数学八年级下册66页第十题怎么写

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级上册。呃，下册数学啊，第六十五页练习。 嗯，这页练习呢，主要学的是三角形中位线。那么三角什么叫做三角形中位线呢？就是连接三角形两边中点的线段，叫做三角形中位线。 那你说 d 是 a、 b 中点， e 是 a、 c 中点，那么 d， e 就是 三角形 a、 b、 c 的 中位线。那中位线有什么性质呢？这里了，他说啊，中位线定里啊， 三角形的中微线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，那什么叫第三边呢？你比如说我的三角形 a、 b、 c， d 呢？是 ab 终点， e 是 ac 终点，那么 第三边在哪？第三边就是这啊，你看 d 是 它边中点， e 是 a、 c 中点，那这个就是第三边啊。所以呢， d、 e 有 一个位置关系，是平行于 b、 c 的， 然后还有一个数量关系，就是 d、 e 等于二分之一 b、 c， 这就是一个位置关系，一个数量关系。那我们看一下这个题型啊。第一小题说如图，在三角形 a、 b、 c 中， d 还有 e、 f 分 别为 abbc 和 ca 的 中点，然后以这些点 为顶点，在途中你能画出多少个平行四边形？那么为什么他们是平行四边形？来，咱们来写那个连一下线啊，连接 d， f， e， f 还有 d、 e。 那么图中的平行四边形都有谁呢？一个是 a， d， e、 f 啊，我们在这写第一题，能画出几个？能画出 三个平行四边形， 那他们都是哪些呢？第一个，平行四边形 a， d、 e、 f， 第二个这啊，在这呢， d， b， e、 f， d， b， e、 f， 然后还有一个平行四边形是 d、 e、 c、 f， 那为什么他们是平行四边形？来我呢，给证明过程写一下啊。嗯，理由， 这个理由用什么？用中位线啊？因为这个三角形里有中点，所以呢，我们要考虑到中位线，那我们就可以说，因为你的 d， 嗯， f 分别是 a、 b、 a、 c 的 中点，然后所以 d、 f 会平行于 bc， 然后又因为你的 e、 f 分 别为 a、 c， 呃， e 是 bc 得按顺序啊。 a、 c 的 中点， 所以呢， e、 f 会平行于 ab， 那 你看啊，这和这平行，这和这平行，你是不能得出啊，一组一个平行四边形了 啊。所以你的四边形 d， b、 e、 f 是 平行四边形 啊，然后你看啊，这和这平行，这和这平行，对吧？那么我们再说，因为，呃，这是 d、 f， 这是 e、 f， 那 就是 d 和 e 呗。 d， e 啊，分别是 a、 b 和 b、 c 中点，所以呢， d、 e 会平行于 a、 c， 然后因为你的 d、 f 会平行于 b、 c， 然后你的 d、 f 会平行于 b、 c。 啊，不对，写过了这个啊，这和这平行 还有一个 d、 e 平行于 a、 c， 这和这平行 d、 e 平行于 a、 c， 再加 d f 平行于它，那把这个先划掉啊。所以呢，我的 d、 e、 c、 f 是 平行四边形， 然后又因为 d、 e 平行于 a、 c， 然后 e、 f 会平行于 ab， 所以 四边形 a， d、 e、 f 呀，不加顿点啊，是平行四边形。 用到的都是什么呢？用到的是两组对边分别平行的四边形是平行四边形 啊，那这里面其实呢，你也可以用 e 组对边平行且相等啊。你看 df 平行于 bc， 并且等于 bc 的 一半，那你说 df 跟跟 b、 e 是 不是相等， 同时也会跟 ec 相等？那我就一招啊，一起就能证明这两个三四边形是平行四边形，对吧？然后这边也是同理啊， 可以用一组对边平行且相等，我这里用到的都是一两呃，两组对边分别平行啊。那么我们来看第二题， 说如图，三角形 a， abc 的 中线，中线啊，什么叫中线呢？就是一边中点与相对的顶点所连线段啊，叫中线， 那他呢？啊，得到的是 a， d 等于 c， d 啊，那 c， e 呢，也是终点，他俩呢，交于点 o 啊，说 f 和 g 啊，分别是 ob 和 oc 的 终点， ob 和 oc 的 终点。然后让我们求证 这个 d， e， f， g， 它是一个平行四边形，那这个里边呢，我们可以用什么方法来证呢？那你想平行四边形的判定定律啊，有五条 啊啊，叫两组对边分别平行，两组对边分别相等，那一组对边平行且相等，两组对角分别相等，还有对角线互相平分，是吧？那么这个题呢，在我们学的这个新知识点中，微线的这个课时里，所以我们尽量用什么 用到中位线，尽量要用到中位线啊，运用新知识点来解决。那么下面呢，我来写一下过程啊，可以怎么写呢？首先你看，因为你的 b， d 和 c， e 是 中线，所以呢，你的 d 和 e 不 中点吗？ 那你的 d， e 呢，就是三角形 abc 的 中位线，那它呢，平行于 bc， 并且等于 bc 的 一半 啊，平行于 bc， 并且等于 bc 一 半。然后你的 f 和 g 呢，又是 ob 和 oc 的 中点，所以呢，你的 f， g 是 ob 的 中位线， 那么也就是 f g 能平行于 bc， 并且等于 bc 一 半。那你看，两条直线都与第三条直线平行，那这两直线是不是也互相平行？ 那还有呢？就是啊，这两直线都等于 bc 的 一半，所以呢，这两直线是不是也平行啊，也相等，这两个线段也相等，所以我可以用到一组对边平行且相等的四边形。是平行四边形啊，嗯，那他还可以用什么呢？你比如说我连成这 连接这之后呢，我可以得到你的 d g 平行且相等于 a f a o 的 一半，平行于 a o， 并且等于 a o 一 半。那 e f 呢，也是平行于 a o， 并且等于 a o 的 一半。那我可以用这组对边平行且相等 啊，也能够判定它是平行四边形。所以说我之前说的第一种方法呢，是不需要做辅助线的啊，这个辅助线可以先去掉，那我们来写一下过程啊，写在这边。第二题证明， 因为你的 b、 d 和 c， e 是 三角形 a， b、 c 的 中微线的中线， 所以呢，你的 e 还有 d 分 别是 e 是 ab 中点， d 是 ac 中点，然后所以你的 d e 平行于 bc， 然后 d e 又等于二分之一 bc 啊，然后又因为你的 f 和 g 分 别是 ob 和 oc 的 中点， 所以呢，你的 f g， 那 么平行于 b c， 然后 f g 又等于二分之一 b c， 所以 你的 d e 会平行于 f g， 你 的 d e 会等于 f g， 那这样一组对边平行且相等，所以呢，你的四边形 d e， f g 是 平行四边形 啊，这就是啊，不做辅助线的方法啊。然后你的第三题，他说 如图， a 和 b 啊，两点被池塘给隔开了，说在 a b 外啊，选一点 c 连接 a c 和 b c， 然后怎样利用中微三角形中微线段里来测出 a、 b 两点间的距离， 那你说这题在中卫线这一课时里，那肯定是用中卫线，对不对啊？你看人家说利用中卫线定律是不是？那我们的方法就是那取两边中点呗，对不对？来第三题。方法啊， 取 a， c 和 b， c 的 中点 d 和 e 啊，取中点 d 和 e， 这个是 d， 这个边的是 e， 然后连接 d， e 连接 d， e。 根据三角形中位线定里， 三角形中位线平行于 三角形的第三边，并且等于 第三边的一半。嗯，所以我就可以知道了，你的 d、 e 会平行于 a、 b， 然后呢，并且 d， e 会等于二分之一 ab 啊，因此可以啊，测出 d， e 的 长再乘二， 求 ab 两点间的距离 啊。这就是第三题。

除以负二， x 大 于等于二分之一十五， x 大 于等于二分之一十五， 我们看到这里我们同时乘以，哎呀，这个我要不就把这两个带 x 的 把它加在一起吧？三分之 x 加五分之 x 小 于负二的二。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五十九页练习。 第一题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，角 a、 d、 c 等于七十度， a， b、 c、 d 是 平行四边形，角 a、 b、 c 等于七十度， b、 e 平分， a、 b、 c 也说这跟这是相等的，与 a、 d 呢，交于点 e， 说 d， f 平行于 e、 b， 这两条边是平行的，交 b、 c 于点 f， 让我们求角 e。 那么这道题呢？嗯，因为他这一课时呢，刚学的是这个平行四边形的性质啊，所以呢，这里面用到的就是平行四边形的性质。那平行四边形都有什么性质啊？ 那边的性质对边平行且相等啊，角的性质是对角相等，邻角互补，然后呢，对角线呢？是互相平分，那么这里边用到的是什么呢？你看啊， 他要求的是角，肯定往角上琢磨，对吧？那么给你了， a、 b、 c 等于七十，然后，那这 是不是也应该得七十对角相等，对吗？然后呢，平行四边形，对边平行且相等，那我们用平行来，这叫角平分，线与平行线 必有等腰出现，也说这个小叉跟下面小叉相等，那么等量代换啊，不用等量代换，也说这个叉在这，然后因为你的 b、 e 平行于 df， 所以 这个叉和这个叉相等， 那这的七十减去叉是不是就角一啊？所以用到的就是角的性质啊，还有，嗯，对边平行，所以来咱们来写一下过程啊。第一题，嗯，角， 因为四边形 abcd 是 平行四边形， 那么根据平行四边形的性质，咱们用哪两个性质来着？第一，对边平行， a、 d 平行于 b、 c， 第二，对角相等 到底多少度？七十度吧，是不是？然后我们再用角平分线，把你这个一半的角求出来，用的是哪个？用的是下面这个角，叉到这来，对不对？那我们写，因为 b、 e 平分角 a、 b、 c， 所以 角 e、 b、 c 等于二分之一，角 a、 b、 c 等于二分之一，乘以七十度，等于多少度？ 三十五度。然后你再写，因为 a、 d 平行于谁？ bc， 所以呢？ 嗯，你的内错角会相等，角 a、 e、 b， 它等于角 e、 b、 c 等于多少度？三十五度。然后又因为另一个平行 df 平行于 b、 e， 所以呢，这叫两直线平行，同一角相等，也就是角 a、 d、 f 会等于角 a、 e、 b 等于三十五度。 嗯，所以角一呢，就等于角 a、 d、 c 减去角 a、 d、 f 等于七十度，减三十五度等于三十五度啊，这是第一题， 那我们来看一下第二题，他说如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长是十六。那么你读到这啊，你你，你想一想，平行四边形啊，这个周长肯定是跟边有关，对吧？那么平行四边形的边呢？是对边平行且相等，也就是 a、 d 等于 b、 c， a、 b 等于 cd， 那 也就是说我的周长是这四条边的和，而对边是相等的啊，所以我能求出一组邻边的和 啊， a、 d 加 c、 d， 或者是 ab 加 bc， 是 不都能求出来？这你脑袋里要有思路啊，有想法。然后说对角线 a、 c 和 b、 d 交一点 o， 那 你看平行四面有对角线了，那对角线的性质是什么？ 对角线互相平分，对吧？也就是 a、 o 等于 o， c、 o， b 等于 o、 d， 那 用哪个呢？咱不知道啊，一会咱们看题，说点 e 啊，在 a d 上，在这说 o e 垂直于 a c。 来，这句话就有讲究了啊， 你看啊，这有垂直，然后垂足这个点 o 呢，恰好又是 a c 的 什么点 中点，所以这不叫垂直加平分吗？所以 o e 应该是 a c 的 垂直平分线，那你想垂直平分线有什么性质呀？垂直平分线的性质是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离怎么的 相等啊？ a e 等于 e c， 然后让我们求的是 c d e 的 周长，那你看 c d e， 那 你说 c d e 这三条边，一个 c d 一个 e d 一个 c e， 而 c e 又跟 a e 相等，那你看，这不就是平行四边形周长的一半吗？ 是吧，那我们来，嗯，边读边分析，是不已经分析明白了，来，那我们来写一下啊。嗯，首先呢，我们说，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 什么形， 都是由它的性质起的啊，平行四边形，要不然你看，我写垂直平分线，你没有终点，他也写不了垂直平分线，是吧？所以呢，你的 a、 d 会等于 b c， 你 的 ab 会等于 cd， 这是两组对边分别相等，这一会啊，要倒一组邻边啊，的和要用着啊。还有一个就是 a o 等于谁？ o c， 那 你 a o 等于 o c 之后对角线互相平分，然后你加上垂直 e o 垂直于 a c 啊，所以你的 e o 是 是 a c 的 垂直平分线， 所以呢，你的 a e 会等于 e c， 看懂吗？然后因为你的这个平行四边形 a b c、 d 的 周长 为谁呀？ ab 加 bc 加 cd 加 ad 等于多少？等于十六，所以我会求出一组邻边啊。这上面这个 换进来是不是应该是二倍的 a、 d 加上二倍的 c、 d 就 会等于十六，所以 a、 d 加 c， d 就 等于几等于八吧，对不对？那么你写，因为三角形 c、 d、 e 的 周长 为谁加谁啊？ c、 d 加 d， e 加谁 e， c， 然后它就等于 c， d 加 e， d 加谁呀？加 a， e 就等于 cd 加 ad 等于几啊？等于八，那这地方就写所以就行了啊。这是第二小题，那么第三小题 写到这吧，他说如图，在梯形 a、 b， c、 d 中， a， b， c、 d 中啊，看图，然后呢？说 ad 啊，能平行于 bc， 那梯形是不是有只有一组对边平行，所以上下两个平行的啊？然后角 c 呢？是九十度，说明是等腰直的，叫直角梯形啊。说 a、 d 等于三， ab 等于四，然后 b、 c 这它等于五， 然后 e 在 bc 上说 ab 又平行于 d、 e， 哎，你看这不就叫两组对边分别平行， 那我们平行四边形的定义不就说了吗？两组对边分别平行的四边形是什么啊？不对，两组对边分别平行的四边形是什么形？ 是平行四边形，那你看，不就正出它是平行四边形了，那这个四就上这来了，那这个三就上这来了，那这就是二，对不对？然后让我们求的是 a、 d 和 b、 c 之间的距离，那 a、 d 之间的距离不就是垂线段的长吗？那也就是求 cd 的 长 是吧？那你看这勾股定律不就求了吗？啊，来，第三题写到这里啊，解， 首先由这个两组对边分别平行啊，来求平行四边形 a、 d 平行于 b、 c， 然后 a、 b 平行于谁？ d、 e， 所以呢，四边形 a、 b、 e、 d 是 平行四边形， 然后我们就会得到 a 呃， b， e 等于 a， d 等于三， d， e 等于 ab 等于四啊，这叫对边 相等，对吧？对边相等。然后呢？你写，所以 e， c 就 会等于 b， c 减 b， e 就 等于五，减三等于几等于二。然后在 r t 三角形 e， d， c 中 角 c 等于九十度。所以 d， c 等于根号下四方减二方等于 二倍，根号三啊。这就是第三题。

