几何折叠最值问题

有没有同学一看到这种折叠加面积题就头大的？今天这道题专治你的几何恐惧症！这道题看似复杂，其实就藏着两个核心考点，面积、等分和折叠。这意味着三角形 a、 d、 g 和三角形 c、 e、 h 的 面积加起来刚好等于三角形 f、 g、 h 面积。 然后抓住折叠的性质，结合等边三角形的六十度角，就能推出两组相似三角形。相似三角形面积比等于相似比的平方。把两个面积关系带入一通计算，你会发现中间的面积被抵消，最后只剩一个勾股定律的形式。 由此得出最终答案。是不是没想到这么简洁？评论区告诉我，你第一次做对了吗？关注我，下期更精彩！

嗨，各位亲爱的同学们大家好，欢迎来到压轴周周练的第四期，这期呢比较特别是属于我们的月考专题。首先呢，要感谢各位家长发来的试卷，本周呢，我会先录制其中一部分，未来两周会陆续完成剩余的内容。 月考已经结束，分数呢，它只是一个数字，真正值得我们去学习的是题目背后的知识点，方法和一些解析技巧。把这些吃透呢，其实就是为了我们期中考试做最好的准备。来，我们一起开始。先看这个利益啊，这道题主要考察的是正方形中的折叠问题，来我们看看。 如图，在正方形 a、 b、 c、 d 当中，点 e 是 a、 d 边上的一个点 d， e 的 长度是等于四，我们在图中标一标 b、 e 的 长度等于八，说明正方形的边长它就是十二。我们标一下，这个是十二，这个是十二，这个是十二。 将正方形的边 c、 d 沿着 c、 e 进行折叠，折叠到 c、 f， 所以 这是个垂直，这是个垂直延长 ef 交 a、 b 于点记连接 c、 g。 下面四个结论一二三四，问正确的有什么？第一个他说角 e、 c、 d， 找找看在哪里？角 e、 c、 d、 o 在 这里，也就是个角一加上角 b、 c、 g、 o 加上角二，这两个角加起来等于四十五度，那我们看看这两个角加起来是不是等于四十五度呢？其实我们只要去证明 中间这个角是四十五度是不是就可以了呀？如果我能正到中间这个角是四十五度，那这个问题是不是解决了呀？好了，那我们看看怎么正呢？我们知道在折叠的过程当中啊，重叠部分的角，比如说这个角和这个角，哎，肯定相等吧，所以我不妨设它为 r f， r f 可以吧。那么因为是正方形的边，所以这条边跟这条边相的哎，也等于这条边三条边都相等，这是个直角，这也是个直角，中间还有个公共边，所以从图中我们瞬间就能看到这个三角形，小黄三角形，大家看一下和下面这个三角形它们是什么关系，可以思考一下。 哎，很明显吗？是什么关系？也是一个全等关系。那么为什么全等？同学们想想全等的理由是什么？因为他们都是直角三角形，同时还有一条直角边和 h 和我们的斜边是怎么样的 相等的？所以它是 h 和全等。一旦全等之后，那我问一下，这两个角是什么关系啊？哦，这个角跟这个角很明显他们也是相等吧，所以我就标他为北塔，北塔，所以由第一个我们能得到，因为两个 r 加两个北塔不就等于九十度吗？从而我们就能得到 r 加北塔就是四十五度，所以第一小问就是对的第一个， 那第二个他说 g 是 ab 的 终点，那 g 是 不是 ab 的 终点呢？那我们来证明一下， g 如果是终点，那就意味着 a g 跟 b g 相等，等于六，是吧？那么这个跟这个肯定是折叠过来的啊，他俩没有说相等啊，不一定 不是，是他俩相等，但不是因为折叠。是因为什么？是因为全等啊，这两个全等，所以我知道他俩相等。那接下来如果我要证明他俩相等的话，是不是只要证明这个角跟这段长跟这段长都等于六啊，那怎么证呢？哦，其实我们就是去求解嘛，那我不妨设这段是 x， 那 么根据折叠我们就知道了，这段是不等于四啊？ 那么根据全等这段是不是也是 x 哦，根据整个边长是十二，所以这段长度是不是就是十二减 x 啊？十二减 x， 那 么第二个就直接可以用勾股定律二 t 三角形 a g e 当中啊，我们能够得到 a g 的 平方， a g 的 平方加上 a e 的 平方，不就等于 g e 的 平方吗？那么代入数据就是，十二减 x 括号的平方加上八的平方，就等于 x 加四括号的平方，所以解一下方程， x 等于六。哎，有人说，老师你怎么解这么快，其实我压根没解，我是 抄的，哦，是什么？相当于是抄的。怎么抄的？你看我们常见的是不是六八十啊，那这个六八十，哎，你看我抄一下，你看，如果它是正确的情况下，它是六，那你我只要去验证一下这个六 能不能满足这个方程，如果六能满足这个方程，所以这个就是对的，如果六不能满足这个方程，我就是错的，就是我是抄他这个答案，他全部告诉我们这个 g 啊，是终点，那我就假设这个答案是对的。哎，我抄袭一下，假如他是六，那这个是六，这个是六， 这不是，假如他是错的，那六肯定就不满足这个方程吗？那我一看，哦，这是六的话，这也是六，这是八，这四正好六八十， ok， 没有问题。所以我们发现这个 x 算出来是六，那就意味着第二个也是对的吧，能够得到终点，好，第三个我们看看对不对？ 题目说 a f 这条边平行于 c、 g， 如果这两条线边平行，那就意味着要使哪两个角相等来，我换一种颜色，需要使这个角，比如说这个角我们给它取名叫 m， 或者叫 c 塔吧， 这个角叫 c 塔，这个角如果也能正到，它等于 c 塔，是不是就可以了？比如说我们不叫 c 塔了，换一个叫角一和角二，那如果角一跟角二相等，这个题目是不是就正到了？那角一跟角二相等吗？哎呀，根据题目，我们知道这个地方呢，因为 全等，所以角二等于角三，那就因为我们这个知道了是六，这个也是六，这两个都是六，所以这个角一是不是等于角四啊？这个角一等于角四，所以由此可见，角一等于角四，角二等于角三。哎，那既然他们娘俩相等，我是不是可以用相同的符号来表示？比如说相等的角我就用 m， 哦，这也是 m， 这个相等的角我就用 n， 我 就用 n。 那 么根据题目，我们来观察一下，对于三角形的一个外角，嗯，是不是二 n 加上，也就是说我把它写下来， 有同学反应不过来，我把它写下来就是 b g， f， 这是三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角之合， g， a f 加上角 g fa。 好 了。由此可见，此时我们发现这个角是不是就是二 n 啊？这个角是 m， 这个角是 m， 所以 就是二。 n 等于 m 等于 m 吗？所以 m 等于 n。 当我们得到 m 等于 m 的 时候，哎呦，这个角跟这个角相等，所以平行，所以第三个它也是对的。那第四个，我们看看他说某一个三角形， 哪个三角形 a、 f、 e 在 哪里？找找看， a、 f、 e 这个三角形的面积等于几呢？等于九点六。那我们要求这个三角形的面积，其实有几种求法呢？ 第一种，其实有三种啊，你要求它的面积，是不是得知道它的底和高呀？直接用公式，底是八高，你是不是得求高哦？求高，这个可能有点麻烦，但是能做对不对？能做做起来比较麻烦。你再看第二种，已知这个底是四，那求高。哎，这个高好像好求一点，为什么？因为这个高和这个三角形它正好是等积法，可以求出最高吧。这个高好求第二种方法。 第三种方法是什么？我们可以利用这个是四，这个是六。所以也就意味着 e f 与 g f 的 比是二比三吗？所以这个三角形面积和这个三角形面积之比，是不是二比三？哦，也就是这个面积是两份，这个面积是三份。那整个这个直角三角形面积是不是五份啊？ 那五份是多少哦？五份的面积我们是知道的，所以我们的两份是不是这种方法是最快的呀？好，这道题我们可以怎么做？先求 a、 g、 e 的 面积等于二分之一， a g 直角边的乘积乘以等于二十四。 好。第二个 s 三角形 a、 f、 e 这个面积，这个面积是不是等于五分之二的 s 三角形 a、 g、 e 啊？ 因为题目中 a、 f 把整个面积分成二比三两份吧，那么总共是五份，那么它占两份，所以它的面积是它的五分之二，所以代入数据很快就能算出来，等于五分之四十八哦，五分之四十八是不是就是九点六啊？所以正确答案第四个也是对的。好，所以四个答案都是对的，正确答案选 d。 在这个正方形的折叠问题当中啊，大家要注意，如果我把某个角把它折过来之后，这条线把它延长交一边，那么一定会有两组全等，这个地方一定要注意，那么经常用的就是非重叠部分的勾股定律，你看这个部分是不是没有重叠啊？ 什么叫没有重叠？就是这个给它折过来是不是可以重叠？这个你可以折过来是不是也是重叠？它有全等吗？这个全等是可以正倒的，那么剩余的没有跟它重叠的这个纹，也就没有跟它全等的这个部分，那么就是经常会用这个部分做用，做它的勾股定律，也就是这个。第二小问经常会考这种。

