四边形这一张怎么学八年级下册

来了解一下什么是四边形的对角线，那么连接四边形不相邻的两个顶点的线段就叫做四边形的对角线，那我们画起来 就是对角的连起来的，如果以后有五边形也是一样的对角就可以了啊， 这样去连，这就它的对角线。如图这里 a、 c 和 b、 d 就是 四边形 a、 b、 c、 d 的 两条对角线。我们分别将四边形 a、 b、 c、 d 分 成了两个三角形，那你看 a、 c 一 分是不是上下对不对？好， b、 d 一 分也分身，也分出上下两个三角形。这里要说的是什么呢？因为我们前面不是学了凸四边形吗？对不对？我们要记住凸四边形它的两条对角线都是在四边形内部的，我们写一下。 再说一遍，凸四边形的两条对角线都在四边形的内部，这个要记住啊。

来讲一下四边形的内角和外角，四边形的内角是什么呢？我们把四边形相邻的两条边组成的角，就叫四边形的内角。比如说 这里 a、 b 和 a、 d， 它中间夹的这个角就是其中一个内角啊， a、 d 和 c、 d 也夹了一个角，这个角也是一个内角，对不对？好，所以这个四边形的内角， 我们也把它称为四边形的角。这里的角有角 a 角 b 角 c 角 d 角 a 角 b 角 c 角 d， 那 么接下来是它的外角，它的外角是有一点点不好理解的。 四边形的角一边与另一边的延长线组成的角，叫做四边形的外角，什么意思呢？我们把这两条边延长一下，你把这个 b、 a 和 d a 延长出来， 你可以看到，看到了吗？这里有个角 a， 对 不对？角 a 是 内角，然后他说 四边形的角的一边与另一边的延长线，这个角的一边与另一边的延长线，哎，就是这个角，你看 一边与另一边的延长线，就是这个角看到了没有？好，也就是说这个角是外角，同时你也可以把这个 a、 d 这条边当做不动的，然后 b、 a 当做延长出来的这个角也是外角， 所以它一个内角是有两个外角的，但是我们只算其中一个，知道吧？我标一下啊，我标一下，这个是角一，这个是角二，我们就说这个角一和角二，它都是外角， 每个内角都有两个外角，这个角 a 有 两个外角，这个角 d， 它也有两个外角，每一个角 它的有两个外角，并且这两个外角是对顶角，看到没有？这个角一和角二是不对顶角。例如一个内角角 b a d， 角 b a d 就是 我们说的角 a， 对 吧？它有两个外角，我们这里标了角一和角二，对吧？但是每个顶点 a 是 一个顶点，每个顶点只算什么？只算一个外角。你记住，你不能把两个外角都算一遍，这是外角的规定，知道吧？外角呢？它是按照方向去加的，知道吧？它是按一个方向，比如说你要取这边， 你要取这边的外角，那么就要这里的，那到这里就要这里的，然后到这里呢？就要这里的，你看它是一个方向的，看到没有？ 他是一个方向去取的，所以你只需要取其中一个啊。这也是为什么我们明明画出来可以画出八个外角，却只要其中四个外角的原因啊，这个一定要搞清楚。

平行四边形的判定，我们也是从三个角度来去思考，第一是边，第二是角，第三是对角线。 边的话有三条，第一个呢是它的定义，叫做两组 对边分别平行，这样的四边形呢，是平行四边形，用字母表示呢，就是 a、 d 平行于 bc， a、 b 平行于 dc， 因为这个，所以四边形 abcd 为平行四边形 好。第二个呢是两组对边分别相等，那这里呢，给大家写几个圆圈，写下半部分，也就是 a、 d 等于 bc， 同时呢要求 a、 b 呢等于 dc， 这个也是可以的。 第三个是一组对边平行且相等，这个写下来的话是 a、 d 平行于 b， c， a、 d 呢还等于 b、 c， 或者同学们直接用一个平行且相等的符号来表示也可以，所以得到平次变形。那通过角度来证明平次变形呢，是它有一个叫两组 对角分别相等，这其实跟咱们那个性质呢，是对应的，对吧？它们是互为逆定力的，这个用几何原表述就是角 b、 a、 c、 b， a、 d 等于角 b、 c、 d。 还有一个是角 a、 b、 c 等于角 a、 d、 c。 这两组对角分别相等，最后一个对角线那也是互相平分，对角线互相平分的四边形是平四边形，我们用几何语言可以表示成 o， a 等于 o c， o， b 等于 o d， 所以 四边形 abcd 为平四边形。 我写这么详细，主要是有些同学在学习的过程中，不知道哪些证明步骤，该省略哪些需要详细，所以我们证明平四边形呢，在你得到平四边形前一步呢，一定要体现出这五个判定中的一个。

有的家长问说这个八年级下册该如何学习是不是？那我这条视频就给大家讲清这个八下该如何学习。首先我们要搞清楚，就说八下哪个章节是重点，哪个章节是难点，实际上只有一张四边形。如果说你家小孩能够把这个章节吃透了，练明白了，掌握了， 那基本来说他的数学分数一百二十分以上，一百三以上，对吧？但是实际上有很多同学他掌握不了，因为这个地方有点难度。好，那我现在从头开始说，对吧？整个八下，他说咋回事啊？首先有六张，是不是？六张？前面两张非常的简单，第六张，第七张， 数据的收集、整理、认识概率，这两张哪怕你的基础是七十分，这两张一听就会，所以不用担心。而且绝大多数的同学上个学期都学过，这个学期 一个星期老师就会讲完，题目一刷就就结束了，然后再讲这个第八章四变形了。好，这个章节首先新课估计都要讲三个星期，就如果说学校老师讲新课 需要三个星期才能把这个章节讲完，对吧？学生就想把他练会，就需要去刷题了。但是有部分同学，他新课的时候，可能这个概念一些判定一些性质，他没有理解，也没有条件做不出来，这是第一个点。第二个， 选择题和填空题的做题啊，也都是考他是不是？所以说很多同学就会发现，哎，这个地方我没见过，因为题型他没见过，所以说你要想把选择题做出来，还需要去刷题。第三个，你会发现大题的做题还是考他，而且你发现了这个地方就完全没见过， 基本上这题目你只有说到一百二十分以上同学，你得去刷题才能掌握。你是来说你一百二十分以下同学，哪怕你去刷题，你也解决不了这个问题，因为这是一个大型的几何问题，对吧？要辅助线直接一些旋转，你没有这个思维，解决不了。所以说这就是个标准的分水岭。 这个问题，这个题目题，听这个压轴题的注意题，你必须考到一百二十分以上了，然后就刷题才能掌握。 如果说你连一百二十分都考不到，你刷题也掌握不了这个问题。好，这是七种方式，是不是七种方式结束，第九章音质分解，这个章节属于代数，一刷题就会，但注注意一下， 如果你家小孩子九十分以上，对吧？后边三章不用担心，都属于代数，一刷题就 ok。 但如果九十分以下，这个第九章可能就有点吃力了，因为他属于一个公式的应用，原先属于的同学学不好怎么办？他改到八年级了，所以八年级同学学 第十章分式，这个章节呢？属于第九章的后置章节。如果说你第九章学不好，第十章分式就不行了。所以说如果第九章没问题，第十章就没问题， 第十一章二次分式也属于代数，很简单，也不用担心。所以说你家小孩如果说想考一个很高的分数，那就把重心放在第八章，随便行。而且这个期末考试的 现在就做一题填空的，做一题压轴题的，倒数第二题也是四边形，所以说你不能说。哎，弄考试结束之后，这个几何题我就扔了。不行啊，他也必须时刻刷题，否则你到期末你说再去复习有点来不了，特别是那个技术好的同学， 你一定要去把这个题型都要做到心中有数，最起码要见过，然后之后你要每天都找两道做一做，保持一下手感，这样才行，别的没啥了。

