初一下册北师大版几何动态问题

大家好，我是吴老师，今天给大家出示的是动态几何旋转临界问题，这是中考数学压轴题当中的最后一问， 今天你听完我的视频以后这类题型的分问答，先听听题目， 在二梯三角形 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 等于九十度， a、 b 等于五， b、 c 等于三点 d 在 a、 c 边上，且 cd 等于一点 p， 从点 a 出发，沿折线 a、 b、 b、 c 匀速运动，到达点 c 停止 连接 p d， 将线段 p d 绕点 d 顺时针旋转九十度得到就 d。 设点 p， 在 该折线上运动的路径长为 x， 当点就在三角形 a、 b、 c 外部不含边界时，直接写出 x 的 取值范围。 这类问题它的难点在于哪呢？就是临界状态的图形，我们画不出来，大家按下暂停键，独立去思考一下，正确答案是它，两个答案你都出来了吗？我们先来整体的感知一下， 我们会发现点 p 的 运动路径是条折线，而点 q 的 运动路径呢，也是一条折线，这是为什么呢？ 那是因为呀，在整个的运动过程当中，点 p、 点 d、 点 q， 它们的相对位置关系始终都没有变， 那么这个相对的位置关系指的是什么呢？夹角九十度没变，再有长度啊， p、 d 始终是等于 q、 d 的， 这就是相对位置关系啊，没变。 所以这里边这个图形上的每一点的运动路径，它的形状是相同的，所以点 p 的 运动路径，它的形状是折线，所以点 q 的 运动路径， 它的形状也是折线啊，这一知识点非常的重要，我们记住它了，我们就可以手动的画出点 q 的 运动路径了，那么该如何画呢？这个非常的关键，我们一起来看一下。 首先呢，点 p 是 从点 a 出发的，把点 p 放在点 a 处， p d 的 长度已知了，我们根据它们的相对位置关系，垂直线段相等，可以找到点 q 的 初始位置是这里， 然后点 p 运动到点 b 处， p d 长度知道了，哎，做垂直等线段，就可以找到点 q 的 这折点的位置，再继续移动点 p， 让它和点 c 重合， 那么 p d 长度有了，做垂直等线段哎，把此时点 q 的 位置找出来，那么三点确定了，顺齿以连的就是点 q 的 运动路径了， 这样一来啊，他求的呢，是点 q 在 三角形 a、 b、 c 外部的情况，你看到外部都有哪些了吗？那很显然是找到临界点，那么临界点的位置第一个位置在这儿，点 q 在 a c 上， 那么我们画图形的时候该怎么画呢？来确定路径之后啊，交点 p 的 位置啊，很好找了， d q 的 长，有了左垂直等线段啊，就可以找到点 p 的 位置了，那么这就是第一个临界状态时候的图形。那么第二个位置啊，是这种情况， q 点位置确定了啊， d q 的 长确定了，垂直等线段，点 p 的 位置也确定了，这就是第二个临界状态的图形。第三个 好，点 q 到这了，还是连接 d， q 长度有了，做垂直等线段啊。第三个临界状态图形也出现了，图形找到之后，我们接下来就是进行计算了， 来第一种情况，我们来进行计算，那么计算的方式很显然啊，平行对应边去乘比例 x 呢，是 a p 的 场啊。第一种情况求出来了。第二种情况，点 p， 点 q 都在边 ab 上，那么三角形 p d， q 是 等腰直角三角形，我们利用它的性质啊，我们做一条高线啊，利用等腰直角三角形的三线合一的性质啊，还有垂直就会出现相似， 就会找到边的关系了啊， ap 还是 x 的 值，那么它等于 am 加 mp， 而 mp 呢，是等于 dm， 那 么这个搞定了。第三种情况， 点 p 呢，是在 b c 上，点 q 是 在 a b 上，那我们要充分利用 d q 等于 pd， 那 我们要做一线三垂直构造，全等 全等啊，等零代换，这里边还有相似呢，对应边乘比例算出相应的线段，然后利用线段的和差就可以找到此是 a b 的 长了。 那么拓展一下，当点 q 在 三角形 a b c 内部的时候，不含边界 x 的 取值范围，你知道是什么了吗？ 欢迎大家在评论区给出正确的答案，感谢大家的聆听，我们下次见！

一次性说清北师大版七年级下册全书的重点难点，那么新版北师大初一下册的全书重难点其实可以总结为十六个公式，二十个模型，一种变换，一个关系。 十六个公式在第一章，二十个模型分布在了二、四、五三个章节，一种变换指的是初中三大几何变换之一，折叠变换。那么也是我们二五年山西中考二十三题压轴题的出题考点。那一个关系指的是我们第六章变量型的关系，也就是函数关系的初步。 那么详细来说来，下册总共六个章节，期中考试考前三个章节，期末考试重点为后三个章节。 那么第一张整式乘除为三年计算的核心基础，这边的课本上给了我们九个公式，分别是密的预算六个公式、平方差公式和完全平方公式。三个公式再加上七个变形公式，总共是十六个公式， 那这些公式不光要背会，而且要做到灵活运用。这一张也是我们往年的期中考试填空压轴题十五题十六个公式，那这一张也是我们往年的期中考试填空压轴题二十二题的出题点。那 第二张相交和平形平行线为证明说理的一个起步，也是我们期中考试压轴题的一个必考考点。这部分呢，总共是两个基础模型，也就是猪蹄模型和铅笔模型， 还有它的四个变形模型。那么这部分知识也是培养几何证明基本逻辑和书写习惯的基础。这部分知识学扎实化，后续的几何大题就不容易扣步骤分和细节分，那么这一张涉及到的是六个模型， 来第三张，概率每一年中考必考一道选择填空。但是初三我们还要继续去学习，所以初一阶段难度不太大，关注教材上的课后题。去年的期中考试基本上都是教材的课后题原题，这张只要把课本例题和课后题吃透的话，考试的话就应该没有问题。 第四张，三角形及其全等是整个初中三年几何的核心重点，从初一下册到最后中考压轴题，每个学期都要用到这个知识点，也就是说后续一系列综合证明，它都是基础，所以重中之重。 但是同时这一张也是很多孩子们开始面对几何证明的难点和痛点，逻辑性增强，技巧性增强，开始讲究思路和方法。 这一张三角形有十大基础模型，全等三角形这块一定要学扎实，手拉手模型和一线三等角模型，还有它的一个变形三垂直模型为重中之重，一共是十三个模型。那么这张当然也是期末考试压轴题的必考考点。 第五张，轴对称是第四张，知识一个延伸和升级，其中折叠是中考几何三大变换之一，也是二五年山西省中考压轴题二十三题的考点。 这里有很多重要的几何定律，包括了等腰三角形的性质啦，中垂线角分线的性质啦，尤其是一个重要模型，叫做最值问题中的将军印码模型， 那它是我们三年里面遇到的所有最值模型里面最常见最常考的一种，是我们的新教材新增加的一个内容。 最后第六张，变量之间的关系是我们初中函数学习的开始，期中考试往往会在选择题的第十题，填空的十三、十四以及倒数第三道大题考这个知识点难度不太大，但是会比较抽象， 所以这一张特别需要孩子对于知识的深入理解，特别是函数与实际生活的关系，是我们近两年中考改革之后的重点方向。 这张学明白，你初二去学习一次函数就会很顺利。最后这张考题的话，其实不太难，把课本吃透，把基础题型练熟，考试得分就问题不大。最后咱们再说一次，总共是十六个公式，二十个模型，一种变换，一个关系，你记住了吗？

来看一道引元问题，如图，动点 e、 f 分 别在正方形 a、 b， c、 d 的 边 a， d， b、 c 上 a， e 等于 c， f 连接 e， f。 过点 c 作 c， g 垂直 e， f 垂足为 g 连接 b， g。 若 ab 等于四，则线段 b、 g 长的最小值为多少？ g 为动点，它的轨迹是什么呢？点距处有一直角，那么点距的轨迹就很容易找到了。 题目中有 a， e 等于 c， f， 而正方形是中心对称图形。显然，点一点 f 也关于正方形。中心对称 连接 a， c 交 e， f 于点 o。 正方形 a， b， c， d 中 a， d 平行 bc， 所以 角 e， l 等于角 f， c， o 角 a， o， e 等于角 c， o， f。 又因为 a， e 等于 c， f， 所以三角形 a、 o， e 与三角形 c， o、 f 全等，所以 o， a 等于 o， c， o 为 a， c 中点 o， c 为定线段，由 c， g 垂直 e， f 得角 c， g， o 等于九十度。根据九十度的圆周角，所对的弦是直径点 g， 再以 o， c 为直径，圆心为 o， c。 中点 m 的 圆上运动 连接 b， m， g， m。 根据三角形三边关系， b， g 大 于等于 b， m 减 g， m。 当 b， g， m 三点共线时，等号成立 b， g 最小为 b， m 减 g， m 连接 b， d。 正方形 a， b， c， d 中 ab 等于四， a， c 垂直 b， d。 一，得 a， c 等于 b， d 等于四倍根号二，所以 o， b 等于 o， c 等于二倍根号二。 o， m 等于 g， m 等于根号二，由勾股定律得 b， m 等于根号十，所以 b， g 的 最小值等于 b m 减 g， m 等于根号十，减根号二。