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版七年级，呃，八年级啊，下册第七十九页习题二十一点三的四、五、六啊，讲三道题吧。 第四题说四边形， a、 b、 c、 d 是 个菱形，那么你的脑袋也要想到菱形呢，四条边相等啊，对角线互相垂直啊，然后对角线平分每一组对角， 这些是菱形特元平行四边形没有的性质。那他告诉我 a、 c、 d、 a、 c、 d 这三十度， 然后 b、 d 呢？等于六，那咱们知道这一半应该得三，然后他让我们求 b、 a、 d、 b、 a、 d， 求这个角和 abc， 求这个角，那这里边呢？嗯，你要想求它，其实难度也不是特别大啊，那怎么求呢？第一， 他要求的 d、 a、 b 是 不跟你的 b、 c、 d 是 相等的，那跟 b、 c、 d 相等的话，那我们这个，嗯，三十度只是 b、 c、 d 的 一半，为什么呢？因为我们知道菱形啊，菱形对角线平分一组对角 啊，所以说这也应该等于多少？也应该等于三十啊，等于三十，那我可以得出这个大角应该等于六十，然后这个大角有六十，那么邻补，邻角互补，所以这一百二 啊，这一百二，这跟这呢，是对角和对角不相等吗？是不是？所以这都能求出来？那么第二个，让我们求 ab 和 ab 和 ac， 那 ab 和 ac 呢？你观察对角线互相垂直，那三十度所对直角边得斜边一半，那这不得六吗？那这得六，这时候就得六啊， 那这个位得六，这的三是不能求出 a、 c 的 一半勾股定力是吧？等于三倍根号三，然后 a、 c 的 长应该等于六倍根号三啊。来， 那现在呢，咱们来写一下，嗯，第一问，首先我们说，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 四边形啊，不对，四菱是菱形啊， a、 b、 c、 d 是 菱形，那菱形会用到什么呀？所以你的 c、 a 平分角 b、 c、 d， 然后你会得到， 嗯，一会用这个零步，是吧？那个 a、 b 会平行于 c、 d， 然后我们还要用到对角相等，所以 b、 c、 d 会等于角 b、 a、 d 啊，这都是菱形能得出来的。然后我们再说，因为角，嗯，什么角 acd 啊？ a、 c、 d 等于三十度啊，然后，所以你的角 b、 c、 d 应该等于二倍的角 a、 c、 d 等于六十度 啊，这不平分线吗？对吧？嗯，然后呢，所以你的角 b、 a、 d 也应该等于多少度？六十度。嗯，然后又因为你的 ab 平行于 cd， 所以 角 abc 加角 bcd 等于一百八十度， 所以角 abc 等于一百八减六十等于一百二十度啊，这是第一问。那么第二问 啊，这时候呢，我们可以要用到这个什么了，要用到对角线了，对吧？那我们设对角线交于点 o 啊，那我们来先写一下，设 a、 c 与 b、 d 交于点 o， 把这字母提前设好啊。然后我们可以说，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形，咱们把对角线互相垂直啊，四条边都相等，嗯，把它给嗯描述出来啊，所以呢，你的 a、 c 会垂直于 b、 d， 嗯，你的儿要求这个边倒这个边，是吧？你的 cd 会等于谁？ ab 啊，这都是由菱形推出来的， 那这个菱形推出来之后，然后我们可以说，因为在二 t 三角形 c、 d、 o 中， 角 a、 c、 d 等于三十度，所以你的 cd 应该等于二倍的 o、 d 等于 二乘三等于六，那你这个六求出来呢？所以你的 ab 就 应该等于 cd 等于几等于六啊？ ab 是 不是就求出来了？ ab 求出来呢？下一个目标 ac， 嗯，做完了，是不是应该少写了一个？嗯，这里还少写了一个菱形对角线， 这个 a、 c 等于二倍的 o， c， 在 这补上 a， c 等于二倍的 o、 c 啊，菱形对角线互相平分嘛，所以我用这个二倍的关系来描述的 啊，二 b 的 关系来描述的。那么现在呢？我们现在求出来这个 c、 d 了，是吧？ ab 和 c、 d 求出来了，那我们再用勾股定律在二 t 三角形 c， d， o 中，然后你的， 嗯，哪个边来着？ o c 是 吧，等于根号下 c， d 方减 o， d 方等于根号下六，方减三方等于三倍，根号三。 所以呢，你的 a、 c 就 等于二倍的 o， c 等于六倍根号三。嗯，这就都解决了，是不是？这就是第四题， 那我们来看第五题，他说 a、 e 平行于 b、 f 这两个边平行， a、 c 呢？平分 b， a、 e 这俩角相等， 交 b、 f 于点 c， 然后 b、 d 呢？平分 a、 b、 f， 那 这俩角相等，然后交 a、 e 于点 d 连接 c、 d， 让我们求证 a、 b， c、 d 是， 嗯，菱形啊，让我们求 a、 b， c、 d 是 菱形，那么这个菱形怎么去证呢？我们想一下啊，菱形的判定定律，一个是， 嗯，邻边相等的平行四边形，呃，第二个是对角线互相垂直的平行四边形，第三个是四条边相等的啊，四边形， 那这里边用什么呢？你看啊，题里给我们了一个 a， e 等于 b、 f， 这不相当于有一组对边平行了吗？对不对？那么我们，嗯，再去证明什么呢？ 再去啊，这里还有角平分线，对不对？那我们可以去利用平行加角平分线，得等幺三角形，那你看这平行过来这个叉是不是到这来了？那我就能得到 ab 等于谁？ ab 等于 bc， 对 吧？那么 ab 等于 bc 之后来再倒这个啊，平行上去是不倒这，那我就会得到 ab 等于谁？ ad 啊，那你说这三条边都相等了，你说 ad 和 bc 相等了，再加一组平行是不能证明它是平行四边形，你再任意取一组邻边相等，它是不是就是菱形了 啊？所以这个题可以利用一组邻边相等的平行四边形。那我们得去证明什么呀？证明，嗯， 平行四边形，一组对边平行且相等啊。来第五题证明， 因为 a、 e 平行于 b、 f 啊，然后呢？且咱们别这么写，先写平行线来， 因为你的 a、 c 平分角 b、 a、 e， 所以 a、 c 平分 b a、 e， 所以 角 b， a、 c 会等于角 d a、 c 呃，然后又因为你的 b、 d 平分角 abf， 所以呢？ abf 平分这，所以角 abd， 他会等于角 cbd， 然后因为你的 ae 平行于 bf， 所以 来，咱们找那个内错啊，所以 dac 会等于 acb， 角 dac 会等于角 acb， 然后角这个 adb a、 d、 b 会等于角 c、 b、 d 啊，然后等量代换这两个小圈相等，这两个小叉相等啊，角 b， a、 c 会等于角 a、 c b， 角 a、 b、 d 会等于角 a、 d、 b， 那 么你的两两个小角就要等边等角对等边，对吧？所以 ab 会等于 ab， 然后 ab 会等于谁？ bc， 那 我就会得出你的 a、 d 能等于 bc， 然后又因为你的 a、 e 是 平行于 bc 的， 所以我们能证明出四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形啊，平行四边形。然后又因为你的 a、 b 会等于 ad， 所以 四平行四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形啊。这个呢，就写完了，这是第五题啊，那我们看一下第六题。 第六题他说如图， e 是 正方形，对角线 b、 d 上的一个点，他说 be 能等于 bc， 这跟这相等， 然后且过 e 作啊，有且与 b、 d 垂直的直线 c、 d 交于点 f， 那 这垂直。然后问你 b、 d 啊，不对 d， e 和 c、 f 相等吗？也是这和这相等吗？那这一定相等啊。啊，那相等的理由呢？首先，你的这两个三角形应该能全等啊，这叫 h l， 证明全等。那么你的 ef 跟它相等， 那他俩呢，怎么相等呢？你看啊，这是直角，这是四十五度，那么你说这不也是四十五度吗？所以 d、 e 和 e、 f 能相等，而 e、 f 跟 f、 c 相等，所以呢，等量代换啊。那我把第五题写到这里来，写，减 d、 e 会等于谁？ c、 f， 理由如下呀，看不到了。 先说因为四边形 abcd 是 正方形， 正方形会得出什么呀？要用的一个是角 c 等于九十，然后一个是 角 b、 d、 c 会等于多少度？四十五度啊。然后呢，又因为你的 e、 f 垂直于 b、 d， 所以 角 f e、 b 能够跟角 c 相等，等于九十度，所以在 r t 三角形 b、 c、 f 和 r t 三角形 b e、 f 中，然后 h l 是 b f 等于 b f， 你 的 b e， 哎呀， b e 等于 b c， 所以 r t 三角形 b、 c、 f 全等于 r t 三角形 b、 e、 f 用到的是 h、 l 来写到这啊。 所以呢，你的 e、 f 会等于 c、 f， 然后又因为你的 嗯，角 f、 e、 d 等于九十角 b， d、 c 等于四十五，所以你的三角形 d e f 是 等腰 直角三角形， 所以 d e 会等于谁？ e f， 所以 你的 d e 会等于谁？ c f 啊，这就是第五题。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第八十页 啊，习题二十一点三的十，十一，十二啊，看看能不能讲十三啊。他说第十题如图，四边形 a， b， c， d 啊，它是一个菱形，然后呢， m， n 呢？是 ab 和 ad 上的点， 然后告诉我们 b m 等于 n、 d， 那 读到这你就要考虑到了， ab 和 ad 菱形的大边，这和这相等，那 am 和 an 是 不能相等。 那么又说了，嗯， mg， mg 这条边平行于 ad 平行于这，那么 n， f 又平行于 ab 啊，也说这跟这平行，这跟这平行。那么你说这个绿色的，它是不是应该是个平行四边形， 两组对边分别平行，是吧？然后 f， g 呢？又分别在 b、 c 和 c、 d 上，然后 m， g 和 fn 交于点 e。 让我们求证这个绿色的和下面这个粉色的，它们俩分别是菱形， 那上面这个绿色的，我刚才在读题的时候，是不咱们就已经证明出来了？那下面这个，嗯，粉色的呢？稍微复杂一点。怎么个复杂呢？我们得需要证明，呃， 这个啊，首先证明他是一个平行四边形啊，先证明他是个平行四边形，然后呢，再去证明邻 边相等的平行四边形是不是就变菱形了？那这个平行菱，那个菱边相等怎么证呢？你得需要用这这这，他们三个平行，能得出这个这个 啊，和对，还有这边这三个平行，能得出这个这个它都是平行四边形。那 b， m 跟你的 e、 f 相等， n， d 跟你的 e、 g 相等，因为他俩相等，所以他俩会相等。这个呢，写起来呢，稍微复杂一点啊，那我们把第十题写在纸上来，首先啊，写第十个证明， 因为你的 mg， 它会平行于 a、 d， n、 f 会平行于 ab。 所以呢，嗯，你的 a、 m、 e， n 是 平行四边形， 四边形啊。然后又因为你的四边形 a， b， c、 d 是 菱形， 所以呢，你的 a、 b 会等于 a， d 啊， a， b 会等于 a、 d。 嗯，所以啊，又因为 m、 b 它是等于 n、 d 的， 所以你的 a、 m 会等于 a、 n 的。 所以呢，你的，哎呀啊，对，你的四边形 a， m， e， n 是 菱形 啊，这个菱形正的还比较快的啊。那下面那个呢，写起来就复杂一点了。那我们首先呢，先说因为四边形 a、 b， c、 d 是 菱形，那写这个菱形要什么呢？要你的两组对边分别平行 啊，所以你的 ab 会平行于 cd， 你 的 ad 会平行于 bc。 然后题里呢，又给我们了， mg 平行于 ad， 你 的 n、 f 平行于 ab。 所以呢，我会得出啊，会得出 左边斜的这三条互相平行，右边写的这三条也互相平行啊，我们给他连在一起写， ab 平行于 n， f 会平行于 cd 啊，你的 ad 会平行于 mg， 平行于 bc。 那么你看啊，分别是两组队员分别平行。你看这跟这平行，这跟这平行，那这个是不是平行四边形？这跟这平行。所以呢，这跟这平行，这也是平行四边形啊。