初一下册数学尺规作图解题技巧陕西

今天呢，我们来看一下如何用尺规作图来画直线 a、 b 的 垂直平分线。首先呢，我们看到有两点， a 和 b， 那 么我们以 a 点为圆心，大于二分之一 a、 b 的 长度为半径，我们先找大于二分之一 a、 b 的 长度。 我们画弧结束之后，我们以圆规同样的角度不变，再以 b 点为圆心，我们继续画弧，它两弧会有一个交点，那么我们取上面的交点为 c， 取下面的交点为 d 的 话，我们就得到了 cd 两点， c 点和 d 点。那么现在呢，我们连接 cd 两点， 连接 cd 两点之后，我们看到 cd 就是 ab 的 垂直平分线，那如果这一条直线是斜的呢？我们也是同样的办法。重复上述的步骤，就是先以 a 点为圆心，大于二分之 a 一 ab 为半径，那么现在这个是大于二分之 ab 的， 我们给它画弧， 然后以 b 点为圆心，依旧画弧，我们看到这两个弧也有两个交点，那么这两个交点呢？我们依旧给它标为 c 点和 d 点。那么现在我们连接 cd 两点， 得到的 cd 这一这一条直线呢，就是直线 ab 的 垂直平分线了。

昨天作业这道题全班没有一个人做出来，没有看到一个令我满意的答案啊，就这么难吗？给到你尺规作图，让你圆弧找圆心， 我看到好多人这么画啊，哎呀，在这大体呢，找，找一个感觉，然后给我描出来，那能行吗？是不是不标准呀，对吧，所以我们一定要严格的来画，你就按照一波老师的方法，给定你任意一段圆弧，不用管它有多长，你就在圆弧上找三个点，比如说呢，我们这里来一个， 这来一个，这来一个，能找到吗？随便找啊，任意位置，那么找到三个点以后，我们是不是能够两两相连，变成一条折线，感受一下。嗯， 那么这条折线怎么去处理呢？记住了，我们只需要分别画这两条线段的中垂线， 看他们的焦点就是圆心了。我们先来画一画，找找感觉啊，首先看到啊，画他的中垂线，记得怎么画了，线段的中垂线，注意啊，要以两端点为圆心，比如说你看为圆心， 然后呢，大于二分之一，线段长为半径，我们呢，等长的长度看，这么长，来这边画一个圆弧，这边呢画一个圆弧，你要注意了啊，这个长度能变吗？不能变，注意，不能变，然后呢，一样的，以这里为圆心， 然后呢，也是在这画一段圆弧，在这里画一段圆弧， ok， 那 么两段圆弧是不是就会有焦点了？这个地方就在这啊，少画了一点，那么有了焦点以后，你现在能知道中垂线在哪了吗？能，是不是把两个焦点一连线就是了吧。 ok， 那 么中垂线完了啊，为什么是中垂线？是不是这个点到两斑点距离相等，因为半径咱们用的是一样的。嗯， 这个点是不是到两段距离也相等？那是不是到线段两段点距离相等的点一定在线段的中垂线上？那同理呢，我们再来画第二个线段的中垂线啊，还是一样的，是不是咱们要以这两个端点分别为圆心 二分之一场？注意啊，大于二分之一场为半径，来画圆弧来一段。 这里呢？是不是来一段？注意啊，咱们这个长度能变吗？不能变，不能变啊，这个长度不能变。好，我们继续。这里是不是还是以它为圆心来画圆弧？ 这里是不是有焦点？这里呢也能来一个焦点？好，第二条重叠线有了吗？有了，是不是连接这两个点？ 看到啊，那么两条中垂线有没有交点？有，明显有交点吧，那么这个交点就是我们想要的圆心了，知道为啥吗？ 不知道，分析一下啊，是不是你看到这个点，它是在两条线段中垂线上的，所以是不是这个点它到线段两端点距离一定相等？是的，是不是这个距离等于这个距离， 也等于这个距离？那是不是满足圆心到圆弧上任意点的距离都要相等？这个长度是什么？ 半径不就是半径吗？你我们这三个点任意找的呀，所以说是不是圆心也就找到了。记住啊，以后给定任意圆弧找圆心， 随便的找到三个点，两条线段中垂线给他一相交也就完事了。那这个方法大家学会了吗？学会了， ok， 学会了，抓紧时间记笔记，记完笔记咱接着上课啊。

今天我们来看一下如何用尺规作图来画一个角的角平分线。已知角 a o b， 我 们以顶点为圆心，以任意的长度为半径画弧。 那么现在呢？我们取的是这个长度画弧之后，它与直线 o a 和 o b 分 别交于 c 点和 d 点，那么我们现 好以 c 点为圆心画弧。画弧之后，我们发现两弧交于一，交于一个点，成是 f 点。我们现在连接 o f， 连接 o f 之后，我们发现它的 o f 就是 角 a o b 的 角平分线。我们继续来看它还是以点 o 为圆心。这次我们可以取大一点，以任意的长度为半径，这一个长度是任意的长度为半径画弧。 画弧之后，我们发现它与 o a 和 o b 交于 cd 两点。那么现在呢，我们就以 c 点和 d 点为圆心。假设先以 d 点为圆心，以大于二分之一 cd 的 长度为半径画弧， 我们发现这两弧在角 a、 o b 内也交于一点。我们记这一个点为 f， 那 么我们连接 o f， 现在我们所看到的 o f 就是 角 a o b 的 角平分线。