其实四边形呢，它有两种，有两种四边形，我们学的呢，一般叫做夫四边形，作为四边形的前提哈，这里要说一下，它必须是一个封闭图形，就是它必须 是封闭图形。 四边形分两类，一个是凸四边形，还有一个叫凹四边形。不过书上没写啊，书上没写，因为我们一般学的都是凸四边形。你来看看这里，它对于这个凸四边形的定义是这样的， 就是你沿着这个四边形任意一条边，任何一条边，比如说这个 c、 d， 你 把它延长出来，对吧？如果这个图形都在这条线的同一侧， 都在这条直线的同一侧，那么我们就把它叫做凸四边形啊，不仅仅只是 c、 d 啊， a、 d 也一样，然后这个 ab 也一样， b、 c 也一样，对吧？它是不是整个图形都在 这条线的同一边，不会分成两个图形，那这种呢，就叫凸四边形。那比如说第二个图，它这种，你沿着 c、 d， 哎，会把这个四边形怎么样？分为上下两边，它不在同一侧，那不在同一侧的呢？哎，那这种呢，它就不是图四边形啊，它就不是图四边形， 因为它分为了上上侧和下侧，对不对？那这种叫什么呢？叫做凹四边形， 但是我们一般学的呢，都是凸四边形，所以呢，如果没有特殊，没有特殊说明的话，我们所讨论的四边形都是凸四边形。

提醒一下我们很多八下的孩子啊，我们现在不是正在学拼音四边形吗？学这一招你会发现这招是整个初中除了相似之外啊，它是整个初中集合里面最难的一部分了， 因为他的概念定力非常非常之多，而且他的综合性非常强，他肯定会与八年级上册的这个全等三角形结合起来的啊，是一定一定会的，所以我们很多孩子在八年级上册这个全等三角形学的不是很扎实的情况下，你在学平四边形的时候，你会感到非常的吃力， 那么我们应该怎么做呢？首先我们应该做的就是把八年级上册的这个全等三角形这一块的内容再拿出来再过一遍 啊，不是说过那个全等三角形的五个判定定律，那大家都会，对吧？所以你要过的是全等三角形的那些模型， 像什么一线三垂直模型啊，半角模型啊，手拉手模型啊，背场中线模型啊，截长不断模型等等，这些模型你至少要有一个概念在里面，对吧？我发现我们很多孩子在这个做这个平四边形或者前面勾股定律这一章的时候，他看到这个东西之后， 他反应不过来，然后他没有思路，其实就是八上的东西，只是与勾股定律结合了一下，你还是主要运用的是八上的这个全等三角形的这个思想去解这个题的。 但是很多孩子反应不过来了啊，那么我们一定要做好复习工作啊，在学这一块的时候，不然的话，嗯，这一块你肯定学的是非常非常不好的，甚至考不及格，好吧。

三分钟学完八下数学第三章主页置顶，一口气学完初中数学系列。首先第一部分四边形，内角和是三百六十度，四边形的外角和也是三百六十度。多边形的内角和是一百八十 n 乘减去三百六十度， 外角和也是三百六十度。好看。第一个，平行四边形首先先看定义，两组对边分别平行的四边形叫平行四边形， 平四边形是中心对称图形，而对角线的焦点就是对称中心。平四边的性质是对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。好，接下来看平四边形的判定。第一部分从边的考虑，两组对边分别平行的四边形是平四边形， 两组对边分别相等的四边形也是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形也是平行四边形。从对角线的减渡期考虑的话，对角线互相平分的四边形是平四边形。接下来特别的夹在两条平行间的平行线，长度是相等的。第四部分三角形的中微线 定义，如果连接三角形两边的中点的线段叫中位线，比如说 d e 就是 中位线性质，那三角形的中位线平行，第三边等于第三边的一半，也就是 d e 平行相等于二分的 b、 c。 好， 接下来看第五部分菱形的性质悬，先看边，菱形的两组对边分别平行且相等啊，四边都相等。 同角菱形的角两组对角相等，并且菱角互补。对角线对角线互相平分且对角线互相垂直啊，对角线平分对角好，特别的周长等于边长的四倍。 菱形的判定，从边的角度来说，有一组菱边相等的四边形，拼四边形就是菱形， 然后四个边都相等的四边形也是菱形。从对角线的角度，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形也是菱形。特别的，菱形的面积除了等于底程高之外，还等于对角线乘积的一半。 好，接下来矩形的概念和性质，先看概念，由一个角是直角的平四边形叫矩形，通过边的维度与平四边形边一样。然后矩形的角呢？除了互相平分之外，矩形的对角线是相等的。特别的 矩形是轴对称图形，有两条对称轴，直角三角形。斜边的中线等于斜边的一半，这是矩形的一个特殊的性质。接下来看第八部分 矩形的判定。角，有一个角是直角的，平四边形就叫矩形。那有三个角，直角四边形也是矩形。对角线对角线相等的平行四边形是矩形。对角线相等且平分的四边形也是矩形。好记，在正方形的定义，有一组邻边相等，且有一个 有一个直角的平行四边形。好性质，四个角都是直角，四个边相等，对角线互相平分垂直且相等，这样的角正方形好再正反的判定。 咱们通过边的维度，先把平行四边形怎么变成菱形了呢？让它菱边相等。菱形怎么变成正方形呢？让它菱边垂直，好通过角的维度平行四边形怎么变成矩形呢？让一个角是直角，矩形怎么变成正方形呢？让菱边相等好，对角线 平四边形互相垂直就是菱形。菱形的对角线在相等，就是正方形，也就是说咱们在判定它是正方形的时候，首先四边形先是平平四边形。好，平四边形之后让它证明它是菱形，然后再证明是正方形或者平四边形是矩形，然后再证明它是正方形，你学会了吗？

大家好，今天我们推出八年级数学下压轴题系列讲座，我们先给大家分享平行四边形中最值问题的十四种解决思路。应该说 八年级数学下所有的最值问题都跳不出这十四种思路，只要我们真正理解这十四种思路，并 凸内盘通指一反三，就能够轻松搞定平行四边形中的最值问题。我们先看思路一的第一题，待换思想结合垂线段最短，求一条线段的最小值。 大家先看题目，角 b 等于四十五度， b c 等于四根号三。然后呢， e、 f 是 两个动点， g h 是 a， e， e f 的 中点在连接 g h， 则 g h 最小值是多少？那么 e、 f 是 两个动点， g h 也随着动，那垂线段最短是一定一动， 所以我们就要找到一个定点和一个动点，这里面点 a 是 定点， f 是 动点，所以我们可以理解 af， 这样 af 的 最小值我们就能求到。而 g h 呢，正好是中微信， g h 等于二分之一个 af， 所以 我们就通过代换的思想先求 af 的 最小值。 af 的 最小值就是当 af 垂直于 bc 的 时候最小，但 f 垂直 bc 的 时候，因为角 b 是 四十五度，所以 a f a b、 f 是 一个等腰直角三角形， 所以 f 的 最小值呢，就等于 ab 除以根号二，而 ab 呢，等于 bc， bc 呢，等于四根号三，所以就等于四根号三。除以根号二， 结果等于二根号六。所以 g h 的 最小值呢，就等于二分之一个 a， f 就 等于根号六。

