17中一模数学26题怎么做

大家好，我是程老师，咱们今天来看一下和平区域膜的一个题目，大家可以先对一下答案这一面的后边的。 好，咱们来重点来看一下第十七题，先看一下条件，条件里面给到了 a、 b 的 长度等于二倍，根号三， b、 c 的 长度等于根号三十七，这块呢，又等于九十度，咱们给它标出来这块等于九十度。之后呢， 旋转出等边三角形， a， a 撇 c， 这个是等边三角形，让咱们求 a、 a 撇的长度，因此呢，咱们根据勾股定律，这块是二倍的根号三，这块是根号三，是七，就可以求出来这个长度等于五，因此呢，第一问，对吧，它的长度等于它的长度，答案等于五。 看第二问，咱们知道了 a、 a 撇的长度等于五，这块呢等于六十度，所以呢，就出一个三十度角，在两边一角的情况下，咱们就需要用到咱们的三十度，因此呢，给 b 点往这边给他做一个垂线，咱们假设这个长度，这个交点是 f， 好，根据这个三十度二倍根号三，可以求出来它的长度等于根号三，这个长度等于三，下面等于二和这个长长度的话呢，就等于个根号下根号三的平方，再加上个二的平方，就等于根号七，答案就出来了。 好，咱们先看一下第二十四题，先看第一个，那给到了这个 o、 e 的 长度 等于三之后呢， f 点坐标是零到根号三，因此呢，咱们知道这个长度是等于根号三，这个长度等于三，所以呢，可以得到这块是六十度 d 点的坐标。咱们根据根号三和三，可以求出 e、 f 的 长度等于二倍的根号三，因此呢，我的等边三角形，所以呢，是负的二倍的根号三。逗，三。 好，再看第二问，他说呢，把这个三角形往右边给它平移，在平移的过程中，那它重叠部分是四边形的时候，让咱们求它的面积表达是 s 和去的角的范围。 咱们看一下往前面平移，平移刚开始是一个三角形，再往前走，走到这边呢，也是三角形，当过了点 o 之后呢，这块就是一个四边形， 那走到这个地方，中间卡在这里了，就是一个三角形，那再往前走，就变成了一个一二三四四边形，对吧？再往前走，再出去就是三角形，对吧？这样一个变化过程。 好了，那咱们先看一下它这个取的范围，对吧？它是什么时候取到一个四边形，卡在这块是三角形，因此呢，它只要 f 点过了咱们的 o， 就是 一个呃四边形，所以呢，我的 t 的是大于根号三， 那我再往前走，再往前走，它会卡到了咱们的这个 a b 这个上面来，因此呢，最多是跑到了二倍的根号三，小于二倍的根号三。好，那咱们来看一下第二个图，它的一个面积的表达式。 好，咱们来看这个图，在这里面，咱们知道大面积，它是一个等边三角形，它的面积是不变的，因此呢，咱们还是用 s 大 面积减去 s 小 面积，因此呢， s 三角形 d 撇， e 撇， f 撇，他的边长是等于这个二倍的根号三，所以呢，我直接套公式，等于四分的根号三， a 的 平方就等于四分的根号三，再乘一个他的平方十二，就等于三倍的根号三。 好，大面积有了之后呢，它这块长度呢，是给到了 e 一 撇等于 t， 这个比较好，比较好算一点点， e 一 撇它等于 t 之后嘞， d 撇 e， 那 应该等于二倍的根号三减 t， 因为 d 撇 e、 g， 它是一个三六九，所以呢，咱们呢， e g 的 长度应该是等于呃，它这个地方是二倍根号三减 t， 它的长度呢，是等于根号三倍的二倍的根号三再减 t， 所以呢，我的小面积 s 三角形 d 撇 e、 g 的 面积就等于二分的根号三倍的二倍根号三减 t 的 平方。 好，我阴影部分的面积，对吧？我重叠部分的面积就相当于大面积减去小面积，就等于三倍的根号三减去个二分之根号三倍的二倍根号三减 t 的 平方，这样的话呢，咱们给他化简出来就可以了，等于个负的二分之根号三的 t 方， 再解压上一个六倍的 t， 再减去个三倍的根号三。刚才咱们已经算了去的范围 t 的 话呢，是大于根号三，再小于二倍根号三的。 好，就在这个地方，那咱们第二个让咱们求它重叠部分的面积，它的一个曲值范围，对吧？ t 的 在二分的根号三和呃，二分的 c 一 倍根号三的时候，那咱们来看一下， 来看一下他取两头对不对？取到咱们的最小值在中间的时候呢，咱们刚才已经看到了，他是在卡到了咱们的最中间的时候来，他的面积就是最大的时候，就是我的最大值。因此呢，咱们可以先写出来我的面积的 s 的 最大值， 那就等于四分的根号三，再乘一个二倍根号三的平方，那就直接就是刚才的这个值，对吧？等于三倍的根号三，所以呢，我的最大值直接就算出来了，那在两头在二分的根号三的时候，对吧？咱们就给他算一下， 当 t 等于二分的根号三的时候，那他呢就应该是一个小的三角形，对吧？他呢就应该是一个小的三角形，对吧？他呢就应该是一个小的三角形来， 只有一部分在里边的，所以呢，它的边长这个长度等于二分的根号三，所以我的面积就等于二分的根号三，再乘一个二分的根号三，再乘以根号三倍，对吧？这是高，这是底，再乘一个二分之一，那就变成了 八分之三倍的根号三，得到这个结果，那第二个当 t 等于二分之十一倍的根号三，那么到总长度，对吧？总长度这块的话呢，是等于五，因为呢他这个长度来，他往下面走之后呢，他这块是这个相当于这个长度等于根号三，也就相当于说我走到这个地方那一点的话呢，需要移动，移动这个地方到这边的话呢，应该是移动了，呃，五倍的根号三， 对吧？五倍的根号三。而现在呢，他要走到二分之十一倍的根号三，所以呢，他应该是还差一点点，咱们给他画一下，他这个地方是下面还没出去，就相当于移动到这个位置，他这个这边的话呢，还剩一点点，好， 这边还剩一点点，就相当于这块还剩了一个 二分之根号三，那所以呢，这块就等于二分之根号三，他这个小三角形呢，也是一个三六九，因此呢，咱们的面积 s 应该是等于这个长度，应该是等于四分的根号三，这个呢，应该等于四分的根号三，再乘以根号三，又变成了呃 四分的括号三，再乘一个四分的括号三，再乘以括号三，这相当于咱们的底，这相当于高，这个呢，再乘以二分之一，应该是等于呃三十二分之三倍的括号三，因此呢，这是我的最小值，这是我的最大值。好，咱们来看第二十五题， 那第一问咱们就不说了，直接带进去就可以得到咱们的解一次，咱们来看一下第二问，他说呢，抛物线上的点 e 当横坐标是 m， 当 m 再负一到零，也就相当于在这个范围内，在其取值的时候，那角 c b e 加上个 a o c 等于四十五度，就相当于这个角度 加上一个这块再连起来。好，这个点是点 e 就是这边这个角度加上这个角度等于四十五度。而咱们根据他的坐标，咱们先可以写出来 c 点坐标是零到负三， b 点坐标嘞是三到零。这样的话呢， 咱们就可以求出来这个三角形是一个等腰直角三角形，所以呢，这块是四十五度，这块呢是四十五度。那有了四十五度之后嘞，咱们知道他加他是等于四十五度的，那这个加这个嘞也等于四十五度。因此呢，推出来这个角度和这个角度嘞，他俩是相等的， 那咱们又知道它是一个等腰三角形，所以呢，咱们能求出来这个三角形与这边这个三角形的话呢，它俩是全等关系。咱们假设这个点是 f 点，那就可以得到 o f 是 等于 o a， 它的长度等于一， 这样咱们就可以求出来这个 f 点坐标是零到负一， b 点坐标嘞，咱们是等于三到零，可以求来我的 y f b 的 解一次应该等于三分之一的 x 再减一。 好，有了这个解一次之后呢，咱们先要求一点坐标，那直接三分之一的 x 减一，就等于 咱们呢二次函数减一次，对吧？ x 的 平方减二， x 减三，这样的话呢，咱们给它解出来 x 等于三， x 等于负的三分之二，那所以呢，就可以求出来我的一点坐标在第二项第三项线，所以呢，应该是等于负的三分之二到负的九分之四一，这样一个结果。 好，这是第二问，看下第三问，看下第三问，他说呢点 点 m 是 bc 上的一个动点，点 m 在 bc 上这块动之后呢？呃， n 点呢？是射线这个 cd 上面一个动点，之后呢？ cm 和 cn 是 相等的，之后嘞，当它俩 o m 加上 b， n 他 俩长度和达到最小值的时候呢？让咱们求 a 的 值，对吧？那这个就明显的是一个逆等线的一个问题，咱们逆等线重点呢，就是来构造全等，使那个两个线段连接起来，通过那个三点共线来解决。 好，咱们先第一步先处理一下咱们的这个点，对吧？咱们把那个点这个负一到零给他带进去， 把负一带零，负一到零带带到解一次里面去，可以得到了 a 减 b 减三，等于零，就可以得到了 b， 就 等于个 a 减三，所以呢，我的解一次改写为 a x 平方加上一个 a 减三倍的 x 再减三。 好，咱们现在看一下怎么样来给它构造一个逆等线，因为这个长度是等于这个长度的，所以呢，咱们想办法构造一个三角形，对吧？与这个三角形去全等，因为咱们根据 s a 和 s， 对 吧？这个三角形这个边长，那所以呢，咱们在 c n 这个直线上面，或者 c d， 咱们找到一点 q 点、 q 点，使这个 c b 的 长度等于 c q 的 长度。这样的话呢，咱们去给它构造一个全等三角形，咱们把 m q 给它连接起来，连接之后呢，咱们看一下能不能给它证明这个三角形，这个三角形与这个 b、 c n 它俩全等， 这个三角形与 b c n 就 用全等，现在相当于这个边长，这个边长有了，对吧？公共角有了之后呢，再加上这个 c b 和 c q 是 相等的。好，这样的话呢，咱们就可以得到咱们的最小值 o m， 加上一个 b n， 它的长度就转化成了 o m， 加上个 m q， 那 所以呢，咱们就可以得到我这个 o q， 相当于它就是我的最小值。 o q 的 平方应该是等于根号三四的平方， 那 o q 的 平方，那就等于 oc 的 平方，再加上 c q 的 平方，那就变成了我这个 o c 的 平方。加上一个 c q 的 平方，就等于三四， 那就得到了他是三的平方，再加上个 c q 的 平方等于三十四。那咱们就可以求出来，我的这个 c q 的 长度等于五， c q 的 长度等于五，那 c b 的 长度嘞，他也等于五，因此呢，这是三，这是五，这是四，所以呢，就可以求来了 b 点坐标，那咱们的 b 点坐标， b 点坐标就等于个四到零之后呢，把 b 点坐标带到咱们的二次函数解一次里面去，答案就出来了，答案的话呢，应该是等于四分之三，这咱们的最终结果。