初中大会刚学过二次函数和尺规作图，但我发现没有抛物线的尺规作图。于是我尝试了一下已知一抛物线。首先肯定要做出数值线和水平线。怎么做呢？很明显，这难不到初中的同学。先做两条平行线，再做被截线段的终点，连接两点，得到的就是数值线。 做一元，与抛物线交与四点，两两连接做直线，所成角的角平分线就能得到水平线。接下来考虑能做出什么不变的量。初中学过抛物线开口大小由 a 的 值决定，但我们能发现，在不同单位的坐标系中，对同一抛物线长度为 a 的 线段是变化的，说明那不是要找的量。同时能看出任意抛物线都相似。 回到正题，注意到 a 的 倒数始终不变， a 分 之一才是要找的量。到高中你会知道这与抛物线的定义有关。所以为什么不出初中就教啊！有了这两个基础作图，就可以衍生出更多更复杂的题型了。还有切线，切线也要考虑一下已知坐标系与抛物线过一点做切线。先过它做垂直于 x 轴的直线，再截取原点下方等距点，连接原点，得到切线。下一种先 过已知点，做垂直于外轴的线，做它右侧与它到垂直距离相等的点，过这点做垂直于 x 轴的线。连接原点与交点，则这条直线过已知点的平行线就是切线。最后放弃种类分之一的做法。

家里有七年级的娃，看一下这个尺规作图啊，在期中考呢，一定会有，不过好多娃呢，多多少少会扣点分。咱们来看看这种小题该怎么整？说给了个直线 l 以及它两侧的两个点 a、 b， 如图说，请用尺规做图，看清楚是能用尺尺，圆规还是只能用尺子。那来吧。说，在图一的直线 l 上找一个点 p， 使 p a 等于 p b。 那 像这种问题啊，你可以先在 l 上大概找一个点，看一看画好之后它长什么样。比如我们先随便找一个， 说这两个距离相等，然后再看这个图形的特点，怎么去用我们学过的知识点把它画出来。那你观察这个点到 b 和到 a 的 距离相等， 那不就是咱学过折叠里的这个一条线段对称轴上的点，他到这个线段的两段距离相等，也就是画他的垂直平分线吧。 所以明确了目标之后，我们只要把 a、 b 给它连上，做出 a、 b 的 中垂线。那中垂线的画法呢？就是分别以 a、 b 为圆心大于二分之一， a、 b 长为半径，我们就徒手画了啊， 大概画一下，这样一联合 l 会有一个交点，这个交点就是我们要找的点 p 了，注意给这个交点标上名字，不然会扣分的。那接着第二问，在直线 l 上找一个点 q， 使得直线 l 平分 a、 q、 b 这个角 还是和上边一样，先大概点一个点，比如说点 q 在 这边，那我们要连起来之后呢，它大概长这个样， 这里两个小角被平分就符合要求了。怎么画出来这样的图呢？那你观察特点这里是不是相当于我把这个 q b 给它翻折过来，和这个 q a 重合就行了。 那就意味着这样折过来之后呢，这个点 b 应该是在 q a 这条线上，所以想到了啥，这个 b 和 b 撇是不是关于 l 对 称呀？ 当然你把 a 翻过去， a 呢，也应该在 q b 上，你选其中一个点去做对称就搞定了。那来吧，我们现在就是要做一个点关于已知直线的对称点，先把这个擦掉，那做这个对称点呢？你想想，画好之后是不是垂直这俩且相等呀？ 所以咱们得先过点 b 做 l 的 垂线，接着用圆规截取两段相等的线段就可以了。那来吧，我们来做一个垂线，过直线外一个点，做已知直线的垂线，以 b 为圆心，那适当的半径画个弧，和这个直线有俩交点。 接着以这两个焦点为圆心，适当的半径画俩小弧，然后把这个连上，连上之后呢，会和直线 l 有 一个焦点，记为 o 的 话，我们以 o 为圆心， o b 长为半径，截取一段小弧，再把它转下来， 下边也有一段，那这个就是对称点 b 撇找到了对称点之后，我们刚才说了，翻折完之后， b 撇和 a 得在一条线上，那就意味着把这两个一连 和直线 l 有 一个交点，即为点 q。 那 你看，这个就是我们要找的 a q b 被 l 给平分了，因为相当于是这样翻折过来嘛，自然这两个角相等， 所以像尺规作图呢，你先依照题意大概画一下，然后再从这个模拟图里边去分析如何用你学过的知识点把它搞定。你学会了吗？点赞收藏练起来吧！