期末预考选择的最后一道题，很多同学都做不出来，看到这个图稍微有一点半变化就没有思路了。其实啊，这不就是我们之前说的平行线十三大拐点模型的复合型吗？如果我之前的结论你都记住的话，这道题分分钟直接可以秒啊！ 那有关于平行线拐点模型，老师也得给大家做一个细致的总结，三大家族十三大类，每一个类别都给你分析推导的清清楚楚，建议大家逐个模型打印出来，去练习去做啊。下面呢，咱们来一起看一看这道题。 这里说呀， ab 平行于 c， d 两直线平行，这是垂直的 b f h 哦，告诉你，这个小角呢，是三十度， e g h e g h， 这个小角也是对应的三十度， 现在告诉你，角 h 等于五十度，想要求角 f e g 啊，想要求这个大角的度数还是一样，这种题目直接上来干嘛？识别模型，然后再提炼模型，你能看到什么模型啊？是不是一眨眼就看到了对应的这个什么呀？ 小猪蹄呀，对不对？来，一眨眼就看到这里还有一个什么瘦猪蹄呀，刚才是胖猪蹄，这是瘦猪蹄对不对？所以在蓝色的瘦猪蹄当中，我们有蹄尖尖之合等于蹄丫丫。猪蹄形模型的结论就知道，这是五十，这是三十，这个角一定是二十度。 在这个红色的胖猪蹄当中，我们有蹄尖尖等于蹄丫丫，所以角 e 就 一定等于哎，这两个角的和对不对哎，也就是角 b f e， 再加上对应这个角，也就是再加上五十度， 而角 b f e 这个角，人题中知道啊，这是垂直，这是九十度啊，所以不就是九十度再加上五十度，也就是一百四十度吗？所以这道题的答案也就直接出来了。 所以以后遇到这种题，选填不需要过拐点，做平行识别模型，提炼模型应用结论，我们就可以化繁为简，快速地秒出档。

北师大版的初中数学，它的难度暴增其实是从七年级下册第四章全等三角形开始， 因为这一章学完之后，就全面介入了我们整个中学阶段最复杂的几何综合，里面包括了很多辅助线的模型，很多正面的模型，这个是让百分之八十以上的同学都很头疼的事情。那么接下来才是到八上的第四章一次函数。

北师版除以下侧就三个点，一个是平行线，一个是三角形，一个是轴对称。这三关过了，真正的学霸和中等生就基本上分化出来了。为什么这么说呢？首先说相交线和平线， 这是初中所有几何的起点，什么方程思想，分类讨论思想基本上全来了，所有的题目都是求角的度数的对吧？但是引含的条件就在这个章节会出现了。很多人觉得平行线有什么难的， 说这话要么就是高手，要么就是不知道他会怎么考。平行线难起来，可以，非常难，月考压轴题，你想要做对，你就先试试这个题。 但你要记住，几何研究的就两个事情，一个叫数量关系，位置关系，一定对应的是有几个数量关系。我给你举个例子，有相交必然有对顶角相等，必有补角出现，有平行必有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补， 再加上题目中给出的数量条件，你去做等量代换做倒角一定能够做的出来的。压轴题麻烦麻烦在分类讨论上了，就 再说三角形，三角形的就是相交线和平行线的问题生化，因为相交线里面其实就包含三角形， 特殊度数的三角形辅助线以及全等三角形的各种模型啊，比如说同样的也会涉及到咱们的位置关系和数量关系，有几个特殊的辅助线，你得记一下，如果看到三角形有十五度的哎，你就去做斜边的中垂线， 见到三十度的你就去做斜边的垂线，见到四十五度的就去延长构造等腰直角三角形 等等的，这些都是有固定技巧的，还有证明全等。三角形中有很多隐含条件，看不出来的，基本上可以归纳为几个模型，就是手拉手模型、一线三等角模型、背长中线模型、半角模型、雨伞模型等等。最后一个就是轴对称这个章节， 轴对称更是三角形难度的延伸，那轴对称有什么好难，不就是左右折叠重合的图形吗？其实三角形最难的模型是将军印码模型，就是轴对称这个章节引入的。 如果你不了解难度的话，你可以试试这个题。所以说，如果不希望自己孩子初一结束的时候直接掉到八十多，那么就一定要把这三个章节学细细的，而且能学多深就学多深。 如果你正好是北师版的，点个关注，二月十四号我有一场专门的直播，会讲到相交线和平行线的倒角问题，想要参加的评论区给老师扣一下，想学？到时候我来邀请你。

以下五大几何板块，西夏月考常考压轴题，期中期末考也会继续考察，建议想要冲高冲满的同学重点学习，都把相关的一个拓展压轴题都整理到了这份西夏月考的压轴题练习里面，有需要可以七四九。 第一，平行线的五大拐点几何模型，这里强调除了会考单个模型之外，还会有模型的拓展延伸，以及多个模型一起综合考察。比如铅笔模型，这里会细分为单个铅笔模型和多个铅笔模型。 再比如猪蹄模型，这里会细分成多个拐点的猪蹄模型和双猪蹄模型等。第二，几何模型加整体思想求角，这里会细分为单个未知数和双个未知数两种题型。 第三，几何模型加方程思想求角，这里也会细分成单个未知数和双个未知数的两种。解析的一个思路， 很多同学会搞混乱，整体思想求角和方程思想求角其实核心的区别是在于，整体思想求角是不存在等量关系的，而方程思想求角主要是根据等量关系去列方程和解方程。第四是动线段和平形线综合。第五，动角和平形线综合， 这里会细分为和动射线相关的以及和动角相关的。那以上内容我都整理到了这份七项数学的月考压轴专项练习里面，并有配套答案，建议基础扎实，想要冲高冲满同学可以考前重点练习，如果没有学过相关内容，可以借助我的拓展视频来系统捕漏。