咱们要的是这两个小平行四边形，所以你的四边形 b， m， e， f， 还有一个 e， g， d， n 是 平行四边形，所以对边会相等等于 e、 f 啊，不对不对，还少一个，这个小不点的粉的也是平行四边形。你看，这跟这平行，这跟这平行，它是不是也是平行四边形？这还少一个啊，补上， 这 还有一个 e、 f、 c、 g 是 平行四边形，你这个不写的话，你一会正出邻边相等，它也不可能是菱形啊。然后呢？ b、 m 会等于 e、 f， 然后 eg 会等于 n、 d， 所以 我的 ef 会等于 eg 啊，会等于 eg， 这不就平行四边形加一边相等吗？所以四边形 e、 f、 c、 g 是 菱形啊，这个题是这样证明的，它挺麻烦的啊。然后我们看十一题来 说，四边形 a、 b、 c、 d 啊，是个菱形，那菱形你要想对角线互相垂直是吧？它交一点 o， 对 角线交一点 o， 然后 a、 c 等于八，那 a、 c 是 对角线是不是能被平分？那 b、 d 也是，对角线是不是也能平分？然后 d、 h 垂直于 ab， 垂直于 h， 让我们求谁求 d h， 那 这个 d h 啊，是什么？是这个菱形在 ab 上的高 啊。那你要求高的话，那肯定要用到面积，而面积，菱形的面积有两种求法，一种是啊，平按平行四边形的面积底层高，一种是对角线乘积的一半 啊，对角线乘积的一半也能求出它的面积。那现在也说，我们知道 a、 c 和 b、 d 的 两条对角线长了，那么我的面积是不是很容易求？ 但是我面积求出来之后啊，那你想我的 d、 h 呢？它的底儿应该是 ab， 而 ab 我 们不知道，你得把 ab 求了。那这就要用到勾股定律了 啊，用到勾股钉里了，你得用对角线的一半是不是？所以来十一题减，我们得从大的啊，四边形 abcd 是 菱形，由它的性质我们得出我们需要的条件 啊。所以你的 a、 o 等于二分之一， a、 c 等于几啊？四，那么 o、 b 等于二分之一， b、 d 等于三，然后你的 a、 c 会垂直于谁 b、 d 啊？ a、 c 会垂直于 b、 d， 所以 啊，所以那角 a、 o、 b 就 应该等于九十度。那么在二 t 三角形 a、 o、 b 中， 你的 ab， 它会等于 ab， 会等于根号下三方加四方等于几？ 等于五啊，那这个把五求出来之后，那我们用这个菱形的面积来找一个等量关系啊，那么因为 s 零， 他可以用 a、 c 乘 b， d 乘以二分之一，或者是 ab 乘以谁 d， h， 所以 来六乘八除以二会等于五乘以谁 d， h， 那 d、 h 就 等于， 这是二十四，除以五等于五分之多少五分之二十四啊，啊，那 d、 h 的 长就是多少五分之二十四。这是第十一题，那我们来看第十二题 说，如图一，嗯，四边形 o、 b、 c、 d， 它是个矩形，然后呢，告诉我们，你的 o、 b、 d 三点的坐标分别为，零斗零， 然后 b 斗零，然后零斗 d， 让我们表示谁 求 c 点坐标，那这 c 点坐标怎么求啊？本身你的四边形就是个菱形，那菱形呢？嗯，对边平行且相等，对吧？然后四个角都是九十度， 是这意思吧。所以呢，你的，嗯， c、 d， 它应该等于 o、 b 的 长，你的 b、 c 应该等于 o、 d 的 长，所以呢，你的点 c 的 坐标就应该是 b 斗 d 啊，应该是 b 斗 d， 那 我们直接写答案，我刚才讲的你听懂了吧？ 那我们直接写答案了啊， b 斗 d， 这是点 c 的 坐标。那么第二个说，如图，四边形 a、 b、 c、 d 啊，是菱形，那菱形你要想到啊，菱形对角线互相垂直且平分 啊，互相垂直且互相平分，然后他说点 c 的 坐标是 c 斗零，然后点 d 的 坐标是零斗 d， 那 么 a 和 b 啊，在坐标轴上求点 a 和点 b 的 坐标，那么你想菱形呢？本身呢，它就是一个轴对称图形，那你的 a 点，它的对称点应该是 c， b 点，它的对称点应该是 d， 所以 你的点 a 的 坐标 应该是啊，负 c 斗零，那你点 b 的 坐标应该是零斗负 d 啊，这就应该是用对称的方式方式来讲的。那你说老师我用这个什么，我用对角线互相平分，能不能做也能， 那你说你 d 点坐标零斗 d， 那 你说 o d 的 长是不是就是 d， 那 o d 会等于 o b， 所以 这的距离也应该是 d， 那 点 b 的 坐标不就是零斗负 d 吗？啊，那这个道理也是一样，这是第二个，那么第三个四边形 o， b， c， d 啊，是一个正方形， 说 o 和 d 两点坐标为零斗零，还有一个零斗 d， 让我们求 b 和 c， 因为正方形的四条边都相等，那么因为点 d 的 坐标为 o 斗啊，零斗 d， 所以 o， d 的 长为 d， 那 你说 o， b， b， c 还有 c， d， 他的长是不都是 d？ 并且呢，你的正方形在第一象限里，所以点 b 的 坐标为 d 斗零，那点 c 的 坐标为 d 斗 d 啊，这个 ok。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第六十五页习题，二十一点一的啊，不，二十一点二的一、二三四五题，看看啊，能讲几道题？ 嗯，第一小题说，如果四边形 abcd 是 平行四边形 ab 呢，等于六，并且呢， ab 的 长是平行四边形 abcd 周长的十六分之三，那么 bc 的 长是多少？ 那我画一个平行四边形来看啊， abcd， 他 说 ab 的 a 六， 那 ab 的 长呢，又是周长的十六分之三，我是不能求整个周长，然后 bc 呢，就是 ab 的 邻边，所以呢，我可以用周长除以二，再减去 ab， 就 能求出这个 bc 的 长啊。那我们把第一题写到这里来。第一题 如图，因为你的 a、 b 它等于六，并且呢， a、 b 的 长是 平行四边形 abcd 的 啊，不对， abcd 周长得十六分之三，所以平行四边形 abcd 的 周长 为它的周长就是六，除以十六分之三等于三十二啊。然后呢，嗯，因为 因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 所以呢， ab 会等于 ab， 会等于 cd， 然后 ad 会等于 bc 啊，所以你的 这个周长周长，你的 bc 就 可以等于。嗯，周长。 这个怎么写呢？我看看啊，也就是用你的周长除以二减去 a、 b 就 等于十六减六等于十啊。这个是这个第一小题，那么第二小题 来看一下图啊，说，如图，在一竖平行光线中插入一张对边平行的纸板啊，来，第一，光线是平行的，二，纸板对边是平行的，那你看这能得出什么了？能得出它是平行四边形是不是？来，咱标个字母来， 如果光线于直板右下方所成的这个夹角一是七十二点七十二度十五分，那么光线于直板左上方所成的角二是多少度？ 那你说如果它是平行四边形了，那对角不就相等了吗？那利用的不就是平行四边形对角的性质吗？啊，所以来，首先啊，写如图， 嗯，因为你的 a、 d 会平行于 b、 c， a、 b 会平行于 c、 d， 嗯，看不到啊，然后，所以呢，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 然后会得出角二等于角一等于多少度？七十二度十五分 啊，这叫对角相等。嗯，这是第二题，那我们看第三题，说如图，平行四边形 a、 b、 c、 d。 对 角线 a、 c 和 b、 d 交于点 o， 他 说了 a、 c 和 b、 d 的 和，就是两条对角线的和啊，他得三十六， 然后说了 ab 呢，又得十一。让我们求三角形 ocd 的 长， ocd 的 周长啊，那你说 ocd 的 周长不就是 o d 加 o c 再加 cd 吗？ 那 o d 是 b、 d 的 一半， o c 呢是 ac 的 一半，那 o d 加 o c 是 不就等于对角线和的一半 的十八呗，这加这的十八。然后呢，对边是相等的，所以这十一，这十一，那十八加十一等于二十九啊。那么思路通了之，后来我们可以写下过程啊，写上第三题， 求解儿，因为四边形，咱们先把这个 o、 d， o、 c 啊， o d 等于二分之一， b、 d 写了，因为平行四边形，对角线互相平分，是不是？ 然后呢？你写，因为四边形 abcd 是 平行四边形，对角线互相平分，那是因为对平行四边形啊，所以呢，你的 od 会等于二分之一的 b、 d。 我 用二分之一的关系是因为这块有长对角线的和啊，然后 o、 c 呢？等于二分之一的 a， c， 嗯，之后 cd 会等于 ab 等于多少？十一。 所以呢， o、 d 加 o c 等于二分之一的 b， d 加二分之一的 a、 c 就 等于。这地方应该加一小句，那个已知条件，已知条件没写，找个图再来， 没有了，搁这划掉来。 因为你的 a、 c 加 b， d 等于三十六，所以你的 o、 d 加 o c 等于二分之一的 b， d 加二分之一， a、 c 就 等于十八啊。然后所以三角形 o、 c、 d 的 周长 就为你的 o、 d 加 o c， 再加谁 c， d 就 等于 十八，加十一就等于二十九啊。这就是第三题。 那么看第四题，他说平行四边形 a， b、 c、 d 中角 a 等于四十五度， ab 等于四， ab 等于二，求平行四边形面积，那你说平行四边形的面积咋求啊？ 拼音，四边形的面积是不应该是底乘高，对吧？那我们配一个图来，角 a 等于四十五度， 这是 a， 然后 b， c， d 啊。第四题，然后你的角 a 这个四十五度，你的 ab 如果做底的话，你看，你知道这还知道这 啊？那你说我的二这个二能做高吗？说不能，他可以做点，但是你要这做点的话，你的高就应该从点 b 向下做垂直，向那个 a、 d 边做垂直啊。那我现在如果以 ab 为底的话，那我是不是得过点 d 向下做垂直， 对吗？然后 abcd 来，那我们可以，嗯，以这个 ab 为底，然后 d 一 为高， 那 d、 e 怎么求呢？你看啊，这是四十五度，所以叫啊等腰直角三角形，一比一，比根号二。所以我用勾股定理能把你的这个高低 e 求了 啊，能把高低 e 求了，那把这个高低 e 求出来之后，底乘高是不就可以了啊？来第四题写减， 如图，过点 d 作 d， e 垂直于 a， b 啊，交于点 e， 然后呢，你可以说因为角 a 等于四十五度，那个角 d， e， a 等于九十度，所以设 d 啊，不对，所以呢，角三角形 d， e， a 是 等腰 直角三角形，咱交代一下这个直角三角形，交代一下他的目的是啥呢？就是你的 d， e 会等于谁？ a， e， 所以 我在这回我在设 d， e 等于 a， e 等于 x 啊，所以 你的这个 x 的 平方加 x 的 平方会等于二的平方，所以二 x 方等于四， x 方等于二，那么 x 应该等于什么？应该等于根号二。那么把这个 d， e 的 长啊， d， e 的 长求出来之后，那么我就可以啊，求面积了。 s 三，平行四边形 abcd 就 等于 ab 乘以个 d， e 就 等于四，乘以根号二，等于四倍根号二啊。这是第四题 再讲一道来第五题说，如图，平行四边形 a、 b， c， d 中啊， e 和 f 分 别在 b、 c 和 a、 d 上，并且呢， af 能等于 c、 e， 哎， 然后让我们求证的就是 a， e， c， f 是 平行四边形，它好求在哪？你知道吗？因为你的 f 在 a， d 上， e 在 b c 上，那你说 大的四边形是平行四边形，那你说 a、 d 是 不是平行于 b e， 那 a， d 平行于 b、 e 了，那不 af 就 平行于 b、 e 吗？然后你再加上这这组边是相等的，那用到的是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，你这这题不就通了吗？是吧，那我们来写第五题来 证明，因为四边形 a， b、 c、 d 是 平行四边形， 所以呢，你的 a d 会平行于 bc， 即你的 af 会平行于谁？ e c 然后又因为 af 等于 e c， 这不叫一组对边平行且相等吗？所以四边形 a e c f 是 平行四边形 啊。你看，很简单的事啊。

