天津市南开区一模数学24题考什么

同学们好啊！嗯，今天好几个区都开始了，中考一模啊，我最先看到的是能开区的卷子啊啊，我觉得出的非常好啊，直接当中考卷子也是没问题的啊，该简单的简单，该难的难， 踏踏实实刷题的同学分数不会太低，但是想分数拔尖确实也不容易啊，压轴题的这个创新性啊，是选拔数学能力的，哎，就是说呢，哎，我有思维和方法的积累来处理一道新题， 而不是说这题没刷过就没戏了啊。好，我们现在先来看二十四题啊，动点平移加放缩啊，非常新颖的考法啊。 好，我们这个动图看了一下对吧？哎，好，我现在先让他暂停一下啊，好，在平面直角坐标系里边他给了我们这样的一个大个的等边三角形，对吧？那这样的话呢，这个第一问呢，那做起来就比较容易了，哎，我们一下就能够知道这个等边三角形的边长是多长，哎， 是四倍根号三，对吧？哎，这个 ab 啊， bc 啊， ca 啊，这都是四倍根号三，对吧？哎，那这样的话呢，点 c 的 坐标非常容易，对吧？六豆根号三，对吧，因为你在这做一垂线吗，对吧，哎， 对吧，很容易就能算出来这条红色的这个垂线的长度是六，对吧？哎，然后从而呢，哎，这段的长度是根号三，这就行了，对吧，这就行了，对吧？ c d 呢？哎，实际上点 d 啊，就是 bc 的 什么呢？ bc 的 终点啊，这个我们通过计算就可以证 明出来，对吧，所以这样的话， c d 呢，是整个边长 bc 的 一半，所以在这个地方呢，我们填二倍根号三，哎，就可以了啊。 好，下面我们再看这个，呃，第二问啊，第二问里边呢是 o p 等于 t 啊，这个 t 这个老演员又出现了，对吧？哎，那我们看啊， 随着这个哎 t 的 增加啊，这个 m n 呢？在干什么呢？哎，在这个往外变大， 对不对？在变大啊，那么这个放缩呢，有的同学可能感觉比较新颖啊，比较新颖是不对？哎，那实际上呢，我们想啊，在以往考过的题里边啊，有一种题目类型，实际上他自带放缩，是吧？哎， 大家还知道我们过去的这个二十四题，哪种题目本身就自带放缩吗？哎，折叠呀，对不对？没错吧，哎，就折叠这种题目，他本身就自带放缩，对不对？哎，你不信你看，就是说我，我如果喜 画一个这样的啊，我自己构造一个，我随便构造一个，对吧？哎，画一这样的大个的，这个等边三角，我给他画这来，那你看啊，那么在这个 t 变化的过程当中，这不就相当于把它的左下角往起折叠吗？对不对？ 没错吧，左下角往起折叠啊，只不过呢，它不是跟我画的这个三角形重叠，对不对啊？它和已知条件里人家这个 abc 重叠， 对吧？哎，所以这样的话呢，这所谓的放松从本质上来讲对我们同学实际并不陌生啊，你在之前解决折叠这类问题的时候，其实你已经会了，对吧？哎，所以在这个地方你不要紧张，哎，不要发蒙啊，好，下面我们看啊，哎，那么，哎， 给了我们起了一堆名字，对不对？这个名字我就不念了啊，我就不念了啊，现在问什么东西呢？说重叠部分为五边形的时候，哎，什么时候五边形呢？哎，那我们看，从这，哎，从这开始，哎，从这开始，哎，好，看到了吧？哎， 从这个时候开始啊，在这一瞬间，他是从一个什么哎，从一个三角形变成一个五边形，对吧？哎，这个 临界点，对吧？哎，这个历史时刻很有意义，那么这个时候是 t 等于几的时候，是 t 等于三的时候，对吧？哎，因为这个点 d 的 坐标我们可以给他算出来，相当于我们在刚才算这个的时候，我们已经算完了，对吧？我们不妨给他写一下点 d 的 坐标， 三到零，对不对？哎，所以在这个点这应该是 t 等于三，那么 t 等于三的时候，他是不是已经变成五边形了呢？没有，对吧？ t 等于三的时候，他是三角形了，对不对？哎，在 t 等于三的下一个时刻，他才变成五边形，哎，所以， 哎，我们看这红色就是他说的五边形，对吧？哎，那么这个地方呢？哎，取之范围的左边这个边界应该是 t 大 于三，对不对？哎， t 大 于三，对吧？哎，好，下面我们再看，什么时候这五边形这历史阶段就结束了呢？那我们看，走走走走走走走走，哎，是吧？哎， 走到这个时候，哎，他就变成什么东西了，哎，他就变成四边形，对吧？他就变成四边形，那你说我再往后啊，再往后，那更不可能是五边形了，对不对？哎， 所以这个时候呢，哎，我们把这个干什么呀？我们把这个看清楚，哎，我们把这个看清楚啊，这个时候，啊，哎，我们来算一下这个时候 t 啊，他等于几啊？这个时候我们来算一下这个 t 等于几啊？那么这个时候，其实呢，哎，也不难算啊，当点， 哎，当这个点啊，就正好来到这个地方，正好卡在这个 a c 上的时候，那么这个时候呢，我们可以把这给连一下，对吧？哎， 因为这个三角形啊，这个 o m p 啊，就这个三角形，它始终是一个什么呀？哎，等边三角形，对不对？哎，那这个角 那肯定一直是六十度，对吧？啊，这个角是三十度，因为这个角一直是六十度，所以此时此刻这个地方是什么呢？哎，此时此刻这个地方是九十度，对不对？那这样的话，我们就能够知道这段的长啊，这段的长，已知条件已经告诉咱了，是多长啊？哎，这个 o a 的 长度， 是吧？哎，三倍根号三，对不对？哎，三倍根号三，对不对？哎，所以这样的话呢，我们可以把这块的长度给它求出来，对不对？哎，应该怎么求啊？这个，哎， 三倍根号三啊，除以二，乘以根号三，对不对？乘以什么呀？哎，二分之根号三，对吧？哎，那么这样的话，我们就可以知道这段长度多长，哎，二分之几，哎，二分之九啊，就是此时这段长二分之九，那么不就意味着 o p 的 长 也是二分之九吗？对不对？哎，那么这个时候就意味着什么呀？哎， o p 等于多长？等于四点五，也就是说这个 t 啊，等于四点五，对不对？哎，当等于四点五的时候，他结束了什么呀？他的五边形的历史时期啊，所以这个时候啊，这个 t 的 取之范围我们就能够知道了啊， t 是 大于三，小于四点五的 啊，好，我们从动图上我们再来看一下，哎，也就是说呢，哎，当他等于三的时候，他还是一个等边三角形，对吧？下一个时刻就变成了五边形 啊，那么当它等于啊，四点五的时候啊，当它等于四点五的时候，它又变成了一个什么呀？四边形啊，又变成一个四边形，也不再是五边形了，哎。所以这个是 t 的 什么呢？曲折范围啊，曲折范围。 哎，那这个时候他还让我们干什么呀？在他是五边形的时候，让我们来算这个 c g 的 长，对吧？按我们来算这个 c g 的 长啊，啊，这个其实不难算，好，我们来看一下啊，那么这个里头呢？我们这样啊，哎，我们先把这个 d p 的 长给表示出来。 dp 的 长是什么呀？哎， t 减三，对吧？哎，圆 o p 是 t 啊，对不对？哎，那么这样的话呢？哎， d g 的 长，我们就可以给他表示啊。 d g 的 长怎么表示？注意这个三角形， 这个三角形是一个什么呀？哎，顶角一百二十度的等边三角形，这我就不用给大家证明了吧，对不对？那么顶角一百二十度的等边三角形，底边是腰长的几倍啊？是根号三倍，对不对？所以我只要把刚才这个 d p 乘以根号三，就得 d g 的 长，对吧？哎， 得到 d g 的 长了，而 c d 的 长，刚才我们已经求完了，是二倍根号三，对吧？哎，二倍根号三，求完了。所以啊，这个 c g 的 长就拿整个的什么呀，哎，就拿整个 c d 的 长减去 d g 的 长就可以了，对吧？而二倍根号三，减去啊，根号三倍的 t 减三，对吧？哎，我们打这个括号，打开整理啊，合并同类项，对吧？最后得什么呀？哎，五倍根号三啊，减去根号三 t 啊，这是 c g 的 长度啊， c g 等于五倍根号三，减 根号三 t 啊，那么这个 t 的 取值范围呢？就是大于三小于四点五啊，这也是他充当五边形的时候的，哎，这个，呃，这个，这个 t 的 取值范围啊， 好，这个呢？是第二问啊，这个是第二问啊，好，我们下边再来看一下这个，呃，圈二啊，圈二，也就是整个这道题的啊。第三问啊，好，我们看啊， 呃，整个这道题的第三问呢？他这个说是 t 大 于一小于五的时候，对吧？其实这个对于我们来说，这并不难判断啊，好，我们现在看， 等于一的时候是这样，对不对？哎，等于一的时候是这样啊，也就等于一的时候，它是重叠部分，是一个什么呀？是一个小个的等边三角形，对不对？那此时此刻的这个面积呢？我们很容易就能算出来的四分之二三，因为这是等边三角形呢， 边长是一对吧，他就是四分之根号三，对吧？就是四分之根号三啊，好，那么再往下就干什么了？哎，就变大了，对不对？变大了，哎，这个过程解析式虽然很好找，但是你也不用担心啊，不用你非得给写出来，哎，好，再往下，好， 当它进入五边形这个历史阶段的时候啊，根据我们以往的解析经验，那么这个时候它的面积一定在这个历史阶段里边是什么啊？是先变大后变小，对不对？也就是说啊，在我们刚才求出来的 t 大 于三啊， 小于四点五啊，在这个范围里的时候，他的面积是先变大后变小，而且一定是一个二次函数，一会我们给他求出来，我们看看，好吧？哎，我们给他看看啊，好，那我们再看啊。那当他超过了四点五以后，哎，当他超过了四点五以后， 到这，哎，这个时候四点五，对吧？那你说再往下他的面积就干什么？哎，继续减小啊，那减小到五的时候，哎，那减小到五的时候，他得这个，对不对？他是这个，那么等于五的时候，这重叠部分面积，那我们来看一下，他肯定是 持续往下减小了，在这个阶段，对不对？哎，那我们实际上就比较一下什么呢？哎。 t 等于一和 t 等于五的时候，谁的面积怎么样？比较小啊？这个时候我们都不用算了，其实对不对？我们只要看这个图，你仔细观察一下，你一眼就能够干什么，就能看出来。 t 等于五的时候和 t 等于一的时候，谁面积比较小了，对不对？哎，不信你对比一下，哎， 对吧？哎。 t 等于五的时候，哎，它面积是这个， t 等于一的面积是这个，显然它小，对不对？哎，那也就是说 t 等于一的时候，往后走，哎，这个三角形的面要重叠部分面积再增大，对不对？ 增大，增大，增大，增大。变成五边形的时候是先变大后变小，其中应该有一个最大值，然后在后头，哎，一路下去再减小， 减小到 t 等于五的时候呢？不够小，所以这个数就应该是它的最小值，对不对？哎，那么它的最大值是什么呢？最大值当然就在五边形那个时期里边，所以接下来我们要把它的解析式给算一下，对不对？好，现在我们来看啊， 我把这个动图，哎，拉到哎这个地方了啊，我给他拉到这个地方了啊。好，那么这里头我们先算什么呢？哎，我们先算一下这个 g f 的 长度啊，我们先算一下这个 g f 的 长度啊，这个 g f 的 长度比较容易算， 为什么呢？哎，因为我们刚才已经有谁了，已经有这个 c g 的 长度了，对不对？已经有 c g 的 长度了，所以呢，哎，这个 g f 的 长度，我们就给它表示成，哎，二分之根号三啊，乘以谁呢？乘以这个五倍根号三减去根号三 t， 对 吧？哎， 然后这样的话等于什么呢？哎，二分之十五减去二分之三 t， 对 吧？哎，这个是 g f 啊，表示完了这个 g f 呢？哎，我们再表示谁呢？我们再表示一下 p f， 是吧？哎，这个 p f 也很简单， p f 等于谁呢？ p f 等于 p g 加上 g f， 是 吧？哎，那 p g 等于 p g 和 pd 不 相等吗？对不对？所以是 t 减三啊，哎，加上呢， 这个二分之十五减去二分之三 t， 对 吧？哎， 把这两个加在一起啊，加在一起之后，这东西等于什么东西呢？哎，他等于二分之九啊，减去二分之一 t， 哎，这个是 p f 啊， 然后呢，我们就可以表示出 f n 的 长度了，对不对？哎， f n 的 长度是什么呀？是整个这个 p n 减去刚那 p f， 对 吧？就是 t 减去啊，二分之九，减去二分之一 t， 对 不对？哎，那么这样整理一下之后，他得什么呢？得二分之三 t 啊，减去 二分之九，对吧？哎，这是 fn， 有 了 fn 之后呢，我们就可以表示出谁啊？我们就可以表示出这个 e f， 对 不对？哎， e f 当然是 fn 乘以根号三了，对不对？是根号三倍的啊？二分之三 t 减去二分之九，对吧？哎，有了 fn 啊，有了这个 e f 我 们就可以干什么呢？哎，我们就可以给它表示出三角形，谁啊？哎？ e f n 的 面积，对不对？哎，这个 e f n 的 面积是谁呢？他，哎，这个 f n 啊，乘以这个 e f， 对 吧？然后再除以二，对吧？然后再除以二啊。那么整理一下之后呢，我就在这个地方不给大家写这过程了，为大家看着方便啊。哎，我在这个地方，哎，我给写一个这个，哎， 最后表示完了是什么东西呢？这一块啊，是八分之九倍的根号三啊， t 减三的平方啊，注意在这里头啊，这 这个式子和这个式子啊是一样的，对吧？所以最后一定有什么一个括号平方。那你把二分之三提出去，提出去之后就是什么呀？就是 t 减三了，对不对？哎，因为你在这个地方各提了一个二分之三，所以最后得什么呢？提平方之后是四分之九，四分之九，哎，这个这个这个，这前面还有一个括号三，对吧？ 再再往前面还有一个二分之一面积公式里边，所以最后是八分之九倍的根号三，乘以七减三的平方，对吧？这是这块。然后我们再来表示谁呢？哎，我们再来表示这块，对吧？哎，就这块啊，我换一个颜色，同学们，哎，就这块， 对吧？哎，这个绿颜色的面积，那就更好表示了，对吧？哎，因为它的斜边是 t 减三，对吧？所以我以前讲过无数次了，这样的面积应该是八分之九倍的根号三啊。 t 减三的平方，对吧？哎，一个是八分之九倍的根号三啊，是，呃， 这个这个地方 sorry 写错了。一个啊，八分之根号三 t 减三的平方啊，八分之根号三。哎， 这是我之前数次强调过的一个什么呀？哎。面积公式对吧？哎。面积公式对吧？哎。就是一个三六九的三角形斜边，如果知道的话啊，然后这个呃面积如何给它表示出来，对吧？ 嗯，这块是八分之九倍根号三 t 减三的平方，这块呢是八分之根号三 t 减三的平方，对吧？那么最后呢？哎，我们 在表示这个面积的时候我们应该从大个的三角形 m p、 n 这个里边干什么呀？我给它减去，对不对？那么 m p、 n 的 这个面积等于多少呢？它当然等于，哎四分之根号三替方了，对吧？哎，等于四分之根号三替方，对吧？哎。所以那我们看这个 s 应该等于四分之根号三替方 减去八分之九倍根号三 t 减三的平方啊，然后呢再减八分之 根号三啊， t 减三的平方啊，也就是说减去这一块啊，再减去这一块啊。好，我们把这个式子啊展开整理一下啊，展开整理一下之后我们得到什么呢？负的根号三啊替方加上二分之十五倍的根号三 t 啊，然后减去四分之四十五倍的根号三啊，然后你在这里边呢，哎，把它配上一个顶点式也可以啊，或者不配顶点式直接用什么呀？哎，直接把对称轴算出来也可以啊，但是这里头我们免不了什么呀，哎， 你要验证一下我们比较放心，对吧？我们算一下这个二次函数的对称轴是什么呢？哎。哎， t 等于什么呀？四分之十五， 对吧？哎，同时呢，我们还一定要再看一眼啊，这个 t 等于四分之十五啊，他在不在五边形的这个范围里边啊，因为这个五边形的范围他不得要求什么呀。哎， t 大 于三，小于等于四点五啊，小于四点五没有等于，对吧？哎， 那么四分之十五在不在这个范围里面呢？他是在的，对不对？所以这个时候 t 等于四分之十五的时候，达到了 s 的 这个所谓最大值，对不对？那你代入算出来， s 这个 最大值等于多少呢？哎，十六分之四十五倍的啊，根号三啊，这是它的最大值， 那么它的最小值是什么呢？刚才我们也算过了，四分之根号三，对吧？哎，这个就是 s 的 取值范围，这是二十四 t。

