根号2怎么写

怎样证明根号二的平方等于二？这个问题听起来好像是在无理取闹，因为我们初中就讲过，根号二表示的就是二的算数平方根，那他的平方肯定就是二啊，这不是一句废话吗？但其实啊，如果你去仔细反思这个式子里面会有一些问题让人不寒而栗。 比如根号二，他是一个无限不循环小数，也就是一点四一、四二等等等等，永远也写不完。 永远写不完的话，那它的平方应该也是永远算不完的呀，那它怎么就会等于一个算出来很整的数二呢？这就好比圆周率 pi， pi 也是无限不循环小数永远也算不完，那 pi 它是如何存在的呢？更进一步，完美的圆是否就真的存在呢？ 所以啊，根号二的平方等于二这件事情其实是非常不可思议的，他甚至可能隐藏着宇宙的某些真相。还好，数学家们历经了两千多年的努力，算是在某种程度上解决了这个问题，他们使用的是一种十无穷的思想。今天呢，就来聊一聊， 这里面涉及到大量很专业的细节，只给大家讲一个大概的证明思路。 首先需要说清楚，根号二它究竟是个什么东西。现代数学中，对根号二有两种主流的定义方式，我来介绍其中比较直观的一种。 首先定义一个集合，它是由所有平方小于二的正有理数组成的，比如一，一点一，一点二，乃至一点四、一点四一等等，这些数字由这些数字组成一个集合。首先这个集合是有上界的，因为所有的数肯定都小于一点五嘛，一点五的平方是二点二，五 当然也都小于一点六、一点七等等，所以它有很多个上界，那根据时数的完倍性，可以在这些上界中找到一个最小的上界，也就相当于这个集合上侧的边缘，那么就把这个最小上界定义为叫做根号二。 所以接下来的任务就是证明这个最小上界他的平方等于二。利用实数的稠密性，我们一方面可以证明他的平方小于等于二，另一方面可以证明他的平方大于等于二，于是就得到结论，他的平方等于二。 这里呢，我省略掉了其中一些繁琐但并不抽象的细节。当然了，这里的证明所使用的是食物穷的思想，而这种思想在哲学界一直也存在着争议。所以啊，未来也许会有什么新的理论产生，这都有待于我们继续探索。

啊。

咱们来看一下这个探求怎样用两个面积为一平方分米的小正方形，拼成一个面积为二平方分米的大正方形呢？ 这个大正方形的边长又是多少呢？啊？我们来看下面的具体的操作方法，他说如图，八点一至二啊， 把两个小正方形分别沿对角线给它剪开，你看找到它的对角线，第一个把它一分为二，第二个找到它的对角线 a， 再把它剪开，一分为二，这样我们就得到了什么。把两个小正方形分别沿对角线给它展开，得到了四个直角 三角形，而且这四个直角三角形是完全相同的。好，然后给它们这个排列组合一下，你看按照这种 给他进行一个，也就是把这个直角的啊，把这个外侧的直角的给他都对应，你看这个，这个是直角，这个是直角，这是直角，这个是直角，所以这个四个直角形成了一个周角，三百六十度打四 四乘以九十度等于三百六十度，所以这里面都是直角，这样就严丝合缝的拼成了一个大的正方形，而且它的面积就是这两个小正方形的面积相加，那一加一等于二，所以我们得到了。那现在怎么求这个大的正方形它的边长呢？我们可以 设大的正方形的边长为 x， 这个分米好，因为我们知道的以这个条件是什么是它的面积是知道的，它的面积是两平方分米。好，那我们知道正方形的面积等于边长乘边长，那咱们设了呀，设了边长为 x， 那 就是 x 乘 x 等于二， x 乘 x 一个数和它自身相乘，那么也可以写成平方的形式，所以就是 x 的 平方等于二。哎，这个就熟悉了，咱们前面学了这个平方根呐，开平方啊，那我就知道了， x 可求啊， x 等于啥？根号二啊？也就是谁的平，谁乘谁等于二呢？这不是在 在求这个数的时候，这不就叫做求一个数的平方根，那就叫开平方，所以就直接写成根号二啊。这个 前面的定义，如果忘记了，再把书翻到前面看一下，所以得到了什么呢？大正方形的边长就是根号二分米啊，然后那后面有一句话说，小正方形的对角线的长是多少呢？我们都知道，这个就是他的对角线呢。啊，这个边长就是他的对角线呢， 因为这个是直角，对应到小的正方形当中，他就是直角，那把它朝里面，那不就代表这个对角线就是这一条边吗？大正方形的边长吗？ 所以你的边长是根号二，那就代表这条斜线，也就这个对角线，他是根号二。所以我们得到了一个什么结论，就是边长为一的正方形，他的对角线就是根号二。好，那这里面呢，其实我们就出现了一个完全不同的这个根号，前面咱们说根号九，哎，他能得出了一个 整数三啊，正负根号九，那等于正负三，你看他都是可开方的，现在正负这个这个根号二，你就会想，那谁乘谁是等于二呢？谁乘以他自己是等于二呢？哎，这个我没见过呀， 啊，好像找不到这样一个数吧，所以你看，这就是我们脑海当中停留的一个疑问，也是出现了一个我们以前从未见过的数， 那他存在的目的是什么呢？那这当然就是为了引出我们下面要学习的无理数啊。那这里面咱们先思考一下，七年级我们学有理数 啊，有理数都包含什么数呢？你可以想一想啊，归纳一下，然后有和无你看是相对的，那么有理数不包含的那种情况，那不就属于无理数吗？所以你再对照着根号二，你想一想无理数应该怎么定义？

本视频耗时三百六十小时精心制作而成，总时长十五分钟四十秒，带你一口气复习完七下。第二章识数我们先来看什么叫平方根，一般的，如果一个数 x 的 平方等于 a， 那 么这个数呀，就叫做 a 的 平方根，或者也叫二次方根。那我们怎么去记呢？就记作这样子的， 这里给我画一个根号，记作根号 a。 这里其实有一个省略的根指数，叫做二，这个二可以省略不写，所以叫做二次方根。我们来理解一下， 比如三和负三就是九的平方根，为什么呢？就是因为正负三的平方等于九呀，所以正负三就是九的平方根。一个正数的正的平方根就记作这个根号 a 了，读作根号 a。 负的平方根怎么记呢？记作负的根号 a， 如果合在一起的话，一个数 a 的 平方根就记作正 负根号 a。 所以 在这呢，其实我们也能总结出来了，一个正数有几个平方根啊？两个，一个叫做正的根号 a， 一个叫做负的根号 a， 它俩还是互为相反 数。所以从定义这里我们就能够发现，一个正数 a 的 平方根有两个，且互为相反数，分别读作正负根号 a。 如果我们用我们数学符号表示的话，要这么写，写作正负根号九，就等于正负三，注意，这一定是配套的啊，你前面有正负，后面也有正负， 前面如果没有正负，你只写个根号九，那么后边也没有正负，那就写个三，注意，一定是配套的，因为我们后面呢，这一张会出很多概念变系列的题，这个正确率非常非常低，一定注意啊，我们这里的正负啊，要配套出现特别的，对于这个零呢，咱们特别照顾零的平方根呢，就记作根号零，那他就 等于零的平方根就是零。我们来总结一下，前面给我们总结出了一个例子，叫做正负三的平方等于九。再来给大家举一些例子，比如说我问你，正负二，你知道正负二的平方等于几吗？等于四，所以四的平方根就是谁啊？就是正负二，也就是当你在揪平方根的时候， 你要去寻找什么呀？寻找这个平方它的根源在哪？四是由谁的平方来的？根源在哪里？大家就可以这样理解，四是由正负二的平方来的，所以四的平方根就是正负二。再来理解一个例子，那么十六的平方根就是谁呀？就是正负 四，因为你要想谁的平方得十六啊？正负四如果用符号该怎么去写呢？如果我们翻译成符号，就要这样去写，写成正负根号十六等于正负 四，一定注意，正负正负带上。接着再来三十六分之一的平方根是谁啊？谁的平方等于三十六分之一啊？正负六分之一，千万不要忘了啊，有两个，一个正数是有两个平方根的啊，是正负 互为相反数的，那么零的平方根呢？特殊记忆还是零，这是我们把正数根零一年就明白了。那我再问你一个负数负四有平方根吗？那你就在你大脑里接着去搜寻了，谁的平方等于负四啊？初中阶段他成立吗？所以记住，负数没有平 方根。从第一，这我们直接可以总结我们平方根的性质。听好了，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，这是第一条性质，第二条性质， 特别记忆。零的平方根呢？单独的是零负数，没有平方根，一定要记住这一点，正平方根的性质，那当你知道了，了解它们性质之后呢？就 直接可以解决一类题型了。我们来看，如果一个正数 m 的 平方根是 x 加一和五加二， x 让你求 m 的 值，他说一个正数 m 的 平方根了，那问你一个正数的平方根有几个？有两个，这两个啥关系啊？互为相反 数呀？一个正数，我们知道有两个平方根，这两个平方根互为相反数，所以从这我们就能知道， x 加一，再加上五加二， x 等于零，对吧？咱们就能知道， x 加一，再加上五加二， x 求出来呀，等于 负二。如果 x 为负二的话，也就是带回原式， x 加一就是负一，五加二， x 也能算出来就是一，那就是一个正数 m 的 平方根呢？是正负一，那你这个正数 m 是 多少呢？谁的平方根是正负一？哎，一一的平方根是正 负一，为啥呢？