六年级下册数学莫比乌斯带怎么折

同学们，今天我们一起来制作莫比乌丝带，我们需要准备胶棒和长方形纸条。第一步，把胶棒涂在纸条的一端。第二步，把纸条的另一端扭一下，和有胶棒这端相连接。这样一个莫比乌丝环就制作好了。 如果把莫比乌丝带沿中线剪开会怎么样呢？ 则会获得一个更大的莫比乌斯带。如果把莫比乌斯带沿一端三分之一处剪开会怎么样呢？ 那么你将获得一个小的莫比乌斯带和一个大的扭转两圈的环。

亲爱的同学们，大家好，我是江老师，很高兴又和大家见面了。今天这节课我们将一起研究神奇的莫比乌斯环， 请同学们做好如下的课前准备，五条长五十厘米、宽五厘米的长方形纸条，安全剪刀，双面胶，还有水彩笔。 准备好了吗？准备好了，就让我们开启今天愉快的学习之旅吧！同学们，关于莫比乌斯环，你能提出哪些想要研究的问题呢？ 什么叫莫比乌斯环？是一个叫莫比乌斯的人发现的吗？莫比乌斯环神奇在哪里？ 莫比乌斯环有什么应用吗？同学们提出了这么多问题，那今天咱们就先来做一个初步的研究。我们先来看第一个问题，什么是莫比乌斯环呢？ 我知道，在数学阅读中我看见过，应该就是这样的一个指环。 你说对了，这的确就是莫比乌斯环。下面就请同学们拿出一张长方形纸条，和姜老师一起做一个莫比乌斯环吧。 同学们请认真看，将这张纸条这样一围，就变成了我们的普通指环。 这个普通指环你见过吗？对，它就是我们圆柱的侧面，是一个曲面， 现在只需要对这个指环做一个小小的改动，就能变成一个神奇的莫比乌斯环，你知道怎么做吗？ 我知道，将纸条的另一端旋转一百八十度，再粘起来就可以了，你听明白了吗？将纸条的一端扭转一百八十度，再粘贴起来，就变成了一个神奇的莫比乌斯环。 再来看，你也可以向另外一个方向扭转一百八十度，再像这样粘贴起来，它就变成了一个神奇的莫比乌斯环，你会做了吗？ 这个莫比乌斯环的确就是由德国的数学家莫比乌斯发现的， 同学们一定会很好奇，就这样一个小小的指环，也值得用一位数学家的名字来命名吗？它真的有那么神奇吗？ 别着急，我们接着继续研究莫比乌斯环到底神奇在哪里呢？ 同学们，面对莫比乌斯环这样一个神奇的几何图形，我们应该怎样进行研究呢？ 想一想我们学过的几何图形有平面图形、长方形、正方形，还有立体图形、长方体、正方体等等。想一想我们可以从哪些方面进行研究？ 我们可以看看它有几个顶点，几条边、几个面。既然它是由这个普通指环一端扭转一百八十度变过来的，我们还可以和普通指环对比着去研究，更容易让我们发现它的特征 哦。看来研究几何图形，我们不仅可以从点、线、面这三个维度出发，我们还可以将它和普通的指环进行对比着研究，这样更清楚的可以看到莫比乌斯环的特征。 那下面就请同学们来观察这两个指环，你能先猜猜它们分别有几个顶点，几条边，几个面吗？ 这两个图形都没有顶点，只有面和边。莫比乌斯环不过是由普通指环扭了一下形成的，不还是里面一个面，外面一条边，下面一条边吗？ 好像不是这样的，我同意他没有顶点，但是我之前看过一篇讲莫比乌斯带的数学阅读，莫比乌斯环的特殊之处就在于他有一个面和一条边。 咦，同学们，这都是由相同的长方形纸条围成的两个指环， 怎么差异这么大呢？这莫比乌斯环看上去好像也是有内外两个面，上下两条边，怎么就能证明它只有一个面一条边呢？你有什么好的办法吗？ 可以用一支笔去画一圈，看看能不能一下画完，最后回到原点，是否所有面都被画上了。 也可以用一支笔沿着边再描一圈，笔尖不能离开纸面。最后看看是否所有边都被描上了颜色。 你们的方法真好，那下面咱们就按照这样的方法来操作看一看吧。请你先再看一看。要求 同学们，我们可以在指环上任选一点 a， 从这点开始涂色，如果笔足够宽的话，是能够涂满整个指环的。涂的过程中还要注意，不能像这样跨过边缘去涂色。 我们也可以在指环的边缘任选一点 b， 将笔这样平躺着放下来，沿着边缘一直画下去。看看你又发现了什么？ 你听明白要求了吗？请千万千万要注意，图和描的过程中可不能翻过边缘哟！ 涂完了，描完了，你又有什么发现？普通指环我任选一个点 a， 从这个点出发，一直这样涂下去， 大家看，最后只是指环的里面涂到了颜色外面并没有被涂上颜色。 莫比乌斯环，我任选一个点 a， 从这个点出发，一直这样涂下去， 我发现整个指环的面全部被涂上了颜色，好神奇！ 是啊，普通指环我在面上任选一点 a， 不 能翻过边缘，怎么也不能由内侧涂到外侧去。所以普通指环有两个面， 但是莫比乌斯环我在它的面上任选一点 a， 一 直涂色，不翻过边缘，却整个面都能被涂上颜色，这也证明了 莫比乌斯环只有一个面，像这样的面，在数学上我们称它为单侧区面，还有什么发现吗？我们接着看，从这个点出发，沿着边缘一直涂下去， 最后只是画出了上面这条边，下面还有一条这样的边，没有画上 莫比乌斯环，我任选一个点。 b， 从这个点出发，沿着边缘一直涂下去， 竟然所有边都画出来了。 是啊，同学们，普通指环我们任选一个点，开始描，发现只有一条边能被描出颜色，下边另外一条并没有被描出来，这证明它有两条边。 而莫比乌斯环，我们任选一点。 b， 然后一直开始描，最后却发现所有的边都能被描了出来，这也说明莫比乌斯环只有一条边儿。 好了，同学们，通过我们刚才的探求，我们发现了普通指环有两个面，两条边，但是莫比乌斯环只有一个面一条边， 但这仅仅才是我们研究的开始，接下来我们还要继续探究他还有什么样的特征。现在姜老师想要给你一把剪刀，让你给这两个指环做手术，你准备怎样剪开？ 这样剪开吗？这样剪开又还原成一个长方形纸条了，这可没什么好研究的， 那你再想一想，除了可以沿着这个方向剪开，如果我换一个方向剪开，说不定有意外的发现呦！同学们，现在你又产生了新的想法吗？ 我想沿着普通指环和莫比乌斯环的中间一直剪一圈，这个想法听着不错，那我们就来剪一剪，看一看吧。 请同学们分别在指环中间画一条虚线，然后再剪开，剪开后说一说你有哪些发现。 不过同学们，咱们先不着急剪开，剪之前咱们先在脑海中想象一下，这两个指环剪完后会变成什么样子呢？ 普通指环可能就会变成两个窄一点的普通指环，这没有什么可说的，但是莫比乌斯环剪开后会变成什么样子呢？你能大胆的猜测一下吗？ 普通指环剪完了会变成两个普通指环，因此我猜想莫比乌斯环剪开后会变成两个莫比乌斯环，而且两个莫比乌斯环是套在一起的， 我猜他们剪完后都会变成两个分开的普通指环，它变大了，它的长度是原来指环长度的两倍。 同学们有了这么多的猜想，那到底对不对呢？接下来就让我们验证一下吧。这是一个普通指环，我沿着中间这条线剪开， 大家看，果然是变成了两个窄一点的普通指环，这是莫比乌斯环，我也沿着中间这条线剪开， 大家看竟然没有分成两个指环，而是变成了一个窄一点的更大的指环。 同学们看来，将普通指环剪开，变成两个普通指环，这和我们的猜想一样。 但是将莫比乌斯环沿着中间这条线剪开后，却变成了一个更大的指环，这可还真有点出乎我们的意料。 那剪开后这个更大的指环还是莫比乌斯环吗？你能用我们刚才学的方法来验证一下吗？ 我用刚才的方法任选一点 a， 从 a 出发涂了一圈， 发现并没有涂满所有的面，看起来还是一个有两面的指环， 我也试着在它的边缘任选一点 b， 从 b 出发，沿着边瞄了一圈， 最后回到了起点，我发现它也只涂了一条边，还有另外一条边没有被涂色，看来它还是有两条边， 看来这个大指环已经不是莫比乌斯环了。老师，我有一个问题，我发现这个指环也是扭了一下，为什么就不是莫比乌斯环呢？ 我能解决你的疑问，我发现这是扭了两次，那就等同于还是回到了原来普通指环的状态。 同学们说的真好，的确，将普通指环剪开后，会变成两个窄一点的普通指环，长度并没有发生改变， 但是将莫比乌斯环剪开后，会变成一个更大的指环，宽度变窄了，长度是原来的两倍，而且是一个扭了两次的普通指环。 同学们，刚才我们有那么多的猜想，虽然没有猜对，但是仍然很可贵，我们可以再想一想，为什么会是这个样子呢？ 随着你思考的深入，你会更加能够理解莫比乌斯环的神奇。 刚才我们是将指莫比乌斯环进行二等分，现在如果将它进行三等分后再剪开，你还能想象出剪开后的样子吗？如果四等分，五等分后再剪开， 如果一直等分下去，这会不会有什么规律呢？感兴趣的同学课下可以继续探究，随着你探究的深入，你也会更加能体会到莫比乌斯环的神奇之处。 好，现在我们再来看第三个问题，莫比乌斯环有什么应用？ 这是莫比乌斯环的传送带，你能猜想一下两条传送带转动起来会有什么不一样吗？ 普通的皮带里面可能会不断的被磨损，但是外面却保存的完好。而莫比乌斯环式皮带两面都同时被磨损，我猜它的使用寿命是普通的两倍。 