本周啊，好几个区都进行了初三一模的统考，就数学而言呢，一些题型的新趋势，新变化，咱分享一下。嘿，太好了，第一，这个中考的二十四题会不会是折叠， 不是一年平移一年折叠吗？哎，你看南开区这个二十四题，他是动点先旋转，然后呢平移加放错，这就是很创新的题型。你说这道题算嘛呢？每样都有点哎， 算折螺卧了是吗？哈哈哈。第二，有同学说了，我学了胡不归、逆等线这些个模型，怎么二十五题套不上呢？那不白学了吗？哎，咱举个例子啊，比如说你学了炒辣子、鸡丁、炖排骨、包饺子这些呢，就像胡不归、逆等线这样具有典型特征的模型。 但是呢，命题的趋势是去模型化，也就是淡化单一套路，考察综合厨艺。你比如说现在给你的元素有土豆、鸡胸、排骨、酸菜，你能不能做一道新菜？ 折罗呀，你快吃饭去吧。哎，别别别，哎，王老师，这些新题在哪看呢？哦，我整理了这几个区的试卷，还有关键题的讲解，需要的可以领一份给孩子看看。

南开区的一模，凭心而论，这个题的难度有点大啊，给大家讲一讲这个题目。首先第一问就不用多说了，他这个题的大概的感觉就是，我有一个固定的等边三角形，这个等边三角形呢，边长是等于四倍的，根号三的。 然后呢，有一个小个的等边三角形， p m n， 这个三角形随着点 p 向右来移动，这个三角形是在逐渐长个的，从这么小变成了这么大，大概的意思就是如此啊。当然还有一个 o p 的 长和 m p 的 长是一样的，并且 o p m 也好呀， m p n 也好呀，什么 n p d 也好呀，就这些所有的角度都是六十度。 有了这样一个初步的感觉之后，我们来看这个第二个图，也就是当点 p 逐渐向右来移动，走走走走走。哎，在这一瞬间的时候，他问我 c g 的 长度，我觉得这里边比较简单，除了第一问的啊， 比较简单的就是表示 c g 的 长度，你来感受啊，就是我要表示的是这一段，那我去表示线段的长的时候，肯定是要跟别的线段产生一些关系， 那么唯一能用的这个 t 只有 o p， 不 像别的啊，像常见的那种平移的话，可能会有好几个 t， 像这种的一平移一放大，好像只有 o p 是 等于 t 的。 所以我想要表示 c g 的 话，你脑海当中来想，这个三角形是一个三十度、六十度、九十度的三角形，这比较好。正，我就不多啰嗦了，我可以从这条边或者这条边或者这条边任意求一个就可以，你就去感受哪一个更好。求啊，等你挣扎完之后你会发现哦，这个 c g 是 落在了 c g 上的， 这个 c g 你 知道 c g 应该就等于 b g， 等于那个大的等边的一半是二倍的根号三。哎，那我要求 c g， 其实就是求 d g， 然后你再观察 d g 所在的三角形啊， b g p， 这个三角形是一个 三十度，三十度，一百二十度的这样一个三角形，怎么样来正的啊？就这个角是六十，这是垂直的，然后这条边三，这条边是等于根号三，所以这个角就是三十，当然这个也是三十，当然这个 也是三十，就你再去推三十，三十一百二的时候呢，还是比较简单的。然后接下来到 d p 的 这一段啊，我得表示这段啊，它比较好求，就是 t 减三，那么这条边也是 t 减三，那么这条边就应该是根三倍的 t 减三。往这一划啊，根三倍的括号里 t 减三。 然后我再来去表示这个 c g 的 时候呢，就应该等于二倍的根号三，长的吧，长的减去这个减去根三倍的 t 减三，就这玩意算出来，应该等于五倍的根三。减去根三倍的 t， 表示这个线段相对来说还比较友好一点。它没让你表示面积吗？是吧？表示线段还友好一点。呃，然后第一个难关就已经出来了，就是说，呃，重叠部分，如果是一个五边形，想要让我们求 t 的 取值范围， 无非就是你看着这个图，把这个图像左挪一挪，然后向右挪一挪，如果这个图像左平移，你感觉一二三四五，这五条边哪一个容易被消灭掉？向左平移，当点 p 向左平移的时候， p g 是 越来越小的 p g 是 越来越小的 g h 是 不也得是越来越小的？ 那么这个 m e 啊，是往左平移，它是不是应该是越来越大的，所以它也不会消失， ef 也不会消失，这个 m h 也不会。然后你再来看这块，这块因为你是向左平移，所以这块的这个交集，也就是和大三角形的这个焦点 f 和 g 是 不是也并不会消失？你就找到了这个瞬间，当点 p 到了 d 的 这一下的时候， 满不满足要求，只需要判断这个事，哦，也就我这个地方是不是那个临界点呢？呃，大家看我这个图，能明显的感觉到里边的这个小三角形等边正好和这个大的等边呢相交在了这个位置，但是你自己你说我，我画图感受不出来啊，哎，我就要给大家看这个事啊， 我怎么判断？当点 p 到了 d 的 这个位置的时候，刚刚好这个 n 到了 a c 去感受这个过程，呃，这一块到了这，当点 p 到了这的时候呢，也说 p n 的 长等于 o， d 的 长等于三，这段的长度呢，是等于二倍的根号三。那你想我从这做一个垂直的话，那我说这块啊，这块是根三， 这块是不应该就等于三哦，我这个 n 恰好落在了这一上边啊，那我这个地方就能够明显的感觉到这个 t 应该是比三要大的， 当这个点向右平移一下一点点的时候，是不是已经是一个五边形了啊？从三角形过渡到了五边形， t 呢？是大于三的等于三的时候，通结部分还是三角形，所以不行。 然后接下来你又开始观察他给我们的这个图啊，这个瞬间的时候，然后你开始想，呃，当这个三角形向右来平移，什么时候达到那个临界点呢？ 你可能会有两个选择，第一个就是我这个 m 向右挪，大约和 ac 交集落在 ac 上这一瞬间。第二个就是我这条线 刚好平移经过 c 点的这个位置，使得 f g 是 不是没有了啊？这两个你都可以考虑，然后把这个临界点的图呢都画出来。首先第一个让 m 落在这上边的时候，也就是说我使得 o p 转上去，那么这一段的长度你明显的看到点 p 是 在这个位置，那么目前这条边是不是还没有经过点 c？ 你也可以强行的让它经过点 c， 然后反过来推这个点 p 在 什么位置。比如我强行让它经过点 c， 你 会发现这段就是二倍的根号三，那这段既然是二倍根号三，这个三角形还是一比一比根三的那个三角形，所以这块是啊二，这块也是啊二啊，也就是这个时候的点 p 呢，刚好落在了五的这一瞬间。好了， 当你把这个瞬间画出来之后，你发现 m 早就出来了。好，那我这个地方就应该是让 m 落在 a c 的 这一瞬间，是我想要的五边形的另外一个临界值，现在重合，现在的重合部分是一个四边形，然后我们再来看啊，呃，这块的 o p 怎么求？ 你在琢磨这个 o p 的 时候，其实你想我求 p m 也行，我求 p n 求 m， 我 只要任意一条边求出来就可以。然后这个地方的六十度我感觉有用了。为什么说有用？因为你把 o m 就 能连起来， 这玩意连起来之后，这个 omt 这个三角形是不是也是一个等边？也就是我只要把这条边求出来是不是也可以？ 为什么要求这条边呢？因为这条边这个角好表示，这个地方不是三十吗？这个地方是三十，这个地方是六十，这个地方是垂直的，这条边你是小的，是等于三倍的根号三，那么这条边就是二分之三倍的根号三，那么这条边应该是从这个乘以根三来的，就是二分之九， 那么对于这个 t 呢，就是大于三小于二分之九，两端都取不到啊，你要特殊关照一下这个事啊，两端能不能取到好了，也就是说在这个范围里头呢，是一个五边形的存在。 第二问讲完之后，我们来聊第三问，第三问给我的 t 呢，是大于一小于五。呃，因为刚刚我们在去思考的过程当中啊，就是这个五是刚好到这一瞬间的时候，也就是说重合部分应该是这样的一个三角形，这一瞬间是一个三角形， t 等于一呢，往这走走，走到这个位置，也就是哦，现在来讲，这个三角形是一个边长为一的，等边三角形 有了这样一个感觉之后，你再去呃，拖动这个点 p， 你 会发现，当他在零到三之间的时候，你看啊，当他在零到三这个之间的时候，是不是就是一个三角形放大缩小的这样一个感觉，当他到三这一瞬间的时候呢，刚刚好 n 落在了 a c 上， 也就是说从零一直到三的这一块都是三角形，并且这个三角形的面积是在逐渐的增加的。呃，这个地方不能写 x， 应该写个 t， 是在逐渐的增加的啊。从零，我别写零了，就写一吧，因为他也没让我求那个零。从一到三这个地方是一个三角形，随着我从三向右来平移，刚刚第二位当然就用上了，这个时候是一个五边形，到几呢？刚刚也求了，应该是到二分之九之间，那这个地方应该是一个五边形， 再往后从二分之九得到五，这是四点五到五吗？从二分之九的这一瞬间直接往右再动啊，也就当 m 落在 a c 上的时候呢，是一个四边形，然后继续向右动，继续向右动，当他点屁落在五的时候，也就是刚好经过了 c 点的这一瞬间的时候，是一个三角形，也就从这到这是一个四边形。 我写这个东西呢，其实用处也没有那么的大，主要是为了让你感受在三角形的这个部分，同轴部分的面积是在逐渐的上升的，然后五边形这个位置你得思考一下了。 当我这一瞬间向右平移这一下下的时候啊，整个的大三角形是在变大的，但是这个小角出来了，这个小角也出来了， 那么这个大三角形变大的速度肯定一开始比这两个小角要大一些，所以在这应该是往右再走，往右再走 出来的，会越来越大，所以你感受。我说这个地方什么时候取到最大值呢？并不太清楚，或者说在五边形这有可能是上升下降，甚至也有可能是逐渐都是在上升的，所以我觉得最大值呢，应该在五边形的这个位置取到，需要把它的解析式求出来，你像这个三角形也好，像这个四边形也好，这个解析式就可以不用求了。 那当点 m 落在这一下的时候呢？这是一个四边形，明显的是不是看着比五边形的地方要小一点，然后再向右经过点 c 的 这一瞬间，这个部分重合部分应该也算是最小的。那你现在的感受就是要么一这个位置取到最小，要么五这个位置取到最小，这个好求。 呃，这条边是等于二的，这条边是等于一的，这条边是等于根号三的，这条边等于根号三，所以这条边是等于三的。当然你也可以不用求那个三啊，他这个地方就应该等于二分之根三倍的根三的平方，三 十度，六十度，九十度的这个三角形呢，它的面积就等于最短的这条直角边三十度所对的这条直角边的根二分之根三倍的 a 方。把它当做 a 来对待啊，那这个一算出来就是二分之三倍的根号三，刚刚的这个一边长是一， 它的面积呢是等于四分之根号三乘以一的平方，所以一这个位置会更小一点，如果你画图比较好，明显看着这个就比那个要更大一点。好，接下来就到了五边形的这个 最小值，我们已经解决完了。接下来到五边形，我把这个图呢放在现在的这个位置，我要把这个五边形的解析式给他求出来。这是这个题里边比较困难的一个点， 但是我已经把这个 c g 是 不是已经求出来了，也就是这个是可以拿来用的。看这啊，我要求这个五边形把它写上一个圈一，把它写上一个圈二，把它呢写上一个圈三。所以我只需要把一加二加三求出来，然后再把这个三求出来，然后再把这个二求出来。用大的减去那几个小的是不就够了？ 这个大的是一个等边，边长是等于 t 的， 所以这玩意就等于四分之根号三倍的 t 方。 为什么先把圈三拿出来呢？他好欺负一点。这个圈三再去表达的时候是一个三十度，六十度、九十度的这样一个三角形，我只需要知道 hp 就 可以。当我知道的是不是应该是这条边是等于 t 减三，那么这条边呢，就等于二分之 t 减三，那么圈三就等于二分之根三倍的二分之 t 减三的平方。最难的出来了就是圈二这个三角形。哎呀，前不着村后不着店的， 这三条边我得挑一个来欺负，哪一个比较好欺负呢？完了，我觉得啊，应该是这个。呃， n f 好 求一点，为什么？因为我知道了 c g 就 可以知道 f g， 然后这块这个 g p 的 这一段是不是就等于 t 减三？我把它写一下，它就等于啊 t 减三，然后这一段刚才我们已经求了是五倍的根三减去根三倍的 t， 当你有了这个之后，就可以求 f c 是 它的一半，然后再到这就乘以根三，所以就是用它除以二，再乘以根三，那么这段的长度就是 二分之根三倍的五倍的根三再减去根三。 t 这段有了，这段有了，那么这段也就表示出来了，那么圈二的这个面积也可以表示的出来啊，也可以表示出来。行了，从思维上的难关上呢，基本上也就讲到这了，剩下的就是大家自己来算，这个题算起来也非常的麻烦，但是我觉得听完这个讲解啊，应该明白这个题到底是怎么样一个东西了。好了，讲完下课。

天津初三一模数学，南开大于和平大于河西，昨天刚刚考完数学啊，南开、和平河西三区卷子哪区的难呢？整体而言，三套卷子都完全对标中考。而在难度上，这次南开区给了孩子一个下马威，难度是三套里边最高的，其次是和平，最后是河西。那想冲事务所的孩子啊，河西得上一百一十二，河 平得上一百一十，南开得上一百零八。这次南开和和平的十二题都考察了动点问题，八十五题都考察了将军引马，算是异曲同工，也说明这两类题型是今年的大热门。有趣的是啊，这次二十四题图形变换，三套考察截然不同， 和谐考察了折叠，和平考察了平移。而南开呢，则进行了创新，由线段旋转构造三角形，进而求长度和面积。很多孩子和成哥反馈啊，考场上有点束手无策。确实啊，此前没有做过类似题目的训练，做起来确实很棘手，后续成哥会单独出创新模块给大家去练手。 总的来说啊，三套试卷的十二、十七、二十四、二十五题，这四道题都非常值得大家去练习，还没看过试卷的一定要去看看。

昨天张老师拿到南开区数学卷子，赶紧做了做啊，这套试卷整体出的非常好，但是计算量太大了，这套试卷里面呢，对于中等生还是有所放手了，比方说中等生担心的二十一题，今年就很简单， 那我们来看一下啊，整体一到十一题都非常的中考十二题是二零二五年中考的一道改编题，动点类问题。张老师在一模钱给南开区出的动 重点类问题，你有没有收到？如果你做了的话，给张老师点一个赞。然后填空题十三到十八题。这里边有一道题特别不友好，就是我们的十七题，这道题也算是南开区的一个小创新，因为二零二五年中考的十七题已经不能间系喽，所以张老师有依据的猜测，二零二六年中考十七题也不 能间系。所以屏幕前如果你还指着十七题用通用的间系法的话，那么我建议你，你现在还有时间练一练十七题的几何法。那接下来看简答题，十九、二十二十一和二十二都分， 非常的常规，然后二十三题也是正常的双形成问题。二十四题是一个小小的创新，它既不是平移，也不是折叠，它属于放大型平移，它 整体的考试感觉和中考的感觉一模一样。但是这种小创新呢，其实二零二三年核心一模也是放大型平移，所以这种题可以作为一个参考。二零二六年，毕竟我们数学的命题组大 大变，去年的刘静英老师已经退休了，所以今年所有的创新题都值得你要做一做。然后我们难开的二十五题，说实话，这道题改变的很好，但是有一点难度，因为 屏幕前的很多的中等生，他是没有系统的学过，像三，垂直呀，将军一马呀，角度处理呀，画斜为止呀，面积问题呀等等这些东西，你没有经历过专项训练，你就很难在考场上达到灵活的思考。 所以张老师做了一个非常临时的决定，下周一到周四晚上，每天两个小时，我要用在线的形式打通中等生，对于二十五题的人多。二、卖屏幕前的小伙伴，如果你也想参与的话，评论区回复一，我让小助手联系你。

南开区一模数学刚考完，这套卷子到底难不难？有哪些坑？今天肖老师一条视频给你讲透，初三的家长跟孩子赶紧收藏！先说整体，中等偏上，基础题占不少，但压轴的，比如说十二题、十七题、十八题、二十四题、二十五题，非常考验思维 拉分的关键，关键是这套卷子跟中考的分值难度基本上吻合，在一定程度上其实是很有指导意义的。先说说选择题里边最容易出错的几个问题。第七题的反比例函数比大小，很多孩子直接带数值， 忘了看象限，结果马虎出错。第九题，平行四边形加尺规作图加斜边中线，很多孩子啊，不是不会做自己，把自己给绕晕了，说白了还是基础不过关。第十一题考旋转加圆，千万别硬算，找角度关系其实就不难了。十七题，正方形综合需要正全等 勾股定律，计算量不小，平时没列的话很容易卡住。十八题的网格作图旋转九十度画线段，关键是利用格点构造垂直相等长，基本上大部分孩子选择直接跳过。 二十四题等边三角形加旋转加动态面积，很多孩子不会根据图形变化进行讨论，导致丢分。二十五题，二次函数压轴题，典型的将军印马加二次函数综合题，难度非常大，普通孩子写出第一问就成功了。最后给大家一些建议， 一百分以上的孩子每天一道天津中考最后两个题总结，旋转全等面积最值模型，限时训练。九十到一百分的孩子整理错题板，专攻二十四题动态几何。八十到九十分的孩子 确保第一题到第八题，十三到十六，十九到二十拿满分。重点练习二十一到二十三题规范步骤，八十分以下的孩子一定要抓计算能力，掌握解不等式组回归课本，先拿下选择题的一到八，填空的十三到十五， 解答题的十九到二十，这些就将近七十分了。先把这些分数拿到手，然后再做针对性的训练。关注我，今晚我们一起聊一聊这次一模考试。