因为正负一的平方它就是一，这是我们关于平方根，正数 a 有 两个平方根，我们刚刚讲到了，这两个啊，它的地位是 不一样的，那我们在实际生活当中，往往应用场景比较多的是谁啊？是那个正的，它的地位更高一点，其中这个正的平方根啊，我们就 叫做 a 的 算数平方根，怎么记呢？就记作根号 a， 那 么正数 a 的 算数平方根就用根号 a 来表示了。定义还是对我们的零特殊定义，我们零的算数平方根仍就是零，那么它也可以记作根号零，其实根号零就等于零， 这就是咱们的定义。我这呢，给大家举了三个例子，咱们把平方根和算数平方根来对照的，分别记清楚了，二十五的平方根，你就要去想，谁的平方等于二十五呀？正负五，一定注意啊，正数的平方根有两个是 正负五，那谁的地位更高呢？那个正数给我拎出来，所以它的算数平方根啊，就是正五，一百二十一的平方根呢？谁的平方得一百二十一，正负十一，那你把那个正的拎出来，就叫做算数平方根，所以它的算数平方根就是这个正的。 零的平方根呢，特别规定就是零，他的算数平方根呢？扔就是零，零，这就特殊记忆就行了。从我们的定义这里呢，能总结出来一点，算数平方根啊，有一个非常重要的性质，叫做什么叫做非负性。因为你看，本来我们在研究平方根和算数平方根的时候，你是把谁放在了根号里面啊？咱是把这个 a a 放在了根号里面，对吗？ a， 我 在规定的时候，它要么是正数，它要么是零，所以 a 本身已经非负了吧，所以 a 本身已经非负了啊。然后再来我的算数平方根啊，记作的是根号 a， 那 么根号 a 呀，我要的是谁呀？我要的是那个正的，不是才叫做根号 a 吗？哎，所以根号 a 在 这里呢，它代表的正的那个，当然还有一个呢，它也是大于等于零的，看到没有？所以 a 大 于等于零， 根号 a 也大于等于零，那么对于算数平方根来讲，它不仅是非负的，它还是一个双重非负的，这叫双重非负性。那么利用双重非负性呢？我们考试也会出很多的问题啊，关键在于咱们牢牢把握住这个双重非负性，你如何使用，大家学会了吗？ 在我们七下实数这一章里面最爱考的问题呢，就是我们这个实数运算的一个封闭性啊。那华姐在这给大家总结一个大招的结论，叫做，如果 a x 加 b 等于零啊，什么意思？如果说我们遇到了一个有理数跟 无理数相乘，再加上一个有理数，结果是零，零也就是代表我们的有理数，那么这种情况下就会得到什么呢？就会得到这个无理数的系数啊，它是等于零的，这个有理数的部分也是等于零的啊，要不然这个式子根本就无法成立。 要在解决这种难题的时候，你怎么去处理呢？就是将我们所有无理数的部分拎出来，所有有理数的部分拎出来，这边呢，一向给我变成零，哎，有了这个操作之后， 这个问题很快能够解决了，我们来看啊，告诉我 ab 是 有理数，那我们就会知道，这里这里是有理数部分，根号三倍的 ab， 根号三倍的 a， 这都是我们的无理数部分，那我可以怎么办？统一的给他 提出来，那我们来看，提出来之后啊，有理数部分，这里是 a 加一，这边呢根号三，我整个提出来，这就剩下一个 a b， 这个根号三啊，拎过来之后呢，剩个负 b， 这个负的呢？拎过来啊，提出来我们根号三，剩下我们的二 a 就 等于什么？等于我们的零。来对照一下，跟我这个形式是不是完全一样了啊？如果它们相加等于零， 会得到什么呢？得到我们有理数的部分呀，是零，所以呢，我们就能知道了， a 加一等于零， a b 减 b 加上我们的二 a 等于零。那关于这个二元二次方程组啊，就比较好解了， a 加一等于零， a 就 等于负一，把我们的负一带进去，那这个带入之后呢，就会得我们的负 b 减 b， 再减去我们的二 等于零，也就是负二， b 呢，等于我们的二 b 就 会等于负一。好啊，那么 a b 都有了，所以我们的 a 加 b 呢，就是我们的负二。好吧，哎，所以有了这个公式之后呀，这种封闭运算的问题呢，就非常容易能够得到解决了。我们再练一题吧， 来看第二小题，二二加上根号二倍的 a， 减去一，减根号二倍的 b 等于五，告诉我， ab 是 有理数，求 a 加二 b 的 值。同样呀，你完全给我处理成这种形式，一定要完全一样哦，这边是零的形式，这是有理数的部分，这是无理数的部分，整个给我提出来。那好的，现在呢，我们给它展开，这就是二， a 加上根号二倍的 a， 减去我们根号二倍的 b 啊，再减五等于零，因为我要求这边一定是零的形式。 接下来啊，有理数的部分拎出来，这有个二 a， 这有个减 b， 这里呢还有个减五。好的，然后我们无理数的部分呢，这里有个根号二倍的哎， 再把根号拎出来，这里还有个加 b 等于零，好来套我们这个结论。所以我们这里有理数的部分，二 a 减 b 减五就是零，无理数啊，这个它的系数 a 加 b 就 会等于零， 也就是说 a 和 b 呢，互为相反数。 ok， 那 我们再带回带回，我们来求解一下啊，二 a 就是 负二 b 啊，再减 b 减五等于零，也就是我们负三 b 等于五， b 等于我们负的三分之五 啊，所以 a 呢，就会等于正的三分之五，那所以我要求的 a 加上二 b 就是 三分之五， 减去我们的三分之十啊，等于我们的负的三分之五。哎，那么这种问题的大招你学会了吗？我们来看这个题呢啊，问的是我们一个无理数，他的整数部分和小数部分分别是什么样子的？ 比如说我们举一个非常简单的例子，我们这里有个根号二，那么根号二呢？在前面视频里面我教大家了啊，估算是约等于一点四一次。很多同学啊，上来做这种题，就会告诉我，老师，他的整数部分是一啊，小数部分是零点四一次一定注意大错 测错，因为这是一个估算的值啊，你不能写小数部分是零点四一四。那要怎么去写呢？我们来看一个数啊，原本的呢，你能够拆成他的整数部分，你还能拆出什么？那么剩下那些呢？就是他的小数部分，对吧？所以小数部分这些呢，不要去写约约等的啊，是写我们这个数的本身 减去整数部分，那剩下的不就是小数部分了吗？对不对啊？你看他俩整数部分和小数部分合在一起，是不是就原本的我这个根号二，那么有了这个方法之后呢，我们这种题就会做，我们来看根号五十一，他的整数部分是多少？小数部分又是多少？ 先来找我们的整数部分。那怎么去找？教大家一个方法，你去找这个五十一的那俩邻居， 找什么样子的邻居呢？找两个完全平方数。为什么要找完全平方数？就是因为你把它放在根号里面啊，是能够开出来的啊，所以我们来看根号五十一呢，它是大于谁呀？五十一左边有一个邻居呢，叫做七七四十九。 那么还有一个邻居啊，叫做八八六十四啊，所以它是大于根号四十九，小于根号六十四的。那么 g， 我 们是不是就得到了根号五十一，是大于七小于八的，所以说呀，啊，它就是一个 七点多的数，既然是个七点多的数，它的整数部分呢，我们就可以写成七，那小数部分怎么去写呢？就用这个数的本身，根号五十一减去这个七啊，就是它的小数部分。好，有了这个方法之后呀，接下来我们再进一步计算，六减根号十三，它的整数部分是 x， 这次问它的整数部分是多少，这个怎么办？那我们还是先看一看根号十三，这个你要怎么处理一下？用华姐刚才教你的方法啊， 你给我找十三的两个邻居，完全平方数的是谁？二二得四，三三得九，四四一十六，谁是他的邻居呢？就是我们三三得九，四四一十六，哎，大于根号九，小于根号十六，哎， g， 我 们知道这个根号十三呀，就是大于三小于四的。 那既然是大于三的，说明他是一个三点多的数啊，说明他的整数部分呢，就是三。那你想一下，你现在找的是根号十三的整数部分，我要的不是他，我要的是六减根号十三。 那我们还要去想一想啊，六减去一个三点多的数，对吧？你就可以这么理解啊，六减去一个 三点多的数，那会剩下一个几点多的数呢？剩下一个二点多的数，对不对？所以说啊，它的整数部分呢，应该是二啊， x 就是 二啊，后面的没必要用不等式去减了啊，这样用老师教你的这个方法呢，会特别的快啊，所以它的整数部分就是二。 好，接下来就是我们一些新考法了啊，那我们来看，已知这里有个 s 等于根号下二零二四的平方减去二零二四，他的整数部分是多少？哎，这个用我们前面的方法好像没有那么的好用了，因为这个数有点大，我一下子没有看出来那两个啊，邻居是谁， 对吧？所以我要把里面的这个进行一个处理呢，我们的二零二四呢，可以提出来，提出来之后呀，这就是二零二四减去一， 哎，那这就是多少呀？是不是剩下是我们的二零二四去乘以二零二三了？ 嘿，那你搞成这种形式就比较好找他那两个邻居了啊，怎么找呢？他是不是就会大于？哎，所以我们来写到这里啊，我们这里的二零二四乘以二零二三开方，就会大于我们的二零二三的平方再开方，哎，就会小于我们的二零二四的平方再开方， 对不对啊？也就是大于二零二三小于二零二四，所以它的整数部分呀，我们就要填二零二三。好， ok， 接下来来到我们的第四题，属于百错百错了啊，因为它是一道复数了， 就不要搞错了哈。我们来看这里，给我们一个新的呃，这个符号让我们来取整啊。注意，这个中括号里面有个数，你可以理解为是一个取整的符号。 