好，各位下午好，今天是二零二六年三月三十号啊， 今天我们讲一个，我在二零二六年三月，二零二六年三月二十七号啊，准备的一套一个一个课间啊，这个课间呢，准备的这个题目，我发现在网上有老师在讲，也在讲啊， 所以我本人也是呃，在拼命的，有闲暇之余啊，也在向那个同行们学习啊，发现有好的题目，我就喜欢把它记录一下， 那么这一个题目我们就看一下吧。啊，标题我已经想好了啊，动态问题，垂线段最短加垂径定力和一百二十度的等腰三角形的三面关系， 那么只要我把这个总结出来了，这个题目的主要内容啊，知识点，我把它抽出来了以后，那大概这个题目的难度就基本上就可以定下来啊。那么这个题的难度在哪里呢？难度在这个一百二十度的等腰三角形， 这个我们作为二级结论啊，作为二级结论，一百二十度的等腰三角形， 它的三边之比是一比一比根号三，这个在学勾股定律，三线合一的时候，三十度所对的直角边等于斜面的一半，那如果我说这个为 a， 那 这个就是二 a， 这个就是根号三 a， 这个也是根号三 a， 这个是二 a， 那 么它的三边之比就是二 a 比二 a 比二倍的根号三 a， 所以 就是一比一 写在左边啊，一比一比二三，他就是这样来的啊，这边看不见，这边这个摄像头挡住了啊， 那么这样一来，这个二级节呢？我在这里在无论是家长啊，如果你看到了我这个视频，你就要告诫孩子啊，这个非常重要，那么我在这个题目里面把它显现出来啊， 这个题目是三角形 abc， 注意这个圆并不是三角形 abc 的 外接圆啊，点 d 在 圆上，点 d 在 圆上啊，那么以 a、 d 为直径作圆，以 a、 d 为直径作圆，交 a b 于 c e f 啊，交 a b 为 e， 交 a c f 连接 e f， 那 e、 f 又是弦，那实际上就是 a、 e、 f 的 外界。圆是圆 o， 那 么直径是多少不知道。以 a、 d 的 中点作为圆心，以 a、 d 为直径，那就说明这一个圆是一个动圆可以运动的，它随着 a、 d 的 长度， 虽然它的位置是以 a、 d 的 中点为圆心，但是它的半径不知道啊， 它的半径可大可小，可长可短，可缩可放，对吧？所以这一个是一个动圆， 所以我们就要知道 ef 的 最小值。 ef 是 一个弦长啊， 那么我们在元当中所学的知识就是，弦越长，弦心距就越短，弦越长，他的弦心距就越短，弦越短，他的弦心距就越长， 那么我们要求就是要求弦心距长，那么 e、 f 就 最小，那么弦心距尽可能的长，尽可能的长，那就要注意到其他的条件了， 我们把其他的条件吸收过来。角 b 是 六十度角，哎，角 abc 是 四十五度，角 b a、 c 是 六十度，那也就是圆周角是六十度，那么圆心角就是一百二，那么做了高就是弦心距， 弦心距越长，那么他的弦就越短，这是一个知识点。第二个知识点就是我们利用角度由这个一百二，那么这是半径啊，这是半径，那么这是个定值呀， 哪个是定值？一百二是定值啊，半径是未定的啊，不要听错了啊，那么要求 e、 f 的 最小值，其实就是把它笼统的归结为一百二十度的等腰三角形，所以我们经过这种 知识在大脑里面不断的筛选啊，那么这个一比一比根号三就派上用场的。 r r 编号三 r， 那 如果要求编号三， r 的 最小值，就是求半径的最小值，所以我们就回避了弦心距越长弦越短这种可能性，直接求弦心距越长， 其实反而麻烦一些啊，所以这一个我们就筛选成这一个编号三， r 等于 e、 f， 它的最小值就取决于 r 最小，那么 r 最小就是半径最小，半径最小就是直径最小，直径小了，半径不就小吗？这是连带的反应，所以我把它擦掉，这个直径在什么情况下它是最短的， 那不就是垂线段最短垂进力，你刚才我们就用了啊，用那个一百二十度点上三角形，那么垂线的最短，那不就是做一条垂线不就行了，它作为直径就可以了， 那么我们这个动元就调整到什么程度调整到这个样子啊，我手画的不是那么准啊，能够表情达意就可以了啊， 那是四十五度就派上用场了，四十五度，这是六十度，四十五度对不对？ ab 是 二倍的点号二，那么这个红色的 b、 d 就 等于二，那么直径得二，半径就得一， 那根号三二不就是根号三乘以一等于根号三吗？啊，好的，为了不浪费时间啊，视频，视频讲的越长，这个上传都越困难啊，我们尽量压缩，下面就有这个过程，大家可以看一下就可以了啊， 你点一下暂停键啊，可以看一下。嗯，好，今天我们就上到这啊，下课。

这是一个你看完就想让我删掉视频，毕竟没有人想把我们提分的秘籍拿出来分享。想要搞定我们七下的平行线问题，只要你认真去还我们七下自学 提前就能锁定到九十加，你学不学？那今天呢，吴老师就用两步法来带着大家轻松搞定我们这种平行线的证明问题。如果咱们孩子证明过程还经常写不清楚扣分，那家长一定要把我整理的平行线判定易错。真题三十题 打印出来，监督着孩子把这一块刷透，学会好。下面让我们来看一下这道题目，他说已知角一加角二等于一百八十度，角三等于角 b。 好， 然后让我们去求证这两个角相等。首先第一步，你要会利用我们其中给的角度的已知关系去推导我们两条直线的 平行线的关系，我们来看一下啊，你看九一加九二是一百八十度，那很显然我知道九一加九四是一百八呀，所以说九一加九二就等于九一加九四都是一百八，我就可以推导出哦。角二等于角四， 那大家再来看角二和角四，什么角呀？内错角那内错角相等，两直线平行的， ok， 平行完以后，大家不要摆在这就完事了哈，待会在图中标注出来，然后我们来找一找还能不能倒其他的角， ok， 我 们继续再看啊。后面又紧接着给了个角三等于角 b， 哎，有角三有角 b， 看我突破已经正出来的两条直线平行，我是不是可以得出来，角三其实都等于角 a d e， 那 就意味着 a、 d、 e 就 等于角 b， 所以 说通过平行我们又可以推 角三等于角 a、 d、 e 就 等于角 b， 而角 b 和角 a、 d、 e 相等，它俩是同位角相等，所以两直线平行，又可以推出 b， e 和 bc 是 平行的。 ok， 那 么最后呢，让我们证明的是， a、 e、 d 等于角 a、 c、 b， 然后等于啊，等于 两直线平行，同位角相等，所以说通过平行，我们就可以直接推出角 a、 e、 d 等于角 a、 c、 b。 好 了同学们，那以上那就是我们今天的内容，关注孟老师每天一个满分技巧，拜拜！

来，同学们啊，相交线和平线是几何的第一大难点，那么这里边呢，有一个非常重要的题型，就是拐点问题。你看这道题啊，已知 a、 b 和 d、 e 是 平行的，这两条线平行叫 b、 c、 d 等于三十度 啊，来，咱看咱短视频的家长或者同学啊，呃，孩子有没有一个好的习惯，什么样的习惯呢？就是我们在做几何题的时候，这个习惯非常重要 啊，就是我们要把你读到的这个已知条件标在我们这个图形上，如果你没有这个好习惯的话呢，那么就是后期你读完这个题呢，就很难形成思路。所以你看啊，我们角 b、 c、 d 等于三十度，我顺手就在这里标一个三十度就完事了，也不费事。 角 c、 d、 e 等于一百三十八度啊，这个角呢，是一百三十八度，求角 abc 的 度数，求这个角呢，我就给他点一个问号，对吧？好，那么这个呢，是拐点问题啊，拐点问题，我们有一个原则， 对吧？原则是什么？哎，我把这个字给大家写一下啊，其实你只要掌握了这样的一个原则，就是任何拐点问题我们都可以给它解决了 啊，你不要去记那些什么模型啊，什么猪蹄儿模型，笔尖儿模型，对吧？哎，等等，这些模型，你这名字你通通可以不去记，你就记住这个原则就可以了啊，什么呀，那就是过拐点 怎么样啊？做平行线。什么叫过拐点做平行线呢？你原先有 a、 b 平行与 d、 e， 那 么现在呢，拐点有 这个 d 和 c 这两个，但是呢 d 和啊， d 和 b 啊 d、 c 两个啊， b 也是拐点，但是呢， b 和 d 这里呢，都已经有平行线了 是吧？啊，当然呢，你也可以在它那边做平行线，我们这里呢，其实我们可以选择在点 c 处做 ab 和 d e 的 平行线，你比如说 我们做什么呀？这个 c、 f 啊，平行于 d e， 那 也就是说呢， c、 f 平行于 ab， 根据平行线的传递性，他肯定平行于 d e 嘛，这是毫无疑问的。那我们来分析这些角之间的关系哈，首先我们这个一百三十八度，这是， 呃， c、 f 和 d e 平行，那么角 c、 d， e 和角 f、 c、 d 就是 这个角，它是内错角，你看出来了没有？ 那么它也等于一百三十八度，内错角相等嘛。然后你看一百三十八减三十，那么剩这个角 f c b f c b 就是 一百零八度， 那么这个 f、 c、 b 和我们所求的这个角是什么关系呢？ ab 和 c f 是 平行的， 那么所以说呢，你和我们所求的这个目标角，它俩是同旁内角，那么同旁内角互补，所以说我们的一百零八度加我们所求的角 abc 等于一百八十度，那所以角 abc 呢，等于多少呢？七十二度，你看，呃，过拐点做平行线这种问题是不是可以瞬间得到解决啊？ 哎，你学会了老师这个原则的话呢，后期你遇到有拐点的话呢，你就过拐点做平行线就不会错。好，那么有关香蕉线和平线啊，常用的辅助线和球角问题，那么专题字母料已经给大家准备好了，回复，香蕉线和平线拿去练习。