今年的南开一模数学试卷，相比较于去年一模和中考试卷，难度有所上升，有一定的创新变化，特别体现在了压轴题第二十四题上。那选择题呢？前面的题也有一些的新意，比如说科学计数法，反推原数，但是不难。 十二题仍然是仿照去年中考题的考点，考察了几何双动点的问题，但是难度有所提升。那像填空题第十七题相角与去年上了难度，考察直角三角形、斜边中线的性质。那第二问结合了全等三角形中位线比较综合， 用间隙法也比较难算。那解答题的前面几道题与去年一模难度持平。第二十一题考察圆的垂径定力，结合平行四边形，难度适中。第二十三题最后一问与去年中考一样的问法， 最大的亮点是在第二十四题，不是考察普通的平移折叠或者是旋转，而是由线段旋转构造三角形，进而求线段和面积，可以理解为平移加上放松。 以前基本上没有类似的题型作为训练，孩子们普遍都感觉到有些棘手。那第二十五题二次函数综合题 第二问考察了一线三垂直的模型应用，进而求解方程。后面是热门的考点，将军引马模型，属于正常的中考难度。 总的来说，这次试卷难度比较于去年的一模中考都有所提升，甚至可以比你今年和平。一模的难度，优等生呢，可以冲到一百一十分以上，中等生可以冲到一百零三分，非常值得中考想冲高分的孩子们进行练习。

二六天津中考数学二十四题变了！南开一模的几何压轴二十四题考法大变，打破了二十四题固定的图形平移、折叠、旋转的传统命题套路，是今年几何压轴的重要风向标。与往年考法不同啊，这次创新性的采用了动点生成动态图形， 以动点为核心，通过线段双角度旋转生成动态等边三角形。还在死磕老套路的孩子这次束手无策了。 别慌，成哥总结好了，二十四题几何变换创新题目会编，一共三十九页，都挑的是天津本地二十四创新题，帮助孩子们应对创新，顺利拿分。领取方式，老样子，点点关注看评论！

天津出脏的家长注意了！南开一模数学几何压轴二十四题考法彻底大变！中考新风向已经出来了！如果孩子还在死磕老一套的解析思路，今年很容易丢大分！我手里的这份天津二十四题创新考法会编，完全对标南开最新出题方向，精选天津本地原创题型，全覆盖 重点问题旋转刮豆原理，还有中考最高频的几何折叠压轴题，一份资料把核心考点全部吃透，每道题还都带有高效的破题方法，帮孩子告别盲目刷题，快速找准答题思路，冲几何压轴满分！想要初三提分的这份资料一定要吃透！

考试了，那咱们首当其冲的是南开区的这个一模，整体来说难度还是挺大的。那对比往年南开卷来说，其实差不多是吧？都是计算量会比较大。其实题目类型咱们基本都说过， 可能你的十二题、十七题、十八题、二四二五这五道题做的不算是太好，其他题其实还是挺套路的。那其他题我就不多说了，重点给大家说，这五道题估计也是十分最多的五道。那咱们首先来个十二题，那考前说大家练了很多这种动点面积的题，大家这一块你不能出错呀，这种动点面积类的问题 怎么去做？所以分段的话我自己已经分好了，为啥分这两段？那你的 m 在 bc 上动对不对？ cm 长度是 t， 那 剩下就八减 t， 这个好说，那 p 分 两段 b， a 上是零到三分之四吧，因为三分之四秒到达 a， 然后在 a d 上的时候，相当于是从 a 走到 d， 对 吗？所以相当于整体的话，是三秒的时候走到 d 没问题吧？而三秒的话， c 恰好到达 d， 往 h 做垂直等于 h 值，对吧？所以也就是说，咱们相当于的话，我的 m 在 c 到 h 上动 b， d 上的话， p 在 b 走到 a， 再从 a 走到 d， 所以 咱们是零到三分之四是一段，三分之四到三是一段，这样做吧。那你写面积的时候，比如零到三分之四的时候，那底的话，是不就是 m 的 长度？那根据相似这个 dhc 三角形是三四五的三角形，所以这是 t， 它高出它的三分之四倍就三分之四 t， 那高的话是不是 p 到它的距离，那 p 到它的距离的话，也就是不是八减 t 啊，所以底乘高再除以二，对了吗？所以结果是这个式子，那它的最值的话，自己去求去，对吧？三分之四处取最值，因为轴是四，所以三分之四处是最大的，得到这样一个式子 可以了吗？那第二个的话，那三分之四到三的时候，也就是说你的这个 p 走到这个位置上来了， p， 你 再计算面积的时候， 那你自己看看，比如粉色的这个，那它的底是不是还是三分之四 t， 这好说，那高的话，你自己看看，那高的话，是不是得从这个 p 的 这个长度，你看是不是到这个这个长度了？所以首先你要观察出来，这是四，对吧？它走了三 t， 那 这就是三 t 减 四，而他这是 t， 所以 高就是几啊？相当于八减 t， 再把三 t 减四减去吧，八减 t 减三， t 减四，所以相当于就是一个八 t 减三分之八 t 方，所以轴是二分之三在范围内，所以在轴数就会打六，所以这打的更大的话，一定是六更大，所以第三问是错的对不对？ 只有第三个乘以二是难算一点，一号半就简，一二就简单了吧，这大大只要会写出来是不就行了？像第一个的话， t 等于一的时候， m c 是 一， a p 是 不是也是一，这就不用多说了吧，这是没错的。那第二个 t 等于二的时候， p m n 的 面积，那具体位置的面积二的话，相当于在上面呢？你自己去算一下就行了吧。或者你用我的解析式往里带，是不也可以 带进去发现十六减去一个三分之十六，对吧？有三分之二减去一个三分之三十二，结果三分之六，是不是也是没错的？所以咱们这个题选的是 c， 只有第三个是错的，其他都对了，行吧？所以这个计算会写这个东西，分段去写 面积，这很像你的中考，对吧？二五的那个中考题，所以大家好好去做。那第十七题，这道题你不见期，见期期都能做，就考一个。你的 正方形等于十字计算，对吧？十字模型或者是你的长度计算，那第一个的话， o h 的 长度靠一个直角三角形的中点，问题呢？ o 是 中点，这有直角，那直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，所以它是对角线 a c 的 一半吧？斜边中线，所以答案是三倍根二，对角线是六倍根二，那它的一半不就三倍根二了吗？ 那第二个的话呢？ c f 等于 a e， 那 c f 和 a e 相等的话，那你自己想一想，并且这个指指甲的话，你往上延长出去的话，那你自己看看，那这个长度和它是相等的，那它在这样一个三角形当中 没问题吧？所以你自己右看，圈和圈相等，圈加叉九十度，对吧？这就是圈，这个圈和它又相等，倾斜角度又相等，并且你看看，所以我直接往它做一个垂的话，是不是相当于这个三角形就和这个三角形是全等的了，所以这是六和二，这不就是六二，这个边是不是算成二倍根十了， 没问题吧？这些都能算出来，然后咱们再继续的话，然后再去看题目说的是 d 一 等于二这些东西，让你求 g o h 的 周长。首先刚才 o h 咱们算出来了，是吧？ o h 三倍根二 没问题吧？那 o g 的 话呢？ o 是 终点，那这个 g 的 话，它为啥是终点？所以这样画的话， 那大家来看一看，相当于怎么办呢？我现在这个长度它是不是已经知道了？那这占了二，可以吧？那底下的话，那题目给了你一个什么条件？ d e 是 二的话，连接的是谁？连接 o j h j， 对 了吧？那所以那这个上面的话，咱们现在目前已经知道它是二了， 对吧？那对于这样一个大的直角三角形来说，你题目给的条件 c f， 它要等于 a e， 对 吗？那所以呢？这就是六对了吗？这也是六，那所以你自己看看，这俩小三角形是不是一定是全等的？因为两个边长已经相等了，对顶相等，直角相等，所以这是二，这是二， 所以是不是算出来了？所以 j 又是中点，那两个中点是不是有个中位线？那中位线是不是 c f 的 一半？所以根号是是不就有了？那最后是不还差一个？ h j 又是直角三角形斜边中线， h j 是 大的，最大直角三角形斜边中线，等于 a f 的 一半，也就等于 aj， 对 吧？ aj 是 二倍根十，加到一起不就三倍根十加三倍根二了吗？ 行吧。那网格这道题其实还好，没有那么难。那网格的话，首先你起码这个这条线是不用画，是吧？ m 这条线其实不用画，我这里解释为什么，那相当于你看 ab 就 在格格线上， ab 长度根号十三，好说，就是横三竖二的，对吧？那我要做它的等腰值，相当于把 b 线，他不让你把 b c 绕 a 转吗？那就是把 b 转九十，把 c 转九十，对不对？然后顺时针，那 b 转九十的话就是 ab 长度是 横三竖二这样一个号是三的，那就横二竖三做垂直呗。所以 b a m 的 m 是 不可以直接写出来，所以直接点 m 就 可以了，如图， m 极为所求是不就行了？ 这个解释出来，你为什么他是这样去转的，可以吧？那第二个，你说我把 c 绕，他转九十度，怎么去转？那首先 c 在 这样一条数值格线上，对了吗？他是横一竖几不知道数三点多，那你就横三点多竖一，所以你的 n 已经在这样一条水平线上，对了吧？ 然后怎么办？咱们这个水平线知道了，虽然这个数值是几不知道，但是这个 c 是 不是在格线上，对吧？所以那我问你，我现在相当于只要做出一个 c a n， 他 是九十度，也就说把这个 过 a 做 a c 的 垂线做出来是不就可以了？那你想想，往左边做垂直不好做，但是这是个圆啊，你往右做是不是非常好做？利用直径所对圆角九十度，那 o 又给了你了，你把 c o 一 连交于 d 的 话，再把 d a 连上，那 d a c 是 不是九十度？因为 c d 是 直径九十度，那左边这是不是九十了？ 所以也就说 ca 转到了 an， 那 an 是 不是就直接找到了，可以了吧？那所以这道题不就结束了吗？让你找 m n 可以吧？所以这是咱们的网格这样一道题。然后第二十四题计算量比较大，所以大家还是按咱们的分析过程，你先分析，跟上课给你讲了好多好多这种平移充电面积，对了吗？ 这不是一个典型的平移，那从左往右的话，相当于怎么办？哎？这俩相等对吗？长度你如果把它连上的话，把 o m 连上，这一定是一个等边三角形，对了吗？或者是一个菱形，木有问题吧？所以想想最开始是不是一定是三角形？