三向量共面的充要条件

那我们来看一下平面下量基本定理，那由这边来推倒出空间下量，这个供面的创造条件好。嗯，首先啊，大家来复习一下这个基本定理， 就是说一个平面内啊，任意一个项链，那他给了一个字母啊，是 p， 可以写成那这样的形式啊，就是 p 灯也 xa 加上 yb 的形式。 好，那这两个系数啊， xy 提出来，那这个它形成了一个唯一确定的有序实数，对 啊，这个是平面销量基本定律，那它的本质是什么呢？ 本质上其实说明了呀，就是日记的一个项链 p， 我是可以分解为两个方向，那两个方向的项链，然后加起来， 那比如说这里个 ab 啊，说一种你就好理解了啊，比如说，比如说这个 ab 啊，垂直， a， b 垂直，然后 ab 又是，哎，单位相应，那是不是就很好理解了？那就相当于这个 a 呢，它是这个 x 轴上的一个单位啊，然后 b 呢？相当于这个 y 轴上的单位 啊，那为了我们不要混淆，那这里这个 ab 呢？我们就叫哎， a 轴， 对吧？我们可以叫 a 轴上的单位和 b 轴上的单位，那不叫 xy。 好，那 a 轴 b 轴，它不也是一个足疗系统啊？垂直的。好，那这里面的点呢？ 那你既然是单位想要，那 xa， 那就说明在 a 轴上啊，这个点是 x， 那比如说这个 x， 然后呢？ y 呢？就是在 b 轴上，那他这个 b 轴的坐标是 y， 好，很显然这个点就是 xy， 这是唯一确定的有序实施队，那他确定了一个项链，那说明，那这个项链这个欧点， 那就是 ab 的圆点，对吧？ a 做标准和 b 做的这个圆点，那起点和这个中点连起来，那这个有效线段是不是就这个销量？ p， 这是一个特例啊。嗯，然后帮助我们理解，这个本质就是平面相量，基本定量，其实说的一个事情就是项链可以分解。好，那反过来啊，反过来我们考虑，那你分解到的这两个项链 啊，咱们广义上啊，不说垂直的事啊，因为垂直，这是一个特例啊，大家记住啊，这是一个特例。好，那把这个特 特例去掉，我们来说啊，分解你有两个不垂直的项链，那我这个屁，那他能写成他俩，那这是一个怎样的位置关系呢？ 其实很好理解啊，如果说我这两个项链还是按这个格式来的，还是按这个格式，然后他俩加起来是 p， 那根据平行识别性法则， 那很显然，那这个 ab 它张成了一个平行四面形，然后这个 p 呢？是在这个哎， xa 这个项链和 yb 这个项链的，那这个平行 自卑型的对角线手， 那也就是说它是共面的，在一个平行四边形这个平面上。 好，那反过来啊，那什么位置关系有这个式子，那你还是啊，提醒你死面前的这个法则，对吧？ 好，那我们直接来看结论啊，就是正推反推，他都是一样的，就是 两个项链 ab 啊，他不贡献，那么这个项链 p 啊，与项链 ab 共灭的重要条件是存在唯一的有序实施队，使得有这样的一个柿子，那这个柿子 我们接触多了以后啊，你就熟悉了，这是一种线性的表示啊，最直观的例子就是坐标系，二维坐标系，然后这个 xy 正好是那个坐标， 当然这是一个特例，对吧？我们一再说这是一个特例，帮助我们去记忆那三个销量供面的创业条件，就这样。 好，那我们来看一个例题，那这例题现在先读一下题，首先第一步是有个平行四边形， 第二步过这个平行四边形的这个平面啊，这叫平面 ac， 那外一点做射线一下 做事情，那做出来以后你会不行，那这先有了 abcd 平行随行和这个平面，这个小很小的平面，对吧？在高处，然后后有了四条射线，然后初步看着大概像一个棱锥。 好，接下来呢，我们开始取点，取点呢，有要求就是你这个射线上的这个发散出来这个线段， 那我都有啊， oe 比上 oa 啊，就一条蛇线上啊 oeboa， 然后 另一条同一条事件上啊 ofbob， 然后 ogbocohbod， 都是一个比例啊，当然这个比例你一看你也知道这个 k 啊，在这个图中呢，他是大于一的，当然人家没说啊，题目没说好，来求证一下，这个 efghr 在四点封面， 那这个逻辑怎么来呢？那咱们按这个项链的供面重要条件，可以尝试一下点供面，我们转化为项链供面， 那有四个点，其实啊，三个项链就搞定了，那正好我们今天学的这个就是三个项链，所以这个机构，对吧？啊？四点用三个项链公面来整， 然后那前面的已知条件我们是不是可以用的上啊？是可以用的上，那因为 abcd 平行随行，平行随行法则马上就用上了啊，你对着现在这个项链 ac， 他是不是就是可以表达为 ab 和 ad 治疗的销量的加和 好，目前啊，我们知道啊，这个可以直接写这个狮子，但是怎么抓好下面这个狮子，这怎么把这个比例用的上呢？因为比例是 o 打头的销量，而不是 a 打头的，也不是 e 打头的，对吧？所以我们还是要情愿转化 好。那分析完了以后啊，来看怎么做。首先用这个椅子条件对吧？然后我们就把它拆开写啊，就是每一个要求的这个带殴打，他的销量 都用数乘的形式， k 乘以一个一直向好，那是方便我们后面去带入啊，因为有这个条件，供面的条件，对吧？ ac 等于他两个结合，然后我们来看 eg 啊，就这三个项链啊，这三个项链， agefeh， 这三个项链是我们最重要的项链啊，然后这三个项链能不能表示从啊 和上面的这个表达式啊，就怎么说的啊，三个下面供面的充话条件好， eg 来拆成殴打头的行不行啊？大家仔细观察一下这个图啊， eg 要是拆殴打头的， 那这个加法肯定不好使，因为你加法里面那个对角线，他都是要就是他的加和都是殴打通的 那两个都是殴打头的，所以说他加起来肯定是殴打头的。那易记的话，这反而是减法啊，就指向后，指向前， 这个比较容易，对吧？所以预计啊，我们就给它拆成了上面的两个殴打头的相声的减法， og 减 oe， 所以后置前 e 指向 g 好，拆完这一步， og 有没有表达式？有， k 乘以 ocoe 也是如此，代入 你带入以后 ocoa 哎，不就出来了吗？啊，可以乘以 ac 啊，这个比例有了，那 ac 还可以拆啊，因为上面直接这是个已知的供面， 所以 ac 就变成了 ab 加 ad， 那这里面系数都是一。因为直接符合平行四边形啊，所以你就不用麻烦去分解了，我们这个分 分解动作直接一步到位了，平行四边形发射，如果不是平行四边形啊，普通四边形，那你是不是还要分解啊？对啊，你还要分解 好，那有了，那 ab 加 ad 啊，那括号外的有数乘那个 k 也就提出来，对吧？啊，那里边开始继续运算 ab 的部分，那又拆，你看 ab， 那比利时还是没有，对吧，还是要拆成殴打头的，所以同样的啊，我要后减前 ob 减 ov， 然后面如此，然后 evi 最后就推出来了， 推出来说呢，就是咱们的最关键的这三条啊，一记他就等你 e f 加上 eh 啊，你把 k 给消掉了，对吧？好，那这个题关键点在什么地方啊？ 就这里点供面啊，我们有倒着来的，正要正点供面，先正向上供，要正向上供，那先用数的这个殴打出项量来表达这个水平的这个项， 然后同时把这些已知的比利时都用上欧打头的 oaobocud 和 oeofogoh 啊，然后解得 eg 等眼另外两个项链之后。好，这就是经典的项链的这个代数运刷来证明一个解决的问题。 好，这个题目很经典啊，大家要记下来 标准的怎样去正供面啊？点供面，倒推到下面供面，我们看下练习题，练习题第一个举例子啊，这个课本一开始给的例子，还有咱们举例的例子 就是三个，不，不同在一个平面内的项链的实力，对吧？一个是呃，墙角，另一个呢，是这个跳伞的， 就是这个花香伞啊，那个线，那这都是不在透明的平面 啊。然后第二题啊， ef 啊，这首先看图啊，一个长方体，长方体啊， ef 这两个点，那分别是两个棱的中点， 那化解化解，下面表达是第一个啊， aap 啊，这长方体里面有好多条件呢啊，好多人都是平行的 啊，然后我们来看 aap 和 cb， 那这两个呀，你看离得很远，那我们就要用到这个项链的平移 不变，对吧？那你可以啊，变成平行项链啊，平行写像呢 啊，这大小方向相等，那就不是一致的，对吧？所以我项链 cb， 我是不是就可以平移到 da 来了？好，那这里有个问题啊，他是减掉这个行为，那我 为了更简单，我们直接把你变成加一个相反的项链，行不行？就是说我 aap， 这是不变的情况下，我后面 aa 平，那我后面呢，我直接加加 ad， 你看一下， 那加 ad 就相当于减 da， 减 da 就相当于减 cb， 对吧？好，那这就好办了， aapad， 那平行四边形打折，然后这里很明显吧，长方体的这个侧面啊，这平行四边形啊， 那所以 adp 就出来了，对吧？这是 adp。 再来看第二个啊， aa 瓶加 ab， 然后加啊 b 瓶 cp， 那这个呀，我们老老实实来加一下试试啊，因为毕竟前两个是都是 a 大头的，那这种我们最喜欢用 您随便选法得了，是吧？