这种翻折最值题别一上来硬算空间看题。在直角三角形 a、 b、 c 中， a、 c 等于三， b、 c 等于四。沿 a、 c 翻折成 a、 b 撇 c 过 c 作垂线取 d， 且 c、 d 等于二，求 b 撇 d 的 最小值。题眼先看轨迹圆， c 不 动，且 c、 b 撇等于 c， b 等于四，所以 b 撇在以 c 为圆心半径四的圆上 间隙 a 零零零 c 三零零 d 三二零。设翻折角为西塔，则 b 撇是三，四倍于弦西塔，四倍正弦西塔直接算 b 撇 d 平方， b 撇 d 平方等于三。减三的平方加四倍于弦西塔，减二的平方再加四倍正弦西塔的平方。 化简的二十减十，六倍于弦西塔于弦西塔在负一到一之间，所以当于弦西塔等于一时最小， 所以 b 撇 d 的 最小值等于二。比如西塔等于零时， b 撇回到原来 b 的 位置，这时正好取到二。以后看到翻折最值。先转轨记圆，再写距离平方。 同一背景下，把 d 换成 e， 且 c、 e 等于六，求 b 撇 e 的 最大值。提示一样，先算平方，再看余弦西塔取值。点赞、收藏、评论区见！关注我，每天一个高考秒杀技巧！

平面这道坐标系中关于长方形的折叠问题，我们该如何解呢？我们来看一下这道综合大体。首先来看第一问，这个第一问还是比较友好的， 那我们来看一下条件，他说 b 的 坐标是八到四， c， b 是 八，然后 b a 是 四，沿 o b 反折，就等于说这个三角形 o 丁 b 和这个三角形 o b， a 是 全等的呢。然后他让我们求的是点一的坐标，一在这里已知它是长方形，所以 b a 等于 c， o 就 等于四。 然后我们该怎么做呢？我们发现这个角 o c， b 和三角形和这个角钉都是九十度，然后又有一组边相等，也就是 c o 等于 b 钉，因为一个翻折一个长方形来的嘛，然后一组对边就对角，所以我们很快就可以得出这两个三角形是 a s 全等的。然后再来看，我们可以设 c e 的 长为 x， 那 么就可以得出 o， e 等于 b， e 刚才已经正确等就等于八减 x， 那 么 c e 等于 d， e 就 等于 x。 我 们在这个三角形 c o e 中用勾股定律就列方程，列方程得四的平方加 x 的 平方就等于这个，这个是八吗？这个是八减 x， 八减 x 的 平方，那 x 解出来是三，那么很低，会很轻松的得出来 e 的 坐标就是三到四。再来看第二文，它是一道最值的问题， 他让我们求 am 加 m， n 的 最小值， m 是 o， b 上的一点， n 是 微上的一点，那我们先把这个 a 点对称试一下， a 点对称太紧，我们对称好了，就是点丁了， 要在 o b 和 v 上找一点，那就做垂嘛，垂线段最短，所以做丁， n 垂直于 x 轴，所以这个时候啊交丁 n 交的这个点 m 和这个点 n 就是 m n 所在的位置， 那我们试着把这个丁根给求出来，我们可以先设这个一 k， 也就这个交点一 k 等于 x， 刚才算出来 c 等于三一 b 等于五，那么所以 b k 就 等于五减 x。 这里我们可以用一个双勾股，也就是在这个三角形 e 丁 k 和 k k 丁 b 中用双勾股 得出方程就是三，这是三三的平方，减去五减 x 的 平方，解出来 x 等于一点八， 知道了 x 等于一点八，然后我们再去求丁 k， 也就是这个这条直角边，丁 k 求出来就是三的平方，减去这个一点八的平方，然后再代个 n， 然后再开方得出来丁 k 就是 二点四，丁 k 是 二点四， n k 的 话等于 ab 等于 c， o 就是 四， 那么丁 n 不 就求出来了吗？丁 n 不 就是六点四了吗？我们刚才是对称，这样就可以把 a 点转化到丁点，那么 求出来了。丁 n 的 长度，那不就是把 am 加 m， n 的 最小值给求出来了，所以 am 加 m， n 的 最小值就等于六点四。 好，那我们来总结一下这道题。首先第一问的话，它总主要是一个简单的勾股方程。第二问的话，它涉及到最值的问题是一个最小值，我们需要先将圆点对称，然后再利用垂线段最短这个性质，找到最小的时候的位置在哪里。

快来看这道题，你需要几分钟？今天我们再来看一道与折叠有关的题。这道题是二零二四年济南中考的填空压轴题， 题目给了我们一个矩形， a、 b、 c， d， a， b 的 长度是根号二， a、 d 的 长度是二， e 点是 a、 d 边的终点， f 点在 c、 d 边上， 然后将三角形 d、 e、 f 沿着 e、 f 翻折下来。题目问，若 b 积的长度是二，让我们求 d、 f 的 长度 好。首先根据翻折全等的关系，我们可以知道移积的长度是一。那如果我们连接 b 一 的话， 先由勾股定律可以得出 b 一 的长度是刚好三。然后又很容易用勾股定律的逆定律来判定三角形 b 一 积是一个直角三角形， 这一步我相信对很多同学来说还是没有什么问题的，那至于接下来再怎么走，可能就不止一条路了。 如果你想到了一线三垂直模型，那么你肯定会去延长 e、 g， 因为这样一来，三角形 ab 一 和三角形 d、 h 就 相似了，相似比就是根号二。之后我们就能把 d h 和 g h 的 长度都算出来了。 又因为 g、 f 和 df 是 相等的，并且三角形 f、 g、 h 是 直角三角形，所以我们再用一个勾股定律就能解出 df 的 值了。 咱们九年级的同学可能都是用这个方法来做的。其实这道题还有一个更为简单的方法，八年级的同学就能做了，还只不过这需要一点点的注意力。 可以看到这两个小角是相等的，所以角 a、 b 等于九十度减二 r 法，那这个角 a、 b 一 就是两个 r 法了。如果这个时候你想到了绝配角，那么你肯定会去延长 f 一， 然后再延长 b a， 这样一来，角 a、 e、 h 也等于二法，所以角 a、 h 一 就等于九十度减二法。发现问题了没有？角 b、 h 一 和角 b、 e、 h 是 不是相等的呀？ 也就是说这个三角形 h、 b、 e 是 一个等腰三角形，所以 b、 h 的 长度也是刚好三，那 a、 h 的 长度就是刚好三减刚好二了。 又因为三角形 d、 e、 f 和三角形 a、 e、 h 是 全等的，所以 d、 f 的 长度也等于格号三减格号二。怎么样？这个方法是不是比前面的三垂直相似法要简洁很多呀？所以你学会了吗？

快来看这道题，你需要几分钟？今天我们来看一道折叠问题，也是很久没有讲这种不是动点的几何题了。 题目给了我们一个菱形 a、 b、 c、 d， 其中角 b 是 四十五度的， e 点在 ab 边上， f 点在 bc 边上， 然后以 e、 f 为折痕，将三角形 e、 f、 b 反折上去，若极点刚好落在 a、 d 边的中点上。让我们求 b e 和 b f 的 比值是多少 好。首先由于折叠的关系，这个角 e、 g、 f 也是四十五度的，还有 g e 等于 b， e， g f 等于 b f， 所以 b 一 比 b f 就 等于 g 一 比 g f 了。那要想让这两条线段产生比值的关系，最直接的办法是不是构造相似三角形啊。 注意到这个角 d 也是四十五度的，所以说我们是不是可以构造一线三等角啊？ 第一步，过 f 点做 c、 d 的 平行线，那这个角 g、 h、 f 也是四十五度的。 第二步，过一点做 ab 的 垂线，那这个角也是四十五度的。这个时候三角形 e、 g、 m 和三角形 g、 f、 h 就是 相似的了，所以 g e 比 g f 就 等于 g m 比 f h， 由于 f h， 它就等于菱形的边长，所以说我们是不是只要能确定 g m 和菱形边长的关系就行了呀？这里为了方便计算，我们直接设菱形的边长为二，那 a、 g 的 长度就是一了。 然后我们再设 a 一 的长度等于二， a， 那 am 的 长度就是二倍杠二 a 了， 所以这个时候 g、 m 比 f h 就 等于二分之二倍根二 a 加一。那我们接下来是不是把这个 a 解出来就行了吧？这对大家来说是不是很简单呢？我们只要过一点向上做一个垂线就行了。 这样一 n 和 a 的 长度都是根二 a， 又因为 b 一 的长度是二减二 a， 所以 g 的 长度也是二减二 a。 现在我们是不是就能用勾股定律来形成方程了呀？这样就能把 a 解出来了。 最后我们把 a 的 值带入到上面这个式子里，算出来应该是等于七分之二加三倍根二，不知道，应该是等于七分之二加三倍根二，不知道，应该是，大家再帮我检查一下。

