度是圆的周长是不是， 那么原来周长是多少呢？派地，那么我们也可以把派地写成了 r 派 r， 半斤乘以二乘以派，对吧？根据弧度的公式，弧长除以半径， 那么湖长是二排 r 除以他的半径 r， 最后呢啊，越分 r 去掉剩下的二派。二派什么？ red， 那么二派呢？就是他的那个活度活度二派，那么这个三百六十度呢？是角度啊，这就是角度跟活度之间的进行换算，三百六十度等于二派，我们可以退到出呢。派等于多少呢？等于一百八十度，那么也就是说一个派 等于一百八十度，两个派等于三百六十度，那么派个弧度等于一百八十度啊，我们成为这个公司的唯一，我们先做个标记在这里啊，这就是弧度跟角度之间的一个互换的一个公式，那么这个公式呢，基本上就是一个关键点啊，前面派 red 是代表他的那个弧度，后面一百八代表他的角度，他们是相对应相等的关系，那么根据这个公式呢，我们可以啊把它推算出低弧度等于多少角度呢？那么也就是在公式 一的两边除以派啊，都除以派，那么算出来就是一弧度等于一百八。除以派啊，这就是一弧度等于多少角度，那么同样一度等于多少弧度呢？ 那么也是在旁两边呢？公司两边呢啊，除以一百八啊，这边是一百八十度，我们把它换化成一度，那么就是除以一百八，在这边呢，也是除以一百八，那么一度就等于多少等于一百八十分之派 啊，这个是度化成弧度 red， 当然这个派啊，他是五里数啊，除不尽计算起来也是比较麻烦，相当的复杂， 而且我们一般呢也很少用这种计算方法去计算这些东西，那么我们常用的比较多的是什么呢？是那些常特殊的一些角度的转换，我们看这里 啊，就是这些特殊的角度啊，跟弧度之间啊，他是一一对应的，是相互之间是怎么推算出来的啊？只要记住这些相应的这个角度呢，那就可以了，要想把它记下来还是有点困难的， 那么这里面呢，哎，他还是有些技巧，我们来看一下，比方说，首先我们知道零度的角度，那么肯定也是弧度呢，他也是零， 哎，我们刚才知道啊，弧度排等于一百八啊，他们是划等号的关系，排等于一百八，对吧？那么二排呢，就是三百六啊，对吧？真没问题啊，排等于一百八，二排呢就是三百六，对吧？二排三百六十度 啊，是对应的关系，那么这几个主要的点出来以后，那么我们看一下，九十度 等于多少弧度呢？那么就是一百八除以二，也就是派除以二，那么就是二分之派啊，九十度出来了，那我们再看一下，两百七等于多少弧度呢 啊，我们看下，这上面两百七呢，是一百八，加上我们的九十度啊，也就是派加上二分之派，那么算出来呢，等于二分之三派 啊，等于二分之三派啊，这是两百七所对应的一个弧度。好，我们再看三十度， 三十度，他是九十度的，三分之一啊，也就是二分之派乘以三分之一啊，最后算出来等于六分之派啊，这是三十度对应的那个活动角，然后我们看四十五度啊，那 四十五度的话，就是九十度的一半嘛，也就是二分之派除以二，那么算出来就是四分之派啊，当然还有一百三十五度，一百三十五度嘛，就是九十度加上四十五度啊，对不对？那就是二分之派加上四分之派 啊，最后算出来等于四分之三派，然后还有比较常用的还有六十度。六十度的话，是啊，一百八除以三啊，也是派，除以三也就三分之派。一百二十度， 他是两个六十度啊，也就是三分之派啊，乘以二，那就是三分之二派啊，一百五啊，一百五的话是一百八减去三十度啊，派 减去六分之派啊，这样算出来的话等于六分之五派啊，基本上计算方法呢，就是这样计算啊，很容易很简单， 你完全靠记是记不住的，所以说呢，首先要会记住这几个基准点，以后好利用他的去进行推算，很容易的就可以把角度啊换算成弧度啊，对于这几个常用的特殊角之间， 那么我们最后再看一下这个湖长的公式，湖长的公式的话，用角度进行计算呢，角度进行计算呢，它是 l 等于 n， hir 比上一百八 啊，这个公司一般是在初中就已经学过啊，这个 n 呢，是指的是啊，圆心角角度这里面，那么对于弧度字计算弧长的话，那更简单的，因为弧度字的他这个公式啊，阿尔法等于啊，弧长 处于半径，那么弧长的话 l 就等于阿尔法乘以半径，这是他的弧长，就算在弧长，这个很容易啊。关于弧度这跟角度这的互换呢，我们今天就跟大家先分享到这里啊，感谢大家的观看，我们下期再会。

花一分钟单招数学提高五十分！单招数学一直掌握弧度值与角度值的转化，我们一般场合都有两种，一种是弧度值转角度值，一种是角度转弧度值。我们把这两个公式下来就很简单了，有派的去掉派，没有派的加上派。我们看第一题，六分之派 乘以派分之一百八十括号度，把这个约掉，把这个约掉，把这个约掉，把这个约掉，然后就可以得出三十度。第二题，四十五度转弧度至四十五度乘以一百八十度分之派， 把这个预约，把这个预约，就可以得出四分之派，你学会了吗？