规定呢，用中括号 m 表示一个实数 m 的 整数部分啊，这也是我们整数部分的一个数学符号记啊，整数部分指的是不大于 m 的 那个最大整数，你可能这个说起来比较拗口，你就可以理解为华姐前面讲过的那些啊，它是大于谁，小于谁的。那这 这啊，大于这个是不是就它的一个整数部分，那个数对不对？好的，我们来看哈。比如说举个例子，三分之二取整呢，就是零，因为什么呀？因为三分之二是大于零，小于一的，所以你取这个数，对吧？三点一次取整呢，就会等于三，为什么呢？因为三点一次是大于三，小于四的，哎，所以我们取它啊。那么按此规律， 根号是负的，根号时期加一再取整，这个值是多少？也就是求负根号时期加一的整数部分。 好，怎么办？我们先来看正的根号时期的整数部分。怎么办？就用我刚才那个方法了，找两个邻居，四四一十六五二十五，对吧。既根号时期是大于四，小于五的，那么现在问的是负根号时期呢啊，注意借助我们的不等式的 知识啊，同时乘以负一不等号发生改变，所以变成相反数之后呢，应该是大于负五，小于负四的，哎，大于负五，小于负四， 接下来呢，我需要让他再来加个一，如果再来加一个一的话，不等号的两边这些数同时都给我来进行加一啊，这就是负四小于负三。那它整数部分到底是负四还是负三？ 别错了。来，你记住我说的哈，刚刚我们一直在取。谁啊？一直在取啊？最左边这个数，最左边这个数，最左边这个数， 对吧？啊？还有最左边这个数，这是我的整数部分，所以他的整数部分应该是最左边这个数。是谁？是负四，很多同学就给我写成负三，注意是不对的，要取这边是他的整数部分。以上呢，是我们考试常见的四种，我们实数整数部分、小数部分的一些考题，你都学会了没有？

八年级上册数学二次根式的加法与减法，想要不出现错误，一定要明白什么是同类二次根式， 那么其实和我们上学期学的合并同类项是一样的。那么首先看一下他第一个条件，必须是最减二次根式，第二个呢，被开方数必须是相同的，我们举例子， 根号十八和根号十二，它是不是同类二次根式呢？那我看化简，根号十八等于三倍的根号二， 根号十二呢？根号十二的话，那么它等于多少呢？等于二倍的根号三。被开方数是不同的，所以说是不能相加减的，把这个一定要记住啊。那么看一下 根号三十二是不等于根号十六乘二就等于四倍的根号二， 根号十八呢？根号十八等于根号九乘二，也就是三倍的根号二 加上根号四，它就是二，加上根号二分之一就等于根号一。 分母呢？根号二，我让分子和分母同时乘根二就等于二分之一倍的根号二。好了，你去观察 被开方数相同的是它和它和它，注意符号跟着后边走。所以说把带有根号二的利用乘法分配率 去结合，等于四倍的根号二减去，三倍的根号二加上二分之一倍的根号二加二。 他们三个是不是都带有根号二啊？所以为同类项乘法分配率的话，提取根号二乘谁呀？这是减号对不对？减三加多少啊？二分之一 加二，四减三等于一，一加二分之一也等于二分之三，所以这必须写假分数二分之三倍的根号二 加二，这个是我们的最后结果。所以说我们二次根式的加法与减法第一步，先化解，化解完以后呢？我们找被开方数相同的进行合并同类二次根式就可以了。家人们，我们的二次根式的加法与减法你学会了没有？

双重根号的题啊，应该怎么做呢？首先第一个对它进行化简嘛，怎么化简呢？马上想到完全平方公式了，就是 a 减去 b 的 差的平方呢，就会等于 a 的 平方，减去二 a， b 再加上 b 的 平方， 那么这一步先是它嘛，这个四可以变成二，乘以二，再乘以这个根号二，你看 这二都有吧，那么 a 就 相当于是他了，是吧？这块变成平方了，就是二的平方，有问题吗？没问题，那么他是谁呢？这个不就是他了，后面是平方了，又加上根号二的 平方，你看二的平方是四，他的平方呢？是二，这两个先加，是不是就等于这个六了， 所以就没摘了吗？你这一块就会写成这种形式的吗？就是谁呢？就是二，是吧？人呢？减去这个根号二， x 的 平方还有个根号，对不对？挂下来了， 那么这一步直接可以把根号去掉了，就是等于二，减去根号二了，有问题吗？没问题了。然后 这一块负一是方，就等于这个倒数，负二分之一的倒数呢，就是负二，原来负一就变成一了， 加上这个负二，就减去二了，就是没截了。然后看这里啊，减去二乘以再引四十五度在一个直角三角形，那样对不对？这块呢，是四十五度 在，就等于这个角对边比上斜边嘛，这是一，这是一，这一块就是根号二，对边比上斜边就是一，比上根号二。动物有理化，就是二分之根号二喽，据说要乘以二分之根号二， 你看一调就等于根号二了，然后二减去二没有了，那么减去根号二，又减去根号二，就等于负的两倍根号二这一块就是它的结果了，兄弟你学会了吗？

大家好，今天我们一起来学习一下八年级数学下册二次根式的加减第一课时，二次根式的加减法先导入新知，有八只小白兔，每只身上都标有一个最减二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里面 啊，我们来看一下啊，这几个兔子上面都标着数字呢，第一个呢是根号二，第二是二倍根号三，然后下面是二倍根号五，二分之根号三，三倍根号二， 负的二倍根号七，还有负的根号五，还有四倍的根号七，那么如果是根据他们的特征来分的话呢，你看根号二，我们找根号二，谁是根号二呢？我们来看，哎，根号二放到一个来，那么二倍根号三放到一个来， 二倍根号五放到一个篮，然后二倍二分之根号三，他是都是有根号三的，都放在一起， 三倍的根号二，这是都有根号二的放在一起，然后负的二倍根号七再放到一篮，然后负根号五和根号五放在一起。四倍根号七都是有根号七的，又放在一起，那么这样呢，就是他们的特征，就是根据他们根号也就被开放，数是一样的，都放在一起了。 好，今天我们看一下我们的学习目标，第一个理解二次根式可以合并的条件，第二个类比整式的合并同一项，掌握二次根式的加减运算法则。 第三个能熟练的进行二次根式的加减法运算，好探求新知知识点，一，二次根式可以合并的条件。 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则，观察下图并思考啊，那么下面呢，是两个离再加上三个离啊，每个离呢代表是一个 a， 字母 a， 他 得到的呢，其实就是五个离，也就相当于啊，拿字母来表示就是二 a 加上三 a 等于五 a， 所以当 a 要是等于根号二的时候呢，带入进去就是二倍的根号二加上三倍的根号二等于五倍的根号二啊，因为都是根号二，可以相当于把根号二呢当成是一个字母来看待，然后我们和平同立相就可以。 然后如果是 a 等于根号三呢，那么带进去之后呢，就是两个根号三加三个根号三等于五个根号三等等， 所以你发现了什么呢？前面依次往下推导，由特殊到一般一直二次根式的被开放数相同，可以合并。继续观察下面的过程， 那么这也是两个梨再加上啊，三个苹果，梨呢代表是 a， 苹果呢代表是 b， 它能得到呢，其实就是两个 a 加上三 b， 那么它们不是同类的，所以说是不能合并。所以当 a 等于根号二， b 等于根号八时，能得到二 a 加上三 b 等于二倍根号二加上三倍的根号八。那么这个里边儿 我们这两个二次根式可以合并吗？其实我们如果学过前面的这个内容的话，其实是可以可以合并的，因为根号八呢，其实能给拆出里边是四乘二来，然后四开出来是二啊，其实最后根号里边还是一个根号二 啊，所以下面就出来这个结果了啊，八呢，可以拆成是二的平方乘二，能把二的平方开出来，所以二的平方开出来是二，二和前面三相乘是六，那么括号下只剩下二了，就得到是六倍括号二，所以由前面知，两者是可以合并的， 你又有什么发现呢？好，我们做一下归类总结。将二次根式化为最简二次根式，如果被开方数是相同的，则这样的二次根式可以合并。 注意第一点，判断几个二次根式是否可以合并，一定要化为最简二次根式再判断啊，这是很重要，一定要化为最简的二次根式来判断。 第二点，合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数或者因式相加，根指数和被开放数或者被开放式子，它不变。比如 m 倍的根号 a 加上 n 倍的根号 a， 等于啊，我们把根号 a 摘出来，就相当于是 m 加 n 倍的根号 a。 好， 我们做一下回顾练习，看一下第一题，下列各式中与根号三是同类二次根式的式， 我们看一下 a 选项是根号二，它不是，被开方数是不同的，不同就是不是第二个根号五，它也不是。 那么根号八，根号八呢，我们可以写成啊，八可以写成是二的二次方乘以二的形式，然后呢，把二啊这个给开出来，就是二倍的根号二啊，然后那么它也不是啊，它的被开方数是二， 第四个呢，是根号十二，那么根号十二呢？同样，我们可以写成里边是四乘三的形式，四呢，是二的二次方乘以三，那么把二开出来，就是二倍的根号三，那我们来看被开方数这个是三，那么我们题里也是三，所以它们是相同的，所以选第四个。 第二题，下列二次根式不能与根号十二合并的式啊，哪个不能与根号十二合并呢？