然后那 aapab， 那这个不就是这个侧面吗？啊 a， 然后我们直接连对角线，就得到他两个的合啊，就是 abp 啊，就是一开始我们两个一加，他呢是 ab 皮，那 ab 皮，然后加 b 皮 cp， 那这个不就是首尾相连吗？那这种就更简单了啊，都不用拼音思维就行啊，直接连 手和第二个的尾啊， acp， 所以这个要写的话，分两步，对吧？一个是 abp， abp 加上 bpcp， 然后就得到啊， acp 啊， acp 连起来的话就是这个啊，最长的这个。好，那这是第二题啊，咱同样的把它给去掉，然后再来看第三个， 嗯， abab， 然后减 ab， 那 ab 减 adad， 好，那这两个你看 ab 减 ad 这个减法啊，然后 d 指向 啊，就是地来指向 b 啊，后指向前，这是减法，对吧？这减法， 嗯，那这个的话就是叫地地啊，地地，然后前面这个啊，加上这个地皮地皮，那这里有问题啊，那我是，哎，等你 db 啊， db， 然后加上一个 b 撇， b 撇，这个其实可以平移到 b d， 对吧？加 b d， 那这两个抵消了，哎，得零，这第三个得零， 好，第四个，咱直接把这答案写一下啊，第一个刚才大家没记住的啊，可以回去看一下这个过程啊，就是 a， 然后 d， 第二个啊， acp， 第三个零，第四个 ab 加 cf cfcf 可以，哎，这终点啊， f， 终点一是终点，那这个连起来，其实这个可以连起来。 好，那平移 cf 就变成了 b e， 好，那这个很明显啊， ab 加啊 b e， 那这个是反方向的，对吧？所以 ae 啊，这是一些解答。然后第三题呢，大家自己啊，照这个一杠六这个图啊，自己解一下，我们啊，再来看第四题， 那这个第四题，那咱们把它这个图啊，和这个题结合在一块来看， 左边四面体，这样来看好，然后，呃， abcd， 这个是四面体，然后 ef 分别是 bc 和 cd 的这个中度 啊，两个终点三角形啊，你看他划区线辅助性哦，我们来初步判断啊，这个用得上啊，中位线对吧？一言夫是这个三角形啊， bcd 的这个中位线，中位线定理他有什么特点啊？有平行，然后是 一半。好，然后看一下啊，这肯定能用的上，终点两个终点连起来，嗯，第一个，嗯， abab 项链，然后 bc， 然后 cd， 那这个最简单了，这个都是首尾相连对吧？ ab 这个跟画线一样， ab， 然后 bcacd， 那就直接连 ad， 对吧？最第一个的手和最后一个的尾连起来就是他了啊，所以第一个 咱们第一个的这个答案，呃，就是首尾相连解得啊。 ab 第二个，第二个是呃， ab 然后加，那这个要注意了， 分之一是什么东西啊？那我们要看看里边这个东西有关系吗？啊？ bd， 然后 bc 啊，这两个应该是可以做一个拼音，随便行，但是这有点麻烦，我们来看看咱们这个，把这个竖成拆口号行不行？ 咱们前上一节课学了这个法则，把它拆口号。那二分零比例中位线用上了 啊，这是平行项链或共线项链，也说方向相同啊，方向相同，然后大小正好是二分之一，所以二分之一比例等于 ef 啊，就是写的话就是前面有人试啊，那就写为加上 e f， 然后再加 bc 的 bc 的一半， bc 的一半，那可以是 be 对吧？也可以是 ec， 那很显然 d e 更好做呀，因为这个不是首尾相连吗？ 所以 b 加 e f 就变成了 b e， 你看 b e 加 ef 就等于 bf， 那 ab 和 bf， 那不又是收费项链吗？所以最后我们得到 af， 好来解第三个，第三个是 af， 那好吗？这是第二个的一个结论呢， 对吧？这是第二个一个结论，然后 af 等于 ab 加上 bf， 对吧？那我可以把这个 af 拆开啊，这是一种办法，不是说只有这一种办法，就是我们想到了做完了第二个，那就 af 吗？ af， 哎，让你求 af， 那正好把它拆开， 那变成了上面 ab 加上 bf， 那 ab 减掉一半 ab， 那还是一半 ab 啊，一半 ab， 那另外呢？ 另外是 bf 减掉，那 bf 减掉一半的 ac 减掉一半 ac， 那这个不不容易做，对吧？我们可以试一下啊， bf 减一半的 ac， 那这个没有终点啊，不好做啊。好，换一种方法，直接看括号里边，空号里边 ab 将 ac。 好，那这个也可以出现一个平易四圆形，但是我们在画的这个过程中，你发现啊， ag 这条线好明显，那平易四圆形，如果画出来 看一下啊，如果画出来， 其实他正好是 相当于是这个啊，因为 a e 啊，这是这个对角线的一半， 那为什么呢？你看这三角形，这是中线，对吧？然后平行四边形，那假设我们做出个平行四边形，那对角线互相平分， 平易自然形性质，那所以这个平分不就是这条中线吗？啊， a e 平分了 bc， 然后他自己也是被 bc 平分， 所以这个 ab 加 ac， 那么王老师是做的，那他的一半正好是 ae， 所以这就变成了一个 af， 不拆了 af， 然后剪掉 a e， 这可以啊， a f 减 a e， 好，那这个的话减法 e f， 那直接答案就是 e f， 当然前面那个方法大家可以再试一下啊，这个 af 我们直接用上面，然后看一下能不能做的出来。 好，那这样的几个题目啊，然后咱们这节课呢，就上了群啊，再见。

哈喽，大家好，今天呢，我们来讲怎么判断三个空间项链是不是供面的啊？或者去证明四个点是不是供面的。那么这里有个问题，就是啊，为什么是判断三个空间项链，不是判断两个或者四个 啊？因为在空间项链里边，任意两个空间项链，他肯定是供面的啊，比如说这是一个项链，这是一个项链啊，假如说现在他不供面，那怎么办呢？ 空间项链和我们的平面项链，他其实一样都属于自由项链啊，哪怕这两个项链现在不够面，我们可以给他怎么样呢 啊？平移一下啊，平移成起点相同的两个项链，那这个时候你会发现他就够面了，对不对？所以说空间项链里面不管这两个什么位置啊，他都是可以够面的。 但是三个空间项链就不一定了，就需要我们去证明了啊。比如说啊，我们在平面项链里边，他不会提到供面这个问题，因为都是在同一个平面内的，但是我们会提到一个贡献的问题啊， 比如说我要证明项链 a 和项链 b 贡献，那我只需要说明项链 a 等于蓝把它背的项链 b 就可以了。 但是在空间项链里面，这个他只能证明贡献，不能证明供面。如果我们要证明供面的话，比如说项链 a、 项链 b 和项链 c 这三个项链供面，我应该怎么说呢？我就只需要证明啊，和他很类似，就是加上 拉把它背的相当 b， 加上密友背的相当细，只要能证明这三个相量之间有这么一个等式的关系就可以了。这里的相量 b 和相量 c 其实相当于给他当做一个基底啊，如果我能用这两个基底去表示出来相量 a 了，那么他三个其实就是共面的啊，这个 b 和 c 呢，我们给他要求就是不能有零项量啊，但是如果说 b 是一个零项量的，那你想一下， abc 三个肯定也是共面的 啊，不用说，因为闭合任何项链都是贡献的啊。那么这是怎么证明三个项链供面啊？只要找到这么一个等式就可以了。但是三个项链供面和我们的四点供面又有什么关系呢？ 就是当我们列出来四个不贡献的点的时候，比如说 a 啊， bcd， 首先要证明四个点不贡献啊，说明他们不贡献，那么我们可以把它变成三个项链 之间的关系。比如说 o 以 a 为起点，变成 ab 项链， ac 项链和 ab 项链，那么如果这三个项链他是供面的，那这四个点肯定也是供面的，因为这三个项链呢，他都有同一个起点 a 啊，那么都有同一个起点了，发散出去的，那你想它四个点肯定够面了，对不对？那么我们可以找一个具体的题目来聊一聊，比如说这个题啊，他说 abc 三个点是不贡献的，然后欧呢，是这个平面外的一个点，然后 还说了 m 点，它满足这么一个式子，让我们问 m a， m b， m c 这三个项链是否供面？那么我刚才说了，我要证明这三个项链供面，我只需要得到什么就行了，他们三个之间能得到一个柿子 啊，比如说啊，多少倍的 mb， 加上多少倍的 mc 就可以了，当然不一定是 ma 等于什么什么，你也可以写成 mb 啊，等于多少倍的 ma 加上多少倍的 mc 啊，同样的 mc 也行，总之就是要得到他们三个之间的这么一个等式关系。但是题目中给的条件并不是 mamb 和 mc 之间的关系，他是 omoaoboc， 这样他多了一个欧，这是我不想要的，那我就要想办法把这个欧呢给他去掉，那我们先给他抄下来，看他怎么去掉这个欧， 加上三分之一倍的 oc。 响亮，那么这个时候呢，你看啊， om， 我想怎么才能把这个 o 给去掉呢？我可以把这个 om 给他分配到等号的右边来。 