hello， 同学们大家好，今天我们来讲一下刚考完的河东英模的重点点题目还是十二、十七，二四二五，然后中档题目我们在后续的视频里面推出啊， 然后这整套题目河东这道题目就是比往年的河东的题目要简单一些，因为往年河东题目稍微有一点点偏，然后今年整个还是比较符合中考的一个考察的方向，嗯，除了二十五题相对来说最后一个有点难算，其他的题目不是很难，我们来看一下。 然后首先十二题和我们的去年中考一样，然后和我们的这个呃和平还有南开他们的考察的点也都很像，都是在考这个动点面积，所以这个题稍微有一点点不太好算，但是中间我想了一些简单的方法啊， 但是我不知道同学们能不能理解，我只能大致跟大家说一下。然后如图，呃， abcd 是 六， cd 是 四， 然后 p 是 速度为二，呃， abbc 到 c 停止，然后 q 是 由 c 出发速，速度为一， 然后他俩规定是一个动点到终点，另一个动点也随之停止运动。所以我们通过看这几天的这个题，我们可以很简单的来，哎，归纳出它这个动点面积到底在考什么， 一个是什么时候停，那么另一个是由什么时候停所延伸出来，我的这个呃， t 的 取值范围，对吧？这个自变量取值范围很重要一个点啊，然后我们现在来看他们什么时候停止，然后 p u a b 到 c 大 概需要五秒， 然后 q 由 c 到 d 需要六秒，所以它到五秒的时候就停了，所以整个 t 它就是大于等于零，小于等于五的，好吧，那此时第一个 t 等于二的时候， p q 等于四，这个我们算一下，它等于二的时候，这边是二，这边是二，它新构成了一个平行对称 p 撇和 q 撇， 所以此时 p q 就 等于 bc 等于四，所以第一个没问题。第二个的时候我们要考虑 t 大 于等于零，小于等于四，它的最大面积是怎么算的。首先呃从零到三之间，它的解一式是这样，是一个 y c， x 的 增大还是增大？所以我们可以很简单算出来，当 t 等于三的时候是六倍根号三， 那么是不是它有第四秒，也就是 p 由 b 到 bc 的 呃到 bc 的 终点 q， 呃到这屁撇撇。所以到这一段中，我们是不是要考虑它的面积？这我涉及到就是要算一下它的面积，我在如下这个图里面做了一下，我用了一下是 c q， c， 呃， c 啊 a， 这是 a a q， c b， 这个呃梯形，减掉上面这两个三角形这样算的。然后我这个是完整的给大家算了一下，其实呃，后来我在考虑过程中，其实大家着重观察一下，会发现这两个它都是关于 t 的 一个 呃一次函数，那么只有在这形成了一个 t 的 二次函数，我们可以观察出来，这它其实是 t t， t 的 二项系数是正的。好吧，这个如果我们直接用我们二十四题的这个叫去长除项法，我不用算长除项，其实也能很快的算出对称轴，因为我只只需要算对称轴就可以，我并不用完整的算下来它的解析式，这个题也没有这个要求。 好吧，如果我们算出来这 t 是 二分之九，那它的图像是什么样呢？来看，它的图像，其实是这样子的， 由零到六倍根号三，然后开口向下往下走，到二分之九的时候是最小，到五的时候他就停止了。所以我们五的时候其实很好算，就是当 p 到 c 的 时候， q 大 概在这个位置的时候，那此时他的面积算出来是五倍根号三，所以他的图像是这样子，那图像画出来了，这个题他的最大值是不是就是六倍根号三？那么第三问，为什么错？因为此时 五倍根号三的时候是有三个交点，是有三个 t 会使得 s 等于五倍根号三。所以这个题啊，这个答案选 c。 我 说刚才，刚才是要标这个，这，这个点是 a 啊？ ok， 这个答案选 c 啊，应该是两个正确结论。好吧，我们来看下一题。 呃，这个十七题相对来说比较简单，只需要一条辅助线就可以。呃，他说 abc 中角 bc 九十度， ab 等于 ac， bc 等于二倍根号二，一比一比根号二，所以 b a 除二， a c 除二，其实都可以除二。然后 d c a c b a 是 中点，所以 a d 直接取一就行了。 然后第二位说，当 e 点在 abc 外，它延长 b e 到 f 点，它并且满足 c， e 是 平行， b a， 并且 c， e 等于 a d， 所以 c， e 是 一个一， 呃，它 b、 d 延长到 f， 此时它要求 a、 d、 f 的 面积，这涉及到了一个点，就是 它这个平行给我们带来了什么，对吧？平行带来了什么？平行我们是不是很容易出相似啊？那我们这是不是过 d 点？因为 d 本身是 a c 的 中点，我是不是做个平行？做 am 平行 c， e 交 a， a， e 于 m 点，那此时我们可以得到 m 其实也是 a、 e 的 中点，但是它要求的是 f， a、 d， 所以 我把这个图给它支棱了一下，变成这样子。因为 dm 等于二分之一位的， c， e 嘛， 等于二分之一，所以我们把这个图画一下， dm 是 二分之一，那么 a 呃， ab 是 二，然后 d， a， 这是垂直一二根号五，然后 f、 d 是 x， 所以 我们其实可以得到相似，就是 f、 d 比上 f， b 等于 f， d 比上 ab， 千万别算错啊，这个相似的最基本的式子千万别写错，所以算出 x 等于三分之根号五。 那么 a、 f、 d 的 面积与 a、 d、 b 的 面积之比是不是就是底之比？因为它俩是同高的对不对？所以直接算他们的。呃， x 比上根号五等于 f， a、 d 的 面积比上 b， a、 b、 d 的 面积，算出 f、 a、 d 的 面积是三分之一。好吧，是这个题，我们现在来看二十四题。 这二十四题还是比较简单啊，只有一个点，稍微不太好算一点。我们来看一下，他说，呃，平面直角坐标系中等边三角形， a， a， o， b 四十五度，然后 a 是 四到零， b， n， o 是 九十度啊， o， c， d， e 是 正方形， c 是 o， b 的 中点，那么 d 是 y 轴上，那么 b 点的坐标是四到四， e 点的坐标是负二到二，这没问题好吧。第二呢，他将这个图形往右移， 说移动的距离是 t， 他 说重叠面面积为五边形时，他让你算谁呢？算 m、 h 没有让你算面积，但是这个面积后面还得算，因为到第三个还得算。 然后我们来看一下这个 m h 是 不是由这个边得来的，所以我从右边算也行，从左边算不是很好算，但是大家可以算一下有没有方法。我是用的右边，因为 o 撇是 t， 那 o 撇 a 是 不是四减 t， 所以 a g 是 不是四减 t？ o 撇 g 是 不是就一比一比根号二，所以根号二倍的四减 t？ 那 我的 c 撇 g 是 不是就可以算出它是用啊二倍根号二减去，它算出是根号二倍的七点二， c 撇 g 出来了，那我的 h g 是 不是就是乘根号二就二 t 减四，那我算出此时的 b h 是 四减 t， 除以根号等于二倍，根号二减二分之根号二 t。 那 么此时 t 的 范围很简单啊， 我们在左边这边可以描述一下。首先它什么时候开始出现？它是不是它出现前是不是这个 c 啊？ 对不对？ c 再往右一出，他就开始出现我们这五边形，所以他的起点应该是二，那终点呢？随着他往右移，其实是到这样一个图形， 所以这样是四，所以 t 是 大于二，小于四。那么最后一问，嗯，相对来说有一点点不好算，因为中间他有一个限制，因为他此时给的是我们的 s 是 大于等于三，小于等于五。这就考虑到我们的画这个草图 s t 图的时候会有一个 考虑，五到底是不是它的最大值？我第二个，我们要算离界值，离界值就我们刚才所说的二和四这俩离值，发现它们的面积竟然是一样的，对吧？面积是一样的， ok， 此时我可以让 直接，此时当我发现它中间是一个二次函数，它 x 等于二和 x 等于四的时候都是四，所以我直接可以取三的时候 算出来五。你也可以像我一样，就说我我们在考试的时候可能没有考虑到那么多，做这个题的时候没有考虑这么多，但是我们看图的时候，他二和四中间就是一个二三数，所以他们是对称的，所以就是当 x 等于三的时候 算出来 s 等于五，所以他最大值就是五，就这一个点，对吧？这说明他最大值是五，意味着我最后 t 的 范围是一个连续的，而不是分段的。我们在去年的五清二摸中发现一个很大的问题，就是他的最大值 截了一下这个二项数，所以当时我们是不是分了两段，最后的答案是不是分了两段， 对吧？所以此时我们算第一个情况， s 一 算出它几式等于三的时候， t 等于二分之三。第二个是我们直接取对角， t 等于三的时候， s 就 等于五，没问题，对吧？然后那我们串 s 三的时候 s 三，这 需要把这个解析式算出来的时候，等于会出来一个，一个是六加根号三，一个是六减根号三。大家要考虑六的时候已经变到什么时候了，你要把六简单化一下，你就能发现六的时候他已经完全出去了， 对不对？六的时候完全出去六加根号三，他怎么可能会出现重叠面积，所以会舍掉，所以是六减根号三，所以最后 t 的 范围是大于等于二分之三，小于等于六减根号三。 所以这儿需要考虑的点就是我们这个最大值。一个是用我们的去长轴向法，这儿计算量稍微有一点点大，那么另一个点其实就是，如果你通过观察我们的 s t 图，你会发现它是一个对称的抛物线，二和四都对应的，四直接取三就可以了。 好吧，这是我们的这二十四题，我们来看二十五题。二十五题最后一问有一点点不好算，其他的还好啊 啊，第一问直接写吧，然后 p 是 一到负四，第二问，他说 a 点负一到零， b 点，然后 c 为与 y 轴的交点。大家来看出，你说老师你画这个图这么标准，这也是我后来补的图，就我不断的在画，然后我发现有点太离谱，我就把图擦掉了， 然后再重新画。那我们此时来看，他说，当 a 等于二， d 在 抛物线上 cbd 九十度， bc， bc 等于 bd， 也就是 cbd 是 一个，呃，等腰直角三角形，等腰直角三角形必然要涉及到一线三垂直， 对吧？所以这两个三角形是。呃，全等的。那我们又知道，我们是通把 a 等于二和负一到零代入，可以解得这个解析式。呃，很多同学在这算的时候老说我不太会这个十字相乘 可以用微达定律，因为它与 x 轴两个交点， x 一 加 x 二等于二分之 c， x 一 是负一嘛， a 点是负一，所以 c 点就负二分之 c 到零。 好吧，是这个点，那如果说老师我，我可以十字相乘，其实你这个十字相乘也很容易除，所以 c 点的坐标是零到 c， b 点的坐标是负二分之 c 到零，所以我们重新画个图。 obc 这个三角形其实是一比二比 啊，隔号五这个三角形，所以 d 我 们直接能算出来是含 c 的 负二分之 c 得五，二分之 c 直接代入解得 c 一 等于零， c 二等于负二分之五。我们发现图里面好像没有对 c 进行翻译限制，但是人家对 b 进行翻译限制的， 所以 c 加二要小于零， c 要小于二，所以 c 是 等于负二分之五的 c 等于零，这个其实是要舍掉的好吧。然后最后一最后一问，其实不难，但是，哎，不太好画，我这个图画的有点丑， 我们来看说 b 点是负 c 斗零，当这写到 b 点是负 c 斗零的时候，大家有一个很基础的意识，要意识到什么 o， b、 c 是 一个等腰直角三角形，因为 c 点坐标是零斗 c， 这个在很多题目中改都不会改， 然后题目中是不是还给了我？第二问题，干中给了一个 a 是 负一斗零，所以此时你是可以写出来算出来 a 的 a 等于一，所以它的解式我们写成了 x 加一乘 x 加 c， 或者写成 x 方加 c 加一倍的 x 加 c。 那 么此时我们来看，他说 a、 b、 e 等于两倍的 c， b、 e， 不 就把它三等分了吗？三等分 a、 b、 e 不 就是三十度吗？ 不就想说这个吗？这个就给了一个角 a、 b、 e 推出来其实就是 a、 b、 e 等于三十度，然后与对称轴 l 对 称轴是什么？ x 等于 负的二分之 c 加一，对吧，因为我都含 c 了，我直接可以算出来啊。然后 g、 h 分 别为 b、 e 呃 和 ab 上的动点，我随便标了两个点，然后他说当 a g 加 g， h 加 f h， 他 占这个比较简单，是什么？他不像我们呃南开一魔洲，他对这个 b g 和 b g 和 b h 进行了 数量上的限制，你是你的几倍啊？我是你的根号二倍啊。他没有对这个进行限制，所以这个就很简单，也就是说，其实在考虑过程中，一旦涉及到他没有限制，那我就可以进行翻折，进行等量转换了吗？ 对吧？所以呢，此时我的 f h， 我 是不是往上翻，形成了 f 撇 h， 那 我现在不就 还剩一个，还剩一个这个？呃， g h 在 这，但 g h 它是由这两个没有任意关系的动点，所以我只要最后让它们共线就可以了。那这涉及到就要我要将 a 沿着 b、 e 这条线给大家换个颜色啊，可能会好看好看一些。 把 a 点沿着 b、 e 这条线翻到 a 撇，你说老师你这 a 撇算的不准啊，我算出来它就在对准轴上，我现在不是不知道吗？我画的不是草图吗？对不对？我形成一个 a 撇，然后连接 a 撇 f 撇，这就是我要求的这个最小值。 那我们在这涉及到就是啊，第一个是因为 a、 b、 e 的 值是不是要算出来？ ok， 那 此时 f 撇的坐标就出来了。 f， 呃， f 坐标出来了， f 撇的坐标再出来。好吧，那我 a 翻折过来，你说老师， a 翻折过来， a、 b 是 三十度，翻折过来不就变成六十度了吗？你的 a、 b 的 长度又是知道的对不对？ a、 b 的 长度是负 c 加一啊，负 c 减负一不就负 c 加一吗？ 那此时我是不是往下一做垂直？我发现，哦，原来 a 撇就在对折轴上，对折轴上就更棒了，我的计算量一下减了很多，因为它不用两点间距离公式了，对不对？因为你 a、 f 撇都在对折轴上呀，所以我直接竖着线求距离就可以了。 所以此时我们求出 a 撇的坐标，那么 a、 f 就 直接让它们纵坐标相减等于五倍根号三，这样我们可以算出来， c 是 二分之， c 是 负的二分之十三， c 是 二分之十三。人家问 e 点的坐标，你别忘了你说是 e 在 哪？他在 o b e 这个三角形中，我 b 点坐标是不是就能出二分之十三到零？那 e 点坐标是不是除以根号三，也就是零到负的六分之十三倍根号三？这就 e 点的坐标。 好吧，整个这个题，除了二十四题给 s 让你求 t 的 时候，你需要限定他最大值那个点和最后一问算的情况下，其他的没有什么太难的。好吧，那我们今天就到这里，拜拜。

咱们齐台河中考一模时间已经确定，四月八号，四月九号，那么我们同学在我们一模考试当中，数学要注意哪些问题？ 第一个问题要注意的是我们答题顺序，我们很多同学在答题的过程中都会从前到后答，这样是不可以的，因为在选择题，填空题他都会有难题，那么这样的话会浪费很多的时间。因为中考的数学大多数人都是答不完题的， 所以说我们一定要确定好答题顺序。数学答题顺序是这样的，选择题一至七，先答填空题十一到十七，然后是二十一题，二十二题，二十三题，第一问二十四题，二十七题， 这是我们要优先答的顺序。我们第二轮在答的是第八题、二十三题，第二问二十五题， 然后我们才可以去再做十八题、十九题，二十题、二十八题的一二问，这样的答题顺序能保证我们的孩子把基础的分可以完全拿到。那么我们的难题，你比如说选择题的九十题一定要最后答， 因为九十题选择题有蒙的概率，所以说我们最后呃答题是要答我们最难的，那这样的话能保证我们的孩子把我们的基本的会的题都拿到分。关注老于，跟老于一起搞定二零二六年龙东地区中考。