你说的有理有据，的确它的利用效率整整提高了一倍。 同学们，如果将莫比乌斯环这样压扁，就会变成了我们的可循环利用标志。你知道为什么用莫比乌斯环来设计可循环利用标志吗？ 你说对了，因为它只有一个面，一条边，可以给我们带来一种循环往复的感觉。 同学们，关于莫比乌斯环在生活中的应用也还有很多很多，同学们可以课下继续探索，随着你探索的深入，你也更加能体会到莫比乌斯环的神奇之处。 接下来我们将研究这只可爱的小猫，请同学们除了常规学具以外，还要额外准备好方格纸。 这是可爱的小猫乐乐。你能看懂括号里的两个数分别表示什么吗？ a 点是用二和零表示的，其中的二就是对应横轴上的二，零就是对应纵轴上的零。 哦，原来竖对中的第一个数表示的是横轴，第二个数表示的是纵轴。还有其他想法吗？ 也可以这样解释，这是我们学过的有序数。对 a 点的二零表示的就是 a 点，在第二列，第零排。 噢，也可以从这个角度来理解，数的中的第一个数也可以表示为第几列，第二个数也可以表示在第几排。那你能尝试着把剩下的三个点的意义说出来吗？ b 点的四零表示的是 b 点，在第四列，第零排。 c 点的六二代表的是 c 点，在第六列第二排， d 点的六六表示的是 d 点在第六列第六排。同学们，现在你听明白了吗？看来在用竖对表示数的时候，竖对中的第一个数对应的是横轴，也可以认为是第几列。 竖对中的第二个数对应的是纵轴，也可以认为是第几排。这个顺序大家可千万不要弄错呀！那接下来就请同学们写出剩下六个点的竖对 观察一点，先看一点对应的是横轴上的五，再看一点对应的是纵轴上的八，所以一点可以表示为五八。同理，下面的 f、 g、 h、 i、 j 所表示的数对依次就可以填写出来了。 同学们，你写对了吗？看来这个真难不倒大家，那下面我们加大难度，挑战升级。 小猫家族中还有天天、晶晶、欢欢这三只小猫，请你认真观察它们的树对之间是否有什么规律，你能根据你发现的规律将剩下的树对写出来吗？ 树对写出来后，你能否尝试着猜想一下这三只小猫的形状可能会变成什么样子了？ 我们一起来看看。我发现天天的前四个点的第二个数与乐乐的一样，没有变化， 但是天天前四个点的第一个数是乐乐的两倍，所以我认为天天这只小猫的轮廓的点的数对规律是第一个数乘二，第二个数保持不变，因此我能写出剩下的数对。是这样的， 老师，我有不同意见。天天小猫 i 点和 g 点没有变化，跟乐乐一样啊， 我来帮你解答。我们发现的规律是，数对中的第一个数乘二，第二个数不变。天天的 i 点和这点的数对的第二个数没有变化，符合我们发现的规律。 关于第一个数，因为乐乐的 i 点和这点的数对表示的第一个数是零，所以乘二之后还是零，所以看起来乐乐的 i 点和这点和天天一样没有变化，实际上也是符合我们发现的规律。 同学们，你听明白了吗？看来在找树对规律的时候，我们只要抓住哪些树变了，哪些树没有变，就能正确的找出它们之间的规律了。 天天小猫的树对轮廓已经写了出来，你能尝试着猜测一下天天小猫的样子吗？ 竖对中第一个数对应的是横轴，也就是小猫的脸宽。天天竖对中第一个数乐乐的二倍，那天天的脸宽应该也是乐乐的二倍。 树最终第二个数对应的是纵轴，也就是小猫的高度。天天树最终第二个数跟乐乐一样没有变化，那天天的高是跟乐乐一样的高，不变宽是乐乐的二倍，那么天天应该是胖胖的小猫。 你的猜想有理有据，看来在竖对中第一个数对应的是横轴，也就是小猫的脸宽。第二个数对应的是纵轴，也就是小猫的脸高。 那晶晶这只小猫呢？晶晶小猫的数对变化规律是，数对中的第一个数与乐乐一样不变，第二个数是乐乐的第二个数乘二。因此我能写出剩下的数对是这样的， 你同意吗？那晶晶小猫的样子又会变成什么样呢？ 竖对中的第一个数对应横轴上的数，影响图形的宽。竖对中的第二个数对应纵轴上的数，影响图形的高。而小猫晶晶的轮廓点的竖对规律是第一个数跟乐乐一样， 第二个数是乐乐的两倍，所以小猫晶晶的脸宽跟乐乐一样，但是脸高是乐乐的二倍，所以我想小猫晶晶是瘦高瘦高的小猫。 同学们的猜想越来越准确了，也越来越有理有据了，那欢欢的样子呢？ 我发现欢欢小猫的数对变化规律是，数对中的两个数都是乐乐的数对中的数乘二，因此剩余的数对是这样的。 那它的样子又会变成什么样呢？小猫欢欢的轮廓的数对规律是，两个数都是乐乐的两倍。那么根据我们刚刚讨论的结果，小猫欢欢的脸宽和脸高都是乐乐的两倍。 咦，我们发现这跟我们之前学的图形的放大与缩小很像，欢欢的脸宽和脸高都是乐乐的两倍，是不是欢欢就是乐乐按比放大的两倍呢？ 看来同学们好像又有了新的发现，那同学们的猜想对不对呢？我们一起来画一画来验证一下吧！ 请你根据数对画出三只小猫的轮廓， 你画对了吗？小猫的轮廓画了出来，那我们怎么画出它的眼睛、鼻子和嘴巴呢？我认为就是这样，按照乐乐的眼睛、鼻子和嘴巴直接画出来就行。 你同意这位同学的想法吗？这三只小猫的轮廓都已经发生了变化，但是它们的鼻子、眼睛和嘴巴却不变，这能行吗？ 同学们说的非常好，这样想是不可以的，那我应该怎么画出它们的眼睛、鼻子和嘴巴呢？ 小猫天天虽然高没变宽，变成了原来的两倍，那么它的眼睛、鼻子、嘴巴宽度也都要同时扩大两倍。晶晶和欢欢的眼睛、鼻子和嘴巴也需要按照轮廓的竖堆变化规律去扩大， 你听懂了吗？看来我们在画眼睛、鼻子和嘴巴时候，也应该先要找到它们对应的竖对，然后将这个竖对也按照轮廓的竖对变化规律写出来，再画出眼睛、鼻子和嘴巴。那就让我们画一画吧， 你画对了吗？同学们学到这里，再次让我们对着这幅表格和这幅图来观察一下，看看你有什么发现。 我发现欢欢和乐乐长得最像，因为欢欢的点是乐乐的竖对上的两个数都乘以二，所以是按比放大了两倍。我验证了一下，乐乐的脸宽是六，脸高是八， 欢欢的脸宽是十二，脸高是十六，确实是两倍。我还发现，数对中两个数一个数不变，另一个数发生变化，那么整个图形就会发生变形。 当然，外面的轮廓变了，里面的图形也会随之发生同样的变化。如果要让一个图形按比放大，那么他的各个部分都得按照同样的比放大。 比如这里的脸高和脸宽都得按照同样的比放大，它的内部也得按照同样的比放大。还有吗？我总结一下前面几位同学的发现，竖对我们可以用 x y 表示。

同学们好，今天我们一起来探究神奇的莫比乌斯带。把纸条两条宽相对，然后把其中一边的纸条流转一百八十度，与相对的另一边相连， 用固体胶或双面胶粘起来，就制作成了一个莫比乌斯带。就是这一扭，将不同颜色的两个面连在了一起，形成了一个面。 如果在莫比乌斯带上，任选一个点，不翻越边缘，一直画下去，这条线会经过所有环面，最终又回到起点。 所以莫比乌斯带只有一个面，他也只有一条边。 将莫比乌斯带沿中线剪开，它会变成什么样？剪后还是莫比乌斯带吗？ 我们将莫比乌斯带沿中线剪开，发现他没有变成两个环，而是变成了一个更大的环。在这个环上，任选一点，不翻越边缘画线，发现有的环面没有被画上线，说明他不是莫比乌斯带。 将莫比乌斯带沿三等分线、四等分线剪开，它会变成什么样？剪后还是莫比乌斯带吗？将莫比乌斯带沿三等分线剪开，会得到一个大环，一个小环。大环不是莫比乌斯带，小环 是莫比乌斯带。将莫比乌斯带沿四等分线剪开，会得到两个大环，两个大环都不是莫比乌斯带。莫比乌斯带沿五六七等分线剪开，它会变成什么样？一起来看一看。 我们再来看一看莫比乌斯带沿五等份线剪开是什么样的。剪到这时，我们会发现已经剪出来了一个大环，还剩下一个三等份的莫比乌斯带。我们继续剪开， 剪开以后我们会发现这形成了三个环，有两个大环和一个小环。 通过验证发现这个大环他不是莫比罗斯带。 接下来验证最后一个环默认证，可以知道这一个环也不是莫比乌斯带。由此可以知道，当莫比乌斯带沿五等份线剪开时，会得到两个大环和一个小环。两个大环都不是莫比乌斯带。一个小环是莫比乌斯带。莫比乌斯带沿六等份线剪开是什么样的呢？我们一起来剪剪看。 剪到这时，我们会发现，已经剪成了一个大环，还有一个四等份的莫比乌斯带。我们接着剪开， 剪到这时会发现又形成了一个大环，还剩下一个两等份的莫比乌斯带，将它再次剪开， 又形成了一个大环。我们可以看到，当莫比乌斯带沿路的分线剪开的时候，会得到三个大环，那这三个环是不是莫比乌斯带呢？我们再来一起验证一下。通过验证会发现这个大环它不是莫比乌斯带。 验证过的环，我们可以把它剪掉，方便我们验证接下来的环，再来验证第二个环，通过验证我们可以发现第二个环也不是莫比乌斯带。 最后验证，通过验证可以看到第三个环也不是莫比乌斯带。由此可以知道，当莫比乌斯带六等份时，剪开会得到三个大环，而这三个大环都不是莫比乌斯带。当莫比乌斯带沿七等份剪开时，会是什么样子呢？ 到这时已经形成了一个大环，还剩下一个五等分的莫比尼斯带，我们再往下剪，这时又形成了一个大环，还剩下一个三等分的莫比尼斯带，再往下剪， 这时形成了一个大环和一个小环。由此我们可以发现，当莫比吴斯带沿基本分线键开始，会得到三个大环和一个小环。那我们一起来验证一下这四个环到底是不是莫比吴斯带。我们先来验证这个小环，通过验证我们可以发现这个小环是莫比吴斯带验证过的环，我们可以把它剪掉，方便我们 来验证接下来的环。 通过验证可以知道这个环也不是莫比乌斯带。由此可以知道，当莫比乌斯带年轻的分线剪开时，会得到三个大环，一个小环。三个大环都不是莫比乌斯带，这一个小环是莫比乌斯带。我们将结果记录下来，看一看你有什么发现。 莫比乌斯代沿基数等分线剪开，会得到一个莫比乌斯代。沿偶数等分线剪开，不会得到莫比乌斯代。莫比乌斯代还有很多神奇之处，期待大家的发现，再见。