嗨，来看这道正方形的折叠问题，那如图呢， a， b， c， d 是 一个正方形，然后呢，按照如图的方式，沿着 a e 呢把 a d， e 折叠过来，使得 d 点刚刚好落在外轴上， 现在呢，给到 b 点的坐标零斗一，哎，这个长度是一，然后呢， f 点的坐标呢，是零斗三，所以这个长度呢，是三。 接下来让我们去求异点的坐标，那这道题拿到手啊，咱会发现一个非常重要的信息啊，就这个地点刚刚好落在外轴上，这不是一个巧合，他一定会出幺蛾子的朋友们，不然的话，他为什么不折飞出去呢，对吧， 所以说呢，我们这里观察一下，首先呢，就是这个九十度刚刚好被甩过来了，甩到了这样一个位置， 那把九十度甩过来之后呀，这里会出什么？一个斜的直角哎，然后呢，有一根穿过直角顶点的穿顶线，然后呢，这个直角的另外两头啊，都往上 挂了垂线，所以呢，这里会出一线三垂直的相似，我们通过倒角就可以得到 它俩呢圈角，圈角相等，直角直角相等， a a 相似，因此呢，我们就可以得到它比上它就等于它比上它。哎，较长直角边 a o 比上较长直角边 f m 就等于较短直角边 o f 比上较短直角边 e m。 不 过呢，这里的话，我们只知道 o f 等于三，所以呢，我们所知的信息还是比较的少的，对吧？我只有它是三这个信息，那别的都不知道，那所以要求一点的坐标这段，这段 暂且还是求不出来的，那因此呢，我们就得先想尽办法去求一求，看看有什么信息是可以先给他求出来的？那这里的话呢，要求一点的坐标，那要么就是先知道这短，要么就是先知道这短，两段都不得而知，所以呢，我们要选择设未知数了。 那请问是设 f m 好 呢？还是设 em 好 呢？哎，记住一个非常关键的点啊，在正方形当中，优先先选择把边长相关的长度给它设出来，就像在圆里面，优先会把半径相关的长度给它设出来一样的道理。 这里的话呢，我们设 f m 为 x， 这样的话呢，边长就有了。正方形的边长就是 x 加三，哎，你顺着这件事情往下看，边长是 x 加三，边长就是 x 加三， 边长就是 x 加三，边长就是 x 加三，哎，这边也是 x 加三，这边也是 x 加三。只不过呢，这个 x 加三写出来之后啊，减去一就可以得到 a o 呢，是 x 加二， 这个 x 加三呢，放在这个斜边的位置，然后这个三呢，放在这个直角边，哎呀，刚刚好呀，凑成了一个直角边，哎呀，刚刚好呀，凑成了 x 加三的平方， 就等于 x 加二的平方，再加上三的平方。那这里的话呢，我们就可以整一个勾股定律假动作了，因为有一条直角边是三的话呢，我们就猜想三四五，哎，那他是四的话， x 就是 二，对吧？ 他是五的话呢， x 也是二，所以呢， x 等于二，刚刚好成了。而这个呢，约掉了之后是个一元一次方程，所以就只有唯一的解，所以呢，中间的计算过程可以省略，直接假动作 x 等于二。 好嘞，那么 x 等于二之后呢，你就会发现，这道题啊，无比的通畅啊，无比的通畅。这个长度就是四，这个长度呢，就是二。所以呢，在刚刚的这道题的大框架三垂直的背景下， a o 是 等于四的， 然后呢，这个 f m 呢，是等于二的。哎，知道了三条边的，剩下来那条边的长度就直接得出来了吧。那 em 的 长度呢，就等于二三得六除以四二分之三。 好嘞， em 有 了，然后 f m 也有了，所以呢，一点的坐标负的二分之三，纵坐标呢？逗五。 好的，那么以上呢，就是这道题了，你有没有掌握住精髓呢？也就是说，首先这个折叠把直角甩过来了，出现一个斜直角加穿顶线， 会有三垂。另外呢，就是去设边的长度的时候，正方形当中优先去设跟边长有关的那个边。

这种翻折最直，体最大，直别平感觉看题。在直角三角形 a、 b、 c 中角 c 是 九十度， a、 c 等于三， b， c 等于四。 沿 a、 c 翻折得到三角形 a、 b 撇 c， 再过点 c 且垂直 a、 c 的 直线二上取点 e 使 c、 e 等于六，且 e 和 b 在 同侧，求 b 撇 e 的 最大值。提眼还是先看轨迹圆， b 撇仍然在以 c 为圆心，半径四的圆上，间隙后， e 是 三六零，而且 b 撇是三四倍于弦西塔四倍正弦西塔。 先别直接比距离先算平方。 b 撇一平方等于三，减三的平方加四倍于弦西塔，减六的平方，再加四倍正弦西塔。要使 b 撇一最大，只需让 b 撇一平方最大， 因为负四十八倍余弦西塔会随着余弦西塔减小而增大。所以当余弦西塔等于负一时， b 撇一平方最大， 这时 b 撇一平方等于一百，所以最大值等于十。比如西塔等于派十。 b 撇转到圆的另一侧，这时正好取到十点到点最大值先平方，再看余弦西塔取端点。 若在过点 c 且垂直 a、 c 的 直线 r 上取点 f， 使 c、 f 等于一，且 f 和 b 在 一侧，求 b 偏 f 的 最小值。提示，先把平方化成关于余弦西塔的一次式。点赞、收藏、评论区见！关注我，每天一个高考秒杀技巧！