马上寒假了，就所有初一的家长，如果孩子是北师大版教材的，一定要把全等三角形这一章在寒假找时间去学一下，不管你是报班呀，自学呀，还是网课呀，都可以，但一定要自己提前去学一下啊，就是全等三角形的性质呀，判定呀， 还有就是要让他学会最基本的分析这种几何题的方法啊，学会这种证明题的思路，解题的思路，让他要培养这么一个东西， 呃，因为整个初中最难的一张，最重要的一张其实就是全等三角形，因为我们说这个初中学的平面几何，其实本质就是在学三角形，三角形这张如果学的不扎实的话，那么后面不管你是学函数还是学四边形，还是做一些难题，其实你都学的不会特别好 啊，所以寒假最基本的这些，一定要提前学一学，这样给你到开学去学一些比较深的内容，去打一个良好的基础。因为这一张全等三角形这一张啊，绝对不是只能学课本上，照着课本学这么简单就完事了 啊。这里面会涉及到非常多的就是全等三角形的构造呀，跟全等三角形有关的一些常用的辅助线，怎么去画， 怎么去分析啊，要学这个东西，这个东西对我们整个初中数学来说非常重要啊，所以这一张的话，算是我们整个初中的一个重难点，重中之重的 呃，知识点，很多孩子到初二难题做不出来，没有啥思路，其实就是三角形这一张 学的太简单了，学的太浅了，所以要利用寒假先把这张的基础知识要整体去学一遍。好吧，我们寒假的寒假课也会重点去讲全等三角形这一张啊。如果要了解上课信息的可以后台私信我。

好，这个视频咱们来继续进行七年级下册专项复习。四、几何模型当中的拐点问题。涉及到拐点问题的模型真的有好多好多种啊，但是咱们解决拐点问题的方法是唯一的，那就是过拐点，做平行。 那对于具体题目，咱们怎么操作呢？一起来看。哎，这三幅图都有一个共同的已知条件啊，是 ab 平行于 c 得。咱们一个一个来看第一幅图，很明显拐点就是咱们点 e 了，那咱们赶紧过拐点做平行，过点 e 做 ef 平行于 ab。 因为 ab 平行于 c 得，所以我做的 ef 啊，也平行于 c 得，并且我的 ef 把原来的角 e 分 成了两个角。咱们不妨标一下，一个角一，一个角二。接下来我可以写两组内错角相等，一个是角 b 等于角一，一个是角的等于角二。再然后，我只需要做一个操作，就能得到这幅图的结论。什么呢？左边和右边分别相加，左边相加角 b 加角的，右边相加角一加角二，也就是原来的角 e 啊。哎，第一幅图的结论就得到了， 咱们继续看第二幅图。第二幅图难度加大了啊，从原来的一个拐点变成了一、二、三三个拐点。但是咱们解决问题的方法不变呀，那就是过拐点，做平行线，赶紧过一一做一个平行线，把原来的角一一分成了角一 和角二两个角。继续过 f 做平行线，把原来的角 f 分 成了角三和角四两个角，然后过 e 二做平行线，把原来的角 e 二分成了角五和角六两个角。然后继续得好多组内错角相等啊，第一组角 b 等于角一，第二组角三等于角二，第三组角四等于角五，最后一组角的 等于角六也一样。我把左边的相加等于右边的相加，就能得到这幅图的结论啊。所以左边加起来是角 b， 加上角三，加上角四，正好组成了原来的角 f 啊。继续加上角的， 等于右边的角一加角二就是原来的角 e 一， 角五加角六就是原来的角 e 二。 这就是第二幅图的结论，咱们总结一下啊。第一幅图的结论是，角 b 加角的等于角 e。 看看角 b 等号左边的角 b 和角的都是开口冲左的，等号右边的角 e 是 开口冲右的。 那这边呢？等号左边的角 b、 角 f 和角的角 b、 角 f， 角的开口也都是冲左的。等号右边的角一一和角一二，角一一角一二开口中冲右的。所以这种模型的一般结论咱们就可以 得到了啊，它就是所有开口冲左的角相加，等于所有开口冲右的角相加。那对于这个题，咱们直接写结论了啊，开口冲左的角有角 b， 当然还有这个角 f 一 一直加加加，加到咱们的角的等于所有开口冲右的角相加。第一个就是这个角 e 一， 一直加呀，加到咱们最后一个角 e n， 这就是这种模型的一般结论啊。开口冲左的角之和等于开口冲右的角之和。 ok， 咱们继续看 啊，这也一样啊，也有三幅图，咱们一个一个来看。对于第一幅图来说，很明显咱们的拐点就是点 e 了，咱们赶紧过拐点做平线。做好之后啊，咱们得不不能跟上一个模型似的，得内错角了，咱们得的是同旁内角，咱们看看啊，分别能得多少组？ 呃， ab 平行于 e f， 这是不是有一组同胞内角？我给它标上一组 c 多平行 e f， 又有一组同胞内角，而两直线平行，同胞内角是互补的，所以我原来的角 b 加上角 e， 再加上我的角的它就是两组同旁内角互补，也就是一百八十度乘二。有一个拐点的时候，结论是一百八十度乘二。那咱们看第二幅图，从一个拐点变成了两个拐点，一样的道理，我就过拐点做平行线， 咱们能得到一组两组三组同旁内角互补。所以原来的角 b 加上角 e 一， 加上角 e 二，再加上角得它就等于什么呢？等于 三个一百八十度。咱们再总结一般规律，一个拐点的时候等于一百八十度乘二，两个拐点的时候，这这四个角加起来等于一百八十度乘三。那我现在变成了 n 个拐点 e 一， 一直到 e n， 那 么这 n 加二个角的之合就是什么呢？哎，就是一百八十度乘以 n 加一啊。所以这幅图的一般结论是，角 b 加上角 e 一， 一直加加上角 e n 啊，这是那 n 个拐点再加上角的，这 n 加二个角的和，就等于一百八十度乘以 n 加一，拐点的个数加一，再乘一百八十度，就是这个模型的结论。 ok， 咱们继续看。哎，这三幅图啊，他跟前面那两种模型的区别是什么呢？咱们先说简单的地方，简单的地方是每一幅图他都只有一个拐点。咱们再再看不同前边这两幅图啊，这两种图形啊，他那个拐点无论有多少个，都是在 a、 b 跟 c 的 这组平行线之间的，而我这三幅图，我这拐点 p 啊，都在 a、 b 和 c 的 外边去了。那咱们解决问题的方法变吗？不变，永远都是过拐点做平行线。比方说过拐点 p， 咱们做一个 p， e 平行于 ab， 由于 ab 是 平行 c 得的，所以这个 pe 也平行于 c 得，对不对？ ok， 我 把这角 b 用单弧线来表示，我把这个角得用双弧线来表示。我把原来的角 p 用波浪线来表示。那么咱们看看，由于 ab 和 pe 平行，所以我这个单弧线就可以利用内错角相等转移到这来。 由于 c 的 和 pe 平行，所以我这个双弧线也可以用内错角相等转移到这来。那么这时候我就把单弧、双弧以及波浪线这三个角都转移到了顶点，是 p 这块，那我就可以写结论了啊，我原来的角 p 就 等于很明显双弧减单弧，也就是角的减角 b， ok， 第二幅图方法不变，过拐点做平行线，角 b 还是单弧，角的，还是双弧，原来的角屁还是波浪线。我利用内错角相等把单弧角 b 转移到这来。我再利用内错角相等把双弧角的转移到这来。那我就可以写结论了，原来的角屁， 他就等于单弧减双弧，也就是角 b 减角的， ok， 这个图可能稍微麻烦一些啊咱们。但是方法不变呀，还是过拐点做了一条平行线 啊，角 b 还是单弧线，角的呢？还是双弧线？我原来的角 p 还是波浪线。那这时候咱们看看把角 b 转移到哪来了？转移到这来了，对不对？然后，呃，这个双弧线角的，哎呦，他转移到这来了， 哎，这时候这幅图是不是就跟咱们七年级上册的一个非常重要的模型一样了？哎，重叠模型，容池原理啊，这单弧线就是数学小组，双弧线就是语文小组这个波浪线。角屁呢，就是语文数学都报的，然后咱们做的这条辅助线，这条直线 相当于我全班同学一百八十度啊，哎，所以我就可以得结论了啊，呃，我这个角屁两个都报的，就等于数学小组的角 b 加上语文小组的角，得再减去咱们全班同学也就是那个大平角， ok 啊，这是这三幅图对应的 结论啊，他的结论有好多好多种，所以咱们不建议背啊，你只需要记住解决拐点问题的方法就就行了啊。解决拐点问题的方法是什么呢？咱们再来一遍，哎，就是过拐点做平行线， ok， 以上就是有关拐点问题的讲解，大家学会了吗？咱们下个视频再见，点关注不迷路。