同学们好，欢迎来到小学数学思维训练微课堂，我是刘老师。 今天的课我们要用双面胶、纸条和剪刀来研究问题，请大家按下暂停键，先去准备一下吧。 准备好了，该怎么研究呢？你们看，一张纸条做成一个普通的指环，它的外面有一只小蚂蚁， 里面有一小块面包蟹。小蚂蚁怎样才能吃到面包蟹呢？这还不简单， 小蚂蚁翻过指环的边缘就能吃到呀！对，这是个好办法， 我觉得小蚂蚁把指环咬个洞，脏个屑，也可以吃到面包。嗯，这个办法很奇特，小蚂蚁也能吃到面包屑， 如果不准咬坏指环，也不准翻过指环的边缘。小蚂蚁还能吃到面包蟹吗？好像不行吧， 那你们能做出一个让小蚂蚁能吃到面包蟹的指环吗？ 请大家 按下暂停键，拿出纸条，动手试一试吧！ 老师，我做出来了，你看，纸条平放，两端相对，一端旋转一百八十度，两端相接，还真的吃到了呢！ 同学们小趣将纸条一端旋转一百八十度再相接，成功做出了这个指环，你们做出来了吗？ 按下暂停键，跟着坐一坐吧！ 老师，通过将纸条一端 旋转一百八十度再相接的办法，我也做出来这个环了。而且我还把面包蟹放在指环的不同位置，用手指着小蚂蚁爬行的路线来验证， 发现无论面包蟹放在指环的哪个位置，小蚂蚁都能吃到它呀！这个指环有点神奇耶！ 这个神奇的指环为什么能让小蚂蚁吃到面包蟹呢？我们再按下暂停键，仔细观察对比一下吧。 我发现了这个神奇的指环只有一个面，怎么可能？你看一张纸条翻过来，不还是有一个面吗？怎么能说只有一个面呢？ 纸条当然有两个面，可我们说的是指环啊，你看普通话有两个面， 所以小蚂蚁不翻过指环边缘，是爬不到纸条的另一个面。而神奇环上的面包穴，无论放在纸条的哪个面，小蚂蚁都能爬到那里吃到。 所以神奇环只有一个面。我明白了，老师，这个指环真的很神奇，顺着他的思路，我还发现神奇指环只有一条 条边，因为沿神奇指环边上的一个点一路指过去，还能到达纸条的另外一条边。 而普通的指环这样做却不能达到纸条的另外一条边， 所以普通环有两条边，而神奇环只有一条边。 同学们观察的真仔细。是的，这个神奇的环只有一个面，一条边。 那你们知道这个神奇的环叫什么名字吗？ 因为它最早由德国数学家莫比乌斯在一八五八年发现，所以把这个神奇的指环命名为莫比乌斯环，也叫莫比乌斯带。 同学们，莫比乌斯带的神奇远不止此，你们还想知道吗？当然想， 如果把纸条用一条虚线分成两等份，做成莫比乌斯带，再沿两等分线剪开，你们猜会是什么样子呢？ 我猜和普通环一样，会剪成两个环。我也觉得是这样， 但我想剪开验证一下。可以啊，赶快暂停剪开指环，体验神奇去吧！ 太神奇了，竟然得到一个更大的环。 老师，如果把墨笔、污渍带连三等份剪开，会是什么样的呢？你们觉得呢？ 我认为第一次剪开是一个更大的环，所以这次剪开应该会得到一个比刚才还要大的环。我有点不确定，还是 剪开验证一下吧。好的，按下暂停键，剪开指环再探神奇去吧！ 哇，简直太不可思议了，竟然是一个大环套一个小环！ 同学们，不止如此，莫比乌斯带在生活中还有许多神奇的运用呢。比如这个莫比乌斯带 状的传动带，因为他两面都能抹到，所以能大大延长他的使用寿命。 再比如，我们挂证件的袋子，如果不做成莫比乌斯袋，证件就会侧着而做成莫比乌斯袋来挂，就可以使证件面朝前方了。 哇，莫比乌斯带真的太神奇了，好想继续研究下去。那你们想怎么研究呢？ 我想用刚才的方法，把莫比乌斯带沿着四等分线、五等分线，甚至更多的等分线剪开来，看看有什么新的发现。这些问题就留给同学们课后去思考 和探究吧！如果大家有什么新的发现，不要忘了和小伙伴们分享哦！ 这节课就上到这里，希望同学们在思维训练微课堂里开启发现与创造的新思路，再见！

蚂蚁可以在面上逍遥自在，想怎么爬就怎么爬，但是不能翻越纸条的边缘， 一旦翻越， game over， 游戏失败。大家听清楚活动要求了吗？听清楚了，咱们的桌面上就有一张这样的纸条，五角星代表蚂蚁，小红旗代表面包蟹， 赶紧用它来做一个指环，让你的蚂蚁吃到面包蟹，开始 三连接。 真神奇， 怎么能让红楼梦翻脸？ 是啊， 同学们，你们都做好了吗？做好了，把你做好的指环拿起来。 嗯，老师发现同学们一开始啊做了一个这样的指环，我们来验证一下这样的指环有没有做到首尾相连。做到了，老师也做了一个放大版的。 看一看，在这个放大版的碗面上，蚂蚁能不能吃到面包屑？不能，小姑娘，你来演示一下，让蚂蚁爬动起来，到这里上台来演示一下， 加油加油加油加油！ 为什么不爬呢？那小蚂蚁，因为它，它只能在外圈爬，但不能，不能从上面往往内圈爬行。 也就是说，这只蚂蚁不妨有边缘，就算是爬到地老天荒，还是不能吃到面包蟹，对不对？对，这样的指环还得改进。嗯， 在巡视的时候，老师发现了一件很有意思的作品，作品的主人，请上来， 你也给同学们做一个放大版的， 我做的放大版是这个样子的。 验证一下蚂蚁能不能吃到面包蟹。蚂蚁往后爬可以吃到面包蟹，也就是说，这只机灵的蚂蚁还得 往后转一个弯，吃到了面包蟹。哎，你叫什么名字？我叫杨思佳，我们就把这样的指环叫做杨思佳环，好不好玩？好玩，谢谢你给同学们带来了这么好的创意，请回！ 同学们，看着这样的指环，你们有没有话想说？ 小姑娘，你来，他并没有做到首尾相连，你真是一个遵守规则的好孩子，要是指环能做到首尾相连，那就更完美了。 还有很多同学做了一个这样的指环，举起来有请放大版的设计师闪亮登场， 你也给同学们验证一下，蚂蚁不翻越边缘能不能吃到面包蟹？ 哎呦，蚂蚁不翻越边界可以吃到面包蟹。 同学们，蚂蚁没有翻越边缘，吃到了面包屑，纸条也做到了首尾相连。祝贺你祝贺你，你成功了，你成功了！你叫什么名字？我叫杨子纯。老师很想用你的你们的名字来命名这样的指环。 不过一百六十多年前，一位数学家也发明了这样的指环，只可惜咱们出生的时间太晚了，我们一起来听听那位数学家的故事。 一百多年前，德国数学家莫比乌斯在野外散步，野外种满了玉米，一片片肥大的玉米叶子扒了下来， 他随意摘下一片弯曲的叶子，顺着叶子自然扭的方向对切成了一个圈。他又顺手捉了一只小甲虫放在圈上让它爬。小甲虫不停的爬呀爬， 莫比乌斯惊喜的发现，小甲虫没有翻越玉米叶的任何边缘，就爬遍了圈的所有部分。由此，这个圈就被命名为莫比乌斯圈，也叫莫比乌斯带。 同学们，这样的指环叫什么？莫比乌斯带？ 莫比乌斯带 怎样制作一个莫比乌斯带呢？请看小视频。首先围一个普通指环， 再将纸条一端翻转半圈和另一端接上。瞧，莫比乌斯带就做好了。 同学们，你们看明白了吗？看明白了， 怎样做一个普通环和一个莫比乌斯带？谁愿意做？小老师上台来演示一下， 小姑娘，你来先做一个普通指环，普通指环就是，嗯，我们看，我们看到这个纸条有两个面，一面是蓝色的，一面是粉色的，我们，我们可以，我们就， 我们就把这个环就像我们平常的手环一样，把它接起来，就是做好了一个普通的指环，好的，普通的指环就做好了，再做一个莫比乌斯带。 我们按照电视上说的，呃，先先为一个普通的指环，再将纸条的一端翻转半圈，再粘上 这样一个莫比乌丝带就做好了。谢谢小老师，谢谢老师。同学们的桌面上还有两根彩条，请分别做一个普通指环和一个莫比乌丝带。开始， 同学们，你们都做好了吗？做好了，把做好的指环靠近比一比 莫比乌斯带和普通指环究竟有什么不同？把你的想法和同桌互相交流一下， 他的这个蓝色的 这个雪是连接起来的，双笔双指环和蓝色指环。好了好了，谁愿意把你的想法和全班的同学进行分享。 你说莫比乌斯盖和普通指环相比，有一有一些扭曲， 同学们，你们也有这种感觉吗？有，从整体上来看，这位同学观察的很仔细，莫比乌斯带有一个扭曲的地方，大家摸一摸莫比乌斯带扭曲的部分，找到了吗？