同学们好，今天我们来看一道八年级下平行四边形中的最值问题。先来看题目，如图，菱形 a、 b、 c、 d 中 ab 等于二角， a 等于一百二十度， 点 p、 q、 k 分 别是线段 b、 c、 c、 d、 b、 d 上的任意一点，则 p、 k 加 q， k 的 最小值是多少？ 那么根据我们之前学过的最短路径问题，我们可以在图中找到对称线，在这里对称线就是菱形的对角线 b、 d， 所以 我们可以做点 p。 关于 b、 d 的 对称点 p 一 撇， 这个 p 一 撇肯定是落在 ab 上面，连接 p 一 撇， q 和 b、 d 的 交点则为点 k， 那么我们要求 p k 加 q， k 的 最小值就转换成了求 p 撇 k 加 k， q 的 最小值在图上就是 p 撇 q 的 长度，那么再看一下 p 撇和 q 所在的位置，它是在两条平行线上面，那我们知道平行线上的距离是最短值，因此 当 p 撇 q 垂直于 ab 的 时候，我们就可以求出它的最小值， 那么平行线之间的距离处处相等，我们现在画的这个位置还不够求出 p 撇 q 的 长度，所以我们可以把 q 平移到和 c 点重合， 构造一个直角三角形是垂直的，这个是 p 撇，那 q 和点 c 重合，那么在这个直角三角形里面，由菱形角 a 等于一百二十度，我们可以得到角 abc 等于六十度。 那么再根据菱形四边相等， bc 长度为二，那这里我们就构造出了一个三六九直角三角形三边比是一比二，比根号三，因此 p、 k 加 k， q 的 最小值就是根号三。 所以这道题目的方法我们总结为以下几个点，一、找对称轴图中的对称线在这道题目里是菱形的对角线。二，做对称点，将其中一个洞点关于对称轴做对称点，把折线距离转换成直线距离。 第三步，确定最短位置。一般是两点之间线段最短，垂线段最短，那这里就是平行线之间的距离最短。 第四步，算长度。可以利用几何的性质，比如说勾股定里面积公式，那这里比较特殊，我们用了三六九直角三角形的性质，那当然也是勾股定律的一个应用。

今天呢，我们来讲一下这个八年级下册的平行四边形。首先呢，我们要学好这一张，基础阶段其实最忌讳就是四个字，死记硬背。 很多同学拿到一张表去背这个平行四边形、矩形、菱形、正方形的这个性质和判定，那背了三天可能做题还是会错， 为什么？因为大家可能没有理解他们之间的关系，所以大家记住句话，平行四边形是爹，矩形菱形就是他的两个儿子，而正方形是平行四边形的亲孙子。 为什么这么说？呃，因为平行四边形是怎么定义的？是对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，这个是家族基因。 那矩形它是在平行四边形的基础上加了一个条件，就是有一个角是直角，所以矩形的对角线也是相等的，四个角都是直角。 那么菱形呢？它是在平行四边的基础上加了一个什么，就是菱边相等，所以菱形的对角线互相垂直且平分。对角 正方形他就集结了他爸他爷爷的所有的特点，就是集结了直角和菱边相等，他就可以召唤神龙了，他既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以说这张我们怎么学呢？ 那么在学基础的时候，不要单独去背每一个图形，你要在脑子里画一个就是他们的家族数，就是做题的时候，你看到矩形，你的第一反应不是说去想矩形有哪些性质，而是想矩形他是一个 平行四边形，对吧？他必须先是一个平行四边形，所以他要具备平行四边形的所有的性质。其次他还有自己的特殊性， 所以说你能够把这种包含关系给他吃透，基础题和中档题就能拿下百分之七十左右了，是吧？ 那第二部分就是这一张的难点啊，也是很多孩子，包括一些成绩比较好的孩子，比较头疼点就是他有很多的模型，对吧？那这张的难就难在说他很多的题，其实你发现是中考亚洲题的种子选手， 他的难不是说单一的知识点难，他难在就开始综合性比较强了。所以主要难在哪几个地方呢？第一个就是 有个折叠问题，对吧？折叠的本质是什么？同学们想一想，折叠的本质其实就是轴对称对吧？折叠前后对应边相等，对应角相等，折痕就是对应点连线的垂直平分线。 那在矩形和正方形里面，折叠题非常的多啊，难点在于你找不起这个等量关系，所以很多同学一做折叠，光是眼睛就看晕了。其实折叠题的核心的解法就是往往藏在勾股定律和方程思想里面， 你只要设一个未知数啊，把某条边的长度表示出来，在那个直角三角形里面列方程，很多折叠问题就能够迎刃而解。第二呢，还有个最值问题，最值问题其实也是我们 将军一马的一个问题，他在四边形的一个升级版，比如说题目问你动点屁在哪条边上，某两条线段之和最小， 在平行四边形这一张里面，其实考的就不是一个四边形，考的更多的是这个画折为直，对吧？这是将军印马的核心，那难点在于说动点可能在菱形上跑，也可能在这个正方形上跑，很多同学他是找不到对称点， 或者说对称点找对了，但是不知道怎么去利用这个矩形的性质去计算，所以说解决最值的问题， 我们的核心就是去找对称啊，连定点，然后算长度，所以这里面就可能用到我们学过的股股定律，是吧？ 那第三个问题就是动点问题，动点问题其实也是这个，什么刚刚说那个第二个呢？将军一马其中呢？呃，也是也是，也就是将军一马其其中的一种，对吧？这个也是整个初中几何 一个大难点，比如说题目告诉你这个点 p 从 a 出发，沿着四边形边界线，每秒一个单位运动，问什么时候形成个等腰三角形，形成个直角三角形，或者说是菱形。这类题的难在于说 分类讨论啊，很多同学他不是不会算，但是他会漏一些情况，比如说你在正方形上 动，他跑到这个边上是一种情况，他跑到顶点是一种情况，他跑到这个对角线上，如果有对角线的话啊，他又是另一种情况。所以这种应对方法就是说我们先去做动点问题，一定要先去什么？先去分段啊？你画出这个时间轴 点在哪一段边上，就把图形给他定下来，把动态的变成静态的，然后分情况去列方程，对吧？切记你算出的解一定要去回去验证是否他在对应的时间段内。 第四个就是还有种模型比较考多，就是绊脚模型，这个模型他在正方形里面考的是比较多的 啊，比如说正方形中一个四十五度的角，对吧？他的顶点在正方形的顶点上，他一边旋转，那这种模型确实是有一定的难度，他考的就是旋转全等。 如果你遇到这种题，你记住一个口诀，就是遇到半角啊，去想旋转，然后截长补短，构造全等。 这个模型的结论也比较多啊，比如说相关的线段的和差关系。如果说你学有余力，可以专门的去总结一下绊脚模型的几个常用的结论，这对你解决这个填空题，还有写小压轴题，对吧？是比较有帮助的。 那第三部分就说我们怎么能够从基础开始学，学到这个最难阶段，各个阶段我们该怎么办是吧？第一个呢，我们在这个基础阶段，你就要去死磕定义和判定， 不要说怕慢，你要能闭着眼睛就说出来，说我给你一个死边线加上什么条件，他就是矩形，是对角线相等还是对角线互相平分且相等， 一字之差，它其实是有天壤之别的。所以这个时候建议大家可以做一个叫什么条件推导的这个一个结论的思维导图啊。比如说已知平行四边形加上对角线相等，它等于矩形。已知平行四边形加上对角线垂直，它等于菱形。 把这个判定定律要变成你的肌肉记忆，用滚瓜烂熟记在心里。第二个就是中档阶段 要学会拆图啊，这张的几何图形它是比较复杂的，往往说一个大图里面会镶嵌好几个三角形，还有些全等型，那难题做不出来，很多时候是因为你被这个复杂图形给吓住了，所以说你要学会给他拆分，给他一个个拆成一个个单独的个你学过的知识点， 也就说从复杂的这个背景里面把关键的三角形给它抽离出来，比如说在矩形中，你把那条折痕给它抽出来，只研究折叠前后的两个直角三角形，去掉这个无关的条件，这个图形就会变得比较简单，你的思路可能变得比较清晰。 那第三就是难题阶段，我们要建立一个什么啊？模型的意识，这一张他在初中几何当中的模型算是非常多的一张，所以遇到难题不要一上来就可去学那个什么，做那个方程去瞎算，你先看 对吧？他可能属于哪一类，对吧？是识字模型还是这个什么手拉手模型？还是一些三等奖模型？对于模型我大家之前建议过说模型这个东西你可以不用，但是你不能不知道，你知道就比你不知道要好一点，对吧？就像背单词一样，你去积累这些模型， 搞清楚这些模层的底层逻辑，你积累多了。你看到题的第一范就是不是说好难，而是说，哦，这个 我看起来很眼熟，我见过他的解法，好像是怎么怎么样子的，对吧？呃，送给大句话，平行四边形这一章，他是初中几何从算数走向一个逻辑推理的一个小的阶段，对吧？所以说还是那句话， 所有的章节，你的基础一定要非常的牢固才行。嗯，如果说你在学平行四边形的时候觉得非常的吃力的话， 那就因为你的性质和判例可能还没有搞清楚，如果说你已经学到了，后面你觉得难题特别多，你也不要慌，你就按照这个什么折叠最直动点模型这四个专题 去整理，错题去研究，去分析，好去总结，行吧啊，就到这里，加油吧！