抵达课堂，带你每天进步一点点！这节课我们一起来学习角度至与弧度至的换算。首先来看一下弧度至，其实在初中阶段，我们已经学习了角度至，把圆周三百六十等分，其中一份所对应的圆心角是一度， 把圆周三百六十等分，那么一份所对应的圆形角呢，就是一度整个圆周所对应的圆形角呢，是三百六十度，这是角度值。 高中阶段我们需要学习弧度值。长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度的角 长度。 l 是等于半径长的时候，也就是说这里的圆弧是等于半径长的时候，他所对应的圆形角是一弧度，当这个长度呢，是等于两倍二，等于两个半径长。那么也就是说，这样的一个圆弧长是等于两个半径长的时候，他所对的圆形 角是等于二弧度。我们得出这样的一个公式，弧度的绝对值是等于 l， 比上二的 l 是弧长，二是半径好，这是他们所对应的圆形角的弧度数。 根据这个公式，我们来推导一下下面这个公式，角度与弧度的互换关系。三百六十度是等于两倍的派，怎么样来的呢？初中阶段我们学习过， l 是等于 n 派二，除上一百八十度， n 是 l， 也就是这个弧长所对应的圆形角， 当这个 l 是圆周长的时候，嗯呢，也就是三百六十度。三百六十度 所对应的弧长，也就是说这个圆周的长是等于二派二的三百六除以一百八十是等于二派二，那么这个圆周长所对应的用弧度 来表示呢？那么我下面除以二就行了，除以二，这里也除以二是等于两倍的派，也就是说，三百六十度，当他是角度至的时候，与弧度至相等的是等于两倍的派。是这么来的。等式，两边都除以二，得到一百八十度是等于派， 那么我们得到一度是等于派。除上一百八十，弧度约等于零点一七四五的弧度。而一弧度呢，是等于一百八十，除上派度约等于五十七度的样子。这是有关角度与弧度的互换关系。 另外呢，我们要注意几点，一、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，平角的弧度数是零， 也就得出了正角对应的是正实数，零角对应的是零，副角对应的是副实数。任意角我们分为正角、零角以及副角与实数 是一一对应的。这是我为什么要引入弧度至的一个原因。弧度至，通常情况下，他后面单位我们会不写，而这里呢， l 比上二，他是两个数的一个比值，弧度数不写，那么他就是一个实数一对。 而角度痣呢，这里有一个度，有个单位，所以没法一一对应，这是我们为什么要引入弧度痣的原因。 第二点，我们要注意讲阿尔法的弧度数的绝对值，阿尔法的绝对值等于 l 比上二，刚才已经讲过了， l 为弧度， l 为弧长，这里写错了， l 为弧长，二为半径。第三呢，用角度至和弧度至来衡量。菱角单位不同，但数量是相同的，零度是等于零，弧度用角度 度和弧度字来度量。任意一个分离角，单位不同，度数也不同。比如说，这里三百六十度对应的是二派，一百八十度对应的细派。他单位这边单位是度，这边单位呢，是弧度，而数啊也是不同的。 最后我们要注意点，在同一个式子中，角度弧度不可以混用，要么多用角度，要么多用弧度。 接下来我们看一下常用的一些弧度数。零度所对应的弧度是零，三十度所对应的弧度数是六分之派。怎么样得来的？一度，他对应的是 派，除上一百八十啊，三十度呢，左边乘上三十，右边也乘上三十，是派。除上六是这么来的，同样四十五度，左边乘上四十五，右边也乘上四十五，他对应的弧度是四分之派，六十度对应的弧度是三分之派。九十度对应的是二分之派。一百二 二十度对应的是三分之二派，一百三十五度对应的是四分之三派，一百五十度对应的是六分之五派，一百八十度对应的是派，两百七十度对应的是二分之三派，三百六十度对应的是两倍的派。这些需要大家牢记于心，后面做题的话会比较迅速， 在之前的课中，其实我们也学过象限角以及轴线角，之前我们都是用度数来表示，那么现在我们用弧度来表示一下， 以 s 轴正半轴为中边的角的集合，用度数来表示。二法等于 k 乘上三百六十度， 三百六十度我们用两倍的派弧度来表示，那么耳法是等于二 k 派。上边九十度和三百六十度同样用弧度来表示。耳法是等于二分之派，加上二 k 派， k 都是属于整数的。这里一百八十度和三百六十度也 用弧度来表示是等于派加上两倍的可以派。这下边呢？阿尔法是等于两百七十加上可以乘上三百六十度。弧度表示是二分之三派加上二可以派。这是有关 x 轴正半轴、外轴正半轴、 s 轴负半轴以及外轴负半轴，他们为中边的角的集合的一个表示。好，接下来看一下第一项线的角的集合，也就是说他的中边在第一项线的角的集合，他是大于两 k 派， 而是小于二分之派加上二 k 派的第二象限呢，是大于二分之派加上二 k 派，他是小于派加上二 k 派。第三象限呢，是大于派加上二 k 派，但小于二分之三派加上两倍的 k 派。第四象限呢，是大于二分之三派加上 二 k 派，但是小于呢？这里我们可以再写个二派加上二 k 派，是小于二派加上二 k 派，他们是都没有关系，可以是相等的， 这是有关相线角以及轴线角用弧度来表示。好，这节课我们就讲到这。