将军一马模型六大变形是我们七下几何丢分重灾区，很多同学看到这种求线段，线段和最小值，线段差最大值，或者说面积最大最小值的时候就没有了思路，要清楚，将军一马他不是一道题，而是一套比较重要的解析思路。 所以我们今天通过一个视频给大家讲透六大变形的底层逻辑。因为从现在开始到初二初三以及到中考，这部分的内容是我们初中几何最值问题的核心 地基，所以一定要花点时间和精力啊在这一块，不然的话到了初二初三就会比较困难了。 好，我们现在来看一下模型有哪几种类型？看啊，分两定一动是什么？两个定点，一个动点，求线段和最小值，这里呢是线段差最大值，同样还分这两个定点是同侧还是异侧的情况，这个也是我们 经常会考的，也是属于最最基础的一个模型。再来看后面这两三种，是一定两动，这个时候比如说定点 p 一个定点，两个动点呢？是在这两角的两边上找两个动点，我们要使得两个动点和一个定点围成的这么一个三角形， p m n 呢？ 周长，或者说这三段加在一起求最小值。再来看第四个，是两定两洞，相比第三个是多了一个定点，同样的也要找两个洞点求这几段加在一起，其实这是一个四边形，求这个四边形周长。 就换个说法，他可能会求的是周长最小值，或者说这几段加在一起求线段和最小值啊，统称还是线段和最小值问题。再来看一下三洞点，相比刚刚，前面呢是 两个洞点对不对？现在呢是三个洞点了，这三个都是洞点，那么我们应该怎么办呢？我们就可以把其中的某一个洞点看成是定点，然后再回过头来判断这一个点它到底所在的位置是什么？再来看一下最后一种，它呢是两个定点，一个定长。 好，这个呢主要是这两种类型啊，就是说这个 p q 这一段长呢是定长，比如说是 d， 现在呢这个我们也称为将军造桥或者造桥选址。看到这个的时候，我们要想到是这么一个模型，再来看一下这个 p q 横过来在这个 l 这条线上的时候，也叫将军六马，你可以想象成是将军在沿河边六马。哎，这一段长，或者说这个这这一段应该取在什么位置？ 我们能得到什么？得到了这三段和求最小值。问题。好，我们一个个来看一下，这六大类型到底有什么区别？好，主要是通过什么是我们的判断的底层逻辑不是求最小最大吗？底层逻辑是什么？是根据垂线段最短， 垂线段最短啊，这个呢要记，要记下来，要规范总结。垂线段最短，还有两点之间线段之最短，两点之间线段最短。 好，这个其实叫什么？化折为直，就是把几条折线划成直线，那就是两点之间线段最短。是不是还有呢？我们比较普遍的一个方法就是三角形的三边关系， 因为我求的是最大或者最小，是不是三边关系说的是什么？比如说三角形有三条，三条边，第三条边我当成是 c， 那 两两边之和，比如说 a 加 b 是 大于等于第三边，我们是不是可以这样写？还有呢，两边之差是小于等于第三边的， 那 a 和 b 哪个大哪个小？我不清楚的情况下，那我就可以加上绝对值了。好，这个是不是就是我们两边之和大于第三边？两边之差小于等于第三边？为什么要 通过三边关系来求这个最大最小值？问题，因为这里出现了一个临界状态这个等号，如果我想要求最大值或者最小值，是不是都可以？ 是不是都可以？所以我们常见的这几种三大类啊，尤其三边关系是我们的判断经常用的啊。 ok， 还有呢，就假如说最后我们是在一个直角三角形当中的那直角三角形，看一下，直角边是不是比斜边都要小啊？所以我们同样的也可以通过 直角三角形的直角边是小于等于斜边来判断最大最小值。那 ok， 所以 我们找的是什么？就是这么一个临界状态的时候，这个就是我们判断的底层逻辑，但是每一个不同的模型，那我们的判断一致肯定是有点不一样的，是不是啊？这个呢，底层逻辑一定要非常非常清楚。好，我们一起来看一下。第一个， 它第一个是怎么说的？是说两个定点，一个动点，那定点呢？就是 a 和 b 这两个定点。好，现在我们看到的是一个是同侧，一个是异侧，对不对？是位于谁的同侧？异侧啊？是为位于这个 l 这条线，那 l 这条线是什么线呢？是动点 p 所在的线， 所以啊，这个一定要分清楚了，因为你做具体的题目的时候，我们是要进行判断的，那 ok， 现在来看一下这个同样的还是动点 p， 也就是说我们这个动点 p 要放在什么位置的时候，能使得什么？ pa 加上 pb 是 能取到最小值的，这个是求的是 pa 加上 p b 的 最小值。好，我们看看它到底放在哪里？现在一开始的时候我是不知道它放在哪里的，对不对？那我给他放了看啊，比如说它在这里，这里的话，那我 p a 和 p b 是不是这两条绿色的这两条线要求他们加到一起求最小值，那么我们应该怎么办？根据刚刚说的三角形两边之和是大于第三边的，那两边之和是不是 pa 和 pb 大 于第三边， 那 a 和 b 是 不是要连起来了？它呢？这个时候是和我们 l 这条线有唯一的一个交点，是吧？那也就是说我们的最小值是确定的。那现在辅助线是什么？就是我们这条线啊，把 a 和 b 相连， 然后和也要这条线的交点，就是我们 p 点所在的位置，那最小值到底是等于多少呢？就等于 ab 的 长好，这个是我们异侧的情况。好，再来看一下同侧，同样的，我们来分析一下这个 p 点呢，本来随便放在一个地方是不是好？就在这 现在绿色的这两条线，我们要求它两的最小值，如果说我同样的还是用两边值和大于第三边，那我是不是要把 a 和 b 相连啊？那 a b 直接相连的话，你看看 那我这个 p 点在 l 上面是不是有无数个 p 点都可以组成 pa 加上 pb， 那 我们这个 p 点的位置是不确定的，不像刚刚连接之后，唯一的一个焦点是确定的，现在不确定，那怎么办？我们要想办法把同侧变成异侧，把同侧变成异侧，然后直接相连，是不是就可以了？ 那怎么变成预测呢？要画对称。所以啊，很多同学在什么时候画对称，什么时候直接相连，他搞不清楚。所以啊，这个就是我们的判断依据。那现在怎么办？我就需要把定点 a 或者 b， 我 现在要画的对称一定是定点，关于动点所在线这个 l 的 对称点， 现在这个图像它画的呢，是选的是 b 点，当然我选择 a 点对称过来是一样的啊，好，给它对称过来。那对称是为了利用什么？利用垂直平分线的性质，我能得到什么？那是不是 p b 是 不是等于 p b 一 撇啊？ 那这个时候我们 p a 加上 p b 是 不是就等于 p a 加上什么？加上 p b 一 撇？因为 p b 是 不是已经对称过去了，变成这个了。那现在变成什么？ 现在要求的就是这一段，加上什么？就这一段啊， p a 加上 p b 撇，什么时候取得？取最小值？是不是就是 p， 就是 a b 撇相连。所以呢，它的最小值应该是什么？是大于等于 a b 撇？ 好，所以呢，再来回过头来看一下，我们的异侧的时候是直接相连的，同侧的时候是要画对称，然后再相连啊，这就是我们求线段和最小值的时候，是根据 三角形三边关系，两边之和大于第三边来确定的。这个有没有搞清楚？好，这个非常重要啊，这个是我们经常会考的。再来看下面这种情况，同样的它还是两两个定点，一个动点，这个时候看看它求的不一样了，求的是线段差最大值， 那线段差最大值什么时候出现？线段差，是不是三边关系当中左边这种情形啊？这个时候小于等于号的时候，是不是等号就是我们的最大值啊？所以 只要看到求线断叉最大值一定是在这个地方出现的，其他地方没有啊，只有这里出现，所以我们要往这个方向去靠拢，从这个思路是来解决问题的。情况，同样的又分同侧和异侧 现，我们拿到题目的时候要去区分一下哪个是定点，哪个是动点，像这个求线断叉最大值是 pa 和 pb 的 最大值是不是？ 那我们拿到手的话啊，任何一个题目拿到手，先去看一下要求的线段有哪些，是不是 pa 和 pb？ 这两个线段有三个顶点， a 和 b 是 不是定点？那 p 呢？是动点，所以属于两定一动的这种情形。求线段差最大值的时候，我们是不是只有三边关系，左边这里会出现啊？ 求最大值的时候，所以我们要往这个思路去判断。好，那现在来看一下，这个预测的时候， a 在 这里， b 在 这，我们把定点和动点给它标上 好。 p 呢，是动点，那一开始的时候，我不不知道这个 p 点在哪里，我随便放一个位置对不对？那是不是 p a 和 p b 相连， 求这两条绿色的线段，求这两个相减，求最大值，那根据两边之差小于第三边，那我理论上是不是要把 a b 相连？ 但是这个时候 a 和 b 是 定的，那我 p 点是不是在这一条线上有无数个点啊？所以没办法确定的唯一不变的那一个，那这个时候我们怎么办？我要把它画对称，对称是为了干什么？是为了进行转化， 像这个现在是异侧，那我对称的话是不是就可以给他画同侧了呀？变成同侧，那我们再来看一下效果。好，现在是不是 b 画对称到了 b 一 撇，那这两段是不是相等了？那这个 p a 减去 p b 就 变成了 pa 减去 p b 一 撇，对不对？看看是什么？ pa 是 这一段减去 p 一 撇是什么？是不是刚好剩下的就这个唯一 唯一的这个这一段的长啊？就是我们最大值，这个时候我 p 点在哪里？是不是只能在这个位置呀？现在画的这个位置它是唯一确定不变的，所以这个时候我们的最大值取值 他就是 a b 撇的长，是不是变成了这一段减至这一段啊？所以我们要求的就是他喽？ 好，这个是我们异侧要做对称的。好，再来看一下同侧，其实同侧和异侧主要有什么区别？就是把异侧，比如说异侧，我画对称是不是变成同侧啊？既然他已经是同侧了，那我是不是直接相连？就是 pa 减去 pb， 是 不是就是 ab 的 长啊？所以我们同侧的时候最大值是什么？ 这个时候最大值是不是就是 ab 的 长？刚刚预测的时候是 ab 撇的长，是对称点的这个长度，是不是？所以我们把这两种情况再对比一下啊，不然的话容易混淆。同样的是两个定点，一个动点的时候，预测的时候，刚刚说的预测是不是直接相连？我们给他标一下啊。 预测是直接相连，再来看一下求线段差最大值的时候，预测是什么？要画对称的， 做对称，然后再相连。好，再来看一下同侧，同侧是什么？求线段和最小值是要画对称的，到了求线段差最大值的时候，同侧呢？是不要对称的，是不是完全反了？求线段和最小值的时候同侧 对称，到了求线乱差最大值是异侧对称，他俩是先画对称，然后再相连，他俩是直接相连，所以啊，要理解他的逻辑是怎么回事，然后再像这样子对比的去记忆。像这个同侧呢就要做对称了， 这个同侧呢就直接相连，但是我们要知道它为什么是这样子好，这个呢就是我们非常常见的经常考的这两种类型，求线段和最小值和线段差最大值， 去来看第三种变形和第四种以及第五种啊，这三个我们一起来讲，现在来看一下，是一个定点，两个动点，刚刚是两个定点，一个动点，是不是 第四个是两个定点，多了一个定点，动点还是两个？到了第五种，那就是三个动点没有定点了，那这个时候我们应该准备，我们刚刚是画的都是定点，关于动点所在线的对称点是不是？那现在再来看一下它要求的是什么？其实 一定两动的时候，就是说我们需要在这个 o a 和 o b 上分别找两个动点，使得 pa 啊， pm 以及 mn 这个小三角形，它的周长或者说三段加在一起求最小值啊，是一回事，所以它要求的是 pm 加上 p n 加上 m n 求最小值。好，我们看看这个最小值又怎么办？现在我们说的现在这个 它是一个定点，我们要画动点所在线，画垂直是为了进行转化，那关于 o a， 其实就是 m 所在线的对称点，比如说是 p 一 撇 把这两点再相连，是不是这个 p m 就 变成了 p 撇 m 了？是不是给它转化出去了？再来看一下这个 p 关于 o b 的 对称点， p 两撇，把 p 两撇和 n 相连，那 p n 是 不是和 p 两撇 n 是 不是也是相等的呀？是不是转转化出去了？那现在要求的三段是不是变成了这三段啊？ 这是不是三段相当于是三条折线，那折线是不是相连了？那这个时候我们应该取的最小值是什么？化折为值是不是两个点？