就是做一条线段等于已知线段，我们迅速的过一下，争取，争取我们十分钟之内能讲完尺规作图。这条线呢，是小 a 让你做一条线呢，等于这个小 a 用尺规作图，怎么做？画一条射线？注意， 既然我们能讲尺规作图，那我来强调一下尺规作图，什么叫尺规作图？有人根本不知道啥叫尺规作图？刻度尺啊，对的，很好，尺规作图。小石说的特别棒，必须是无刻度尺尺， 就算你有刻度，但是刻度你要当他没有，你要当他没有，听明白没有。即使你用的是有刻度的直尺，但是你要当他是没有的，听明白没有， 一定是无刻度直尺，所以这个地方无刻度直尺特别重要，他不能测量长度的一个直尺，他只是让你画线的这条直尺，他的作用只有一个，叫年限，只有一个没有度量的功能。好，第二个叫圆规，使规做足的第二个就叫圆规，那圆规有什么功能 哦？他是画圆的对不对？那么我们来看一下圆规，既然在画圆的过程中，请问我们的圆心，比如说我们举个例子在画这个圆啊，比如说我们在画圆的时候，大家感受一下，我们画弧的时候，来，我把这个橡皮给大家稍微擦一擦，给大家擦一擦。 好，那我们来感受一下。对于我们而言，我们做了一条湖，在湖上随便取两个点是吧？一个是 a 点，一个是 b 点，那么这个 a 点和 b 点和圆心连起来之后，请问这个 o a 跟 o b 什么关系？相等哦，相等大家都知道。另外还有一个非常重要的，请问 a 这个 o 点在不在 ab 的 垂直平分线上？ 在不在 ab 的 垂直平分线上？不在，在的吧。哦，记住，因为 o 点到线段两边的距离相等，所以 o 在 ab 的 垂直平分线上。记住了没有？ 牢牢记住他是不是？好了，这个非常重要的一个知识点，紧接着下面我们第一幅作图，指挥作图的五大基本作图，我今天要通通给你讲一讲五大基本作图，有人可能都不知道有没有人知道是哪五大？五大基本作图的第一大基本作图记笔记，做一条线段等于已知线段。这个特别简单，比如说已知线段 a， 让你做一条线段， 让他等于 a。 怎么画？第一步，先画一条射线可不可以啊？这条射线叫 o m， 看得懂吗？下面我们继续考试的时候不要有这种这种这种侥幸心理啊，考试的时候谁也不知道你用的是什么，注意，考试的时候他有作图痕迹的，你没有作图痕迹是不行的啊， 会扣分的。好了，一定要牢牢记住，做一条线段等于已知线段。小钢圆规没带吗？这个这个带没带，这个，这个 今天要用圆规的啊，圆规要记住带上图我们看看。第一种，做一条线段等于已知线段，怎么做？比如说要做一个等于 a 的， 怎么先画一条射线 o m， 然后以 o 为圆心，注意来，圆规以 o 为圆心，以小 a 为半径，做一个弧，看懂吗？哦，画一个弧教我们射线 o m 于一点 a， 此时这个 o a 就 等于 a 吧， 能不能看懂？哦，这是第一种作图。第二种是做一个角等于已知角，有没有人会我会一个角等于已知角来做，现在就做，做完了， 做一个角等于一只角。比如说有一个已知角，这个角是阿帕，请你用尺规作图，画一个角跟阿帕相的会画吗？圆规拿出来，别吹牛啊，亲自画。画好的同学飘个二。好，李雨萌是第一个画出来的。 画好的同学举个手。嗯，我看我们陈一阳画的很好啊，我看有人就不会画了。画一个脚等于一只脚啊，陈一阳画的很好，小陈呢？没尺，没有尺子，有人无规，有人无尺，是吧？尺规作图一样都不能少。尺和规都必须有啊，你不能又无尺又无规的，有规有尺才行啊。 哎，我来讲一讲，做一个角等于一只角怎么做？首先，你任意画一条射线，这条射线你随便画啊，你看你心情，你画在哪里的都行。比如说，有人说，我画在这里行不行？可以，我画在这里行不行？可以，就跟他重叠，也是 ok 的。 当然，有时候题目要求请告，请明确的规定这个做的这个角的顶点是 p， 是 这个点，那你就必须过这个点画一条射线，明白吗？ 或者说，有时候明确规定你做的那个箱子的角，它的那个一条边。那怎么画出这个角等于二画呢？哎，很简单， 以我们这个，这是个 o， 这是个 a， 这是个 b， 以 o 为圆心，以任意长为半径画个弧，这个有没有问题？打个圆规出来，以 o 为圆心，以任意长为半径画弧，与我们的 o、 a 和 o b 分 别交于两点，是 m、 n， 接下来呢？以屁为圆形。注意，下面就很重要，以相同长度就是，什么叫相同长度？就这个角跟这个相等，相同长度为半径做个弧。呃，必须，你这个弧一定是跟刚才那个是相同长度的，这个长跟这个长必须是相等相同长度为半径做弧，做出来的弧呢？接下来与 q 交于一点，比如说，这一点为 c 点。 接下来以 c 为圆心，以 m、 n 这段长度为半径，以 c 为圆心，以这段长度为半径，再做个弧。会做吧？哦，再做个弧，给它交于一点，这一点叫 d 点。此时我只要把 p、 d 一 连，连完了之后，这个角就是我们要的 r 法， 会画图了吧？会啊。第二种，做图，做一个角等于一只角。这个请同学们在旁边打上一个黄色五角星很重要，为什么？因为有同学就说红色五角星用不同颜色打上。因为很多人到了初三依然不会做。一个角等于一只角，什么依然不会做？让我很无语啊。也有可能初一曾经学会了，到初二初三全给忘了，全还给老师了。 第三大，做图做一个角的平分线，这就太简单了，有没有人不会做角的平分线？如何做一个角的平分线呢？比如说，我们有一个角 a、 o、 b， 看黑板，有一个角 a、 o、 b， 要知道它的平分线怎么做？只会做图，以 o 为圆心，以任意长为半径做个弧，没错吧？与 ab、 o、 a、 o、 b 分 别交于 c 和 d。 以什么以 o 为圆心，任意长为半径做个弧，与 o、 a、 o、 b 分 别交于 c、 d 两点好。第二步，分别以 c 和 d 为半径，以大于二分之一 a、 c、 d 的 长度为半径做弧。比如说，你这个不能，能不能半径太小，我做个弧，我做太小，交不上去，哎，这两个弧没有交点行不行？ 不行，所以我们这个半径必须是大于什么？大于二分之一， c、 d 做弧，做弧，两个弧呢？相于一点，这一点是什么？这一点是 e， 那 此时此刻我们连接 o， e 就是 这个角的平分线。然后还有一种有人说，还有一种说，我们现在先画，先画一个角啊，先画一个角， 然后呢？ a、 o、 b， 然后呢？沿着那个 o 呢？先画一个弧，以 o 为圆心，任意长为半径画一个弧，然后的话比这个弧大一点，再画一个 o， 哦，比这个弧再大一点，再画一个弧， 然后画沿对角切开，然后中间那个线一连，哦，非常好，你看看。哎呀呀，这是第二种画我们角平分线的方法，它用的是对称性。来，大家看一下，为什么销管特别好啊？提出来这个新的方法，也可以画角平分线，怎么画啊？来 来，看清楚哦。丁子文说，没看懂是吧？来，再画一下，就是我们画角平面，另外一种画是什么？就是我们在这个角 a、 o、 b 以 o 为圆心，任意长为半径画一个弧，再以任意长再为半径，大一点或者小一点都可以，只要这两个弧长度不相等就可以，两个弧的半径不等就行。然后此时此刻呢，你看这个点，这个点，我标一个叫 c、 d， e、 f 吧，这叫 c， 这叫 d， 这叫 e， 这叫 f， 为什么这个是对的呢？来，很简单，因为你把它一连， 你把它一年，这两个三角形，是不是关于这个三角形和这个三角形是不是正好关于它对称啊？能不能看懂？哦？既然是对称，那这个一年，这不就角平分线吗？ 会了，没有，所以我们小管提这个方法超级棒啊，超级棒，超，很好，所以这个也是角平分线。画角平分线了吗？会做图做角平分线的两种方法学会了没有？好，第三种，刚刚我们说了五大基本作图，现在是三大了， 第四大是中垂线，也就是垂直平分线，第四大叫中垂线。如何做一条线段的垂垂线呢？来，我们来看一看。对于我们线段 a b， 我 们数学课代表还是不一样的。咱们班有好多数学课代表的，应该 来看清楚如何挂我们 a、 b 的 垂直平分线呢？大于二分之一 a、 b 为半径。哎，对了，以 a 和 b 为圆心，以大于二分之一 a、 b 的 长度为半径做弧，两弧交于一点，这一点一连就是我们的垂直平分线。 看到中垂线胡不画出来吗？胡胡，我不是画出来画了呀，你看那个中间那面有不用。中间那个不是画出来吗？哪个中间那个？他意思就是要连起来。对啊，你的意思是要把这个画出来是吧？反正无所谓的，这个都可以随便 按照你们自己的要求可以画也可以不画啊。中考其实无所谓的啊。中考不要求不中考的要求。没有说这一段要画，这一段可以不画，主要就是胡的焦点，你要画出来， 懂吗？啊？至于你这个有没有把它画全，你画多少这个不重要。那我其实也可以画出来，但是我没画出来，无所谓的啊。好，那这时候我把它一粘就是中垂线。会了，没 什么，今天我也拖克会啊，那我那先把时间。本来不想拖克的，但是因为他问了我就，我就说会不问，我基本上不会，只要有人问时间问会不会拖克，那就是会啊，所有的答案都是肯定的。太好了，不问就不会，只要有人问了就是会的。不留了，来，继续吧， 来，看黑板。看你别说话。好，刚才我们是第四大基本步骤，这个中垂线，它很简单吧。嗯，为什么？我们为什么？因为我们这条线是不是等于这条线，这条线又等于这条线？因为我们半径长度都相等吧。啊，那么根据这个等于这个，所以 pa 等于 pb， 所以 p 在 不在 ab 的 垂直面线上。 再同样，因为我们的 q a 等于 q b， 所以 q 在 不在垂直平面上？在的吧，所以两点确定一条直线 p q 是 不是它的垂直平面？是的，哎，是的吧。好，这是第四大基本作图，下面我们看第五大基本作图是什么呢？将军，有没有知道？将军一马过一点做已知直线的垂线。 那么这里面呢，就要分两种情况了，他不是过一点做已知直线的垂线吗？那么这一点到底在不在直线上？比如直线 a o 上有一个点 p， 请你过点 p 画一个 l 的 垂线。第二种，直线 a o 上面有一个外面这个 p 啊，不在直线 a o 上，这 会画吧，都简单。好，那么先一种，一种看第一种，我们如何过点 p 做他的一个垂线呢？很简单，以 p 为圆心，任意长为半径画弧， 与直线游交于 a、 b 两点，分别以 a 和 b 为圆心，以大于二分之一 a、 b 的 长度为半径做弧，两弧交于一点，这一点叫 q 连接 p q， 那 么 p q 就是 它的一个垂线， 垂线是不是就画出来了呀？这能看得懂吗？可以看懂了。那如果不这个 p 不 在我们的直线游上呢？怎么画？ 以屁股为圆心，哎，以屁股圆心，以任意长为半径做弧，与我们直线 l 交于两点再做弧。注意，这个两个点其实有一点小小的要求。是什么要求？不过横线半径 就是这个做的这个弧，这个半径啊，一定要与直线有交点。你不能说老师我以屁股圆任意长做半径做弧，做弧与直线没有交点行不行？ 不行，就是你以屁股圆心任意长为半径做的这个弧必须有 l 有 两个焦点，如果没有两个焦点没有用，这两个焦点可以取名叫 a 和 b。 下面呢？以 a 和 b 为圆心，以任意长度为半径再一次的做弧，这两个弧又交于一点，这一点就是我们说的 q 点，此时我只要把 p q 一 连，这个 p q 就是 它的一个垂线，会做吧？ ok。