首先我们先看根号十二，根号十二呢，它不是一个最减的，我们要把它化成最减的，它就等于啊，我们由第一题就能得到了，是二倍的根号三， 二倍的根号三，我们来看圈一是根号四十八，那么四十八呢，我们要给它拆成能开出方来的，那么谁能开出方呢？我们就能想到十六乘以三 是四十八，所以呢，十六呢是四的二次方乘以三，那么四呢啊，直接能开出来了，就是四倍的根号三，那么他俩啊是没有问题，是同类的二次根式，所以第一个是对的，第二个负的一百根号下一百二十五，一百二十五呢，其实是 可以猜出来啊，是根号下二十五乘以五，也就是五的二次方乘以五啊，最后能开出来的话是五倍的根号五被开方数不同，所以他不是 第三个啊，根号下一有三分之一，那么这个呢，我们在这里写根号下一有三分之一，可以写成是根号下三分之四，那么三分之四呢，其实四能开出来，下面三呢带着就是根号三分之二，那么我们分母是不能带根号的，所以分子分母同时乘以根号三， 分子乘以根号三是二倍的根号三分母乘以根号三是三，那么被开放数也是三，所以它也是可以合并的。 再看第四个，直接是二分之根号三被开方数是三，他没有问题。第五个是根号十八，我们根号十八呢，可以写成是九乘二，九呢是三的二次方乘以二，所以把三开出来了，三开出来之后，根号下只剩下二了， 那么被开方数是二，所以跟他不是能合并的，那么最后这个题呢，是说不能与根号二合并的，所以这个题呢，应该是二和五。 好，我们看一下考点一，利用二次根式可以合并的条件，求字母的值，若最减二次根式啊，根号啊，开多少次方呢？开的是二 n 加一次方，三 m 减二 n 与根号三可以合并，求根号下 m n 的 值， 那么它既然是可以合并的，说明是开方啊，开方是一样的，而且呢被开方数是一样的， 也就是说我们这个二 n 加一。我们先来看一下这个根号三，那么这个根号三是什么意思呢？根号三相当于是给三开二次方，那就说明我们的这个二 n 加一其实就等于二 啊，相当于是二啊，我们知道啊，都是开二次方的话，我们这个二是可以省略的，所以我们根号三上面这个二省略了， 然后呢啊，下面被开放数也是一样的，说明呢，就是三 m 加减去二 n 是 等于三的，那么建立的一个是啊，二元一次方程组，二元一次方程组的话啊，我们这个就可以运用加减消元法，一加上二， 一式加上二式，把二人消掉了。那么我们来操作一下，就是三 m 加上一等于五，最后呢三 m 是 等于把一移项是等于四 m 呢，是等于三分之四， m 等于三分之四了，带入二式，带到二式里面之后呢，就是三乘以三分之四减去二 n 其实等于三，最后呢是四减二 n 等于三，那么负二 n 呢，是等于负一的啊， n 是 等于二分之一的， 所以说他求根号下 m 乘以 n， 其实就等于根号下啊， m 是 三分之四， n 呢是二分之一。最后我们啊化简一下啊，四和二能够约分，约完之后呢，其实就是根号下三分之二， 那么我们这是不是一个最简的根式啊？之前我们如果学过的话，我们一定要把它换成最简根式，所以它等于根号二，除以根号三，那么我们分子分母同时乘以根号三，分子呢，就变成了三，所以最后是三分之根号六。 好，我们做一下巩固练习，完成下列个题。第一个，根号八与最减二次根式，根号 m 下啊，根号下 m 加一能合并，则 m 等于多少 啊？这个题呢，我们也是尝试着写一下根号八与最减二次根式。首先我们根号八不是最减二次根式，根号八呢，等于根号下二的平方乘以二二，所以说能把二给开出来，就是二倍的根号二。 人说二倍的根号二和根号下 m 加一是能合并，说明被开方数是相等的，说明 m 加一其实是等于二的，那么 m 呢，其实是等于一的，所以这个里面 m 是 等于一。 第二题，若两个最减二次根式啊，它与啊，这个呢，因为太麻烦了，我们看一下就行，与根号下 a 加四可以合并，则 a 等于多少， b 等于多少，那么又是可以合并说明呢？第一个啊， 被开方数是相同的，第二呢，开的方啊，次数也是相同的，这个开的方的次数呢，也叫根次数，所以呢，啊，我们这个是省略二了，那么就可以知道其实是三， b 减 a 其实是等于二的， 然后呢，我们下面被开方数二 a 加上三 b， 其实是等于 a 加上四的， 然后又构成了一个啊二元一次啊方程组，然后我们这个还是进行效元法，这个是一式，这个是二式，我们可以用二式减一式， 二式减去一式，其实可以得到，就是二 a 三 b 减三 b 减消掉了，然后呢啊减去负 a， 就是 加上 a， 其实等于啊 a 加上四减二，那么我们两边的 a， 这两个 a 都是消掉了，所以二 a 其实就等于二， a 呢，最后是等于一， a 等于一出来了，我们把 a 等于一带进一式，那就是三 b 减一等于二，最后解得三 b 等于三， b 等于一，所以 a 和 b 的 值都是一。 好，接下来我们看一下知识点，二，二次根式的加减，现有一块长七点五分米，宽五分米的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积，分别是八平方分米和十八平方分米的正方形木板， 我们看一下操作啊，如图所示，他已经把这个八平方分米的正方形和十八平方分米的正方形都已经画出来了。啊， 那我们看一下怎样啊，怎样列式，求两个正方形边长的和，那么这个呢啊，两个正方形边长的和。我们知道面积了，其实我们就可以去啊，因为边长乘以边长等于是面积，那么知道面积的话，给面积开方就是边长了， 所以就是根号八，加上根号十八，就是它两个边长之和。当然了，这个里边呢，我们没有进行化简啊，只是说在列这个式子。 好，我们再来看讨论二，所列算式能直接进行加减运算吗？如果不能，把式中各个二次根式化为最减二次根式后，再试一试，说出每步计算的依据。那我们看一下 啊，列式如下，就是根号八加上根号十八，根号八呢，我们刚才已经演示很多遍了，等于二倍的根号二，根号十八呢，其实里边能拆成是三的二次方，乘以二，能把三开出来，所以是三倍的根号二，最后呢，合并同列项就是 五倍的根号二啊，这一步呢，是化成最简的二次根式。最后就是啊，括号里二加三啊，倍的根号二就是五倍的根号二 啊，那么这一步呢，其实是用的一个逆用的分配率啊，所以因为根号十八等于三倍根号二，它是小于五的五倍根号二是小于七点五的啊。如果这个小于号大家分辨不清楚的话，我可以给大家去解释一下， 为什么说是三倍的根号二是小于五呢？我们可以给他二次方来比较，因为都是正数。三倍的根号二，其实是他的二次方就是十八，五的二次方是二十五，那十八小于二十五，那么开出方来也是小于的。那我们再来看五倍的根号二， 他的二次方，我们就可以写五倍的根号二，他的二次方，二次方的话呢，就是五的二次方就是二十五，根号二的二次方是二，其实是等于五十，那我们七点五的二次方呢啊，我们就可以算啊，七点五乘以七点五，大概算一下，应该是 应该是五十六点四五，所以五十要小于他的，那么给他开放之后呢，也是要小于他的啊，这个呢，就是我们其实在初一的时候就应该学会的啊，比较根号和根号的大小，不同的根号啊，不同的根式去比较大小的话呢，我们用平方的方法来进行去比较， 所以在这块木板上可以截出两个分别是八平方分米和十八平方分米的正方形木板。我们再来接着看一下刚才列的这个式子，那么根号吧，啊， 根号八，加上根号十八等于二倍根号二，加上三倍根号二，这是化为了一个最减的二次根式，这我们是运用的是二次根式的一个性质， 三倍的根号二。啊，二倍根号二，加上三倍根号二，等于二加三倍的根号二，这是用的分配率进行了一个合并，也就相当于是合并同一项的意思，这是一个分配率。最后呢我们变成了是五倍的根号二，其实就是运用的是整数整式加减的一个性质 整式加减法则，所以它的依据就是二次根式的性质分配率和整式加减法则 基本思想，把二次根式加减问题转化为整式加减的问题。好，我们再做一下归类总结 二次根式的加减法法则，一般的二次根式加减时，可以先将二次根式化为最减二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，一定要注意要化成最减二次根式 加减法的计算步骤，第一个化，将非对称二次根式的二次根式化简二，找，找出被开方数相同的二次根式三，并把被开方数相同的二次根式合并，所以就是一化简，二判断，三合并。啊，这个我们简单的记一下就可以。 好，我们看一下考点一二次根式的加减计算啊，这是一二三四四个计算，我给大家去演示一下。首先看第一题， 根号八十，减去根号四十五，那我们先画成最减二次根式，根号八十呢，相当于是十六乘以五， 减去根二四十五呢，可相当于是九乘以五，那么我们呢，这里边就能把十六开方开出四来，四倍的根号五减去九，开方是三三倍的根号五。所以最后啊，合并同类项就是四减三，就是根号五。第二题 啊，第二题是根号九 a 加上根号下二十五 a， 那 么这个九呢，其实能开出来，开出是三二十五，能开出来，开出是五啊。最后呢，根号里面只剩下 a 了，所以我们直接写就是三倍的根号 a， 加上五倍的根号 a， 其实等于八倍的根号 a。 