找到了，那还有什么不同呢？ 小男孩，你啊，普通指环，我可以分清它的里面和外面。 这位同学的观察很仔细，他的发言也很有代表性，谁听懂了？ 好，拿开你来说啊，这是普通的指环，他是里面和外面是分是分明了的，但是莫比乌斯带他是没有正确的内环和外环的， 谁还听懂了？你来说，他们两个刚刚说的都是。莫比乌斯带他从外圈看只能看到一种颜色。呃，不是普通指环，从外圈看只能看到一种颜色。莫比乌斯带他这边能看到两种不同的两种颜色。同学们的意思是说， 普通的环咱们能分得清外面和里面，转动起来 看到的始终是同一种颜色，是不是这种感觉？是，那莫名的带呢？ 咱们也来转动一下，看到老师这里出现的是红色，现在是红色，转动起来红色又是蓝色，红色，这是为什么呢？ 你来说，普通指环同样的颜色会接在一起，而莫比乌斯带他是两个不同的颜色面接在了一起，所以可以看见不同的颜色哦。手还手说， 小女孩，你来说，你看他这个地方是有接在一起的，说明他可以看到两种颜色。 而普通指环呢，他这个地方都是同一种颜色，接在一起，说明他只能看到一种颜色。大家都有这种感觉吗？有，莫比乌斯带两种不同的颜色的面连通在了一起。 同学们，老师给同学们带来了特殊材质的学具，它遇水就会变色。待会同学们像老师这样在普通环的环面上涂一涂，记住 不能翻越它的边缘，涂完之后再在莫比乌斯带的环面上也涂一涂，同样不能翻越它的边缘，不能翻越它的边缘。涂完之后再来找找感觉，看看你们有没有新的发现？ 同学们从抽屉里打开信封，取出墨笔、墨汁袋和普通指环，信封放回抽屉，用刷子刷一刷他们的面，开始 挤一下， 十九块九， 所有的给我都刷到了。是啊， 同学们，你们刷好了吗？刷好了， 这位同学刷的可真漂亮，老师借你刷的来做一个示范可以吗？可以，同学们，说完之后，你们有什么感觉呢？ 你来说。我发现这个普通指环，他无论怎么刷，一次性只能刷到外圈或者内圈，而莫比乌斯带。我想本来我想也是这样的， 就尝试只刷他一个圈，刷完后发现他整个面都被刷到了。小孩想说，好，后面女孩你来说 我。我涂普通指环的时候，从这一端涂起，向下涂，等我涂完之后，发现只有外面这一圈是黑色的，里面这里并没有被涂到。而我当我涂墨笔乌丝带的时候，我也是我从这里开始涂， 涂了之后，我发现我本来我们并没有跨越边界，但是却，但是却将两面都涂满了。 请坐，同学们，我们来捋一捋。大家的意思是说，普通的环刷的到外面， 刷不到里面，刷不到里面，刷不到外面。普通环有里外两个面，那莫比乌斯带呢？只有一个面。同学们，从莫比乌斯带的环面上的一个位置开始， 一字就涂完了面上的所有的部分。莫比乌斯带只有一个面， 是不是很神奇？是，怪不得我们的蚂蚁在这个环面上的任何位置都能吃到面包馅，怪不得我们的蚂蚁 能够吃到面包馅，它其实就是在同一个面上。好呀，同学们，莫比乌斯带只有一个面，是一个重大的数学发现，老师得把它记录下来。 涂面的感觉好不好玩？好玩！还想不想涂？想！看你们的眼神！还想涂！不过这一次咱们就来涂一涂莫比乌色带的边。莫比乌色带的边在哪呢？ 好，小姑娘，你来给同学们演示一下， 我们用这个大环。嗯，莫比乌斯带的边指的是他这这一条过来的边， 也就是用两条，两条边可以组成一个面哦，小姑娘请回， 他还用摸到了莫比乌斯带的边，并和莫比乌斯带的面进行了对比，大家对边的认识是不是更加清晰了？是，请同学们从抽屉里摸出另一个莫比乌斯带，摸一摸他的边，感受一下莫比乌斯带曲线之美。 都找到了吗？找到了，那现在请同学们用刷子刷一刷莫比乌色带的边，刷完之后相信你们一定会有新的发现。 什么鬼？ 嗯？我又刷回去了。 啊啊， 书说完了吗？说完了，把你的感受和同学说一说 好了，谁愿意把你的想法和全班的同学进行分享？ 小姑娘，你来。我首先是结合上一条信息，只有一个面， 一个面，他是有两条边的，而我去刷莫比乌斯带的时候，我只刷，我只刷一条边的时候，我刷着刷着不知道为什么把两条边都给刷了。嗯，谁还想说， 你来？我也是，我本来想刷一条边的时候，发现把两条边刷了，所以我认为莫比乌斯带的边和面一样都只有一个。谁还想说 你来？我觉得就是我一开始刷的时候，从一个这个街头一条片一条边的时候开始刷，但是 我本来以为他只能刷的到一条边，但是呃，结果刷着刷着结束了之后，我并没有做任何其他的事，或者是呃跨越到另外一条边去刷。我发现两条边都被刷完了。同学们的意思是说，从边上的一点出发， 不翻越边缘，一次就烧完了边上的所有部分。这说明莫比乌斯带只有几条边，一条边。又是一个重大的数学发现，也得记录下来， 莫比乌斯带的这一条边在三 d 特效中会是怎样的？我们一起来看看。 转动起来。哇，你看到了几条边？一条，那普通环呢？两条 莫比乌斯带只有一个面，只有一条边，真的是太神奇了！ 同学们，一张这样的纸条，翻转半圈， 将红色的面和蓝色的面合二为一，变成了只有一个面，并且只有一条边。莫比乌斯带不同于普通的平面图形，也不同于立体图形， 他的出现惊天动地，轰动了整个数学界，因为他给数学王国带来了一位新的朋友， 那就是神奇的莫比乌斯带。人们也是出于对伟大数学家的纪念，才把这个神奇的指环叫做莫比乌斯带。现在同学们会不会区分普通指环和莫比乌斯带的呢？ 会的，请看屏幕。哪一个是普通指环，哪一个是莫比乌斯带呢？ 小男孩，你来！我觉得左边的是莫比乌斯带，右边的是普通的指环。你的结论可靠吗？不可，不可靠，为什么不可靠呢？ 好，小姑娘，你来，因为我们只能看到这两条，这两个圈的一部分。谁还想说？ 好，你来，因为我们只能看到这两个圈的一部分，不能看到圈的全貌，请坐！同学们的意思是说，把普通的指环和莫比乌色带 如果只看其中的一部分一样的，并没有多大的差距。同学们，当我们观察局部不能解决问题的时候，怎么办呀？我们看整体，那得放眼整体看， 左边是木比木斯带，右边是普通指南。木比木斯带的神奇还有很多，想不想继续探究？想。请看屏幕， 看得懂游戏规则吗？看得懂，谁看明白了？好，小姑娘，你来，我们要用剪刀沿着虚线把环剪开。请坐，你的想法很正确，谁还看懂了游戏规则？ 你，我们就是要沿着这环上面的这个虚线，用剪刀把这个这两个环剪开， 剪开之后再来比一比。同学们，猜一猜普通指环剪开之后会是什么样子的？两个，你来两个比较窄的指环，谁还想猜你 两个更小的指环？好了，你，我认为会变成两个套在一起的普通指环。好了，那莫比乌斯带呢？嗯，你说也许会变成一个更大的莫比乌斯带。 小男孩，你说也许莫米乌丝带，他可能还是一个还是一个莫米乌丝带？好，小姑娘，你说有可能会变成一个更大的指环。好了好了，咱们赶紧用剪刀剪一剪，验证我们的猜想，看看你们有没有新的发现。 同学们，如果在裁剪的时候遇到了困难，可以看一看屏幕的提示， 打开。 嗯， brown。 哎， 同学们，你们都剪完了吗？剪完了。好的，谁来想说你剪开之后和开始的猜想一样吗？ 小姑娘，你说，呃，一样，就是普通指环剪出来之后就是两个比较窄的指环，然后莫比乌丝带剪完之后就是一个更大的一个莫比乌丝带，请坐。你说 跟我的猜想不一样，我以为莫比乌丝环剪完之后，还有会变成两个莫比乌丝带，然然后呢？他，但他却变成一个更大的莫比乌丝带，而而而普通的圆环。我觉得还是跟我的猜想一样的。同学们， 普通指环剪开以后，果真是两个普通的指环。莫比乌丝带剪开之后变成一个更大的更大的纽带。 这个纽带是握笔握尺带吗？不是，是吧，我听到了不一样的声音。怎么验证呢？可以拿，你说，我们可以拿笔试着画一画看。呃，一次性画完不翻越边界能不能画到两个面？ 大家听清楚了吗？听清楚了木比乌斯带只有几个面，一个面。咱们就用这位同学的方法，在环面上涂一涂，看看一次能不能画完所有的面。开始 记住，不能翻越纸条的边缘。 画完了吗？画完了，画完了就有什么发现？对啊，好，后面的小姑娘，她不是我的口袋，为什么呢？因为她没有画到 反面，也就是说，你们只涂了其中的一个面，这个更大的钮环肯定不止一个面，所以他不是莫比乌丝带。同学们，也并不是所有的纽带都是莫比乌丝带。 如果给大家更多的莫比乌丝带，你们还想怎么玩？小男孩，我想把它剪成三等分。嗯？ 男孩，你说我想把它剪成三四的分。好的，欢迎同学们课后就用自己设计的规则继续探索。其实呀，还可以把两个莫比乌斯带组合起来剪一剪，那一定很有意思，请欣赏小视频。 那在场的各位同学，如果将它们都剪开，一分为二，会出现什么样的现象呢？长方形，圆形？平行 平行、四边形，想象力非常的丰富啊，我们来看一看最终的结果会是什么样子？好的好的好的，哇哇哇哇， 变成了两个嵌套在一起的桃心，是不是非常非常的神奇啊？真的很神奇！同学们，莫比乌斯带的神奇可不仅仅是好玩。瞧，心心，咿呀，像什么？女孩，你说我觉得像三角形，嗯，这是你的想法好。 后面一个男孩，你说我觉得像三角形，嗯，这是你的想法好。后面一个男孩，你说我觉得像一个可回收标志。 通过今天对莫比乌斯带的学习，你们对这个可回收标志是不是有了新的理解呢？ 好男孩，你说可回收标志就像莫比乌斯带一样，可以一直在那绕来绕去的， 可以循环使用，也就是说垃圾分类，循环使用，那我们就一起来做环保小卫士好不好？好！莫比乌斯带也激发了设计师的灵感，瞧， 这样的建筑哇，带给人们不一样的视觉冲击，也带来了美的享受。莫比乌斯带用于传动装置，材料的每一个部分都可以利用，那普通传送带呢？ 只能利用其中的一个面布比乌斯带的结构，延长了传统带的寿命。同学们，这节课好玩吗？好玩，在玩中你又学到了什么呢？ 你来说，一张两个面两条边的指环可以可以变成只有一个面，只有一条边的莫比乌斯带。请坐一张两个面 几条边的纸纸条啊，两条四条，居然变成了神奇的莫比乌斯带，还有什么想说的呢？好男孩，你说我知道了所所有的， 就是不是所有的绕着的指环都是莫比乌斯带。对啊，我们在学习的道路上可以发出猜想，但验证也。