那这时候说明什么？说明咱们要对某一个角进行转移了，非常简单但是非常重要的两种转移角的方法，一对顶角相等，二邻补角互补。 好，这个视频咱们一起来分析一道有关平行线的综合题目。咱们边读题边分析，已知角一加角二等于一百八十度，通过观察图形发现角一和角二哎，没有直接的关系。那这时候说明什么？说明咱们要对某一个角进行转移了， 非常简单但是非常重要的两种转移角的方法，一、对零角相等，二邻补角互补。对于这个题来说啊，哪个都行，咱们不妨找到角一的对零角。角三 角一等于角三角一加角二等于一百八十度，从而等量代换角三加角二也等于一百八十度。然后观察角三和角二是一组同旁内角，利用同旁内角互补得到第一组平行 ab 平行 c 的。 继续读题。第一问，角 a、 e、 f 等于角 h、 l、 n。 这时候咱们要用清楚的符号在题目当中标出来它新出现的这两个角， 然后咱们想，新给的条件一定和我得到的已知结合起来用。怎么用呢？三线八角啊，这时候咱们发现要想用上角 a、 e、 f 和这组平行线，咱们这个 e、 f 是 不是显得不够长？ 第三条截线是不是要跟平行的 a、 b、 c、 d 都相交？你只跟上边 a、 b 相交，没有交到人家 c、 d 上边？没关系，你这个 e、 f 太短了，我就把你延长不就行了吗？ 延长 ef 交 c 得于点 j。 那 么这时候咱们就可以利用 ab 平行 c 得得到角 a、 e、 f 等于角 f、 j、 l， 从而再利用等量代换角 f j l 等于角 h l n。 利用同位角相等得到原来的 ef， 平行于 h l。 那 么第一问咱们就解决了。第一问就是问咱们图中的平行线都有哪些，一共两组，写清楚就行了，好吧。然后第二问，第二问换成图二了。但是这个大条件是不会发生变化的，也就是说对于这幅图来说，我这个 a b 还是平行于 c 得的。 然后他给了两个长得比较一样的条件，一个是角 p m q 等于二倍的角 q mb， 一个是角 p n q 等于二倍的角 q n。 那 么这种条件咱们怎么用？我告诉你啊，把其中的一倍角设成 r 法或 beta x y 也行，就是用方程的思想帮着咱们去理解啊。咱们就不妨设角 q mb， 这个角是它的二倍，那就是二 r。 同样道理，咱们把角 q n 的 设成倍它，而角 p n q 是 它的二倍，那就是二倍它。 然后看问题，问题问角 m p n 与 m q n 的 关系，那咱们一个一个的看，如果从题目当中不好看的话，咱们把它抽离到草稿纸上。比方说我要研究角 m p n 的 时候，我就这样画， 这是我的 a b， 这是我的 c 得，这是 m， 这是 n， 哎，这是角 m p n。 这时候我用三个角去读这个单弧线，就是原图当中的角 b m p， 也就是三 r， 我 用三个字母读这个双弧线，角的 n p 的 n p 就是 原图当中的三比特。 那么这道题我就可以用我的拐点问题去解决了。过拐点做完平线，把这三 r 法和三倍它呀都转移到角 m p n 这块来，从而就能得到角 m p n 就 等于三 r 法加上三倍它。同样的道理，当我要研究角 m q n 的 时候，我就在草稿纸上只画出这个角 m q n。 那 咱们赶紧看看，角 b m q 是 原图当中的什么呢？ r 法角的 n q 是 原图当中的什么呢？比特，从而再利用一回拐点问题，把 r 法和比特都转移过来。哎，得到角 m q n 等于 r 法加比特。上下一观察，不难发现，我这个角 m p n 呢，它就等于三倍的角 m q n。 ok， 这就是这种综合题型的一个分析，如果题目能看清楚的话啊，你在原图当中去画没问题， 如果一旦原图比较复杂，咱们把它抽离出来，抽离到咱们草稿纸上进行分析和解答，这样的话啊，就显得更加的清晰了。好吧， ok， 这就是这种问题的分析，大家学会了吗？咱们下个视频再见，点关注不迷路。

来五步法教会咱们写出平行线性质判定的这种综合证明。大体有很多，孩子啊，现在证明题过程写不规范，这漏一句那漏一句，导致你满分拿不到手。 其实证明过程这咱们是要从底层就要培养的，老师已经给大家把平行线性质判定这里面历年的预测证明真题都给大家总结了出来。如果孩子现在证明题写不清楚过程的啊，一定要逐个题型把它刷透，这个能力，这个习惯必须在这一学期掌握， 否则到初二，知识点难了，几何题变得复杂了，咱们就很难去完整的书写好一道题的过程了啊。下面呢，我就带着大家看一看这道题。这里说了， a、 b 平行于 c、 d， 我 用红色的线把平行的这两条线先标记出来， 高光出来啊，角一等于角二，这两个角相等，角三等于角四，这两个角相等，貌似啊，这里面能看到的角一等于角二，那这个大角等于这个大角公共角。但是角三等于角四没用啊，因为角三角四他俩没关系，八竿子打不着。 所以这道题的解析思路是，如果题目当中给了我八竿子打不着的角，那怎么才能转化呢？ 你会发现这有一个平行的条件没用呢，对不对？而对应两线平行，同位角相等哦，这个角四和这个角 b、 a、 e 是 相等的，对不对？所以由平行咱们得到角四等于角 b、 a、 e， 而又由于角三等于角四，它俩放在一起就可以实现条件的转化了，得到什么呢？哎，是不是得到角三等于角 b、 a、 e 啊？ 而角三和角 b、 a、 e 能够扯上联系，角三在这呢，对不对？哎，角 b、 a、 e 是 不是在这呢？对不对？ 哎，那这两个角相等，那么对应它就和角二也相等呗。哎，这不就是一个内错角吗？所以在这里啊，你会发现我通过题干，角一等于角二得到谁呢？哎，角 b、 a、 e 等于角 c、 a、 d。 哎，做了一步转化，所以由它俩，咱们是不是又可以得到角三等于角 c、 a、 d 啊？ 那我们这一对内错角不就出来了吗？角三等于角 c、 a、 d， 这不就直接证明出相应的平行了吗？因为内错角相等，上下两线平行啊，你看这个思路咱们现在啊就分析出来了， 所以咱们分析出思路，下一步就可以自己去写解析过程了，对不对？来，我给带着大家写一写证明。先分析这些条件啊，因为我们对应的角一等于角二， 这标一下吧，这个角就是角三，所以咱们就有对应的角一加上角三等于角二，加上角三 a 极，我们角 b、 a、 e 等于角 c、 a、 d。 放在这这块就推完了。接下来找这的引含条件，又因为 a、 b 平行于 c、 d， 所以在这里面我们就有角四等于角 b、 a、 e 了，对吧？这个条件，这个条件都分析出来了。接下来，哎，又因为我们对应的角三等于角四，所以角三等于角 b、 a、 e， b、 a、 e 等于角 c、 a、 d， 所以 我们角三就等于角 c、 a、 d。 而角三和角 c、 a、 d 是 内错角，所以用内错角相等，直接下结论，两线平行， a、 d 平行于 e、 b， 咱们就正完了。所以几何证明题，它就是一个思路分析再重现的过程，当你把思路哎都给它分析出来，那么写证明过程也就不难了。