就是 p 一 撇和 p 两撇相连，这一段的长就是我们最小值， 为什么？因为 p 点它是定点，那对称之后是不是 p 一 撇和 p 两撇都是定点啊？那 p 一 撇和 p 两撇相连之后，得到的这个线段长肯定是一个固定的长，就是我们这样子，这个好理解吧？好，那现在就可以直接把 这两个点相连，那最小值呢？它就是我们 p 一 撇 p 两撇的长。好，在这里我们再延展一下，看一下，既然我们把这几条线再相连啊，连上 看看这三条黄色的线是不是相等的？我们刚刚画的是对称，是不是啊？看看 p， 关于这条线对称点是它，那这个 o a 这条线上所有的点到两个端点的距离是相等的， 那是不是就是 o p 一 撇和 o p 是 相等了？当然和 o p 两撇也是相等的，那这三条线很显然是相等的， 并且还有一个什么结论。再来看一下，我们垂直平分线得到了这条线呢？同样的还是 角平分线，那角一跟角二是相等的。好，第二次对称的时候，那角三和角四是不是相等的？现在再回过头来看一下，角 a、 o b 是不是刚好是角二和角三拼的？那假如说这个 a、 l b 给你了是三十度，那这四个加到一起是什么？是不是就六十度啊？两倍的二加三嘛，对吧？那就是六十，如果这是六十度，那这两边又相等，那这个三角形就是一个等边三角形，是不是？那我们对于我后面后面的解析是不是就方便很多？ 好，这个非常重要，假如这个 a、 o、 b 是 四十五度，那这个角我们就是九十度啊，就是这里会存在着一个二倍关系。好，我们顺便把它的结论写上，角 p 撇 o p 两撇，它是一定是等于两倍的 a、 o b 的 好，这个是我们第三种变形。再来看一下第四种，第四种相对就更好理解了。现在定点变成了两个定点动点呢？还是在 o a 和 o b 上找一个？找两点 m 和 n， 看看位置在哪里啊？刚刚前面我漏说了，我们不是要找 m 和 n 吗？那 p 一 撇和这个 p 两撇相连，是不是和这两条边有对称点？那这个点呢？就是 m 一 撇，也就说我们 m 应该放的位置这里呢？是 n 一 撇，也就说 n 应该放在这里的时候，我们是能取到重要值的。好，继续来看第四个，两个定点，这个时候同样的我要画对称给他 对称到这里，那这就是 p 一 撇喽。 q 呢？因为是定点，要就近画对称啊，你不要交叉过来把 p 画往这个 o b 这个方向啊，要就近选择这个呢？是 q 一 撇。那好了，这个时候我们 m n 在 哪里不知道随便点？ 好，他要求的是这个四边形的周长最小值，或者说线段和最小值。我们可不可以理解成什么 p 和 q 都是定点，那这个 p q 的 长是定 定线，是不是？那好往边上放，我是不是只要关心这三边加在一起求最小值就好了？那这三边是不是跟刚刚的这三边是不是一回事啊？所以我们同样的话，对称面 好对称过来，那这条边是不是转移到这边了？那这条边是不是也转移到这边了？现在来看一下， 就变成了这三条线，求最小值，还要加上这个固定的这一条，那我是不是只要把这两条线相连，然后再把这个额外的 p q 加到加在这个定线上加上就可以了，是不是？好，所以呢，我们只要连接 p 一 撇 q 一 撇 就可以了。好，现在我们把这个最小值，它呢是 p q pm 的 长，加上 m n 的 长，加上 n q 的 长，当然它一开始还有一个固定的 p q 的 长，是不是这四条边？好，这四条边呢，我们刚刚说已经画完对称， p q 不 动，它是定长，这个 p m 是 不是已经变成了 p 撇 m 啊？加上 m n m n 呢？可以不动，加上 n q， 那 就是 n q 一 撇了。好，现在来看一下，这个是固定的，不管它这边 这三条加在一起是不是应该大于等于 p 撇 q 一 撇啊？我们最后还要加上这个 p q， 那 整体是不是大于等于 p q， 加上 p 撇 q 一 撇啊？所以我们的最小值是什么？是这个加到一起，同样的也存在的，像我们刚刚说的那角的二倍关系啊，主要是利用的是垂直平分线，是垂直，垂直平分线 上了点到两个端点的距离都是相等的，并且这两个角是相等的，这里呢，垂直又平分啊，所以这里又涉及到什么？既然是这两边是相等的，那是等腰三角形是不是？那等腰三角形，这里又有垂直也叫垂线，是不是？ 平分？是不是也叫中线啊？这里呢，角一跟角二相等，是不是？角平分线啊？相当于是三线合一。虽然我们现在还没有学啊，但是等腰三角形，三线合一非常重要的一个性质， 我们后面是经常会用到的。好，这是我们第四个。再来看一下第五个，第五个说的是什么？三个动点， 那就没有定点了，我们刚刚画的对称都是定点，关于动点所在线的对称点一定是定点。好，那现在既然没有定点了，那我可不可以先把其中的一个点随便啊？ d、 e、 f 随便选一个，我把它看作定点总可以吧？ 看错定点之后，那我是不是就可以画对称了？同样的，我就可以往这边画对称，这个呢，就到了第一撇，往这边画对称，那就是第两撇好，把它们相连就可以转化过去了。 d、 e 是 不是转化成第一撇？ e， d、 f 是 不是转化成第两撇？ f 是 不是？那我们要求的这三段 的最小值是不是就变成了这三段加在一起求最小值，那不就相当于划折为值吗？划折为值就是两点之间线段最短，那是不是最小值？是不是低一撇低两撇的长啊？好，这是根据我们刚刚三和四来的， 把它先连上，那最小值有了是它，但是你是把人家看作定点，它本身并不是定点，它是一个动点，我是不是还要进行二次判断啊？我判断什么？我要判断我这个地点， 看看在什么的时候，我们的最小值，他呢能更小一点，那是不是我们就能最终取到一个最小值啊？那现在来看一下啊，我们可以把这边 这三条线，这三条绿色的线是不是相等的？刚刚前面已经说过了啊，是垂直平分线性质，那这三条线呢？加到一起，再来看一下是不是这条线啊？那 c d 这条线，如果我能取最小的话，那我是不是这一条，这一条 也都是就更小一点，那这个时候怎么办？我是不是只要 d 垂线段最短，这里是 c d 垂直于这个 a b 这条边的时候是不是就可以了？好，那我们现在来看一下，给他画一下啊，就是 c d 还要进行二次判断， d 到了 d 一 这个位置的时候，我们就可以判断出来最小值了。 所以啊，三动点的时候，我们要求的是什么？ d e 加上 ef 加上 ef， 好 是等于什么？这个 d e 变成了 d 撇 e ef 不 动 加上 d f 变成 d 两撇 f， 对 不对？好，它呢，刚刚说的是大于等于 d 一 撇 d 两撇的，然后进行二次判断，刚刚我们是做对称的，是不是 做对称？那我第二次呢？画垂线段最短，就是当 c d 垂直于 ab 的 时候，那这个时候我 c d 的 最小值是不是就有了它呢？是等于什么？是等于 c d 一 d 就是 我们垂直的时候，这个位置。 好，所以要进行两次判断，这里是垂线段最短， 所以啊，这个重点就是要把这一步进行判断一下。 好，这个是我们前面的部分，还是比较重要的啊。继续来看。第六种变形是两个定点，一个定长。看啊，我们常见的是这两种类型，第一种类型呢，看是这个， 你当它是两条河边平行的河。好，那现在来看一下，这个 p q 就是 我们的定长， 它是定长，假如说宽度是 d， 现在它要求一般是出现在什么题型当中？看啊，将军造桥，或者说造桥选址， 我可以想象在河上面我要造一座桥，这个 p q 就是 我们的桥，肯定是垂直的对不对？不然造价太高了嘛？好，那垂直的时候 我们应该放在这条河的哪一个位置的时候，我们能使得这两个定点，或者说你认为它是两个村庄，对不对？到这两个桥头的距离和这三段求最小值。这个就是我们造桥选址 问题，这部分内容呢，相对前面的要稍微难一点点啊，现在来看一下，看看他在说什么。好，我们先写一下啊，是 pa 加上 p q 加上 q b， 其中 这个 p q 呢，它是一个定长，可以先不管它。好，那现在来看一下 pa 和 p q 这两个是不是相当于在这两边啊？是不是两侧？那你总不能把 a 和 b 直接相连，对不对？那现在呢，我们这种情形可以怎么办？我们可以通过平移的方式， 平移的方式进行转化，刚刚我们上面对称目对称的目的也是为了进行转化，那我平移也是为了转化，等后面学到全等，全等还是为了进行线段转化？那好，现在我们看看怎么平移。 现在 a 点和 ap， 我 要把 ap 进行转化，我构造这么一个平行四边形，是不是可以把它转化到这一边来啊？是不是尽可能的向这个 q b 这条边 靠拢？为什么要靠拢？我要把它相连啊，连在一起，我是不是可以用三边关系来解决问题啊？不然的话离得十万八千里是不是就不好处理了呀？所以呢，我们可以把这条线沿着什么方向，沿着这个定长，也就是这个桥的方向平移多少单位就是地的单位，因为不然的话没办法构成平行四边形，是不是 好，按照这个来，那 ap 就 变成了 a 撇 q 了，是不是？那现在是不是就变成了这一段加上这一段，当然还有这个定长，定长先放着不管，它只要这两部分加到一起求最小值，是不是？那现在就好办了？这个是不是属于我们刚刚第一种情形当中的预测啊？ 那 e 则为是不是直接相连就可以了？ a 撇 b 是 不是直接相连，是不是就能取到这个 q 点唯一的位置啊？那 q 取到了，我在往上画垂直的时候，那这 p 点的位置是不是就定下来了？然后是通过这种方式来进行转化的？好，我们 pa 就 变成了 a 撇 q， 然后 p q 不 动， 加上 q b 红色的这两部分，我们就可以大于等于什么？那就是 a 撇 b 了啊，这个图图上面人家已经连好了，然后并且还要把 p q 带上，所以我们这个时候的最小值是不是就它呀？这两段相加， 是不是很好理解？所以啊，我们写一下它的辅助线是怎么画的， 我们就沿着定长定长 p q 方向通过平移平，平移多少个单位，它多长就是移多少个单位。第一个单位 去干什么？是构造平行四边形进行转化用的。好，这个是重点。好，这个呢， 是不是就很好理解了呀？再来看一下，这个叫将军六马，那将军六马说什么？你看啊，我们现在是河边，只有河一边，刚刚是河两边，要造桥必须需要涉及两边吗？现在呢，这个将军他要把这个马沿着河边要去六马，那六马的话到底是在去在哪两两个点之间进行六马呢？ 然后使得这三段加到一起求最大值？说的是这个意思，那也就是说我们 p q 长就是我们的定长， p q 是 定长 d， 同样的还是平移啊？你看我们是不是要把它向右平移啦？为什么向右是沿着 p q 的 方向平移 d 个单位是不是就构成了这个平行四边形啊？那是不是我们要的 a p 就 变成了 a 撇 q 了？那就变成了 a 撇 q 加上 p q 是 固定的，不动加上 q b， 其实理论上就是求这两段重要值问题了，这两段是不是又属于我们的同侧啊？所以刚刚前面这是异侧问题，异侧是不是直接相连就好了？ 好，这个刚刚说了是同侧，同侧要干嘛？要做对称，然后再相连，那现在来看一下对称，现在 a 到了 a 撇位置了，变成这样，那 a 撇是不是要画对称，到了 a 两撇，然后再相连啊？所以 这种情形，我们三段 p a 加上 p q 加上 q b， 它的最小值应该是等于什么？ p a 变成了 a 撇 q 通过平移的方式把它转化成它，是吧？好， p q 不 动，再加上 q b q b 好， 那现在画对称变成了它，又变成了 a 两撇 q 啊， p q 还是这个定长不动，加上 q b 好，就变成了 a 两撇 q 和 q p 是 不是大于等于什么？ a 两撇 b， 当然 p q 这个还要给他加上，所以 这两段相加就是我们的最小值。刚刚是不是也是刚刚呢？就不要画对称了，是因为它是异侧相连就好了，这里呢是平移之后是同侧，那我们要做对称，然后再相连 啊。所以这六种变形其实它的核心思路是一样的啊，一定要好好理解一下啊，是经常会考到的。而且这部分内容的话，是对于我们后面初二初三求几何最值问题， 基本上就是我们的压轴题了，是跑不过去的，一份试卷要出现十加二十分的，所以这部分内容啊，一定要去好好的去复盘一下，要过这个关的。