第三题，根号八加上根号下五十分之一，那么根号八呢，其实可以写成啊，就是根号下四乘以二 五十分之一呢，可以写成根号下啊，二十五乘以二分之一。那我们来看，四能开出来是二倍的根号二， 加上啊二十五分之一，能开出来，其实能开出五分之一来啊，也就是说可以写成啊，根号一除以啊，根号下二十五乘以二 啊，它就等于二倍的根号二，加上啊，根号五，根号下二十五能开出来，上面根号一还是一，所以写成这样，就是五倍的根号二。 我们分母呢，是不能有根号的，所以分子分母同时乘以根号二，它就会变成二倍的根号二，加上同时成为根号二之后，下边是变成十了，上边是根号二， 那么到这呢，其实是相当于是我们把根号二提出来，就是二加上十分之一来算了。那么二加十分之一二要化成啊，分母是十的一个数，那就是二可以化成是十分之二十，这是十分之一倍的根号二，这是十分之二十倍的根号二。最后其实就等于十分之二十一倍的根号二。 好，我们再看一下第四题，三倍的根号十二啊，十二呢，我们可以写成是四乘以三的形式，那么四能开出二来，再和三相乘，就是六倍的根号三 减去啊，直接写就行了，根号一除以根号下二十七，二十七，可以写成九乘以三，那我们继续写，就是六倍的根号三减去九，能开出来就是三倍的根号三分之一。 同理，我们也是啊，这个的话呢，把分母分子同时乘以根号三，乘完之后呢，分子乘根号三是根号三，分母乘以根号三的话啊，三乘三是得九啊，这是六倍的根号三 减去它，同样也是把六呢和九分之一合并就行。那么六化成是分母为九的一个数，就是九分之六九五十四 g 倍的根号三，减去九分之一倍的根号三，其实就等于九分之五十三倍的根号三。 好，接下来我们做一下巩固练习，下面计算正确的是，那我们来看一下 a 选项根号加根号二，合并的话，就是二倍根号二，它得二是不对的。 b 选项三加上根号二，应该啊，他们不能合并，就是三加根号二，保留啊，他这个呢，算成相当是一个乘法了。 c 选项根号十二减去根号三，等于根号三，那我们来看一下这个，那么根号十二呢，其实可以写成是根号下四乘三， 其实就等于二倍的根号三啊，这个因为之前我们做了很多了，直接写就行，那么二倍根号三减去根号三，其实就等于根号三，所以这个题呢，应该选 c。 再看下一题，已知一个句型的长是根号下四十八，宽是根号十二，则其周长。那么句型的周长是不是就等于长加宽，括号乘以二啊，所以我们就可以写成是根号四十八 加上根号四十二，根号下四十二啊，括号乘以二。那么我们要进行合并的话呢，先把它们换成最简的二次根式，根号下四十八是根号下十六乘以三加上啊，根号十二是根号下四乘以三 乘以二，那么我们其实就能得到了，括号里呢，其实是四倍的根号三加上二倍的根号三， 再乘以二，最后呢，其实是等于六倍的根号三乘以二，最后等于十二倍的根号三，所以它的周长应该是十二倍的根号三。 再来看一下考点二，二次根式的加减混合运算啊！看一下这两道题，我给大家去计算一下 第一题，它是二倍根号十二减六倍的根号下三分之一，加上三倍的根号下四十八，那我们先进行把这二次根式呢啊，先进行化简二倍根号十二，我们之前做过很多了，其实呢，根号十二其实就相当于是二倍的根号三，那么呢，就是二 乘以二倍的根号三减去啊，六倍的，那么上面是一，下面，相当于是根号三，这样来写就行了，加上三乘以啊，这么根号四十八呢，其实可以写成是十六乘以三嘛。根号下，那么能把十六开出来是四啊，四倍的根号三， 最后呢是等于四倍的根号三减去，我们上下都乘以根号三，分子分母，那么就变成了六乘以三分之根号三，那么这个六和三其实能约分，约完了之后呢，这边应该是二二倍根号三，加上十二倍的根号三， 最后呢，四倍根号三减二倍根号三，还剩二倍根号三，再加十二倍的根号三，是十四倍的根号三。 第二题，括号里的根号下十二，加上根号下二十，加上括号里根号三，减根号五，那么我们还是有括号，先算小括号里，然后把括号里的二次根式进行化解。 根号十二，其实是二倍的根号三啊，我们做过很多了，其实就应该记住了，加上根号下二十，根号下二十呢，其实可以写成是四乘以五，那么我们能把四开出来啊，五保留了，加上啊，把括号去掉，就是根号三减去根号五， 因为我们前面是加号，所以后边呢，这个符号不发生变化。那么我们再来看，就是二倍的根号三，加上二倍的根号五，再加上根号三，减去根号五， 所以合并一下二倍根号三加上根号三，就是三倍的根号三，二倍根号五减去根号五，其实就是根号五。好巩固练习，我们再做一下下面的这两道计算题。 第一题，根号十八十八呢，可以写成九乘以二的形式，所以呢，九能开出三来，就是三倍的根号二， 加上啊，括号里啊，我们先把括号去掉就可以了，因为是加号，就是加上根号九十八，减去根号二十七，那么九十八呢，其实可以写成四十九乘以二，四十九能开出七来，就是加上七倍的根号二， 减去二十七，可以写成九乘以三九能开出三来就是三倍的根号三，最后合并一下，那么三倍根号加七倍根号二，就是十倍的根号二啊，最后减去三倍的根号三。 第二题，括号啊，括号里根号下二十四，加上根号下零点五，减去它，那我们可以先进行去括号就可以进去完括号之后，我们来看一下，其实就等于根号下二十四 加上零点五呢，可以写成根号下二分之一的形式，减去根号下八分之一的形式，再负负得正，加上根号六。那我们来看一下，二十四呢，可以写成是四乘以六的形式，所以四呢，能开出来，开出二来就是二倍根号六， 加上根号下二分之一呢，可以写成是根号二，就是二分之根号二，所以加上二分之根号二， 减去啊，根号下八分之一呢，同样也可以写成啊，那么写成就是啊，根一根号一， 除以根号八，那么分子分母同时乘以根号八，那就变成了八分之根号八。那么八呢，其实可以写成四乘二的形式，把四开出来，那就是二倍的根号二，除以八，二和八能约分，就变成了四分之根号二， 再加上根号六啊。接下来我们进行啊，合并一下二倍根号六，加上根号六，是三倍的根号六， 然后二分之根号二减去四分之根号二。也就是说我们可要化成同分母通分二和四呢，它通分的话是四，这就变成了四分之二倍的根号二，减去四分之根号二，其实就等于三倍的根号六啊，加上四分之根号二。 再来看一下考点三，二次根式的综合性的题目。有一个等腰三角形，两边长分别是五倍根号二，二倍根号六，求其周长。那我们来看一下 啊，这有两个解，其中第一个呢，就是当腰长为五倍根号二时，腰长五倍为根号二，那么我们来看一下五倍根号二 啊。因为有等腰三角形，有两个腰，所以五倍根号二加上五倍根号二，等于十倍的根号二，它是大于二倍根号六的。那么这个呢，它的啊，怎么来计算它是大的呢？其实我们也是可以进行一个平方，十倍根号二，它的平方呢，其实十的平方是一百，根号二是二，说是二百， 然后呢，二倍根号六的平方呢？是四，二的平方是四，根号六是六，四，六是二十四，二百是大于二十四的，所以我们十倍根号二大于二倍根号六， 所以此时能构成三角形，周长为十倍根号二，加上二倍的根号六。那么第二种情况就是当腰长为二倍根号六时，我们来看一下啊，因为二倍根号六加上二倍根号六，是四倍的根号六，那这个里面呢，我们也可以去啊，给他去平方去来判断 四倍根号六，他的平方四四十六，根号六的平方是六啊，十六乘以六等于九十六，然后五倍根号二的他的二次方呢， 其实就等于五的二次方是二十五，根号二的二次方是二等于五十九，十六要大于五十，所以啊，被开方数也是啊，大于这个五十的被开方数的，所以四倍根号六大于五倍根号二，所以说 此时能构成三角形周长就是五倍根号二，加上四倍根号六就可以了。 巩固练习，如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是八平方厘米和十八平方厘米，求圆环的宽度 d 两圆半径之差， 那么这个呢，它是就是求两个圆的半径，再用它的半径相减就可以了。其实呢，这个题来说是一个小学类的一个题目，那我们看一下解法 啊，就是大的半径减小的半径，那么大的半径是什么呢？我们知道圆的面积呢，其实可以写一下圆的面积， s 其实等于 就是 pi 乘以它半径的平方，我们假设半径是 r 吧，就是 pi 的 平方，所以啊，所以说我们第一个大 r 是 根号下啊， s 比上 pi， 那 么我们来看，其实 r 的 平方不就是 s 除以 pi 吗？就是面积除以 pi， 所以 说 它的半径就等于给它开方就可以啊，根号下 s 除以 pi 就 行了，那就是我们这两个式子的由来， 所以就等于根号下啊，十八除以 pi 减去根号下八除以 pi， 然后我们再进行一个化简，那么根号下 pi 分 之十八，它等于什么呢？其实等于根号十八除以根号 pi， 那么我们分子分母同时乘以根号派，分母变成了派，分子变成了根号下十八派，根号下十八派，十八呢，可以拆成是九乘二，所以把九开出来是三倍的根号下二派 除以派。然后我们再来看，根号下八除以派，就等于根号下，就等于根号下八除以根号。根号下派其实也是分子分母同时乘以根号派，那么它就变成派分之根号八，派 八呢？可以啊，写成是四乘二，所以把四开出来是二，就能写成是二倍的根号下二派 除以派。