合肥45中二次函数专练

好，同学们，我们今天呢，来看一下四十五中二模的最后一道压轴题。已知这样一个二次函数 y 等于负 x 方加 b， x 加 c， 它的图像经过点 a 一 零 来看一下，告诉了我们这个点 a 的 坐标，然后呢，根据这个二次函数解析式，大家可以分析一下， 他的这个二次项的系数是已知的，其实我们可以判断一下，他的图像肯定是开口朝下的，然后呢，有一个给了我们一个已知点是一零，那其实呢，我们就可以把这个点的坐标带到二次函数解析式里面，那其实 这个系数 b 和我们常数项 c， 这个这两个 b 和 c 的 关系其实我们就能找到了。好，那么接下来看一下第一题， 他说告诉我们这个二次函数，它的图像呢，与 x 轴另一个交点是点 c 啊， c 点呢在 a 点右侧。好，那它其其实呢，根据这两个点得到什么 点 a 和点 c 肯定是对称点，都是这个二次函数与 x 的 交点，而且告诉我们 c 在 a 的 右侧，那其实说明对称轴肯定也是在 a 的 右边了，那我们其实可以分析出这一条线，然后再往后看 这个抛物线交 y 轴于点 d， 好， y 轴于点 d， 那 其实我们可以求出点 d 的 坐标，应该是自变量为零的时候，应该是零 c， 好， 然后告诉我们这里有一条直线 x 等于二，它交抛物线和 x 轴于 b e 两个点，告诉我们 b 点的坐标是二 a。 我们看一下第一问，让我们用含 a 的 代数式去表达 b 和 c。 来，大家看一下这个第一问，应该怎么求？ 用含 a 的 式的表达表表示出这个 b 和 c， 那 其实我们就是带点的坐标就可以了。那根据从最开始条件，其实我们把这个一零点带进去就可以得到， 它是负一加 b 加 c 会等于零，好，所以呢，其实我们能得到 b 和 c 的 一个关系式，然后呢，它又让我们用 a 表表示这个 b 和 c， 其实我们再找一个点的坐标就可以了，那其实只有一个点知道就是 b 点， b 点坐标是二 a， 所以 我们可以把这个二 a 带进去，也就是负四加二， b 加 c 会等于 a。 好， 现在呢，要用 a 把 b 和 c 表出来，所以我们可以把这里的 a 看成一个常数，那这其实就得到了一个关于 b 和 c 的 二元一次方程组，那其实就可以求出来， 这里的 b 会等于 a 加三， c 等于负 a 减二，那这里 b 和 c， 我 们就可以写一下， b 是 a 加三， c 是 负减二，这是第一问，再看下第二问。 当 d c 等于两倍的 b c 时，让我们求这个二次函数的一个解析式。再看一下 d c 啊 d 点呢，是我们这个抛物线与外轴的交点， c 点是轴抛物线与 x 的 另外一个交点， d c 等于两倍的 b c。 大家看一下这里应该怎么求？ 其实呢，我们现在如果要求函数解析式，大家想一下，我们刚才第一问已经把这里的 b 和 c 都用 a 表示出来了， 所以其实我们只要能把 a 把这个 a 给它求出来，那这个形式就出来了。那怎么去求 a 呢？得根据 dc 和 bc 一个关系式，这里的 dc 和 dcb 三个点，其实我们都能够把它坐标表示出来，比如说我们刚才这个 d 点、 d 点的话，我们求了它坐标是零 c， 那 c 和 a 是 有关系的，所以这个 d 点坐标可以改写一下， d 点坐标呢，就可以写成零负 a 减二， c 是 负 a 减二，这 d 点。好，那再看一下 c 点坐标怎么表示 c 点坐标，大家想想 c 点它和 a 点我们知道是一组对称点， a 点坐标我们知道是一零，现在要求 c 点坐标，我们需要知道什么？其实大家把这个对称轴求出来就可以了，那对称轴我们看一下。好，这里的对称轴 应该是负二分之 b， 也就是 x 等于二分之 b， 二分之 b 的 话， b 我 们可以用 a 表示，也就是二分之 a 加 三。好，所以呢，这里 a 点坐标是一零，那 c 点坐标我们就可以直接求出来。 c 和 a 到对称轴的距离是相等的，因为 a 是 一零，所以 c 点坐标我们就可以写出来，应该是 a 加二 零，这个 a 点和 c 点关于二分之一加三对称，所以 c 点坐标得到是 a 加二 零。那现在 b、 c、 d 三个点的坐标，其实我们都用 a 表示出来了，都用 a 表示出来了，那现在再根据 dc 等于二 bc， 我 们可以把这个 dc 和 bc， 它的长度我们也可以用 a 来表示， 那其实就可以得到一个关于 a 的 方程， a 求出来，解式自然就出来了。好，那我们可以写一下 dc 等于二 bc， dc 长度怎么表示？ 哎，大家看一下那 dc， d 点和 c 点坐标，一个是零负 a 减二，一个是 a 加二零就可以得到，应该是根号下二倍的 a 加二的 平方，这个是 d， c 的 长度，看一下应该是 a 加二平方，加上一个 a 加二平方等于两倍的 bc， 好， bc， 我 们算一下应该是多少 bc， b 点坐标是二 a， c 点坐标是 a 加二零，所以它的这个 bc 的 长度应该是 a 方，再加一个负 a 方，也就是二 a 方。 好，那现在得到这样一个方程，我们怎么去求解？两边根号不太好处理，其实我们要给它进一个平方就可以了。好，那可以得到应该是两倍的 a， 加二的平方等于八倍的 a 方，好，约掉一个二，这边是四 a 方，大家可以把这个过程呢给它处理一下，也就是移过来就是三 a 方减四， a 减四会等于零。