滴答课堂带你每天进步一点点。这节课我们一起来学习角度至与弧度至的换算它的相关习题。 先来看例子题。第一小题三百六十除上派是等于多少弧度？之前的课中我们有讲过，一百八十除上派度是等于一弧度，那么三百六除上派是等于两弧度。 第二个呢？负的六分之十一派是等于多少角度？通常情况下，把弧度化为角度，我们只要把派用一百八十度来代替。为什么？因为派就是等于一百八十度，所以用它来代替就行了。那么负的六分之十一乘上一百八十度， 六，这边是三十度，那么是等于负的三百三十度。好，他的角度是负的三百三十度。第三个，两百四十度用弧度痣来代替， 两百四十度用弧度织来代替呢？那么是两百四十度要除以一百八十度，同时还要呈上一个派，除了一百八十，是变成了这边是 零和零，约掉这边单位也约掉。好，约个六的话是三，这边是四，是等于三分之四排，所以用弧度这表示是三分之四排。 这里的话要注意，如果是弧度至化为角度至派，用一百八十度来代替。而如果是角度至化为弧度至呢？要除个一百八十度，然后再呈上一个派即可。好，接下来看下面还有一问。尝试在坐标系中画出角的终点坐标的位置， 我们画出他们三个重点坐标的位置。首先来画一个坐标轴来看一下。第一个，他的弧度值是二二的话，这里弧度他是零， 这边呢是二分之，派这边是二，这边是派，这边是二分之三派，现在二是等于多少呢？二分之派是等于三点一四，除上二是等于 一点多的。而派呢，是等于三点一四。那么二大概在这个地方的样子。所以以他为中边的话，那么大概是在这里，这是二弧度。 第二个是负的三百三十度，负的三百三十度。那么是顺时针转，顺时针转是为负的，这边是零度，那么这边呢是负的九十度。那么我们的负的来接来 标度数就可以了。这边是负的一百八十度，这上边呢是负的两百七十度。好，这里呢是负的三百六十度。现在说是负的三百三十度，大概在 这里差个三十度的样子。所以顺时针转，转到这里是负的三百三十度。这第二个第三个三分之四排，三分之四排还是要 逆着来标。这里是二分之派，这里是派三分之四派，要比派大个三分之一派，大个三分之一派的话，那么要大个六十度的一个样子。所以画下来大概是在这里。 这是三分之四排。大概是这样的一个位置。好，我们三个都已经标出来了。注意如 如果是弧度字，那么我们整个以弧度字来标，如果是正的，那我们就逆时针来标。而如果是角度字呢，是负的呢？那么我们就顺时针来标负的就行了。 一定要注意他们的一个取数范围。接下来看第二个三分之十六派，化成阿尔法加上二 k 派的形式，注意 k 式整数，那么二 k 肯定是一个偶数尔法加上偶数倍的派。注意阿尔法的取数范围是大于等于零，小于等于两倍的派。 来画一下十六除上派。通常情况下，大家会画成十五派，再加上派，除上三，那么是五加上三分之派啊。五派加上三分之派。但是要注意大家这里是 基数，而二 k 呢，是偶数。那不行不行，我们就把五派化成四派，再加上派的形式。派再画到上面去，是三分之四派，这里是偶数，满足这里呢三分之四满足这样的需求。 所以最终他的显示是三分之四派加上四派。第三，阿尔法是第一象限角。派减去阿尔法是第几象限角？派加上阿尔法是第几象限角？二分之三派加上阿尔法呢？又是第几象限角？ 我们先来画一下阿尔法式第一象限角。假设他是在这里，他属于中边，落在第一象限就是第一象限角。假设这个角就是等于二法是没有问题的。 那么派减去阿尔法呢？我们可以看成阿尔法减去阿尔法，负的阿尔法加上派。负的阿尔法与阿尔法的一个关系是关于 s 轴对称。那么这是负的阿尔法， 他加上派呢？加上派是在他的反向延长线，所以负的耳法将上派就是在这个地方，他的中边落在了 第二象限。派加上阿尔法。派加上阿尔法的话，那么就是阿尔法的反向延长线。这里多加了一个派的一个度数。在第三象限。 二分之三派加上阿尔法在第几象限呢？二分之三派。那么这里到这个地方，他是派，再加个二分之三派，到哪个地方了呢？到这个地方的样子，所以他是在第四象限。 这是练习第一。接下来我们看一下练习题。二若集合 a， 阿尔法四分之派是加上两倍的，可以派小于阿尔法，再小于派，加上两倍的可以是整数。集合 b 呢？贝塔是负的二分之派加上两倍可以派小于贝塔，小于二分之 派加上两倍派。 k 也是注意整数。那先生问 a 和 b 的交集以及 a 和 b 的并集是多少？我们一起来画坐标轴来看一下。 这边呢，这个 s 轴正判轴是两边的 k 派。 