今年的中考数学怎么能拿俩分？这个问题问的好，孩子，就冲这个啊，金老师跟你握握手。为什么握手啊？ 有志气，现在能考一百一十六是吧？那最后那四分你告诉我是因为时间不够，后面的一道压轴题没有写完？有思路，但是时间不够没有写完，对吧？ 老师跟你说，怎么才能保证拿满分？什么情况下才能拿满分？首先第一个一定要保证足够的熟练度，每道基础题你一定是在规定的时间内高效准确的去完成。我举个例子啊，这道选择题我正常情况下 两分钟之内 ok 没问题，但是你偏偏用了五分钟，这不叫熟练，明白了吧？那么你的时间线你看啊，你要保证这三个三个板块的时间线前面的基础三十分钟解决，中档题五十分钟冲的是压轴题，也就是四十分钟。你中考一共是一百二十分钟的时间呢。三 五四，你平常的练习一定要用上计时法，从现在必须要用计时法，而且最少要拿出十套真题。我指的是真题啊，不是你们做的那种模拟训练，拿十套真题做演练，每一套真题 做每一道题，你都要在后边列一个题型时间计划表。这一套试卷第一题我用了多久，第二套试卷第一题我用了多久？十套做完，你一定会有节奏了。我指的节奏不光是你们老师说的找中考的那种那种感觉， 而是你对每一种题型把控的节奏。还有一个就是这十套题练下来之后，你就确实明白你自己的能力和水平在哪了，同时你的不足也暴露无遗。那么第一个我说的是熟练度。第二个呢，基础 一定要完全都对，你看十一题、十二题、十六题，两道小压轴，二十三题、二十四题都属于压轴题。你要保证这几道题之外的所有题你都得对，也就意味着现在所做的每一道基础题和中档题 是心里有底的，你曾经用了无数次全对来验证了这件事。那么第三一个你要见过每一道压轴题。我所谓的见过，不是说每一道题出来都是一样的，不可能一样，而是每道题你要 很清晰的知道他考察的方向，他考察的思路是什么。只有这样，今年的中考数学，你才能保证你做压轴题的时候心不慌手不抖，有思路。那么来，我带你回顾一下，这是二五年， 你看二五年的中考数学给我们什么启示啊？那道肌肉训练题你刷了无数题，这道题你刷过吗？孩子，没刷过吧？你就像去年中考的时候，我给他们压题，其实后边有两道压轴题啊， 我在那个题型里边全部都展现出来了。但是有的孩子说，啊，没考这道题啊，不是没考那道题，是那道题考察的方向和模型是一样的，都是在机械化的刷题的，他只是死记硬背， 没有去灵活应用。所以从现在到中考这六十天的时间，针对你这种情况，金老师再给你补充一点，也是最关键的。这十套真题刷完之后干什么？第一个叫做题感，就是做每道题的感觉， 感知到了中考命题出题的方向。那么第二个呢？你找到了做题的节奏。第三个你知道了你真正的易错点，那么在这个问题上呢，你一定要做复盘，因为你们学校也也在刷题。复盘什么呀？复盘你曾经 错过的，或者是你曾经做题很慢的这些题型，这些题型就是你现在的搏重点，因为你现在的分数是一百一十六，好的时候到一百一十八，然后呢？差的时候呢？也在一百一十三。很明确，你的基础 相对稳定，中档题或者是一些大体你就不稳定了，不稳定的点也就是你曾经错过的点。所以说最后一个一定是复盘在五月，五月中旬左右吧，我会 给你大概四五套我的押题，你放心，按照这个节奏，中考满分大概率就稳了。

同学们，道里的一模已经结束了，我们的数学试卷新鲜出炉，老师把二六二七的详细答案放到片尾，大家截图保存一下。

在，我应该说在我还还在读初中之前还是有这个定型，后面被删掉，但这个定型真的是很好用。弦切脚定你听过没？原密三大定型，弦切脚定型胶 那个香蕉弦定理，还有切割线定理来，这个定理你可能说听过，但是你不知道怎么用。来看看这一题啊，如果说你能够掌握到那个模型的话，这一题他就是用那一个了。好，什么叫做弦切脚定理呢？ 我先把这个模型给你们讲明白啊，讲的过程当中你们不要做笔记，等下你们再慢慢做。那就是说在一个圆形里面，如果说 在一个圆形里面，如果说有一条线跟圆形有且只有一个交点的时候，这一条线是不是就叫做它的切线？ ok 吧？然后这个唯一的焦点叫什么点？切点 ok， 那 这里呢？有切线就有切点，那么我过切点去做圆形随便一条线段，这条线段是不是叫做弦？ o 不 ok， 那 这一个角就叫做弦切角， 这个角就叫做弦切角的度数，它会等于这个圆形里面这条弦所对的任意一个 圆周角的度数，也就是说角一会等于角二。好，怎么推的呢？首先你看啊，放回来这个圆在这个圆里面，角二叫做圆周角，那么我同一段弧呢？这里一段弦弦就会有弧吗？对不对？同一段弧所对的圆周角是不是都会相等？ 你把这个角二掰去一个你觉得最特殊的地方，哎，直径很好，就是把角二掰过来，拉到它成为直径的时候， 那个角二是不是就被你搬过来这里了？ o 不 ok， 就 这样子搬过来了。好，然后搬过来之后，哎，因为他过了圆心变成直径，这里是不是有九十度啊？所以你角二跟角三就会不匀。 ok， 不 匀再来。哎，在我连的这条直径的时候，刚好你这里是切线，所以我这一条半径，哎，刚好又会跟他对，就会垂直，所以就会有这么一个结果，就是角一加 角三对角一加角三就等于九十度，然后呢，角二加角三又是等于九十度，所以这个角一就会等于这个角二了吗？ o 不 ok， 先这一个定领叫做弦切角定领，弦切角定领。再说一遍，就是 在圆形里面，一条弦跟切线之间的夹角，它会等于这条弦所对的任意一个圆周角，这个能理解， ok， 哦，好，那所以来到这个图呢，你这么看过来，我们刚刚说这个圆形是有点必要的，所以我们提前做了上去吗？在你做了这个圆形之后，你自己观察一下 哪一条是圆形的切线， a 刀，还有 bc 的 a 刀跟 bc 是 不是都叫做圆形的切线？所以这里弦切角它是有两个的，第一个是哪一个？ a 刀？ a 刀？谁？这是切线，这是那条弦，所以第一个弦切角就在，哎，对啊，就是 a 刀一嘛。 好，再来，这写是一条切线，这是一条弦，所以下一个弦切角在，哎，就 b c 一 了嘛。 o 不 ok， 但是你看，哦，题目他想问的是这条比这条，那很明显 条件都在上面吗？所以就跟下面没啥关系，这一个你就不用管他了。 o 不 ok， 我 们就看上面那一个。好，再来，你知道了，这是一条弦，这是一啊，这是一条弦，这是一条切线。好，弦切角有了， 所以如果现在我让你以包一为弦，在这个方向看，这样子吗？这里是弦切角，在这里拉一个圆周角过去，包一在这往这里去拉一个圆周角，你想怎么 画？你随便画一个度数都会跟前切角相等的。问题是怎么画？这样子画一个圆周角过来，这个圆周角的度数就会等于红色这个角了，所以这个圆周角这样子画，这样子画，反 向延长。谁？ a e 延长 a e 为啥要延长 a e？ 挺好的，四相四相。哎，不知道为什么，但是你会有感觉的吗？如果我说我自己随便画一个，你真的是随便画的时候，你除了知道角相等没有任何条件，但是如果你延长了，延长就不一样的 pose 呢？ a e 把它一延长过来 再过来，是不是衔接脚定，你就会等于这一个角 o 不 ok 哎，然后谁跟谁相似了？哎，对，相似不就来了吗？所以怎么正的不用多说了啊， 三角形 a e 刀就相似于三角形 a e 刀相似于 a d h ok， 然后对应线段成比例，刚好题目给的那个就来了吗？ a e 比刀， e 就 会等于那个，这条比这条就会等于 ok， a 到比上到 h 好。 再来，如果我希望这个整体小一点，你会发现这里谁已经是个定值 a d？ 虽然说 a d 从来没有说过长度啊，至少有个两倍在那里嘛。两倍的话能不能把人家看作二 s？ 可以 哦，好，那如果这个是定值，它等于二 s， 如果我希望它整个很小，所以分母就得更 更，是不是分母得要更大？你分母越大，你怎么说就会越小嘛？那你觉得 d h 什么时候可以去到最大？对，当 d h 等于那条直径的时候，等于 c， d 直径的时候，它是不是去到最大值就等于？ 如果它等于二 x， 它就会是，对，它就会是 x 了嘛？所以二 x 比 x 就 等于二，最大值就等于二了呀， 对吧？但如果你说这一题我从来没有了解过，什么叫衔接脚定力，你要直接这么在这里拉一个脚延长过去，很抽象的，你考试你不会想得到的。 o 不 ok， 好， 这里还没完，顺便给你们把另外两个定力一起讲啊，这个叫衔接脚定力，还有一个叫 相交弦，还有切割线，那相交弦呢？是这样子的，这里从前有一个圆形，然后呢？圆形里面什么叫相交弦？就是两条弦在相对，然后呢？这里有一条，这里有一条，长度不一样，度数未知。 abcd 就 交于点一， ok 吗？哪两条弦一条一条相交好，然后我随便你连两条线，你想连谁？ 所以 a c 和 b 刀，或者是 a， d 跟 b， c 连谁都行完就对角连两个吗？对不对？为什么你想连这两个？ 连完之后就会有对，怎么这么相似？不用我多说了吧？ o 不 ok， 连了这两条辅助线之后再来。哦，你这两个象形能正相似了？我称它为 a， b， c， d 好 对应，线段成比例， a， b， c 就 会等于 a 比 c， 就 会等于 d 比 b， ok， d 比 b， 所以 交叉相乘之后， a 乘以 b 就 会等于 c 乘以 d， 这一个叫做相交弦定律好，相交弦 的结果意思是什么呢？在圆形里面有两条弦在相交，那么他们自己乘自己，等于自己乘自己。

做出来也没有啥值得骄傲的，其实这次考试很多孩子可能会出现二六二七，做的还不错，但前面做的还不太好。二问其实不难，就是包括我今天做题我第一遍的时候呢，惯性思维了，我上来就直接想斜射问题了，我根本就没研究我们垂直平分线那个事， 所以有不少孩子啊，就是你这个题别想复杂，但大家也不用害怕，你就是中考呢，一二问是常规题，孩子们还是能拿分的。但是三问这次的切入点太好切入了，他就考察了一个我们先知先觉的角质，班艰可求，这个事一定要把它会了，因为它能解决我们园中很多的问题。 第二个点涉及啥？一个三角函数值，因为我们一旦发现我们每个线段表示出来之后，三角函数值就达到了，那剩下就是减面积就行了。所以这个题啊，说实话，二十六题， 我就这么说吧啊，做出来也没有啥值得骄傲的，因为它非常简单。二十七题，这次考察的也是比较简单的，一问二问的，大家就是说一般孩子都会做，因为他计算量不大。 三问呢，我要重点给大家说一下，因为这次三问思路很顺啊，他考察了一个什么，就是我们八年级学习的一个平行四边形的一个性质，一组对边平行且相等，那就平四，所以上来孩子们就很好切手，就是把平四找到了。那么平四我们找到对角线，对角线的焦点，他有一个特点，就是他是终点， 所以直接就推导出来那个搅分线的一个出现，剩下就是算。所以其实我们对标一下我们中考的一个二十七题，大家就想嘛，去年中考十三个满分二十七题，难度极大，这次考试我估计应该二十七题做出来的孩子很多，而且算他也没有那么难。 就是这次考试可能会给孩子一个什么，那个心理建设呢？接下来我们考试的方向一定是重基础、考思维、拼能力。因为只有这样的一个试卷，我们呢把 大家筛选出来，我们才能把中等的孩子拥有一个区分度。所以就是我觉得整体就是给大家一个这样的一个方向吧，就是该怎么练，我们怎么练，包括就是说我们之前的一些新题型，就是大家就按照这个节奏往下走，他就没有啥问题了啊。