中考数学中有一类题，尺规作图，很多省份必考，那么在尺规作图中，我们如何快速的截取出题人的小心思呢？ 我们一定要从题目入手，然后我们要有一个小动作，就是要解一道几何题。我们举一个例子看一下，他说有一个角 e、 b、 c， 其中点 a 在 b、 e 这条射线上，让我们在 b、 d 上找一个点 d， 使得角 a、 d、 c 等于二倍的角 abc。 哎呀，很多孩子没有思路啊，点 d 啊，亲爱的，点 d 啊，你到底在哪里啊？那不管在哪里，我们的第一个思路是先分析这个题啊，什么叫做角 a、 d、 c 等于二倍的角 abc 呢？ 习老师告诉你，不要着急，开始拿圆规出来，开始尺圆，尺子拿出来开始操作。操作啥呀，你都没有分析，你操作什么呢？我们要先看它这个是什么意思？为什么角 a、 b、 c 会等于二倍的角 a、 b、 c 呢？我们先观察我们的角 a、 b、 c。 在 这里， 我们要在这里找一个点 d， 我 们可以随便先假设点 d， 在 这里，你先用铅笔标上啊，我们的 a、 d、 c， 那 你把 a、 d、 c 先找出来， a、 d、 c 是 这个角，对不对？我们现在要使这个角等于二倍的这个角，那也就是说这个角等于一倍的它啊，等于二分之一的它。 那要看你这个角和这个角啥关系啊？我们乍一看，哦，原来这个 a、 d、 c 是 这个角 a、 b、 c 的 外角啊，那我们的外角什么定律呢？哦，我们这个 a、 d、 c 是 等于角 b 加上这个角的， 那现在我们要使它等于二倍的它，那岂就是告诉你这个角等于它，那么这个角 a、 d、 c 就是 二倍的它，对了没有啊？那现在搞清楚了我们要做的这个点 d 是 干啥的？ 那不就是要在 b、 d 上找到 b， c 上找一个点 d， 使得这个三角形 a、 b、 b 是 一个等腰三角形，而且我们的点 d 是 顶角，对不对？ 那这个时候他怎么做呢？那这到此时此刻我估计百分之八九十的孩子清楚了，那我们几就是做 ab 的 垂直平分线，那垂直平分线与 ab 相交的那个点就是我们要求的这个点 d 啦。 那这个时候我们再去操作啊。哎呀，圆规拿出来，以它为圆心啊，怎么怎么画弧，以它为圆心啊，画弧。然后呢？我们把这两个一相一连，那与它相交的这个点就是点 d， 到最后的动作必须把这个点 d 标上，然后再写达语。