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第六十二页练习啊。这个练习呢，主要针对的是平行四边形的最后一条判定定律，叫一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 啊，那么今天所用到的就是啊，一组对边平行且相等啊。那么 在习题当中呢，我们尽量练的啊，用的就是这条。嗯，第一小题他说如图，为了保证铁轨的，为了保证铁路的两条直铺的铁轨，你说这个铁轨是互相平行的， 只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了。那你听， 只要是互相平行的，夹在铁轨之间的枕木，就这段和这段他的长相等就可以了。 那么你看他不就有平行吗？这两条两个枕木是互相平行了，然后你再让他俩相等，这不就叫一组对边平行且相等的四边形，他就是平行四边形了吗？ 那你说这些小四边形都是平行四边形，那你不就能够保证这两个直铺的铁轨互相平行了啊，所以呢，他的道理应该是这样的，用到的是一组对面平行写相的啊。那现在呢，咱们来写一下这个理由。 第一题说，因为 互相平行的，夹在铁轨之间的夹在铁轨 之间的枕木长相等， 然后由一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形。 可以判定 两根 枕木及两条铁轨组成的四边形 是平行四边形。所以两条 直铺的就这直铺的铁轨 互相平行啊。这是第一题啊，这是第一题。那么第二题它说如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d 是 平行四边形啊， b、 d 是 一条对角线， 说过 a、 c 两点分别做啊， a、 e 垂直于 b、 d， 这垂直 c、 f 垂直于 b、 d 啊，那你读到这，你看两条直线都与第三条直线垂直，那么这两直线什么关系？ 互相平行啊？这个地方要知道有这么一条性质，说垂足为 e 和 f， 来让我们来验证， a、 e、 c， 呃，不是， a、 f、 c， e 是 平行四边形， a、 f、 c、 e 是 平行四边形， 那么我们刚才有两个直线同时与第三条直线垂直，能得出他俩平行，那只要再正，他俩是相等的，是不叫一组对边平行且相等，对吧？那么你要想证明两条线段相等，最好的办法证什么？证全等？所以呢，我们这题里得需要证一个全等 来第二题，嗯，证明，因为你的啊，正正，正谁啊？ 只要正这两边的小三角形怎么样？全等即可。那这个全等的条件在哪呢？一个是平行四边形， a、 b、 c、 d 对 边 啊，是相等的，对边是平行的，然后内错角相等，再加你的直角，这不就角角边就能正全等了是不是？那我们可以说因为四边形 abcd 是 平行四边形，然后我们要什么结论来对边平行且相等于 bc 啊，然后由平行会得到角 a、 d、 e， 它等于角 c、 b、 f 啊，由这里的平行能得到这个，然后你再加那两个垂直，因为你的 a、 e 垂直于 b、 d， c、 f， e 也垂直于 b、 d， 所以呢， a、 e 会等于啊，不对不对， a、 e 会平行于 c、 f 啊，要的是平行。然后我们还有要用到九十度啊，角 aed， 它等于角 b、 f、 c 啊，那我们就可以写在三角形 aed 和 三角形 c、 b、 f 中，然后摆齐条件。嗯，角角边也是角 a、 e、 d 等于角 b， f、 c， 然后角那个 a、 d， e 等于角 c、 b、 f 还有一个边 a、 d 会等于 bc， 所以 三角形 a、 d、 e 全等于三角形 c、 b、 f 用的是角角边 完了，没地方写了，写这边吧。所以啊，全等之后，所以 a、 e 会等于谁？ c、 f， 然后又因为 a、 e 平行于 c、 f， 所以 四边形。 这个 a、 f， c、 e 是 平行四边形， 这叫一组对边平行且相等的四边形啊，它是平行四边形。这是第二题。那我们看第三 说，如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中有多少个平行四边形？首先你要理解啊，第一，全等， 第二，正三角形。啥叫正正三角形？不就等边三角形吗？三角边相等，三个内角是不是都得六十度？那也说这些小小三角形都是等边三角形。问你有多少个平行四边形，那么你想我这一个三角形肯定不是了，那得两个拼在一起吧。 啊，那就有一二三四五六六个啊。首先答案六个， 然后理由来，我们把这个六边形啊给它命名来， a， b， c， d， e、 f， 然后中间用 o 来表示啊，理由如下， 我们说因为三角形 a、 b、 o 和三角形 b、 c、 o 都是什么？三角形是正三角形， 对吧？都是正三角形。所以呢，你的 a、 o 会等于 b、 c， 对 吗？ 啊，然后你的角 a、 o、 b 会等于角 c、 b、 o 啊，我要用什么？用的是一组对边平行且相等啊，也说这两个角相等，然后这两个边相等， 是吧，他们不都全等的吗？啊，嗯，然后呢，我们会得出你的 a o 平行于谁？ b c， 所以 你的 a b c o 四边形。 a b c o 是 平行四边形 啊，其与其他同理 可证。那你说这个题呢？我们是啊，用新学的这个一组对边平行且相等来证的，那么他可不可以用其他的判定定例？ 也可以啊，你看这两角相等，他俩平行，那你这两个角相等，这俩也是平行的，所以用两组对边分别平行的四边形是不是也能正平行四边形？那你让我这个 a o 等于 b c 啊？ a b 等于 c o， 那 两组对边分别相等的四边形是不也可以 那？嗯，还有两组对两组对角分别相等可以不？这角六十，这角六十两个六十一百二，两个六十一百二，是不？两组对角分别相等也可以， 对吧？啊，那么这里边只有一个对角线互相平分，因为他没有对角线，就一条那个 b o 式对角线， 其余的那四条判定令都能用来证明他啊，都能来证明这个。呃，两个等边三角形拼出来的四边形是一个平行四边形啊，所以他的判定方法很多。

大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第六十七页习题 二十一点二的十六和十七题十六题如图。用硬纸板剪了一个平行四边形 a、 b、 c、 d， 说找到找出它的对角线的交点 o， 那 这个 o 呢？应该是对角线的交点， 说把一根细直木条平放在硬直板上，用大头针固定在点 o 处， 嗯，并使细木条可以绕点 o 随意转动，像个表针似的，一拨弄这个棍在转啊，说让他转动后停止观察若干次波动的结果，你能发现什么？结论证明你的发现。 那这里有啥结论呢？来，咱们规定一下来，他与 a、 d 交于点 e 与 b、 c 交于点 f， 那 会有什么结论呢？本身你的 o 啊，就是对角线的焦点，对不对？那连接一条对角线， 那我可以来证明你的 a、 o、 e 和你的 c、 o、 f， 他 俩是全等的， 那全等的之后呢？我会得到 o、 e 等于 o、 f， 你 的 a、 e 会等于 e、 f。 这个啊，不管他怎么转，他转到什么位置，比如说他这么转，他也会得到这样的结论啊，你是转到这，他也会得到这样的结论，转到这，他也会得到这样的结论。这个结论是固定的啊。 那除了这些线段相等来，你看，除了 o、 e 等于 o、 f， a e 等于 c、 f 之外，那你想，如果我连接啊，不用连接，你就说我的对边是平行且相等吧，那我的 a、 e 和 c、 f 相等了，那你说我的 b、 e 和你的 b、 f 相不相等， 是不是也相等？那这些线段相当之外来，你再看现在啊，这个小木条 所在这个位置啊，所在这位置，那你说，哎呦，我还得给他连上，连上之后来我问，你来，你说我的这个 一号三角形和这二号三角形，他是不是平行四边形对角线分成的？呃，四个三角形中的两个，那这两个三角形有什么特征呢？他俩的面积是 相等的啊。平行四边形对角线能将啊平行四边形分成四个面积相等的小三角形，是不是？那么你再加上你的三号和四号，他俩是全等的啊，那么五号和六号也能证明全等， 对吧？他俩也能这么选呢。那你想我的一二相等，三四相等，五六相等，那你看一三六这个四边形和右边这四边形，他们的面积相不相等， 是不也应该相等啊？他也应该相等，或者是说什么呢？你不用像我这种方法，你也可以用梯形面积，上底加下底高，是不都是这平行四边形的高，上底加下底乘高除以二 啊？这头他跟这个底是相等的， d e 跟 b f 的 底是相等的，那高呢？都是平行四边形的高，那上底加下底乘高除以二，是不也应该是相等的？你说左右两个四边形，两个梯形，它的面积是相等的 啊，所以来咱们来写一下啊。呃，我们首先呢，连接 a c， 咱就不连这么多了啊，我给它划掉，拿个腿带 连的太多了啊，咱们可以用 t 型面积嘛。 这样的啊，这个三四也可以不要了，能理解了是不是？来，那我们写十六题啊，在这写。嗯，先写结论，我们会。呃，得到 他写发现，咱也写发现吧。发现第一个结论你的 o e 会等于 o f， 然后你的 a e， 第二个结论， a e 会等于 c f， 然后你的 d、 e 第三个结论，等于 b f， 然后第四个结论，你的四边形，嗯， 左边的是谁？ a b f e， 它的面积会等于四边形。 这个 d， e、 f、 c 的 面积啊，会得到这么多结论，那我们来证明一下啊，证明， 先证明一二三，一二三四啊，来，第一，连接谁啊？连接 a、 c 连接 a、 c 啊。然后因为四边形 a， b、 c， d 是 平行四边形， 所以呢，你的 a、 d 会平行于 b c 啊， o a 会等于 o c， 这一会儿正弦等是不是要用到的？然后我们可以由平行得到内错角相等，也就是你的 e、 a、 o 会等于角 f， c、 o 再加个对顶角是不全等就可以了。在三角形 a、 e、 o 和三角形 c f、 o 中， 然后角 e、 o 等于角 f c o e， 它会等于角 c、 o、 f， 然后呢，会证明全等，所以三角形 a、 e、 o 全等于三角形 cfo 用到的是角边角，那角边角就会得到。你的 o e 会等于 o f， 你 的 a、 e 会等于 c f， 然后这平行四边形，这再补一个来， a、 d 会等于谁？ b c， 然后，所以呢，你的 a、 d 减 a e 就 会等于 b c 减 c f， 其 你的 d、 e 会等于 b、 f 是 不？正完三个结论了，那差一个平行四边形啊，不对，差一个面积了，是不是那么，嗯，我们， 哦，啊，还可以咋正？对角线平分，然后它和它相等，哎啊，这个呢，我们可以用这个 也可以啊，你可以正这么正，因为你这个 a、 c 是 对角线，所以 a、 c、 d， 它的面积跟 abc 的 面积是相等的，那你 abc 的 面积减去这 啊啊，减去 abc 的 面积，减去这，加上这，看见了吗？减去这个位置，加上这个位置，是不是左边这个那个四边形面积，然后这边呢，也是一样啊，那我们可以说， 因为你的你的 a、 c 是 平行四边形， 对角线又换了一种方法啊，所以呢，你的 s 三角形 a、 b， c， 它的面积会等于 s 三角形 a， d， c。 看见了吗？然后呢， 所以你的 s 三角形。哎呀，这笔， 这咋的呢？不下油了，不下油，换一只三角形 a， b， c， 它的面积减去 s 三角形 o， f， c， 加上 s 三角形 a、 o， e， 就 会等于 s 三角形 a， o， e， 减去 s 三角形 a， o， f、 c， 那 你说它俩全等的面积是不是相等，对吧？所以呢，你的四边形 啊，四边形 a、 b、 f、 e， 它的面积会等于四边形 c， f， e， d。 啊，这四个结论就全都推理出来了。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第七十一页练习 啊。第一题，求证四个角都相等的四边形是矩形。那么这样呢，这个题呢，也是一个命题，首先呢，我们给它改成已知和结论啊，已知和求证类编成一道题啊，第一题，他说已知 四个角都相等的四边形，那我可以说已知四边形 a、 b、 c、 d 啊，角 a 能等于角 b 能等于角 c 等于角 d 啊，四个角是不是相等？然后让我们求证啊，这个四边形是个矩形。求证，四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，然后配个图， 然后证明。那这道题呢，它要想证明它是个矩形啊，我们要了解一下矩形的判定定律啊，矩形的判定定律呢？嗯，有一条是 有三个角是直角的四边形，它就是矩形啊，有三个角是直角的四边形，它就是矩形。那还有一个呢，对角线相等的平行四边形是矩形。 还有就是矩形的定义叫，嗯，有一个角是直角的平行四边形，它是矩形。那这道题呢，我们可以用这个有三个角是直角的四边形来证明。 那我们首先呢，可以由四边形内角和啊，因为那个四边形内角和 内角和为四减二乘以多少？一百八等于三百六十度。 然后又因为你的角 a 等于角 b 等于角 c 等于角 d， 那 你看这四个角是不都相等，所以呢，你的角 a 等于角 b 等于角 c 等于角 d 就 等于 啊，三百六十除以四等于九十度。那你看，现在咱都四个角是直角了，所以四边形 a、 b、 c、 d 是 什么形？是矩形啊，这是第一种做法，第二种做法呢，我们也可以先求出这四角都是九十度， 然后呢，因为你的角 a 加角 b 的 一百八，能得出 a、 d 平行于 b， c。 同理，角 b 加角 c 等于一百八，能得出 ab 平行于 cd。 那两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再加有一个角是九十度，那它就是矩形，这个用判定定理啊，就是定义那个也能证明。那我们来看第二题， 他说平平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c 和 b、 d 交于点 o 说三角形 a、 a、 o、 b 是 等边三角形， 那么这个读到这等边三角形，你要考虑到他三条边都相等，然后呢，三个内角都等于六十度啊，然后一告我 a、 b， a、 b 等于二，哎，那你看 a、 o 和 b、 o 是 不是都应该等于二？然后让我们求的是平行四边形 a、 b、 c、 d 的 面积， 那你说平行四边形 abcd 的 面积，那不就是底层高吗？对吧？底层高啊，那么我们可以证明出什么呢？证明出 abcd 是 个矩形，那你想长乘宽是不就是它的面积 啊？按照这个思路，咱们来写一下啊，因为啊，先写减， 因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，那平行四边形有什么性质呀？ 对角线互相平分，也就是 o， a 等于 o， c， o， b 等于谁 o、 d 啊，这些呢，应该是相等的，然后又因为你的这个 三角形 o、 a、 b 是 等边三角形， 所以呢，你的 a、 b 会等于 o、 b， 它等于二吧，是不是？然后这样呢，我就可以得出。什么呢？得出你的 a、 c 啊， a、 c 能。嗯，怎么写呢？ a、 c 等于二倍的 a、 o， 然后你的 b、 d 会等于二倍的 o、 b 啊，所以你的 a、 c 这么写，这块写因为， 然后 a、 c 会等于 b、 d 等于几等于四啊。然后你看，这不就对角线相等了吗？那对角线相等的平行四边形是不是就应该是矩形？所以呢，你的四边形 平行四边形 abcd 啊，是矩形， 看这矩形不就求出来了吗？矩形求出来之后，那我就会得到角 a、 b、 c， 它等于九十度啊。所以在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，你的 b、 c 会等于根号下，嗯，四方减二方等于二倍根号三。 所以你的平行四边形 abcd 的 面积就等于二乘以二倍根号三，它等于四倍根号三啊。这就是第二题。那我们看一下第三题，如图， 三角形 a、 b、 c 中 ab 等于 ac 等腰了，是吧？然后呢？ d， 呃， d 呢？是 bc 的 终点，这两段相等， e 呢？是啊， a、 d 的 终点，那这两段相等， 然后过点 a 做 a， f 平行于 bc 啊，这上下两个边是平行的，交这个 b、 e 的 延长线与点 f 连接 c、 f， 然后让我们求证 a、 d， c、 f 是 矩形， 那这里边啊，首先呢，你想，呃，我这个 a、 b 等于 a、 c， 它是个等腰，然后这有个中点，那会有一个性质，叫做三线合一，那这有个垂直， 那有一个角是九十度了，那我只要证明这是一个平行四边形，那他是不是就是矩形？那平行四边形的判定定律一共有五条啊，叫两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等，然后对角线互相平分啊。还有一条是， 嗯，对角，两组对角分别相等，那这里边呢啊，他肯定用不到对角线啊，也不可能用到对角，所以呢，他要么就是两组对边分别相等，要么就是啊，一组对边平行且相等。 那这题里呢，正什么呢？用的判定定律应该是一组对边平行且相等。为啥呢？因为这里有个全等，看见了吗？这有 相等的边，这有对顶角，这还平行？内错角相等。那你看上下两个三角形，是不是应该是全等的全等了呢？ a、 f 跟 b、 d 相等，而 b、 d 又跟 c、 d 相等 啊，那 a、 f 跟 b、 c 又平行，所以 a、 f 跟 dc 就 平行，那 e 组对边平行且相等的四边形，它就是平行四边形，那有一个角是直角了，它就就是矩形了啊，所以这题呢，我们可以啊，先正啊，全等 证明，因为这个 e 是 a、 d 中点， 所以呢， a、 e 会等于 e d 啊，然后又因为 a、 f 平行于 bc， 所以 你的角 a、 f、 e 会等于角 e、 b、 d， 那我们就可以证全等了。在三角形 aef 和三角形 ebd 中， 然后角角边 afe 等于角 ebd， 然后角 aef 等于角 bed 边 ae 等于 e、 d， 所以三角形 a、 e、 f 会全等于三角形 e、 b、 d 用到的是角角边，然后，所以呢，我会得到 a、 f 等于 db 啊，又因为你的 d 呢是 d 是 bc 的 中点，并且呢， ab 会等于 ac， 所以 一会得到 b、 d 等于 dc， 二呢，会得到 a、 d 垂直 bc 啊，三线合一对吧，然后我就会得到 a、 f， 它会等于 dc 等量代换对吗？啊，然后你的角 a、 dc 呢，等于九十度， 然后又因为 a、 f 会平行于 bc， 所以 你的四边形 a、 d、 c、 f 是 平行四边形，先推平行四边形啊，然后又因为角 a、 d、 c 等于九十度，所以平行四边形 a、 d、 c、 f 是 矩形。

决定成绩好不好的是你的态度。我们看八年级数学下册课本的六是一只啊。这里先来练习第一题。已知 x 是 大于 y 的， 那么下面不等式一定成立嘛？为什么 x 大 于 y， 那 么两面都减去六，应该还是大日号， 所以这第一个是不成立的啊。那么 x 大 于 y， 两面都乘以三，根不等式，积分乘以二，那么还应该是大日号，所以这个不成立的。 x 大 于 y， 两面都乘以负二，应该改变符号。哎，小日号有，这个是对的。 x 大 于 y， 两边都先乘以二，结果二 x 大 于二， y 好， 然后两边再加上一，那还是成立的 啊。这个根据不等式的性质，把它弄清楚。第二个解下的不等式，并把解集在数值上表示出来，那么 x 两边都加上一，那么这个加一就三。 x 大 于三，那么 x 大 于三，我们看到零一二三竖轴上圆点正方向到我们三，空心的往右指， 对吧？好。第二个， x 负 x 小 数，两边乘以这个把系数变成正的，那么这里两边的乘以负的就负六分之五。 呃，小数号我们变成大数号，所以零，这个写多少呢？负六分之五，那负六分之五是多少呢？你觉得这个是一，对吧？这是负一，负六分之五就是负，大概在这呢， 对吧？呃，比它大，那这里我们写个负六分子放在这里啊。空心的，然后在底下把这个负六分子写出来，不然的话你不写出来。当然这个准确的表示，我们只是表示这种意思啊。 呃，这里两面同时乘以二，那就是 x 小 于六，对吧？ x 小 于六，要不要画那么多格子呢？你比如说这个零二四六，你画这么多也可以啊。小于六，空心的往左边去，对吧？ 啊，这个这表示清楚，首先竖折表示清楚圆点正方向，单位长度，然后这个空心呢？还是实心的，哎，这里都是空心的，是吧？好，我们看到下面的练习，用适当的符号来表示， x 的 三倍， x 的 三倍三， x 与八的和加上八比 x 的 五倍， x 的 五倍大，这个比这个大。哦，这边大 x 的 平方是非负数，那就说正数或者是零非负数，对吧？好，地球上海洋的面积大于陆地的面积，有时间我就写的比较少，比如说海洋的面积，我们用这个 s 一 来表示海洋的面积，用 s 一 来表示陆地面积， s 二来表示则 s 一 大于 s 二。 当然呢，我们也可以写个 s 哈，大如 s 路，对吧？也可以啊，这个有时间呢，我就没写这么多字。老师的年龄，比如说用 x c 来表示学生的年。你的年龄，比如说用 y c 来表示， 那么老师的年龄你的年龄的两倍还要大。老师的年龄比你的年龄两倍还要大，那么比如说 x 大 于二 y， 因为题目上没有字母。比如说尖球的质量，我们用 m 七或者 m 一 来表示篮球的质量，用 m 二来表示的话，尖球的质量 m 一 大于 m 二， 当然你也可以写 m 七大入 m 蓝，知道这个意思就可以了啊。好，下面的时候，中国人民解放军海军舰的福建舰呢？满载排水量比山东舰的排水量要大。好，呃，这个福建舰的排水量，我们用这个 v 一， 这个立方米来表示。 v 一 立方米来表示，那么这个山东舰呢，用 v 二立方米来表示，则 v 一 大如 v 二，用字母来表示，就在前面我们加些文字。 好，下面呢说，在这里是 x 加四等于零的解，那么这个负四啊，这个以前我们学过了的，对吧？用不着说。那么这个要是 x 加四大于等于零，那就是说把四，如果说我们两边都减去四，就 x 大 于等于负四，这是它的解集，而这里呢？呃，属于它的解有多少个呢？在 本来是无数多个啊，但是在这里一些数当中，我们就找一找，大于等于负四，有零，有负四至几，有三，有负三，有五分之一，嗯，还有什么？还有四比它大的都是可以的啊。 嗯，现在我们看到说是 x 加四小于零，那我们两边的减去 x 小， 这边是负四了，哎，这里比负四小的，那就叫什么呢？负五负十了，对吧？ 第三题，将下列不等式的解集分别表示在这个数轴上，哎呦，这个够耽误时间呢，没提前画啊，这里是零，这里是一小于等于零实心的点， 对吧？哎，就行了。那么这个 x 大 于二点五，那就是空心的点，哎呀，这来不及，够画，它，耽误时间，哎，比如说这个零，哎呀，这个，这个，这个什么东西呢？没有时间给它慢慢画的。 比如说这个 x 大 于负二，负三，负二点五。好，这里呢是空心的， 写个负二点五就行了啊，比如说，这是这一题了啊，这个箭头别忘记了啊，因为时间的关系，没办法，这个 x 大 小是三分之二，这个一二三分之二，大家在这里小于 换一个，这是第二个，因为时间关系没办法画，所以我就说这么 x 大 于等于等于四三四，实心的点就是自己重新去画一个啊，像我这样在一个上面是不行的啊。这个是不等式组的解的，因为今天没有时间跟大家慢慢说的。 a a 小 于 b 的 话，那么两面都减去三还是小于号，对吧？呃，两面都乘以六，也是还是小于号。呃，两面都乘以负一，那就变成大日号了。呃， a a， 因为 a a 小 于 b 对 吧？这个两面的减去 b a a 减 b 就 小于零 b 加 b。 记得点赞关注哦！

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第八十一页习题二十一点三的第十八题。 如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行于 b、 c 上下两个边平行的角， b 呢，等于九十， a、 d 呢，等于二十四，这边的二十四 bc 呢，等于二十六，说明他不是平行四边形，也不是矩形啊，这边斜的，这边是垂直的。说点 p 呢，从点 a 出发， p 从这走，以一秒钟一厘米的速度向 d 运动，它的速度为一。 嗯，然后同时的点 q 是 从点 c 出发，往这边走，一秒钟是三厘米每秒啊，一秒钟是三厘米。向 b 运动，规定呢，其中一个动点到达短点时，另一个动点也随之停止，那么谁先到他呢？一秒钟是一一厘米，一共二十四厘米，得走二十四秒。 我这个一秒钟三厘米， q 呢？一秒钟三厘米，我一共才二十六，所以他是，嗯，把右三分之二 啊，就走到这个终点了。所以呢，我的 q 应该先到终点啊。那从运动开始需经过多长时间才能使 p q 能等于 cd？ 为什么？那这个 p q 等于 cd 啊，它分为两种情况啊，第一种呢，你想我的 a、 d 和 b、 c 平行，也就是你的 p q， cd 是 一个平行四边形 啊，然后你的 p q 呢，和 c、 d 相等。第二种呢，你的 p 过去， q 过来，让它形成一个等腰三角形。 等腰，懂吗？你的 p q 和你的 c、 d 相等啊，然后呢，嗯，你的这个等腰了，这两个边就相等了。那你这不就是第二种情况吗？那咱们写一下理由来。第十八题啊， 设一下这个时间啊，设经过 t 秒时，你的 p q 能等于 c、 d， 那 么第一种情况啊， 那你这个第一种情况，嗯，在第一种情况之前，咱把这个 a p 和 c q 表示出来啊，这个它设 t 秒，那你的 a p 呢，就应该是 t 厘米啊，然后你的 p、 d 呢，就应该等于二十四减 t 括号厘米，然后你的 c q 就 应该等于三 t 厘米，然后你的 b q 呢，就应该等于二十六减三 t 能用上多少呢？咱不知道啊，咱们先把这些啊有关的数据列举出来，那么第一种情况呢就是，嗯，你的 四边形 p、 q、 c、 d 是 平行四边形， 那么你想如果它是平行四边形的话，那么你的对边平行且相等，对不对？那你的 a、 a、 d 和你的 bc 本身就是平行的，对吧？因为你的 a、 d 是 平行于 bc 的 啊，然后你让这个 p d 能等于谁？ c q p d 能等于 c q， 那 么你的这个 你的这个四边形不就变平行四边形了吗？那你的 p、 d 的 表示方法是二十四减 t， 对 吧？然后你的这个 c q 呢是三 t， 所以呢，你就会得到你的二十四减 t 能等于三 t， 然后四 t 等于二十四，所以呢， t 等于六秒，这就是第一种情况啊，第一种情况，嗯，时间，这不就求出来了，那第二种情况， 第二种情况啊，当你的 p q、 c、 d 是 一个什么形？等幺梯形， 那如果它是等幺梯形的话，那你你想我的 p 是 不过去了啊， p 在 这个位置， q 在 这个位置， 因为它本身呢，就是一个什么梯形啊，所以你要找这个对边直接相等，这个好像不像刚才那平行四边形那么好找，那这个时候呢，我们可以啊，做辅助线， 过 p， 做 pe， 垂直于 bc， 过点 d， 做 df。 垂直于谁啊？垂直于 bc， 那 你想，我的 ad 等于二十四， bc 等于二十六，然后这边是垂直的，所以这个位置应该等于二， 那你让这个位置和你的这个位置相等是不就可以了？让左右两个三角形能全等啊，能全等了的话，那么你的这个 t 不 就能表示出来了吗？啊，那我们来写一下过程啊。嗯，过这个点 p 作 p e 垂直于 b c 啊，然后 p 不 对，不对 于点 e， 然后过 d 作 d， f 垂直于 b c 于点 f， 然后因为你的 a d 它是平行于 bc， 且角 b 等于九十度的，所以呢，你的 a d 它是能等于 b f 等于二十四的，那么你的 f c 就 应该等于 二十六减二十四等于几？等于两厘米啊，然后呢，因为你的 p q 是 等于 d c 的， 然后你的 p e 呢，是等于 d f 的， 所以呢，三角形 p f h， 呃， p c 不 对，不对， d p f d f c 啊，用到的你可以是 h l 啊，那 h l 这块应该写 r t 是 不？这个意思啊，这块垂直啊，然后呢，我就会得到你的 q e 会等于 f c 等于几二？那咱表示一下 q e 呗。 q e 的 话，你的 pd 应该等于 ef， 是 不是 你的 p d 会等于 e f， 那 么 p d 咋表示来二十四减谁减 t， 然后你的 c q 呢？嗯， 就会等于你的 q e 加 e， f 加 f c， 嗯，就会推导出 你的。嗯，这怎么表示？我看啊，这是二十四减 t， 那 这个位置就应该是用 那个那个那个 e f 就 会等于三 t 减去，从这到这不应该三 t 吗？减去两个二呗。