所以我们大的半径减小的半径就是派分之三倍的根号下二派，减去派分之二倍的根号下二派，最后他俩相减，其实就能得到派分之根号下二派就可以了。 好，接下来我们做一下链接，中考第一题，下列二次根式中，能与二倍根号三合并的是哪一个？先看 a。 根号八相当于是二倍的根号二， 不能合并括号下三分之一，相当于是根号一，除以根号三，分子分母同时乘以根号三，就变成了三分之根号三啊，被开方数是相同的，所以这个题应该是选第二个 c、 d 选项呢？根号十八，其实十八拆成九乘以二九呢，开出来是三三倍的根号二，被开方数不同，根号九呢，可以拆出是三来。 第二题计算，根号十二减去根号三，根号十二呢，其实能等于是根号下四乘以三，四能开出二来就是二倍根号三，二倍根号三减去根号三，就得根号三，应该选 a。 好， 接下来我们做一下课堂检测基础巩固题。第一题能与根号十二合并的二次根式是什么？ 我们看一下 a 选项，根号三十二，三十二，可以写成是根号下十六乘以二十六，能开出四来，就是四倍的根号二。 那么我们根号十二也不是最减的啊。我们刚才已经做过题，根号十二呢，其实可以写成是二倍，根号三，被平方数是三，所以不能合并。再看 b 选项，根号下二十四，二十四能写成是四乘以六，其实就是二倍，根号六也是不能合并。 c 选项，根号下五分之十二，那么我们进行拆一下，就等于根号十二除以根号五， 根号十二，我们知道是二倍的，根号三，再除以根号五，那么分子不能是根号五，分母不能是根号五，所以我们分子分母同乘以根号五，那么分母呢，就变成了五，分子呢是二倍的。根号三乘五是十五啊，被开方数也是不同的。 再看第四个，是给二十七分之一开六次方，那么这个开六次方我们可能没见过啊，这个题，那么我们可以想是二十七分之一，如果是开三次方，他其实是等于三分之一的，这是在我们初一的时候就学过，因为二十七呢，就是等于三的三次方， 等于三分之一，那么三分相当于三分之一，再开一个二次方，就等于根号下三分之一，其实三和二相乘就是六次方了，开六次方了，所以我们写成就是啊，根号一除以根号三， 那么分子分母同时乘以根号三，那么下面就变成了三，分母，就变成三，分子呢，就变成了根号三，那么被开方数是三，和我们的这边根号是二是相同的，都是三，所以这个题应该选第四个， 大家看第二题下面计算正确的是 a 选项，根号二加根号二等于二，这个肯定是错的。第二个三加根号二，不能合并。 c 选项，根号是二，是等于二倍根号三，二倍根号三，减根号三应该等于根号三，所以应该是选 c。 第三题，三角形的三边长分别是根号二十，根号下四十，根号下四十五，则这个三角形的周长是多少？周长就是把我们三个数相加，那么根号二十呢？我们化成最减 s 根式，其实等于根号下四乘五， 四能开出来就等于二倍根号五，根号下四十呢，其实等于根号下四乘十四能开出来就是二倍根号十， 根号下四十五呢，可以拆成是根号下九乘五，九能开出三来就是三倍根号五。最后我们是二倍根号五，加二倍根号十，再加三倍根号五，其实最后是五倍的根号五，再加上二倍的根号十。 第四题计算啊，第一个五倍根号加根号十八，根号十八，其实十八是九乘二，相当于把九开出来，是三倍根号二。那么三加五应该是八，应该是八倍的根号二， 四倍的根号二，十八呢，是三倍根号二，四倍呢，就是十二倍的根号二，十二倍的根号二，减去九倍的根号二，应该是剩下三倍的根号二。 第三个，十倍的根号二，加上三倍根号八，减去七倍的根号二。我们先去括号，去完括号之后，符号不变。十倍的根号二，相当于减去七倍的根号二。还剩在这边写是三倍的根号二， 那三倍的根号八，根号八呢？是二倍根号二，二倍根号二，乘以三是六倍根号二，所以加上六倍根号二，很显然就能得到是九倍的根号二。 第四题，五倍的根号十二减去三倍的根号八，加上二倍的根号下二十七啊，那么根号十二呢，其实是二倍根号三，五倍的就是十倍的根号三，减去三倍的根号八，根号八呢，是二倍根号二，三倍呢，就是六倍的根号二， 然后啊，拆过括号之后，这是减，这也应该是减二倍的根号下二十七，二十七呢，可以写成是九乘三九呢，可以啊，开出是三来，再乘二是六倍的根号三， 所以我们合并一下，十倍根号三减六倍根号三，应该是四倍的根号三，然后和根号二不能合并，就直接写下来，减去六倍的根号二即可。 好，我们看一下第五题，如果最减二次根式根号下三 a 减八，与根号下十七减二， a 可以 合并，那么要是式子 根号下四， a 减二， x 除以根号下 x 减 a 有 意义，则 x 的 取值范围。那么他们如果可以合并，首先开方开的根次数是相同的，都是开二次方，说明我们被开方数也是相同的。那么直接写一个就是三 a 减八，其实就等于十七减二 a， 那么这是一个一元一次方程，我们啊，一项和平同零项就可以。一项之后呢，是五 a 负八以后记是正八，正八加上十七是二十五，所以 a 解得应该是等于五， a 等于五了，那我们这个根号其实就可以写成根号下啊，四五二十减二， x 除以边号下，应该是 x 减五，他说有意义，求 x 的 取值范围。如果有意义的话，首先我们先保证分子它是根号，根号下它要大于等于零，非负型二十减去二， x 要大于等于零，这是一个非负型。 所以我们就是啊，我们可以一项，也可以说运用啊，这个之前讲过的不等式的解法都可以。负二， x 大 于等于负的二十，那么我们系数是负数，先变开口方向，所以同时除以负二，这边变成 x， 这边变成十， x 小 于等于十，那我们再来看分母， 分母要想有意义，首先不能等于零，其次呢，根号根号下要大于大于等于零的，那么不能等于零和大于等于零一合并，其实就能得到。我们根号下 x 减五，应该要大于零，不能等 啊，等于零的话，那就是零做分母了，没有意义，所以解得 x 是 大于五的。所以啊，综合来看， x 取之范围就是 x 要大于五，而小于等于十。 好，接下来再看一下拓广探索题，已知 ab 都是有理数，现定义新的匀算 a 啊，这个是姓 b， 等于根号 a 加上三倍的根号 b， 求二星三括号减去括号里二十七星三十二的值。 啊，那这个题呢，其实是一个很简单的题，我们直接是套用就可以了。那么二星三其实就等于根号二加上三倍的根号三，括号 减去二十七，星三十二就是根号下二十七啊，乘加上三倍的根号下三十二啊就行。然后我们再拆括号就可以了啊，根号二加上三倍的根号三， 减去根号下二十七，我们直接可以算出来，因为二十七呢，相当于是九乘以三，那九呢，能开出三来，就是三倍的根号三， 再减去啊三，三十二呢，其实相当于是十六乘以二十六呢，能开出四来四呢，再和三相乘就是十二倍的根号二，所以我们进行合并一下，三倍根号三和负三倍根号三合并为零了，根号二减去十二倍的根号二就是负的十一倍的根号二。 好，接下来我们做一下课堂小结二次根式的加减，它的法则其实就是一般的二次根式，加减时可以先将二次根式化成最减二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 那么需要注意的是什么呢？注意的是一个运算的原理，原理是运算率仍然要实用。第二个运算的顺序同样与实数的运算顺序是一样的。 好了，视频到了这里马上就要结束了，有问题的小伙伴可以在我的视频下方进行留言，我们下次再见！关注我，带你开启学霸模式！

考平方根啊，就得考他们最容易错的点，什么平方根，算式平方根，混着来，一个题至少考四个知识点，什么正负号啊，反着求啊，根号里边套平方啊，能错的全给他安排上。 题目一看很简单，越做心越慌，一个字，爽！最好再把一些易错题啊放在大题的第一，小问，一招，不慎满盘皆输啊，两个字，刺激 那周围同学，不是这忘了就是那，不小心你不扣个几分，你都不好意思跟别人打招呼。 这样的试卷你说先丢几分，八分那是起步价，你还别嫌多，没准丢更多。你得研究学生的考试心理， 那些平时糊弄的学生根本不在乎考试再多丢几分。所以咱们出试卷的口号， 不求最难，但求最坑。好，我们来进入平方根里边的易错题啊。 第一个，九百的平方根为多少？我相信你肯定会做啊，正负三十，如果你不理解，我再解释一次啊， x 平方等于 a， 那 x 等于多少呢？它的平方根就叫正负根号 a， 这是我们上个视频专门解释过的。 那九百的平方根就相当于 x 平方等于九百，你要求这个 x 是 多少，其实你都不需要用公式，你都猜得出来，因为三十平方是九百， 负三十也是，所以他就是正负三十啊。那第一题是为了第二题做铺垫，很多同学在做第二题，一不留神他也填正负三十，但是你对比一下，真的是一样吗？你看， 这是九百，这是个根号，九百不一样啊。我来举一个例子就明白了两句话，第一句，爸爸的孩子是谁？那不就是你吗？ 对吧？你是爸爸的孩子。那第二句话，爸爸的爸爸的孩子是谁？你明显感觉到这你在填，你就不对劲呢。所以这句话里面其实是两次运算，第一次是爸爸的爸爸，你得进行一次运算， 第二次是孩子，再进行一次预算。爸爸的爸爸是谁？那爷爷啊，那爷爷的孩子是谁？