moaob 和 oc 后边都分一部分啊，因为 om 是一整个，那我移过来之后，你想一下，我给 oa 后边 分上一个，那三分之一倍的 omob， 后边呢，也给他分上一个三分之倍的 om， 那么 oc 也是一样， 你看他们前面系数都是三分之一，所以说我就可以提取供应室了，那这就是 om 啊，错了， 我这里应该写成 oa 啊，这里呢是 ob， 然后再去 减，那就是 oa 减去 om 啊，这也是一样，提个供应室是 ob 减 om， 然后呢是 oc 减去 om， 然后呢，我们给他用减法给他合起来之后，你看，这也是不就是 ma mb， 再加上三分之一倍的 mc， 那么你看，因为它是等于零的，所以说我这个时候就可以得到 mamb 和 mc 之间的关系了，这个 ma 你看它属于是等于负的 mb 啊，再减掉一个 mc， 这个就是我们得到的三个项链之间的一个关系啊，那么我们就可以说明这三个项链它是共面的， 这是我们通过我们刚才讲的怎么证明三个项链共面，那么第二问，他让我们判断点 m 是否是在平面 abc 内的，其实就是想让我们证明 mabc 这四个点他是不是供面的啊？如果四个点供面了，那 m 是不是在这个平面 abc 内了啊？就相当于我们要证明四点供面。第一问呢，我们已经证明出来了， ma， mb 还有 mc 这三个项链是供面的，只要我们能挣出来这三个相当供面了，因为它都是以 m 为起点的，我们就可以说明这个四点供面， 这就是我们证明四点供面的一个方法，就是先证明三个销量供面 就可以了。那么在这个题目里面，我们还有一个小的知识点需要大家去注意啊，就是这个式子 啊，他是 om 等于三分之一倍的 ob 加上啊， ov 加 ob 加 oc， 那么当我们遇到这种式子的时候，你看他都是以同一个起点开始的，都是以欧为起点的，然后后边呢，跟了四个点哦， mabc， 那么只要出现这个柿子了，然后而且呢，他们三个的系数之和 是一，加起来是一，那这个时候你就可以说明 mabc 三个点是共面的，为什么呢？因为刚才其实我们在解题的过程中已经正了，就是如果他的系数之和为一的话，你想一下 我等号右左边的 om 是不是就可以给他分配到左边啊？ ovoboc 后边都分配到对应的啊？因为系数之和唯一，那么加起来是不是就正好是整个的 om， 所以你肯定能得到一个 mamb 和 mc 三个相量之间的等式啊，那么这个时候我们就可以证明三个相量共面了，证明三个相量共面了，就可以说明四点共面了， 所以说啊，这个小的热点大家可以记住啊，在后边做选择和填空的时候可能会用到，那么继续往下看，怎么证明四点供面？刚才我们说了，如果我要证明四点供面， 我就要先证明什么，是不是三个项链共鸣啊？那这里的话 a e， fj 他的位置在途中的标出来了，那我要证明的话，我可以证明这个 af 啊， ae 和 aj 这三个项链之间的关系，我只要能写出来这么一个，比如说 aj 啊，他等于多少倍的 af 啊，加上多少倍的 ae 就可以了，这就是我们要努力的一个方向了，那么我们来看下能不能正出来啊。首先第一个这个 aj 我们可以给他先拆成谁呢？看一下图啊，我们看他写成 ac 项链是不是加上一个 cj 项链首，因为它的底面呢是个平行四边形，所以说这个 ac 的话，他肯定就等于我们的 ab 再加上一个项链 ab。 至于这里的 cj 呢，我们可以看 题目中给的条件，他说了 b e 呢是等于三分之一倍的 bb 一的，然后 df 呢是三分之一倍的 dde， 比如说 e 和 f 这两个点呢，都是侧轮的三等分点，而且是靠近下方的 d 和 b 的三等分点，这个这呢他也是个三等分点，不是靠上的 也，那么也就是说因为侧轮都是相等的，所以说这里 cj 它的长度，其实 d f 和 b e 长度的两倍都是他们的两倍，那么也就说这里的 d f 和 b e 是相等的，那么我们的 cj 他其实就可以写成这的 d f 啊，再加上 b 一啊，就把它给拆开了，我们再给他分配一下，那 ad 呢？我们可以加上 dfab 呢，给他加上 b 一，那 你看这个时候啊，我们给他扩起来，那这里是不就是 af， 后边呢就是 ae， 所以你会发现，正好我们又找到了这个 aj 和我们 af 和 ae 的关系，那所以说这的啊，像那样 aj 和我们的项链 af， 还有项链 ae， 他是不是三个项链供面？ 那因为三个项链共面，我们说了是不是就可以得到我们的啊？ a f 这一四点供面，对吧？那么这个题我们就给他挣出来了啊。思路就是你要证明四点供面，就先去证明三个项链供面，这是这一个。那么后边的两道题呢，我们都属于多选题 啊，我们从题目中有一些会涉及到我们今天讲的内容啊，我们可以每个选项都看一下。比如说第一个，他说空间中的三个项链，若有两个项链贡献的，这这三个项链一定够面啊，这个是对的，为什么呢？因为 有两个项链贡献了，那么你想一下啊，不管怎么样，他两个数都可以放到一条直线上，那么第三个项链和这两个项链所在直线，他肯定是可以供面的，对吧？那么第二个， 若对空间中任意点 o 有 op， 等于 oa 加上 ob 加上 oc， 前面有三个系数，然后问我们 pabc 四点是否供面？ 刚才在讲第一道题的时候，其实我们提到过啊，如果遇到这种式子，你先看什么呢？看这前面的系数啊，因为他们都是 是以欧为起点的，然后后面呢跟了四个点 pabc， 对吧？那么这的系数是六分之一，这是三分之一，这是二分之一，加起来正好是一， 那么跟你们刚才说的如果合适一，那是不就证明 pabc 四点供面啊？如果你要挣的话也可以，就是我们刚才说的把这个 op 怎么办呢？给他分配到等号的右边来啊，你 ovoboc 后边都分上一份 啊， ov 后边你就分六分之一份， ob 后边就分三分之一份， oc 后边你就分二分之一份，正好可以把这个 op 给分完，分完之后你会发现你可以得到一个 啊 pa 啊， pb， 还有 pc 这三个香料之间的关系，这个时候你就可以得到三个香料供面了。三个香料 供面就说明四点供面，这是第二道选项，那么第三个他说 abc 是空间中的一组基地，问我们 a 加 bb 加 cc 加 a， 是不是也是一组基地？这个题是对的啊，为什么啊？我们可以画一个正方形给大家看一看 啊，不是正方形，是一个正方体，我们在正方体里边去表示他可能会更好一点， 比如说啊，现在这个呢，他就是限量 a， 这个方向呢是限量 b， 然后上边这个呢是限量 c。 我们刚才讲了， 如果是要作为基底的话， abc 三个项链肯定不能供面，那所以说我们让他朝三个方向，那这里的 a 加 bb 加 cc 加 a， 如果他也要做基底的话，那就必须也保证啊，他们这三个项链也不能供面，那这三个项链在哪呢？你看 a 加 b， 他是不是应该是在啊这个平面上，对吧？然后 b 加 c 呢？是不是在这个平面上，然后 a 加 b 就在这个平面上，所以你会发现这三个项链他也不会公灭啊，都在三个项链 各自两个项链所在的平面上，所以说这个时候他们三个也是可以作为基地的啊。那么第四个选项这个就是错的了，为什么啊？ a 点成 b 小于零，是个钝角啊？很多同学 直观感觉是对的，但是还有一种情况他忘了，什么情况呢？平角也是一百八十度，这时候也是负的啊，但是他不是遁角，所以说这个答案就错了，我们再来看下一个，这个呢，他让我们 a 选项证明 bc 是不是等于三倍的比例的， 这里呢，我们可以来化解一下，我们同样根据刚才的方法，可以把这个 ad 呢给他 分配到我们等号的右边来，那你看他属于是零等于三分之一倍的 ac， 减掉三分之一倍的 ad， 再加上三分之二倍的 ab， 你也减掉一个三分之二倍的 ab， 正好把这 ab 给分完了，我们给他合并， 然后预算一下，那就是三分之一倍的呃， dc 加上三分之二，这里我写错了，这三分之二，三分之二倍的 bb， 然后他们是不是等于零，那我们可以得到一个关系式啊，那就是 我们把它移过来，是不是 dc， 它就等于 food 二倍的 db， 对吧？但是这个并不是我们想要的，人家题目中问的不是 dc 和 db 之间的关系，人家问的是 bc 啊，和 bb 之间的关系啊，那其实就相当于这里的 dc， 他 是等于二倍的比例的，但是我不想要 dc， 我想要 bc， 那怎么办啊？那我们可以选择其实给他拆一下，怎么拆呢？我可以把这个 dc 给他拆成 db， 加上一个 bc， 这是不就是二倍还是二倍的 bb 啊？那这个 db 我给他移过来说，就是 bc 等于二倍的 bd 减掉一个 db 了，减掉 db 数据相当于是 加上了一个比例，因为他们是相反相量，所以说你看我正好可以通过这个式子，是不是可以得到啊？ bc 他是等于三倍的 bd 的啊，所以说这个 a 选项是对的。其实如果你不想这样挣的话也可以，你也可以给他直接画个图，其实也可以直接看得出来。 