减去四 啊，那你的 pd 等于 e f， 那 你这 e f 等于三 t， 那 就是二十四，减 t 就 等于三 t 减四，所以等于四 t 等于二十八 啊，就是 t 等于几啊？ t 等于七，然后在这啊中间来补来，在这。嗯，因为你的 你的这个 q 啊，速度为三厘米每秒，然后你的 bc 呢？又等于二十六，所以，嗯，它全程的时间 为，嗯，二十六除以三就会等于八又三分之二， 然后因为你的六小于八又三分之二，七也小于八又三分之二，所以他说符合提议，那我们就可以写。所以经过六秒或七秒那个才能使 p q 会等于谁？ c d 啊，这就是第十八题。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版七年级啊，八年级下册啊，数学第七十九页 习题二十一点三的七八九啊，看看能不能讲到第十啊。 第七题，他说把一张矩形的纸片啊，对折两次，然后剪下一个角，要想得到一个正方形裁剪线与折痕，也说这个线与这个折痕他得成多少度的角。 那么你要想到啊，他正方形呢，第一、四条边都得相等，第二、四个角都得是直角。第三，对角线垂直且相等啊，垂直平分且相等。 那现在呢？你看这个纸，他对折两次之后，这个对角线指定是垂直的， 对吧？那么我们那个题中问的是，你的裁剪线与的这个折痕得成多少度角呢？那你想，这如果成是对角线的话，那么你的呃，每个角都应该是九十度，那被平分之后都应该是多少度？ 都应该是四十五度的角啊，所以这个折痕啊，裁剪线与折痕应该成四十五度的角，因为你的折痕度是做对角线的 啊。这是第七题。第八题，将矩形纸片 a、 b、 c、 d 沿着直线 b、 d 折叠，使点 c 落到 c 撇处，然后 b、 c 撇 a、 d 相交于点 e， 告诉我们 ad 得八，那么 ad 得八，那你说 bc 是 不就得八，那 ad ab 得四，那你说 cd 是 不得四，那它折上来，这是不也得四？然后让我们求啊， d、 e 的 长，求这个位置啊，求这， 然后还让我们求 b、 d、 e 的 面积啊，那这个怎么求呢？第一，咱们知道折叠啊，折叠有什么样的性质呀？ 折叠有什么样的性质？折叠之后我们的这个，嗯，怎么说呢， 叫折叠，前后的两个三角形应该是全等的啊，折叠，前后的两个三角形应该是全等的。然后，并且呢，我们要知道，折痕 应该是啊，角平分线。什么意思？你说你这两个三角形是全等的，那你的这个角和这个角是不应该是相等的， 对吗？然后你的矩形对边是平行的，平行了啊，角，这叫角平分线与平行线必有什么等腰出现。所以你的 b e 能和你的 d e 相等 啊， b e 能和 d e 相等。那么这如果相等了之后啊，然后呢，你想，我的呃， a d a e 加 e d 应该等于八，那我的 d e 跟 b e 相等，说明 a e 加 b e 等于八。 那么要想求你的这个第一，我们可以用勾股定律在这个小三角形里来求第一。所以呢，它叫什么？它叫跳出折叠找勾股 啊，找勾股定律你就能把这个边求出来啊。那我们来写一下过程来。第八题，减，因为折叠， 那写完整一点来，由折叠的性质可知， 你的这个折痕即为角平分线，对吧？角 dbc 会等于角 dbc 撇。然后我们再说，因为你的四边形 a、 b、 c、 d 是 个什么形？是矩形，对吗？所以呢，我的对边会平行，然后一会还用啥 没有了吧？啊，对边会平行，平行了就会有内错角相等，所以 a、 d， b 它会等于角 d， b， c， 然后等量代换，角 d， b， c 撇会等于角 a， d， b， 那 么等角，这两个等角会对等边，所以你的 be 会等于 be 啊， b e 会等于 b e。 然后我们就可以设未知数，跳出折叠找勾股啊，设 d e 等于 b e 等于什么？ x 啊，厘米。那么，嗯，折你的 a、 e 就 会等于八减 x 厘米， 那么在 r、 t 三角形 a、 b、 e 中，你的嗯四的平方加上八减 x 的 平方应该等于 x 方解得 你的 x 应该等于五啊，所以你的 d、 e 的 长就得五， 那么要求 b、 d、 e 的 面积，那 b、 d、 e 呢？本身就是一个等腰三角形，那我 d、 e 已经求出来了，那 d、 e 所对应的顶点是 b， b 向 d， e 做垂直，所以你的高应该是 ab， 那 么 s 三角形 b、 d、 e 的 面积就应该等于 d， e 乘 ab 乘以二分之一，等于五乘四乘二分之一，等于十平方厘米 啊，这是第八题，那我们来看第九题， 说如图，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中角 a， a、 c、 b 这儿是九十， c、 d 呢？垂直于 a、 b 垂足为 d， 然后 a、 c、 d， a、 c、 d 也说这它等于三倍的 b， c、 d， 那 也说这是一份的，这是几份的？三份的，那你说这个位置我是不能求出 b、 c、 d 和你的 a、 c、 d， b， c、 d 和 a、 c、 d 是 不都能求，那 b、 c、 d 和 a、 c、 d 的 度数都能求出来之后啊，然后他要说了， e 呢，又是 ab 的 中点 啊， e 是 ab 的 终点，那他是终点终点，这不直角三角形的那个中线吗？ 对不对那？嗯，直角三角形斜边中线等于斜边一半，那就说明 c、 e 能等于 b， e 能等于 e a， 那 他让我们求的是 e、 c， d， e， c、 d 求之 它得多少度啊？求这它得多少度？那这个位置呢？我们可以怎么去完成呢？首先啊， 你观察，刚才我说到斜边中线等于斜边一半，那你说 c、 e 等于 b、 e 对 吗？那么在这个小三角形里，我能把角 b 求出来，那角 b 能求出来，那这个角数就能求出来，那你一减那一份的角不就求出来了吗？ 是不这么个意思啊啊，所以他难度啊，不是特别大是吧？来，那我们来写一下过程，写到哪里呢？ 写到我看我的时间啊。嗯啊，还可以，那我们写在纸上吧。来，第九题，减， 因为角 a、 c、 b 得九十度，角 a、 c、 d， 它等于三倍的角 b、 c、 d。 所以 设角 a、 c、 d 等于三 x， 那 角 b、 c、 d 就是 x， 那 三 x 加 x 应该等于九十，那么 x 应该等于二十二点五度啊，那我把这个 x 求出来了，那么也就是角 谁呀？角 b、 c、 d 应该等于二十二点五度啊，那么我这个 a、 c、 d 用不用求啊？ a、 c、 d， 这个好像可以不用求 啊，不用求，那么又因为你的嗯角 b、 c、 d 啊，不对，少写一句啊，先把那个垂直那九十度写了，因为你的 c、 d 垂直于 ab， 所以 你的角 c、 d、 b 应该等于九十，所以你的角 b 应该等于， 嗯，一百八十度。减去角 c、 d、 b。 再减角 b、 c、 d， 它应该等于六十七点五度，然后又因为你的呃 e 是 ab 的 中点， 然后且角 a、 c、 b 等于多少度？九十度，意思告诉你，在直角三角形里啊，那直角三角形里，斜边中线会等于斜边一半，所以 c、 e 呢？会等于呃 b、 e 啊？ c、 e 会等于 b e， 所以 角 b、 c、 e。 等于六十七点五度啊， 这个角 b 等于角 b、 c、 e。 等于六十七点五。之后来你看啊，这个位置 b、 c、 e。 这是六十七点五， 那这个 b、 c、 d。 这是二十二点五，那它俩的差就是我们要求的 e、 c、 d 啊呀，这都没看到 这儿 e b e， c 啊 e， c， b 这个位置我们能求出来等于六十七点五，那我们减去 b， c， d 是 不就是这个 e， c， d 了？那 e， c， d 不 就是我们要求的吗？是吧？来，那我们来写一下啊， 角 b 等于角 e， c， b 那 我们可以写 e， c， d 等于角 b c， e 减去角 b， c， d 就 等于六十七点五，减二十二点五等于多少度啊？ 等于四十五度啊。最后这个角的度数等于四十五度。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第十六页习题十九点三的一二三题。第一题计算， 第一个二倍根号十二，加上根号二十七。那按照二次根式加法加减法的方法呢？是第一呢，先将二次根式化解， 然后是被开放数相同的才能相加减，对吧？所以我们把第一个进行化减， 嗯，根号十二呢，是四乘三，所以是二倍根号三，再乘以它等于四倍根号三，再加上这是三九二十七，所以呢，是三倍根号三。 之后呢，你观察这两个被开方数是不是都根号三，都是根号三就能相加了，所以是啊，根号三不变，系数相加减，四加三等于七。 第二小题呢，也是同样，我们先给他化减啊，根号十八呢，是二九十八，九是开放得三的，所以二留下减去。这个呢，根号下二分之九呢，得进行分母幺化， 下面乘一个二，上面也乘一个二，等于两个二，开出去一个二，上面的九能开方得三，所以是二分之三倍根号二， 二分之三倍根号二。然后进行通分，等于二分之六倍根号二，减去二分之三倍根号二，等于二分之三倍根号二。嗯，这是第二个，第三个。 嗯，九 x 九能开方得三，所以是三倍根号 x， 再乘以三分之二，等于二倍根号 x， 再加上这个呢，是四能开方得四，能开方得二，然后 x 留下，再乘以六约分等于三倍的根号 x。 那根号 x 呢，是被开方数相同的，所以 x 根号 x 不 变，系数相加减，二加三等于五。然后最后这个第四小题， 嗯， a 方乘以根号下八 a 八呢，能够 开方得二，所以是二 a 方，根号下二 a 加上 三 a 乘以根号下五十 a 的 三次方等于三 a 乘一个二，十五乘以二乘以 a 方，再乘以 a， 所以 二十五开方能得五。 跟他乘是十五，他能开方得 a， 所以 是 a 方。剩二 a 留下，所以是十五 a 方。根号下二 a 留下，所以是十五 a 方，根号下二 a 留下，所以是十五 a 方数是不相同的，那么 根号下二 a 的 部分不变系数相加减是十七倍，根号下十七倍，十七 a 方倍的根号二 a 啊，这是第一题，第二题呢，它是数就是变多了啊，我们细点心，慢点算啊。 第一道题呢，你观察是根号十八减根号三十二，再加根号二，我们先给他化解一下。根号十八呢是二九一，十八是三倍，根号二，再减去三十二呢，是十六乘以二，所以是四倍。根号二 再加根号二，不变的话应该是三减四，再加一就等于根号二，不变的话应该是三减四，再加一就等于零。 第二小题呢，也是得四个数进行化简。七十五呢，应该是二十五乘三等于五倍，根号三，减去五十四是六九五十四，三倍根号六，再加上。嗯，九十六是十六乘六 啊，等于四倍。根号六，再减去一百零八是三十六乘三，所以等于六倍。根号三，然后合并一下呢就是，嗯，根号三不变，五减六等于负的根号三， 然后根号负，根号三负三倍，根号六，再加四倍。根号六，等于正的根号六 啊，这是第二小题。第三小题，我们在化简的同时呢，把这个括号去掉啊。 四十五呢是五九四十五，所以是三倍根号五，再加十八是三二九一，十八是三倍根号二，减去这个是二四得八是二倍根号二，然后这俩呢，负负得正，所以是二十五乘以五，等于五倍根号五， 合并一下啊。嗯，带根号五的是，合并完是八倍根号五， 然后根号二的是正的根号二。这是第三小题。来第四小题，第四小题呢？你看啊，他就稍微麻烦一点了，我们得先。 嗯，乘法分配，然后这个呢，还得化减，是不是？所以呢，我们两个步骤一起干啊。乘法分配是二分之根号二，加上二分之根号三， 减去四分之三倍根号二，这个化减是三倍根号三，对吧？再乘以它就是一号为负，四分之九倍根号三， 然后等于合并一下呢。这个是通分，等于四分之二倍根号二，减去四分之三倍根号二，就等于负的 四分之根号二，这个呢，是根号三的是四分之二倍根号三，再减四分之九倍根号三，等于四，负的四分之七倍根号三 啊，这是第四小题，第三题，第三题计算。那这里头应用的就是公式了啊。第一个呢，呃，是乘法分配率就可以算是吧？ 那我们这个呢，你就先别化简啊。先别化简，我们可以先乘法分配率，然后再化简。等于。嗯，根号十二乘以根号三十六， 然后加上五倍的根号二十四，就等于三十六，得六。二十四是二倍根号六，再乘以五等于十倍根号六，所以加上十倍根号六。哎，这个这么算是不就比较快了 啊？你要化简了就不好算了。那么第二个呢？你观察，这是二倍根号三，这也是二倍根号三，这是正的三倍根号二，这是负的三倍根号二，这不是两数合成一两数差吗？所以等于这两数的什么平方差？ 等于那二倍根号三的平方等于二的平方得四，然后根号三的平方得三三四，多少一十二减去啊，三的平方得九，根号二的平方得二二九一十八，然后最后等于负六 啊，这是第二小题。那么第三小题完全平方式，将首平方 两数乘积的二倍，他俩是和，对吧？二倍乘以五倍根号三，再乘以二倍根号五，再加上末平方， 然后等于五的平方二十五。根号三，平方得三三五十五七十五，再加上外面的相乘等于二十倍根号六，再加上二的平方得四四五，多少？二十，所以等于九十五加上二十倍根号六 啊，九十五加上二十倍根号，哎呀，怎么六的呢？这是三五一十五啊，你看，这不是错误了吗？ 这哪来的看哪看来的二啊。啊，所以这个是二十倍根号十五。然后第四小题呢，它就是 多项式除以单项式啊，那么用括号里边的每一个数与括号外面的数分别相除，对吧？那么根号四十八去除以根号二十七，哎呀，这个挺难算的，那我们可以这样先写上来， 看到了吗？加上，嗯，咱可以这么写啊，四分之一倍的根号六 呀，根号几，根号六，是不是去除以根号二十七？呀呀呀，七十二了，咋写的？ 然后来这头写不下，这头写来这个根号四十八除以二十七，咱们可以拉到一个根号下算算啊，商三约剩十六，商三约剩九，哎，这个能换成整，哎，三分之几啊？三分之四， 这个除是三分之四，那这个呢？稍微麻烦一点，四分之一除以外面的一等于四分之一，那么根号六除以根号二十七，是不是应该这样写 啊？