大家好，请坐下，今天把这一张做一个图形， 先请看黑板上的这个问题。三角形 a、 b、 c 中， a、 e 是 三角形 a、 b、 c 的 中位线， a、 f 是 三角形 a、 b、 c 的 中线， 这两个不同的概念是吧？中位线说明这个点，这个点 a、 b 的 中点， e 点 a、 f 是 中线，所以 f 点是 b、 c 的 中点。 求证 a、 f 一 得一， 互相平分。 回忆下两条线段互相平分， 在什么样的图形的性质当中，有这么一个结论，平行 平行四边形中有这么一个结论，怎么说的？ 平行四边形，对角线互相平等， 对吧？好，那么我们是否可以借这个知识点来解决这个问题呢？ 你上那边说说看。 连接的 f， 接下来呢怎么解读呢？ 这个是中位线，这个是中线，所以的 e、 f 都是中点，对吧？那么你连接的 f， 这个的 f 是 三角形 a、 b、 c 的 什么呢？ 也是中位线，那么它有什么样的性质呢？ 这根线有什么性质？那我们就回到这里来做一个分析。三角形的中位线 中点，中点。 三角形的中位线， 它的性质描述两个方面，一个是位置关系，一个是数量关系，一起说出来吧。得一 平行，得一等于一十的一半，那么你能否说明了？你要想说互相平分，是不是想说明 a 的 f 一 是 平行四边形，那么说明一个四边形是平行四边形，对不对？你将怎么说？ 说明一个四边形满足什么条件，它就成为一个平行四边形， 他现在的铁律是证明他对角线互相平分，那也就是说我们需要先证明他是平行四边形， u f 是 二分之一， a 是 u f， 嗯， c f e， f 是 二分之一 a b， 所以， 所以 e f e f 等于 a e 写互相互相，你刚才证明了这个是它的一般，所以得 f 等于 a， e， 同理， e f 等于 a 得，所以它是 平行四边形。你的依据是两组对边分别相等的四边形，对不对？他说两组对边分别相等的四边形 啊，是平行四边形。做一下还可以简洁的来描述，这个是中位线，沿此它与它 平行，这是中位线，所以它与它平行。两组对边分别平行的四边形也是平行四边形，对不对？好，清楚了吗？来，我们来整理一下怎么说法。首先是连接 连接的 f， g， f， 下面介绍因为的 f 是 三角形 a， d， c 的 中位线， 怎么知道的？这个是中点，这个中点嘛，所以的 f 平行是吧？ a 系我们只用平行，可不可以啊？平行 啊，当然也可以证明它相等得 f 等于二分之 a， c 啊， a 一 是 a 一 是等于 c 一 的嘛，那得 f 等于 a 一 也可以，对吧？啊，我们直接用用平行于。再说， e f 平行 a， 所以 四边形 a， d， f， e 是 平行四边形， 所以 i f 与 d e 不 相。 这个球用到了三角形中位线的性质 以及平行四边形的判据。我们可以两组对边分别相等，也可以证明两组对边分别平行，甚至证明一组对边平行 且相等，对吧？当然这个题目证明对角线互相说，现在对角线互相平分，然后证明平分是不可能的，因为对角线互相平分，我们要作为结论来用，对吧？ 所以从四边形得到平行四边形，我们正常应该有四种判定方法， 对吧？好，这是一一道小题目，小朋友，我们来还是看这个题目，我做了一个，稍微做了一个变化， 三角形 a、 b、 c 中得一是三角形 a、 b、 c 的 中位线延长得一至 f， 使得 e、 f 等于得一， 注意，得一是三角形 a、 b、 c 的 中位形。 那么求证四边形 a 的 c、 f 是 菱形四边形， 你会什么？那，那我们捋一下，这个是中位线， 那么说明这是中点对吧？ e 是 a、 c 中点对吧？然后连连长 d、 e、 f 指的 e、 f 等于 d， e， 说这个是平行四边形吗？什么什么倒立啊， 对角线互相平分，这才是对角线互相平分，知道吧？哎，因为得因为啊， a 一 等于 c， 一 得一等于 e、 f， 所以 四边形 a 的 c、 f 是 平行四边形。这个没有问题的，我现在要变，主要是。同学们，请问图中还有 平行四边形吗？我要问你这个问题，图中还有平行四边形吗？就回答这个问题哈， 发现了没有？找没找到，找到了，来，过来， 你来，你点给大家看看，让我们来确定，看看是不是。 你说是 d、 b、 c、 f 是 平行四边形，那么来看看是不是的 d、 b、 c、 f 是 吗？ 为什么呢？为什么呀？拿走对面箱子，你上来点一下，拿走对面箱子， 为什么这个是平行？我们知道中位线平行，对吧？那为什么成本呢？ 这个是二分之一 b、 c， 对 吧？然后呢，这个又等于这个对吧？所以这个等于这个对吧？是不是可以啊？业主，对边平行且相等，对吧？那我们这样写是可以的嘛？ 这个平行吗？为什么叫应该有平行？这个是不是平行四边啊？你已经证了嘛，所以它跟它平行且相等，对不对？ 这个跟这个相等吧，那这个跟这个也相等，对吧？这个跟这个有平行，所以平行且相等的平行是平行，对不对？或者还可以这样子，这个跟这个平行对吧？这个跟这个平行吧。耶，这个跟这个平，这个跟这个平行，也就他跟他平行吧，他跟他平行，两组对边分别平行是平行，对吧？ 也就再一次强化了四边形到平行四边形有四种判定方法，堪给出的具体的 条件，灵活选择合适的方法来判断它是平行四边形。好，各位小朋友，那么下面我们做一个变化，各位同学， 在上图当中，三角形 a、 b、 c 满足什么条件？ 平行四边形 a、 d、 c、 f 是 矩形， 它已经证明了是平行四边形了，对不对啊？那就这个图片，那三角形 a、 b、 c 满足什么条件，它就成为一个矩形了呢？ 那我们来思考一下。哎，什么情况下平行四平行就成为一个矩形了？ 好，来跟大家分享一下哈， 你看这孩子，你们清楚了，你们听清楚了吗？那么我要使得它这个平行四边成为矩形，那么就要取得 a、 c 等于什么？对角线相等的平行四边形是 矩形，它又说那 f 是 等于 b、 c 的 呢？那也就说 a、 c 等于 b、 c 的 时候，它一定是什么矩形，所以满足什么条件呢？就知道了，是 a、 c 等于， 就是三角形 a、 b、 c 当中这两个 b 相等，注意啊，这两个 b 相等是不是对吧？也可以说是这两个角吧相等，换一种说法说，角 b 等于角 b、 a、 c 平行，对不对？好的， 不错，你看思路清晰啊。哎，平行四边形要成为矩形，他添加了一个条件，对角线 相等，当然还有其他的条件，比如说有一个角是直角，对不对？嗯， 那么下面同学们，我再变换哈。说三角形 a、 b、 c， 它满足什么条件？满足什么条件？这个平行四边形 a 得 c、 f 就 成为了一个菱形。 三角形 a、 b、 c 啊，它满足这个三角形满足什么角形？哎，我这个四 b 形就成为菱形了。 来，孩子，你来分，你来跟大家讲一下， 当我们找 a、 b 式需要的时候，耳朵是 a、 b 的 中点，那么就是这两边 啊，就是说当这两个相等的时候，就得等于得 c 的 时候，他一定就是菱形，对吧？那得等于得 c 的 时候，因为这个跟这个相等，那就这三个相等，因此这个角一定是什么？ 直角，这是一种解读，对不对？他说一组零边相等的平行四边成为直角，最后推出来它是直角，对吧？我们能不能再换一种直接让大家能理解的思路？ 又平行四边又成为菱形的话，还有一个其他的判例是什么样子？ 对角线，是吧？垂直对角线，那也就是说当 a、 c 和对 f 垂直的时候，是不是他就是菱形了？那么当他这边垂直啊，这个跟这个是什么关系啊？平行的对吧？那么这个同位角相等，这个垂这个角度，那这个呢？ 是不是我们要得出三角形 a、 b、 c 满足什么条件，而不是它的边满足这个应该是直角，那么得出三角形 a、 b、 c， 那 这个地方也是直角，对吧？ 清楚了吗？那我们得出的是当角 a、 c、 b 等于九十度的时候，我们的这个平面就成为了菱形。 平行四边形要成为菱形，一种判定 是菱边相等的四边形，平行四边形，菱形对角线互相垂直的平行四边形菱形，对吧？那么下面的问题可能就好回答了， 当三角形 a、 b、 c 满足什么条件的时候，我们这个平行四边就成为了正方形， 是不是好回答了？因为我们知道，当一个 四倍镜既是矩形又是菱形的时候，它一定成为一个什么啊？正方形 既是矩形又是菱形，这两个一夹就成为正方形， 那么前面我们这个是矩形，这个是菱形，而成为矩形的条件是它成为菱形的条件是它，那么成为正方的条条件是不是？把这两个条件结合一结合 对不对？所以我们就是啊，就是 a、 c 等于 b、 c， 且 a、 c、 b 等于九十度，对不对？那请问用文字语言来描述，它就是三角形，就是什么三角形啊？等腰直角三角 形，对不对？这就成功了，对吧？好， 那么下面呢，我们继续拓展哈，你写清楚了吗？写清楚了吗？来我们做个归纳哈。归纳刚才这些问题，是为了帮助我们梳理 从四 b 型到平行四 b 型，从平行四 b 型到矩形、平行四 b 型到菱形、菱形、矩形到正方形的这一系列的判定方，对不对？是吧？ 从平行四边形到平，从从四边形到平行四边形，满足四个判定定律有四个判定定律，这边有两个判定，这个地方有两个判定好。从矩形到正方形也有两个判定，一个是 邻边相等，一个是对角线，是吧？这个是有一个角，是直角对角线相等，对不对？你就可以得到正方形， 这个你要把它弄清楚，判定方法，然后它的性质，我们可以从四个方面去概括，边角、对角线和对称性四个方面去描述性质 对不对？用到就写出来，用不到也不用写好。那么我们这个地方还复习了另外一个知识点，就三角形的中位线， 那么三角形的中位线他跟我们这个地方平行四边有什么关系呢？事实上三角形的中位线的研究是把它转化成什么来研究？哎，用平行四边形来研究三角形的中线， 他体现了一个转化的思想，就是将这个问题转化为平行四边形的问题，然后用平行四边形的指示来解决中位线对不对，是吧？然后我们还学过一个什么中位线呢？ 就是昨天学到的梯形的中位线，对不对？梯形，这个是梯形， t 形的研究，昨天也出过 t 形的研究，是把 t 形把它分割成什么？平行四边形、矩形，三角形，对不对？把它分割是吧？一种是这样分割 还可以怎么分割的？还可以这样 平行一腰，对吧？使得这边成为平行四边，这边是三角形，是不是？也就是说是把梯形转化为平行四边形来研究，对不对？是不是？ 也是用平行四边形的指示或者矩形的指示来研究梯形，对吧？那么我们还学到了梯形的中位线啊，梯形的中位线的研究是转换成什么的研究呢？是转换成三角形中位线的研究， 怎么转化的呢？就是，老师，我怎么不知道呀？你看我做了你就知道了，我连接他，再延长 这个梯形的重围形，就变成了这个三角形的重围形， 是不是？嗨，是这么个大关系就清楚了，是不是？那整个这一张学习的东西就连贯起来了，看箭头就知道了， 是不是？好，那么同学们，我们下面尝试来做一个计算，还是刚才这张图当中我设置了一个小的计算题，看大家能不能计算 三角形 a、 b、 c 中 啊，得，一是三角，二不对，对，还是还是这个题目哈，还是三角形中，三角形中六角， b， a， c 等于六度， a， b 等于八， l， c 等于六，而你能不能求出这个平行四边形啊？ a 得 c、 f 的 面积， 这是平行四边的一个小性质，它的面积怎么研究啊？面积有公式对吧？顶层高。那么我们看这个平行四边 a 的 c、 f， 它有没有一条边是知道的，哪条边是知道的？ a 的， 因为 a 的 就是什么啊？ a 的是四， 那也就是说要求他的面积，只要把这条边上的高求出来，对吧？这条边上的高，我们可以怎么做？ 我给大家做一下看看啊，这条边上的高我们是不是这样去做？好，那我来做一下啊，哦，这条高我做出来 c g， 那 我们是不是要把 c、 g 求出来，对不对？来， 那么同学们，你们观察再尝试记录一下， 他们能求吗？能求对吧？哎，一般来说，求线段的长，往往是找一个直角三角形，对吧？那么有没有的？有，而且有一个直角还比较特殊。特殊在哪里呢？ 有一个角，什么六十度，请问是哪个三角形？直角三角形 a， g， c， 这个六十度对吧？好，这长是多少呀？这长是六，那么这就是一个， 这就是一个什么二的三角形加三十度啊，二的三角形加三十度。那么三边关系是什么呀？ 一比根号三比什么二，那这个是六，这个多少三，那这个呢？ 这个三，这个是多少？三倍根号三吧。哎，这个我们就算出来三倍根号三，对吧？那因此面积多少？ 十二倍根号三，千万不能再除以二啊。除以二是三角形面积公式啊， 平行四边就是底层高，清楚吧，那么这个面积觉得好像问题不大的，因为大家看得出，哎，六十度充分利用是吧？哎，那如果我要想求这个平行四边周长呢？那我把这个定义一下，求周长， 求平行四边形 a 和 c f 的 周长，看看我们有没有办法来解决这个问题。 那么求周长的话，就意味着我们要求什么呢？因为周长就是四条边加起来嘛，我们又知道对边，平行四边对边，是吧？相等的对不对？那我只要求 只要求什么？只要求一组邻边，对不对？那 a d 已经知道了，只要在求谁啊？ d c， 所以 我们只要求 d c 好， 看看怎么求 d c， 为什么？哎，还是去找一个直角三角形对不对？那 d c 正好在直角三角 d c g 中，对吧？ d c g， c g 已经九十三倍根号三，对不对？那这个 g 多大 啊？得七多少？一一对吧？哦，得七一， c g 是 三倍根号三，那得 c 是 多少？ 勾一算一下，根号二十八，对吧？根号二十八，有一个数可以看出来，二倍根号七， 我们算出来这个是二倍根号七，因此周长就可以口算出来喽。 多少八加四倍根号七，注意哦，八加四倍根号七， 得出来是八加四倍根号七。能不能写成十二倍根号七啊？不能，他不能合并，他不是同类。二十根十，对不对？他不是同类，那他妈就乱套了，对不对？不是同类啊， 知道吧？好的，那这个就会算了， 下面呢时间关系，我们刚才呢，都复习了这么多的东西啊，一个是体现，体会了这个知识之间是相互关联的， 这一章的内容特别的多，但是一看，哎呦，知识都关联上了，对吧？关联上了，这是一个，第二个还要学会，这里面有相互之间，它可以相互的转化， 是不是？我们用平行四边形，用矩形的知识可以解决中位性的问题，对不对？是不是啊？ 我们可以用矩形平行四边的知识来解决梯形的问题，对不对？哎，我们把四边形的问题转换成三角形来解决，你看看球面就球周长的解决的，对吧？用直角三角形解决四边形问题， 哎，反过来用四边形的知识也可以解决三角形中微型，平行中微型的问题。好，那么下面给大家留一个这个计算，二个简单的推理我，我吭哧吭哧吭出一个题目， 我来解读一下，三角形 abc 中三角形 abc 中 a r a r 平行， bc 与 a c 交于点， c 的 平分啊，一个平行，一个平分。平分角 a c b， 这个 c 一 呢平分它的外角 a c 几？一个焦点在这，一个焦点在这，哎，同学们，你看，我设置一个问题，求张 o d 等于 o e， 你 看你能求吗？ 这个是平分线哈，格格是平分线哈，这个是平行线哈啊，一个平行两个平分得到等腰，你看行吗？来试一下。 可以啊， 有没有孩子来解释一下哈，我们要正一正，不是正等哦，我以为咱两个线段相等，用这这两个线段相等 行不行？ 这个 a l 是 跟他平行的，还有什么？那平行他也有脚等嘛？这个一平行这个小脚跟哪个等啊？ 这个跟这个等的，对吧？对不对啊？我跟这红的瞄一下对吧？ 那这个跟这个等啊，那这两个红的怎么等啊？一等的话，那说明奥迪等于谁啊？ 五、平行加平分线和高等腰，对不对？那同样这两个小角一等也是平分的吧，这还是平行的，那这个小圈跟这个小圈要等的，那说明这两个也等的吧，还是不是得到了？ 得到了吧，平行加平分这个模型平行加平分得等腰，这个模型就用起来两个一综合就得到 o 一， o 一 等于 o 一 了，这没问题，对不对？好， 小朋友看到我把这个平行的这个直线 l 在 这个 a c 这条线段上晃荡晃，晃来晃去，动来动去的吧。好嘞，动到什么时候？ 这个四边形 a 得 c e 是 个平行四边形哎， o 点在也 l 跟 a c 相交于点 o 嘛，当 o 移动的时候，平行线也在动，对吧？那 o 动到 a c 什么位置上？这个四边形就是平行四边形 a c 中点，对吧，对不对？ o 当点 o 是 a c 中点时，四连形 a 得 c e 是 什么形？你说是什么形？平行四边形 为什么？ 对角线相等，对吧？对，角线互相平分好，这个等于这个，这个等于这个，对吧？同学们，同学们， 再看看这个平行四边会不是会是特殊的平行四边形， 他是不是特殊的平行四边？没写多一些，他一定是平行四边，肯定对，对吧？那会不会是特殊的平行四边？是什么特平行四边， 哎，是矩形，有的学生没有看出来，那前提是为什么他一定是矩形， 这个等于这个，这个等于这个，这个又等于这个。那么对角线不是相等吗？小朋友，是不是原来对角线互相平分且相等，所以眼睛是矩形，这个地方要特别的注意 啊，当然还可以怎么解释？小朋友，你看，我来解释，这个等于这个，这个等于这个，因此他是 有一个角是直角的，平行四边是矩形，对吧？会解释的方式方法实在是比较多，所以要多思多想，多总结，对不对？好， 那么剩下的时间，同学们打开课堂推本， 我们翻到第九十五页 复习巩固，找不到了，找不到了，当时就数学分 析九十五页。看第二题，我们就找人快速的回答了啊， 复什么好？最后一遍复是一，一复是一，你说 你先读一遍， 脚臂抖了，四十五度。为什么 平行视频，什么平行视频呢？是哪条性质？ 前面，前面 为什么角 b 等于四十五得到角 b 等于四十五，前面平行，四边对角相等。那么再算角 b、 i、 c 的 时候，怎么算？ 平行于对边平行，对吧？所以角 b、 i、 d 就是 一百三十五，一百三十五减掉三十一百零五，这是一种思路，对吧？当然也可以用三角形的知识的题目，请做一下，这是 几个基本的题目，就是平行四边形的相关性质，对角相等，对边平行以后，内角相等，同旁内角互补， 是不是我得用三角形内角和一百八做些第三题，都做些一起读一遍题目 刘清月 德一等于二。你是怎么说的？简单说，下课那是规定什么？ 就是说根据刚才的知识可以得到 a 一 等于 a b， 对 吧？ a 一 等于 a b 嘛，说明 a 一 是四了，得一是二了。