怎么直接画个图呢？他这个题目中我们是不是证明出来了 dc 等于二倍的 bd 了？那你想一下，我可以画上一个 dc， 那么 bd 他是在什么位置呢？他是在这个位置的 啊，这是 b d， b c 等于二倍的 b d， 那你会发现如果这也是二倍的 b d 的话，那这也是不是正好？是啊， b c 他是不是正好就是三份的 bd？ 那有同学可能会问，为什么这个 b 是在 dc 的左侧，不能在这个位置呢？ 这个时候他就错了，为什么呢？因为如果 b d 在这个位置的话，他和 d 系就是相反相量了，他也不可能是 d 系等于二倍的 b d 的关系了，所以说这个 b 他只能在这个位置啊， 那就是说明这里有个三倍的关系。这是第一问，那么第二问的话，他让我们证明 q 是三角形 abc 的重心，这里如果我们要证明一个 点是三角形的重心的话，他就必须得能证明出来一个东西啊。 q 他如果是重心，我可以说明什么呢？就是 qa 加上 qb 加上 qc， 他一定得等于零才行。那所以说呢，我要把题目中这个式子看看能不能化解成上面这个样子。那么这里呢，是个 pq 等于三分之一倍的 pa， 加三分之一倍的 pb， 再加三分之一倍的 pc 啊，其实跟我们刚才算过好多题都一 一样，我们还是把这个 pk 哦，你可以选择给他分配过来。那你看数据是零等于三分之一倍的 pa 啊，减掉一个 pko， 同样道理，加上三分之一倍的 pb， 剪掉一个 pko， 再加上一个三分之一倍的啊，我就不写了。那你会发现写完之后，其实就是啊，三分之一倍的 koa 加上三分之一倍的 kob， 再加上三分之一倍的 qc， 他们是等于零的，这个三分之一我们可以给他同时约掉，那你看属于是 koa 加上 q v 再加上 q c， 那就等于零了，对吧？那所以说这个可以证明他这个三角形，这个重心就是 q， 所以这个 b 选项 也没有问题。那么至于 c 选项，这个如果要证明的话，那我们其实有两种思路可以去给他进行计算。哪两种思路呢？ 一种是我要证明的是 pb 点乘 ac 等于零，但是前边呢都是 pa 啊，然后 pcab 和 bc 并没有我们这里边的两个，那我们要是想出现这两个的话，那 只能用一个字，我们前往说要拆啊，把位置的拆成一致的，那这个时候拆的时候呢，我们其实有两种思路，一种呢是 把前面的啊 pa 点成 bc， 还有 pc 点成 ab， 我们给他两个拆开啊，拆出来我们的 pb 乘以 ac， 然后证明他等于零。还有一种思路呢，是反着拆 啊，那我要证明是他他两个点成等于零，那这个时候我就把他给拆成前面的啊，然后把前面条件给带进去，我也可以整两种方法呢，我都试了试，都可以拆的开啊，大家可以试一下。那这里的话 我们拆一个吧，比如说我反着拆，我要证明的是 pb 项链点成这个 ac 项链等于零，对吧？那我就把它拆呗啊？ pb 我可以拆成谁呢？我可以拆成 pa 啊，成个 ab 加上个 ab， 那么这个时候拆开了，然后 ac 呢？我们可以拆成什么呢？可以拆成 abab 吧，加上一个 pc， 我们试一下。 那这个时候你来看，我们给他展开括号，那是不是就是 pa 点成一个 ap， 然后加上一个 pa， 点成一个 pc， 再加上一个 ab， 点成一个 ap， 再加上一个 ab， 点成一个 pc。 我们首先看一下这四个里面的有没有能约掉的，首先的话 ab 乘以 pc， 它是等于零的，那这个我们就不需要再管了，因为它就是零了，对吧？然后呢再来看啊， pa 乘以 pc 不行， ab 乘以 ap 约不掉，然后 pa 乘以 ap， 那其实就是啊 啊富的 pa 的平方，然后这里呢有一个 pa， 这里呢有一个 ap， 那我们可以给大家先给大家合并一下，那这就是 pa 点成 apc 减掉一个 ab， 点成一个 pa， 那么我们给他照抄下来还是 pa 项链的平方，这里的话就是加上一个 pa 项链，然后里边呢是 pc 减去一个 ab， 好像约不掉，那约不掉的话，那我们可以怎么办呢？我们可以给他换一个，换一个给他合并呗， 那这里我们可以给他合并谁呢？嗯，还是把 pa 提出来里边呢？那就是一个负的 pa 把前面的给他提出来，然后减去一个 ab， 然后这里是 pa 点成一个 pc， 那么我们把符号提出来，是不是父辈的 pa 乘一个 pa， 加上一个 ab， 然后再加上一个 pa， 点成一个 pc， 给他合起来啊？那是不是就是负的 pa 给他点成了一个 pb， 然后再加上一个 pa， 点成了 pc， 还有 pa 可以提，那我们就再提个 pa， 那这里的话就是 是 pc 减去一个 pb， 那你看我们给他继续和，那是不是就是点成一个 bc 啊？ pa 和 bc 相乘是等于零的，所以正好我们化解完之后发现他有等于零，所以说这里对应的呢，他 是不是就是零了？那我们就可以证明我们题目中要正的条件了，所以说 abc 都是对的。他至于第四个题，他让正的是一个四面体，个个冷场都是二，然后 m n 分别是终点，让我们求 m n 的长， 那么这里的这个题的话和我们今天的没有太大的关系，但是和我们前面讲到过，首先这个四面题他冷场都是二，那就说明他是一个正四面题啊，冷场都一样，那么我们可以给他用什么方法呢？就是我们那天讲过的，用已知的基底去 表示这个 m n 项链也相当于是怎么样呢？给他拆啊？怎么拆？我们稍微讲一下啊，给他画上一个四面体，然后表示出来这一带 这是个四面题，然后上面是点 p， 这是 abc， 然后 mn 分别是 pa 和 bc 的终点，这是 m， 这是 n， 我们给它连接起来，这个时候的话，如果我们要求 mn 的话，我们就可以把这个项链 mn 给它拆分成啊，多少倍的 pa， 加上多少倍的 pb， 再加上多少倍的 pc 啊？因为 papb 和 pc 这三个项链都是我们已知的啊，他们的长度是都是二夹角都是六十度，那么我们要求他的长，只需要求他磨的平方，那么这里我们同样给他来个平方就可以算出来了 这第四个，那第四个应该是不对的，我记得答案他是根号二啊，那么今天呢，我们就讲到这里，谢谢大家。

这节课我们一起来学习限量贡献的重要条件。限量 a， 当这个限量 a 不等于零的时候，他与限量 b 贡献的重要条件呢，是存在唯一一个实数，那么大使限量 b 等于那么大倍的限量 a。 那么当这个项链 a 前面的那么大，他是一个正数的时候，他们俩项链 a 和项链 b 的方向是相同。 当那么打是一个负数的时候，小于零的时候，限量 a 与限量 b 的方向是相反的。 所以说，如果项链 a 和项链 b 贡献，他们的方向要么是相同，要么是相反，要么是这种关系，要么呢是这样的一种关系。但是呢，一定会存在一个实数 m 的使项链 b 等于 m 打倍的项链 a。 接下来 我们做一下练习题来巩固一下。第一题，已知项链 ad 是等于三倍的项链 ab， 项链 ad 是等于三倍的项链 ab。 销量 d e。 呢？项链 d， e 是等于三倍的项链 b c。 现在需要判断的是，项链 a c 与项链 a， e 是否公限？项链 a c 与项链 a e 他们是否公限。那么我们想办法 利用项链 a 系来表示项链 ae， 来看一下项链 ae 的一个值。项链 ae 项链 a e， 它是等于项链 a d 加上项链 d e 的。根据限量加法的三角形法则，它是等于项链 a d 加上项链 d e。 题目中给出了项链 a d 呢 是等于三倍的项链 ab。 项链第一呢是等于三倍的项链 bc。 好，我们把三提出来，是等于项链 ab 再加上项链 bc， 他们俩一相加呢，是等于项链 a c 的，所以他的值是等于三倍的项链 a c。 将项链 ae 是等于三倍的项链 ac 前面是一个实数，所以项链 ae 与项链 ac 是贡献的，他们三点 ace 三点在同一条直线上，所以他们是贡献的。 第二题，已知限量 ab 是等于项链 a 加上五倍的限量 b， 限量 bc 呢？是等于负两倍的限量 a 加上八倍的限量 b， 限量 cd 呢，是等于三倍的限量 a 减去限量 b。 幸运 在问 abcd， 他们的一个三点贡献的一个情况。先来看一下 abbc， 也就是说 abc 三点贡献的一个情况。这里 a 前面系数是一， b 前面的系数是五，所以这里是一。前面系数是一比五的一个关系。 这里呢， a 前面系数是负二， b 前面系数的是八，所以前面系数是负一比四的一个关系。那么 a b 和 b c 他们不可能存在一个 m 档是 a， b 等于 m 档倍的 b c， 所以他们三个不可能贡献， abc 三点不可能贡献。 再来看一下 bc 和 cd， 也就是 bcd 三点的一个情况。