好，这个视频来讲一道七项数学第一次月考的高频压轴考题，通常来说会考最后一题的最后一问哈， 他题目特征的话呢，就是说会给出这个平行线，并且会有拐点结合模型，并且会有双角平分线，然后会问某一个角的度数是否是定值 啊？是这样子一个定值问题，如果是定值的话，求出角的度数，如果不是定值的话，说明原因，也就是我们常说的定值问题， 那这种题目的话，百分之九十九同学都不会做。但是其实解析思路非常的简单，就三步核心解析思路，这个视频三分钟就可以讲清楚，可以点赞保存转发给孩子去看。那把这个第一次月考的压轴题给他拿下。 好，那还有更多的第一次月考的一个压轴题，我都整理到了这份啊，月考的压轴题资料里面，可以拿去练习巩固哈。来，我们看到这个题目特征哈，题目特征的话呢，是有一组平行线，然后的话会有拐点， 对吧？然后会有角平分线，给出某一个角的度数，并且的话呢，去问这个角 f、 e、 q 的 度数是否发生变化。就是我们说到定值问题，先来梳理这个核心的解析思路，非常的简单哈，其实就是三步核心解析思路， 先看这个题目特征总结一下哈，再次的总结一下，题目没有给等量关系，但是长给角平分线相关条件长和拐点模型结合在一起， 用到的是整体思想。第一步是先去设 x 跟 y， 通常来说是设角平分线相关的角，或者是几何模型中的关键角，给它设 x 跟 y， 这样子的话，我们就表达起来没那么复杂哈， ok， 第二步的话，就是把其他关键角同样用 x 跟 y 去表达出来。第三步，通过和差乘除去，把这个 x 跟 y 给它消掉，就可以得出角的度数了。通常来说定值问题，这个角度大小的话，一般来说就是一个定值是可以求出来的。 好，那现在我们结合到这道题来看哈，非常简单来，我们看到这道题，这道题的话呢，是啊， ab 是 平行 c d 的， 并且给出这个角 b m e 是 六十度，看起来这个很多线很复杂哈，但实际上都是有思路可以寻的。这个 ef 平分这个 m e n。 好，那我们这边的话就根据第一步来做吗？第一步就是去设这个角，平分线相关的单角给他设做 x， x 跟 y， 哈，这样子的话就斜起来更加的好，表达一点，更清晰一点。 好，下面这个 n p 的 话是平分这个角 e， n d， 也就是下面这两个小角给他设做是小 y， 可以 吗？ 好，接下去的话呢，就是题目还说了， eq 是 平分啊，这个平行于这个 n p 的， 由此的话，我们可其他的关键角就可以表达出来吗？第二步，其他关键角我们看到哈这两个角平行，也就是，呃，这个小角也是歪喽。 ok， 现在的话要去求这个角 f e q 的 一个角度，也就是角 f e q， 我 们看到哈角 f e q， 我 们用这个表达出来 f e q， 那 也就是上面的大角减去下面小角了，也就是 x 减去 y， ok， 那 要去判断这个角的度数是否发生变化，其实就是看去求出 s 减 y 是 否是一个定值就可以了嘛？那题目中的话呢，只给出了这个角的度数，那我们去去找啊，这个 s 减 y 跟这个角度数就可以了嘛。好，那我们看到哈，这边很明显是有一个猪蹄形的， 这个猪蹄形对吧？这猪蹄形的话呢，是含盖了我们设到的这个 x 跟 y 的 这两个关键角的， 也就是在这个猪蹄形里面。结论是什么？中间这个拐角是等于上下两个小角的和 ok， 那 也就是上下两个小角哈，就是二 x 哈，中间这个角是等于上下两个小角，二 x 等于六十度，然后加上二 y 嘛， 那我给他转换一下，也就是二 x 减去二 y 等于三十度嘛。 所以的话，我们看到通过我们第三步哈，就是啊，把这个拐点的一个结论给它运用起来，其实就可以求出这个整体了，所以 x 减去 y 的 话就是三十度，那就可以得出来了， 就这么简单。所以的话就是再来梳理一遍哈，第一步就是关键角给他是 x y， 然后第二步把一些关键的就是角哈给他用 x y 表示出来，包括拐角里面也是哈关键的角 x y 表示出来。第三步就可以去得出我们的相关的整体的一个数值了， 然后就可以得出这个角的大小是不变的，是三十度定值就可以了。好同学们做好笔记， 还有更多的平行线单元的一个培优压轴题，如果说孩子没有学过，可以来系统学习。我的拓展视频给我非常详细的一个啊，结合模型跟结论的讲解，还有压轴题型的一个结合运用，有需要可以找我了解和试听。

今天我们用动态效果看第三题，根据已知条件可以得出以下信息。由第二题得出的结论可以算出，角 p、 f、 q 等于一百三十五度， 此时这些角相等。关键要算出这个角， 此时这些角相等， 此时这些角相等， 指示这些脚相等， 指示这些脚相等。