今天咱们借着海南最新的初三一模考试题，给大家弄明白一个道理，就是几何辅助线这种东西，咱到底该怎么才能学透？首先先说结论啊，几何辅助线，其实最终它的根都在哪？就在 几何变换上，那么整个几何变换呢？一共就三种情况，平移、对称和旋转。比如说，无论是三角形还是四边形，都有一个常见的条件，叫什么呀？啊？叫两边相等，两边垂直。 那这个东西我该怎么做辅助线呢？你会发现，哎，一会这个题啊，咱这么做，一会那个题，用另外一种做法了，是吧？仿佛他变化无穷，是因为你没有学透，学透了以后你会发现，哦， 一共就这三种变化。第一个说我两边相等，两边夹角九十度，我能不能通过平移让这条边跟这条边重合呢？哦，显然不能，所以遇见这种条件平移，你别给我想， 李老师说清楚了吗？那接下来对称呢？哎，对称就能，为什么呀？因为你有两边又垂直又相等。哦，那你只要把它连上，这就是一个什么三角形啊？ 哎，是不是就是一个等腰三角形啊？等腰三角形中有一条重要的弧线，叫什么呀？哦，就叫三线合一啊。哦，也就是我们去找它的对称轴吗？左右对称着就行了。好，那接下来再来 说，如果我两边相等，夹角九十度，嘿，我现在不是对称，让它重合，我旋转，能不能让它重合呀？ 哦，当然也可以啊，啊，你让他任意找一个三角形，转多少九十度，是不是就给他转过来了？ ok， 那 么这种旋转我们就叫做条件旋转，哎，有变长直升者这个条件，带着三角形就能转过去，毕老师讲清楚了吗？ 如果你这个东西会的话，那么这道海南二十六年的一模题，各位是不是轻松就能拿下了？一起来看吧！ 啊，说，我首先有一个正方形，正方形这些边长都相等，假角全是九十度，紧接着我 b e 等于 d f。 来吧，各位家长，请问哪两个边跟它们相等有关系？是不是我正方形中这两边相等？哦，再遇见你这两边相等， 咱们就在一起了。想到这两边来回答，毕老师，是平移对称还是旋转，是不是谁都能看出来？旋转吧，旋转多少度？ 九十度啊，所以你在那还等什么呀？是不是赶紧连上 a e 和 a f？ 哦， s， a s 两个三角形全等，然后这条边也就旋转九十度 到这条边上来了，是这个道理吧。好，紧接着再看下一个条件， a n 垂直于 e f。 哦，我这两边已经又垂直又相等了，你又给我来一个垂直。各位，那我这个家伙，黄色这三角形不就是一个等腰吗？你垂直我等腰的底，那不就叫做 三线合一吗？画家说，这么一对称不就过来了吗？哦，那各位，你这么一对称，你这条线就应该叫什么 对称轴吧，也叫中垂线吧，合着我是不是又过中点又垂直啊？那反过来，中垂线上的点到线段，两段距离 相等啊，就是因为对称呢，对称，你还等什么呀？赶紧连呢，连完以后哈，整个这条边是不是就能对称过来了？好，最后告诉我们， b e 这边长等于五啊， c n 这边长等于八，问， c e 得多长？ c e 得多长？我不知道，它就是 x， 那 么正方形边长就是 x 加五， x 加五再减去这小块八是不是就等于它啊？那它就是 x 加五再减八，也就是 x 减三啊。旋转之前你是五，旋转之后我还是五吧。好，所以整个这条子线多少？ x 减三再加五，是不是就 x 加二？你是 x 加二，对称过来这边还是 x 加二？好，这道题我做完了，为什么呀？在一个直角三角形中勾股定力，斜边 x 加二，括号的平方等于直角边 x 平方，再加上另外一条直直角边八的平方，是不是这道理？好，继续。这种方程怎么解最快啊？学习要学的是细节。 什么叫学会啊，又快又准才叫会啊。两项加和二， x 加二，两项作差就是二，对吗？右边啊，八的平方就是八乘八呗。 我约掉一个二，还剩四倍的吧。我再约掉一个二，左边剩 x 加一，右边还剩二倍吧。二八十六。所以一个 x 就 等于十五，口算做完了， x 等于十五。各位家长，什么叫会？毕老师说清楚了吗？

南杠一模的压轴大题，大红老师已经帮你们准备好了，大家来一起看看吧！

南钢圈一模刚刚结束，今天林老师给大家分享一下二十六题的解法，我们一起来看一下这道题啊。第一问，我们会发现他给了两个角相等，所以这个时候呢，同学们只需要连接半径倒角即可推导出来角 a、 c、 b 等于九十度减二法，那这个时候我们通过倒角直接可以证明角 a、 d、 c 是 一个九十度的角，所以第一问结束，证明 a、 d 和 b、 c 是 垂直的关系，二问当中呢，给了我们两个角的关系是相等的，这个角 a、 b、 c 和这个角 a、 d、 o， 所以这个时候我们又结合疑问得到的角 a、 d、 c 一个九十度的一个角，所以我们直接去延长 d、 o 交 a、 b 于点 k， 我 们就可以证明出来角 b、 k、 d 是 一个九十度角。根据垂径定律啊，垂直弦，平分弦，所以这个时候我们可以得到 d、 k 和 ak 是 相等的，那么我们再结合相似，这里面隐藏了一个射影形，也就是 a、 d、 k 和这个 a、 b、 d 这两个三角形是相似的，所以我们就可以得到 a、 d 方等于 a、 k 乘以 ab 的 值，所以进而推导出来 a、 d 等于根号二倍的 a， 所以 这个时候再根据线段比例关系一比一根号二倍的 a， 所以 这个时候再根据线段比例关系一比根号二，我们就可以得到 a、 d、 k 是 一个等腰直角三角形， 所以 r 法就是一个四十五度的一个角，所以这个一二问是非常简单的，我们一起来看一下三问啊。那么结合着我们知道 a、 d 和 b、 d 相等，这个时候呢， a、 c 所对的这个角是一个四十五度的一个角， 所以这个时候我们再结合题干给一个线段关系，就是 a， c 等于根号二倍的 a、 d。 首先第一个问题啊，我们已经知道了 a、 d 和 b、 d 相等等腰值了，所以我们还能得到的是什么呢？就是角 o， d， a 这个角是一个四十五度的角，那么结合它夹着四十五度的角，又给了 o、 d 和 a、 c 的 线段关系， 所以我们这个时候可以设 o， d 等于根号二倍的 a， 那 么就可以得到 ok， d， k 都用 a 来表示，那进而根据线段给的比例关系，所以我们就得到 a， c 是 等于二倍根号五 a 的， 那么我们又发现 a、 c 的 弦哎，用未知数表示了，并且这个弧所对的角是四十五度的角，就可以通过弦之弦所对的角之，我们就可以得到半径的表示方法，所以我们只需要连接 o c 这个三角形是一个等腰直， 那么得到 a， o 是 根号十 a， a， o 是 根号十 a， 所以 这个时候同学们描得弹四十五度减 alpha 等于的是三分之一，所以我们得到弹进的 alpha 等于二分之一，那么再结合题干给的三角形的面积 是 a， b， f 的 面积等于十，所以我只要表示出来 a， f， b， d 这个三角形我们就解决了， 所以再根据我们的三角函数值，我们是可以表示出来 c， d 是 二 a， e， f 是 a， b， d 是 四 a， 所以 表示出来 a， f 乘以 b， d 乘二分之一，就是三角形 a， b， f 的 一个面积，所以我们表示五 a 乘以四 a 乘以二分之一，等于的是十 a， 而十 a 得几啊？十 a 得十，所以得到 a 的 值得一，那么得到 b， c 等于 六， a 等于六，那么二十六题就结束了，所以二十六题啊，首先他是一个非常简单的问题，那对标中考来讲呢？他的难度一定是小于中考的，而这道题当中只是结合了两个点， 第一个点是什么呢？就是我们所说的弦之弦存的角之半径可求，所以这个时候我们可以表示出来半径，又根据三角函数值，我们就可以表示出来面积。所以是一个非常简单的问题啊，同学们，你们学会了吗？

东莞高三优质模拟卷推荐的系列第三期，这一份是二六年的济南市的这个高三的一模，这份试卷它的价值在于什么呢？这第一个就是 college 概念究竟是背的还是真的懂？ 第二个就是章节的知识你是散着的，很独立的还是有那个连接性啊？第三个就是考你的计算究竟在考场上稳不稳，会不会在关键时刻掉链子啊？这三点很重要。我们现在粗略的过一下，这份卷子非常好出的。 前面的单选择题的部分，一如既往的就是像高考一个命题的一个风格，就是考的很全，但是难度是有梯度的，在中间的这种啊，腰部题目，像这个三角函数， 还有这个现金回归，特别是第六题啊，这种腰部难题是有一定的思维量和预算量的啊，所以你如果计算不稳，思维发生偏差，就容易出错在腰部提步。第七题呢，反而是个圆锥曲线，比较常规的一个焦点，三角形的一个模型， 只要紧抓他的这个几何性质，就比较轻松的做出来。考了一个离心率啊，固定的值。第八题呢，是一个函数的与导数一个结合，这题的难度比较大，其实是一个啊，多元的一个最值问题，但是用斜修法啊，就能秒杀选 c 啊这题。 然后面呢，像多选题，其实我们关注这个十一题，他这题就像我之前说的一个论调一样，我感觉今年还是这么一个论点，就是我们的概率统计会考这个单选或者多选或者填空的压轴三选一， 肯定是压轴小题之一，像这里就考了一个呃，概率统计的一个多选的一个压轴，难度是比较大的，就是这个事件概率，还有一个条件概率的一些公式，全概率公式等等的一些综合应用啊，难度是有的。 然后呢，他这个填空题的第十四题，考的是一个立体几何的一个圆锥的体积的锥值， 这种题其实比较新颖，这个十四题其实可以感兴趣的同学可以去做一做，有点难度比较新颖，跟别的一些立体题的小题不太一样啊，值得关注一下。 然后他大题是出的比较好的，像这个十五题啊，是考了一个啊，数列，第一问是比较，第一问是比较常规的。那第二问呢？这个求和就已经用到了简单的一个放缩啊，前面的还是很经典的一个啊，对数的一个数列的问题啊，这种我们的放缩还是比较常见的了啊，看一下学生平时的积累 啊。十六题，很常规的一个立体几何大题，这个就不讲述了，十七题也是的一个几三角形啊，他考了个几三角形和一个向量的一个结合，难度不大。 十八题呢，作为一个一模卷子，他考的也是比较全面的一个双曲线的一个问题。然后第二问就是一个经典的一个定比点差法的一个应用啊，求斜率啊，过定点的问题，也是学生应该要熟知并且掌握的 啊。十九题，这个难度就有点大了，这个难度比较大，他也是很经典的，跟去年的高考进行一个对照，就是一个呃，三角函数和 和导数的一个结合，也考了一个，你看他的一个零点的一个无穷的一个问题啊，所以这里是比较有难度的，所以这道题我觉得是可以去好好去揣摩一下，整份试卷难度最大就是他 啊，这里可以去思考一下这种模型，所以整份试卷呢，就是一份好的模拟卷，他不在于你这个学生通过这份模拟卷能考多少分，而是在于他能逼出你真正的在考场上暴露出来的问题，那么他就是一份好的模拟卷，这份试卷值得大家去做一做。

大家好，我是老谷，来看二五二六天津市和平区初三数学一模来看刚结束的这次考试，填空十七题，一个简单的几何综合三角形 a、 b、 c 中角 b， a、 c 来，在这里是九十度角。 好。 ab 长一个直角边二倍的根号三， bc 是 斜边，根号三十七。好，那另外一个直角边，那就等于根号下三十七，减去十二，等于根号二十五，所以说 a、 c 长等于的是五。 好。将三角形 a、 b、 c 绕点 c 逆时针旋转的是多少度？六十度，所以说角 a、 c、 a 撇，角 b、 c、 b 撇都是六十度角， 好，那这时候呢？三角形 a、 c、 a 撇就是等边三角形了，三边相等。所以说看第一问， a 撇的长就是这个边，那就等于 c， a 的 长就等于的是五。下一个要求 b、 a 撇的长， 求它的长度，怎么求？单独在这里又结合知道了 a、 b 是 二倍的根号三，又有这个角是九十度，这个角 c， a， a 撇是六十度，那果断地就构造 凸出三角形来。角 b， a， a 撇是三十度角，要求 a、 c 的 垂线而垂足呢？我们记为的是点 h 来，这样的话，我就把 a 撇、 b 放在一个三角形内，这样的话，三个边表示出来是不就可以了？好，第一个， a、 b 是 二倍的根号三，这里面呢，有角是三十度，所以说 b、 h 是 a、 b 的 一半，它的长就等于根号三 好。 a、 h 又是长直角边是短，直角边的根号三倍， a、 h 就是 三。 整个 a 撇是五，它是三，那这个长就是二。好，它是二，它是根号三。那 a 撇 b 根号下四加三，那就等于根号七。所以说第二问根号七，难度不大，你解决了吗？