这里呢， a 前面系数是三， b 前面系数是负三，所以前面系数比呢，是一比负一 这一关系，不可能存在一个那么大十限量 bc 等于那么大倍的销量 cd， 所以 bcd 三点也不能贡献。 接下来只能看 abd 和 acd 相减的一个情况。 abd 这里 ab 有了，那么 bd 呢？ bd 要把他们俩作为一个运算，这样要做运算，我们直接用 bc 加上 cd 来看一下，就等于 bd， b， d 是他们俩相加，所以是负两倍的 a 项量加上八倍的 b 项量，再加上三倍的 a 项量，减去 b 项量化减一下是等于 a 项量 再加上五倍的 b 限量，刚好是与 ab 限量是一样的， a 前面系数是一， b 前面系数 是五，那么 a 选项就正确， abd 是三点贡献。 再来看一下逆袭三，这项链 a 和项链 b 是两个不贡献的限量，他们俩是不贡献的两个限量。 那么有这样的几个等式项链， ab 是等于两倍的项链 a 加上 k 倍的限量， b 限量， cb 呢，是等于 a 限量 a 加上限量 b 限量。 cd 呢，是等于两倍的项链 a 减去限量 b， 而且说的是 abd 三点贡献。现在问十数 k 的一个值 ab， 我们看一下 ab 项链出来了， bd 项链呢？ bd 项链没有，我们把它算出来， b 在前面， d 在 后边，那么我们用 cd 项量减去 cb 项量， cd 项量减去 cb 项量，是不是等于 cd 项 加上 cb 限量的一个相反限量，那么就加上 bc 限量就行了，这里 c 在后，这里 c 在前，那么最后就得到了 bb 限量 bb 项量，知道了，他是等于 cd 限量减去 cb 限量， cb 限量是等于两倍的 a 限量减去 b 限量，减去 a 限量，减去 b 限量，那么是等于 a 限量减去两倍的 b 限量。现在说 abd 三点贡献，那么得到 ab 限量是等于那么的被的 啊。 bb 项量， ab 项量是等于两倍的 a 项量，加上 k 倍的 b 项量， 那么是等于那么大倍的 a 项量，减去两倍的 b 限量。把那么大乘进去是那么大倍的 a 项量，减去两倍的 南木打背的 b 项量，根据前面的系数相等两倍的。那么打是等于 k， 这里呢？二是等于，那么打，那么那么打等于二，那么打等于二，这里就是四，所以四就等于 k， 但是一定要注意前面有个负号，所以 k 的值呢？不是等于四，而是等于负四。 最后是等于副词。最后我们来做些小节，这节课呢，我们就学习了项链 a 与项链 b 贡献的一个重要条件。注意，项链 a 是不等于零项量，这里是零项量，他是存在唯一的一个实数那么大十限量 b 等于那么大倍的项链 a， 那么当拿不到大于零的时候，限量 a 与限量 b 的方向相同。当拿不到小于零，限量 a 与限量 b 的方向是相反的。

来看一下这道题，对任意三个项链， a、 b、 c， 证明 a 项链减 b 项链， b 项链减 c 项链和 c 项链减 a 项链共灭 好，我们说这道题，他就主要考察的是项链供面的条件。好，我们说项链三个项链供面的话，我们假设 a、 b、 c 三个项链供面的话，我们就能得到 a 项链，可以写成等于 x 倍的 b 项链，再加上 y 倍的 c 项链。好，那我们来证明下这道题， 好，那我们就写 a 减 b 这个项量，整体 a 项量减 b 项量，我们就把它写成 x， b 的 b 项量减 c 项量，然后再加上 y 倍的 c 项量减 a 项链，好，那我们计算一下，就等于我们把它乘进去 x， b 项链再减 x， c 项量，再加上 y， c 项量，再减去 y， a 项链。好，那么大家合并一下， a 项链只有一个，那就负 ya 项链，然后再加上 x 倍的 b 项链，好，再加上 y 减 x 倍的 c 项链， 好，那我们算一下钥匙两个相等的话，那他们的系数分别相等，那么我们的 a 相量的系数就是一，那么一就等于负歪，好，那么负一就等于 x， 好，那我们就解出来，我们解得 x 就等于负一，那 y 也等于负一好， x 等于负一， y 等于负一，那 y 减 x 就等于零，那么可以使两个式子相等，那所以我们就正得 a 项链减 b 项链， b 项链减 c 项链， c 项链减 a 项链共灭。 好，那我们这道题我们就做完了。好，我们来做一下总结。 好，我们说首先第一个，我 们这一块一定要清楚怎么证明项链共灭 好，我们怎么证明三个项链共面，那么就说 a 项链等于 x， b 的 b 项链 加 y 倍的 c 项链，如果能得到他，那我们就能挣出来。顾面。好，第二个就是你说项链这一块计算我们一定要熟悉。好，那我们这道题就讲到这里，再见。

空间项链供面的判定，同一平面的项链乘坐 a 罩供面项链， 为什么呢？同学可以这么理解一下，这里有两个项链， a 和 b， 看似他好像不够面，但是呢，因为项链呢，他可以平移的，那他们都平行阿法这个平面，所以你可以把它平移过来，平移之后呢，他们就在同一个平面内，那么就可以把它试成呢，是共勉的项链。第二，共勉项链定 落两个项链 a b 不贡献，那么 p 与 a b 共面的充要条件就是存在唯一的有序时速对 a 撇外，使得 p 等于 a， a 加 y b， 这很显然，这其实就是平面向量分解的基本定理，如果 ab 不贡献，就可以充当这个平面的一组基底，那么呢，任给一个项链，这项链是在这个平面内，这个项链 p 都可以由 ab 这两个项链现心表示啊，这个就是平面项链分解 基本定理把，有兴趣的同学可以回看以前的知识点。好，最后再看一下推算 空间一点， p 位于平面 abc 内的充药条件是存在有序指数，对 apy， 使得 ap 等于 aab 加 yac， 那这里是充药条件， 那其实就要说明这个可以推出这个啊，后面这个呢，也可以推出前面这个好，我们来说明一下，前推后 pe 位于平面内，能不能就推出 ap 等于 aab 加 yac 呢？ 这是可以的。 p 位于这个 abc 的平面内，那其实就说明 p 啊，与 a b c 共面， p 与 a b c 共面呢？其实马上就可以得到 a p， a c， a b 是什么供面的？那么三个项链供面呢？我们由上面的供面项链定理就可以知道， a p 一定可以表示成 x， a b 加上什么 y 个 a c， 对吧？啊，这是前推后利用到了共勉项链的定义，那后推前呢？如果已经知道存在有序点对 l 使得 a p 等于 a a b 加 y a c， 那啥意思呢？那其实就是 a p 这个下量可以用 a ab 与 ac 表示出来，那 abac 表示的项链呢，肯定还是落在这个平面内，那就说明 ap 与 abac 共面， ap 与 abac 共面其实就是意味着 p 这个点 与 a b c 这三个点都是共面的啊。注意啊，这里要强调啊，原因是因为这三个项链呢，是有个公共点，所以三个项链 供面也就等于这个四个点是供面的。四个点供面的其实就意味着 pg 的点落在 apc 这个平面内。 最后这个推论呢，同学们其实只要了解一下，他其实跟供面下来的定理是一样的，而供面下来的定理呢，其实就是我们平面 向量分解基本定力的同意转速。

这个视频我来讲讲贡献与贡面限量基本定理。首先是贡献限量定理，和平面限量一样，如果限量 a 等于拉莫大倍限量 b， 那限量 a 就平行限量 b。 反过来，如果项链 a 和项链 b 平行，那么项链 a 就等于那么大倍项链 b。 这就不多说了，重点来看共灭项链定理。首先什么是共灭项链呢？顾名思义，就是一个平面内的项链，或者是能平移到一个平面内的项链，就是共灭项链。 其实任意两个项链都可以平移到同一平面，所以两个项链一定共灭，但三个项链就不一定了。那啥时候三个项链共灭呢？如果项链 c 等于两倍的项链 a 加上三倍的项链 b， 那显然这三个项链是共灭的。 像这样，如果项链 c 等于 x 倍项链 a 加上 y 倍项链 b， 那项链 c 就和项链 a、 项链币共灭。反过来， 如果项链 c 和项链 a 项量必共灭，那么项链 c 就可以表示成 x 倍项链 a 加上 y 倍项链 b。 也就是说，能够写成这种形式的三个项链就是共念项链。反过来，如果是共灭项链，就一定能写成这种形式，这就是共灭项链定理。接着咱来试个题， 已知这三个项链，你能证明这三个项链共灭吗？刚才说过，要是他们能写成这样，那就是共灭的，来看看是否成立。 左边就是负三倍项链 i 加七倍项链 g， 右边把项链 a 的带进去，再把项链 b 的带进去，然后把右边整理一下，先把 x 沉进去，再把 y 沉进去，接着这两个合并就是 x 减 y 倍项链 i， 这两个合并就是三 y 加二 x 倍限量 g， 最后这两个合并就是 x 加二 y 倍限量 k。 整理完毕，接着要让左右相等， 那限量 i 前面的得相等，限量最前面的也得相等，限量 k 只有右边有，也就是这一坨得等于零。接着解一解，这个方程组有的 x 等于负二， y 等于一十，这三个式子都成立，也就是限量非就等于负二倍限量 a 加一倍限量 b， 所以他们三个是共面的。证明完毕， 看来以后遇到这类题，可以写成这种形式，然后再验证是否成立就行。好了，以上就是贡献与共鸣项链基本定理，其中贡献项链定理和平面道是一样的， 新内容是共灭项链定理，如果项链 c 等于 x 倍项链 a 加 y 倍项链 b， 那这三个项链就共灭。反过来，如果他们共灭，也一定能写成这种形式。好了，我就讲这么多，赶紧刷题去吧。