跟着老胡走数学幺四九各位同学大家好，我是老胡，今天我们将继续学习高三一轮复习第七章的最后一节、第十节立体几何中间的动态与轨迹问题。 在这一部分，我们主要学习三种题型，第一种题型，平行垂直中间的动态轨迹问题。第二个，距离角度相关的动态轨迹。第三个，翻折有关的动态轨迹。这一部分呢，并没有什么新的知识点， 但是呢，这一部分总体难度偏大，下面我们来看一下第一题， 平行垂直中间的动态轨迹问题。如图，在棱长为 a 的 正方体 a， b， c， d， a， e， b， e， c， e， d， e 中， e， f、 g、 h、 n 分 别是它们的中点， 也就是 e 点是这个的中点， f 点是 c， e， d， e 的 中点 g 点 d， d， e 的 中点 h 点 c， d 的 中点， n 点是 bc 的 中点。 m 在 四边形 e， f， g、 h 边上以及其内部运动。 m 点，它是在这样的一个菱形中间运动。如果 m、 n 平行于 a， e， b， d， m， n 平行于 a， e， b， d， 则 m 点的轨迹的长度是多少？那这个题我们应该如何去思考呢？ 首先想的就是，如果 m， n 要和这个平面平行，那么这个 m 点它应该在什么位置？ 正常的想法呢，应该尝试着找一找 m 点在哪个位置，使得 m， n 会和这个平面平行，那就变成了线面平行。 线面平行的话，应该是这条直线和这个平面中间的某一条直线平行，看看能不能找到这条直线。如果找不到，也许我们可以尝试着用面面平行去得线面平行。 比如 m 点，如果在这个位置，此时 m， n 是 不是和 b、 d 是 平行的？因为 h 点和 n 点都是中点，所以 h、 n 应该是三角形 c、 b、 d 的 中位线。 所以如果 m 点和 h 点是重合的，那么它是满足 t、 e 的 第一个点咱们找到了，还能不能再找到其他的 m 点的位置呢？好像有一点点不太好找了， 那能不能站在面面平行的角度去做呢？比如 m 点在这是可以的。我发现 h， g 和 a、 e、 b 是 平行的，为什么呢？因为 h g 和 d， e， c 这条线是平行的，因为 h， g 它是在这样的一个三角形中间， h g 是 中微线，所以 h g 会和 c、 d， e 平行。那又因为 c、 d， e 和 a， e， b 是 平行的，那所以 h g 就 和 a、 e、 b 平行，那 h， n 是 不是又和 b、 d 是 平行的？所以啊，这两个平面就平行。我们把图做出来， 如图所示，平面 g， h， n 这个平面和 a， e， b， d 这个平面是平行的，那既然是平行的，说明 g、 h 这条线 是不是就和这个平面是平行的？也就是说，这个 m 点只要在 g、 h 上，那么 m， n 这条线是不是都是包含在这个平面内的？ 根据面面平行的性质，如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线是不都会和另外一个平面是平行的？ 那么此时是不是就满足了 m n 平行于这个平面？所以 m 点它的轨迹是不是可以从 h 点一直走，走到 g 点这么长， m 是 不是都可以？因此这个题我们就可以做出来了。下面我们来写一写完整的步骤， 连接， n h， g， h， g， n， 因为 h， n 它是平行于 b、 d 的， 这条线和这条线是平行的， g， h 和 a， e， b 是 平行的， r， h， n 交上 g， h， 它是等于 h 的 b， d 交上 a， e， b， 它是等于 b 的， 所以面 g， h， n 就 平行于面。 任何一个平面内的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线分别平行，那么这两个面平行 在 g h 上，任取 一点 m 连接 m n， 因为 m n 它包含于 m g， h， n 的， 所以 m n 就 平行于面 a， e， b， d， 所以 m 的 轨迹 为线段 g h， 那 后面就好做了， 因为它的能长为 a， 所以 这么长就应该是根号二 a， 所以 这么长应该是二分之根号二 a， 所以 g h 等于二分之根号二 a。 因此这个题的正确答案选 d。 总结一下，做这样的题目咱们是怎么做的？我们在判断一个动点的轨迹的时候， 一般情况下可以根据平行，因为咱们这个题目是平行，那如果是垂直也是类似的，一般情况下，根据线面平行，线线平行，面面平行 或者是线线垂直，线面垂直以及面面垂直，它的判定定律和性质定律。根据 平行或者是垂直的判定定律， 还有性质定律， 有的时候呢，可能需要结合一些圆或者是圆锥曲线的定义，推断出来动点的轨迹。 结合圆或者是圆锥曲线等一下，我们的题目中间就会涉及到圆甚至是球的题目。 有这些东西呢，可以推断出来动点的轨迹， 有的时候呢，也可以利用空间向量来进行计算， 各位同学也可以试一试，看看咱们这个题能不能用空间向量。 那如果这个题要用空间向量求解，应该如何去求解呢？首先间隙还是比较好建的，咱们可以从这里去间隙， 因为我要判断的是 m 和这个平面是平行的，所以呢，我只需要去求一下这个平面的法向量，这样向量 m， n 和这个平面的法向量是垂直的， 因为 n 点的坐标是好算的， m 点的坐标咱们是不知道的，可以设成 x， y， z， 然后呢，这个 x， y， z 它要在这个平面里面， 所以可以用平面向量的基本定律，比如随便写一个 h m， h m 一定可以用 h g 和 h e 来表示，比如说 h m， 这个向量可以写成 m 一 倍的 h g 加上 m 二倍的 h e， 因为这个这个都知道 h 点，也知道 这里面有 x， y， z， 从而我们可以算出 m 一 和 m 二它的这样的一个范围，然后结合这个范围确定 m 点所在的位置。只不过呢，这样算起来，这个题目计算量会变得非常大， 各位同学可以去试一下。那万一有一些题目我们没有那么快的去做出面面平行，那是不是只能用空间向量来进行做题了呀？ 这是第一个题目，再来看第二个题目，关于距离角度的有关的动态轨迹问题。已知长方体 a b c d a e b e d e， 它的外接球的表面积为五派。咱们先把这个图形画一下， 题目说 a a， 一 是等于二的点 p 在 四边形 a e， a c c e 内， 也就是说 p 点是在这样的一个平面内，直线 b p 与平面所成的角为四分之派。这个东西应该是我们做这个题的突破口， 并且呢，这个长方体它的体积最大的时候，问动点 p 的 轨迹是多少？因为 p b 和这个平面，假设这里是个 p 点，其中这个 p 点就是在这个平面内， 他说它的线面角是四分之派，那既然是线面角，之前我们讲过，如果是一个 斜线和一个平面之间的夹角，第一步，先找到斜线，找到交点，这个点是交点，然后从另外一个点出发，从这个 p 点出发，向这个平面引垂线， 然后找到垂足，把垂足跟交点一连线，那么这条线就是摄影，摄影和斜线的夹角叫做斜面角。用这样的个想法，咱们来看看这边这个题目。 首先找到斜线，斜线是不就是 p p 找到焦点，焦点是不就是 p？ 从另一个点出发，也就是从 b 点出发，向这个平面引垂线， 那引的垂线是不大约在这个位置，那这个点是不就是垂足连接垂足跟交点，那么这个 p o 就是 摄影 那射影和斜线之间的夹角，也就是说 o p b 这个夹角是不就是线面角，所以这个角应该是四十五度， 但是呢，我不知道这个 o 点的位置在哪里，是不是？所以咱们要讨论一下，下面来看一下具体的操作步骤。首先连接 b d， 交 a c 于点 o， 假设这里的任意一个点是 p 点， 连接 o p p b， 因为这个长方体的外接球的表面积是五拍，我们知道长方体的外接球 的直径啊， 四 pi r 发，那就等于五 pi， 所以呢， r 算出来就等于二分之根号五， 那又因为这么长是它的直径，那所以这么长应该是根号五。 b d 一， 它应该是等于根号五的，那这个体对角线，又因为 b、 d 一 的平方，它是等于 a、 b 方加上 a、 d 方再加上四的， 所以 a、 b 方加上 a、 d 方等于一。题目中间又说这个长方体的体积达到最大， 因为 v 长方体，它是等于 a、 b 乘以 a、 d 乘以二的。要想使得这个东西最大，还有结合这样的一个式子，大家是不是应该能想到基本不能式， 这个式子它是大于等于两倍， a、 b 乘以 a、 d， 刚好这个东西就是它，而它呢，就是长方体的体积，所以它是不是就小于等于 e， 那所以 a、 b 乘以 a、 d 就 小于等于二分之一？用了基本不等式，应该要考虑等号成立的条件。当前仅当 a、 b 等于 a、 d 的 时候，也就是等于二分之根号二的时候， 等号成立。那既然 a、 b 和 a、 d 相等，都等于二分之根号二，是不是说明这底下 a、 b、 c、 d 它是一个正方形，那既然是正方形， b、 d 这条线是不就和 a、 c 这条线是垂直的了？所以四边形 a、 b、 c、 d 为正方形， a、 c 是 垂直于 b、 d 的， 那又因为 b、 d 是 不还垂直于 a、 a 一 啊？也就是说 b、 d 垂直于这条线， b、 d 又垂直于这条线，所以 b、 d 垂直于这个平面，则 b、 d 垂直于面。 a、 a、 e、 c、 e、 c， 那 所以 o 点是不就是垂足啊？ 那 o 点是垂足，所以 p、 o 是 不是就摄影啊？所以角 o、 p、 b 是 不就是线面角四十五度？因此咱们知道了这个角四十五度， 那么 p 点的轨迹是在哪里呢？因为 o、 b 是 垂直于这个平面的，所以 o、 b 就 一定垂直于 o、 p 这个角是九十度，那这个角四十五度，说明这个角也是四十五度， 那就说明 p o 和 o b 是 相等的，那也就是说只要使得 p o 和 o b 相等的，这个 p 是 不都是满足的？ o b 是 多长？ o b 是 不是二分之根号二？ o a 是 不是也是二分之根号二？ o c 是 不是也是二分之根号二？所以 p 点，它只要在以 o 点为圆心，以 o a 或者说以 o c 为半径的这样的一个 半圆上，是不是都是满足 t e 的， 因为都可以满足这个角是四十五度，而且呢，长方形的体积达到最大，所以 p 点的轨迹 是以 o 为圆心， o a 也就是二分之根号二为半径的半圆上。 那所以细点的轨迹，它其实就是这个半圆的周长，所以周长 c 等于二， pi r， 也就是 pi r， 也就是等于二分之根号二 pi。 所以 这个题的正确答案选 d。 这个题目要稍微难一点点， 各位同学可以再仔细地斟酌一下，把这个题目把它想清楚。咱们总结一下，做这种距离角度的有关的动态的轨迹问题，我们应该如何去做？ 关于距离的， 我们的想法就是看看它能不能进行转化，把它转化成在一个平面内的距离。 就比如说像刚刚的那个题，把它转化到一个平面内，那么可能会用到关于圆锥曲线的一些知识，或者是求的一些知识来进行求解。所以大家在做题的时候呢，你可以先找到一些特殊的点， 然后呢，看看这些特殊的点是不是会构成一个图形，比如会不会是一个圆，是一个球等等。那么这样的话，你带着一些结论去思考，那么这样可能会做起来更快一点，这是关于距离的第二个呢，关于角度的， 就像咱们这个题一样，如果直线和平面成一个定角，那么他就有可能像我们这个题一样，变成一个圆， 那也有可能是一个圆锥的侧面。有的时候呢，还有些题目，他讲的是直线和直线成等角，那么他也有可能是圆锥的一个侧面，这个呢，需要大家在做题的时候有所感悟。 这是第二种题型。再来看一下第三种题型，关于翻折的动态的轨迹问题。在矩形 a、 b， c， d 中， e 呢是 a、 b 的 中点， a， d 等于一， a， b 等于二。咱们先画一个图形， 这边是一，这边是二。将三角形 a， d， e 沿着 d， e 折起来， e 点呢是它的中点，这里是 e， 折成了 a 一 撇 d， e， 设 a 一 撇 c， 它的中点为 m， 连接 a 一 撇 c， 那 后面的这条线是不是就被盖住了呀？咱们要重新画一下， a 一 撇 c 的 中点为 m。 若将 a、 d， e 这个三角形沿着 d， e 翻折，折上去以后折成了九十度，也就是说现在的这个平面和底下的这个平面应该是垂直的了， 则在此过程中， m 形成的轨迹长度。如果要是让我们算 a 点的轨迹长度，这个还挺简单的，因为它折了九十度，是不是可以想象的出来，它应该是以这么长为半径的一个半圆。 但是呢，题目让我们算的是 m， 我 是不是也可以这样去想，也就是说，这个 a 一 撇点在这里的时候，那么 m 点会在哪个位置？那可能是在这里的时候 m 零，然后 m 零随着 a 变成了 a， 一 撇，那 m 零是不是就会变成 m， 所以 m 它的轨迹应该也是一个圆弧，是不是？那我们先把这个图把它做出来，怎么做呢？连接 a c， 连接 b d。 标点呢？为 m 零，连接 ec， 取它的中点为 q 点，取 cd 的 中点为 p 点，连接 p q， 再连接 m 零 p m 零 q。 各位同学，知道我为什么要这样做吗？ 因为 a d e 是 不是就等同于这里的 m 零 p q， 然后 a d e 往上翻，是不是就是这里的 m 零沿着 p q 往上翻，是不是会翻到 m 点这个位置？所以还要连接 mp q 的 中点为 n， 连接 m 零 n， 那 么 m 点的轨迹，它其实就是以 n 点为圆心，以 m 零 n 为半径，画的一个这样的一个四分之一的圆，这个就它的轨迹， 大家可以想象成这是一张纸，沿着 d e 把它翻上去，那现在把它再合下来，那这个 m 点一合下来，是不是就合到了 m 点 m 零这个位置？ 那再翻上去的时候，是不是就从 m 零变到了 m？ 那 它是沿着多少翻的？我们是不是要找到这样的一条线，它是沿着这里这么长为半径翻上去的， 大家需要有一点点空间想象的能力。好，下面我们来说一说这个题目具体的做法。连接 d， 交 ac 点 m 零，连接 ec， 取 ec 的 中点 为 q c d 的 终点 为 p， 连接 p q m 零 q m 零 p p m q m， 再取 p q 的 中点为 n， 连接 m 零 n m n， 那 么这个图形就出来了，有些学生说这个点不应该是在 n 点，不应该在这吗？ 在不在这很明显不在，为什么呢？因为这么长是一，这么长是二，那他的一半这么长是不是就是一？那这里是一，这里是一，这里又是个直角，说明他是一个等腰直角三角形，然后把他开始旋转，旋转的时候，他的中点是不是应该是 d e 的 中点？ 同理到这边来，它是不是应该是 p q 的 中点，所以这个 n 在 这儿，那么 m 点，它的轨迹就是以 n 为圆心，以 n m 零的长度为半径，所以 m 的 轨迹 是以 n 为圆心， nm 零长为半径，也就是 r 等于 m 零 n 的 四分之一圆。 现在咱们只需要算出 m 零 n 它的长度，现在咱们只需要算出 m 零 n 它的长度就可以了。 那这个还是比较简单的，因为 p q 的 长度是 d e 长度的一半，这里是一，这里是一，说明这里是根号二，那说明这里应该是二分之根号二。那这里又因为它是一个等腰直角三角形，所以这么长应该是四分之根号二， 所以 r 等于四分之根号 r， 所以 它的轨迹长度 l 就 会等于四分之一个圆圆是 r pi r， 所以 算出来等于八分之根号 r pi。 所以 这个题目就做出来了，大家发现其实难的东西在前面，一旦你想清楚了它是什么，一会就出来了。 总结一下翻折的题目，咱们是如何计算它的轨迹的？ 这里面比较难的东西就是我们需要在翻折的过程中间寻找到那些不变的垂直的关系，或者是说在翻折的过程中间呢？寻找那些不变的长度的关系，咱们需要去寻找一下。 所以第一个翻折的过程中， 那些不变的关系， 这些不变的关系呢，有可能是关于垂直的，也许是关于长度的。你看咱们这个题，它是不是就是把 d、 a、 e 这个直角三角形，然后把它翻折上去了， 这里的垂直没有发生变化，那么在这，那么在这个里面它是不是也是垂直的，也是翻过去了，这个垂直没有发生变化， 但是呢，有一些东西实际上是变了的，比如 a、 c 的 长度， 一开始 a、 c 是 这么长，然后翻过去以后变成 a 一 撇 c， 它的长度会变短。 所以大家在翻折的过程中间去寻找哪一些是变的，哪一些是不变的，根据那些不变的东西来进行解析，这是第一种方法。第二种方法是不是也可以用空间向量来做？ 今天我们讲的这些题目呢，都是用传统的方法来做，其实空间向量的话也可以做，只不过呢，咱们这个题可能不一定好做，那如果要用空间向量，可能间隙就会在这里去间隙， 那这边它也就是跟它平行了。然后这边 这边这里是 x 轴，这里是 y 轴，上面是 z 轴，需要寻找到关于 m 的 一个方程，然后你把那个方程进行化解，你会发现它是一个圆，然后再结合它的范围，你也会发现它是四分之一个圆。 但是呢那种做法呢，显得有一点点笨拙，不像咱们这里这样做出来显得那么的直观。 好了，本节课我们就讲到这里了，希望大家课下多做一些这样的题目。大概率的情况下出现了诡计问题，这个题目的位置是比较靠后的，难度是比较大的。 最后，欲渡关山，何惧狂澜。风生水起，正好扬帆。我们下期课再见，拜拜。