陕西中考尺规做图题，不用怕，今天教你用一道题，四种方法，五种基本尺规做图，突破这道题的心理障碍，拿到五分。 我们看题目，这道题是要求做平行四边形 abcd， 有 些大聪明的小孩会直接用直尺连出 abcd， 这是不可以的，你怎么确定你连的就是直的，是平行的呢？ 好，我们用第一个方法做等线段。做等线段的方法就是以 d 为圆心，然后完了 a， b 为 半径画弧，然后再以 b 为圆心 a、 d 为半径画弧，交于这个点就是 c 点。它的作图原理是什么？它的作图原理是两组对边分别相等的四边行为平行四边形，然后第二个做等角，做 b， 做这个角和这个角分别都等于角 a， 然后我们是不是可以得到 这个 bc 平行于 a、 d， 然后 cd 平行于 ab。 这个用的作图原理是两组对边平行的四边行为平行四边形，然后第三个做等线段和等角，你看他这个上面这个角是等于这个角 a 的， 那是不是他就是平行的？ 做完平行之后，再截取等线段 a、 d 这条线段等于 b、 c 这条线段交的一点，然后就是它的 c 点的交点。这个作图的原理是一组对边平行且相等的 四边形为平行四边形。然后我们再看最后一个是做垂直平分线和等线段，然后我们看到了这个 b 和 d 点连接， b、 d 做他的垂直平分线，是不是这个对称点对称中心 o 就 出来了，对称中心我们一般包标为 o 就 出来了， 然后完了之后我们连线连出他这个对角线，但是呢，我们不知道对角线在哪，对不对？然后是不是 a o 等于 o c？ 那 我们是不是继续截取？截取，截出这个 c 点，那么是不是利用的是对角线互相平分的四边形？为平行四边形？