这个视频我来讲讲空间项链平行、垂直和共面的条件。首先是平行的条件，和平面项链一样，如果项链 a 等于拉姆大，背相量 b， 那这两个项链就是平行的。反过来，如果这两个项链平行，那就能写成项链 a 等于拉姆大贝，项链 b。 举个例子，比如这道题告诉你，这两个项链平行，那么 x 等于几， y 等于几呢？刚才讲过，他俩要是平行就能写成这样，带入坐标，也就是二 x 一三等于拉姆大贝，一负二外九，整理一下右边，把拉姆大沉进去， 根据左右相等，所以二 x 等于拉姆达，一等于负二拉姆达， y 三等于九拉姆达。接下来解这个方程组就行，就得到拉姆达等于三分之一， x 等于六分之一， y 等于负二分之三，搞定。像这样，遇到两个项链平行，你 就能把他俩写成这种形式，然后把坐标带入，利用对应箱等解放程组就行。平行我就讲到这。接着来看，垂直的条件和平面中还是一样，如果两个项链相乘为零，那这两个项量就是垂直的。 反过来，如果两个项链垂直，那他俩相乘就得零。举个例子，比如这两个项链告诉你，他俩垂直，那么 x 等于几呢？刚才讲过，两个项链垂直，那他俩相乘就得零。把这个带入坐标，也就是三乘 x 加上 x 减一，乘负二，再加上负二乘二就等于零。 把左边整理一下，得 x 减二，所以 x 就等于二，搞定。像这样知道两个项链垂直，那相乘就得零，然后只要带入坐标来计算就行。垂直就讲到这。最后是共面的条件，如果项链 c 等于 m， 被项链 a 加上 n 备项链并，那这三个项链就是共灭的。反过来，如果三个项链共灭，那就能写成这个形式。还是来举个例子，已知三个项链，如果这三个项链共灭，那拉布达等于几呢？ 刚才说过，如果这三个项链共面，就可以写成这种形式。接着把他们都换成坐标，把等式整理一下，分别把 m 沉进去，把 n 沉进去，他两相加，就是横加横，纵加纵，竖加竖，整理完毕。 所以十三就等于二， m 减 n， 六等于负， m 加三 n， 拉姆达等于二， m 减三 n， 接下来解这个方程组，减得 m 等于九， n 等于五，拉姆达等于三，搞定。 像这样，知道三个相当供面，就可以写成这个形式，然后换成坐标来算就行。好了，以上就是平行、垂直和供面的条件，如果向来 a 等于拉布大背向上 b， 那他俩就平行。如果两个向量相乘得离，那他俩就垂直。如果向上 c 等于 m 背向上 a 加上 n 背向上 b， 那他们仨就共灭。反过来也都能推出来。怎么样，你会了吗？如果会了，就速速刷题去吧！

类比的思想就是先说平面下来，平面它在一个平面上就是 abc 三点贡献，在直线外一点，有 o， 有一个点 o， 那么三点贡献的冲药条件是 abc， 三点贡献 通药条件是 oc 下量可以用 x 倍的 o， a 加外倍的 ob 表示出来，而且系数资格唯一。我们刚才说了，这是，我刚刚才也证明了一下。下面呢， abc 三点贡献，他推广的空间就应该是 abcd， 四点 啊，四点什么呢？ ab， 咱们就按这道题吧， abcp 四点共变，那么 o 是直线外一点，那如果推广的空间当中的话，它应该是 o 是平面外一点， o 是平面外一点，明白不？那么它的意思就是说 op 下量一定可以用 oa， o， b， o、 c 表示出来，系数之和为一，也就说是这个结论我们再写一遍啊， s 加 y 加 c， e， e 连本结论能背过不？平面上是三个点贡献空间当中是四个点共变，平面上是直线外有一点 o， 空间当中呢，是平面外有一点 o。 哎，浙江是 op 还是 oa 无所谓，随便一个项链就可以了。好，我们先往这挣证明方法。先往这挣怎么挣呢？重要条件是先证明 op 下量等于 x 倍的 o， a 加外倍的 ob 加 z 倍的 oc， 系数字的为一，证明 abcp 识别后面。 嗯，好，我问大家一个问题，怎么证明四点方便？我好像刚才说了一下，这是哪点大气的过程。嗯，他说怎么证明四点方便，就是证明四点方面就是证明其中一个项链，比如 pa 吧，他能够用 pbpcp 考试出来，我们就是平面项链。基本定理，我们就说四点是公便了， 字典是不变的好吧，所以怎么证呢？我们再整，这是一致的，因为这是一致的，所以 o p 下量等于 x 倍的 o a 加上一个外倍的 o b， 加上 x 加 y 加内领一，所以 z 就是一减 x 加 y， 然后 o c， 所以等一个 x 倍的 o a 加上外背的 o b， 加上一个 o c， 减去 s 背的 o c， 减去外背的 o c。 嗯，好，因为 s 加外加内已经等于一了，我们往那走对吧？再加上其中 x 加外加内等于一啊。把这换掉，他俩可以合并一下，正好是 cp 啊。 cp op 加 oc 是 cp， 他俩可以结合是 x 倍的 ca， 他俩可以结合是外倍的 cb c p 等于多少倍的 c a 多少倍的 c b。 问大家一个问题，是点功率练了吧，这是不是平面限量基本命令 ca cb 显得不贡献这两个下料？所以 cpab 四点共变证明四点共变的方法就是平面向上基本定理会了吧？好，那反过来，这是同样条件。那如果我往这整，就说白了， a 啊，箭头别那直了，直接写一遍。问题 abcp 四点共变， 我们能不能写出来 op 下量等于多少倍的 o a 加多少倍的 ob 加多少倍的 oc？ 而且系数字和为一 有点难理论。嗯，那么既然试点供面了，让大家思考一下。试点供面，当然我们直接写他就可以了。 cp 项链一定可以用多少倍的 ca 加多少倍的 cb 表示出来，反过来写，你说是不是因为试点供面很明显就是平凡项链基本定理吗？他有个前提是 abc 三点不贡献，所以 cac b 可以作为基地，那么直线外有一点 o， 我们可以这个平面外有一点 o， 我们可以把它写成 o p。 点 o c， 我们可以把它写成 x 倍的 o， a， 减去 x 倍的 o， c， 我们可以把它写成 y 倍的 o， b， 然后减去 y 倍的 o， c， 然后一合并成为抢。所以 o p 等于 x 倍的 o， a 加上一个外背的 ob， 加上一个一减 x 减外背的 oc。 你看细数是可以不？应该是 我说没办法就绕过去了，就相当于。好，你再了解一下这个过程啊。好，我们刚才这个空没舔，我们舔一舔，你会舔不？如果两个项链怎么着？那么项链 p 与项链 ab 共变的创造条件是存在唯一的一个四处。对，太重要了，后面大体有他。 是不是？如果两个项链不贡献，那么就可以作为基底，所以项链 p 一定是可以用多少倍的 s 项量加多少倍的 b 项链表示出来。我们就说这三个项链是够面的，考小题，考大题，如果月考，考的方面比较小，是有可能考大题的。好，来分类， o， a， b， c 是不够面的。四点 空间中任意一点 p 都存在唯一的有序十段 s， y， z 使得 o p 等于他当什么的时候。 a， b， c， p 四点五面。当 x 加 y 加 z 点一的时候。好，你先背一下， 备一下，必须得备起来。向推不靠谱，向推不靠谱啊。技术制作为一四点勾面欧是平面外一点，而是证明过程。