在野外散步，野外种满了玉米，一片片肥大的玉米叶子扒拉下来，他随意摘下一片弯曲的叶子，顺着叶子自然扭的方向对接成了一个圈。 他又顺手捉了一只小甲虫放在圈上让它爬，小甲虫不停的爬呀爬，莫比乌斯惊喜的发现，小甲虫没有翻越玉米叶的任何边缘，就爬遍了圈的所有部分， 由此这个圆圈就被命名为莫比乌斯环，也叫莫比乌斯带。 好，同学们，看完这个视频，现在你了解什么叫做莫比乌斯圈了吗？知道了什么叫做莫比乌斯带呢？ 来，你来说，我知道了莫比乌斯带，他是为了纪念一位数学家名字叫莫比乌斯，所以才叫这个名字。嗯，就是以这个莫比乌斯这个数学家来命名的，是不是？那请坐，那这个给一个我们什么启示啊？ 我们平时要你来说，平时要多留意生活中的每一件事，对，说不定我们同学在以后的生活中发现了其他重大的发现，也会以你的名字来命名哦。现在大家 清楚了莫比乌斯带的由来了，那现在是不是大家都很想动手来制作一个呢？是，那如何制作呢？先请听活动要求， 一会同学们先打开数学书，翻到五十四页，先自学制作莫比乌丝带的要求，在自学的过程当中呢，请大家找出在制作过程当中要注意些什么。现在大家先开始自学， 请大家标记出在制作过程当中要注意些什么。 同学们，都自学完了没有 啊？那我想请问一下同学们，谁来跟大家分享一下你自学过程当中发现要注意些什么呢？在制作过程当中， 那个女孩子，在我，我在数学书，数学书里自学中发现在制作的时候，一个长方形的纸条的两端的其中一端旋转一百八十度，跟另一端呃，连接上，但是这两 但是其中一端旋转的时候只能旋转一圈，如果旋转两圈，他就不是莫比乌斯环了，大家听懂了吗？听懂了。好，那我相信大家的自学能力和他的自学能力一样很强，动手能力肯定也很棒。现在大家先自己尝试来 制作一个莫比乌斯圈和一个普通圈，听明白要求了吗？好，现在开始。 好。我发现有些同学在制作墨比乌斯环的时候呢，遇到了一些困难，你可以请教一下你小组内的成员。 好，已经做好的同学，把你的两个环举起来。哇，看来也有一部分同学，大部分同学自学能力都很强，还有一部分同学做 的是有一点错误的，是不是？我想请同学来分享一下，你是如何制作的？来，你来上来给大家演示一下。 把一张长方形纸条，把它给拼接成一个我们所熟悉的圆环，然后一个角不动，另外一个角旋转一百八十度，怎么旋转？给大家演示一下，这样 一百八十度，对，然后再把它们给拼接在一起，就可以变成一个莫比乌斯，带掌声送给他。 你看，其实做起来一点都不难对不对？只要其中一边不动，另外一边翻转半圈一百八十度粘在一起就可以了。没有做好的同学，修正一下你的答案，修正一下你的莫比乌斯环。 好，修正。好的同学，拿着你的两个环，仔细观察一下，这两个环有什么区别呢？你有没有思考过一个问题，为什么小蚂蚁在普通环上 吃不到面包蟹，而在莫比乌斯环上，它也不用翻越边界就能轻松地吃到面包蟹呢？ 好啦，请同学们先把自己手上的环放下，我们一起来看看 小蚂蚁在这样的普通环上，我们先来看看它怎么走？怎么走，就算走到地老天荒，它也是怎么样？吃得到吗？吃到。为什么呢？ 你来说。因为它这个圆环是有两个面，一个是外面，一个是那面，而小蚂蚁在外面和那个 面包蟹在那面，所以呢，小蚂蚁是吃不到在外面的，小蚂蚁是吃不到那面的面包蟹，对不对？对，说明这个普通环它的特点是有几个面，两个面有没有连通在一起？没有哎，首先我们知道普通环 它的一个特点是，它只有两个面，它有两个面，那它还有别的特点吗？ 你来，它有两条边，哪两条边？一个是上边，一个是下边，一个上边，一个下边，对不对？对，非常好，它也有两条边的特点，这个是我们非常熟悉的了。 那同学们，请你大胆的猜想一下，莫比乌斯环它又会有什么样的特点呢？为什么小蚂蚁可以轻松的吃到呢？ 你来猜，可能它只有一个面这样子，那个，呃，小蚂蚁才能吃到面包蟹。你的猜想非常大胆，谁猜？还要来猜猜，你来猜猜。但我感觉它是有两个面，你看起来感觉还是两个面，对吧？因为它这里有两种颜色。那到底是几个面呢？ 口说无凭，我们还要怎么样实验实验一下。那有什么好办法吗？怎么才能实验？你说用一只笔来围绕这个莫比乌斯环画一圈，看看能不能画到原点，听懂了吗？听懂了，他的意思是说在 莫比乌斯环上从一个点出发，如果能把全部画完的话，他就认为是一个面。好了，我们来看清楚活动要求，一会在你的莫比乌斯环上任选一点 a， 从这个点开始出发，去涂色， 一直涂到涂回这个 a 点，你看看能不能把它全部涂完，听明白了吗？看看你会有什么样的发现？现在开始 涂完的同学和你小组的成员交流一下，说说你有什么样的发现？ 为什么要回到我前面？ 好，时间到，谁来说说你的你的发现。 这个同学，你来上来跟大家展示一下。 在这个默比乌斯环里面，从从我们画了点 a 开始，从这里一直画， 画回了点 a， 并且所有的圆环都画上了颜色，说明它只有一个面，对不对？对，你也是有这种发现吗？是啊，掌声送给这位同学。 那通过这个实验，我们可以证明莫比乌斯环就只有一个面，一个面，难怪小蚂蚁可以在上面轻松地吃到面包屑，它一直都是在这一个面上来回的走。 那同学们，刚刚我们通过大胆的猜想，又通过 实践验证，得出了这样一个非常重要的结论。那除了面有这样的特点以外，那边又会有什么样的特点呢？ 你能不能先猜想一下，你觉得他会是什么样呢？你来，我猜他有一条边哦。你的猜想非常的大胆，你认为我猜他有两条边，因为我们 可以发现这里有上面和下面哦，你觉得他还应该是有两条边哦，你们有不同的意见，那这次我们又要怎么样实践啊？要猜想，还要验证验证才能够知道谁对谁错对不对。那么如何验证？ 我们再用笔吧，你来，我们再用笔在这个墨笔无色环的边一直画，如果画回点点，并且其他其他其他地方 其他边都涂上颜色，那就说明这个墨笔无丝环只有一条边。听清楚了吗？听清楚了，跟老师想的也是一样的，因为相信刚刚有刚刚的活动经验，大家对这样的验证一定不难。现在大家开始动笔试一下。 好，验证完的同学跟你小组内的成员交流一下，看看你有什么样的发现。你们的发现都是一样的吗？ 好，时间到。 那谁愿来分享一下你验证的结果。 那个女生来，上来， 我们先在上面标注好起点，他标注起点的这一边他是不变的另一边旋转一百八十度，他旋转的那一边就是他的底面和另一边不变的那个上面重叠在一起，然后这样子一直画 慢一点，然后到了终点，我发现他们两个是重叠在一起的啊，就是你从起点开始画，然后画完以后又回到了起点，又回到了起点的意思是不是那所有的边有没有都涂上颜色？ 有，你们的也是吗？是掌声送给他。 那通过这样的验证，你就发现莫比乌斯环应该就只有一条边，一条边。那我们再一次通过猜想和验证得到了莫比乌斯环只有一条边的神奇的结论。那么为了让大家更清楚， 老师呢，还想用教具给大家展示一下它一条编的神奇，请一位小助手上来帮帮我，你来， 好，我们现在从这里开始来展示给大家看一看。举高，现在它一直撕下来，你来撕， 全部边都撕完了，你发现它只有几条边，一条举起给大家看一看，一条边，是不是很神奇？是，是不是现在更加直观的认识到了它一条边的特点？ 当然老师为了让大家更理解，还制作了一个三 d 动画效果， 大家请看 几条边一条边，是不是觉得非常的神奇？是同学们，我们通过我们的实践验证得到了莫比乌斯环 一个面一条边的特点。那到这个地方同学们有没有觉得有什么疑惑呢？他为什么就是一条？ 来，谁来？你们也有这样的疑惑吗？来，你来，他为什么只有一个面和一条边呢？