咱这不考虑也有几个孩子啊，就说一个，那这个孩子就是你爸爸呀。 所以你看，虽然都是有爸爸，都是有孩子，但是这多了一次预算啊。你回到这你就明白了，九百平方根没问题，我算出来这根号九百，相当于这已经有第一次运算了。 那根号九百是求啥？是求九百的算数平方根，那是多少？三十。所以你得先把它算出来，然后再用这个三十去求平方根，也就相当于求三十的平方根，那肯定不是他了， 那三十平方根怎么求？也就是 x 平方等于三十，你没办法找到一个有理数，算出来是平方是三十，满足不了，所以我们就用那个 x 等于这个符号，正负根号三 三十，所以答案是正负根号三十。所以老有同学一不留神忘了这有第一次运算，运算之后再去求第二次的 平方根啊。那第三个就简单了，二十二的算数平方根，它相当于求 x 平方等于二十二，你看求它的平方根，但是算数是很特别的，求这里边 x 大 于零的，我只要那个正的， 那由于你没办法口算一个有理数，他带进去等于二十二，他无理数，所以 x 等于不需要正负了啊。算数平方根只要正的，那就是根号二十二，就这个意思， ok， 然后你再对比一下第三题和第四题，你就发现区别了，第三题直接给你一个数。第四题很像，是吗？ 很像前面这个呀，负五的平方的算数平方根，你不要一上来就填负五啊，先把它干嘛化简呢？这是第一次运算负五的平方是二十五，那二十五的算数平方根是几呢？这就简单了，五，因为相当于 x 平方等于二十五，求这个根嘛， 只是在这个平方根里边，我要那个正的 x 大 于零的，那就是五了。同样的第六题啊，跟第四题很像，它是变了一下， 他先给了第一次运算根号负六的平方得算平方根，是两次运算，先把第一个算出来，那这第一个里边又有两个东西啊。因为他首先有个平方，所以我一步一步来，先把负六的平方给算出来，他就是三十六， 那根号三十六，就相当于求三十六的算数平方根，那就是六。然后把六再干嘛去求六的算数平方根啊，也就相当于我这个整个化简之后就是六。那六的算数平方根是几呢？相当于 x 平方等于六， 你取这里边正的 x， 那 就 x 就 出来了，它就等于根号六啊。 啊，所以一定想清楚，爸爸的孩子还是爸爸的爸爸的孩子啊？他运算不一样，这多了一次运算， 这个，这个，还有这个多了一次运算，你得先化减啊。第六小题会有同学搞不懂，因为他这个概念不熟。二是谁的算数平方根？我们解释一下，如果你想不通，你就回到最基本的公式， x 平方等于 a， 在 这里边， x 是 那个根， a 是 那个平方， 那既然二是一个平方，根二就对应 x 的 位置，所以二的平方等于。你说这 a 是 几，那不就是四吗？所以二就是四的 算数，平方根里面一个正的吗？所以是填四啊。所以你概念绕清的时候，你回到最原始的定义， x 平方等于 a， 看他们的关系啊。第七个主要是来进行对比啊，根号负六平方，根号六的平方和根号 a 的 平方到底是多少？ 第一个还是一样，先化简里边是负六平方，把它算出来，那就是根号三十六。根号三十六相当于求三十六的算式平方根，也就是 x 平方等于三十六，我要求这个 x 大 于零的时候嘛，那就是等于六了。同样第二个也是根号三十六， 羌鱼求三十六的算数，平方根，那还是六，那有了前两个，第三个应该怎么化解？是 a 吗？不像为啥你这是负六的平方，算出来是六，六的平方算也是六，那 a 的 平方我要保证出来是个啥。 由于你这个根号前面没有什么，没有正负号，他是没有正负号的，所以他这一定是个正数，当然或者是零啊。那这我怎么保证他一定是个非负数呢？要么是零，要么是正数呢？所以用了七上这个工具加 绝对值， ok， 最后一种类型判断对错啊，因为在实际考试中，你可以预测一下 他把这个单独放一个题可能性大不大？不大，因为很简单，两到三分。所以他喜欢出什么样的题？选择题就我一下给你四个，让你在这里面找对了或者找错了，那考察就多呀。所以他特别喜欢出选择题啊，这是我从学生的错误的试卷里面挑了些题啊。我们来看一下， 第一个，根号零点二五等于正负零点五，很舒服啊。零点五乘零点五等于零点二五吗？没问题啊，对，还是错？错？为什么基本概念要熟？如果你前面没有正符号，表示你求的是啥，你求的是算数平方根啊， 而算式平方根只要什么，只要正的，所以只能等于零点五，这是错的，你要想加正负，你就得在根号前面加正负，才能得到正负啊。所以 平方根和算式平方根看前面的正负。第二个，根号三的平方等于三，这事有人想不通啊，他说老师，根号三的平方不就是根号三乘根号三吗？但是我没学过这种运算啊， 确实还没学，这我不会算，咋办呢？我们说这种平方根的题啊，你想不通的时候，你就回到 最原始的时候， x 平方等于 a， 那 问个事， x 平方等于 a， x 等于啥？当然我这限定啊，只要呃算平方根 x 等于啥，那不就是根号 a 吗？这个时候你把根号 a 带进去，你看一下， 你把 x 换成根号 a， 那 不就是根号 a 的 平方等于 a 吗？啊，所以相当于平方根的平方不就是他自己吗？啊，根号 a 的 平方等于 a， 所以 回到这个例子，你看 x 平方等于三， x 等于谁？当然我只要算数平方根啊，那不就是根号三吗？ 那你把根号三带回去，也就是根号三的平方，那不就是三吗？所以我们从平方根的基本概念入手，带进去确实是成立的啊。当然，跳出来你也可以理解成，开了一次 平方又平方一次，相当于一次正向，一次反向运算，它就抵消了。就是三本身类似于五，加上一个三，又减去一个三，最后还是五，大家就感觉啊，当然严格的解释，我用这个来证明了啊。第三句话才是让很多人犹豫的啊， 负一是一的平方根，你觉得它是对的，你又感觉它有点错，因为我们已经知道平方根是有几个两个嘛。那负一是一，那还有一也是一呢？ 那这话到底对不对呢？我来举一个例子啊，假如你们家有两个孩子，老大和老二，现在我来说一句，你来判断老大是妈妈的孩子，这话对不对？这话肯定是对的呀， 你如果说这话错了，那老大难道不是妈妈孩子吗？是的， ok， 那 我还可以说老二也是妈妈孩子，没问题啊，这个说法也是对的。那为什么你觉得别扭啊？如果我反过来说，你就明白了， 妈妈的孩子是老大，这就不行，为啥？因为妈妈孩子不仅有老大，还有老二啊啊？所以当然这个扯远了，扯深的时候，他其实是高中的这个集合的概念， 老大是一个元素，他是个孩子，他就是妈妈孩子，这句话没问题。但反过来，妈妈孩子这是一个大的集合，它是由里面包含了老大和老二两个元素，你就不能说他只是老大，你得把老大和老二全说出来才算对， ok， 那 所以负一是一的平方根，这句话没问题，但是你怎么说就变错了。如果你说一的平方根是负一，那就得错了，因为一的平方根是正负一平方根有两个啊，类似的概念还有很多，你比如说 人是哺乳动物，但你能说哺乳动物就是人吗？对吧？你哺乳动物有很多种啊 啊，所以说小的这个范围是我大范围的里边东西没问题，但我不能说我这个大的范围一的平衡根就是这一个，这时候我就得把所有的全列出来，是两个啊，正负一。下面这个题就和上面明显的对比了啊，这个图是来自于人教版教材上的啊。你看 根号五是五的一个平方根，他说的更严谨一些啊，你更容易判断。没问题啊，根号五确实是五的一个平方根，因为负根号五是另外一个平方根嘛，所以这句话是对的。 那反过来怎么说就变错了呢？如果你说五的平方根是根号五，那就不行。为啥？因为五的平方根有两个是正负根号五， 或者说你在这加一个五的一个平方根是跟上五，那也没问题， ok？ 所以 你只要说谁的平方根是都得是两个， ok， 要么你没有，比如说负数没有平方根，所以这个题如果他在这加一个一个，你可能就更好判断啊，但是他不加也没问题，负一确实是一的平方根， 第二题负三的平方，你看啊，和前面的易错题很像，所以我们很多题确实跟课本有关系啊。负三平方得算的平方根，它是两次硬算，你先把负三平方算出来，它是九九的算数平方根， 你这算数出来个负三，所以这肯定就是错的， ok？ 正的嘛，应该是三， ok， 第三个根号四的平方根，你看很像哦， 根号四本身是一次运算，先把根号四化减，根号四化减是四的算数，平方根是二，而二的平方根还是正负二吗？不对，二的平方根的意思是 x 平方等于二，求 x x 是 等于正负根号二的，所以这是正负 根号二啊，这跟前面易错题很像啊。第四个，零的平方根与算的平方根都是零，这是个基本概念啊，因为零的平方根就一个，就是零，算式平方根呢，也是零啊。 所以我们总结，第一，你要明白平方根和算式平方根的区别啊，平方根是加正负算式平方根只要正的。第二，在考试中他经常让你去判断题，这种东西其实是两层运算，先把根号九百给化减， 再用化简的结果，再去往后面算平方根，或者是算平方根啊，两次性算。最后是一个逻辑上的陷阱， 根二 a 是 a 的 平方根，没问题。当然，你加上一个，一个根二， a 是 a 的 一个平方根，那更好，对吧？你是你爸爸的孩子没问题，你哥哥也是你爸爸的孩子也没问题啊。 但反过来， a 的 平方根，你就得两个都得说出来了，你就不能只说一个了啊，就像不入动物有谁，你得把人呐，各种各样全列出来才可以啊，才算是完整啊。这就是一个逻辑上的归属关系。关注，梳理黑板，现在下课！