四边形数学应用型来看这道题考察的什么点？咱读一下题，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 o 平分角 d a、 b， 然后 b、 o 平分角 abc， 也就是说这个和这个是相等的，这个和这个也是相等的，角平分线吗？然后还有一个条件，就是说角 d 加角 c 是 等于二百二十度，然后求角 o 等于多少这个度数。 那这道题好了，四边形四边形的角和大家都应该知道的啊，三百六，所以用利用这个四边形的角和三百六减掉角 d 减掉角 c， 可以 求出来角 d a、 b 和 c d a 是 不是道理？所以可以角在四边形 a、 b、 c、 d 中，因为角 d 加角 c 等于二二零度，那我所以角 d a、 b 加角 c、 b、 a 就 等于多少？ 哎，三百六十度减二百二十度，然后等于一百四十度，是不是等于一百四十度？那他等于一百四十度了，就因为他俩是角平分线呀，是不是角平分线要变角一，边角二，这边角三，这边角四， 然后因为 a、 o 和 b o 分 别平分角 d、 a、 b 和角 c b a， 我 可以得到出角一等于角二，角三等于角四，所以我可以得出哪一块？因为我要求角 o， 并且我在这个内三角形 a、 b、 o 当中内角和的一百八得出， 所以我可以写角二加角三加角 o 就 等于一百八十度，对不对？那我所以角二加角三上去能够等于多少啊？ 他俩相等吗？是不是等于一个一百四吗？也就是说一百四十度除以二就等于七十度呗，是不是？那我有这个等于七十度，我可以得出角 o 就 等于多少一百八十度减七十度，也就等于一百一十度。关注王老师无脑学习。