而这个普通的圆环，他是有两个面两两条边。你 对了，老师也有这种疑惑，都是同一张纸做出来的，为什么莫比乌丝环就变成了一个面一条边呢？谁能帮他解答这个疑惑？你来，因为普通指环它是来上来给大家介绍一下， 因为这个莫比乌丝环我们可以看到它的接口，它是将两个指环的两个面，嗯，它是这里更加清楚，它是 扭了一下再粘合在一起的，这样我们就可以直观的看出来，他的里面和他的外面是粘在一起，而他这一面呢，他的外面又和他的里面粘合在了一起，两个面都粘合在了一起，所以我们可以看出他是有一个面的， 也就是将两个面，正面和背面和对和二为一了，就变成了一个面。那边呢？ 边。我们知道普通的圆环他有两个边，上边和下边，而这个莫比乌斯环，他这个上边 跟这个下边粘合在了一起，他这个下边又和这个上边又粘合在了一起，所以我们知道他的两条边也合二合二为一了，所以莫比乌斯环只有一条边。听懂了吗？听懂了，有没有解决你的疑惑？解决了，掌声送给他。 哇，同学们真的很棒！刚刚我们认识了莫比乌斯环的特点，觉得它非常的神奇，但它的神奇之处还不免指这些哦。同学们，假如老师拿着剪刀 将一个普通的圆环从中间沿着二等分线剪开，你猜想一下它会变成什么样？ 你来说，我认为它应该是变成两个圆环，同不同意呢？同意，我们见证一下两个圆环 对不对？对，好，那假如现在老师将莫比乌斯环也沿着中间二等分线剪开，你想象一下会有什么样的结果？ 猜想一下，你来猜猜，两个指环扣在一起，两个指环扣在一起， 扣在一起，这样是吧？你的猜想很大胆哦，你来，我感觉是一个更大的莫比乌斯带。更大的莫比乌斯带 哦，会变大，你的猜想是什么？我觉得会变成两个指环。变成两个指环，那到底是什么样的呢？你想不想动手试一试？想，那一会请同学们先看今日活动，要求 请你沿着莫比乌斯环中间二等分线剪开，剪开以后呢，看看它是什么样的，再跟你小组的成员探讨一下。好，现在开始 做完了，同学可以跟你小组的成员讨论一下你的结果是什么样的？跟你猜想一样吗？ 是一个好，时间到， 我看大家都已经完成了，谁来分享一下你验证的结果？你来，我发来先，你上来。 我发现它剪出来之后会变成一个更大的环，是不是？你剪出来是不是变得更大？是哇，真的很神奇，我跟我们想象当中跟你想象当中一样吗？ 一样的，跟你想象当中一样。跟你们想象一样吗？不一样啊，跟有些同学想象当中不一样。那你还有什么疑问吗？我是我就是有点有点疑问，就是这个圆环它到底是不是一个莫比尤斯环，莫比无斯环呢？那到底是不是呢？怎么验证？ 继续描一下笔可不可以？可以。哎，你刚刚学得很好，你知道了，莫比乌斯环就只有一个面，一条边，所以我们通过这种方法来验证就可以，对不对？那现在动笔尝试一下， 搞错了，没事，再剪一下它就可以了。 ok， 好，验证。好的同学可以跟你小组的同学交流一下你验证的结果。 好，时间到，大家都验证好了，对不对？那说说你验证的结果是什么？ 你来说我们一样的，跟验证那个莫比乌斯环一样，取个点 b， 然后呢？一直沿着这个画一直画？ 画它的面是不是？是画完以后你发现什么？它虽然回到了起点，但是它背有背面是没有画到的，有一面是画不到的，证明它 不是。哦，竟然不是，那同学们，是不是所有扭曲的环都是莫比乌斯环呢？不是哦，那里面还有什么样的奥秘？那你就下课继续去探讨好不好？好，看来它真的非常神奇，刚刚同学们通过再一次的猜想和验证， 得到了沿二等分线剪开， 会得到一个更大的环，而这个环又不是莫比斯环。那你再想象一下，如果现在我们沿着三等分线剪开， 沿着三等分线剪开三等分，想象一下，你觉得它会是什么样的？ 你来猜猜。我觉得它沿三等分线剪开，它应该是两个大环，因为二等分线剪开，它是一个大环，三等分线就应该是两个大，两个大环。还有没有别的猜想？ 你来，我觉得他可能也是一个更大的，一个环变得更大了，是不是？你来猜，我觉得他是一个大环带着一个小环，大环带小环，什么样的猜想都有。你们的猜想非常大胆，但是 口说无凭，实践才能出真知，对不对？那么下一个活动，我们就一起来剪一剪。等一下，请同学们沿三等分线、四等分线、五等分线 把它剪开。但是在剪开之前，请小组内先进行交流，先猜一猜，先说说自己的猜想，并把猜想填在我们的学习单上。 接着由组长分工，两人合作，分别沿着三等分线、四等分线和五等分线将末尾五四环剪开。听明白要求了吗？听明白了，现在开始。 好吧， 你这个还可以再剪，因为这还不是还有线吗？哎，这个不是，是吧， 你们都剪完了，我没得剪，你没得剪几个颜色？三个颜色都有一个人记录啊， 你们先想想怎么说，想想怎么说啊，说一说，等下怎么汇报一下，按按压 好。剪完的同学在小组内进行交流。 老师，我们剪出来是一个蛋黄带一个小黄，嗯，两个蛋黄。 好，时间到，哪个小组来汇报一下，我们先来说说沿三等分线剪开的情况， 哪个小组愿意分享一下。你们来，你们来， 大家请听我们说，我们是第四小组的，我们负责验证三等分线圈， 我的猜想是一个大圈，然后剪出来的分别是一个大圈和一个小圈，小圈是一个莫比乌丝带。呃，他与我的猜想不一致，掌声送给他们。 你们剪出来的按三等分剪出来的是一个是一个什么样的？一个大环和一个小环，而且你也还验证了这个小环是一个茉莉丝哦，你还验证了它是不是？那是大环呢？ 大环还没还没有去验证啊，但是我们知道是一个大和一个小，跟我们想象当中真的是不一样，是不是？是的，好，谢谢你们。那我们通过再一次的推理和验证得到了沿三等分线剪开的环数是 大环，一个大环扣着一个小环。哇，真的好神奇哦。那按四等分线剪开的小组，你们来给我们介绍一下。 我们是来自第四小组的，我们负责验证的是四等分的线圈，我们得出的结果是 是两个大环扣在一起，我们的猜想是一个大环扣一个小环，这和我们的猜想并不一致，而且我们还得出结论，这个大环呢，并不是一个莫比乌斯环。哇，你们探索的非常的深入，掌声送给他们 同学们，看仔细了哦，沿四等分线剪开是两个什么样的环？大环，两个大环，谢谢你们沿四等分线剪开 是两个大大环，那沿五等分线剪开的小组你们来。 好，我们是第五小组的，负责五呃，五等根线的圆环，而我们剪开后发现它是两个大环和一个小环，而我们的猜想是两个大环和零个小环，它与我们的猜想不一致。嗯，掌声送给他们， 来让大家看清楚一些。沿五等分线剪开的是，他们说是两个大环啊，两个大环在这里和一个小环，跟你猜想的一样吗？ 不一样。嗯，跟你们猜想都不一样啊，有些同学竟然可以猜想得到。 好啦，同学们，刚刚我们做了这么多的实验，那如果现在我们不减，你能猜出沿六等分线减开会是什么样的情况吗？对比一下， 你猜猜看。那个女孩子，我觉得会是三个大环，你觉得是三个大环，其他同学同意吗？同意，确实是三个大环。那你是怎么知道的呢？ 因为在这一列，二、二等分、四等分、六等分，他们都是一个大环，两个大环，三个大环这样子的，这些都是 沿双数的剪开的，对不对？所以都是非常有规律的，一个大环，两个大环，接着就是三个大环，这就是你的推理，非常好，为你的推理能力点赞。那如果是沿着 七等分线剪开，又会是什么样的呢？你想象一下，你可以对比一下， 你来说说。我猜是三个大环和一个小环，三个大环，一个小环，有没有不同意见？没有，大家都是这样认为的，你们是怎么知道的呢？ 你是怎么知道的？你接继续说。上面三和五都是都是，分别是那个 等分数减一，然后除以二等分数减一，再除以二算数是大环，然后会剩下一个余数就是小环的数量，然后七减一，等于六，六除以二等于三，也就是三个大环，三个大环除以一，一个小环，掌声送给他，哇，你说的非常的好， 你的推理能力非常的强，那么老师再给你们出一个难一点的，你看看你能不能想象得出，如果是沿二十等分， 二十等分线剪开的时候，他又会什么样呢？ 这个女孩子，我觉得他应该是十个大环，十个大环，你是怎么知道的呢？因为看前面那个二四六他们，然后一直到二十，他们都是双数， 然后呢，再看它的大函数，二二等分是一个，四等分是两个，六等分是三个，我们就知道它那个环数就是等分数除以二，所以等分数是二十，那么除以二就有十个大环，对不对？ 对，非常好，你的推理推理能力也非常强，那如果沿二十一等分呢？二十一等分线剪开会是什么样呢？ 你来猜猜。我认为它是十个大环和一个小环，十个大环，一个小环，你是怎么知道这样的结果的？呃，因为用等分数除以二得到的那个数就是它的大环数，嗯，余数就是它的小环数，二十除以二，那就是十个大环，余数就是一，还有 一个小环，掌声送给他。同学们，你们，你们真的是太棒了，通过自己的推理得到了 这些结果，那如果老师再给你出一个更难一点的，如果将指环沿二 n 等分剪开， 谁来猜猜？你来，我认为是 n 大 零小， n 大 零小，你是怎么知道的呢？因为前面二四六，也就是等分数除以二，就知道还数二， n 除以二等于 n， 所以 是 n 大 零小，对不对？对，掌声送给他。 那如果是二 n 加一等分的时候呢？ 你来，我觉得是 n 个大的一个小的， n 个大的一个小的，你是怎么知道？因为前面的是。呃，三，如果是三等分的话，那就三减一，除以 二，然后就是一个大的，然后减去那个一，就是一个小的，如果它是基数的话，就那样子，然后二 n 加一也一样，就是二先减去一，那就有一个小的，用二 n 除以二就 n 个大的。 n 个大的，有没有小的呢？有一个小的，有一个小的，同不同意？同意。哇，你们真是太棒了。那也就是说 如果沿偶数分数剪开的话，它减出来的都是二大学，那如果沿奇数，也就是你们所说的单数的情况下剪开来的呢？就有一个小圆。嗯，有 也，其中会有一个小拳。那我们班同学更厉害的一点呢，就是还得出了他的大环和小环的个数。为你们的推理能力和推理精神点赞。 那么同学们通过自己的一步一步的猜想，实践的验。