同学们好，今天我们继续讲解广东二零二六届高三一模数学的多选择题部分。这三道题分别考察三角函数、概率统计和例题几何。 咱们一步步把核心原理讲清楚。第九题，三角函数的周期性与单调性核心原理，先判断最小正周期 在分析指定区间的单调性。步骤拆解一、判断周期选项 a， 负的正弦 x， 最小正周期是二派。选项 b， 一 加余弦 x， 最小正周期是二派。选项 c， 负的正切 x。 正切函数本身周期是派，所以这个函数周期也是派，不满足二派的要求。选项 d， 余弦二分之 x 的 绝对值，原函数周期是四派 加绝对值后，周期变为二派。二、判断单调性选项 a， 负的正弦 x 在 二分之派到派这个区间是单调递增的，不符合递减要求。选项 e， e。 加于弦 x 在 二分之派到派这个区间是单调递减的，符合要求。选项 d， 于弦二分之 x 的 绝对值 在二分之派到派这个区间也是单调递减的，符合要求。结论，满足最小正周期为二派， 且在指定区间单调递减的选项是 b。 d。 第十题，全概率与条件概率 这道题我们用列表法思路来解，它的好处是把所有情况分类列清，直观不易错。第一天，室内概率三分之二，户外概率三分之一，室内转室内概率二分之一，转户外二分之一， 户外转室内概率三分之二，转户外三分之一。第二天，室内总概率，室内转室内加户外转室内等于九分之五。 a。 正确。第二天护卫总概率 e 仅九分之五，等于九分之四。 b。 错误， 已知第二天室内反推第一天户外用户外转室内的概率除以第二天室内总概率得五分之二。 c。 正确，已知第二天户外 反退，第一天室内用室内转户外的概率除以，第二天户外总概率得四分之三。 d。 正确。结论，正确选项为 a、 c、 d。 第十一题求内接四面体的体积为一性判定。 核心原理， ab 为求直径三角形 abc 的 面积，固定四面体体积仅有点 d 到平面 abc 的 距离，决定只要能唯一确定 d 的 位置，体积就唯一。步骤拆解一、基础分析， 求半径固定 o、 a、 o、 b、 o、 c、 o、 d 都等于半径角 a、 o、 c 和角 c、 o、 d 已知，所以三角形 a、 o、 c、 c、 o、 d 的 面积是确定的， ab 是 直径三角形 abc 的 面积也确定。 体积只和点 d 到平面 a、 b、 c 的 距离有关，距离为一，体积就为一、二选项分析，选项 a。 给出 a、 d 的 长度能唯一确定点 d 的 位置，体积为一。 选项 b。 给出角 b、 c、 d 的 大小能唯一确定点 d 的 位置，体积为一。选项 c。 给出 c、 d 与平面 a、 b、 c 的 距离，体积为一。 选项 d。 给出二面角的大小无法唯一确定点 d 体积不唯一。结论，正确选项为 abc。 好 了，这三道多选题的思路就梳理完了， 大家可以对照自己的答案再检查一遍。如果有哪一步没听懂，欢迎在评论区留言，我们一起讨论。

hello， 同学们，大家好，今天我们来讲一下刚考的这个南开一模呃，重难点的题目，我们基本的题目像十十一以及二一二二三，我们会放到下一个视频里， 好吧，这个这这个视频我们讲一下十二十七，二四二五。确实这套卷子比较难，大家应该也有感受啊。一个是延续了我们往年的 来看一模这个计算量比较大，他这个特点，那另一个呢？就是也是贯彻这个教育改革的思想吗？就是我们去看二十五题的时候，他已经清模型，对吧？他更多的其实是我们的转化思想以及构造能力，对吧？那我们现在来看一下这几道题。 先看一下十二题，十二题他说四边形 a、 b， c， d 中 a、 d 平行 bc， 角， b 是 九十度，那么他这就是一个直角梯形， a， b 是 四， a， d 是 五， bc 是 啊八，那我们此时也能算出 dc 是 五， 这其实往下做条高就可以出现了，好吧，他说 m 从 c 出发，然后以一厘米每秒的速度沿 c、 b 运动，过 m 做 b， c 的 垂线，交四边形于 n， 然后同时 p 从 b 点出发，以三厘米呃每秒的速度沿 b， a、 a、 d 边运动，规定 n、 p 相遇时停止运动， 然后设运动时间为 t， 然后 t 的 一表示，如图所示。所以我们由图可以得到这个 m， n， m 永远是垂直于 c 的， 对吧？所以我们 c m 是 t， 那 么 n m 就是 三分之四 t， 如果非要说 c n， 它其实是三分之五 t 啊，但是其实这没啥用，因为它不用表示。 ok， 那 我另一个点是 p， 点是 bp 是 三 t， 他 们说他俩相距是平行运动，我们是不是要算一下他们什么时候运动，什么时候停止？结果我们算出来其实是在 d 的 时候，三秒的 t 等于三秒的时候，他们就停止了。 那我们现在来看一下这个题。说 t 等一表示 m c 等于 ap， 这个算出来 t 等于的时候， c， m 等于 ap 都等于一，这个没问题。第二是 t 等于二的时候，呃， pm， 此时它的图像其实是如这个图所示， 对吧？所以它等于二，然后 n m 是 三分之八，我是不是让 p 到 n m 的 距离，所以这是不是四，这是二，所以这是三。我们再往这如果做垂直的话，高应该是一个四，因为这是一嘛， 所以我算出来它的面积是三分之八乘四乘二除以等于三分之十六，这个也没问题。然后最后一个，当 t 大 于一小于二等于三分之十六，这个也没问题。然后最后一个，当 t 大 于一小于二，最大面积，此时我们就要用它的二函数的 面积求最值。我们表述起来，呃，一开始不用表述，一开始因为它呃 p 到 m n 的， 呃距离在变小，呃 m n 在 变大。其实一开始也可以说，呃，我们此时 p m n， 嗯， t 到一的时候，我们只需要关注呃，从 p 从一到 a 的 时候，也就是三分之四的时候，我们来画出来他的图像，其实就可以，此时图像是逐渐上升的， 对吧？那我们来看一下他的第二段，也就是 p 从 a 到 d 的 时候，我们需要判断一下他此时的最大面积是多少，那我们我把这个图变在这，这是 p， 那 此时 a p 是 不是变成了三 d 加四，这 t 是 大于三分之四的啊。 好吧，这是三 t 加四，那我 c m 是 t， 那 我的 b m 是 不是八减 t 啊？那我们算出来。呃， p 到 m n 的 距离其实是这段我们标一个 h 吧，也就 m h， 其实是八减 t 减去三， t 减四，我直接去括号了，得到十二减四 t， 所以 我们此时直接算，它最大面积就是三分之四， t 乘十二减四， t 乘二分之一，我们把它变成焦点式，是负的三分之八， t 乘 t 减三，所以当 直接取他们的中间 t 的 二分之三时候，最大值算出来是六，所以不是五。你说老师我还用考虑第一段吗？你此时在这段中他最大，都能到六了，他还用考虑最大值是五的事吗？所以直接打叉就行了。所以这个题应该选 c， 我 们现在现在来看下一题。 ok， 我 们现在来看一下十七题，十七题，这个题。嗯，其实是考察了我们的直角三角形，斜边上中线等于斜边一半，我们来看正方形，边上为六， o a 对 角线 a， c 的 中点 e 为 c， d 上，然后过 c 做 a， e 的 垂线于 h， 呃，然后连接 o h， 此时 o h， 因为它是个直角三角形，所以斜边上的中线。直角三角形，斜边上的中线等于斜边一半，所以这三个边相等，所以 o h 是 三倍根二。好吧， a c 等于六倍根二嘛。 然后第二个它说 f 为 h， c 的 延长线上一点，且 c， f 等于 a e， 它俩相等， 然后此时连接 a， f 交 b， c 于 g 点，然后连接 o g 连接 h， g 说 d 等于二，所以很多边我们就可以出了，所以它是二根十，所以它是二根十。那我们此时来看啊， g o h o h 我 已经知道了 关键点，你说 g o 上 g o 怎么求 o 点坐标？我是 a c 的 终点，可是我是不是碰到一个终点，我是不是中位线，它就等于二分之 c f， 所以我是不是可以构造一下试试？所以我做 f m 垂直于 c g 于这，那我们来看 它倒角的情况下，这是不是 r， 这是不是 r， 它也九十，它是九十度减 r， 别忘了这是个九十度，所以它也是 r， 所以 这两个三角形啊， a s 全等， 对吧？所以我们可以得到它俩是全等的，那此时它俩全等，此时我们是得到了 f m 等于 d a， 那 同样是不是等于 ab？ ok， 那 是不是这两个三角形也全等？它全等完之后，这些边一出结果，我发现这四个三角形都是全等的。就我们要求的是什么 a b， g 啊， f m， g 啊， f m， c 啊， d e a 啊，其实都是全等的，都是二比六比刚好十， 那我们此时就比较简单了，所以我的 c f 二被根号时，所以我的啊 o g 等于根号时， 然后 o h 等于三根二。那我的 f 呃， g h 等 g h 不 也是直角三角形，斜边上的中线能斜圆一半吗？ 所以啊， h g 是 不是也等于二分之一的 a f 也等于二倍根号十，所以算出来应该是三倍根号十加三倍根二。好吧， ok， 那 我们就这个题就到这里。 ok， 我 们现在来看二十四题。通过平面直角坐标系中 o 为圆点等边三角形 a b c， 然后 ab 的 长度是四倍根号三，所以这是一个边长为四倍根号三的等边三角形 c 在 第一象限 bc 的 边与 x 轴交于地点， p 为 x 轴上正反轴一度点，将 o p 绕着 p 旋转。六十度和一百二十度，所以都是六十度了。这些我们就画出来的这两个都是六十度。然后那么 p m、 n 就是 一个等边，此时得到 mp 和 np， 对吧？连接得到 p m n 这一个等边第一个 c 点的坐标，这个不用说啊， e b 根号三比二，所以恰好一半，所以它是六六度，根号三 c d 的 长度，呃，这是二根三，这是二根三。 好吧，这些都没问题。然后第二个，这个其实是由旋转所得到的重叠面积啊啊，此时他说重叠面积为 s。 第二个说，当它们交于 e、 f， 然后交于 s g， 然后重叠为五边形。问，它求的是，求的是 c g 的 长度， 并且写 t 的 曲值范围。这个第二个相对来说，它变成边之后还简单了一点啊，没有那么麻烦。所以我们先来看，这是二倍根三， o d 是 不是三啊？所以 o p 是 t， pm 也是 t， 所以 它其实是 t 减三。我们通过导角度，这是不是三十度？然后这是不是一百二十度， 所以这是不是也是三十度？所以我得到了一个 p g， 其实也是 t 减三，所以我的 d g 呢？ d g 其实是根号三倍的 t 减三。好吧，由此我们就可以得到 c g 其实是等于写在这吧， 等于四倍，根号三减二，根三减去根号三倍的 t 减三，等于五倍，根号三减根号三 t。 但是这有一个一分挺不好得的，就是这个取值范围 说什么时候会出现，我们因为在画图嘛，他此时我们的前一个点由这个图往前，其实是大概是 p d 重合的时候，对吧？ p d 重合此时是不是还是四边形？我往外一出一变大， 是不是就变成我们图中要求的这五边形？所以此时我们要求 d 点坐标 o d 是 不是就等于三？所以 t 是 大于三的，那么 t 的 终点在哪？这关键点在于我不断地放大，其实 pm 是， 我们理解是 pm 这条直线是往右移的， 能理解吗？ pm 这条直线是往右移的，那么现在说，那我是不是要考虑 m 是 先到 a c 上， 还是 p n 过 c 点？所以这个就要求一下，我们要算一下这两个到底谁先到？所以我们现在来看，假如 m 已经到，这个 我们不用用第一个图，第一个图还好画一点， m 如果交呃到 a c 上的时候， 是不是出这样，它是不是 t？ 这是不是六十度？所以我往下做垂直，这是不是二分之 t， 所以 这是不是二分之 t？ ok， 那 此时我假如往这个点做切减，这是不是也是三十度？六十度，所以二分之 t 除以根号三，所以是六分之根号三 t， 这呢是二分之根号三 t， 所以我们出来一个六分之根号三 t 加二分之根号三 t 等于三倍根号三吧，所以算出来此时 t 等于二分之九，那我们此时要算一下它什么时候过 c 呢？ 是不是这样子，对吧？此时 p 十在这，那它是不是还是 t 减三？它是不是还是 t 减三？ 那它是不是还是根号三倍的 t 减三？所以此时出来一个根号三倍的 t 减三等于二，根三，算出来 t 等于五，所以二分之九先出现，所以 t 就 小于二分之九即可，都取不到，等，好吧？ ok， 这个 t 等于五，其实在我们的第三个还有用。 然后现在来看，呃，第二个，第二个说，一到五的时候，它这个本身还是我们的 s t 图，它是一个上升和无限下降，对吧？那一和五的时候我们直接画出来就行了。嗯，标准作图。 所以当一的时候， t 等于一时， s 等于四分之一的平方，等于四分之一，那他五的时候是不是刚才恰好是这样， 对吧？如如，如果你画图画的比较准，你一眼就能看出来，肯定是第一个比较小，如果你说老师我实在是看不出来，你就算呗，你算出来他不恰好是一半吗？这不就此时五减三，这不是二，这不是一，所以根号三，所以这根号三。所以我们 t 等于五十， s 不 就等于二分之根号三乘以根号三的平方嘛，等于二分之三倍根号三。好吧，这个你一比较，其实它是更小的，所以最小值 应该等于四分之根号三，好吧，现在关键是在于最大值。怎么求最大值？我们是不是如我们这个图 所是，你说老师他是不是有可能在下一个？但是我们要先算出我们此时的这个面积，他的最大值是否在我们要求的这个三到二分之九的范围之内，如果在的话，最大值就是他，如果不在，他就要考虑下下一步，也就是 m 与 ac 重合之后所出现的四边形了。 好吧，那此时我们来算一下，嗯，他的面积不就是四分之二三立方大三角形，减掉这两个小三角形吗？ 这一个是八分之二三 t 减三的平方，这是小圆。这个 p h g， 那 上面我们是通过算出来，算出来了这个 m f， m f 等于二分之三， t 减二分之九， 它算也是通过我们，嗯，这个边算出 c、 c g 之后再算出 f g， 再算出 n、 f， 好吧，他这个也是来回算，这个计算量确实稍微有一点点大。 ok， 那 此时算出来他之后，我们是不是用我们平常的去乘除项法，可以直接取出他 t 等于负，二分之 b 等于四分之十五的时候，那四分之十五是不是恰好是我要求的这个范围 啊？就是大于三小于二分之九，对吧？大，这是四点五，这是三点，这是三点多三点七五吧。 ok， 此时我们直接代入算入十六分之四十五倍根号三，这就是最大值。所以 s 范围是大于四分之五根号三，小于等于十六分之四十五倍根号三， 这是我们的二十四题，计算量稍微有一点点大。 ok， 我 们来看最后一道题，这二十五题稍微有一点点难，很多同学我估计第二本都没做下来。这个题其实我 个人认为啊，就是说稍微难度可能稍微有一点点高，但是我认为他是比较符合我们整个中考未来的出题方向的， 就是他弱，弱化了我们经常所说的什么胡不龟模型啊，弱化了，弱化了我们平常所说的你说将军一马啊，这个题，其实你说老师他是一个胡不龟，其实我们用的是胡不龟的一个思想，叫转化思想嘛，构造 会不会是构造，而我们这进行的是构造加转化两种方式。第一个不用多说，直接写出这个。你有没有发现，这个题除了第二分的求抛物线集式，其他全部都是直接写出，也就是说这个题的计算量一定非常大， 老师已经考虑到你几乎是没有时间在写过程了，只能硬算。你只要在你的草纸上算下来这个结果，把答案写出来就给分，写对了就给分，好吧？ ok， 那 此时我们来看呃，第二本。第二本是说了一个点的坐标，他第一题干中除了给了我们一个对应轴是呃一，其他什么都没给。 他说，若 m 点坐标 m 到一和 n 均在抛物线上， m 大 于二， n 在 第四象限 m d n 九十度， d m 等于 d n， 所以 这是一个等式，这样三项形。哇，你说终于找到一个比较熟的点，结果他后面说了， e g 分 别是动点 f 为线段 d n 的 中点，且 d e 等于根号二倍的 d g， 你 说老师它忽然出了这个，这种只能进行构造， 明白吗？通过构造把它转化为我们的等边，那此时我们来看，说 m n 等于根号十，因为它说它是根号十，等下绕行 d， m 等于根号五，对吧？ 又因为 m 的 坐标是 m 斗一，所以这是一，所以算出来二，所以 m 的 坐标三斗一， n 点坐标二斗负二，所以这个很容易算啊。解疑是， 特别是我们通过这个问可以观察到，其实我要求的 n 点和我们与抛物线相交的这个 c 点，它其实它们的坐标是一样的，因为一是对称的，对吧？ ok， 把握好这个点就可以。那我们现在来看 eg 加 f g 到底怎么进行转换。 首先我们把这个等式加减乘零给我放正了，放正了之后，我们发现这个 n g d e 等于根号二倍的 n g， 我 是不是可以把根号二转化成一比一比根号二，所以我在左边 做了一条直线，构造了一个直角，所以很多老师在描述这儿说，其实这是胡不归，也没有毛病。只不过我们这个题其实是在 构造一个直角三角形，进行一个等量的转化，因为我要出现有一段和 n g 相等了，所以我这样一垂直，得到了 d g 永远等于 n g， 对 吧？ 这构造一个四十五度的等量直角三角形，所以一比一比根号二，所以 d g 是 d g 撇，是等于二分之根号二倍的啊， d e 的， 那么 n g 是 不也是二分之根号二倍的 d e 吗？所以我们得到了 d g 撇， 平行且等于 n g， 所以 我们此时连一下 g g 撇，我们会发现一个很重要的这个 g 撇。 e g d 其实是我们平常所说的那个正形，但是这跟正形关系不大，就是 g g 撇，其实是把 d e 垂直平分了， 所以我们取一下 d e 的 中点，标一个 m 怎么样啊？不能标 m， 标一个 h 吧，标个 h， 所以我发现 g g 平。把 d e 垂直平分之后，他要求的这个 e g 加 f g， 我 就能进行转化了。 e g 是 不是转化成了 d g？ 他 要求的这个直接写出的这个东西，我们是不是成功转化为了 d g 加 f g， 这个你大家就会了呀，这个不是很眼熟吗？所以我是不是翻折然后连接，所以我把 f 翻折过去，形成 在这取出一个 f 撇，然后连接 d f 撇，所以我发现因为 f 撇其实是取得我们如果这有一个 k 的 话，其实连接上这个 m， d， n， k 其实是一个正和形， f 撇其实是 n k 的 中点，所以 df 撇 n 其实是一比二比根号五的一个直角，三角三角形，所以我连接 df 撇，然后我刚才不是算出 d， d， m， d， n 不是 根号五吗？所以那我的 f 撇 n 不 就二分之根号五，那我的 df 撇就是二分之五，这就是我们的最小值， 好吧，同样把这个东西导出来之后，我们来看第三个，相对来说就会简单一点，因为我的 d， f 撇 n， 它是一个一比二比根号五， d， f 撇是最小值，所以它是二分之五倍根号十的时候，我们算出来了 d， n 是， 呃，五倍根号二， 好吧， d， n 一 旦出五倍根号二，我们是不是就能把 m n 的 点子坐标求出来？然后我们还是这样切割，发现 dm， d， n 都是五倍根号二情况下， m 点坐标是八到一， n 点坐标是二到负七，所以此时我的解密式很容易算出来， 因为算出 c 等于负七嘛， a 就 等于六分之一，所以是六分之一， x 方减三分之一， x 减七，然后到这我们是他又给了一个让你算此时点记的坐标。大家如果算到这时候，如果你心态还没有崩， 那你就根本就不会去想，老师我这是不是有一个特殊的位置，我们有没有可能用一个相应的比例？我们所想到的其实就是用我们最普通的 mn 的 解析式出来， d， f b 的 解析式出来，然后求焦点记点， 好吧，如果我们确实，你说老师有没有简单方法，他可能通过这个一线三垂直其实是能做出来的， 但是现在我们没有去，正因为我在做这个题的时候，我也是，哎，根本就不会再想了，因为我们现在只能算了，对吧？硬着头皮算下来，所以 y m， n 的 直接解式我们算出来是三分之四， x 减三分之九，那 f 撇的坐标呢？所以你可以取这，然后让他这样除， 你也可以这个 k 的 坐标标出来。因为因为我们刚才说了这是个正方形嘛，所以 dm 的 横轴坐标差就等于 n， k 的 横轴坐标差，所以 k 的 坐标一出出， f 撇的坐标， f 撇的坐标一出， d， f 撇截式一出，算上几点的坐标？四等负的三分之十三。 好吧，所以这个题相对来说更多的是数学思想的考察。你说老师刚考了几年模型，怎么又开始数学思想？ 其实模型生化下去就是我们的数学思想，特别是在二十五题中，他就很喜欢考这个叫做转化的数学思想。好吧，那这就是我们难开一磨的这个重难点的题型，拜拜。