什么时候？那他走到 d 的 时候，咱们看这样一个图像呢？是吧？ 你往这边坐的话，他此时落在了哪？你看三的时候，咱们来算一算数不就知道了吗？这是三， 可以吧？那这个长度是不是也就是三？这也是三，对吧？那这些是不是都是三？木有问题吧？那你想想，咱们来看，很像恰好落在上面，看看是不是恰好落在上面？咱们要想看的是不是我这个 p 到 d 的 时候，你这个短点，你这个 n 点到底有没有出去，对了吗？也就看这个多少呀？这个是六十度，对了吗？ 然后这个长度是二倍，根三可以吧？这是根三，正好他是三，所以就说我等于三的时候，他恰好我这样一个点， 我的 n 点落在你的 a c 上，所以这是最后一个三角形，可以吧？所以零到三的时候，他是三角形的形状，这能听明白吧？那继续往后的话，你想想，只要他出去一点，那 d 也出去，他也出去，是不就是第二个图了？就从三开始，对吧？那从三开始到几的时候呢？那你得看看 是 m 先到这条线上来， a c 上来，还是说这条 p n 先过 c， 所以 咱们就把两个特殊位置都算一算，可以吧？那比如 m 恰好落在了 a c 上，那此时是多少 m 恰好落在 a c 上，那我问大家， 你的 mp 啊， o m 那 是不是一样的套路呢？ o m 这还是一个什么东西？ o m 相当于怎么做啊？你等于说的话，那 o m 是 一定在这条一条线上动，对了吧？ 没问题吧？因为它怎么办？你 o p m 无论它怎么弄， o p m 三角形一定是直角，你相当于把 m 沿着这条线往这边移，对了吗？你说恰好 m 落在上面的时候，此时是几呢？ t 我 们算算是不就可以了？这个是三倍根三， 对了吧？那这个是二分之三，没跟三，所以就是这是二分之几啊，这是二分之九的时候，也是二分之九的时候，我 m 恰好落在这，那此时 p 走到了，这，对不对？那你过他做的话，做一个角的话，那你想想，过没过 c， 过没过 c 取决于怎么办？ 你这俩边长是不是相等的？这俩长度和他交点，这个长度是相等的呀，所以这个点一定是他俩交点的中点，没问题吧？那我问他们来，简单来算一算，也就说这是三倍跟三，对吧？这是二分之九，那前面占了三，但这还剩一个二分之三， 没问题吧？那这是四分之三，是四分之三倍跟三，那这俩合到一起是二分之三倍跟三，而你 d c 是 d， c 是 几啊？ d c 是 二倍根三，所以是不是还没有到 c， 所以 说明这是个几边形，也是这样画图还没有到 c， 此时是不是一个四边形，对了吧？没有问题吧？也得说三到二分之九，五边形从二分之九开始变四边形，那什么时候变 东西和 c 重合，是不是又变三角呢？什么时候和 c 重合呢？所以咱们把和 c 重合呢？所以咱们把 c 重合的特殊位置找到，继续往右画，也得说他继续往上走这个 m， 哎， 比如走到这儿，我恰好过 c， 那 屁，这这个位置，它过 c 的 时候，对了吗？比如说咱们画草图有点丑啊，应该这样去画 m， 比如走到这个位置上，咱们画草图的时候，哎，这是一个一下两下这样一个三角，是吧？ 他恰好过 c 了，那恰好过 c 的 时候，也就是这个长度和这长度不是相等的吗？对吗？也就是说这个得是几，这个得是几，他整体不是二倍根三吗？这不是根三，这不就是根三吗？懂了吗？那不就是一，这不就是二了吗？ 所以前面有一个几，前面已经有一个三，再加个二，是不是五了？就，所以二分之九到五，它是四边形，你再往右五 那七，到最后不用多说了，这三角形。所以也就是说这样一个图形是咱们要求的，这是一个分析的过程。所以首先咱们来看这样一个五边形，咱们是不是范围就能写上了？从三到二分之九，对吧？这种怎么去写？这很套路，那你自己去看看，这是 t， 先标 t o p 是 t， 那 这是 t 减 三，对吧？ t 减三没问题吧？所以这个长度是我先把这个长度求出来，这个长度根号三倍的 一减三没问题吧？那这个长度 c j 就 用你的 c d 二倍根三，那减去它也就是五倍根三，减去根三 t， 所以 这是你的三到二分之九，可以了吧？ 然后咱们看重叠部分的形状，这个形状是不是又是先增后减的？从三角形，这是不是一直是，一直是增的，对吧？一直到三角一直增的，那五边形是不是先增后面越来越小，对吧？所以最大这大大率在五边形，这取咱们来验证一下五边形的面积是不就可以了？看他是不是一个先增后减，所以把减值算出来是不就可以了？所以 先算后减五边形的话，那咱们来看，也就说我需要减几块，这样一个五边形，我可以用等边三角形的面积减去一块，减去两块，我这么算的，可以吧？那五边形去减的话，底下这块好说，这是几？这是一个 e 减三，那这是不是也是 t 减三，没问题吧？那所以斜边是 t 减三，这是二分之 t 减三，这二分之根三 t 减三，所以面积是八分之根三 t 减三的平方，这是第一个 p h， 可以 吧？那第二个的话， 那这有了之后，那咱们继续往后看，那这有了，大家来看，我像刚才已经表示 c j 了，对不对？那 c j 有 了的话，那这个长度是几啊？ 对吗？这个长度是不是 f j 是 它的二分之根三，对了吗？ f j 二分之根三也是这个式子， 所以 c p j 有， f j 有， 那所以这个长度 f n 相当于就是用谁去减，用你的整体减这两块是不就行了？减成这两块，我再到一个二分之三， t 减二分之九，二分之三， t 减二分之九，那短直角边有了，这是它的根号三倍对底乘高除二，就是面积是二分之根号三倍的它的平方，算出来这个式子，你发现和它很像，对不对？所以用整体，整体面积边长不是 t 吗？这个大三角 四分之根三 t 方减去这两块，这个是八分之根三，八分之九倍，一共是八分之十，也就是四分之五倍根三，行吧。这俩一做差得到这样一个式子， 可以吗？那这样一个式子的话，这是一个开口向下的抛物线，那对称轴是几？那想想轴是负二， a 分 之 b， 四分之十五，可以吧？那四分之十五的话，在不在这个范围内？四分之十八，四分之十二在范围内，对吧？正好它中间的位置吧。所以咱们再轴出去最大。咱们的方法快速教大家怎么快速去算呢？ 这种在轴出去最大的话，带一次向除二，再加 c 吧，带一次向除二就八分之二五倍根三，所以结果是十六分之四十五倍根三吧，所以最大值正好。 那最小值的话，请看一到五，对吧？那一的话和五是不是先增后减？只要看一和五就行了。那 t 等于一的时候，好说，还是个三角，那一也就四分之根三乘 一的平方有四分之根三，那等于五的时候，刚才说了，恰好正好是这样一个三角吧，对吧？此时这是根三，这是三，对吧？根三除三乘三，再除二，也就二分之三为根三，很明显大大多了，所以咱们只要这个四分之根三吧。但是注意这不带等，因为他没有带等，所以最后的范围是不是有了 跟上了吗？那最后一道题难度会稍微大一点，对大家来说，可能第二位开始是不会做的，不会转化，所以你斜着的不会看，咱们一会给你平着，再跟你说，你就简单了。那第一个不多说了，一和一斗零，那第二个，那咱们来看前面其实比较简单 这个式子对了吗？ m a 是 根号十，这是个等腰直角三角形，那 dm 是 不是根就是根五，所以题目肯定提示相当于那 dm 有 了，这是一斗零， 这个长度是根号五，所以两点间的距离公式，我能把 m 三到一算出来， m 有 了，根据三垂直自己去算，二都负二，然后这个东西就有了，对了吗？那最后且极式有了，这个最小，这怎么去求？其实套路很固定，那咱们来看这里面两个动点 没问题吧？所以两个动点的话， f j 加 e j 他 俩的和那 j 和 e 在 动，有的，这不叫对 e 吗？做对称，他直接连垂直，但是注意这里面有一个这样的限制条件，把它固定住了。 d e 等于根号二倍的 n j， 他 不不是直接是边长的时候是最小，所以你不要那样去做，因为这个限制条件你得保证住， 所以两个动点咱们要想办法转换成一个动点，所以也就是说我把它变成水平的，你就好看了。那这个图的话，那相当于怎么办？你做谁对称都行，一会啊，咱们一会再说对称的事。俩动点怎么变一个动点呢？也就是说我这个是 x 的 话，那这是它的根号二倍，那你想想这样一个等腰直角三角形或者正方形当中四十五度是不是很多？ 那你想想它的水平分量是什么？这水平分量水平长度是二分之根二， x， 这也是二分之根二，也就是说这个水平长度和它是什么的关系，和它是 二比一的关系，也就是说无论这个点怎么动，它的水平长度一定是它的一半，比如说它的一半的话，那咱们画个长取中点的话，也就说这个长度和 g 的 水平长度是一样的，对了吧？所以就说 g 的 话一定，如果做个垂的话，那 g 是 不是一定落在它的中点上？ g h， 所以这个 h 是 在中点的 jh 利用三线合一，我求 jn 不好求，那 ej 不好求，那 ej 就 直接转换成了 dj， 这俩等腰三角形边一定相等的，因为 d 不 动，无论 e 怎么动，那 ej 长度都能转换成 d。 所以也就说我把 e 加 f j 转换成了 d j 加 f j， 那 d j 加 f j 后面你怎么做就行了。你可以找直接找 d 对 称点 d 撇对吗？也可以找 f 对 称点 f 撇，你找谁都行，行吗？所以 d f d 撇 f 或者你的 d f 撇，找谁是不都可以？这俩长度是不一样的，都是谁呀？边长一半的边长对吗？也就是二分之五倍的边长吧， 没问题吧？所以你的第二问的话呢，二分之五倍的 dm， 那 dm 刚才已经算出来是几根号五根二分之根，五倍的根五，也就二分之五呗。然后第三问的话呢，也就是二分之根五倍的 dm， 等于二分之五倍根十。所以咱们把 m 是 不是能算出来是八 m 八到一，根据三垂直算出二到负七算解析式，解析式这个东西就有了。 那解析式有的话怎么求 g 的 坐标啊？你要么求 d f g 撇 f 的 解析式，要么求 f 撇 d 的 解析式，然后和 m n 解析式，然后 m n 解析式，把两个一连力得到 g 的 坐标，这就是这样一道题， 难度会偏大一点，尤其是转化成两个动点，转化成一个动点，然后再去做，难度很大，对大家来说，大家回去可以好好做。