江苏八下的娃看一下这个最值。问题看起来挺唬人的，但是如果你知道在坐标系内，平四他四个顶点的坐标关系， 那可以说呢，能把他秒了，那目前八下其中的压轴打卡呢？更新了十个题视频讲解呢，都在主页能看到，都选自去年的真题，如果选择填空的最后一个，有些小问题可以去练练手。那来吧，咱们来说一下平四的顶点坐标公式。先画个坐标系， 说这有个平四 a、 b、 c、 d， 它的四个顶点呢，我们都标上，那咱们就利用平四的性质，可以推出这四个顶点坐标的关系。 我们知道平四呢，它的对角线是互相平分的，这个焦点即为 o 点，那 o 点的坐标，咱就可以用终点坐标公式表示出来。比如 a、 c 的 终点， 那就是横坐标相加除以二，以及纵坐标相加除以二，这个东西怎么来的呢？你可以对比在七年级学过的竖轴上的中点坐标公式， 假设这是四，这是八，它的中点也就是八加四除以二，所以在坐标系里无非多了一个横纵轴。那接着如果从 b、 d 来看，也是表示它的中点 o 点，那就是 y b 加 y d 除以二， 而这两个都表示的 o 点，那说明他们的横坐标相等，那同乘二就没了，得到了一个 x a 加 x c 等于 x， b 加 x d， 所以 同理，纵坐标也是 y a 加 y c 等于 y b 加 y d， 这就是平四的顶点坐标公式。 那现在会了焚绝，我们来看看这个小题，说这平四的顶点 a、 c 呢？在直线， x 等于三和 x 等于九上 点 o 是 坐标原点。问对角线 o、 b 长的最小值，那这个条件翻译一下， a 点在 x 等于三上动，那不就说横坐标是三吗？纵坐标不知道， c 点也是一样，横坐标是九，那 o 点横坐标是零到，这是不是三个点的横坐标都有了？ 所以各位点 b 的 横坐标是多少？直接用这个公式吗？是不是九加三就等于零加这个点 b 的 横坐标， 所以就是十二，这意味着点 b 的 横坐标确定他就只在这条 x 等于十二的线上动，那 o 是 定点，点 b 在 动，所以最小值就是垂直的时候吗？那显然是十二。这一题就选第四个，你学会了吗？点赞收藏，练起来吧！