这样写的话，商三约是根号下九分之二，然后这个九呢？能开方得三，所以是等于四分之一乘以三分之根号二，所以是十二 十二分之根号二啊，所以是十二分之根号二，那就是加上十二分之根号二。 这个步骤写的有点少啊，你也可以怎么算呢？你可以这么算，或者是这个呢，给他化解一下就是。嗯，十六乘以三等于四倍根号三，再加上这个化解不了了， 然后这个是三倍根号三啊，这个是三倍根号三，然后他除以他呢？是啊，根号三除以，根号三没了，剩三分之四，这个是不好算，然后呢？他再除以他就是外面除以外边的呗。加上四分之一除以三等于乘以三分之一， 然后呢？再去乘以个根号六，去除以根号三，就等于三分之四，加上十二分之 一倍的根号几根号二，这样也可以啊。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第七十三页练习。 这页练习呢，主要是研究的啊，练习的是菱形的性质和判定啊。菱形呢，有什么性质呢？菱形呢？嗯，首先我们知道，要知道菱形它的定义是有一组邻边相等的平行四边形啊，在这呢， 也是说平行四边形的基础上，加一组邻边相等，它就变成了菱形，然后菱形的性质呢，它具有平行四边形所有的性质啊，但是呢，它，嗯还有 菱形特有，而平行四边形没有的。你比如说四条边都相等啊，两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 啊，人说菱形的对角线，这是垂直的，有垂直，你就要想到用勾股定力啊，求边长。 然后呢，菱形的对角线平分一组对角也说这个对角线平分，这个角也平分，这俩啊，也平分这个角，那同理，这也平分啊，这都是菱形的性质。 那么菱形还有一个面积的求法啊，菱形呢，它属于平行四边形，所以它可以用底层高来求面积，同时呢，也可以用对角线乘积的二倍啊，来求这个对角线乘积的一半啊，来求这个面积啊。 嗯，所以这个题里头呢，他涉及到了这些，一个是求边长，一个是求面积，还有求三角形周长啊，验证，嗯，等边。那我们来看一下第一小题啊， 说四边形 a、 b、 c、 d 啊，是菱形对角线， a、 c 和 b、 d 呢，相交于点 o， 并且呢 ab 等于五， a、 o 等于四，然后让我们求 a、 c、 b、 d 的 长以及菱形的面积，那这里相当有三个问题，对吧？那我们来，呃，画个图配个图啊，菱形 画的有点丑了。嗯， ab 等于五， a o 等于四， 这等于五， a o 等于四，对角线相交于点 o， 那 这的四。然后呢，让我们求 a c 的 长， b d 的 长，还有那个菱形的面积，是吧？那么第一题， 嗯，撇儿如图啊。首先呢，我们先由 嗯勾股定力来求 o b 的 长啊，或者是说，你可以先由这个菱形的性质啊，咱可以先求第一个问题， a o 的 长不是 a c 的 长啊，因为 a c 等于二倍的 a o 啊。那我们来说，因为四边形 可以根据菱形的性质啊， a b c d 是 菱形， 所以呢，一个是 a c 能等于二倍的 a o， 嗯，然后你的 b、 d 能等于二倍的 o d 啊，不是 o b， 一 会咱用勾股定律求这个 o b 啊。然后再有就是对角线互相垂直，你没有垂直的话，你用不了勾股定律 啊，那这些求出来，他让我们求 b、 d 求菱形面积啊，够了啊。然后呢，我们可以说，因为你的 a o 等于四， 所以呢，你的 a c 等于二倍的 a o 等于几？等于八。第一个问题是不求出来了，然后呢，再写在 r t 三角形 a o、 b 中， 你的 o、 b 应该等于根号下五方减四方等于几啊，等于三，那所以你的 b、 d 就 会等于二倍的 o b 等于六 啊，你看，这不就是两个小长边数都求出来了。然后我们再求菱形面积，因为菱形的面积啊，它有一个公式叫做对角线乘积的一半啊，所以我们可以求 s 零 a b c d， 它应该等于 a c 乘 b d 乘以多少？二分之一，所以等于六乘八乘以二分之一等于多少？等于二十四啊？所以呢， a、 c 的 长 为八， b、 d 的 长为六，那么菱形 a、 b、 c、 d 的 面积为二十四啊，这就是第一问。第二个，它说，如图，菱形 a、 b、 c、 d 中 b、 d 等于四， 然后说角 a 与 abc 的 比为一比二，那你说角 a 和角 abc， 这不是菱形的一组菱角吗？这叫菱角，对不对？那平行四边形的性质都是菱角互补，那么菱形属于特殊的平行四边形，所以呢，它的菱角也应该互补。 那我就能求出这六十这一百二，然后他让我们求的是 abd 的 呃，周长，那你说 abd， 它有 ab 和 ad 是 菱形的边，所以呢，你的 ab 和 ad 应该是相等的，然后你再加上这个角是六十度，那这不就是等边三角形吗？那我就可以证明出 ad， ab 和 bd 它们都得四，那它的周长不就是十二了吗？啊，那我们来写一下第二题， 角儿，同样，我们先由它是菱形啊可知，因为它啊，这里好像还没有性质啊，这颗石叫性质啊，不对，这颗石叫判定。那这颗石都是性质啊，那都是已知四边形 abcd 是什么形？是菱形，先知道它是菱形，所以呢，我会得到 ab 等于 ad， 邻边相等。然后呢，我还知道啊，菱角互补， 对吧？菱角互补，嗯，这是需要用到的。然后呢，我们再说，因为你的角 a 比上角 abc 等于一比二，所以角 a 应该等于一百八十度，乘以个一加二分之一等于多少度等于六十度 啊？把这个六十度求出来之后啊，我们可以说，所以三角形 abd 是 什么？三角形的 是等边三角形，对吧？上面有一个邻边相等，再加有一个夹角是六十度，这叫含有六十度的等腰三角形，是等边三角形。那所以呢，你的 ab 就 会等于 ab， 等于 bd， 都得几 都得四，所以三角形 abd 的 周长为 四乘三，等于多少？十二。这是第二题来第三题， 他说如图，在菱形 a、 b、 c、 d 中来， a， b， c、 d 中角 a 得六十。这个菱形当中如果有一个小角等于六十的话，你记得啊，它有一个特殊的性质，就是连接较短的这个对角线之后，那左右两个三角形都是等边的， 因为啥呢？因为 ab 和 ad 相等，夹角是六十度，对吧？它夹角六十度，那不还有六十度的等腰三角形，是等边三角形吗？ 然后呢，左右两个是对称的，所以它是两个都是等边的啊。说连接对角线 b、 d 说 e 和 f 啊，是 ab 和 bc 的 中点，哎，这个中点呢，也好用 啊，怎么好用呢？因为它是等边三角形的，那就会有三线合一的性质，那也说这应该是三十，这应该三十，这都应该得九十 啊。然后这个位置啊，和这个位置这都是相等的，那我就能求出 b、 e、 d， f 和 b f 能相等，然后说连接 d， e， f 还有 e、 f， 让我们求证 d， e、 f 是 一个等边三角形， 那么你想我这能求出三十，这也能求出三十，这个三十咋来的？等边三角形三线合一这块六十，这一半不就三十吗？所以呢，这叫只要能证明 d、 e 和你的 d、 f 相等啊，那么你的这个 也是用含有六十度的等腰三角形，是等边三角形啊，我们去证明他。那这个题呢，怎么去写过程呢？嗯，过程可能能比较繁琐一点啊， 你看我给你写的这个方法，你能不能看懂？因为它方法不唯一啊，方法是不唯一的 来，首先起头还是由菱形的性质可知啊。第三，证明能不能看清啊？因为四边形 a、 b、 c， d 是 菱形。 那我们会用到啥呢啊？我想证明的是 d， e 和 d f 相等，那要想证明这两个边相等，我可以正左右两个三角形全等， 全等，这两个边就相等了，然后这个角一百二， 这俩角相等去到三十，这块得六十啊，我也可以用这种方法正， 嗯，那么它的性质呢？我们可以得到，我要选用正这两个三角形全等啊。 啊，主要推的是 d， e 和 d f 相等，那我要乘这俩三角形全等呢，我就要用到 a、 d 和 d c 相等啊，那这两个边也要用到，因为，呃，中点嘛。然后我的 a、 e 和 c、 f 能相等，然后再加这九九十度， 然后用斜边，直角边能整，我用角角边，角边角边角边。哎呀，这个，这个方法太多了啊，你看我正这俩三角全等型，我正这个三角形和这三角形全等也可以的 啊，都可以，都能证明 d， e 和 d f 相等，那我要证这个和这个相，那个不对，这个全档他也能证明啊，所以他方法不为一啊。那我们可以写来四条边都相等，等于 bc， 等于 cd， 等于 d a， 然后呢？哦，这个六十，这个六十， 那我这三线合一。嗯，我，我想想啊，正三线合一，我正这俩三角形全等之后，这两个全等了，这两个边相等了，然后这俩角相等了， 那我可以推这个角是三十度，那我可以用邻角互补，角 a 加角 a、 d、 c 等于一百八十度 啊。角 a 加角 a、 d、 c 等于一百八十度，我求出这一百二，然后垂直， 然后因为你的 d、 e 垂直于 ab， 然后你的 d、 f 垂直于 bc， 所以 你的角 d、 e、 a 会等于角 d、 f、 c。 嗯，我看看啊，这块还得补一个。角 a 等于角 c 等于六十。 一。会我用这个推这个三十度，这不就得九十了吗？是吧？然后所以我的角 a、 d、 e 就 会等于角，嗯，等于。 好，这 a、 d、 e 等于九十度，减角 a， 然后你的角 c、 d、 f 也等于九十度，减谁？角 c， 所以 你的角 a、 d、 e 会等于角。 嗯， c、 d、 f 也说我把这两个角相等推出来了。哎，应该可以直接得三十度 啊，这不九十度减六十吗？九十度减六十，是不是这块得三十，这块得三十，所以它俩都得三十，这两个都得三十，然后我再推这个 得六十啊，我还没正全等呢，是不是先把这角推出来吧。嗯，这两个又因为你的角 a 加上角 a、 d、 c， 它等于一百八，所以角 a、 d、 c 会等于多少？一百二十度，对吧？ 啊？然后所以你的角 e、 d、 f 会等于角 a、 d、 c 减去角 a、 d、 e 再减角 c、 d、 f 啊，他就会等于一百二，减三十，减三十等于六十度。 也是我把这个六十度先推出来了啊。然后呢？我去，正这个全等吧， 这个全等的条件就多了，你看这角，知道这角，知道这角，知道这个边，也知道是不是你是角边角还是角角边呢？全都能证明是吧？那就是在三角形 a、 d、 e 和三角形 c、 d、 f 中 啊，我用哪个呢？用这个角角边角吧。角 a 会等于角 c 等于六十， ad 会等于 dc 啊，角 a d， e 会等于角 c d f 所以 三角形 a， d， e 全等于三角形 c， d f 用的是角边角。 所以呢，我的 d e 会等于谁？ d f 然后又因为 e d f 等于六十度，所以三角形 d， e f 是 等边三角形。你看 啊，它呢，实际上方法很多啊，看你怎么样去描述，只要能描述清楚即可。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第三十页习题，二十点一的一、二三四五啊。第六题看看能不能讲完啊。 第一小题设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b， 斜边为 c。 那 么第一小题它是已知两条直角边来求斜边，那么 c 应该等于根号下 a 方加 b 方 等于，嗯，根号下五方加十二方就等于，嗯，二十五，一百四十，一百六十九，十三，这个五十二十三这个勾股数要记住啊。 然后呢，你的第二小题是已知直角边，斜边来求另一条直角边，那 b 应该等于根号下 c 方减 a 方就等于根号下四方减三方等于根号七 啊，十六减九等于根号七。然后第三个是已知斜边和直角边来求另一条直角边， a 应该等于根号下 c 方减 b 方就等于根号下 c 方。是十方减去九的平方啊，一百减八十一 等于十九，对吧？那应该等于根号十九十九呢？他开不了方了啊，十九是最减的。嗯，那第二小题呢？ 第二题说如图，一根直立于地面的木杆在离地面啊，木杆离地面三米处折断了，也说这个位置应该得三。 说木杆的顶端落在离木杆底部啊，离木杆底端四米处，这是那个底端，那四米应该在这。 问你木杆折断前有多高，那就是求三加上这个斜边呗，它立起来了，不就是它折断之前的高度吗？嗯，那现在呢？我们说这个木杆是直立于的，那就说明这是什么关系的，是垂直的，对吗？ 啊，它是垂直的。所以来第二题，我们可以写由提一可知 由提一可知 啊，这个斜边最外面，这个斜边，它应该等于根号下三方加四方等于。呃，五 啊，三四五吗？是吧？这个是最常用的购物数了。那么你木杆原来的长就应该是三加五等于八米啊。然后答，木杆折断前 八米啊，折断前有八米。这是第二小题。那么第三小题他说，如图，一个圆锥的高 o、 a 啊，是二点四，这块是二点四，里面半径是零点七，让我们求 a、 b 的 长。 那第一呢，我们知道这个高啊，它就是有直角的啊，高就有直角了，那么在直角三角形里已知两条直角边，然后让我们求斜边的长，那我们就可以写，呃，第四。呃，第三题 啊，第三题，嗯，在二 t 三角形 a、 o、 b 中啊，你的 ab 应该等于根号下 a o 方加 b o 方，就等于根号下二点四的平方，加上零点七的平方等于二点四的平方，等于几啊？ 二点四是五点七六，零点七是零点四九五二六，六点六点二五，他应该等于六点二五，根号下六点二五，那就是二点五呗，二点五啊，所以答， a、 b 的 长是二点五啊，这个题都不难哈，都是最基础的。然后第四题说一个含两小圆孔的长方形零件， 尺寸如图所示啊。嗯，求两孔中心的距离，那也是 a、 b 之间的距离呗。 那你观察这个图里，它是不是已经给你构建出一个直角三角形了？ a、 b、 c 是 不一个直角三角形，那 a、 b、 c 是 直角三角形？只要能确定 a、 c、 b、 c， 我是 不就能求 ab 了，对不对？