k 是属于整数，以他为中边的角度集合。这边呢，是二分之派加上两边的 k 派。这边呢，是派加上两边的 k 派。这边是二分之三派加上两倍的 k 派。现在说阿尔法的一个曲值是 大于四分之派加上两倍的开派。两倍的开派是三百六十度，那么他一定是条射线，这里是四分之派。技术角是四分之派。好，所以他是以他为中边的角度的集合。四分之派加上两倍的开派。而这边呢，是派加上两倍的开派。是这一条射线，也是射线。 所以阿尔法的中边落在了这样的一个区域。好，阿尔法中边，我们找到了落在这样的一个区域。那么北塔的一个中边落在哪呢？是负的二分之派加上二 k 派。负的二分之派，这里是 二 k 派。那么这边呢？我们也可以用负的二分之派加上二 k 派来表示以他为中边的角的集合。表现形式可以有多种，这个样可以，这样也是可以的。那么负的二分派是在这里加上二 k 派， 二分之派加上二克派呢？是在这里。所以杯塔为中边的角的集合落在了这样的一个范围。现在问 ab a 交 b 是等于多少？ a 交 b 是取他们公共的部分，公共的副部分是不是这样？ 一块是这里一块，所以他公共的部分是大于四分之派加上二 k 派，小于二分之派加上二 k 派。 而现在呢，取他们俩的所有 a 并 b 是取他们的所有，取他们所有是不是从这里到这里一整块， 这里到这里，那么是负的二分之派加上 a， 二克派到派加上二克派这样的一个方位。好，最后我们把它写下来。 a 交 b 是四分之派加上二 k 派，小于阿尔法，小于二分之派加上二克派， k 是属于整数。也就是说四分之派 加上二科派到这里好。他们的病情呢？是这一块和这一块负的二分之派加上二科派，然后到派加上二科派 这样的一个范围。最后我们来做一下小结。这节课呢，我们学习了弧度痣长度等于半径长的圆弧，所对的圆形角叫做一弧度的角。注意为什么要引入弧度痣？因为 弧度字的话，他的正角、零角、负角刚好和实数范围内的正时数、零和负时数是一一对应的，这会引起后边我们的三角函数。另外呢，我们常用的一些角度弧度需要大家记住，尤其这些弧度数，一定要大家牢记于心。 零度所对应的弧度是零，三十度所对应的是六分之派，四十五度对应的是四分之派，六十度对应三分之派，九十度对应二分之派，一百二十度对应三分之二派，一百三十五度对应四分之三派，一百五十度对应的是六分之五派，一百八十度对应的是派，两百七十度对应的是二分之三派，三百六十度对应的 是两倍的派。角度化为弧度。角度化为弧度的话，通常情况下，比如说三十度要化为弧度的话，是三十度 要除上一百八十度，同时再乘上一个派，除以一百八再乘上一个派。如果是弧度化为角度呢？比如说三分之派如果要化为角度，通常把派用一百八十度来代替。好 除以三刚好是等于六十度，这样来算也是可以，但是尽量要记住做题会更快一点。还有呢，我们需要掌握关于轴线角以及象线角用弧度值来表示，而 法是等于两倍的 k 派，这里 x 轴的正版轴，这边呢是二分之派加上两倍的 k 派，而这里呢是派加上两倍 k 派， 这里呢是二分之三派加上两倍的开拍。那么有关第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角，他们的取值范围，我们也可以根据这个来算出来。 这些有关弧度字以及任意角，这些是基础内容，需要大家掌握，对以后学习三角函数有很大的帮助。好，这节课我们就讲到这。

什么是弧度制？为什么要引入弧度制？我就是不理解为啥一百八十度要对应成派老师讲的听不懂。高一同学在学到弧度制制里会遇到很多问题，今天我们就来讲一下。首先要明确一个概念，角是客观存在的，角度或者弧度他只是一个衡量标准， 就像身高是客观存在的。在古代的时候我们会说堂堂七尺男儿，现在会说一米八几大高个，七尺和一米八都是衡量身高的，一尺大概是三十三厘米，他们之间会有一个换算公式，角度和弧度也是一样的道理， 你可以说这个角是多少度，也可以说这个角是多少弧度，他们之间也可以进行不同单位的换算，这就是角度有弧度的关系。那为什么要引入弧度？这是很多同学不理解的地方。角 度我们从小就接触很熟悉，而且大脑总是先入为主，一说九十度的话，马上就能想到，哦，强与地面就是九十度，手指比个八也差不多是九十度，还有九十度的鞠躬， 可以想到很多场景。既然我们用角度来衡量脚的大小，这么深入人心，为什么还要引入另外一个衡量体系弧度制呢？ 答案就是因为角度制不够用了，或者用起来不方便了，他不方便在哪呢？第一个就是角度制下，我们是用度分秒来衡量的，他是六十斤制的， 满六十斤，以这个可以想象一下，钟表六十秒就是一分钟，六十分钟就是一小时。但是呢，我们现在用的都是使劲制，所以角度就显得格格不入。