中考不想失去指挥作图的三到五分，一分钟帮你搞定全部指挥作图！我们第一类是做一条线段等于已知线段。第一步，我们是做一条直线，在上面取一个点 a， 以点 a 为圆心， a 为半径，画圆交于一个点 b， 那 么 ab 就是 我们的所做的等线段。 第二类，做已知角的角平分线。我们第一步是以顶点 a 为圆心，任意长为半径，画圆交角的两边与 p、 q 两点。第二步，我们分别以 p、 q 为圆心，大于二分之一， p、 q 长为半径，做圆交于点 m。 那 么第三步，我们连起来， an 就是 射线， an 就是 我们的角 b、 a、 c 的 角平分线。第三类，我们是做已知线段的垂直平分线。 第一步，分别以 a、 b 为圆心，大于二分之一的 a、 b 长为半径，作圆交于 p、 q 两点。第二步，我们连接 p q， 那 么 p q 就是 线段 a、 b 的 垂直平分线。第四类，我们是做一个角等于已知角。 第一步，我们是做一条直线，在线上取一个点 o 撇。第二步，分别以已知角的顶点和 o 撇为圆心相同的半径，画一个圆，以已知角交于 n、 n 两点，以直线交于 n 撇点。 第三步，我们就以 n 撇点为圆心， n、 n 的 长为半径，画圆交于 n 撇，连接 o 撇， n 撇构成的角就是我们的已知角相等的角。 第五类，过直线外一点，做已知直线的垂线。我们第一步以点 c 为圆心做弧交， a、 b 于点 e、 f。 第二步，分别以 e、 f 为圆心，以 e、 f 的 长为半径，做弧交于点 g。 第三步，连接 c、 g， 那 么就是 ab 的 垂线。 第六类，已知三边做三角形。我们第一步做一条直线，在上面取一个点 a 撇，以它为圆心， a 的 长度为半径，做弧交直线于点 c 撇。 第二步分别以点 a 撇和 c 撇为圆心，剩下的 b 和 c 的 长为半径，做弧交于点 b 撇。第三步连接这三个点，那么就是我们所要求做的三角形。

哈喽啊，那今天来讲一下，过直线外一个点去做他的垂线。那如图，有条直线 l 要经过点 p 去做 l 的 垂线。第一步，我们先将的圆规放在 p 处，绕着点 p 去做弧，这弧和直线 l 有 两个交点， 请取名为 ab。 接下来操作的之前讲呢，垂直平分线的做法差不多了，这个点 a 为圆形，以略大于二分之一 ab 的 长度为半径去做弧， 再以点 b 为圆心，同样的按键去做弧。这时候做的两条弧会有一个焦点，取名叫做 q 点。那这个 q 其实就是咱们要找到垂线上另外一个点，接下来只需要将齿尺放置在 p q 处，连接 p q 即可做出垂线。上次我同学问了 以下原理，那这个原理其实跟垂直平分线原理差不多，连接 a q 和这个 b q， 因为这是两段半径相等的弧，所以 a q 与 b q 是 等长的，这两段也是等长的，很明显，这里是等二三角形的三线合一，那这是垂直的，这是终点。搞定了。

陕西中考尺规作图其实也就五种类型，第一种，做一条线段等于已知线段。第二种，做一个角等于已知角。第三种，做一个角的角平分线。 第四种，做一条线段的垂直平分线。第五种，过平面内一点，做已知直线的垂线。 但是咱们陕西中考中，他不会直接告诉你做什么，他会让你分析出题人的含义之后再进行尺规作图，一般会选其中两种作图方法，掌握这五种就足以应付陕西中考尺规作图。简言之， 先解一道简单的几何题，知道题目让干什么，然后再去干，不要盲目的去画图。

我们陕西中考的十七或者十八题耻归做徒的题目，上一节呢，老师已经讲大概讲过啊，但是呢，今天我要重点再说一下我们那一或者两分不丢失的方法，就是要做题要规范， 比如说我们的耻归做徒，人家题目要求的是求一个点屁或者是点一， 我们要在图的上面把屁或者 e 要标出来哪一个点，然后再写达语或者结语节，点屁即为所求或者点 e 即为所求。这几个字很关键，这几个字值一分，最少一分啊 啊，人家比如说求一个线段 ab， 你 要把 a 和 b 标上去，你不要把 c、 d 标上去啊，你标 ab 啊，人家求啥你标啥，然后再写答与啊解或者答 ab 即为所求等等， 人家让求啥，你写啥，不要跟人跟要求不一样，人家求三角形 abc， 你 就要写成 c、 d、 e 三角形，那你说你能得满分吗？ 所以规范性非常重要啊，今天主要说这一点啊，希望大家大家有帮助啊，以后这一句话不能少，而且我们要求的点必须标清楚，而且要跟要求标成一样的啊，就这样。

陕西中考生看过了啊，赤鬼做图讲了好几期了，还是做不对。我都说了只靠五个事，很多很多人在底下评论问，这种情况怎么办？那种情况怎么办？所有情况只靠五个事。 再重复一遍，第一个做一条线段等于已知线段。第二个做交平分线，第四个做垂直平分线。第五个过平面一点做一条线段或一条直线垂线。只靠这五个事，为啥还是做不对？你知道赤鬼做图里头赤鬼是啥吗？ 圆规支持对吧？很多娃乃单案额，一看光用支持连出来咧，连人让做平行做咧，平行你，你咋能证明你乃是平行人？让做垂直，拿垂直一量做咧，一垂直你，你是很聪明对不对？但这个聪明不是不是大聪明有点小聪明。这是零分啊，零分一分都不得。 吃亏作图其实是要用，主要是圆规知识，就那么连一下圆规是干啥的？圆规是画圆的，画圆就是画弧，知道吧？所以啊，每个人问我吃亏作图之前啊，把五种五种吃亏作图先背过再磨了。