数学的重点在哪里？抓住这几块，孩子的成绩大概率不会差。我是北京海淀任老师，今天我们讲第三部分，四边形， 初二下册几何最难最容易出压轴题的就是这张了。从普通的四边形到平行四边形，再到菱形、矩形、正方形，性质特别多，变化也多，引含的条件多，辅助线 思路自然就多，难度几乎没有天花板。学这一张，千万不能碎片化学习，一定要形成框架，系统化去学，从边角、对角线、对称性四个角度理清他们之间的转化关系，把性质和判定彻底吃透。 很多孩子都说辅助眼画出来我也会，可是自己做的时候想半天也不知道这个辅助线到底该怎么做。核心就是要吃透各种几何模型， 比如矩形的翻折模型、菱形正方形的对称模型、正方形的对角线旋转模型、悬图十字架十字架模型、半角模型、手拉手模型等等。 常考的题型也给大家梳理清楚了，比如用方程的思想在平行四边形中构造全等，结合勾股定律求线段的长度，线段的坠值问题与将近一码问题的综合，还有动点问题，构造中位线 啊，特别是直角、三角形、斜边中线等，都是压轴体高频考法。我是北京海淀任老师，关注我，带孩子一起学好数学！如果你的孩子数学有困惑，欢迎私信我，咱们具体问题具体分析。

各位八年级的家长注意了，孩子数学是不是一道平行四边形的证明题就卡壳，不会找条件，不会写步骤，考试总丢分。其实平行四边形这块套路特别固定，只要把判定、定律、辅助线、常见模型练熟，证明题基本就是送分题。 我给孩子整理了一份八年级下册平行四边形证明题的专项资料，这里面全是常考题型、典型例题， 配套的还有一份详细的答案。孩子练会这一套证明题的思路一下就通了。想要这份专项资料的家长，直接在评论区打平行四边形，我给你发，免费给孩子练习。

今天我们再来看一道八年级的尺规作图题，那么现在新教材之后，七年级和八年级经常好考尺 规作图，不写做法，但要保留作图痕迹。如图，四边形 a、 b、 c、 d 在 边 a、 d 上求作一点 e 在 边 bc 上求作一点 f 在边 c、 d 上求作一点 g， 使四边形 e、 f、 c、 d 为菱形，让我们做的是菱形。那么这道题的尺规作图的依据就是运用菱形的对角线 三个性质，一、互相垂直。二、互相 平分。三、平分对角。 那么同门想一想，首先 e、 f、 c、 d、 e 点我们是要保留的啊， e 点是要保留的啊， c 点是要保留的， e 点在 a、 d 上， f 在 b、 c 上， 那么 g 点是在 c、 d 上。大概是这样一个图形啊，大概是这样一个 菱形啊，大概这样一个菱形的位置。那么我们首先怎么要考虑是怎么运用 c 点来找到 e 点？ 很显然，我们用的是对角线平分，没读对角。所以这道题的第一步先找到 e 点，那么是作角 c 的 角平分线， 那么脚碎的脚皮中线， 那么我们说脚碎的脚皮中线和 a、 d 的 交点就一定是一点的位置。因为菱形对角线平分，每一组对角有 c 点，我们可以很容易找到一点的位置。 那么我们再怎么去找 f 和 g 的 位置，那么 f 和 g 是 菱形的另外一条对角线，所以我们利用它们对角线垂直平分 这两个性质来做，所以那个 f、 g 肯定是要垂直平分 c、 e。 所以 第二步我们只要做出 c、 e 的 垂直平分线就可以了。 那么 c、 e 平面和 bc 的 交点就是 f 的 位置，和 cd 交点就是 g 的 位置，最后我们再连接 ef 和 eg， 那 么四边形 ef， c， g 就是 让我们做的菱形。 好这道事物做头题运用的就是菱形的对角线，它的三个性质来进行做头的，你学会了没有？好，这道题就讲到这里，同城再见。

几何基础要记牢，平行四边形性质跑不了。来看这道题，已知平行四边形的性质，咱们怎样推它的结论，所以今天是总结结论以及公式。来看这个哈，已知平行四边形，它是平行四边形，咱们所得到的第一个 来，接着第一个对边平行，也就是说它是平行四边形，可以推出什么？对边平行，也就说 a b 平行于底 c， 或者是 a d 平行于底 bc， 是 不是？所以这两个可以去推推出来。第二个是对角相等，也就是说可以推出角 a 等于角 c， 然后角 b 等于角 d， 所以 就是两个， 然后对边平行，对边相等，也就是说 a、 b 就 等于个底 c 和 a d 等于 bc， 对 吧？ 然后菱角互补和为一百八，所以也就菱角就是角 a 加角 d， 角 a 加角 d 等于一百八， 还有一个是角 b 加角 c 等于一百八，或者是角 a 加角 b 等于一百八， 还一个是角 d 加角 c 等于一百八，都可以，所以它这个邻角互补和为一百八，就这样得的啊。第三第五个哈，对角互相平分， 哎，互相平分，也就是说这里如果是 o， 那 可以得出的结论是什么？ a o 等于 c o， 然后 d o 等于 b o， 哎，他这是对角线互相垂直互相平分的啊。然后第四个，第六个是中心对称图形，那他旋转一百八十度和原来的图形重合，就是中心对称图形，所以 平行四边的性质有六个，只要有六个，他的有，他的有平行线，有平行四边形，就可以完全推出他的这些结论。关注王老师无脑学习。