这样的传送带，本来呀，他是以里以外两个面在磨损的时候肯定是一直在磨损，里面做成莫比乌斯带的形状呢，就可以外面和里面交替磨损，这样就起到了延长寿命的作用。还有 我们办公室里有时常见的打印机的丝带这个样子，它呢做成了莫比乌丝带的，希望可以正反两面同时琢磨，又提高了工作效率，同时也延长了使用寿命。 莫比乌丝带这么有趣，这么好玩，那么它还有更神奇的地方，想不想电视呀？想，同学们，拿出你的！ 我们首先把袜子带做成莫比乌丝带的形状，还记得怎么做吗？记得先展开再弯曲，然后把其中一端翻转一百八十度对接做成的。请举高，让老师看到 举高好，都做好了，朋友们，放下，好看，你们手中的这个螺纹丝圈上面的有一条中线，也就是把这个纸圈平均分成了两部分，二分之一线， 大家看，呃，如果我们拿着剪刀沿着这条纸带的二分之一线去剪，呃，一只一只的剪下去，剪一圈，你们猜一猜到最后会变成什么样子？请举手！ 孙志硕同学，可能会变成两条纸带，可能会变成两条纸带，这是孙志硕同学的猜想。 两条纸？好，请坐！这还有别的想法，什么呀？我可能会变成两个小轩，哦，好，请坐！ 也可能是两个圈，那最后减出来究竟是什么样子？我们需要怎么办呢？验证，对，我们得验证一下究竟谁想的对，让事实说话。那么我们要怎样验证啊？减肥，拿锤接着减！ 同学们，剪出来是两条纸，不是不是，是两个圈，不是，不是。剪成什么样了？一个大的，咱们看看田华同学在展台上剪的是什么样子，咱们看看。哎，展开看看你最后剪成的样子。大家看，他剪的也是一个大圈，怎么会这样呢？好几回， 大家看老师手中也有一个纸圈，这个纸圈有几个面呀？两个面，现在我也去剪开它， 我沿着中线，我也去剪，我一直剪，大家看看， 哎，我剪的就是一个圈，你们剪的就是一个大圈，那是为什么呀？咱们到房间里剪，我也把最后一道剪完啊，哎，真的是一个大圈，哥，我刚才剪出来的就是两个圈，这是为什么呀？ 哦，其实这还是跟莫比乌斯带的特点有关，我们剪出的普通的圈，它有两个面，那沿着二分之一线剪开，它自然就一分为二了。而莫比乌斯带它只有一个面，所以你能把它一分为二吗？不能，所以我们看一下，既剪过了白色的 那侧面，是不是又剪过了红色的外侧？那其实就相当于剪过了几个直角的长度啊？两个，因此这个大的直角就是原来两倍长的圈，对不对？对，这个剪好的两倍长的圈是不是一个蜗牛的圈呢？ 哦，或者说是不是都默笔不在呢？认为是的就举手，认为不是的就举手。那究竟是还是不是，咱都光看行不行？不行，那得怎么办？验证，拿出你的彩笔画画线验证一下，看看能不能一次性的 划过每个地方一条两米长的纸带，它是不是一个墨笔丝圈啊？不是哎，真是太有意思了，验证完了吗？验证完了，验证完了，请坐定，我们刚才沿着墨笔丝带二分之一的虚线去剪开，原本以为可能要剪出来两条纸， 两个圈，结果我们剪出来了一个两倍长的纸圈，而且这个两倍长的纸圈还不是墨笔乌丝带，有意思不？有意思，有意思。对，真有意思，太好玩了。其实呀，墨笔乌丝带还有更好玩的，想不想玩呀？想。同学们，拿出三号纸带，先把它做成一个墨笔乌丝带 啊。同同学们的动作已经越来越熟练了，做好举高，拿好纸袋。 同学们，看你手中的这个纸袋，我们是现在已经把这个纸袋的面呢平均分成了三份。那同学们，如果我们这一次沿着这个三分之一的虚线剪下去，哎。

亲爱的同学们，大家好，我是江老师，很高兴又和大家见面了。今天这节课我们将一起研究神奇的莫比乌斯环， 请同学们做好如下的课前准备，五条长五十厘米、宽五厘米的长方形纸条，安全剪刀，双面胶，还有水彩笔。 准备好了吗？准备好了，就让我们开启今天愉快的学习之旅吧！ 同学们，关于莫比乌斯环，你能提出哪些想要研究的问题呢？ 什么叫莫比乌斯环？是一个叫莫比乌斯的人发现的吗？莫比乌斯环神奇在哪里？ 莫比乌斯环有什么应用吗？同学们提出了这么多问题，那今天咱们就先来做一个初步的研究。我们先来看第一个问题，什么是莫比乌斯环呢？ 我知道，在数学阅读中我看见过，应该就是这样的一个指环。 你说对了，这的确就是莫比乌斯环。下面就请同学们拿出一张长方形纸条，和姜老师一起做一个莫比乌斯环吧。 同学们请认真看，将这张纸条这样一围，就变成了我们的普通指环。 这个普通指环你见过吗？对，它就是我们圆柱的侧面，是一个曲面， 现在只需要对这个指环做一个小小的改动，就能变成一个神奇的莫比乌斯环，你知道怎么做吗？ 我知道，将纸条的另一端旋转一百八十度，再粘起来就可以了，你听明白了吗？将纸条的一端 扭转一百八十度，再粘贴起来，就变成了一个神奇的莫比乌斯环。再来看， 你也可以向另外一个方向扭转一百八十度，再像这样粘贴起来，它就变成了一个神奇的莫比乌斯环，你会做了吗？ 这个莫比乌斯环的确就是由德国的数学家莫比乌斯发现的， 同学们一定会很好奇，就这样一个小小的指环，也值得用一位数学家的名字来命名吗？它真的有那么神奇吗？ 别着急，我们接着继续研究莫比乌斯环到底神奇在哪里呢？ 同学们，面对莫比乌斯环这样一个神奇的几何图形，我们应该怎样进行研究呢？ 想一想我们学过的几何图形有平面图形、长方形、正方形，还有立体图形、长方体、正方体等等。想一想我们可以从哪些方面进行研究？ 我们可以看看它有几个顶点，几条边、几个面。既然它是由这个普通指环一端扭转一百八十度变过来的，我们还可以和普通指环对比着去研究，更容易让我们发现它的特征 哦。看来研究几何图形，我们不仅可以从点、线、面这三个维度出发，我们还可以将它和普通的指环进行对比着研究，这样更清楚的可以看到莫比乌斯环的特征。 那下面就请同学们来观察这两个指环，你能先猜猜它们分别有几个顶点，几条边，几个面吗？ 这两个图形都没有顶点，只有面和边。莫比乌斯环不过是由普通指环扭了一下形成的，不还是里面一个面，外面一条边，下面一条边吗？ 好像不是这样的，我同意他没有顶点，但是我之前看过一篇讲莫比乌斯大的数学阅读，莫比乌斯环的特殊之处就在于他有一个面和一条边。 咦，同学们，这都是由相同的长方形纸条围成的两个指环， 怎么差异这么大呢？这莫比乌斯环看上去好像也是有内外两个面，上下两条边，怎么就能证明它只有一个面一条边呢？你有什么好的办法吗？ 可以用一支笔去画一圈，看看能不能一下画完，最后回到原点，是否所有面都被画上了。 也可以用一支笔沿着边再描一圈，笔尖不能离开纸面。最后看看是否所有边都被描上了颜色。 你们的方法真好，那下面咱们就按照这样的方法来操作看一看吧。请你先再看一看。要求 同学们，我们可以在指环上任选一点 a， 从这点开始涂色，如果笔足够宽的话，是能够涂满整个指环的。涂的过程中还要注意，不能像这样跨过边缘去涂色。 我们也可以在指环的边缘任选一点 b， 将笔这样平躺着放下来，沿着边缘一直画下去。看看你又发现了什么？ 你听明白要求了吗？请千万千万要注意，图和描的过程中可不能翻过边缘哟！ 涂完了，描完了，你又有什么发现？普通指环我任选一个点 a， 从这个点出发，一直这样涂下去， 大家看，最后只是指环的里面涂到了颜色外面并没有被涂上颜色。 莫比乌斯环，我任选一个点 a， 从这个点出发，一直这样涂下去， 我发现整个指环的面全部被涂上了颜色，好神奇！ 是啊，普通指环我在面上任选一点 a， 不 能翻过边缘，怎么也不能由内侧涂到外侧去。所以普通指环有两个面， 但是莫比乌斯环我在它的面上任选一点 a， 一 直涂色，不翻过边缘，却整个面都能被涂上颜色，这也证明了 莫比乌斯环只有一个面，像这样的面，在数学上我们称它为单侧区面，还有什么发现吗？