朋友们大家好，今天我们来看这个西腾的一抹结几何题。呃，首先来看第一问，求这个椭圆易的方程题干里面给的信息。呃，分两部分，第二部分是这个圆经过点 b， b 呢是一个下顶点，然后同时给了第一个信息是 f 一， f 二是左右顶点， 嗯，角 f 一 b 二等于三分之二判啊，也就是这个是意外二十度。这样的话，其实我们能得到的有用信息就是小 b 是 等于 d 的， 因为跟那个圆的半径是相同的嘛，它经过这一点，然后这一个，嗯，这个角是三十度，因为这一半是对称性嘛，六十度，所以这个 b 比 c 就 等于一比刚好三呢， c 就 等于个刚好三，然后 a 一 就等于个 a 方，就等于四直接写了，所以椭圆的方程其实就出来了， x 方比上四，加上 y 方 比上一就不写了，等于一，非常的简单。然后重点来看一下这个第二个，第二个难度可能稍微的大一点哈，然后我个人个人觉得这个难度比海淀的那个， 呃，解析几何稍微再难一点点，呃，是这样的，呃，有一条直线，这条直线呢是和这个圆是相切的，呃，和这个椭圆的焦点是 c d 两点，然后这个 o d 这条线和 o q 这条线是互相的垂直的，呃， 让我们去证明这个啊，这个 p 点是 q 点过做的这个 y 轴的垂线，然后让我们去证明这个 ap 和这个 b f 一 是互相平行的啊。 ok， 然后我们来分析一下这个里边的一些特点啊，这里边其实涉及到的定点非常的多。呃，有哪些？这个 a 是 一个确定的点， b 是 一个确定的点， f 一 也是一个确定的点，那 q 点是一个什么点呢？ q 点的纵坐标也就是 y y q， 他的也得是一个确定的点，所以我们的核心目标只要证明 q 点的纵坐标是一个固定值就可以了啊。 然后这里边的条件里边可能没法用这个伟大定力去连力啊，因为用伟大定力连力就是非常非常的难去解这个点。 c 点在这个题干里面信息到我觉得就是一个作为干扰项的一个存在，他在后续的证明的过程中完全没有去使用到啊。分析其实就是这样子，然后我们尝试去呃解一下这个 铁啊。呃，首先我们其实本质上就有证明这个 y q 是 一个定值，那我先给他写一下 y q 是 一个定值， ok， 如果想要证明 y q 是 一个定值的话，那我们要把这个 y q 给表示出来。怎么去表示 y q 呢？我们通过两个特点，我们通过简单一点的就是直线方程，一个就是 l 和这个 o q 直线 o q 啊，然后它俩组合去表示这个 q 点的过程中，我们能把这个 q 点坐标给呃纵坐标给写出来，然后可能需要 场外的一些援助，因为它俩组合起来去表示有哪些特点，有哪些信息需要引用的。第一个特点就是需要引用一下这个是 l 是 一个切线，所以它的方程其实也存在一定的特殊的点。然后第二个点就是怎么着了，地点是在椭圆上， e 上，投缘 e 上。第三个点其实就是这个 o d 和 o q 是 垂直的面膜，我们利用这些信息去尝试去解解一下这里边的东西啊。首先这个题干里边的， 先把这个 k b f 的 b f 一 的值给求上， b f e 等于这个负的三分之 括号三。哎，我们的核心就是去求证这个选 k ap 是 也是等于这个值就 ok 了。 ok， 然后我们去设这个直线 l， 因为直线 l 的 方程没有给，在设之前我需要大家去讨论一下，分别是两个斜率存在和斜率不存在的情况，就 y 等于 k， x 加上呃 m， 然后或者是 y 等于，如果这是斜率存在，斜率不存在的话，它就是 y 等于。哦，不好意思， x 等于负一是吧？ x 是 等于正负一的啊，这部分是一个固定的解法，固定的解法。然后我就误在这个地方去浪费大家时间去解这个事，因为它特别特别的简单，去把 p 点 q 的 所有的点都能求出来，然后去求斜率，也非常的低俗。 ok， 然后我设这个 y 等于 p， s， c， m 呢？我们还是依据上面那个，我们想象出来这个流程，还要设一下 d 点的坐标是这个 x 零 y 零，那这样的话呢，这个 o d l o d 就是 y 等于 y 零比上这个 x 零乘以多少呀？对的， x 是 吧？ ok， 然后我们所以这个 o q 就是 什么东西， y 等于负的 x 零除以 y 乘以 x， ok， o q 是 这个。然后我们把这个 o q 和这个 y 等于 ps 加 m 给连逼一下，解除这个 y q 等于什么东西？ 连立 y 等于负的 x 零比上 y 零乘以 x， 然后 y 等于 k， x 加上 m， 它们连立解得这个 y 是 等于个， 我们一步一步解一下，因为我这个题也没解过。 x 零等于 k， x 加上 m， 然后一项过来之后，负 m 就 等于个 k 加上个 y 零 x 零括号 k x， 那 x 就 等于个 负的 m 除以 k 加上 x 零除以 y 零，然后我们要么其实是 y， 是 吧？然后再给它 y 就 等于个负的 y 零 x 零乘以个 负的 k e 加上 y 零， x 零分之 m 就 等于个 x 零 m 比上一个 k 的 y 零加上 x 零。嗯， ok， 上面这部分我们就给它去掉，因为这部分是不太需要的 啊，中间这部分也不要，直接要最简的结果就可以了。 y q y q 是 等于这个，我们下面的事儿就是通过上面的一些关系式，通过三个关系式来证明这个东西，这个 y q 是 一个确定的值啊，而且你要想垂直，它应该是等于， 反正它和 a 的 这个斜率是负的三分之三的。 ok， 然后我们去底部。嗯， m 是 一个切线，这能得到什么事啊？就是得到这个。呃，这个，这个 y 等于 ts 加 b， y， y 等于 ps 加啊， ts 加上 m， 这个直线到零点的距离也是一。那这样的话我们其实可以解得一个东西， m 等于 根号下 e 加上 t 方啊，我们用点到直线距离去解的时候，可能能能解出这个啊，然后 d 在 e 上，那就是什么色 x 零方加上四倍的 y 零方等于四。呃，剩下一个 o d o q 垂直，其实我们刚刚其实也用过了。呃， 但是他也有另外一个用法，是什么东西？ y 零 d 在 d 也在一个直线上，我们设出来的 y 零等于 k 位的 s 零加上 m。 哎，这其实也是一个一个式子。 ok， 那 我们把这个已知加上吧。嗯， d 在 l 上， ok， 然后接着来解一下这个事。我们把这个 y q 去解的时候，因为他要用这个条件，要要用条件二，所以我们尽量的给他解偏方，所以 y q 方等于什么东西？ x 零方 m 方比上一个 k 方， y 零方加上 x 零方加上二 k x 零 y 零。 这个带方的这些其实都能约掉，后边这个我们要想办法给它去掉，怎么去掉呢？其实在这有一个提示，就是这个 这个地方，哎，我们把 y 减 k x 零等于 m， 然后可以左右两边同时平方，就是 y 零， y 零方加上 k 方， x 零方 减去二 k x 零， y 零等于 m 方，这样的，是吧？其实这个二 k， 那 我们能得到二 k x 零， y 零等于什么玩意啊？等于 y 零方加上 k 方， x 零方减去 m 方，也就等于这个公式，然后我们把这个式代入到 这个里边来，我们看一下对后对应的化解结果，就等于 x 零方 m 方比上这个 k 方， y 零方加上 x 方， y 零方加上 k 方 x 方 y 零方加上 k 方 x 方 减去 m 方。好，同时我们把我们先把这个东西整理一下，就等于 这里边这个他和他是能加到一块的， k 方加上一括号的 y 零方，他和他是能加在一块的，加上也是 k 方加一 x 零方减去 m 方，能 分值 x 零方 m 方。啊，需要注意的是，这个 m 方等于啥？ m 方等于啥？ m 方，在这 m 方是等于 m 方，是等于 k 方加上一，所以这个是就等于 k 方加上一倍 x 零方比它 k 方加一提出来，右边这部分的 t 方加一给它提出来之后， k 方加上一括号 x 零方，加上 y 零方 减去 k 方加一减去一，给它不减就 ok 了。然后最后这里边我们要说这个 x 零方等于 哦椭圆方程，我看一眼，椭圆 x 零方就等于个自减去四倍 y 零方，是吧？ 这样是可以直接跃掉的。增减去四倍的 y 零方，四减四倍的 y 零方比上个四减四倍的 y 零方减去 y 零方减去一，最后就等于多少呀？四啊， 四倍的括号一减 y 零啊，下边是刚好就等于三分之四了。嗯， 我们目标其实也也接近了，这样的话，我们其实就等于 y q 是 等于多少？就等于三分之四。那哦，不好意思， y q 就 等于个三分之二倍的根号三。那我们看一下 a 点坐标是多少来着？ a 点坐标是二到零哈， 那所以 k a p 就 等于，也就是这个 p 点的坐标也是这个 k a p 就 等于个 三分之二。根号三减零比上负二就等于一个负的，也是一样的，负的三分之根号三，他是等于 k。 对 呀， b f 一 的， 哎，他俩是相等的，这样我们就震出这个他俩是平行的了，这题又得正。然后这个题的我觉得最难的地方就是他的这个模型其实非常非常的少见，不像之前我们通过固定的套路 去一步一步推导，能把对应的参数给消掉。他这个最难的地方在于，我们其实很早就能分析出这个 y q 它确实是一个固定值， 但是很难通过这个一二三四四个线索去把这个 yq 真正的给解解出来啊。我觉得在这道题上也花了非常多的计算的功夫，我想在考试过程中，因为时间大家都是有限的，可能确实是难度比较偏大一些。然后关于这道题，大家如果有任何的疑问或者问题，欢迎评论区跟我进行交交流讨论，也请大家。