这节课我们一起来学习贡献限量与供命限量。首先呢，了解一下他们的一个相关定义，贡献限量也称为平行限量，那么贡献限量呢，是表示若干空间限量的有限线段所在的直线呢，互相平行或者是 重合，他们的方向呢？相同或者是相反。像这样的项链呢，我们称为贡献项链，也称为平行项链，怎么样理解呢？比如说这是项链 a， 那么现在呢，这里是限量 b， 限量 a 和限量 b 是重合的，而且方向相同，那么他们是贡献限量，那么这里是限量 a， 同 同时这个呢是限量 b， 他们俩是重合的，但是呢，方向相反，他们也是贡献限量。好，另外呢，这是限量 a， 这是限量 b， 他们俩方向相同， 而且是平行的，他们也是贡献限量。再来画一个，这是限量 a， 但是这是限量 b， 平行，但是方向相反，他也是贡献限量。所以像一二三四这四种情况呢，都是贡献限量，不管是平行还是重合，那么方向相同还是相反，那么像这些情况呢，都是贡献限量。注意，我们之前讲过零限量，什么叫做零限量？也就是说如 一个限量 a， 他的模呢是等于零，那么他的长度为零的话，那么像限量 a 呢，就是一个零限量。零限量方向是任意的，我们规定所有的零限量都相等， 那么零限量呢，与任意限量也是贡献的，这是我们规定的。接下来我们看一下贡献限量，也就是平 限量，他的定理是什么样子的。对，任意两个空间限量 a 和 b， 注意 b， 项量，他不是零限量， a 和 b 平行的出现了，条件是存在时数难不倒使项链 a 等于难不倒背的限量 b。 好，我们用符号语言把它表示出来， 项链 a 平行于项链 b， 那么他的冲药条件，这样是冲药条件，两边都可以推出来。能得出项链 a 是等于男 打倍的限量 b。 我们说限量 a 和限量 b 平行，能得出限量 a 等于难不倒背的限量 b。 如果限量 a 等于难不倒背的限量 b， 那么我们也可以得出限量 a 和限量 b 是平行的，这是贡献限量的定理。 接下来我们再聊一下什么叫做供面项链。平行于同一个平面的项链，我们叫做供面项链。比如说这里有一个平面，我们既 平米阿尔法，项链 a 呢，是平行于平米阿尔法，项链 b 呢，也是平行于平米阿尔法。像 如果项链 a 平行平面耳法，平面项链 b 呢，也平行于平面耳法，那么我们就说项链 a 呢与项链 b 呢是共面相量， 这是供面项链的一个定义。另外要注意，空间中呢，任意两个项链都是跟供面的，任意两个项链都是供面的。第四，供面项链的定理， 如果两个项链 ab 不贡献，注意他的前提条件是项链 a， 项链 b 呢，不贡献，这个是要注意他不贡献。那么项链 p 与项链 ab 共面的重要条件 p 呢，与 ab， 这两个项链 供面冲药条件呢？他的冲药条件，我们用符号来表示，存在唯一的有序 使出对，注意，这里是唯一的有序使出对。 x y， 使得限量 b 等于 x 倍的限量 a， 加上 y 倍的限量 b， 如果 ab 不贡献，而且项链 p 与项链 ab 共灭，那么我们得出这样的一个等式是成立的，当然我们反过来也成立。如果我们能 有这样的一个等式，限量 p 是等于 x 倍的限量 a 加上 y 倍的限量 b， 我们能得出 ab 股贡献，同时限量 p 呢？与限量 a、 限量 b 是构面的。注意，这里是一个冲要条件的一个关系。好，了解了他们的定义，接下来我们做练习题来看一下。

高中空间项链基底判断问题，学我，大家好啊，今天我们来讲解一下这个高中的这个空间限量的基底判断问题。这种问题呢，呃，考察的很频繁，而且以往的话一般都是在选田里面考察。 我今天讲的这个方法呢，大题的确不能用啊，因为超纲的嘛，但是如果小题的话，用我的方法就非常的爽了。大家先看这个问题，一般都来说，我们给了一个三个不去供面的一个项链，那我们这个空间箱里面，如果三个项链不供面，他们就能作为基底。 好，那题目要求我们呢，是对这三个不供面的项链进行一个线性组合，得到新的三个项链。那我们问这新的三个项链是否是供面的这个问题呢？用高端的方法非常麻烦，而且有技巧性，但是用我的方法是毫无技巧性的，就印算就行了。好，我大概来介绍 我的方法就是我的方法，我分两部分，第一部分是针对高中生的，那就是能得分就行，能得分就不，不用深究原理。然后第二部分我们稍微讲一下原理，对于大学生也有帮助啊。第一步，判断 p q r 是吧？好，把 p q r 写成项链的形式。 好，别忘了哈， p q 二是空间项链，所以说 p q 二每一个都是由三个数组成的一个项链是吧？那他是由三个数组成的，他是有三个数组成的，他是三个数组成的。那其实这个东西他是一种简介，他其实就是一个三乘三，三行三列的举证，对不对？ 那么要找他和原来给定的这三个不公平相当的一个关系，这个关系我们把它称作过度举证，知道吧？好，把原来的写出来 考，他们关系是什么呢？其实就是这个系数关系，这个系数就是这个过渡局的非常好。好，好好理解。批，这个，一个 a 加一个 b 减一个 c， 是吧？那我们就这样行程列，知道不？行程列一个 a 加一个比加负一个谁，是吧？同理扣是什么系数？分别是二，负三和负，那按列来填 二呢？负七十八，十二，十八，二十二，是吧？好，这个东西我们把它称作七座 a， 别忘了这个，这两个东西其实也是绝症啊，别忘了，千万别忘了这个，把它记住 b， 这个把它记住 c。 好，我们知道了。逼，其实他是怎么了？不够面了吧？不够面的话，好，先争着高中生讲。我先不讲什么可逆，和先行无关。这个东西我们先说，高中生怎么得分呢？就是说以至他不共变，我们只需要判断这个过度举证。他的行列是，如果行列是维林，那他就共变， 如果他的行列是不为零，那他就不够灭。所以说其实这个东西归结为什么？归结为他的行列是不为零，所以说这个东西非常有规律性极，规律性极强，所以说一旦掌握就不可能忘，是吧？好，那么算一下 a 的行列式， 一，一负一，二负三负五，负七十八，二十二，三加行列，是吗？如果 实在不想记，这个行列是展开，就这样转这三个相乘，加上这三个相乘，加上这三个相乘，减去括号。 反对哪些？按刚才的规律，但是我觉得这个方法比较麻烦，而且记起来容易错，这我一般提倡用行业展开，那么行业什么叫行业展开呢？有时候我们尽量把某一列或者某一行 只保留一个飞行员，这个非常简单啊，大家来看一下我怎么做。根据行列的式的性质啊， 某一行或某运列的乘一个长数加到另外行，另外的列弹力式的直不变，对不对？那我们这样看，把第一行的负一倍加到第二行，好，那一的负一倍加到第二行，然后是吧？第二个这个变成零了， 第第一行我们是不变的哈，好，那我们第一行的第二个的负一倍加到第二行，是不是变成负五了？同理，这个变成多少了？负一倍吗？那变成二十五了，好，这两个是什么负？有相反处，那直接把第一行加到第三点，零， 负三多少？十五是吧？那这两个行列是是等值的，那这个有什么好处呢？我们这个可以按第一列展开，是吧？第一展开就是这个数乘以这个行列是加上这个数乘以 去掉这一行这一列的，剩下的行列是加上他，他乘以去掉这一行这一列，然后得到行列。是，当然其实后面都不用考虑，因为这两个是零吗？乘什么都等于零。所以说把某一列画成，某一行画成只有一 三个非陵园的好处就在于，我们展开的时候，其实只需要考虑这个非陵园，所以这个东西其实就等于一乘以剩下的行列式，剩下的是什么？去掉它所在行所在列剩下的东西就是负二十五，负三 十五。好，这个二节太简单了，他乘他减去，他乘他，很明显等于零，是吧？很明显等于零，那我都说了，只要过度举证的行业是维尼 新项链，新的项链组一定是供面的，供面的话就不能作为基底是吧？所以怎么考都可以问是否供面，是否能作为基底，其实是一回事，就相当于换一种说法了，对不对？ 就是这样就非常的容易解决啊。那我们大概大学生的话深究一下原理吗？为什么这样呢？首先他不供电，其实空 印象很不够面，在大学里面就是陷阱。无关嘛，陷于无关的话，举证他肯定是可逆举证，可逆举证，可逆举证。我们也把它叫做什么满字嘛？ 好， a 的行列是为零， a 的行列为零，那他一定不满字。好，根据一个举证的一个经典的部分是任意两个举证乘机，而我们把它乘坐 ab 的字哈，他一定小于等于 a， b 里面最小的一个一定是小于人最小的一说成完以后一定小于原来的 a， 小于原来的 b。 那现在太简单了， b 是蛮肯定的吧，不够面嘛，所以他的字是多少？ 他是三行三列吗？所以满字的话就是字字三，他呢？降字的吧，这样子的。为什么他行列是为零啊？所以降字的吗？再根据一个定理，任意一个举证乘以满字，举证以后字不变，也就说他是降字了吧，他是满字了吧，那他降字举证乘以满字，举证字是不是 得到的这个 c 举针是不是还和 a 的字一样？那说白了 a 是降脂的，也就说明了 c 是降脂的。 c 降脂不就是先行相关吗？ 线性相关在空间里面的体现就是供面。所以说这个题不管从高中角度，从大学角度都已经彻底解决，而且是非常万能、非常简洁的方法，对不对？关键是找这个过度举证。

哈喽，大家好，这里是长颈鹿数学，我是长颈鹿博哥。我们今天继续来进行新型代数当中的项量部分内容学习。首先来看题目，设 fe fr、 f 三的值告诉我了，若 fe、 fr、 f 三线性无关，那么说明什么呢？让你求 a 的值不等于多少。 那线性无关说明的是 f 一 f 二 f 三线性无关， 他的冲药条件应该是他们所构成的行列式的值应该不为零对吧？那这样的话，我们来观察一下他的这个行列式是怎么样去构成的啊？他的行列式呢？ f 一 f 二 f 三。我们看一下它的行列式 a a e e a e e a 运算之后你可以知道 a 加二乘以 a 减一的平方。所以如果线性无关的话，他呃，线性无关的话，他是不能等于负二且不能等于一的。因为我们要保证线性无关的话，他的项啊行列式是不能为零。所以 最后的答案是 a 不等于负二，且 a 不等于一，是这样的两个字啊。 所以线性无关。线性相关在我们平时去进行处理的过程当中特别多，要注意它是怎样去处理的，手法特别巧妙，希望大家能够掌握它。好了，我是长颈鹿博哥，我们下个视频再见，拜拜。

