二次函数代数式

二次函数的一般式你真的了解吗？那么咱们先来说什么叫二次函数的一般式。二次函数任何形式的表达式啊，经过区括号合并同类项后，都可以获得二次项加依次项加长处项的形式。那么像这样的形式啊，我们就叫它为一般式， 写成 y 等于 ax 方加 bx 加 c。 其中啊， a 是不能等于零的，因为如果 a 等于零了，这个右侧将不是一个关于 x 的二次的表达式，他也就不是二次函数了。但是这里 b 和 c 的值是可以为零的， 那么这里边的 a、 b、 c 三个参数各字的含义又是什么呢？这里啊， a 表示的是二次函数的开口方向以及开口大小，如果 a 值大于零，那么它的开口将向上，如果 a 值 小于零呢，那么它的开口将向下。那么 a 的绝对值如果越大，则它的开口越窄，那么如果 a 的绝对值越小，那么它的开口将越宽，我们把它整理出来。那么说完了 a 的含义啊，我们再来看一看 b 的含义是什么？ b 是用来参与决定二次函数对称轴的，为什么叫参与决定呢？我们来写出公式，这里我们发现对称轴的公式啊，是 x 等于负的二， a 分之 b， 为什么是 x 等于呢？ 因为对称轴啊，是一条竖直的线，而想表示一条竖直的线啊，我们都要用 x 等于什么这样的形式来表示。那么这里我们观察对称轴啊，是里面既有 a 又有 b， 所以说 b 只是参与决定对称轴只有一种情况， b 自己就可以决定对称轴，那就是 b 等于零的时候。 大家想一下，如果当 b 等于零的时候，无论 a 取什么样的值，这里对称轴都是 x 等于零，也就是 y 轴啊。那么最后再来看一下 c 值的含义到底是什么？ 我们发现，对于任何一个二次函数怎么样，当 x 取零的时候， y 是不是永远都等于 c 呀？也就是说零逗号 c， 这一点永远在我们的二次函数上。 在二次函数上， s 值为零的点在哪啊？没错，它就是与 y 轴的焦点，所以说 c 值就是二次函数与 y 轴焦点的动作标志。在这一点上啊， c 值的含义跟一次函数的 b 值是一样的。那么好了，这就是一般适中 abc 的值的几何含义，屏幕前的你学会了吗？