这种题别一上来做垂线看题。在直角三角形 a、 b、 c。 中角 c 是 直角， a、 c 等于三， b、 c 等于四。 沿 a、 c 翻折得到三角形 a、 b 撇 c 再过点 c 且垂直 a、 c 的 直线 r 上取点 d、 c、 d 等于二，且 d 和 b、 c 的 交线平行 a、 c 求 b 撇到平面派的最小距离。 题眼先写平面 d 是 三二零，交线又平行 a、 c， 所以 底面里的交线就是 y 等于二， 平面派又垂直底面，所以平面派就是 y 等于二。 b 撇是三，四倍于弦西塔，四倍正弦西塔 d 括号 b 撇斗平面派括号等于四倍于弦西塔。减二的绝对值，绝对值最小，先看能不能取零 令四倍余弦西塔减二等于零，余弦西塔等于二分之一。在零到派内，西塔等于三分之派。 这时 b 撇落在平面派上，所以最小距离是零点到平面最直。先写平面，再看作标差。在这个翻折模型里，求 b 撇到平面 a、 b、 c 的 最大距离。 提示，平面 a、 b、 c 就是 z 等于零。点赞、收藏、评论区见！关注我，每天一个高考秒杀技巧！

一起来看看这道七下考试中的易错题，也是重难点，他考察了图形的折叠与平行线模型，孩子如果对这方面的知识掌握不足呢？这道题很有可能丢分。那认真看完这个视频，再配合相关的专项练习， 轻松攻克这类难题，回复折叠分享给你。好，我们来看如图，将一个长方形的纸片 a、 b、 c、 d， 它是长方形，沿着 b、 e 折叠，那么使 c、 d 两点分别落在 c、 e、 d、 e 处， 那么若角 c、 e、 b、 a 等于五十六度，这个是 c、 e、 b、 a 已经标出来了，是五十六度，则角 a、 b、 e 的 度数。让我们求的是这个角的度数是多少。其实这道题它本质上不难，你只要看清楚折叠前后这两个图形，哪两个图形呢？ b、 c、 d、 e 就是 这个图形折叠之后变成了什么？是不是 d、 e 这两块他俩是全等的，那么既然他俩是全等的，那你应该知道是不是哪两个这个角，什么 c、 e、 b、 e 应该等于这个角， c、 b、 e 这两个角是相等的。那么比如说我们所求的这几个角设为 x， 既然他俩相等，那这个角是五十六度加 x， 那 这个角也是五十六度加 x， 而 a、 b、 c、 d 是 一个长方形，那 abc 它是角， abc， 它应该是九十度，但是它等于 x， 加什么？加五十六度，再加一个 x， 那 么等于 九十度。所以我们的二 x 一 项九十减五十六，不要算错了，那么是不是等于三十四度，所以咱们的 x 就 等于十七度？轻松搞定。

嗨，欢迎来到矩形折叠的花样精模型的一个具体的实战题目啊。这道题说到，在矩形 a， b， c， d 当中呢，这个 ab 等于八， bc 等于四，也就是长和宽给到我们了， 然后呢，按照如图的方式，把这个矩形呢，沿着 e f 这边夸折到了这边来，也就是说呢，这个 a 实际上就是 c 折过来的，它本质上呢，就是这个 c 撇点。 好，现在呢，让我们去求 d e 的 长度是多少，然后还要去求这个 e f， 也就是折痕的长度是多少。那么先来看 d e 啊， 要求 d e 的 话， d e 放在了一个直角三角形当中，所以呢，他既然在这样一个直角三角形当中，我们就先看看这个直角三角形能不能解。 那在这个直角三角形当中，我们不妨假设它是 x， 然后呢，这个 d a 呢，就是矩形的宽，所以 d a 就是 四， 好，接着还差 a e 这条边，哎， a e 这条边呢，是由 e c 歘甩过来的，所以呢，哎，这条边的长度是整个的长，八减去 x， 八减 x， 哎，所以它也就是八减 x 了。那因此，在这样一个直角三角形当中，我们就可以利用勾股定律来列方程， 八减 x 的 平方啊，等于这个 x 平方加上四的平方，那列出了这样一个勾股定律方程之后呢，实际上，本质上，这道题可以利用勾股定律的假动作来求啊，因为有一条直角边是四，对吧？那你就猜想一下三四五呗， 对吧？ x 等于三的话，那么八减三刚刚好等于五成立了并勾，所以呢，这里 x 就是 等于三的 啊，不用算了。好，接下来，那我们来看这个 e f 的 长度是多少，那要求这个 e f 呀， e f 是 折痕，所以呢，如果你能想到这个 十字架模型的话，那这道题呢，也会很快的就可以给它求解出来，因为 c 点叉折叠到这个 a 的 位置，对吧？那所以呢，我们把这个对应点的连线给它连起来，它一定是被这个折痕，被这个对称轴给垂直平分的。 那么在矩形当中呢，出现了这样一个垂直，就必然会出相似，那这所谓的相似呢，就是过一点去做一个 a b 边上的垂线， 这个直角三角形和这个直角三角形，通过倒角就可以得到这个角跟这个角相等，然后直角跟直角相等， a a 相似，那这两个三角形相似的话，我们就可以得到 e f。 斜边 比上这个斜边 ac， 就 等于这边的较长直角边比上这边的较长直角边，也就是 e m 比上 ab， 哎，实际上呢，这些长度啊，除了 e f， 我 们都可以给它表示出来， e f 比上 a c a c 呢是对角线四比八，比四倍的根号五，然后这个 e m 是 谁呢？ e m 其实就是宽吧，就是四 a b， 不 用说了，就是已知的长就是八，所以呢， e f 的 长度就应该等于十六倍的根号五，除以八，也就是二倍的根号五。哎呀，这不就出来了吗？ 好，那这个呢，是用十字架模型给他解出来的，当然这道题呢，还有另外一种解法，哎，我们来看啊，这里呢，是折过来了，对吧？所以 ec 呢，和这个 a e 的 长度是相等的。 另外呢，在这个矩形的折叠当中，会出现什么？平行平分出等腰，哎，我们来找一下欻折过来了，对吧？找到两个锐角相等，然后这个角呢内错过来到这来，所以呢 平分平行，然后就出了等腰三角形了， a e 和这个 a f 就 相等，那所以呢，这个八减 x 长度是五的话，那这段的长度呢也是五， 接着这个 x 这段呢是三，所以呢这个 a m 呢也是三，那我就可以把 m f 这一段给求出来了，五减三得二， 而这个 e m 的 长度呢就是四，因此呢，我们利用这个勾股定律啊，就可以把 e f 求出来了，一比二比根号五，二比四比二倍的根号五。 这个方法呢，主要就是利用了平行平分出等腰，然后呢 e f 是 一条斜的边，所以呢，我们还是要构建一个直角三角形，把它的一条直角边，另一条直角边都给求出来的话，斜边就有了。好的，那么这道矩形的折叠题你有没有学会呢？

雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚 hello， 各位同学，今天我们来看一下这道二十三题几何压轴的题目。这道小题有关于折叠的问题，同学们，你就说难不难吧，大熊老师上课有没有讲过这样的题目， 太简单了，尤其是像很多同学的目标是把第一问第二问做出来，那这个题就是绰绰有余的啊，我们一起来感受一下。首先这个题第一小问， 呃，它不再是一个四边形的证明，有点特殊，让我们证明两条线段长度的相等，对大家来说，这更是个好消息啊，只需要去证两个三角形的全等就可以了。这边老师来简单写一下，想证 g、 e 等于 c、 f， 我 们只需要让三角形 d， g、 e 全等于三角形 d、 c、 f 就 可以了，这是个很经典的证明啊。首先呢，同角的与角相等，这两个角相等， d， g 等于 d， c 等于 ab 啊。再接着，都有直角，简单考察一下折叠的性质啊，折叠前后图形的对应边对应角相等。 好，这个第一问就搞定了啊，你看这四分的话呢，就简简单单我们就拿到手了啊，特别容易啊。 然后呢，第二小题的话，第一问，求线段 d h 的 长。其实说实话，同学们啊，这可能一道就五分呢啊，四分或者五分，你把前两问做出来，十三分的题你就拿到了十分。第二小问，我扔了 对吧？你这个题目的话呢，又是等腰，三角形的构造，可能就存在着理论上的三种情况，三个答案啊，三分性价比太低啊。那接着看第二小题，第二小题说折叠以后呢，使得注意啊，同志们，情商高的同学做这个题特别容易， 使得 b 点的对应点 h 落在对角线 b、 d 的 延长线上，恰恰就落在 b、 d 的 延长线上，那就说明同学们，这道题要想求的是谁呢？ d h， 那 我们再给大家来重复一下，假设你不知道这个题该怎么做，你拿到求线段长度的题目，应该怎么去考虑？同志们，第一， 为他创造一个直角三角形，看看里面有没有特殊角，对吧？用比例关系去做。第二呢，为他构造一个三角形的相似，最好是能够一箭双雕。第三，就是用长线段去剪短线段， 比如这道题目。在这里，同志们，我们单纯的从求 d、 h 的 长度来说啊，老师给他好好分析分析这个题，你求 d h 的 话 啊，那我们在这里知道呀，题目当中有没有特殊角的，你先给老师把这个点掌握住。有没有特殊角？有，我把这个角记为阿尔法，你看，包括这个角也是阿尔法，它代表的就是一个六八十三比四比五的这样一个关系。同志们， 所以你仔细想一想，如果 c、 d 的 长度是六的话，根据三四五的关系， d、 n 的 长度就应该是五分之 十八。而别忘记了啊， b、 d 一 共是十，所以十减五分之十八， b、 n 的 长度就是五分之三十二。而大家都知道，同学们， 这 b、 n 是 等于 h， n 的， 都等于五分之三十二，那 d、 h 不 就有了吗？五分之三十二减五分之十八，就等于五分之 十四啊，直接就拿下了，同学们，特别简单啊！紧接着来到了第最后一问，第三小题 啊，这道小题说呢，如果继续沿着平行于 c m 的 直线折叠，很多同学可能有点困惑，说，老师，这个图该怎么画？非常简单，你继续沿着平行于它的线，那也就是说交线段于点 p， c d 于点 q 这样的一个图。 那么老师教给过大家，同学们什么时候学的八年级上册，那个暑假我就又跟大家说了，其实在七年级下册的轴对称图形当中，大家就得学会怎么画这个轴对称图形啊。如果 p q 是 对称轴的话，同志们大家注意大概来感受一下啊， 那么你其实只要会做对称就可以了。什么意思呢？什么意思呢？大家注意啊，来给大家把这个图来画一下啊！怎么做这个轴对称图形，我看能不能给他拉住啊，圈一下，嗯， 耶耶耶，快点，全不动了，全不动没关系啊，把它擦掉来，同志们请看啊，在这个题当中，我们要学会做这个轴对称图形啊。简单来说呢，将这里的 p q， 哎，稍微往上延一延，稍微往下延一延，哎，当这个对称轴足够长的时候，我们只需要做对称点就可以了。你比如说老师换成这个 虚线的样子，或者我稍微换一个别的颜色，红色吧，点 a， 它的对称点，哎，你比如说差不多就在这个位置，这就是我要的点 g， 而我们说了点 b 的 对称点呢，就在线段 b、 d 的 延长线上 啊，比如大概这个地方点 h， 那 么此时此刻呢？同学们，你将 p g 连起来，哎，将这个 g h 连一下，你得保证什么呢？折过来以后，这个角大概是个九十度， 这个答案能理解吗？同样道理， c 点，他沿着这条直线折叠对应点，我给他记成个 c 撇点吧，在这里啊。所以你这个图如果要来连的话，应该是最终这样去连， 你看大家想象一下折叠的过程应该这个样子，但这个地方也是直角啊，我再把这个 q c 这样连起来。所以说大家想象一下，同学们，你正儿八经在折东西的时候呢，你想我沿着 p q 这么一折，是不是相当于折个角呀？ 啊，就把这个角折回来了。假设这个点即为点 o， 它要求的是谁呢？求的就是点 d 到 p q 的 距离，也就是求 d o 的 长度。在这里是个等腰三角形，我们观察一下这个等腰三角形 d g h。 上来。先别把这个题目想的太复杂，我就问大家同志们，这个三角形 d g h 里头谁的长度是知道的？ d a 这个 g h g h 的 长度就等于六，那么注意别慌。由第二问得到的经验告诉我，如果我想求 d o， 我 就把 d o 设为， 不是设为 x。 同学们，在这里啊，老师，我把 d o 设为三 x， 你 心里记住就可以了。如果 d o 是 三 x， 这就是五 x， 对 吧？那么这个根据对称可知， b o 的 长度就是十减三 x 啊。根据对称可知，这 o h 等于十减六 x。 好 一条边的长度 表示出来了，那我说这就够了。同志们，假如说分三种情况啊，第一种情况，如果这 h g 等于 h d， 其实初二年级的同学也能听一听， 等于什么呢？哎，他俩相等，那这样的话呢，就是六等于十减六 x， 那 我们算出来六 x 等于四，你要算的是谁？三 x 就 等于二。这个题目的第一个答案就是二， 好，继续往后。第二种情况，我们如果让 g h 等于 g d， 很多同学就不会了，或者说这第三种情况，让 d h 等于 d g 这两种情况就不会了，不会的点在哪呢？同学们，是因为你没有发现一个问题，什么问题？ 图三当中的这个角，包括图二当中的这个角，这个角是个特殊角，你说老师你怎么推出来的？我给大家展示一下。由于这里是垂直的， 这个地方也是垂直的，所以荣老师把这个角呢，我给他记成一个阿尔法，老师，把这个角记成一个北塔好不好？同学们，那么我们就说阿尔法和北塔应该是互补的关系，没错吧？那么这个阿尔法由于折叠，它应该等于这个角，我把这个角记作小 m， 我 把它的角呢记作小 n， 也就说 m 加 n 也等于一百八十度。同志们，而由于折叠阿尔法是等于这个小 m 的， 所以 b 它角就等于 n 这个角，而 n 它就是个特殊角，它代表了一种关系，我的对边是四分，我的零边是三分，我的斜边是五分，所以大家懂了吗？这个题目的破题之处就是，你能发现这个角是个特殊角，那就简单了。第一种情况，如果 g h 等于 g d 的 话，过点 g 做它的一条垂线，三线合一，那么我们就能知道了。这十减六 x 的 一半，也就是五减三 x 他应该占到了三份，而斜边的长度六，他占到的是五份，所以同志们会求了吗？一份就是五分之六，那么五减三 x， 三份就是五分之十八 啊啊，而我们要求的是谁呢？我要的就是三 x， 对 吧？你要的是 d o 的 长度，就是三 x 等于多少？五分之七。第二个答案，那么第三个答案来，同志们请看，我把刚才这个线 擦掉啊，或者不管他，我再换种别的颜色，比如我换个黑色，你该求第三种情况了吧？ d h 等于 d g， 那 我直接过点 d 做 g h 的 一条垂线，好，这个三角形它又是一个三，正好它就是三二三比四比五，说明此时此刻这十减六， x 的 长度就等于五，那我要的三 x 就 等于二分之五。三个答案 搞定了，同学们，你说真的很难吗？其实一点都不难啊，这个题目你听懂了吗？给老师点赞、评论转发呦！