那更重要的一点是 一个角的三角函数，它是具体的数值，比如三三十度等于二分之一，三十度的正线值呢是等于二分之一。三角函数中的自变量是角函数，是数级与数级之间的对应，所以自变量角取时数才更合理。 这里就出现了一个问题，怎么用实数来表示角度呢？苦度制就应运而生。 我们来想象这样一个场景，扳手拧螺丝帽，把这个过程抽象出来，如果扳手 oa 比较长的话，他转动的弧长 ab 也比较长， 扳手 oa 一比较短，他转动的弧长 a 一 b 一也比较短。这里边他们转过的圆心角是相等的，相等的圆心角半径越长，弧长越长，所以大概能感受出 弧长跟半径的笔直是一个定值，所以呢，我们就用这个笔直来表示圆心角的大小，这就是弧度之 f 等于 l 除以 r。 这个理解了之后，我们再来看为什么用派表是一百八十度，我们继续往下推，在角度这里边转一圈是三百六十度， 弧度至里边转一圈的话，他的弧长呢是等于圆的周长，二派 r 再除以半径的话，就等于二派，所以三百六十度对应二派，那一百八八十度就对应派， 就推出来他们的对应关系。弧度的单位是 r a、 d， 但是我们通常都省略不写，所以当你见到角度用一、二、三这样的实数来表示的话，他就是弧度值。我们下面来直观的感受一下弧度表示的角 f 等 l 除以 r 等于一，那就是 l 是等于 r 的，弧长跟半径相等，弧长跟半径相等。我们来看左边这个图， 我就可以近似的把这个呢给他当成一个三角形，他是一个等边三角形，等边三角，三角形的角度呢，是等于六十度，所以一弧度大概等于六十度。其实实际情况一弧度呢，是有五十七度的样子，我们理解成六十度的话，更好想象 做题的时候呢，经常会遇到弧度和角度之间的转化，比如说这里的两个题，一度等于多少弧度，一弧度等于多少度，那这个呢，非常简单，我们假设一度等于 x 弧度， 然后呢，已经知道了一百八十度对应派，我们就把这个一一度，还有这个 x 弧度往下边去对应着度跟度对应，弧 度跟弧度对应，这里会得到一个等式，他们的比值是相等的，就可以把 x 给求出来。下边一弧度等多少度也是相同的道理。我们假设等于外度， 先把一百八十度等于派给他摆在这，然后呢，一还有这个外往下边对应着去写，他们的笔值是相等的，就可以得到外等于一百八十除以派，相当于一百八十除以三点一四，那差不多就是五十七度，所以一弧度对应五十七度， 弧度是一个具体的数，为了画三角函数的图像，以后所有的角度呢，我们都要用弧度来表示，所以一些常见的角度转化成弧度的话，一定要记住，就是下面这个图里边的。 那今天分享内容呢，就到这里，如果你听完今天这个视频有收获的话，就给我点点关注吧。

同学们好，我是董老师。今天我们继续来讲弧度字。我们之前是讲了一个角的概念的扩充，把初中所学的一个零度到三百六十度的角的范围扩展到所有的角。那之前是定义 逆时针旋转得到的是一个正角，顺时针旋转得到的是一个副角，没有旋转的得到的是一个菱角。那之前角对角的度量，我们是选取一个周角，把它三百六十等分，而得到一个角的度量单位， 然后用这个度量单位去度量其他的角的大小。当然此时的角，他的一个度量单位是与单位线段无关的。然而从我们小学开始，很多几何图形里面的各种度量中，除了一个角度， 你会发现很多的一个其他的度量，比如长度、面积、体积，都是以单位线段为基础的。那我们就会提出这么一个问题，角度能否用线段的单位长度来建立呢？别说 我们能否用线段的一个单位长度去定义角，其实是可以的。那本节课学习的一个弧度至就是以单线段的单位长度来建立角的不良单位。 以角的顶点为圆心，画一个单位圆，正面单位圆是半径为一的一个圆。 那么此时用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角，什么意思呢？比如说这个角耳法，他的大小，现在我们只需要 看出弧长 ab 的长即可。也说以前我们是用角耳法是一个角度痣，比如他是一百二十度， 那我们现在只需要算出弧 ab 也要的长度，就可以表示这个一百二十度。比如假如这个阿尔法是一百二十度，我们通过计算，他的一个弧长是正好是三分之一的周长，别说也要是三分之二派， 此时这个一百二十度，我们就可以用三分之二派来表示。所以我们在这里面弧度是他的定义，就是在单位圆中，我们把长度等于一的弧所对的圆心角称为一弧度的角， 也就是说弧长为多少，他的圆心角就为多少。单位正面是弧度，那弧度其实他是没有一个实际意义的一个 单位，我们平常可以把它省略，所以在单位语言中，每一段弧的长度就是他圆心角的弧度式弧度数。这种以弧度作为单位来度量角的方法，我们称之为弧度至， 所以正面一定要抓住概念。在单位圆中弧的长度，他所对应的圆形角，我们就可以用弧的长度来表示这个圆形角。