和平呢，比较拉垮，今天天津上三区火力全开，初三的孩子呢，进行了一模考单数数学的第十七题呢，三个区风格差异比较大啊，河西最拉垮难开，最综合，构图比较复杂啊，然后咱们河西呢啊，这个运算量相对有点大，但是呢，中规中矩。 下面呢，孙老师用独创的幺二三五七占法啊，分享一下这三道题的解法啊。先说核心的，大家可以截下图啊，先读一下题啊，说这个角 a 角 b 是 九十度啊，哎，一定要标全，标清晰。然后呢， a 等于三， b， b， e 等于五， bc 等于四，这个角和这个角相等，然后是 df 等于 dc 啊，在这里 df 等于 dc 啊，这是个等腰三角形， 让我们求的是 cf 的 长度哦， cf 是 这个等腰三角形的底边，如果我们要把这个 cf 和已知关系进行关联的时候呢，我们首先想到的辅助线就是 做这一条啊，就是三线合一啊，做一个垂直，这也是终点，哎，那这条线做出来以后呢，这里面出现了一个矩形啊，如果我们求 cf， 我 们可以求它的一半啊，标一个字母啊，这叫 c g， 我们设 c， g 等于 a， 把 a 求出来，哎，这个总长就是二 a 啊，那么这个矩形对边就是四加 a， 然后这个对边是五加三，哎，这边就是八啊，这个要标全 哎，这个时候我们要求 a 的 时候，我们就在这个三角形去做文章，现在的问题的关键在于这个角相等如何去用啊，这是角平分线，角平分线的辅助线有十五种，那么孩子们在这里面的反馈就有所选择啊， 如果你首先选择做这个辅助线，就是给这个脚的两边做垂线的时候呢，哎，虽然说全等这些边的关系也都有，但是这个线是斜的，你不好用，而且把这个 c d 呢切成了两部分啊，为了降低运销量，我们 选择另外一种做法啊，什么做法呢？哎，角平分线有平行线，那我们能想到什么呢？我们把这个延长出去，这个延长出去，假如说相交于 h 点，哎，那显然这个边，这个边，这个边都是可求的， 这里面出现一个相似三角形，而且呢，这出现一个等腰三角形，也就是这个边和这个边相等，我们通过相似算形把这个 a h 求出来，哎，这个边知道的话，这个边就知道了，这个边知道的话，我们列一个方程就可以把 a 求出来了，哎，这个思路就形成了， 哎，咱们试试求一下啊，首先求一下 a h 啊， a h 等于啊，这个是四比五乘以三啊，就是五分之十二 啊，那紧接着 hd 就 可以算了吗？ hd 就 等于这个 dc 啊，等于 这个四加 a， 再加上一个五分之十二，哎，它就等于什么呢？哎，用勾股定律一列，就是八的平方加上一个 a 的 平方。解这个方程的时候呢，我们有一定的小技巧啊，就是说首先去分母，就是左右同乘以五，那就是五倍的平方，下 八的平方加 a 的 平方，等于啊，这个去掉分母以后呢，就是十二，这个是四五二十二十加十二三十二，加上一个五 a。 然后两边一平方去掉根号啊，那就是二十五倍的八的平方，再加上一个二五一十三百二十 a， 再加上一个二十五 a 平方，二十五 a 平方，这个消掉了，哎，然后再去约分，哎，就可以把 a 就 能求出来了， a 求出来以后呢，这个是二 a 就 搞定，对吧？我不具体再计算了，这个余弦呢，并不是特别大啊。然后我们再看这个难开的啊， 这道题呢，他的图形特别复杂啊，他考的知识点也比较综合啊，呃，我们来看看题啊，就说边长啊，这里面出现一个正方形，然后呢比较下的中点啊，然后在这边做了一条线啊，做了个垂线，一定要标全标清晰啊，仅仅是让我们求的是 o h 的 长度啊，求这个线段的长度， 这个线段的长度在哪里呢？我们把它放在行中去思考的时候呢啊，它是这个直角三角形的一个斜中，我先想到的是它的斜边的一半，哎，斜边是可知道的啊，这是六，这斜边就是六倍的根二啊，那这个就搞定了，是吧。 然后我们重点看一下第二题啊，第二题他讲的是说啊，这个 c f 给这个 a e 相等，哎，继续标全标清晰啊 啊，然后连接 a f 以后呢，有个交点啊，这么构成了一个三角形，让我们去算周长，要算周长就是这三边分别去求啊，这个边已经求出来了，紧接着我们求 o g 啊，还有这个 h g， 然后我们看到这个 o g 和这个线啊，有点像平行，我们就得去拆它平行，拆它平行的时候呢，这是终点，这个平行的话，这中微线，中微线，也就是说 g 点也是 a f 的 终点，这个我们都是大胆的猜想，下面我们怎么去把它落地啊，怎么去，正说它是终点呢， 那我们还得去用这个黄线跟这个黄线相等去做文章，这两根线补在一起，哎， 那怎么去用呢？哎，我们首先想到的是画斜为直思想，哎，斜边啊，这个斜边已经画成直的了，这个斜边呢，我们也把它画成直的时候呢，哎，这个辅线做出来以后呢，这个三角形和这个三角形一定就全等了， 全等以后呢，我们就标相关信息啊，这个是二，这个就是二，这个就是六，哎，这个是六，这个也是六，哎，这两个边相等，就立马就出现了个八字，全等，八字全等啊，这两个边相等，哎，总长是六，再减二十四，这就是二，这就是二，那这个就是终点了啊， 这个是终点中微线，中微线，我只要把这个求出来就行，这个求出来，这在直角三角形里面解决就行啊，这是二，这是六，这里面有个小技巧，这是一比三的关系，一比三，这就是根十倍的二啊，那就是二倍的根十，那么这就是根十， 这个就求出来了，哎，剩下的我们就求这个 h g 就 行， h g， 接着我们去构图啊， 这是中点，这又是大直角三角形， h g 又用斜中半，斜中半，哎，也就是说这个边给这个边给这个边，他们都是相等的啊，这个都是相等的，对吧？这些东西都是相等的呀，这个，这个也是相等，这就是二倍的根十嘛，这也就是二倍的根十啊，总共就 全部就算出来了啊，也搞定了啊，我不具体再算了啊，然后再看和平的，和平的题有点拉垮。这个图很简单，也就是一个手拉手模型啊，除外的孩子就能搞定， 而且这个图还画的有点问题啊，为什么呢？你看这一块，它是二倍的根三，然后呢？ b、 c 是 根号下三十七，就这个啊，根号下三十七，继续标全，标清晰，然后 b、 a、 c 是 九十度啊，然后逆时针旋转六十度，也就出现了一个 等边三角形啊，我们继续标全啊，那么这里面也会出现一个新的等边三角形啊，这里我为啥说他这个图有问题呢啊？嗯，你看这个二倍的边三，也就是边和下十二，这是边和下三十七，这两个比相对于接近于边和下三， 也就是说这个角接近于三十度啊，但是比三十度要小一丢丢，那么这个角就大于三十度，这大于三十度， 这就小于三十度，那么这个边一定就比这个边长，只不过也能做啊，下面我们来看看。这个怎么去求啊，这个是求 a a 一 撇啊，这是 a a 一 撇啊， a a 一 撇的话， 哎， a a 撇，哎，我们把它放到行中去，哎，这个行，这是六十度，这九十度，这是三十度， a a 一 撇，哎，这不是一个特殊三角形，只是一个特殊角，我们怎么去求呢？哎，这个长度跟这个直角三角形解决问题就行了啊，那也就是 啊，三十七减十二再开方啊，这是二十五，就等于五，那么这个也是五了吗？我们来看看这个第二位啊，求 b a 一 撇，求这个长度等于几。这不是一个特殊三角形，但是有个特殊角，我们首先想到的是勾股定律啊，我们要去，我们要去做垂啊， 我改一下颜色啊，做个垂线，在这里面做个垂线啊，做了垂线以后呢，我们立马看到这是一个三角板啊，这是二倍的根三，这就是根三，这个边就是根三，乘以根三，哎，也就是三啊，这总长是五 五减三，这就是二。我们在这个直角三角形里面，我们再次应用勾股定律啊，计算一下就可以了啊，这个计算并不是很难， 也就是说幺二三五七战法非常有效，他的关键的关键呢是他非常稳定，就是不同风格的题，不同难度的题，他都能够搞定，迎刃而解啊，你看和平的， 南开的啊，然后呢？河西的啊，风格不是很相同，但这种高压力的环境下啊，我们利于孩子们的稳定发挥。好，我希望这个战法呢对所有的孩子有帮助。好，加油吧。嗯。