hello， 同学们，大家好，今天我们来讲一下刚考的这个南开一模呃，重难点的题目，我们基本的题目像十十一以及二一二二三，我们会放到下一个视频里， 好吧，这个这这个视频我们讲一下十二十七，二四二五。确实这套卷子比较难，大家应该也有感受啊。一个是延续了我们往年的 来看一模这个计算量比较大，他这个特点，那另一个呢？就是也是贯彻这个教育改革的思想吗？就是我们去看二十五题的时候，他已经清模型，对吧？他更多的其实是我们的转化思想以及构造能力，对吧？那我们现在来看一下这几道题。 先看一下十二题，十二题他说四边形 a、 b， c， d 中 a、 d 平行 bc， 角， b 是 九十度，那么他这就是一个直角梯形， a， b 是 四， a， d 是 五， bc 是 啊八，那我们此时也能算出 dc 是 五， 这其实往下做条高就可以出现了，好吧，他说 m 从 c 出发，然后以一厘米每秒的速度沿 c、 b 运动，过 m 做 b， c 的 垂线，交四边形于 n， 然后同时 p 从 b 点出发，以三厘米呃每秒的速度沿 b， a、 a、 d 边运动，规定 n、 p 相遇时停止运动， 然后设运动时间为 t， 然后 t 的 一表示，如图所示。所以我们由图可以得到这个 m， n， m 永远是垂直于 c 的， 对吧？所以我们 c m 是 t， 那 么 n m 就是 三分之四 t， 如果非要说 c n， 它其实是三分之五 t 啊，但是其实这没啥用，因为它不用表示。 ok， 那 我另一个点是 p， 点是 bp 是 三 t， 他 们说他俩相距是平行运动，我们是不是要算一下他们什么时候运动，什么时候停止？结果我们算出来其实是在 d 的 时候，三秒的 t 等于三秒的时候，他们就停止了。 那我们现在来看一下这个题。说 t 等一表示 m c 等于 ap， 这个算出来 t 等于的时候， c， m 等于 ap 都等于一，这个没问题。第二是 t 等于二的时候，呃， pm， 此时它的图像其实是如这个图所示， 对吧？所以它等于二，然后 n m 是 三分之八，我是不是让 p 到 n m 的 距离，所以这是不是四，这是二，所以这是三。我们再往这如果做垂直的话，高应该是一个四，因为这是一嘛， 所以我算出来它的面积是三分之八乘四乘二除以等于三分之十六，这个也没问题。然后最后一个，当 t 大 于一小于二等于三分之十六，这个也没问题。然后最后一个，当 t 大 于一小于二，最大面积，此时我们就要用它的二函数的 面积求最值。我们表述起来，呃，一开始不用表述，一开始因为它呃 p 到 m n 的， 呃距离在变小，呃 m n 在 变大。其实一开始也可以说，呃，我们此时 p m n， 嗯， t 到一的时候，我们只需要关注呃，从 p 从一到 a 的 时候，也就是三分之四的时候，我们来画出来他的图像，其实就可以，此时图像是逐渐上升的， 对吧？那我们来看一下他的第二段，也就是 p 从 a 到 d 的 时候，我们需要判断一下他此时的最大面积是多少，那我们我把这个图变在这，这是 p， 那 此时 a p 是 不是变成了三 d 加四，这 t 是 大于三分之四的啊。 好吧，这是三 t 加四，那我 c m 是 t， 那 我的 b m 是 不是八减 t 啊？那我们算出来。呃， p 到 m n 的 距离其实是这段我们标一个 h 吧，也就 m h， 其实是八减 t 减去三， t 减四，我直接去括号了，得到十二减四 t， 所以 我们此时直接算，它最大面积就是三分之四， t 乘十二减四， t 乘二分之一，我们把它变成焦点式，是负的三分之八， t 乘 t 减三，所以当 直接取他们的中间 t 的 二分之三时候，最大值算出来是六，所以不是五。你说老师我还用考虑第一段吗？你此时在这段中他最大，都能到六了，他还用考虑最大值是五的事吗？所以直接打叉就行了。所以这个题应该选 c， 我 们现在现在来看下一题。 ok， 我 们现在来看一下十七题，十七题，这个题。嗯，其实是考察了我们的直角三角形，斜边上中线等于斜边一半，我们来看正方形，边上为六， o a 对 角线 a， c 的 中点 e 为 c， d 上，然后过 c 做 a， e 的 垂线于 h， 呃，然后连接 o h， 此时 o h， 因为它是个直角三角形，所以斜边上的中线。直角三角形，斜边上的中线等于斜边一半，所以这三个边相等，所以 o h 是 三倍根二。好吧， a c 等于六倍根二嘛。 然后第二个它说 f 为 h， c 的 延长线上一点，且 c， f 等于 a e， 它俩相等， 然后此时连接 a， f 交 b， c 于 g 点，然后连接 o g 连接 h， g 说 d 等于二，所以很多边我们就可以出了，所以它是二根十，所以它是二根十。那我们此时来看啊， g o h o h 我 已经知道了 关键点，你说 g o 上 g o 怎么求 o 点坐标？我是 a c 的 终点，可是我是不是碰到一个终点，我是不是中位线，它就等于二分之 c f， 所以我是不是可以构造一下试试？所以我做 f m 垂直于 c g 于这，那我们来看 它倒角的情况下，这是不是 r， 这是不是 r， 它也九十，它是九十度减 r， 别忘了这是个九十度，所以它也是 r， 所以 这两个三角形啊， a s 全等， 对吧？所以我们可以得到它俩是全等的，那此时它俩全等，此时我们是得到了 f m 等于 d a， 那 同样是不是等于 ab？ ok， 那 是不是这两个三角形也全等？它全等完之后，这些边一出结果，我发现这四个三角形都是全等的。就我们要求的是什么 a b， g 啊， f m， g 啊， f m， c 啊， d e a 啊，其实都是全等的，都是二比六比刚好十， 那我们此时就比较简单了，所以我的 c f 二被根号时，所以我的啊 o g 等于根号时， 然后 o h 等于三根二。那我的 f 呃， g h 等 g h 不 也是直角三角形，斜边上的中线能斜圆一半吗？ 所以啊， h g 是 不是也等于二分之一的 a f 也等于二倍根号十，所以算出来应该是三倍根号十加三倍根二。好吧， ok， 那 我们就这个题就到这里。 ok， 我 们现在来看二十四题。通过平面直角坐标系中 o 为圆点等边三角形 a b c， 然后 ab 的 长度是四倍根号三，所以这是一个边长为四倍根号三的等边三角形 c 在 第一象限 bc 的 边与 x 轴交于地点， p 为 x 轴上正反轴一度点，将 o p 绕着 p 旋转。六十度和一百二十度，所以都是六十度了。这些我们就画出来的这两个都是六十度。然后那么 p m、 n 就是 一个等边，此时得到 mp 和 np， 对吧？连接得到 p m n 这一个等边第一个 c 点的坐标，这个不用说啊， e b 根号三比二，所以恰好一半，所以它是六六度，根号三 c d 的 长度，呃，这是二根三，这是二根三。 好吧，这些都没问题。然后第二个，这个其实是由旋转所得到的重叠面积啊啊，此时他说重叠面积为 s。 第二个说，当它们交于 e、 f， 然后交于 s g， 然后重叠为五边形。问，它求的是，求的是 c g 的 长度， 并且写 t 的 曲值范围。这个第二个相对来说，它变成边之后还简单了一点啊，没有那么麻烦。所以我们先来看，这是二倍根三， o d 是 不是三啊？所以 o p 是 t， pm 也是 t， 所以 它其实是 t 减三。我们通过导角度，这是不是三十度？然后这是不是一百二十度， 所以这是不是也是三十度？所以我得到了一个 p g， 其实也是 t 减三，所以我的 d g 呢？ d g 其实是根号三倍的 t 减三。好吧，由此我们就可以得到 c g 其实是等于写在这吧， 等于四倍，根号三减二，根三减去根号三倍的 t 减三，等于五倍，根号三减根号三 t。 但是这有一个一分挺不好得的，就是这个取值范围 说什么时候会出现，我们因为在画图嘛，他此时我们的前一个点由这个图往前，其实是大概是 p d 重合的时候，对吧？ p d 重合此时是不是还是四边形？我往外一出一变大， 是不是就变成我们图中要求的这五边形？所以此时我们要求 d 点坐标 o d 是 不是就等于三？所以 t 是 大于三的，那么 t 的 终点在哪？这关键点在于我不断地放大，其实 pm 是， 我们理解是 pm 这条直线是往右移的， 能理解吗？ pm 这条直线是往右移的，那么现在说，那我是不是要考虑 m 是 先到 a c 上， 还是 p n 过 c 点？所以这个就要求一下，我们要算一下这两个到底谁先到？所以我们现在来看，假如 m 已经到，这个 我们不用用第一个图，第一个图还好画一点， m 如果交呃到 a c 上的时候， 是不是出这样，它是不是 t？ 这是不是六十度？所以我往下做垂直，这是不是二分之 t， 所以 这是不是二分之 t？ ok， 那 此时我假如往这个点做切减，这是不是也是三十度？六十度，所以二分之 t 除以根号三，所以是六分之根号三 t， 这呢是二分之根号三 t， 所以我们出来一个六分之根号三 t 加二分之根号三 t 等于三倍根号三吧，所以算出来此时 t 等于二分之九，那我们此时要算一下它什么时候过 c 呢？ 是不是这样子，对吧？此时 p 十在这，那它是不是还是 t 减三？它是不是还是 t 减三？ 那它是不是还是根号三倍的 t 减三？所以此时出来一个根号三倍的 t 减三等于二，根三，算出来 t 等于五，所以二分之九先出现，所以 t 就 小于二分之九即可，都取不到，等，好吧？ ok， 这个 t 等于五，其实在我们的第三个还有用。 然后现在来看，呃，第二个，第二个说，一到五的时候，它这个本身还是我们的 s t 图，它是一个上升和无限下降，对吧？那一和五的时候我们直接画出来就行了。嗯，标准作图。 所以当一的时候， t 等于一时， s 等于四分之一的平方，等于四分之一，那他五的时候是不是刚才恰好是这样， 对吧？如如，如果你画图画的比较准，你一眼就能看出来，肯定是第一个比较小，如果你说老师我实在是看不出来，你就算呗，你算出来他不恰好是一半吗？这不就此时五减三，这不是二，这不是一，所以根号三，所以这根号三。所以我们 t 等于五十， s 不 就等于二分之根号三乘以根号三的平方嘛，等于二分之三倍根号三。好吧，这个你一比较，其实它是更小的，所以最小值 应该等于四分之根号三，好吧，现在关键是在于最大值。怎么求最大值？我们是不是如我们这个图 所是，你说老师他是不是有可能在下一个？但是我们要先算出我们此时的这个面积，他的最大值是否在我们要求的这个三到二分之九的范围之内，如果在的话，最大值就是他，如果不在，他就要考虑下下一步，也就是 m 与 ac 重合之后所出现的四边形了。 好吧，那此时我们来算一下，嗯，他的面积不就是四分之二三立方大三角形，减掉这两个小三角形吗？ 这一个是八分之二三 t 减三的平方，这是小圆。这个 p h g， 那 上面我们是通过算出来，算出来了这个 m f， m f 等于二分之三， t 减二分之九， 它算也是通过我们，嗯，这个边算出 c、 c g 之后再算出 f g， 再算出 n、 f， 好吧，他这个也是来回算，这个计算量确实稍微有一点点大。 ok， 那 此时算出来他之后，我们是不是用我们平常的去乘除项法，可以直接取出他 t 等于负，二分之 b 等于四分之十五的时候，那四分之十五是不是恰好是我要求的这个范围 啊？就是大于三小于二分之九，对吧？大，这是四点五，这是三点，这是三点多三点七五吧。 ok， 此时我们直接代入算入十六分之四十五倍根号三，这就是最大值。所以 s 范围是大于四分之五根号三，小于等于十六分之四十五倍根号三， 这是我们的二十四题，计算量稍微有一点点大。 ok， 我 们来看最后一道题，这二十五题稍微有一点点难，很多同学我估计第二本都没做下来。这个题其实我 个人认为啊，就是说稍微难度可能稍微有一点点高，但是我认为他是比较符合我们整个中考未来的出题方向的， 就是他弱，弱化了我们经常所说的什么胡不龟模型啊，弱化了，弱化了我们平常所说的你说将军一马啊，这个题，其实你说老师他是一个胡不龟，其实我们用的是胡不龟的一个思想，叫转化思想嘛，构造 会不会是构造，而我们这进行的是构造加转化两种方式。第一个不用多说，直接写出这个。你有没有发现，这个题除了第二分的求抛物线集式，其他全部都是直接写出，也就是说这个题的计算量一定非常大， 老师已经考虑到你几乎是没有时间在写过程了，只能硬算。你只要在你的草纸上算下来这个结果，把答案写出来就给分，写对了就给分，好吧？ ok， 那 此时我们来看呃，第二本。第二本是说了一个点的坐标，他第一题干中除了给了我们一个对应轴是呃一，其他什么都没给。 他说，若 m 点坐标 m 到一和 n 均在抛物线上， m 大 于二， n 在 第四象限 m d n 九十度， d m 等于 d n， 所以 这是一个等式，这样三项形。哇，你说终于找到一个比较熟的点，结果他后面说了， e g 分 别是动点 f 为线段 d n 的 中点，且 d e 等于根号二倍的 d g， 你 说老师它忽然出了这个，这种只能进行构造， 明白吗？通过构造把它转化为我们的等边，那此时我们来看，说 m n 等于根号十，因为它说它是根号十，等下绕行 d， m 等于根号五，对吧？ 又因为 m 的 坐标是 m 斗一，所以这是一，所以算出来二，所以 m 的 坐标三斗一， n 点坐标二斗负二，所以这个很容易算啊。解疑是， 特别是我们通过这个问可以观察到，其实我要求的 n 点和我们与抛物线相交的这个 c 点，它其实它们的坐标是一样的，因为一是对称的，对吧？ ok， 把握好这个点就可以。那我们现在来看 eg 加 f g 到底怎么进行转换。 首先我们把这个等式加减乘零给我放正了，放正了之后，我们发现这个 n g d e 等于根号二倍的 n g， 我 是不是可以把根号二转化成一比一比根号二，所以我在左边 做了一条直线，构造了一个直角，所以很多老师在描述这儿说，其实这是胡不归，也没有毛病。只不过我们这个题其实是在 构造一个直角三角形，进行一个等量的转化，因为我要出现有一段和 n g 相等了，所以我这样一垂直，得到了 d g 永远等于 n g， 对 吧？ 这构造一个四十五度的等量直角三角形，所以一比一比根号二，所以 d g 是 d g 撇，是等于二分之根号二倍的啊， d e 的， 那么 n g 是 不也是二分之根号二倍的 d e 吗？所以我们得到了 d g 撇， 平行且等于 n g， 所以 我们此时连一下 g g 撇，我们会发现一个很重要的这个 g 撇。 e g d 其实是我们平常所说的那个正形，但是这跟正形关系不大，就是 g g 撇，其实是把 d e 垂直平分了， 所以我们取一下 d e 的 中点，标一个 m 怎么样啊？不能标 m， 标一个 h 吧，标个 h， 所以我发现 g g 平。把 d e 垂直平分之后，他要求的这个 e g 加 f g， 我 就能进行转化了。 e g 是 不是转化成了 d g？ 他 要求的这个直接写出的这个东西，我们是不是成功转化为了 d g 加 f g， 这个你大家就会了呀，这个不是很眼熟吗？所以我是不是翻折然后连接，所以我把 f 翻折过去，形成 在这取出一个 f 撇，然后连接 d f 撇，所以我发现因为 f 撇其实是取得我们如果这有一个 k 的 话，其实连接上这个 m， d， n， k 其实是一个正和形， f 撇其实是 n k 的 中点，所以 df 撇 n 其实是一比二比根号五的一个直角，三角三角形，所以我连接 df 撇，然后我刚才不是算出 d， d， m， d， n 不是 根号五吗？所以那我的 f 撇 n 不 就二分之根号五，那我的 df 撇就是二分之五，这就是我们的最小值， 好吧，同样把这个东西导出来之后，我们来看第三个，相对来说就会简单一点，因为我的 d， f 撇 n， 它是一个一比二比根号五， d， f 撇是最小值，所以它是二分之五倍根号十的时候，我们算出来了 d， n 是， 呃，五倍根号二， 好吧， d， n 一 旦出五倍根号二，我们是不是就能把 m n 的 点子坐标求出来？然后我们还是这样切割，发现 dm， d， n 都是五倍根号二情况下， m 点坐标是八到一， n 点坐标是二到负七，所以此时我的解密式很容易算出来， 因为算出 c 等于负七嘛， a 就 等于六分之一，所以是六分之一， x 方减三分之一， x 减七，然后到这我们是他又给了一个让你算此时点记的坐标。大家如果算到这时候，如果你心态还没有崩， 那你就根本就不会去想，老师我这是不是有一个特殊的位置，我们有没有可能用一个相应的比例？我们所想到的其实就是用我们最普通的 mn 的 解析式出来， d， f b 的 解析式出来，然后求焦点记点， 好吧，如果我们确实，你说老师有没有简单方法，他可能通过这个一线三垂直其实是能做出来的， 但是现在我们没有去，正因为我在做这个题的时候，我也是，哎，根本就不会再想了，因为我们现在只能算了，对吧？硬着头皮算下来，所以 y m， n 的 直接解式我们算出来是三分之四， x 减三分之九，那 f 撇的坐标呢？所以你可以取这，然后让他这样除， 你也可以这个 k 的 坐标标出来。因为因为我们刚才说了这是个正方形嘛，所以 dm 的 横轴坐标差就等于 n， k 的 横轴坐标差，所以 k 的 坐标一出出， f 撇的坐标， f 撇的坐标一出， d， f 撇截式一出，算上几点的坐标？四等负的三分之十三。 好吧，所以这个题相对来说更多的是数学思想的考察。你说老师刚考了几年模型，怎么又开始数学思想？ 其实模型生化下去就是我们的数学思想，特别是在二十五题中，他就很喜欢考这个叫做转化的数学思想。好吧，那这就是我们难开一磨的这个重难点的题型，拜拜。