我们接着看，从这个点出发，沿着边缘一直涂下去， 最后只是画出了上面这条边，下面还有一条这样的边，没有画上 莫比乌斯环，我任选一个点。 b， 从这个点出发，沿着边缘一直涂下去， 竟然所有边都画出来了。 是啊，同学们，普通指环我们任选一个点开始描，发现只有一条边能被描出颜色，下边另外一条并没有被描出来，这证明它有两条边。 而莫比乌斯环，我们任选一点。 b， 然后一直开始描，最后却发现所有的边都能被描了出来，这也说明莫比乌斯环只有一条边儿。 好了，同学们，通过我们刚才的探究，我们发现了普通指环有两个面，两条边，但是莫比乌斯环只有一个面一条边， 但这仅仅才是我们研究的开始，接下来我们还要继续探究他还有什么样的特征。现在姜老师想要给你一把剪刀，让你给这两个指环做手术，你准备怎样剪开？ 这样剪开吗？这样剪开又还原成一个长方形纸条了，这可没什么好研究的， 那你再想一想，除了可以沿着这个方向剪开，如果我换一个方向剪开，说不定有意外的发现呦！同学们，现在你又产生了新的想法吗？ 我想沿着普通指环和莫比乌斯环的中间一直剪一圈， 这个想法听着不错，那我们就来剪一剪，看一看吧。请同学们分别在指环中间画一条虚线，然后再剪开，剪开后说一说你有哪些发现。 不过同学们，咱们先不着急剪开，剪之前咱们先在脑海中想象一下，这两个指环剪完后会变成什么样子呢？ 普通指环可能就会变成两个窄一点的普通指环，这没有什么可说的，但是莫比乌斯环剪开后会变成什么样子呢？你能大胆的猜测一下吗？ 普通指环剪完了会变成两个普通指环，因此我猜想莫比乌斯环剪开后会变成两个莫比乌斯环，而且两个莫比乌斯环是套在一起的， 我猜它们剪完后都会变成两个分开的普通指环，它变大了，它的长度是原来指环长度的两倍。 同学们有了这么多的猜想，那到底对不对呢？接下来就让我们验证一下吧。这是一个普通指环，我沿着中间这条线剪开， 大家看，果然是变成了两个窄一点的普通指环，这是莫比乌斯环，我也沿着中间这条线剪开， 大家看竟然没有分成两个指环，而是变成了一个窄一点的更大的指环。 同学们看来，将普通指环剪开，变成两个普通指环，这和我们的猜想一样。 但是将莫比乌斯环沿着中间这条线剪开后，却变成了一个更大的指环，这可还真有点出乎我们的意料。 那剪开后这个更大的指环还是莫比乌斯环吗？你能用我们刚才学的方法来验证一下吗？ 我用刚才的方法任选一点 a， 从 a 出发涂了一圈， 发现并没有涂满所有的面，看起来还是一个有两面的指环， 我也试着在它的边缘任选一点 b， 从 b 出发，沿着边描了一圈， 最后回到了起点，我发现它也只涂了一条边，还有另外一条边没有被涂色，看来它还是有两条边， 看来这个大指环已经不是莫比乌斯环了。老师，我有一个问题，我发现这个指环也是扭了一下，为什么就不是莫比乌斯环呢？ 我能解决你的疑问，我发现这是扭了两次，那就等同于还是回到了原来普通指环的状态。 同学们说的真好，的确，将普通指环剪开后，会变成两个窄一点的普通指环，长度并没有发生改变， 但是将莫比乌斯环剪开后，会变成一个更大的指环，宽度变窄了，长度是原来的两倍，而且是一个扭了两次的普通指环。 同学们，刚才我们有那么多的猜想，虽然没有猜对，但是仍然很可贵，我们可以再想一想，为什么会是这个样子呢？ 随着你思考的深入，你会更加能够理解莫比乌斯环的神奇。 刚才我们是将指莫比乌斯环进行二等分，现在如果将它进行三等分后再剪开，你还能想象出剪开后的样子吗？如果四等分，五等分后再剪开， 如果一直等分下去，这会不会有什么规律呢？感兴趣的同学课下可以继续探究，随着你探究的深入，你也会更加能体会到莫比乌斯环的神奇之处。 好，现在我们再来看第三个问题，莫比乌斯环有什么应用？ 这是莫比乌斯环的传送带，你能猜想一下两条传送带转动起来会有什么不一样吗？ 普通的皮带里面可能会不断的被磨损，但是外面却保存的完好。而莫比乌斯环式皮带两面都同时被磨损，我猜它的使用寿命是普通的两倍。 你说的有理有据，的确它的利用效率整整提高了一倍。 同学们，如果将莫比乌斯环这样压扁，就会变成了我们的可循环利用标志。你知道为什么用莫比乌斯环来设计可循环利用标志吗？ 你说对了，因为它只有一个面，一条边，可以给我们带来一种循环往复的感觉。 同学们关于莫比乌斯环在生活中的应用也还有很多很多，同学们可以课下继续探索，随着你探索的深入，你也更加能体会到莫比乌斯环的神奇之处。

大家来看这一幅图，如果一个指环的内侧有一点面包蟹，指环的外侧有一只蚂蚁，如果不让蚂蚁爬过指环的边缘，他能吃到面包蟹吗？ 面包蟹在里面，蚂蚁在外面应该吃不到吧？我也觉得吃不到，因为在这样的指环中，蚂蚁不爬过指环的边缘，就进不到指环的里面，所以是无法吃到面包蟹的。 这个指环有内侧和外侧，要是蚂蚁和面包蟹在同一侧就好了。大家都进行了猜测，而且糖糖想到了，如果在同一 测，就可以让蚂蚁吃到面包蟹。老师这里有一个办法改变一下指环，我们来验证一下，看这种方法能否让蚂蚁吃到面包蟹。 请大家拿出准备好的长方形纸条，像老师这样做，先用一张长方形纸条，如图 a 那样扭一下，再把两端粘上， 得到如图 b 这样的指环，在这个指环上做一个标记，表示面包蟹。现在再想一想，小蚂蚁从点 a 出发能吃到面包蟹吗？我发现将长方形 只调一头扭一下，再接起来，小蚂蚁从 a 点出发，就可以吃到面包蟹了。 这样扭一下之后，小蚂蚁和面包蟹真的在同一侧了，哎，好神奇，我发现面包蟹不管在这个指环的什么地方，蚂蚁顺着面爬就能吃到， 也就是不必爬过边缘就能吃到，哼，真是一个神奇的指环， 你们真是善于观察思考的好孩子。将纸条一头扭一下之后，小蚂蚁和面包蟹就在同一侧了。还有更神奇的，请大家分别在 普通指环和神奇的指环上各取一点，从这点开始涂色，但是不能翻过边缘一直涂下去，你有什么发现？ 我发现了，普通指环上的颜色总是只能涂一面，另外一面涂不到。我发现神奇的指环无论从哪里开始涂，都是把所有的地方都涂到了。 我认为小薇和糖糖的发现可以说明，神奇的指环只有一个面。 通过涂色，我们发现神奇的指环只有一面，小小的指环将带给我们更多的神奇。 请大家再取两张长方形纸条，每张长方形纸条中间画一条虚线， 再分别做成一个普通指环和一个神奇的指环。用剪刀沿纸条上的虚线剪开，你又发现什么？ 我发现沿着神奇的指环的中间一条线剪开之后，变成了一个更大的指环。 我发现沿纸条上的虚线剪开，一般的指环变成了两个窄一点的指环，但神奇的指环却没有分成两部分，从而变成了一个窄一点的大的指环。其实 这个神奇的指环叫莫比乌斯带，他是用数学家莫比乌斯的姓名名的， 大家可以将纸条平均分成三份四份，也做成神奇的指环，看看有什么发现。 其实生活中莫比乌斯带应用非常广泛，比如传送动力机械的皮带就可以做成莫比乌斯带状，这样的话，皮带就不会只磨损一面了，可以延长皮带的寿命。 再比如莫比乌斯爬梯、中国科技馆的三叶纽结过山车、克莱因 音频等等，还有更多的生活实力，就等待你们去探索发现吧！呵呵，数学真好玩，学好数学，学以致用哦！

如此可以看得出这一条墨笔布丝带它有几个面，只有几个面，一个面是不是和这一个两个面的不同？两个面从外面化了，里面有没有没有，是不是 一个面就对了。看它是不是一条边我就有点怀疑，因为刚才我们做做两条边的是不是有没有它是不是一条边？ 怎么来怎么来？实验一下，有谁告诉我你做了是我的操作好不好？你们说有什么办法？你来说，你来说我来做。可以你先找一个地方先， 然后开始往下摸，往下摸，然后一直绕着他的边缘走， 我觉得我还做的足够，我们还应该在这里怎么样呢？哇，做个记号就更加的怎么样了？我们的记号是在这里的开始了啊，一直摸，听着刘丽莎的指示一直坐下去 结，结果他就回到了起点。起点是不是谢谢你的指导啊，由此可以说明这一个纸条 怎样只有一条边一个面，是不是觉得很神奇啊？怎么说？ 落名字的话。他只有一个面，我把这边刚落起点，然后把他把他蚂蚁在这边吃面，然后面包屑在这边，然后他蚂蚁一直沿着这边走就可以走啊，这边这边 一直走就是因为他能够吃到面包屑，就是因为这个指头只有一个面，对不对？同意的举手。 好，看来同学们都同意他的说法。那为什么 a 蚂蚁它老是吃不着这个面包屑呢？你来说。因为 a 蚂蚁它绕的全是有两个面的 啊，它在外面，而面包屑在里面，不管它怎么爬不越过边缘的话它永远都吃不掉这个面包屑得饿了是不是？好，你看一下，其实这一个就说明了 这个墨笔丝带和普通纸圈他们之间是有区别的。为什么呢？因为这个普通纸圈啊，它具有两条边，两个面，也就是双侧的曲面，一个正面，一个反面，两。