呃，进入我们的解答题，又是比较简单的啊，我们来看第一问， p 就 等于三个平方，九负十除以二，负五，九减五等于四啊！ q 化简，这个也是非常简单的一个二次根式啊，把根号下十二变成四乘以三，所以就等于二倍根号三，二倍根号三，这个就是一个简单的实数的计算和二次根式的化简， 属于基础中的基础啊，所以第一问会等于些。第二，比较 p q 的 大小，也就是说比较四和二倍根号三的大小， 这也是我们学实数的一个基础知识，比较有理数和无理数的大小，我们通常会运用平方法，那么四的平方等于十六，二倍根号三的平方就等于十二，那么所以就是 p 大 于 q， 非常简单的整体。这道题老师给到一心的难度。 第十八题，第一问 a 等于一的话，那么就是 x 方减去四， x 加 c 啊， a 就 等于这个，如果说它为完全平方式， c 是 一个常数，看到 x 方，看到负四 x， 我 们就能本能的想到 x 方减去四， x 加四，就等于 x 减二的一个平方啊，这就是说公式的一个应用，完全平方公式的一个应用啊， 所以呢， c 直接写出 c 的 值，那么 c 就是 等于四，然后做因式分解，那么因式分解和乘法公式是互为逆算啊，就直接把它变成完全平方公式给它和起来就行了啊，也就是说 a 就 等于 x 减二的平方就结束，没事。 那么再来看第二问，若 x 等于二，则 a 等于负九，若 x 等于负一，则 a 等于六，然后求 a 和求 c 的 值，在这呢，老师多问一句啊， 第一问 a 等于一的条件，第二问能不能直接用菲律老师告诉你，坚决是不能用的，不能用的啊！好像这种啊，第一问里边有弱啊，第二本里边也有弱，那么他们的条件是不共通的， 所以第二问就可以看成是题干加第二个题目，一道全新的题，也就是已知整式， a 等于 ax 方减去四 x 加上 c， a， c 为常数，若 x 等于二等于什么？若 x 等于负一， a 等于什么？那么这个就是一道啊，什么题待定。系数法求原式的一道题，也就是我们的二元一次方程组， 所以怎么念好， a 等于负九，负九等于啊，四 a 减八加 c， 六等于 a 加四加 c， 那 么简单的解得， a 就 等于负一， c 就 等于三啊。整体上来说，这道题的难度老师给到，一星至二星之间， 基本上也应该有一半以上同学可以拿到满分啊。点 b 在 菱形纸板 a， b， c 搭的对角线 a、 c 上好。菱形的对角线有什么特点？考察第一个点，菱形的相关定义，菱形的对角线就是这个角的角平分线， 而且菱形的对角线互相垂直平分啊。接着看 c， g 等于 a， b， c g 等于 a， b， 菱形还有什么特点？四条边相等，那么也就是说 c、 g 就 等于分别等于 a， b， a 搭 bc 搭 c 是 吧？那么当我们在图上做了标记之后，我们就能马上发现，哎， b， c、 g 和搭 c、 g 两个都是等边三角形， 那我们裁出这个异形的三角板，也就是说这个阴影面积如何？求证 a， b， g 全等于三角形， a 搭 g， a b g a 搭 g 啊！首先菱形的边相等 s， 然后对角线是平分的 a， 然后 a g 共线 s a s 直接出了 s a s， 这就是考察一个零，第一是菱形的基本概念，第二就是全等 全等。三角形的基础概念非常的简单啊，在这第一问给到异性，那第二问，角 b， a 搭等于五十六度，求一角 abg， 求求这个角，因为 a c 平分，角 b a 搭，所以角 b a， g 就 等于二十八度，因为 ab 等于 bc， 所以 角 bc 就 等于角 b， a g 就 等于二十八度，等边对等角。哈，那么因为啊 bc 等于 g c， 所以 角 c， b， g 就 等于一百八十度，减去角 bc， g 除以二，就等于 七十六度，七十六度二十八，二十八，七十六，这个角就等于一百八十度，减去二十八度，乘以二，减去七十六度。这道题呢，老师可以给到 两颗星。好，那么整体上考察的呢？第一菱形，第二等幺三角形的相关概念，然后通过老角来计算啊，计算度数，还有一个是内角公式。 那么我们来看第二十题，第二十题考察的知识点就是一个相当简单的统计。好，我们来看第一个，哪天的温差最大，直接口算就可以啊。啊，四负一五五零五七，负一十二八，负二十三，负四七，直接就能看出来是周四啊，周四周四十二摄氏度， 那么求这六天最低气温的平均数和最高气温的中位数啊，最低气温的平均数，负一加零，加上负二，加上负一，加上负二，加上负四，最后 再乘以六分之一，就等于负的三分之五，括号摄氏度。第二个要求的中位数，中位数是什么？我们先给他从小到大排过来啊，三四五七八十一， 如果说咱们不看这个十一的话，那么五个数的中位数是谁？五个数也就是基数个，那就是中间的五，那么偶数个呢？偶数个就是中间的两个数的平均数，那就是五加七除以二等于六，括号设数，中位数就是六。那么第一问和第二问都是对最基础概念的一个考察，那么整体上这两问都给到一个。行， 好，我们再来看第三问。琪琪发现周三实际气温比预报一致，实际上最高气温的中位数比预报最高气温的中位数低一度。直接写出， 我们求出来啊，求出来预报的中位数是六，对不对？那么实际上比他低一度，那么实际上就是五度， 那么也就是说五加上什么数除以二还等于五，很简单的一个方程啊，那么周三实际的最高气温就是五度，呃，这道题最多也就给到个一星半的程度吧，那么咱们也给到他一星到两星的难度。

好，我们来看一下这个几何的这个综合题啊，首先他第一问的话，他让我们去补充解析思路哈，我们就顺着他的先走就行了。 f 是 等于长，是等于 a 的， 他截取了这样的一个长， a c 减 a 的是等于 b， c 减 c f 啊，那 a c 减 a 的 明显是对应 c 的， b c 减 c f 的 话，它就应该对应 b f， 所以 第一问的话还是比较好求的，就承上启下嘛，它上面说了这个减的事，我们就对应地找到线段就可以了啊。第一问 这个空比较简单，你一定要去认真读题哈，属于傻瓜式的一个问题。好，继续往下走。两个紫色的一个三角形是全等的啊， c e 是 等于得 f 的， 所以证明，证明这个全等关系，主要是为了证明 c e 等于得 f。 好， 然后说 cf 的 平方 加上 c d 的 平方啊，去等于这个 d f 的 平方，因为这个是为了探求它三边的，所以据说明这个三边关系啊，主要是要转化成 c e a 的 c d， 我 们把这个不符合的去转换一下就行了嘛。你这样去想就是不就简单了， 他问那个 c e a 的 c d 现在只有 c d 是 符合的，所以我们要把 d f 换掉， c f 换掉 对吧？因为 c f 的 话，所以我们这里换掉的话，它应该是 a 的 平方加上 c 的 平方啊，等于 c e 的 平方。那上面不说嘛， c e 等于得 f， 所以 得 f 就 换成 c e 就 可以了那嗯，这个我看一下， cf 啊， c f 的 话就是 a 的， 这是在一开始给我们说的啊，所以这个问题的话还是还是比较简单的，就不需要你去解题，你就自己跟着他的思路承上启下就可以了，把问题按照他的规范去写出来啊。他问 c e a 的 c 的， 所以你就把这不符合的这个边给它转换掉就可以了。圈一圈二还是比较好填的，只要认真一点就跟上思路就可以填出来。就是最害怕的就是你不是很有耐心给它读下去哈。我们来看一下类比二吧， 是根据前面这阵容，嗯，全等，构造全等的一个转化，我们肯定会涉及到一个什么东西，就是构造全等三角形，然后去转换啊。题目给我们说了这个图三，嗯，去罗列了这些信息， e f 啊，得 f 和 cf 的 一个关系好，基于这个我们的一些积累哈，你读到这里的时候，它是一个二 cf， 因为它是一个购物的形式，对吧？所以哈，你如果做题做的足够多的话，那这个肯定要给它缩回去，所以根二倍的 cf 啊， 那它必然会有会能把这三边呢转换到一个这个三角形里。哪三边呢？就是 e f， d f 和根二 b 的 c f 嘛，好，在这里呢，我模仿着前面哈，取一个辅助线， 我在 c b 上去截取这个 c c m 去等 c f， 也就做了一个这样的一个东西。 好，我在 a b 上 c b 上截选啊， c m 等于这个 c f 啊，然后去把它连起来， 所以它是等于它的，对吧？它是等于它的啊，那这个，嗯，这个三角形的话，这个角是等于这个角的吗？因为 b c f 加 f c 的是等于的 c f c 的 加的 c b， 所以 就是这个 bc 角一是等于角二的，然后又因为这个啊， e 这 ec 是 等于 c 的， 所以这个紫色这个三角形啊，这个紫色三角形应该是等于全等于这个紫色三角形的 啊。经过这个全等之后，你看啊， e f 是 不是就等于三角形？我先写一下吧，三角形这个 e c f 就 全等于三角形 的 c m 啊，因为这个全等关系哈，我是不是能把 e f 去就是转换到的 m 上，对不对啊？那他还告诉我们一个什么信息，他告诉我们这个，他让我们找这个的 f 啊，我们会发现这个的 f 就 在这， 而 e f 呢？我把 e f 已经转换到转换到这个得 m 了，嗯，然后会有一个这个根二倍的 c f， 嗯，根二倍的 c f。 因为什么？因为我在结的时候是不是结的 c f 等于 c m 呀？所以你根二倍的，呃， c f 其实就是 f m 嘛。好，那现在呢？我是不是把 三个边啊？三个边就是题目所说的三个边传全部转换到这个紫色的三角形里了，那我现在就唯一剩一步，我就能够证明这样的一个购物关系了。是什么啊？是这个直角三角形，我只要说明这个 f 的 m， 它是一个这样三角形，那我就能说明它是一个这个这个这个固定里的一个关系。因为，哎， f 的 c， 它这个角啊，角一是四十五度，然后角二呢，也是四十五度，所以 角二是等于角 e 的 啊，所以它是四十五度嘛，所以这个 f 的 m 是 一个九十度， 所以 f 的 方加的 m 方就等于 f m 方。嗯，刚才同理哈，题目让我们证明 e f 的 f c f 的 关系，所以我把这个不符合的边给它转换，转换 f 的 保留， 然后的 m 给它转换到 e f， 因为它俩相等 f m 的 话就是刚二倍的 c f。 好， 这样就可以了。 好，那如何去构造这条这条辅助线啊？这条辅助线其实这个根二倍的啊，这种关系它也给你了提示哈，因为根二倍的 c f， 我 们在接触的时候，在直角三角形里，一般都是那个等号直角三角形的时候，它是不是就是 特别多的？呃，等号直角三角形的话，它会有个一比一比根二嘛，所以这也就提醒你以 cf 为这个直角边， 然后去构造一个等差三型，所以又结合着前面的这种全等的这种。嗯，这种截取嘛，所以我们就在 c b 上截取 c m 等于 c e c f 啊，而不是这个 c m 等于 af， 跟刚才稍微有一点点变动。 所以这就提醒我们一个什么，一个是三边关系问题哈，像这样的一个三边问题，因为三边关系基本上就两方向的一个考察，一个是和差关系。就是啊，哪个边加哪个边呀，等于另外一个边，当然它它有时候会有系数哈。 第二个就是这种勾股的一个形式，那勾股的一个形式就有一个做题方向，把你 所所问你的这一边转换到一个直角三角形里就可以了，这个二是我们经常切的系数哈，二，把它放到平方里面，就是根二被 c f， 所以 这个明确的方向就是要把根二被的，要把这个 c f 当成一个直角边构造等腰直角三角形， 这是一个固定的一个思考方向，所以你看到题之后你要有所准备啊，这是课下你可以完成的一个事情，我们也会经常在这个课上考，课上去讲到这个问题啊，然后第三问的话继续看啊，第三问他给的信也挺多的，我们标记标记啊， 课下要养成一个标记的习惯，不然的话你的信息特别容易就是漏掉啊，就六十度 啊， a e 的 话是二根线 啊，目前的话，如果你做题没有什么方向的话，几何问题哈，你可以奔着去，呃，再去多求出来一些信息 为主，比如说哈，因为因为信息越多的话对你肯定是越有利，比如说在这里哈，我是能把 b e 求出来的。为什么？因为看到六十度我就知道了啊，我要构造直线呀，所以我过 a 往下做垂线啊， 因为这是六十度嘛，所以这是三啊，这是三跟三 啊，如果你不知道就是看到六十度的话，要做就是看到那些特殊的三角形，三三个角的话有六十度啊，三十度、四十五度这些东西比较典型 啊，所以那个三六九的三角形的话，我们也可以用一比二、比三这样的一个比值去把。哦，先标一下吧，那这个 b h 吧， 把 b h 的 长给它写出来， b h 长就是三。又因为什么？ a e 我 已知了，然后 a h 我 也已知了，所以我就能用勾定力求出来。哎，过会刚我发现 h e 也是 h e 是 一哈勾定力好把它查一下，所以我现在就是能求出 b e， 然后把 b e 求出来，会发现它是一个四哈，因为角 a， 角 b 是 六十啊，角 a 的 话是一个一百二十度， 所以他是不是？嗯，有一个这样的，就是他属于他的一半，对不对？那基于这样的一个思考，那我去构造一个这样的一个相似啊， 因为他是一个这样的一个，就是就是我这样去做，他会能够能够去我截取的是就是这个四，哈，也就是说我这个 b h e， 哦，这里标 h b h e 的 话，它是一个等边三角形啊，那所以我把这个，我把这里也去构造一下 f m 吧。 d m f 啊，它也是一个六十度，所以 d f m 呢？这个三角形也是一个等边三角形，然后它会你会发现啊，这两个绿色的是一个相似，我们来看一下它为什么相似哈？ 首先呢，因为这个这个角 b h e 和角的 m f， 它是不是一个都都是六十度呀？因为我构造的都是等边三角形，所以这个就像这个角 a h e 等于角 a m f 等于这个一百二十度。好，那这是一个信息，然后呢，这个角 角一加上角二，角一加上角二，是不是等于一个就是一个六十度嘛？然后呢，角二加上角三 是不是也是一个六十度啊？因为那个 b a d 是 六，是一百二嘛？一百二减去六十，所以它就是角二加上角三就是六十了啊，那所以基于这样的一个等量代换，所以我就能知道啊，角一它是等于角三的。好， 这是一个信息，所以这个两个三角形是不是相似啊？ 好，所以我们能得出来三角形 a h e 啊，相似于三角形 f m a。 好，你看一下啊，嗯，这个 a h e 的 话，它是不是已经知道两边了？一个是 a h 是 二， a 六减四等于二嘛？因为这两个三角线相似啊，所以 a h e 的 话，三边我都已经知道了， a h 是 二， a e 是 二根七， a e 是 四。 好，那 a m f 我 能不能找到一些关系的？因为它三边，现在三边都是未知嘛，我想解，我也不能出现多个未知数，对吧？所以我把这个 f m 呢设为 x 哈。嗯，可以发现这个 m 的 呢，它也是 x， 因为它是一个等边三角形，所以 a m 就是 十减 x 嘛，因为那个 a 的是十。好，所以由于它两个相似啊，我就能求出 x 的 一个值， x 的 话应该是一个 啊， x 三分之十哈，所以这个，呃， m f 是 三分之十的话，因为因为那个 m 得 f， 它是一个等边三角形，所以得 f 也是三分之十。好，那这个题就在这里结束了， 你需要去注意哈这种几何问题，你先得到一些尽可能多的信息，然后引导着你的思路走。我首先的话，我们能知道 a， b， e 它三边的一个值，这是属于一个基础的一个 啊，看到六十度的一个反应，我们就要去构造。然后其次呢，又因为什么 e a f， 它这里是一个六十度，它是属于这个 b a 的 一半嘛，所以你看，当我去这样构造完之后，我就会能够得到啊，这两个小角， 你看角二加角三，我会发现这两小角它是，它是由于那个中间那个角是六十度，所以角二加角三也是六十度，那角角二加角一的话也是一个六十度，所以我就能去想到这样的一个去构造相似。