好，同学们好，这节课呢，我们来看这道初中代数的经典好题，这道题目呢，是一道关于二次方程的代数，是求知题，实际上呢，它是一道竞赛题，有一定的难度。不过呢，如果你熟悉这一类题型的考点，那其实呢，它还是非常简单的，我们这节课呢，就一起来做一下， 看一下题目。已知实数 a 不等于 b， 且满足这样两个等式，让我们求这个代数式的值。好，我们一起来看一下这样两个式子， a 加一的平方等于三，减去三倍的 a 加一，后面是三倍的 b 加一等于三，减去 b 加一的平方。 实际上你仔细观察这两个式子，从形式结构上来说是完全一样的，我们稍微给他变形一下，就是第一个式子是 a 加 一的平方，全部一项应该是加上一个三倍的 a 加一减三等于零，那后面这个是呢，我们把这个也进行个变形， b 加一的平方加上一个三倍的 b 加一，然后减三等于零， 这两式呢，我们看从形式上来说是完全一样的，是吧？然后呢，他们都是一个二次的房产，我们这种情况下呢，可以干嘛呢？我们就可以 把这个 a 加一看成一个整体， b 加一看成一个整体，然后把他们俩都理解为同一个二次方程的根，也就是 x 的平方加三， x 减三等于零， 因为他们俩都满足这样一个方程，所以接下来我们该怎么办呢？接下来我们可以去设一下， 就是我们可以令 a 加一，它等于一个 m， 然后呢， b 加一等于 n 或者 x 一 x 二， 那之后呢，我们可以利用根与系数的关系去解决这个题，也就是伟大定理。那么我们写一下，就是 m 加 n， 他等于一个负三， m 乘以 n 也等于负三， 那么我们把这个 a 加一和 b 加一代入就可以得到，所以 a 加 b 加二等于负三，那么 a 加 b， 他就等于负五，然后呢， a 加一乘以个 b 加一等于负三， 这个呢，我们拆开 a， b 加上一个 a 加 b 加一等于负三，所以 a， b 等于 a 加 b 是负五， 负五加一，负四移过来加四得一，也就是 a b 互为倒数。我们再稍微的去观察一下， a 加 b 等于负五，他俩的和是一个负数，积是一个正数，所以这两个都是负数。 我们还可以得到一个 a 是小于零的， b 他也是小于零的。然后呢，我们再看这个式子该如何画点，我们稍微的把它变形。 b 根号下， b 乘以 a 分之一，我们可以这样写，我们先看 b 乘以 a 分之一，然后 a 乘以根号下，同理 a 乘以 b 分之一。为什么要这样写呢？ 因为 a 分之一，它就是 b， b 分之一就是 a， 所以可以得到 b。 然后呢，开出来应该是绝对值。 我们先保留一步， b 乘以 b 里面是 b 的平方，带个绝对值开出来，同理后面是 a 乘以个 a 的绝对值。现在呢，我们要把绝对值去掉，因为 ab 都小于零，所以我们得到的应该是负 a 方减去 b 方， 它等于负的括号 a 的平方加 b 的平方。然后呢，就是最简单的一种变形了，负的括号 a 加 b 的平方，减去 rab。 好，这个呢，我们直接代入就是负的 a 加 b 是负五的平方，二十五减二，负二十三。好，所以这道题目呢，他还是非常典型的，朋友们自己呢？去试一下。这节课我们就讲到这里。

同学们好，在上个视频当中我们讲了这道题的图解法，今天呢，我们再介绍一下代数法，因为有时候呢，在使用塑形结合的时候，我们可能遇到障碍了，不妨换个思路来试一试，代数法能不能解出来呢？好，我把这个过程先展示出来，然后我们再来解释一下， 你们可以先暂停啊，自己先理解一下。首先，我们由刚开始的条件 x 一小于 x 二，告诉我们呢， y 一小于 y 二，我们于是由这个条件可以得到什么得到 a x 一方加 b， x 一加 c 小于呢？ a b x 二加上 b x 二加 c， 就是代进去了啊。代完之后呢，接下来我们要进行 一项变形，那么此时呢，一项完之后，是 a 倍的 x 一方减 x r 方加上 b 倍的 x 一减 x 二，然后我们再因式分解一下，对吧？平方差公式， x 一加 x 二乘 x 一减 x 二。好，发现两项呢，都有 x 一 减 x 二，又因为呢， x 一小于 x 二，对吧，所以 x 一减 x 二肯定小于零，那么两边同时除以这个因素，那么得到 a 倍的 x 一加 x 二加上 b 不等式的方向呢，发生改变，大于零。好，我们继续移项，移到这的时候啊，得到 a 倍的 x 一乘 x 二大于 负 b， 又考虑到题目当中说到开口向上 a 是大于零的，所以呢，两边同时除以 a 不等号的方向呢，保持不变，也就是 x 一加 x 呢，就大于负的 a 分之 b 横成立。好，我们考虑到这个 t， t 是什么？ t 是对应轴，对应轴呢，正好等于负的二 a 分之 b， 所以把它带进去。得到 x 一加 x 二呢，应该是大于二 t 很成立，考虑到条件是 x 一加 x 二是大于三的，所以呢，比如二 t 就小于等于三，对吧？等于三么？可不可以啊？可以，小于三肯定应该是很成立的， 等于三呢？也行，所以二 t 小于等于三。最后呢，我们就能得到 t 呢，是小于等于二分之三的。好，同学们看看这两种答案的结果是一样的，对吧？体会一下这几何法和代数法有什么不同，然后总结一下背后的规律是什么。我们在下个视频当中，然后进行总结。