ok， 各位同学，那这里是阿伦的数学计划冒险，那今天的话，我们来学习。第三讲项量的数乘。 ok， 那肯定有同学好奇什么是项量的数乘， 根据这个词，我们就搞清楚是不是一个数跟项链相乘啊。啊，一个实数跟项链相乘，就是项链的数乘，那我举个例子，这有个 a 项链，我一个实数跟它相乘，二乘 a 项链，那它发生了哪些变化？首先，方向发生了变化吗？并没有啊，方向还是不变的。 那它的魔长呢？哎，乘以了栏目单位，你看这成了二，那是不是长度魔长变成了原来的二倍？ ok， 那我们注意一下，是不是这两个项链之间方向要么相同，如果乘以一个负的呢？方向肯定是相反， 那我们注意他们是不是无论这个 lamber， 我，无论怎么成，两个项链之间肯定是平行的。由此我们引入了项链空间定理。 哎，如果 b 向量等于蓝倍的 a 向量， a 不是零向量， a 和 b 相量相互平行，那 a 和 b 相量相互平行，那我们也可以推得 b 等于栏目的 a 啊，两个是互为冲要条件， 互为冲药条件，那我们来看一看。哎，分类讨论一下，如果栏目的大于是不？ a 和 b 是同向的， 等于零，不用说了是吧？零项量平行于任意一个项量， 那 m 的小于两 a 和 b 是反向的。那接下来有同学就好奇，他的运算有没有一些啊，特殊的啊？这运算的话是没有什么特殊的。来举个例子， m 加 mill 乘以 a 相量的话，就是简单的一个分配率， 如果 lamb 的乘以 a 加上 b， 项量就等于 lamb 的 a 加上 lamb 的 b 啊，性质啊，还是比较简单的。 第一题设的地点是这个三角形 a， b， c 呢？一点 b， e、 c 等于三倍的 d， e、 c， 而且终点都是 c， 所以 说 b、 c、 d 是不是肯定是三点贡献？ ok 那么画图 a、 b、 c、 d ok 那么接下来的话他就问了， a、 d 用 a、 b 和 a、 c 来表示，怎么表示？那我们首先看看啊，这 b、 d 等于什么？ b、 d 是不是三分之二 b、 c， 那三分之二 b， c 等于三分之二 a、 c 减去三分之二 a、 b， 那 a、 d 等于 a b 加 b d。 我这 a、 d 是想用 a、 c 和 a b 来表示的， b、 d 是不是可以替换过来？哎，大家入回去整理一下，我就可以得到结果，三分之一 a， b 加上三分之二 a、 c， 所以答案选什么？选第三个 c。 第二题，如图，在这个平行四边形 m 是 b、 c 的终点， a、 c 等于 m 倍的 a， m 加上 n 倍的 b d。 问你 m 加 n 等于多少？那说这个题我们想一想， a、 c 可以拆减成什么 a， b 加 a d， 那 a、 m 是不是也可以拆解成什么 a、 b 和 a d 啊？ a m 等于 a、 b 加上二分之一 a、 d， 那 b、 d 呢？等于负担一笔，加上 a、 d ok， 那 a、 c 等于 m 倍的 a m 加上 n 倍的 b， d 是不可以往里带进去，带进去，带进去！哎，整理一下的话，就可以变成什么 a、 b 加上 a、 d， 它等于 n 倍的 a， b 加上二分之一 a、 d， 再加上 n 倍的 a， d 减 a、 b。 整理一下，等于 m 减 n 乘以 a， b 加上二分之二 m 加 n 乘 a、 d。 相量好，那他们前面的系数肯定是 相同的，所以说 m 减 n 等于一二分之 m 加 n 等于一 m 等于三分之四， n 等于三分之一，两者相加。答案，选 c。

同学你好，我们来看这道选择题，下列说法正确的是啊，那我们看一下推选一下，任意两个空间项链都共面。那么首先来看一下这道题考察的知识点。 这道题考察项链相关内容。 项链相关内容 啊。对于 a 选项涉及到的知识点，任意两个空间项链都供面，那么这种说法是否正确呢？那同学们可以想，那任意两个项链，我都可以，任意两个空间项链 都可以通过啊，平移使他们的啊，十点给他移到同一丁点，那么这样之后， 这样移完之后，那么这两个项链一定可以由一个平面来表示。也是说，比如说这是一个项链啊，这是一个项链 项链 a 项链 b， 这两个空间项链，虽然我是画在平面上加，但是假如说他们是两个啊项链，那么如果可以把这个平移，一定可以通过平移给他移到这里来啊，移到同一顶点之后， 那么这有一点，这个 a 的终点是一点， b 的终点是一点，那么三点确定一个平面。 那么所以说任意两个空间项链都供面这种说法是正确的啊。所以说 a 是正确的。那么这里 a 选项涉及到的知识点就是啊，三点 可确定啊，三个不贡献的点， 三个不贡献 的点 可确定一个平面， 一个平面。 那么假如说这个 a 项链，这两个项链如果是贡献呢？那如果贡献的话，那么显然他更 更加够面了，对不对啊？够都贡献了，他还不够面吗？啊，那也就说这两个项链无论贡献还是不贡献，无论平行还是不平行，他们都可以确定一个平面 啊，也说他们都供面，这种说法是正确的。那么再来看 b 啊，如果项链 a 和项链 b 贡献，那么这两个项链，这两个项链所在的直线平行，那么这就说法就有点错误了。 对于第二个啊，也就是 b 选项涉及到的知识点，那么也就是限量贡献。 项链如果贡献的话， 那么这两个项链可以平 形，也可以都在同一条直线上，对不对？哎，有两种情况，那么一种情况是他们两个或者平行，他们两个所在的直线或平行， 或者是同一条直线是同一直线 啊。要说项链所谓的贡献啊，他可以是这两个项链所在直线平行，那么也可以是这两个项链所在直线是同一直线，那么这种情况也叫贡献。 那么假设如果这两个 ab 所在同一条直线，那么这两个直，这两个项链所在的直线还能叫相互平行吗？他们两个已经重合了，相当于。 所以这种说法是错误的啊。 b 选项是错误的。再来看 c 啊，空间直角坐标系当中， a 这个点负二一三，关于 c 轴对称点坐标。 那么这里第三个涉及到的知识点，也就是第三个知识点。 c 的涉及到的知识点就是关于 z 对称，那么 z 轴的坐标不变，其余的坐标都啊变号。 举个例子，我们可以在平面上就直观的了解在平面直角坐标系当中， 比如说这里有一点 a 求他的关于外容的对称点， a 撇点，那么显然 他们两个的纵坐标是一样的。也是说关于谁对称，关于 y 对称， y 这个坐标就不变， 那么 x 这个坐标一号。那么到了空间中，同样的道理，关于 c 手对称，那么 c 这个三就不变。再来看啊，那他的 x 坐标负二变到了正二啊， y 轴坐标正一变为了负一，所以这种说法是正确的。 那么也就是关于对称的啊，关于 哪个轴对称， 则相应坐标 相应坐标不变 啊。其余编号 其余电号即可。我们再来看四 d 选项。对于空间当中的项链 abc， 则对于空间当中任意项链都可以用， 项链皮都可以存在。使数 syc， 使得这个项链皮可以由 abc 项链来表示。 那么这种说法是应该是错误的。因为这三个项链，他并没有说这三个项链不够面，对不对？根据空间项链基本定理，空间呢，任意项链一定可以由 啊三个不够面的项链来表示，对不对？他没有说他够面，那万一他们三个是重合的呢？对不对？如果他们三个是重合的， 那或者说他们三个干脆是零项量，那么你还零项量乘以前面的任何系数，他最终还是个零项量。那么你任意一个项链皮都可以由这个零项量来表示吗？这显然是错误的啊。所以第四个支点 他考察的事 空间向亮 基本定理， 基本定理。 其中呢，一个一定是这个基底，一定是三个不够面 不供面的项链 才可作为一组基地， 一定要强调三个不够面，只要是没强调三个不够面的项链，那么他就不可以作为艺术基地。 因为这个四 d 选项当中，他没有强调，所以四 d 是错误。那么这个选择题啊，最终选择的答案就是 a c 两个选项。 那么这道题的解答步骤到 基本就讲到这里，我们来总结一下这道题涉及到相关知识点。第一个就是三点，确定一个平面啊，三个 不贡献的点，一定要强调不贡献的点才可以确定一个平面。那么第二点就是项链的贡献，他啊可以是这像两个项链所在的直线是平行的，也可以这两个项链所在直线呢，就是同一条直线，那么这都是项链贡献的情况 啊。对第三个来说是一个小结论，就是关于哪个轴对称啊，那相应的坐标就不变，其余轴的坐标变号啊。第四点啊，空间项链基本定理，一定是三个不共面的项链才可以作为一组基底。 那么这个四个题的四个选项，强调了项链当中的一些个基本的注意事项 啊，同学们一定要注意。那么好，这道题就讲到这里，再见。