比如这里面右图，在单位圆中，弧 ab 的长等于一，那么角 a、 o、 b 就是一弧度的角。再比如 第二个图，在单位圆中和 cd， 他的长等二，那么角 cld 就是负二弧度的角。那这位这里面为什么是负二弧度呢？因为此时他是顺时针旋转的， 所以弧度至其实跟角度至一样，他的一个由来也可以是逆时针得到的一个是正角，顺时针得到是一个副角， 所以这个角 cld 就是负二弧度的角。那一般呢，弧度与实数是一一对应，正数的弧度数是一个正数，负数的一个弧度数是一个负数。零角的弧度数，那就是为零。 那我这么念就会产生这么一个思考，我们之前用角度角度这来度量角，我们很容易知道这个角大概开口是多少，比如六十度，我们就大概知道他是一个开口比较小的一个锐角。 但是弧度值我们是新学的，我们怎么来判断他的一个大小呢？所以我们这这里面就需要产生一个弧。 弧度痣和角度痣之间该如何转化的一个腕的一个问题。好，那么弧度痣和角度痣他的一个后画肯定是需要根据他的定义来的。我们正面来看一下， 根据定义，在单位语言中，每一段弧的长度就是他所对圆心角的弧度数。所以在单位语言中， 圆的周长他为二派，他所对应的角为周角，即三百六十度。因此以后我们说周角为三百六十度，也可以周角说成他是二派弧度， 一个周角就是二派弧度。那对于其他任意的角呢？比如在单位圆中，圆线角为 n 度，那么他所对应的弧长我们很容易算出来是 n 除以 三百六，再乘以他的周长，二派就得到一百八十分之 n 派。因此这个公式就是一个角度至转化为弧度至的一个最重要的一个公式。 宽度转化为弧度痣的话，他就是一百八十分之 npad 弧度，这是角度痣与弧度痣它的一个互化公式。 那弧度值是怎么转回角度值呢？我们正面只需要利用这个反过来写就行了，所以 x 弧度它可以写成是一百八十 x 除以判。正面在单位是度一百八十度乘以 x 除以判，即为 他的一个弧度制转为一个角度制，比如一弧度他就等于一百八十度，除以派是约等于 五十七点三度的，这是一个弧度至转化一个角度至。好，那么我们看一下我们在高中数学里面比较常见的一个角转化为弧度至是多少一度。我们直接带入到 这一个公式里面，我们就可以得到是一百八十分之派。弧度三十度，那就是一百八十分之三十，那就是六分之派。四十五度对应的就是四分之派。弧度五十七点三度，他是易。弧度 六十度，他对应的是三分之派。弧度九十度对应的是二分之派。弧度一百二十度对应的是三分之二派。弧度一百三十五度是对应的四分之三派。弧度一百八十度对应的是派。弧度三 一百六十度正好就是二派弧度，这是我们高中比较常见的一个角度转换弧度，那这个表同学们一定要熟知，甚至可以把它背下来。当然随着我们的一个使用的一个加深， 对这些角度转换为弧度，我们是很容易可以把它记清楚的。现在案例第一，将下列硌角化为一个弧度至， 那根据角度至化为弧度至。他的一个公式我们可以知道，因为七十五度，他将将之化为弧度至，那就是七十五除以一百八十 乘以判。因此其实五派除以一百八等于十二分之五派。同理，第二个是一百除以一百八再乘以判，那就是九分之五派。第三个那 就是负三百三除以一百八乘以判，得到的是负六分之十一派。这是一个角度至转化一个弧度至。那弧度至转化一个角度至。如何转化呢？比如第一个六分之五派，他是等于多少呢？咱们也可以利用刚刚那个公式， 就是一百八十除以判，再乘以六分之五判，因此这个是一百五十判大的柿子，我们可以怎么办呢？其实我们有更好的方法，因为在角度至与弧度至互化的一个过程中，判他其实对应的是一百八十度 分子正面含有派的，我们只需要把派把它改成一百八十度就行了。所以第一个就是六分之五乘以一百八，就是一百五十度，同理。第二个那就是负四分之七乘以一百八，所以呢就 是一个负三百一十五度。第三个九分之十三乘以一百八，就是二百六十度，这是一个弧度至转换一个角度至。 第三，用弧度至表示中边在直线 y 等于负 x 上的一个角的集合。那这个题其实我们之前在角度至的时候已经讲过了， 你可以将之把这个角度结合，利用角度这写出来，再把它画成一个弧度字。当然也可以利用弧度字直接来算，那 y 等于负 x， 其实他的直线 首先找到东边落在这根直线上的一个角，很明显这个是一百三十五度，然后呢再转上一圈，那就是三百一十五度。而我们之前其实总结过了，如果中边是落在一条直线上， 那么他的一个角的集合就会形成一个以一百八十度为周期的一个角。如果他的一个中边是落在一条射线上，那么他的一个角的周期相当于是三百六十度，那重量是一百三十五度， 加上一个一百八十度乘以 k 这样的形式当然化为一个弧度至一百三十五度，他对呢就是一个四分之三判，所以加上一个一百八十度，一百八十度就是判，所以加上 k 判，最终可以要属于这， 所以这个角的集合，那就是北塔，北塔是等于四分之三派加 k 派，可以属于这这样的形式，就是例题三，用弧度去表示中边落在直线上角的集合。 