好，同学们，好，我们把这个四月五号的这个每日一练给大家讲一下啊，这个题呢， 其实是我们嗯，这么长时间以来做的最简单的一个题，它就考察了一个折叠的啊，折叠，那么勾股定律这个题，其实大家需要把它做出来啊，这个做出来好，我们看这个题咋说的，他说在一次数学课上， 嗯，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定一个正方形一边上的一个三等分点，也就是说，我们通过折纸，然后能确定一个三等分点，然后乘风小组同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作，他第一步是干嘛？第一步如图一啊，他把那个 将正将边长为六的正方形纸片对折啊，对折，使 a 与 b 重合就对折，你看就是上下对折，对吧？与 e f 对 折，呃，第二步，将 bc 沿着 c e 翻折，就连接 c e， 然后将这个 bc 翻折过去啊，得到 g c 连接啊，连接这个 eg， 呃，延长了交这个 a d 与 h 啊，这样的话，他说 h 就是 三等分点，他证，证明，怎么证的啊？下面，下面有证明，证明是这么说的， 他说连接 c h 正方形沿着 c e 对 折，那角 b 等于角 d， 我 们看啊，他是说角 b 等于九十度， 所以你这个也九十度啊，这个也九十度，对吧？对，折过去的嘛，那 c g 呢？是，他又说 c g 等于 cb 等于 cd 啊，这也相等是吧？啊，然后呢？ c h 等于 c h， 哎，他接下来说这两个三角形就全等啊，全等，那所以这个一处的推理依据应该是 h l 是 吧？ h l 啊，大家能看到吧，叫直角三角形啊，斜边直角边啊，好。 呃，接下来他说 g h 等于 g d 设 d， h 是 x， 他 说他设这个地方是 x， 那因为你全等，所以这也是 x， 对 吧？这也是 x 啊，然后这个对折的，所以这边是三，这边也是三啊，这边也是三， 那这边就是 a h 就是 六减 x 啊，六减 x， 因为它边长是六嘛。所列方程啊，方程不没必要化简。那方程我写一下啊，方程就很简单啊，我写在上面啊，就应该是三的平方加上六减 x 的 平方，它是等于 三加 x 的 平方啊，平方。 好，这个就是我们所列方程啊，方程。然后，嗯，结合破浪组，小组操作破浪组，看他干啥了。他说如图二所示，将正方形纸片对折，使得 a 与 b 重合。第一步是一样的，呃，将正方形纸片对折，使 b 与 d 重合， 其实就是，就第二步其实就是啥？就是按照 a、 c 去对折，对吧？就你把这边折过来吧。啊，好，按照这个对折，使它重合。重合完了之后呢，他说交于，交于点， 就是我们的 e、 d 啊，连线与这个 a、 c 交于点记，通过点记折叠，使 mn 平行于，就是我们，我们以它为折痕，折一下啊，折一下这个 mn， 经过点记， 他这样的话，这个 m 点就是 m 点，就是我们的三等分点啊。嗯，证明结论那个，是的，证明这个证明一，一看就是什么用相似吧，我们写一下啊，就是，嗯，你这个是三， 这个是三， a e 是 三， dc 就是 六，对吧？所以这个根据八字形相似啊，这个八字形。所以你能推出比值上是一比二啊，你说比值就这这边也是，也是一比二， 这边也是一比二，对吧？我们只需要前面那个一比二啊，一比二。呃，那所以呢？所以就是大家又看到一个 a 字形，对吧？ 嗯，这个是一，这是二，所以又平行，所以这边也是一比二啊，那这样的话，我们就能推出这个边长是二啊，这个这是四嘛，所以是三等分点啊，会正吧，我就不写了啊，不写了，就用了个八字形，和 a 字形相似，就出来了第三个。 第三个啊，这个图三是没用的啊，图三没用。在一个边长为六的正方形中， e 是 b a 上一个点啊，我们假设 e 在 某一个位置，在这个位置 啊，在某一个位置是射线 b a 啊，是射线 b a， 所以 你有可能在外面啊，这样话，连接 c e， 将 b e c 翻折，翻折， 翻折。然后他现在说，呃，交于 h d， h 等于三分之一 a d， 其实就第一幅图，是吧？啊，我们也可以画一下吧，可以画一下啊。嗯，这，这样，这样不行啊，我们重画一个啊，重画一个，就只有第一幅图，哎，第一幅图 e 啊，然后你翻折过去之后，是这样的吧。假设啊，假设， 然后这边有个 h 啊，这边有个 g 翻折过来，然后延长 e， g 交于 h 啊，但是 h 在 这吧，我们下面重换一下， 这样，对吧？哎，这样可以啊。嗯，他现在说如果 d h 是 三分之一 a d， 所以 这面就是二，这面就是四。 呃，直接写出 b 的 长那个，这一看，这第一题的反面，是吧？这种情况就是二啊，这题肯定有好几个情况，因为他没给图，而且还给了个备用图，肯定是有好几个情况，这个是二，我们按照第一题的做法，我们依然能证明这个三角形和这个三角形一定是全等的， 原因在于这个，他等于这个，对吧？所以也是 h 幺垂直，垂直啊，全等。所以呢，我们知道这边是二， 我就写个思路啊，写个思路，这是二，然后他说求 b 一 长，你就是，他是 x， 对 吧？那他就是 x， 那 这边是四，那这个就是六减 x， 那 你就列了个方程法，对吧？方程长什么样的？就是，嗯，四的平方加上 六减 x 的 平方，会等于我们的二加 x 的 平方啊，这样的话，你写的 x 等于三啊， x 等于三，那所以 b 就是 三啊。好，但是注意啊，这个地方呢？他， 呃，你只写这一个答案，肯定是，肯定是会扣分的。那我们还有一个思路，还有一种情况，就是你他只是说 d h 是 二，呃，三分之一 a d 吗？就二，那你 d h 有 没有在 h， 有 没有在右边呢？ h， 你 们看，在这个位置，我们可以反着画图啊，反着画图，就如你 h 在 这的话，你大概率画个图，嗯，这样子，是吧？ 就你这样，这边做垂直，画个图啊，就教你们怎么画图啊，画图就我们反着想，你，你这个 h 是 b， g 延长，你 g 肯定在这边，然后你又垂直，你是对着这个折叠的，所以你的图呢？所以你这个地方， 这样吧， 那不行，就是就是这样吧，就这样看啊，然后这边，呃，可能你的一点在这个位置啊， 然后 g 点呢？就是你反正折叠过来嘛，就对称，可能 g 点在某一个位置啊， g 点折过来，有可能在这种位置，是吧？ 超过去了啊， g 点在这， 看能不能感受到垂直把它折叠过去啊，所以我们画图的时候可以反着画啊，你标一下啊，这边是二。 呃，大家同理，一定能证明这边也是二。他先让你求 b， e 的 长，你求 b， e 是 x， 那 这边就 e， g 就是 x， 那 这个就是 x 减二，然后这是六， 这也是六，所以这个是 x 减六。哎，你看方程又列出来了，方程是什么方程？是是是不是？但是我们可以写 y 啊，我们有的时候前面写 x， 我 们就写 y 吧， 这是 y 吧。 y 啊，就你设这个 e， b 是 y， 那 这边就是 y 减六，这边是 y 减二啊，那你就会列一个方程，就是应该是 y 减六的平方，加上 八的平方，等于 y 减二的平方，对吧？那这样的话，你就在 y 等于十二啊， y 等于十二，所以这个题 b e 的 长应该是 三或十二啊。嗯，好，这题难度不高啊。难度不高，这题应该要写出来啊，写出来它就是一个简单的折叠啊，这些作为一个小题都可以。好吧，嗯，那今天每日一定呢，我们就。

同学好，我们今天一起来看一下八下的必考题，折叠问题。正方形的折叠问题呢？看见头就打，不要急，今天一分钟教给你秒出答案！边长为十二，折痕为十三。第一步，先做辅助线，通过 b 点做 f、 g 的 平行线 b、 k， 那么由此可见， b、 j， f、 k 是 一个平行四边形，这里是十三，所以 b、 k 等于十三。根据勾股定律，这里是十二，这里是十三，所以 a、 k 为五。那么重点来了， a 点和 e 点折叠重合，那么由此可见， f、 j 是 垂直于 a、 e 的， 所以由此可见，这里角一，这里是角二，角一加上角二等于九十度，角二加上角三也等于九十度。所以由此我们可以推出来角一等于角三。那我们又知道角 d 等于这个角 a， 大 的这个角 a， 然后 a， d 呢？又等于 ab， 所以 由此我们可以推出来这个三角形 a， d， e 全等于三角形 a， b、 k 根据的是 a s， a， 那 么由此我们可以推出来， a， k 就 等于 d， e 就 等于五。那么最后我们要求的是 c c， e， c， e 就 等于边上十二，减去 d， e， 五，最后等于七。 ok， 折叠问题的核心是垂直全等勾股，记住这个思路，折叠题了解学会的扣一。