河西杰克考南开和平一摸试卷全部看完了！这三个区的三种风格，我直接给咱西青家长猜明白，你家孩子该听哪个方向。小萌用十年带过上千名的经验，一条视频给大家说透。先说一个关键信号，三个区二十四题，考了三种不同的图形变化， 南开考旋转，河西考翻折，和平考平移。这可不是随便出的，背后有规律。中考数学二十四题，每年在旋转、平移、翻折三个里选一个考。 这几年的规律很清晰，基数年考平移，偶数年考翻折，去年呢是平移，今年是偶数年。中考大概率考的是翻折。先说南开考旋转，而且难度最大。南开二十四题是旋转，计算量大，变量是角，看起来就很难，但注意，南开一模考了旋转， 后面的二模、三模大概率不会再考旋转题了。所以南开这套试卷的价值在于练计算量和几何思维，不用几何，旋转作为中考方向。再说河西 翻折，而且赶第一个吃螃蟹。核心二十四题是翻折，把二十三题和物理知识呢融合了，纯小卷方向数学物理优先，翻折正好是今年中考大概率的方向，所以核心这套试卷呢，最有参考价值。西乡孩子必须重点练翻折相关的几个综合题， 最后收和平考平移，但最均衡。和平二十四题考平移，但和平的硬题指向方向最明确，跟二五年中考题型呢，基本一致。而且根据我所知，和平今年三次模拟考试，打算两次考翻折，一次考平移， 每两次考翻折还不确定。所以和平的一模试卷呢，可以作为基础自测，但后续和平的翻折试卷更值得关注。给新家长三个行动建议，第一，关注河西的跨学科融合，扩宽视野， 物理和数学的结合题，找几道题练练手，不慌。第二，练计算速度，拿难开的难题现实训练，避开思路上对但算不对的情况。 第三，请听和平后续的翻折模考题，找核心一摸的二十四题，以及去年前年的一摸试卷里和偶数年中考翻折真题，反复刷反复练 西青一模。具体哪天翻折题怎么考？扣西青，我把近五年中考二十四题的变换规律及河西和平典型翻转题发给你，关注小萌，升学路上不踩坑！