第四，将下列个角化成阿尔法加二 k 派这样的形式。这面一定要注注意这个题目问的是什么，他说这个下列角一定要写成阿尔法加上 rk 派的形式，所以呢，我们关键是把阿尔法和这个 k 求出来就行了， 所以我们需要大概估一下下面角的一个范围。我们先来看第一个，六分之二十三派其实跟四派很接近， 但是如如果你把它这个六分之二十三派写上阿法加四派的话，很明显这个阿法是负的，是不可以的。所以我们证明六分之二十三派可以把它改成阿法加上二派的形式，那再解锁阿法就行了。而而六分之二十三派减二派，正好是六分之十一派， 这个角可以写成十六分之十一派加上二派的形式，这个角就是这样的形式。 所以呢，此时他是哪个象限，我们只需要判断六分之十一派在哪个象限就行了，他是在第四象限，因此第四象限好。再来看第二个，负一千六百八十度， 他其实跟一千八百度很接近，那么我们可以负一千六百八十度，先加上一千八百度，那么我们此时就可以将一负一千六百八十度转化为一个是一百二十度，减去一千八百度， 再将之转后一个弧度至即可。一百二十度，他是等于三分之二派。一千八百度，他正好是十派，因此我们 已经就将正面转为一个三分之二派，加上二派乘以负五的形式，那正面他是第几象限？只需要看三分之二派在第几象限就行，他是在第二象限角， 因此这个负一千六百八十度是在第二象限。第三个负七分之十八派，他大概是二，但是只有一个二的话是不太好的，我们可以是减去一个四派，所以我们正面如果正面 k 是为画， 我们再算出 f 来就行了。这里面比较好算，他是等于七分之十判，减去四判，也说正面相当于 k 为负二的情。 那此时七分之十派，他会落在第几项线呢？七分之十派，我们把派当成一百八十度 呢？七分之一千八，他大概会落在第三项线。可以大概把他的一个角度算出来啊。七分之十约等于一点五左右， 一点五乘以一百八，他没了，他是小一点五了。一点五乘以一百八，正好是二百七，但是小于二百七，所以顺序 第三下线。那七百五十五度呢？七百五十五度是七百二十度加三十五度，所以他是三十五度加上七百二十度。三十五度把它改成一个弧度至， 那就是三十六分之七派。七百二十度正好是二是四派，所以他是可以写成三十六分之七派加四派的显示，那他所在的象限很明显。第一象限， 这是列第四，把个角化为阿尔法加阿克派的这样形式，然后判断他所在象限，其实本质跟角度这里面的是一样的，我们可以先把所有的换成角度至，然后直接画画成一个弧度至，也可以或者直接把所有的画成一个弧度至， 直接来判断也是可以的啊。那么我们再再来看弧长公式，还有个扇形面积公式。在弧度之上，我们的一个弧长公式其实有很简洁的一个表达形式， 根据角度这里面的一个互化公式，然后把正面的一个一百八十分之 n 派换掉，其实我们就会得到弧长公式 l 就等于绝对值，阿尔法乘以一个半径，因此正面圆形角的一个弧度数是等于一个弧长 除以一个半径啊。之前我们是一直在单位语言里面，对于其他的一个任意半径的语言，那么我们也可以得到，可以得到圆心讲他的一个大小是等于弧长除以半径。 当然正面为什么要打绝对值呢？因为圆心角我们正面如果是逆时针旋转，他是为正顺时针旋转，他可能是得到负压，所以我们正面最好是打绝对值的。那 啊，这里面弧长公式是等于圆形角成一个半径，那扇形面积公式呢？以三角形面积公式蕴含，是有很相同的一个道理， 有一个欲取同工之妙。对于扇形面具公式，他有点跟三角形面具公式是一样的，相当于是二分之一底层高，而在扇形这里面，底相当 相当于是胡 ab 高相当于是半径啊，因此他的一个扇形面积公式就是 s 是等于二分之一， l 乘以二，那再把弧长 l 换掉，就等于二分之一，而法乘以 l 的平方。因此在 弧度之下，弧长公式还有扇形面积公式都是很简单的，希望同学们一一定要记住这两个公式。我们看例，第一是扇形的一个弧长为十八厘米，半径为十二厘米，那么这个扇形的面积是多少？ 那么扇形的面积是二分之一，弧长乘以半径，因此这个是二分之一乘以十八，乘以十二，正好是一百零八平方厘米。第二个，在半径为儿的圆中，第一个一百二十度的圆形 所对的弧长为多少？那么弧长是相当于圆形角呈半径。当然圆形角一定要为弧度至，所以先把一百二十度换成三分之二派， 那这这道题，第一个他的弧长就是三分之二派，乘一个二，这是第一个。第二个面积为二的平方的扇形的圆倾角等于多少弧度？ 那这里面我们可以设他的一个圆心角为阿法。根据刚刚的公式，我们知道他的扇形面积公式是等于二分之一乘以一个弧长，而弧长是圆， 圆心角乘一个半径，这是弧长再乘一个半径，所以是二分之一啊，法乘以二的平方，啊，啊，在这面是大，而是大二的平方，因此是二二的平方。 首先我们可以算出二分之一，阿尔法穴等于二，所以阿尔法为四，弧度是第一是四弧度。好，那么我们再进行本堂课的一个小节。 第一个，我们正面是如何来利用弧度至另一个角的大小呢？就角度至和弧度之间是有一个什么样的关系？转化公式是什么？前面是两个比较重要的问题， 第三个是弧度制下的一个弧长公式和扇形链子公式，这两个公式是务必要牢记的啊。那我们今天讲的一个就是一个弧度志，希望对同学们有所帮助。