陕西中考尺规做图题，他不会直接告诉你，让你去做一个角平分线，做一个垂直平分线，不会直接说的都是间接告诉你，你一定要读出他的画外音。我一会给你举个例子， 我们先重温一下五种基本出规作图，我放在屏幕上，一定要把这五种先搞明白再说，这是你打仗要用的武器。接下来可以看这两道题， 这两道题其实是一道题，你们看为啥他是一道题，虽然说是一个是二倍线长线段长关系，一个是三倍线段长关系，但是他本质上都是在做角平分线， 利用三十度三角函数，三十度的直角三角形是什么？一比二比根号三对不对？它本质都是做角平分线，得到了线段比例关系。可以把答案留在评论区。

尺规作图在历史上大放异彩，吸引了无数数学家，令很多人沉迷其中，他到底有什么魅力呢？让我们一起走进尺规作图。尺规作图，见证平凡中的不平凡。 尺规作图起源于古希腊之后，欧基里德把它总结在几何原本中。尺规作图是指有限次使用无刻度的尺尺和圆规进行作图。 两千多年前，古希腊人提出了世界级的三个作图难题。第一，三等分角问题，三等分任意一个角。 第二，北方问题，做一个立方体，使它的体积是已知立方体体积的两倍。第三，画圆为方问题，做一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。 之后，无数数学家为之苦苦思索，绞尽脑汁，直到十九世纪，三大作图难题终于被证实不可能用史人龟做出，这才结束了历时两千多年的数学难题公案。 在这漫长的研究过程中，吸引了无数数学家为之不懈努力，很多崭新的概念和理论相提，并发展成一个个庞大的研究分支。比如开创了圆锥曲线的研究， 产生了穷极法的思想，成为微积分的前身，和方程论、群论等紧密联系，产生了一些新兴学科，在代数领域也获得了巨大的前景。这些研究成果推动着数学的发展， 看似普通平凡的工具，却打开了数学的另一扇窗，平凡中隐藏着不平凡， 看似平凡的工具，却推动了数学的发展，我们见证了他惊人的魅力。今天我们继续学习尺规作图。 尺规作图有五种基本作图，它们是整个尺规作图的基础，后续很多作图都要用到它们，我们已经学了做一条线段等于已知线段。请回顾在作图时，直尺和圆规的功能是什么呢？ 来做圆心，直尺可以画直线线段，圆规可以画圆或者圆弧很好， 直角还可以连接两点。 好，还有补充吗？彭子旭，圆规还可以截取，等线线段长很好，请做。好了，那么今天我们将学习第二个基本做图，做一个角等于已知角， 如果要画一个角，使之等于角 a o b， 你 会选用什么工具？亮角器？那老师手里拿的这个是亮角器吗？不是，这是一个半圆形工具，没有刻度。你能利用它来画一个和角 a、 o b 相等的角吗？ 好，刘一萌，请你来试一试。 嗯，首先我们把工具的圆心和角的顶点 o 对 齐，把底边和射线 o a 对 齐，虽然它没有刻度，但是我们可以在工具上面标记一点， 然后在旁边画上射线 o 一 漂， a 一 漂， 再把顶点 o 一 漂和圆心对齐，底边和射线 o 一 漂， a 一 漂对齐，标记一点， 画出射线 o 一 漂， b 一 漂， 你就画出一一个和它相同的角。你做的很好，虽然半圆形工具没有刻度，但是我们可以标点。请问你在画角 a 撇、 o 撇、 b 撇时有哪些关键步骤？ 嗯，我先画了一个射线，标记了一个点，然后再画一条射线。好的，如果从角的动态定义来看，角的第一条射线称为角的矢边，那么角的第二条射线称为角的中边。因此可以规划画角的 矢边，然后标记点，再画角的中边。画矢边，标记点，画中边， 角的矢边。可以任意画吗？可以，那关键就是要确定角的中边。中边又如何确定呢？嗯，我们只需要确定中边上一个点的位置就可以确定中边的位置，也就是画角的关键就是要确定中边上这一点的位置。很好， 刚才刘易蒙将角的顶点和圆心重合，如果角的顶点和圆心不重合，你能利用它来画等角吗？ 郑月莹，我认为是可以的，请你上台来试一下。

中考数学尺规做图日常按照这四个步骤做，中考一定能拿满分， 之前已经讲过了，中考数学尺规做图它只考五个事，一、做一条线段等于已知线段。二、做一个角等于已知角。三、做一个角的角平分线四、做一条线段的垂直平分线。五、或直线上，或直线外一点，做一个直线的垂线 就好。这五个事放屏幕上了，接下来我要讲这四个万能解题步骤。咱以陕西二零二四年的尺规作图的真题为例，他是要求 一至一个 a 点，然后在这个直线 l 上做出一个等腰直角三角形，这个是做题要求。然后我们看第一个分析题目，要求做一个等腰直角三角形，对吧？需要做出直角和两个相等的腰，这个是我们要做的。那接下来 我们先大概的画下草图，哦，有这几种可能性，这两种是一模一样的啊。然后第三个我们要分析作图原理，第一个 和第二个两腰相等的直角三角形为等腰直角三角形。那么我们是不是要过直线外一点做他的垂线？ 做完垂线之后当然是用尺规作图的方式啊，要这样做，做完之后做他的垂直平分线， 做完这个直角，做出这个直角，然后做一个直角三角形出来了，然后这边的话，同样的我们先做出来一个右侧，做完之后 这个边和这个边做两，做已知这个线段等于这个线段， 这个等腰直角三角形做出来了。那我们具体做法是，是不是就是要过直线外一点做已知直线的垂线？刚才说过了， 然后第二个过做一条线段等于已知线段，是不是在这个题里面就是用到了这两种基本尺规作图？所以所有的题最后都会落脚到五种基本作图上。