来第四题 啊，第四题啊，从图上可以知道你的 a c 啊， a c， 因为 a、 c 等于四十，这个距离是四十，这段的距离是二十一，那 a、 c 的 长是不是四十减二十一 等于多少？十九吧。然后 b、 c 是 等于这段的距离是六十，这段的距离是二十一，那六十减二十一是不就 b、 c 的 长，那六十减二十一等于三十九 啊。然后呢，我们就可以由勾股定律可知了写啊，所以在 r t 三角形 a、 c b 中啊，你的 ab 就 应该等于根号下 a c 方加 b， c 方就等于 根号下十九方加三十九方等于。这个不太好算啊，我找个计算器啊，十九方， 十九乘十九等于三百六十一，三十九乘三十九 等于一五一五二一，再加上三六一等于一八八二， 一八八二，保留一位小数点，小小保留后一位，保留小数点后一位，是不是那就是根。哎呀，不对不对， 根号下一八八二，应该是四十三点四，看这 四十三点八二，是吧？保留后一位，那就保留一位小数点呗。四十三点三，那我这个位置先写根号下一千八百八十二，然后约等于四十三点四 啊，毫米，然后我们可以达两孔中心距离 为四十三点四毫米啊，这就是第四题，那我们看第五题， 第五题，他说如图，要从电线杆离地面五米处 向地面拉一条长七米的钢缆。哎，从电线杆离地面五米处啊，那这个位置应该是五米呗， 然后拉一个七米长的钢钢缆，那这是七米呗，这是五米。然后求地面上钢缆的固定点 a 到电线杆底部 b， 它的距离求保留小数点后移位。 那你说现在这个电线杆他一定是与地面垂直的，对不对？那我现在就是直角三角形当中已知直角边和一条斜边，来求另一条直角边，是不是这么个道理啊？所以说来，我们可以啊，在这写来第五题， 我们可以写射，射哪呢？射这个离地面五米处的，这个点离地面 五米。呦，五米处啊，为点 c， 也说这个位置是点 c， 那 我们就可以知道你的 a c 应该得七，你的 b、 c 应该得五，然后角 b 等于多少度？九十度啊，角 b 等于九十度，然后我就可以由勾股定律得了。 由勾股定律得， 那你的 ab 就 等于根号下 a， c 方减去 bc 方就等于根号下七方减五方等于根号。 嗯，七方是四十九，四十九减二十五等于二十四，也是根号二十四等于二倍根号六， 然后要求我们小数点后面保留一位小数，对不对？那我得算算根号六得几啊？ 嗯，根号六，二点四五吧，也就是二点四五，再乘以二一十九四，那就是四点九呗。啊，约等于四点九，然后答 a、 b 的 距离为 四点九米啊，这是第五题。那么再讲一个第六题，说在竖轴上画出表示根号二十的点，那这道题跟我们前面那个做一做那题是一样的吧？哪里去了？ 在这啊，就得照着这个过程去写它。那我把这道题写到这啊，写到这里，图画到哪里去呢？ 嗯，咱们把这道题写到几上面去啊？写到最上面。这第六题啊，写到这。嗯，第一步呢，先写如图。 嗯，怎么说的？那句话说， o 为竖轴圆点， o 为竖轴圆点， 然后在竖轴上找到表示，在竖轴上找到 表示几的点。那咱们来分析一下根号二十是哪两个整数。这个平方啊，也是两个直角边为整数的一个直角三角形的斜边啊，根号二十， 嗯，刚才我们做了一个根号十三是二和三啊，根号十七是四和一，对不对？根号二十四和二呢？四十一十六。哎，这个可以啊。 嗯，所以应该是一个四，一个二。那我现在竖着画四，画长的边啊，表示四的点 a， 然后再过啊，则 o a 等于三啊，不对，则 o a 等于四，然后，然后过点 a 做， 然后过点 a 做啊。直线 l 垂直于 o， a 垂直于 o a， 然后在 l 上取点 b， 在 l 上取点 b， 然后使 ab 等于二， 使 ab 等于二，最后以圆点为圆心， 最后以圆点为圆心， 以 o b 长为半径画弧 啊，然后这话说，弧与竖轴正半轴，弧与竖轴正半轴的交点 c 即为表示根号二十的点。 然后我们来画一下图啊，我先把做法写完了，格式在这里， 竖轴 二三四五六，嗯，这为零吧，一二三四，然后这是圆点，然后这是 a， 然后过 a 做一条直线 l， 直线 l 垂直于 o a， 然后在直线 l 上取 ab 等于二，这儿这儿是 b。 然后呢，以 o 为圆心，以 o b 长为半径， o 为圆心，以 o b 长为半径， 然后画弧交正半轴与点 c， 那 点 c 即为表示二十根号二十的点啊，这就是第六题。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第四页练习。 嗯，这个练习呢，一共有两个知识点，一个是根号 a 括号的平方，一个是根号 a 括号外面的平方，一个是根号下 a 方啊，那么这两个性质呢？第一个根号下 a 方的平方呢？它就等于被开方数 a 啊，实际上求的就是 a， a 的 算数平方根的一个平方，那么，嗯， 根号 a 乘根号 a， 就 等于根号下 a 方啊。你这么理解，根号 a 乘以根号 a， 根号下 a 方，不就是根号 a 乘根号 a 吗？就等于根号下 a 方，然后它就等于谁 就等于啊， a 开平方了，因为它是具有非负型的，为啥呢？它本身它就是大于等于零的，所以这啊直接等于它本身。 那第二个性质呢，是根号下 a 方，你看这个方，这个方是在外的，这个是方在下面的，那这个在方在下面的时候啊，你要记得它呢， 跟我们的绝对值的性质是一样的啊，也就说你得看见 a 是 正还是负啊，正数呢，它就等于它本身负数呢，等于原数的相反数，零呢，就等于零，所以它就等于 啊， a 大 于等于零时，它等于 a， 那 a 小 于等于零时，它等于负 a 啊。那你比如说举个例子啊，根号下七方，那他就得七，那根号下负七的平方，那他就也得七呀，得他的相反数吗？ 看到了没？所以这个啊，是必须会的啊。那么第一小题计算他这个题呢，就是括号后面带方的，那你像根号三的平方，这就好理解了，是不是啊？啊，他就等于被开放数三， 可是第二个呢，你看外面，他是不是有个系数啊？有个系数这个东西怎么算呢？你记得三倍根号二，他实际上是三乘根号二，那这就跟我们上一期所学的七的乘方是一个道理了，也就是 ab 括号的平方就等于 a 方， b 方 啊，那这也是三弦平方是不得九，那根号二的平方是不应该等于二， 所以二九多少十八，他是这样算的啊。然后化简这道题呢，你看这个都是方在 方在根号下的，对不对？所以第一个，你观察零点三是一个正数，所以呢，就等于它本身就等于零点三。那第二个呢？你看根号下负七分之一是负值，所以等于他的相反数等于正七分之一。 然后这个呢？啊，因为我们这个里边的是负派，对不对？那负派的平方的算式平方根啊，这个不看这负算式平方根，他是不是根号下一个负值的看见没？那是不是应该得原数相反数，应该得正派 啊？这应该得正的派，那前面还有负，所以它等于负派。那第四个呢？它是负指数密。首先呢，你要知道，负指数密呢，它应该等于它的正指数密的倒数。看见了没？正指数密的倒数，那它实际上不就等于十分之一括号的平方吗？ 啊，所以它就等于多少十分之一，因为它是个正值啊，所以它得十分之一。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第七十六页练习 啊。第一小题，他说把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片啊，为什么？ 那么这里边呢？首先你要知道，大的啊，最大的这张纸呢，它是矩形啊，那矩形呢，它有什么样的性质呀？ 矩形它的性质是啊，对角线相等，然后呢，四个角都是九十度啊，所以说呢，你的矩形四个角都是九十度，那 说将这个矩形纸片啊，沿途给它折叠一下，那你说这个九十度是不是折到这里头了，对吧？那现在呢，你这么一折叠，除了你的这个角能折到这来之外，你的这条边是不应该折到这来， 对吗？那么由你的这个三个角都是九十度的啊，四边形，首先判定它是一个矩形，然后呢，再加上一组邻边相等，那么你的矩形就变成了正方形 啊，你的矩形就变成了正方形。那么，呃，我们把这个题啊，用文字给它描述一下 啊，为什么？这个咱们写在上面吧，把这个涂掉。嗯， 来第一题，括号一啊，首先我们说，因为 矩形四个角 都是九十度， 都是直角吧，直角是不是也九十度？然后呢，嗯，按图中方式折叠 得到的四边形， 得到的四边形啊，是有三个角 是九十度啊，是直角，并且呢，有一组 邻边相等啊，那么根据 正方形的判定，嗯，有一组邻边相等的 矩形是正方形， 所以可以裁出一个正方形纸片 啊，这就是第一个，那么第二个呢，他说如何从一个矩形木板中啊，裁出一块面积最大的正方形木板， 那么这个题呢，你首先啊，在我们小学咱就学过，说在一个矩形里啊，裁出一个最大的啊，面积最大的一个四边形， 那么要以它的宽为边长啊，那么这样呢，你折你那个裁出来的这个正方形木板才能是面积最大的，是不是？就咱那个小学咱就学过，所以呢，你要以矩形的什么 矩形的宽为边长啊，再矩形木板上 截出，截取正方形，这样 结出的正方形面积最大， 因为你要是以长为边长的话，你这宽也不够长宽呐，是不是？你说我这个长这么大，我这边我要取一个，这么啊，取一个这么长的那个，那个边长，你这个宽的长度也不够，所以呢，一定要是以宽为边长，然后呢，截一个正方形，它的面积才能最大啊， 这是第一个，那么第二小题他说如图啊，呃，一块正方形场地的四个顶点 abcd， 说李明呢和张华在 ab 上啊，取了一点 e， 还知道呢， bc， ec 啊，这是得三十的， 然后 e， b 呢，是得十的，然后让我们求这个场地的面积，那你说这场地面积不就是 bc 的 平方吗？然后呢，你对角线的长，那对角线不就是 bc， 叫一比一比根号二，对不对？所以呢，应该是根号二倍的 bc 啊，根号二倍的 bc， 所以 说他的那个分析上难度啊，并不是特别大。那现在呢，咱们来写一下过程，首先啊，第二题写减， 第二题啊，写减，因为这个四边形 a、 b， c， d 是 个什么形？正方形，是吧，正方形，所以呢，你的嗯， ab， 嗯，不用写 ab， 你 就写 ab， 不 对， bc 等于 cd， 然后你的角 b 等于多少度？九十度啊，角 b， 你还得写等于角 b、 c、 d 啊，一会呢，用这个做勾股定律。然后呢，求对角线的时候还得用这个直角啊，用这个直角也行，用这个直角我就得写 ab 等于 bc 了啊，行，写这边吧。 然后呢，我就可以说，嗯，在这个二 t 三角形 b、 e、 c 中，你的 b、 c 的 平方是不应该等于三十的平方，减十的平方，然后就等于八百， 那你 b、 c 方是不是直接就是面积了？ b、 c 方是不是直接就是面积了？然后，所以呢，这个是平方米，所以啊，这个先不答，最后再答。然后我们来求这个对角线 啊，对角线呢，我们可以连接 b、 d 啊，然后在这个 r、 t 三角形 b、 c、 d 中啊，你的，嗯， b、 c 方加上 c、 d 方开平方是不是应该等于 b、 d， 对 吗？那么 b、 c 方是得八百的，那 c、 d 方是不是也应该得八百，所以等于一千六百，然后等于多少？四十，然后单位是米，所以这块 场地的面积为八百平方米，对角线 长为四十米啊，为四十米。这是第二小题，来，咱们看第三小题， 说如图啊，一个正方形的草坪的四个顶点， a、 b、 c、 d 说要修建 b、 e 和 af 两条路，十点 e 和 f 分 别在 a、 d 和 c、 d 上，然后且 d、 e 它等于 c、 f， 那么这两条路等长吗？那等长吗？不就是问你 a、 b、 e 和 af 是 否相等吗？然后他们有什么位置关系？位置关系，除了平行就是垂直呗，那现在目测咱们就说他应该是啥关系的， 应该是垂直的，对吧？所以呢，这道题实际上就是让我们证明 b、 e 和 f 一个数量关系，一个是位置关系， 那数量关系是相等，位置关系应该是垂直啊，所以嘞，那么要想证明两条线段相等，那最好的办法肯定是正啥？正全等是不？这么个意思，来吧，那我们来 证明一下啊。首先来写写理由，不是写结论， b、 e 会等于谁？ a、 f， 然后，并且呢，你的 b、 e 会垂直于 a、 f， 然后写理由如下， 减，嗯，因为你的四边形 a、 b、 c、 d 是 个什么形啊？正方形，对吧？所以呢，我要用到这个 a、 b 等于 a， d 等于 c， d 角 b a、 e 写下一行来，角 b， a、 e 会等于角 d 等于九十度 啊，然后又因为你的 d、 e 会等于 c、 f， 所以呢，你的 a、 d 减 d， e 会等于 c， d 减 c、 f， 即你的 a、 e 会等于谁？ d、 f， 那 a、 b 等于 a、 d 一 组边，然后 a、 e 等于 d、 f 两组边，再加上中间夹角相等，那你这个三角形是不能正全等了。那我们在三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 d、 f 中 来摆齐条件， a、 b 会等于 a， d 角 b， a、 e 会等于角 d， a、 e 会等于 df， 所以 三角形 a、 b、 e 会全等于三角形 a、 d、 f 用到的是边角边，然后呢，我的什么数量关系是不就先证出来了？ a、 b、 e 等于 af， 然后你要正位置关系的话啊，你得用这个，嗯，角啊，你得用这个角，嗯，那我们可以设一下，这个角为一，这个角为二， 这个角呢？为三啊，那我们相全等之后，我会得到角一等于谁？等于角三，然后因为你的角一加角二等于多少度？ 九十度，所以我等量代换角一换角，三角一换角三，那么角三加角二是不也得九十度啊？也得九十度，所以呢，你看这俩相加得九十，那这是不是就垂直了？所以你的 a a f 会垂直于谁？ b e 啊？ a f 会垂直于 b e， 那 么这一题呢？就完成了。