今天给大家分享一道动角例题，先看详细步骤，后面讲解思路。我们讲到了啊，有一个步骤，首先呢就是找动角，找动线，呃，动角 动线，首先他说角 a， o b 和角 c， o d 都在动，角 a o b， 角 c o d， 那 角 a， o b 有 几条边？有 o a 和 o b 两条边，角 c， o d 有 o c 和 o d。 然后他最后题里边问的是角 m o c 减角 a o d， 那你还要确定 o m 是 不是动的，那如题可知，我们知道 m a 是 不动的，那它就是定线 m o c 和它有关的 o c 有 关，角 a o d， o a， o d 有 关，那 o b 我 们在这里面就可以不去考虑，因为呢，它对我们的角这个大小没有贡献，我们就可以不考虑。动线我们找到了，那首先我们，然后我们再去找它的起点， 那起点我们如如题可知， o a 和 o c 重合在 m n 上，那它的 o a 和 o c 起始位置我们可以设它为零度，然后它题里边说的是逆时针旋转，逆时针旋转，我们可以在这里定义，逆时针旋转是正方向，那 o d 在 m n 的 顺时针方向为角 c， o d 等于六十度吗？那 o d 我 们现在就应该定义它为负六十度 旋转的速度。角角 a o b 是 两度每分，角 c， o d 是 五度每分。那它旋转过程中线的所在位置的度数用 t 表示，那 o a 就是 二 t， 零加二 t， oc 就是 五 t， 零加五 t 就是 它所在的度数的位置， o d 就是 负六十度，加上五 t， 这就是 现在的位置。这个位置是什么呢？我们 o m 射线为零度位置 啊，动线和速度，还有起始位置，起点我们找到了终点，终点题里面给的是，当 o c 旋转到 o n 所在的射线上的时候是为终点。那实际上就是当 o c 从 o m 转到 o n 的 时候，所有的动作都停止，那它 o c 转了多少度呢？实际上转的是一百八十度，那 o c 的 速度是五度每分， 那实际上他们一共转的就是一百八十度，除以五度每分，等于三十六分钟。所有的动作在转动三十六分钟之后都停止，那我们要考虑的就是零到三分，三十六分钟之内，嗯， 角 moc 减角 aod 的 表达式有什么变化？那我们现在就要去分析这个角要怎么表示，那我们就要去考虑他转的过程中是怎么转的。首先我们知道 codd 他 转的要比 aob 要快，他是五度每分， oa 是 两度每分， 那就意味着 c 一定是在 o a 之前的，因为他们是从重合位置开始的，都在 o m 为起点嘛，那 c 要快， a 要慢。在运动的过程中， o a 之前，是在 o d 之前，是在 o a 的 顺时针方向，到他的运动过程是 o d 肯定会追上 o a， 那 就是重合的位置，重合了之后， o d 继续比 o a 快， 他就超过了他。那这个过程中这个角 a、 o d 的 表示方式就是有变化的。在他们没有相遇之前，角 a、 o d 的 角度，我们可以用 o a、 o d 的 角度减去 o d 所在的角度。 在他们相遇之后呢，我们这个角度就需要变成 o d 所在的角度，减 o a 所在的角度。那我们最关键的是求他们什么时候相遇，那怎么求呢？那就是 o a 所在的角度，它表达式和 o d 所在的表达式，它们俩相等的时候，那我们看 o a 的 表达方式是二梯度， o d 的 表达方式是负六十加上五梯度。当他们相等的时候，这个时间是多少？ 计算出来， t 是 二十分钟，在二十分钟之前，在二十分钟之前。相遇之前。角 a、 o d 的 度数是用 o a 减去 o d。 当 t 大 于等于零，小于等于二十分的时候，角 a、 o d 等于 o a 所在的线的位置是二 t 度减去 o d， o d。 线所在的度数是负六十加五 t， 那 最后它等于二 t 度，加上六十度，减去三 t， 减去五 t 度，它等于六十度。减三 t， 那 t 大 于呃大于二十，小于等于三十六分十。角 a、 o d 等于 小于 o d 等于什么？等于 o d 线所在的度数减去 o a 线所在的度数， 它就等于负六十度。加上三， 那 o m 是 一直不动的， o c 是 在旋转的，那所以角 m、 o c 的 度数，它就一直就等于 o c 现所在的度数减去 o m 现所在的度数是五 t， o m 是 零，因为 o m 是 定限，我们定义的它的出数值是零，所以它就是零。那所以角 m、 o c 减去角 a、 o d， 它就等于五 t 度减去六十度，减三 t 度，这个是 t 大 于等于零，小于等于二十时。那我们化简一下，就是五 t 度啊，不对，我们化简一下，它就是五 t 度减去六十度，加上 t 度，它最终就等于八 t 度减六十度。最终的答案是，最后再 t 大 于零，小于二十的时候，它的答案就是这个。 那当 t 大 于二十，小于三十六的时候，它就等于五 t 度减去负六十度加上三 t 度，它最终就等于 二 t 度加上六十度。这是 t 大 于等于二十，小于等于三十六分式。

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