中考生，咱们必看啊！二十四题，方向已定，再抓错重点咱们就晚了！天津中考家长注意啊！数学最后一道大几何大题呢！呃，直接决定了孩子能不能上重点高中。今年命题信号已经基本明确啊，再猛猛刷题练错方向，孩子再多的努力也白费。 张老师在天津待中考毕业班十多年了，今年三大区的一模考完，中考二十四题的出题套路基本已经暴露无疑了。 今年咱们南开、和谐、和平三区的一摸二十四题，分别考察了旋转、翻折跟平移三种图形的变换，看似分散，但实则全是名题组给咱们放出的明确信号。今年中考二十四题呢，历年只在旋转、平移、翻折中三选一啊，规律基本非常明显啊！ 基数年呢，咱们偏爱考平移，偶数年呢，必考翻折啊！第一二六年，咱们偶数年，二十四题极大概率锁定翻折啊！这一步踩空，孩子直接丢大分啊！ 逐个咱们分一下各区这次的考试试卷，家长们一定要重点听开去。一模，呃，考的是旋转啊，计算量非常大，角度变量的也复杂啊，这难度最高，他既然一模已经考完了啊，但二模三模基本不会再重复考啊！这套卷子只适合练计算跟几何的思维， 完全不能代表今年中考的方向啊，别让孩子死磕，浪费时间继续一模考翻翻折啊，还把二十三题和物理知识点相融合，典型的这个 八高命题思路啊，专门筛选高分孩子啊！而翻折，正是今年中考最核心的考点，这套题的含金量是最高的，大家一定要重点刷！和平区一模考的是平移啊，命题基本清晰啊，更贴近明年中考。呃，仅适合基础自测啊，重点是和平今年三模 考试啊，计划是考两次翻折一次平移，后续和平出的翻折题型才是最贴近中考。

南开、河西和平的一模呢，已经落幕了，那今年天津市的考题呢，南开区最难，河西区最创新，和平区呢，最贴合于我们的中考， 像我们今年的这个试卷呢，其实对于我们，嗯，天津各区来说，这个参考价值是绝对拉满的一个状态。 像我们河西区，他的整体来说是非常贴合于我们的一个中考的，像他的二十三题，这个题型呢，是非常创新的，他像是一道物理题，非常贴合我们新课标多学科融合的一个要素的。南开区的题型呢，与中考高度一致， 前半部分呢，孩子们都觉得做起来是非常顺手的，但是从第十七题开始就不是那么友好了，他考察的是我们直角三角形斜边的一个中线，这个呢，是不需要间隙的， 那像我们对于一些，呃，可能中等的一些学生来说，如果他间隙了的话，对他们是不是很友好的？那像第二十四题和我们二十五题呢，他的计算量是非常大的，二十四题呢，是一个放大的，一个平移。 那最后呢，我们就要来说的是我们的和平区了，以往我们和平区的难度是最大的，但今年呢，我们和平区的这个 一模数学的难度呢，是有一个整体降低的，它是很贴合我们中考和推荐生的相关政策的。而这三套卷子呢，老师也是建议我们初三的学生全部都做一遍，起到一个查漏补缺的一个作用。