探究根号二有多大？下面这个推导过程有同学说，老师我看不懂，那咱们用一只视频来把它再梳理一下，首先要明白根号二它代表的含义是什么？ 那前面的视频咱们有分享，平方根、算数平方根，如果这两个概念还不清楚的啊，忘记的，你最好先看看前面的视频，然后再回过头来继续学。我们都知道根号前面如果没有正负号，那就默认为在求一个数的平方根是非负数 零，因为规定了零的算数平方根是零，所以你看这个就我们能得到的结论就是算数平方根，他是一个非负值，那二，那他不是零，那就更确定了，他的算数平方根一定是个正数。所以我们转换一下，就是一个正数他乘以他自己，结果等于多少呢？就是二， 一个数和它自身相乘，我们又可以写成 x 的 平方的形式，它等于二，这个二就是被开放数，所以根号二表示的是求二的算数平方根。好，那他首先判究的第一步说，因为一平方等于一，二平方等于四啊，你看这个二，这个 在一和四之间啊，就是他写的二大于一方，小于二方，就是我们都看的是结果吗？啊， 一的平方等于一，二平方等于四， x 的 平方等于二，所以这样的话都看后面等号后右侧的这个结果，那就是二是大于一小于四的，他只不过说把一和四都用谁的平方来表示啊，那所以他能得到什么结论呢？接下来他再给他们开平方， 二开平方，那就变成了根号二，那也就是求二的算数平方根，那一平方给他 进行开平方运算，那就是一的算数，平方根，那还是一好，二的平方他是四，那就是求四的算数，平方根他就是二，所以因为他就 直接写了啊，把这个结果直接写下来了，所以这样一写，就是根号二大于一，小于二啊。如果这个第一步要是还不理解的话，也可以换一种思路。什么思路呢？你看，我就不是这样考虑的。前面咱们在这个 上一页有讲过说，哎，被开方数越大，那对应的算数平方根越大，这个结论呢？对，所有的正数都成立。哎，当我前面学这个 嗯，内容的时候，我说要思考这句话到底对我们做题有什么用呢？做什么题上能用上呢？我们当时说，哎，这个大呀，小啊，这不就是比大小能用上吗？什么意思？ 我们随便写一组数字，比如根号五十八，根号七十，根号一百，他们三个谁大谁小呢？啊？是说把根号五十八算出来吗？那他也不好算呢。根号七十算出来吗？那更不好算了。所以这怎么办？ 就是看被开方数啊，被开方数大他就大，被开方数小他就小，所以这根本不用算，一目了然。那就根号五十八，小于根号七十，小于根号一百啊。所以我利用这个结论，那我就怎么比较？你不是根号二吗？好，那我 根号一，根号四，我让你们三个进行比较。那有同学可能又有疑问了，说，老师，你为什么选根号一和根号四呢？首先啊，因为 一二三四他是离二最近的数，我得先从他身边比较起，比如说二前面是一啊，二后面是三是四。好，我得看他和他挨着的数之间的大小关系，这样再逐步的锁定他的大小区间范围呀。你看，这是我们探求大小的一个 啊，一个严密的思路，一个方法，我们就沿着这个路径来探究。那好，我也可以写成什么呢？根号二大于根号一，小于根号三。但有一个疑问， 有个问题，就是根号三，我也不知道他是多大，是吧？我也不知道谁乘以他自己能等于三，但是四我知道四就是二，乘二 a 就 等于四，所以你看这就是我们要取自己理解的，并且呢是符合逻辑比大小逻辑的。那你看，我也直接得出这个结论了，所以两个方法， 他探求一，他用的是什么？先用这个被开方数，也就是这个结果来比较一下，然后再把他这个开平方啊，就得到这个结论。那我呢是利用我已知的这个 这个开平方数，然后呢再就是和二接近的，他左他右的这个数来进行比较。但我们最终的结论都是一样的，就是这个根号二，他的大小就在一和二这个数之间。所以第一步是先把根号二框在了某两个数之间，然后再进行第二步。 好，那我们说根号二表示的是什么呢？是一个数乘以他自己，他的结果是二，你看他这个结果是什么？是二， 那我们要找的这个数就是谁和谁相乘，他得等于二，或者是接近二，这是我们的一个思路。那好，第二步说，因为一点四的平方等于一点九六，你看一点九六非常接近二了，而一点五的平方等于二点二五，这已经超过二了，但是我们锁定的范围是必须小于二，所以 他接近他超过，那就说明这个根号二他就在一点四和一点五之间啊。好，那这里面呢，有同学存在的疑问是什么？就是老师他为什么直接写一点四的平方呢？ 怎么一下就锁定这呢？其实也不是的，只是我们教材省写了，当你在第一步锁定了他在一和二之间的时候，我们要一个一个试的，就说一点一的平方是多少，一点二的平方是多少，一直到一点九的平方是多少。但其实用不用全释完呢？不用， 当你试到一点四的时候，你发现一点九六，它的结果是一点九六，一点五的平方是二点二五，你看一个接近一个超过，那这个位置就锁定了。当你看完了这个第二步，要是明白了，那第三步你也就明白了，因为锁定之后要继续锁定那小数点一位，那就现在小数点两位呗，一点四一啊，一点四二啊，一点四三，一点四四，继续去看他们的平方数是多少， 那这个呢？也是一点四一看完了，一点四二看完了，就立马有结果了，就不用再去试一点四三的平方了。为什么？因为一点四二的平方，它就等于二点几了，它就已经超过二了，而一点四一的平方等于一点九八八一，你看 它更接近二了，所以就代表这个根号二 a 在 这两个范围之间。那接下来呢？第四步呢？还是继续试呗，那两位小数的基础上，那就再 拓展一位这三位小数，那就一点四一，一点四一二，一点四一三，还是这样去试，等试到一点四一四的平方的时候，发现它是一点九九九三九六，你看更加的接近这个二这个数值了，而一点四一五的平方呢？它是二 超过二了，所以我们又进行锁定啊，这就是他的探求逻辑。那最终探求下去，说这个根号二等于一点四一四二一三五六二三七三点点点点点代表什么？后面还有很多很多，所以能得到一个什么结论，就是他是一个无限不循环小数。 这个结论非常重要啊，无限不循环小数，你能想到什么？咱们前面学有理数的时候说，哎，有理数包括什么数来着？好像只只有写成分数的 才是有理数，但是无限不循环小数他是写不成分数的，那就说明他不是有理数。哎，我们发现了根号二不是有理数啊，这超出了我的认知范围了 啊，那他是什么数呢？后面我们会学到，在这里大家做一个思考，这就是根号二，在我们学习平方根算术，平方根出现的意义，他让我们认识到原来还有我们没见过的数。那关于这个推导过程，大家再重新看一看啊，多看几遍，看能不能想明白，想清楚，如果还有疑问可以留言告诉我。

基础不牢，地动山摇。由于三减二倍的根号二大于零，根号下三减二倍的根号二表示一个正数的算数平方根。 我们设法将根号下的三减二倍根号二配成完全平方式即可。先写上一个帅帅的解字，代表人的自信和乐观。 根号下二减二倍的根号二加一等于根号下根号二的平方。减二倍的根号二加一的平方 首平方尾平方首尾二倍放中央。 根号下根号二减一的平方 也就等于根号二减一的绝对值。由于根号二减一大于零，正数的绝对值是它本身原式等于根号二减一。

这跟号二啊，这跟号二。这跟号跟号二是二的几次方啊？顶上填几啊，还要扣二十，给你扣二的，这不行，能不能这么写啊？能理解吗？老师说，一下子 来，你看看啊，这一个词下去就给我们折磨的够呛了。那老师问你来，老师问你根号二乘以根号二的题啊， 得二吧，是不是叫根号二的平方得几啊？得二吧，你看，根号二乘以高二住高二的平方，根号二的平方得二， 这是一段根号二乘以根号二，得二。完了，根号二的平方得二，这个一个数的平方等于二，我是不是就相当于啥呢？什么东西的平方 方能得二啊？二的几次方的平方得二呢？大哥，你看，我说你根号二，人家让你写成啥呀？二的 m 次方就根号二写成二的多少次方，那么二的多少次方的平方得二呢？是不？这，这，这啥预算呢？ 来，老师，你来，来来，来，人家问你个号等于二十几次方是这意思，二的 m 次方，那这个个号是不是就写成了二的 m 次方的平方的？ 看这是阻力不，这块是不叫蜜的，成方叫二到二， m 四方就他俩一成方就二乘以 m， 那是不是说那二 m 得几啊？得一吧。 老师问你，二 f 是不得一 f 得几啊？是不二分之一啊，也就是说这根号二应该写成二分之一，二到二分之一四八吧，你看我跟你说有几个？ 第一个是 a 乘以 a 等于 a 方，知道不？那这种中考学没学过哎，我问你这个呢？二的 m 字方的 m 二次方，这玩意学没学过？叫 m 的乘方等于二的二 m 次方学没学过 这个指点学没学过？ a 的 m 次方和 n 次方等于 a 的 m n 次方，这公式学没学过，这叫啥公式？叫 m 的乘方学没学过什么叫 m 的预算？ a 的一次方乘以 a 的一次方等于 a 的二次方学没学过 不相乘的这个数你抄九十九啊。这个数的平方等于他这个二等于二的多少次方？二的 m 次方，那也就是说这个数二百 m 次方的平方 二，这个数等于二的二 f 吗？一等于二， fm 等于二十一。从开始到结束整个预算有一个不是初中老师讲的吗？不是，只不过我们平时没那么考过吗？