同学们好，今天我们来看一道矩形中的双动点，求对角问题。先来看题目，在矩形 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别为边 a， b， a、 d 上的动点点 p 是 线段 e， f 的 中点 p g 垂直 bc， ph 垂直 c d， ab 等于八， ad 等于六， ef 等于五，要求 g h 最小值。那么 g 和 h 在 这里是两个动点，那双动点问题呢？我们都需要转换成单动点的问题，那看一下这张图， h g 是 这个四边形 p h c g 的 对角线， 那么通过题目条件，我们可以得到直角，直角、直角，这里有三个直角，所以这个四边形其实是一个矩形，那么矩形呢？我们就可以选择连接它的另外一条对角线 c p。 那么根据矩形的性质，对角线 g， h 等于 c p， 我 们只要把 c p 的 最小值求出来就可以了。再去看点 p 的 位置点 p 是 e， f 的 中点，那么在这个直角三角形 a， e， f 当中， p 是 中点，那我们会想到连接 a p， a， p 是 斜边的一半，也就是二分之五。那么连接完 a， p 以及 p c 以后，我们不难发现，只要再连接 a， c， 我 们根据三角形的三边关系就可以求出 p c 的 最小值， 那么 a c 根据勾股定律六八十可以求出长度。再根据三边关系， c p 大 于等于 ac 减 a p， 我 们就可以求出 g h 的 最小值是七点五。

今天和大家分享新苏格版八点一数数的下侧八点二节测出平行四边形。第一课是矩形的概念与性 质，理解矩形概念，探索并证明矩形，并运用其进行证明和计算，提升推理能力。好停车场上的闸门由开启 变为平放状态，图中的平行四边形就变成了我们常见的长方形 啊。那么什么叫做矩形呢？有一个 角为直角的平行四边形叫做长方形，也叫矩形。 注意，矩形一定是平行四边形，平行四边形不一定是矩形，也就说矩形是特殊的平行四边形。 好，那在四边形里边有一种四边形叫平行四边形，平行四边形里边有一种叫矩形，这是包含关系。 那么矩形是特殊的平行四边形，那么它既然特殊，那除了平行四边形具有的对边平行且相等对角相等对角线互相平分以外 啊，还具有哪些特殊的性质呢？啊？从这图当中我们大家就会发现，四个角一定直角 啊，可从边角对角线方面来思考猜想。四个角，直角，对吧？四个角直角 已知如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，角 b 为。这一题是角， b 为九， 这不变，求证其他为九十度啊！证明，因为它是矩形，所以它就是平行四边形啊！所以上下平行角 a 等于对顶对顶角，呃，对角相等 啊，上下一平行角 a 加角 b 一 百八。因为角 b 为九十度，所以角 a 角，再根据对角相等就出来啊，这边应该写矩形啊，不要写平行四边啊。 好，从而就是把这么多的一个证明过程。这以后就用这一句话来代替，矩形的四个角都是直角，只要说矩形四个角都是直角， 就省了。证明过程第二，猜想矩形的两条对角线啊，矩形两条对角线，猜想它相等，连接 a、 c、 b、 d 啊，证明它相等是吧？因为是矩形，所以对边相等，所以这点应该写，因为四边形为矩形， 这点应该是，所以所以对边相等。直角直角 b、 c 又等于 c、 b 啊，在这两个三角形当中，摆条线全等全等三角形对应相等，那又把这一大段呢？证明过程也用一句话来表示，只要矩形对角线就相等 好。矩形的性质定律，矩形的四个角都是直角，对角线相等。好符号与圆以为四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，所以四个角是直角，对角线相等。 a， 如果矩形对角线相加于点 o、 a、 b， a、 b 等于二分之一 a、 c， 则三角形 a、 o、 b 是 等边三角形，那么要正等边就正，三边相等。我们因为是矩形，所以对角线互相平分，对角线又相等 啊，矩形对角线相等，矩形对角线互相平分啊说，又，因为 ab 等于二分之 a、 c， 最后等量代换，三段相等，三段相等，所以是等边三角形啊。 利用矩形性质证明直角三角形斜边中线等于斜边一半。那么这一题怎么证明它等于它一半？这已经终点了，也就是怎么怎么样证明它跟它相等，所以我们这把 b、 o 延长截相等啊， 截相等，然后连成平行四边形 啊。对角线互相平分，四边形是平行四边形，也因为有个角直角，所以是矩形。矩形对角线相等，所以 b、 d 等于 a、 c 啊，而 这点应该是二分之一 b、 d， 这点是二分之一 a、 c 再加上，所以啊， b、 o 等于二分之一， b、 d 等于二分之 a、 c 就 出来了。 矩形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形。矩形是竹对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 好，矩形是特殊平行四边形，所以它是中心对称矩形呢？它还是中心对称，是轴对称图形。你看这是中心对称。结论， 轴对称呢？对边中点的连线矩形是轴对称图形，有两条对称，他们是对边中点的连线。 如图，矩形 a、 b、 c、 d 对 角线相加于点 o 角 a、 o、 d 为一百二十度啊， 这个 ab 是 四，这一百二，所以这个旁边这个角就是六十度，是吧？这六十度我们又能正出它，等于它，所以这是一个等边三角形， 所以对角线一半是四，对角线长是八啊。因为是矩形，对角线相等，对角线互相平分啊，所以 a、 o 等于 b、 o， 因为这是一百二，所以邻角邻角六十度，所以是等边三矩形。因为 ab 是 四厘米，所以 ac 啊，等于二，为也是等于二， a、 b 等于八厘米啊。这里应该写，嗯， b、 d、 b、 d 等于 a、 c 等于这两条对角线上啊，都给它写出来。如何求矩形的 面积呢？好，矩形的面积要向求，我们大家注意，是吧？这就是说你要求矩形的面积就是长乘宽，现在宽不知道，那么这是等边三角形，那这是六十度 啊，六十度，这是九十度啊，这是三十度啊，这是八。对角线是八，这是四，那就是勾股。实际上就一步勾股定律就出来了。勾股定律 b、 c 等于根号下八的减四的平方等于四倍，根号三，所以面积。 矩形 a、 b、 c、 d 的 面积等于四乘四倍，根号三等于十六倍根号三好， c、 m 平方好 来。第二题，如图，矩形 a、 b、 c、 d 相加于点 o， e、 c 平行于 b， d。 加延长圆于点 e。 求证， a、 c 等于 e， c， a、 c 等于 e、 c。 你 看这个矩形，这两面平行，这又给这平行做时，这是平行四边形，平行四边形，这个 b、 d 等于 c、 e。 这是矩形 b、 d 等于 a、 c。 等量代换出来 啊。矩形对角线相等，左右平行，又因为给力平行，所以重量线是平行四边形平行四边形对边相等，等量代换结束了 第三题，矩形 a、 b、 c、 d， e 在 a、 d 上啊， e、 c 是 角平分线，问 b， e、 c 啊 b、 e、 c 式或为等腰三角形啊，这点标错了， 不对头，这是 e、 c 平分角 b、 e、 d 是 这两个角相等啊。 好，这两个角相等，因为这个角平行，所以这两个角相等。因为矩形上下平行，上下平行，内错角相等，等量代换，等角对等边好，所以是不是等腰是等腰，证明如下，因为矩形，所以上下平行，内错角相等，因为角平行， 两个小角相等，等量代换，等角对等变，所以是等量三角。 第二问啊， e、 c 还是平分角同分角 b、 e、 d 啊， ab 为一 角， abe 为四十五度，没有这条线啊， 求 b、 c 长好，这是四十五度，这是九十度，那这也是四十五度。等角对等边，那这是一，那这就是根号二。根据刚才正出，它是等幺啊，这就是根号二啊。 啊，因为在这三角形中，四十五度等两个四十五度啊，所以 a 一 b 等于这个等于四十五度。所以 a 一 等于 ab 等于一。勾股定力根二。因为刚才等于二，所以是根二。 好，今天我们学习了矩形的性质啊，矩形的概念和性质啊。矩形性质是对边平行且相等啊。这四个角都是直角 对角线互相平分且向的，既是中心对称，又是主对称。还有一个概念啊，矩形的概念有一个角为直角的 平行四边形是矩形啊，概念。好，这就是我们这节课学习内容。