好，那各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说这个二零二六年南开区九年级一模数学第二十四题的相关解析思路啊，这个题是一个 说常规但没那么常规的一个这个平移的问题啊，来，我们来看这题啊。呃，说是在坐标系当中， o 是 圆点， abc 顶点，这个 ab 的 坐标告诉我， c 在 第一象限， 然后 b c 边与 s 轴相交于点， d p 是 正半轴上一个动点，然后将线段 o p 绕点， p 顺时针转六十根一百二，也就是说这个 p m n， 这是一个等等边，对吧？然后连接 m n 就 到这样一个三三角形 啊。题目其实就是一个大个的一个等边，里边套着一个小个的等边，为啥他，他为啥说有些不一样呢？是因为这个 p m n 他 不是一个纯平移，他一边挪他一边会变大啊，就是那么一个图。 那么看第一问啊，第一问，求 c 点坐标跟 c d 的 长，这个就比较容易，对吧？我把它放大一点啊， c 点的坐标的话，我知道 a 是 o， a 是 三倍，刚好三，然后这个 o b 是 刚好三，那于是这个边就是四倍，刚好三，对吧？求 c 点坐标呢？ 这个最好是向外周做个垂直会比较好一点啊，这样做个垂直啊，整个是四倍，刚好三，上面就是二倍，刚好三，所以这块还剩下 根号三，对吧？那这块是根号三，然后整个这个长是二倍根号三，所以这个边是六， 所以这个 c 减坐标就好办了。六到根号三，对吧，这是 c 减坐标第二个求 cd 的 长，呃，整个 c b 我 知道是四倍根号三，减去这个 b d 的 二，二倍根号三，那就剩 cd 的 二倍根号三就 ok 了啊，这是第一个， 那看第二问说这个 o p 是 t 啊，三角形 p， m， n 和这个 abc 的 重叠部分为 s， 然后第一问说重叠部分是五边形的时候，是含 t 的 式子，表示 c g 的 长， c g， 你 求这块的长啊，并求出 t 的 这个曲值范围来。这我们看啊， 我们先考虑，我们先把这些去掉啊，我们先考虑什么时候它能是五边形。首先在图一这个框架之内，它肯定是一个等边三角形，对吧？什么时候开始可能出现四边形， 什么时候开始可能出现四边形？就是当屁运到 d 这个位置时候，这个时候我们要注意啊，它是以 o p 为边的一个等边，所以一定是大概是这个造型， 哎，大概是这个样子，这个时候重叠部分就是这，这个角是深二角，所以一个边，两个边，三个边，四个边，从这开始是四边形，只要过了 d， 那 就是开始是五边形，就是图二的这个样子，对吧？所以这个时候的 t 一定是先 比 o d 要大， o d 是 多少呢？是三，对吧？这个边界是三指的啊。然后这边怎么考虑什么时候它就不是五边形？我们来看这个图， 这个图啊，现在 p f f e， e， m， m h h j， 哎，就是这样一个无边形，对吧？好，当这个 p 往右挪动的时候，哪个边是最先消失的？ 你可以观察一下，看哪哪个象最先消失。这边啊， m 到 e 的 时候，这个 e m 就 没了，对吧？然后如果这个 f g 到 c 的 时候，这个边也可能被记没了，对吧？这两边是最有可能消失的，那先是谁？ 可能是 m 这个比较短的，对吧？但是这块这块它是一直往这个方向挪，其实这个的水平位一也不是很长，所以我们可以这么考虑啊，可以这么考虑，我当这个 p， 当这个 pc 和这个 ac 垂直的时候，如果 pc 和 ac ac 垂直的时候， 那这个时候就恰好是这个 p n 过一点 c 嘛，对吧？那好，这个时候我画我看看啊，因为它一直是 o p 这样叠了，所以这个时候这个 o p 会比比较长，对吧？所以那这个大等边大概就是这个样子， 哎，我们这阵看它这阵就已经是一个三角形了，对吧？那也就说这阵的 e m 早就没有了，所以应该是 e m 先消失，然后才是这个 p c 垂直于 a c， 对 吧？哎，好，那这么样考虑之后我们就知道了，这个图啊，大概应该是这个样子， 就是当这个 m 到到 e 那 个位置，哎，大概是这个样子，然后这边呢？还还有这边还在，应该没出去，大概就是这么一个位置的情况， 哎，这个等边大概是长成这个样子，这个时候它就是一个一二三四，就是个四边形，我们只需要把这个时候的这个 p 点的这个坐标这个位置想办法求出来就可以，对吧？这是什么时候？这是 pm 和这个 a c 正好交于点 m 的 时候， 哎，这个时候我们求一下这个，呃，点 p 的 这个长，也就是这个时候 o p 的 长就可以啊。这个时候我们怎么求，我们看看一下啊？ 这个时候啊，这个标一个点 m 吧，因为这个 o p 是 等于 pm， 而这个角呢，它一直是六十度，所以这个时候连 o m， 它肯定是一个 等边的 o p m， 这是个等边，那这个等边呢？这正好是九十度，通过这个去求 o m， 也就是 o p 了啊。这个 a o 是 三倍根号三，这个就是二分之三倍根号三， 那于是这个边呢？就是二分之九。哎，也就是说当 t 小 于二分之九的时候， 他可以取得啊，五边形。那好了，有这两个范围之之后，我们再考虑能不能取等号，能取等号吗？不能，因为这边取等号的时候，他，他是一个四边形，这边取等号的时候，这个图他也是个四边形，所以这两个都不能取。 t 的 范围就是大于三，小于二分之九。 好，再回来看我们这个表示它上穷，又啥？表示？ c g 的 长，对吧？这个 c g 怎么办？好，我们看图二这里啊。呃， c g 的 长，我们可以这么考虑，就是用整个的这个 bc 减去 b d， 再减去 d g， 剩下的就是 c g 了， 对吧？那么 b d 的 长我们是知道的， o b 是 根号三，这就是二位根号三，而这个 d g 的 长呢？嗯，你用这个 p h， 这个三十六十九十表示一下也行，你给我点 g， 向这个 s 轴做个垂时都可以 啊。这几个方式都好，无论如何它都是这个 d p g 的 一个大的，这个，呃，大的这个边长，对吧？而这个 d p g， 这个三三角形呢？它一直是一个三十、三十、三十一百二的一个等腰三边比是一比一比根号三， 对吧？那这个这个 d j 呢？就等于根号三倍的 d p， 那 d p 多长呢？这个边一直是三，对吧？所以 d p 一 直是 t 减三，那这个 d j 呢？就是根号三倍的 t 减三， 哎，那有了这个长了，有个这个长了，拿整个的这个四位加号三一减，那就是这个 c 这个长就完事了啊。这是我们的第二问 好，来看最后一问，当 t 在 一和五之间时候，求 s 的 取值范围，呃，这个，呃， 这个范围其实比较常规啊，我们先用知道等于一的时候取的是最小值，为啥？这个在它等于三之前，它一直都是一个三角形，随着 o p 的 变大，这个这个 这个这个面积他一一他一直在变大，对吧？那么等于一的时候，他就是最小的时候，因为等边的面积四分之根号三 a 方，对吧？那这个时候我们在这就能取得最小值，那最大值呢？不会在五这取得太大了，这个这个五已经是 已经是超过这个位置，就是四边五，五边形之外已经快成这个四边形了， 对吗？太大了，所以一定是在五边形这一块取得最大值。所以你就考虑在呃三到二分之九这块五边形的时候，它面积是不是最大就可以。 这个啊，我们可能需要这个稍微的多求一下这个整个这个面积四分之根号三梯方，然后减去下面这一小个的， 这个好办啊，因为我们刚才已经求过了，这个边是 t 减三，对吧？那么这两个边是可以表示的，然后这个边刚才 c g 知道了，那么 呃，这个 f g 就 能知道， p g 知道， f g 知道，那么 fn 就 可以求，有了 fn， 那 么 e f 就 可以求，因为上面这个也是一个三十、六十、九十的一个直角三角形，然后通过等边减去下面这个，减去上面这个就是这个五边形的 面积，有的面积在这个范围之内，求个最值就可以。然后大家注意这两边都没有等号啊，都没有等号。 这个二十四题啊，我觉得计算量还是还是比较正常的，一个二十四题的计算量，不过在考场上，呃，这个最大值没有时间不行就先别去问，保证前面这些能做对就可以啊。 好了，那这是我们对于二十四题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行建议和沟通和交流。好了，那这个二十四题先和大伙说到这了。

哈喽，各位同学好，各位家长好啊，我是数学马老师啊。哎，咱们紧接着点评一下最难的一个难开一模的卷子啊，比和平和河西都要难，不仅计算量大啊，考点也是稍微难一些，咱们来逐一分析一遍啊。首先来看这个选择题，第十二题 啊，他出了一道类似于去年天津中考题出的这个双洞点，但是考的稍微难一点，也就是会拐弯，这个点会拐弯啊，分类讨论，一定要记住， 考的稍微难一些，有一点计算量。然后第十七题呢，考了两个比较难的点，第一个是全等得能看得出来，第二个就是平行夹中点，中点的四个用法，用马老师教的方法得能看的出来啊。然后啊，第二十一题，圆的题不难，就垂直定力就行了。然后第二十四题呢，考了一个， 也不是全平移，是考的平移结合放缩啊，在过往的一模二模卷子里有出过类似的题目啊，平移结合放缩，尤其到第三问的时候，计算量特别大啊，哎，需要取这个马老胶的三个步骤，第一步，画竖轴，分析状态，先三角形，再五边形，再四边形，这样来分析啊。然后啊，紧接着临界 要求出来他的最小值，最小值在他的端点处，端点处里边啊，再取最小值，最大值呢，还得求中间那个五边形的解析式啊，求完解析式以后，紧接着再求顶点啊，这个知识点啊。最后二十五题 啊，二十五题，考的稍微难一点的，在计算量上面啊，稍微大一点，再加上他的思维啊，考了一个三垂直模型，跟去年天津中考的二十五题是衔接的，但是 看题干问句是将军印马，实际上呢啊，将军印马又多了一个跟号二倍的关系，需要化身为直的思想，再结合将军印马做垂线的思路啊，所以考的会稍微难一些啊。每一道题单独拎出来并不是很难，有些计算量，但揉在一块，整套卷的难度比和平跟和西都要难 啊。所以这套卷子如果能考到一百零三分以上，一百零四分以上绝对算一个啊，中上游的一个水平了啊，算高一点的分数了，考到一百一十分以上，那绝对是对应的是五所三所的分了。这套卷子啊，好，各位 同学，各位家长，只要点击马老师的头像，点击关注评论区，输入南开一模四个字啊，南开一模四个字，马老师会把详细讲解和真题啊发给各位家长。

中考生，咱们必看啊！二十四题风向已定，再抓错重点咱们就晚了！天津中考家长注意啊！数学最后一道大几何大题呢！呃，直接决定了孩子能不能上重点高中。今年命题信号已经基本明确啊，再猛猛刷题练错方向，孩子再多努力也白费。 张老师在天津待中考毕业班十多年了，今年三大区的一模考完，中考二十四题的出题套路基本已经暴露无疑了。 今年咱们南开、和谐、和平三区的一摸二十四题，分别考察了旋转、翻折跟平移三种图形的变换，看似分散，但实则全是名题组给咱们放出的明确信号。今年中考二十四题呢，历年只在旋转、平移、翻折中三选一啊，规律基本非常明显。 基数年呢，咱们偏爱考平移，偶数年呢，必考翻折啊！去年基数年考了拼音，二十六年咱们偶数年 二十四题极大概率锁定翻折啊！这一步踩空，孩子直接丢大粉啊！逐个咱们分一下各区这次的考试试卷，家长们一定要重点听开去。一摸，呃，考的是旋转啊，计算量非常大，角度变量的也复杂啊，这难度最高， 既然一模已经考完了啊，但二模三模基本不会再重复考啊！这套卷子只适合练计算跟几何的思维，完全不能代表今年中考的方向，别让孩子死磕浪费时间继续一模考翻翻折啊，还把二十三题和物理知识点相融合，典型的这个八高命题思路啊，专门筛选高分孩子啊！ 翻折正是今年中考最核心的考点，这套题的含金量是最高的，大家一定要重点刷和平区一模考的是平移啊，命题基本清晰啊，更贴近明年中考呃，仅适合基础自测啊，重点是和平今年三模 考试啊，计划是考两次翻折，一次平移，后续和平出的翻折题型才是最贴近中考的风向标。 最后给各位天津的家长呃，三条建议啊，第一个呢，就是重点练核心这类数理结合的题型啊，提前适应新考法，避免考场直接蒙啊。二呢，就是狠抓计算速度与准确率啊，用难开题练，呃，这个题呢，练现实啊，思路对确 啊，之后思路对了，呃，但是算错了，等于白丢分啊。三呢，是死盯或者是平后续的这个和平的后续模考啊，重点刷翻折题啊，把近五年二十四题，偶数年的翻折真题反复练，把出题套路彻底吃透。 想知道翻折题具体怎么考，怎么快速拿分？我已经给大家整理好了近五年二十四题变换的规律和和平区典型翻折题压轴题，帮孩子们精准抓分，少走弯路。关注张老师天津中考升学不迷路，稳稳助力孩子们冲高分！

搞没搞错啊，河西的一模数学和物理大融合了，最近啊，河西和平南开的一模是不是都考完了呀？你看河西数学的二十三题，上面是福利这种物理的知识点，下面呢是数学的模型。当然了啊，如果你还没有领取一模卷子的话呢，你可以在评论区留言啊。 其实呢，呃，在我们新课标里呢，一直要求的就是多学科的融合，但是之前呢，顶多就是融合点音乐啊，美术啊，他这次核心补妆了，安排了啊，直接是理科大融合。我的很多家长群啊，都在说了，一大波孩子都晕题了。那和平啊，今年也是不走寻常 以前的和平一模啊，题目呢，不会太按中考来的，但是今年呢，竟然和中考的高度保持一致啊，它难开呢，也是大部分改的中考题，但是改了就非常难了，就比如说二十四题啊，出的很有迷惑性，虽然表面题的是旋转，但本质上呢，就是平移放大的类型。 那这一点呢，就和二十三年河西的二十四题啊，出题的套路是一样的，再加上今年换出题人了，所以这三个区的数学一模呢，你可得让孩子重点做一做，它背后反映了很多中考的风向啊，只要有新变化的题型，都值得你来关注啊，别忘了评论区留言领卷子。