我们开始三角函数部分内容的分享，那么今天呢，先介绍几个简单的概念，是一个纯知识表的分享课啊。 啊，来看一下我们介绍的第一个是弧度制。弧度制为什么产生一个弧度制啊？因为你之前都是在换算角度，三十度，三十六十度，三十九十度等等，是不是？那我们以后升级了啊，高端了，我们 这些角度全部转变成其他的数去表示啊，所以有这个弧度制，实现角度跟弧度之间的换算。还有等一下会介绍湖长公式和单机面积公式，马上开始啊。嗯，弧度制是什么呢？定义是这么说的啊，如果有一个圆，那我们都知道 他的半径谁是 r 是吧？那么在这个湖圆珠上啊，有一段湖长，这段湖长的长度也是 r， 那么这段弧所对应的圆心角二法就等于一弧度啊，弧度是他的一个单位，当然了，你这个弧度我们平时写的过程中可以省略，你直接等于一也 ok， 也 ok 啊，那我们都知道 一圆周是多少啊？三百六十度是不是用角度啊？我记得刘德华有一个电影有里面有个绝招叫七百二十度回旋体啊，那转一圈呢，就是三百六十度对吧，我给你稍微小一点啊，为什么产生一个弧度制呢？因为我们要将三角函数， 初中学的呢，三角函数只是三年三十度，三十六十度这样简单的算一下，要转变成一个彻彻彻彻彻底底的三角函数模型，所以呢，我们要写成 y 等于三 x 的形式，那你想一下， x 无非就是三十六十九十，甚至到后面一千一万度，对不对？ 那怎么去把它表示到数轴上去呢？对不对？你三十度的时候，现在三十度等于二分之一。哦，那你这边是三十，这里用二分之一，你想一想，恒中坐标比例失调，并且这边的单位也不好换算，是不是？等等等等一些原因啊？不仅仅如此， 就是说为了保证把角度转变到三角函数的时候比较方便啊，比较方便也就是为了用函数表示它，所以我们实现了弧度跟角度之间的一个转换啊，那么他们之间 怎么去转换呢？我们刚刚只说了弧度是定义对不对？二对应的这个弧度就是一弧度，那么整个圆周有多少有多少弧度？那你二拍乘以二，是不是圆的周长，你除以整个二，这就是有这么多段，那你再乘以他的一 弧度，那是不是等于二排，所以整个圆周他是二排弧度，所以我们有一个等量关系，三百六十度他等于二排啊，然后一百八十度， 那就等于拍，记住，这上面是有单位的，是弧度啊，只不过我们省略了，你千万别说一百八十度怎么会等于三点一四，对不对？没有这样算的啊，所以这一个等量关系就是我们以后 转化的一个关键点啊。如果你公事实在是记得乱七八糟，你何不必记这个等量关系呢？是不是？那以后就脱口而出了，三十度， ok， 六分钟拍六十度，三分钟拍九十度，二分钟拍一百八十度，拍好以后自己去换换啊，按照这个等量关系。好，接下来是我们的胡长公式。胡长吗？是不是就是一个圆周上不完整的 啊，就是个胡长，怎么去计算胡长呢？啊？这又是那个圆啊，他的半径呢？始终是二，以至他的圆心叫回二法。回二法啊，如果我们按照弧度算， 这个曲线部分就是他的胡长长度，是不是？那你胡长相对于整个圆周长二拍二，那不就是 圆心角的弧度跟整个圆珠角的弧度是比吗？对不对？所以这个一推断，哎哎，我看是谁二吧，二 啊，也就等于圆心角的弧度乘以半径就是整个弧场，这个公式就是这么推倒出来的啊啊，所以这个也不用死记硬背，自己按照比例关系去换算就行了，也就是说什么圆是一个非常 匀称的图形啊，一切东西都可以按照比例去换算，然后再来是扇形面积公式啊，这是扇形面积公式啊，我们主要是计算 这个扇形面积，如何去计算他的面积呢？依旧可以通过比例关系去划算。那我们就知道阿尔法比上 二拍，这个是不是弧度所占的比例关系对不对？那整个圆的面积是多少？是不是拍二百八？是不是？那扇形的面积呢？ 比上他是不是跟角度的比例是相几乎相当的？所以消一下，我们得到 s 上就等于二分之一。二发，二发，那 我们应知道 l 是等于二百二的，所以把这个 l 代入进来就等于二分之二啊。啊，这个是我们初中最常用的一个啊，扇形面积是怎么求的呢？这个是 l， 这个是 r 是不是？那不是进四乘三角形底唇膏吹二对不对？所以这两个都是通用的这个公式啊，好， 也就是说从弧度制到弧长以及到对应扇形面积，我们都是可以通过比例关系去解释的这些东西啊，所以记忆这些或者理解这些知识点，不要死记硬背啊，巧妙一点。好，谢谢大家。