一道尺规作图题，竟然难倒百分之九十九的学生，点赞、收藏，转发给你的孩子，如果他不会做的话，一定要认真把这个视频看一下。好，接下来看题说，已知等腰三角形一号的中线为 a， 高线为 b， 让我们用尺规作出三角形 a、 b、 c。 第一眼看到这个题呢，我也有点懵，没有给底边，没有给幺二长，也没有给等二三角形最特殊的三线和一条线，给的反而是幺二的中线和高线。那我们先从这个条件入手，先试一下，把高线和中线给它做出来。 好，现在做高线，我们先做两条互相垂直的直线，记做 l 一 和 l 二。那么如下图所示啊， 垂足呢？记作点 d， 以 d 为圆心，以 b 为半径画圆，那么会与我们的 l 二上下各有一个交点，那我们就先取一个啊，取这个上面的 交点，记作点 b， 那 么我们的 b、 d 就是 我们幺二的高线。继续，我们以点 b 为圆心，以 a 为半径画圆， 那么会与我们的 l 一 啊，同样的，左右会有两个交点，我们也只取其中的一个。我们假如说取左边的交点为 e 点，那么 b e 就是 我们压号的一条中线， 那这样的话，我们做出来的一个三角形，直角三角形 b d、 e 这个点 b 呢？此时呢，应该是我们等角三角的顶点，而我们的另外两个顶点，它一定是落在直线 l、 e 上的。 好，这是我们的第一步啊，先确定出来这个直角三角形 b， 第一，接下来应该怎么考虑呢？ 接下来我们要想等二三角形它具有对称性。第二呢，我们要从这个中线和高线来入手，那么对于一个三角形来说，三条中线的焦点 叫做重心。那么如我们这个下读所示啊，一个三角形的重心呢，有一条非常重要的性质，那就是 那么欧式三角形 abc 的 重心，我们就会有 a o 比 o， d 等于 b， o 比 o， e 等于 c， o 比 f 等于二比一。也就是说一个三角形的重心呢，它应该同时是三条中线的三等分点。 那换句话说，既然我们已经把这个等二三角形它的一条中线 b 做出来了，事实上，我们是可以确定这个等二三角形的重心的位置的，它就应该是 b 的 三等分点，且靠近点 e 的 那个三等分点。 好，那另外呢，我们还要注意一点，那么等二向量形的重心呢，因为它具有对称性，重心 o， 它到两个底角顶点 b 和 c 的 距离应该是相同的，也就是这里面的我们的 o b 应该等于 o c 的， 所以呢，如果我们能确定出来这个等二向量形的重心的位置的话，我们也可以确定出来另外一个底角的顶点 c 的 位置。 好，那么接下来第二步，我们先来尺规做一下 b e 的 三等分点，那么如图二所示啊，在这呢，我给大家分享的是用相似来找 b e 的 三等分点， 我们以点 e 为圆心，以 e d 长为半径画圆。继续呢，以点 d 为圆心啊，以相同的半径画圆。那么这样做三个圆以后，就可以算出来一个点 f， 那 么连接 b f， 我们就会发现呢，这个点地，它应该是 e f 的 三等分点，那么我们只要过地去做 b f 的 平行线 与 b e 交于 m 点，那么 m 就 应该是我们的 b、 e 的 三等分点。好，那这个非常好理解，因为它是一个相似啊。好，这样的话，我们的重心的位置就现在下来了。 第三步刚说过了，我们的这个等 r 三角形，它的重心应该到两个底角的顶点，距离是相等的，所以我们只要以 m 为圆心，以 m、 b 的 长度为半径，画圆 与 l、 e 的 交点，我们记住 c 点，这就是我们的另外一个底角的顶点 c 的 位置。 好，现在我们的 b、 c 一 连就是我们的这个等式三角形的底边了，那当底边确定下来的时候，我们的顶点 a 啊，这个顶点顶点当然就比较好确定了， 我们可以取 b、 c 的 中点 n 点啊，如像的所示，你既可以去连接 n、 m 并延长，那么与 l、 e 的 交点就应该什么呢？顶点顶点 a 的 位置，你也可以直接去做 b、 c 的 中垂线啊。总之呢，你是需要去取 b、 c 的 中点啊，用它的这个对称性来 确定我们的节点位置。好，那么我们这个三角形 a、 b、 c 就 画出来了。那么最后总结一下，这道题的主要的一个突破口是什么？ 其实是我们这个等二三线的这个重心的位置啊，它是落在了中线的三等分点位置，所以我们这道题给了一个中线，那我们把中线做上以后呢？事实上是可以确定这个等二三线 重心的位置的。好，这道题大家听懂了吗？有没有其他更好的方法，欢迎大家分享。