好，那其实我们就可以把这里的 a 给它求出来。最后 a 应该有两个值，一个是负三分之二， 一个是 a 等于二。好，那再看一下这里点，这个 a， 我 们算出来有两种情况，那两种情况我们可以来分析一下，当 a 等于二的时候，其实就是按照我们图上画的这样， c 点坐标是四零。好，那这个时候对准轴呢？应该是 二分之五。好，所以 b 点呢，是在对称轴的左边这个角长这样，那如果 a 是 负三分之二，那这个时候我们算一下，这时候 c 点坐标就应该是 加进去，应该是三分之四零，那这个时候看一下， 把 a 等于负的三分之二带进去。 a， 这个 c 点坐标是三分之四零，那这个时候呢，其实 b 点会在我们这个 b 点，它是 x 等于二，与我们这个凹陷交点，这个时候 b 点其实应该在这个位置， 在右边这个位置这一块是 b， 好， 所以呢，其实有两种情况，如果大家只按照图上的话，把这种情况的话，算出来， a 应该是等于二的。好，然后呢，还有一种 b， b 可能是在我们 c 的 右边两种情况，好，那把这里 a 算出来了，其实我们仅次就能求出来了，给大家去算一下， 好， 当 a 等于负三分之二的时候，其实我们可以把这里的 b 和 c 都求出来，当 a 等于负三分之二时， 那这个时候 b 就 等于三分之七， c 等于负的三分之四。好，所以我们函数减去式就应该是 y 等于负 x 方，加上三分之七， x 减一个三分之四， 好，这是第一种情况，那么第二种情况应该是当 a 等于二的时候，当 a 等于二的时候呢，我们可以求出来 b 是 c 是 负四，所以我们函数解析式是 y 等于负 x 方，加上五 x 减四。好，这是我们第二问的两种情况。我们看一下第二题 这个二次函数，哎，他告诉我们它的对称轴是直线， x 等于 m， 然后告诉我们这个对称轴 m 的 范围是大于等于零，小于等于三的，让我们去求这个二次函数最大值的一个范围，大家看一下这个。第二，我们该怎么求 好，我们看一下这个呢？其实，哎，首先题目这个条件还是有的，告诉我们这个二次函数会经过点一零，所以我们可以同样的先把这个一零带入，我们可以得到这里的两个系数， b 和 c 的 一个关系， 我们把一零带进去，也就是负一加， b 加 c 会等于零好，所以我们可以得到这里 b 和 c 的 关系是 b 加 c 会等于一， 然后告诉我们这个对称轴是 x 等于 m， 最后要我们求的是这个二次函数最大值的范围，那这里其实我们应该是根据 m 所在的一个范围，最后去求这个 n 的 值范围，所以我们现在可以考虑能不能把这个二次函数它的一个最大值 n 和 m 的 一个关系给它找到， 打开怎么找？告诉我们对称轴是 m 的 话，其实这里我们就可以得到 b 和 m 的 一个关系了，因为我们知道从这个二次函数形式来看，它的对称轴应该是 x 等于二分之 b， 好， 那相当于是 x 等于二分之 b， 就是 x 等于 m， 所以 b 其实就是 二 m， 那 根据 b 和 c 之间有关系，那 c 其实也可以用 m 来表示， c 就 应该等于一减去一个二 m， 那 这个时候我们发现 b 和 c 都用 m 来表示的话，那其实那这个二次函数这里的 b 和 c 都可以用一个函数来表示，就是 m， 那 二次函数就可以写成 负 x 方加一个二 m， x 加上一个一减二 m， ok， 大家看一下，写成这种形式之后，这个二次函数它的最大值应该是什么时候取得？最大值应该是多少呢？ 其实大家应该能直接看出来这个函数虽然它具体图像长什么样不知道，但是我们知道它一定是开口向下的，开口向下那对称轴肯定是在哎往这个 对最大值，最大值肯定是在我们对称轴的时候取的好，所以对称轴是 x 等于 m， 那 最大值我们给写下，应该是当 x 等于 m 时，对称轴的时候， y 会取到一个最大值，把 m 带进去，就是负 m 方加二， m 方加上一个一减 二， m 其实就是 m 方减二， m 加一，那这个式子我们可以给它写成一个完全平方式，就是 m 减一的平方。好，那我们求出来这个函数最大值，其实可以用 m 来表示，就是 m 减一的平方，那说明什么？ 哎，其实说明这个地方我们的 n， 我 们这个最大值 n 其实就是 n， 那 其实我们得到了 n 和 m 的 一个关系式，那大家从这个关系式里看， 相当于我们可以把这个 n 这个函数，我们最后要求的这个东西呢，看成关于 m 的 这样一个二次函数，那相当于是问你，当我们的次变量 m 在 零到三的时候， m 减一方取的范围是什么？哎，这个应该怎么求？ 那我们可以看一下 m 减一方它的图像，我们可以画出来它是这样子开口向上的一个二次函数，然后我们自变量 m 的 值范围呢？是在零到一，零到三这个范围好， 所以应该是在这样一段范围里面，这是 m 的 范围，那 n 是 等于 m 减一方的，所以 n 其实就是我们对应这一段对应的函数值，对应的音变量好，所以我们可以带进去看一下。最小值应该是 对称轴一的时候取到，最大值应该是三的时候取到，所以就可以得到。 应该是当 m 等于一的时候， n 会取到一个最小值，就是零。当 m 等于三的时候呢， n 会取到一个最大值 是四，所以我们最后 n 的 范围就应该是大于等于零，小于等于 四，这是我们第二小问。好，那这道题的话呢？其实我像第一问的话，我们把这个坐标表出来，好把这个坐标用这个参数表出来，最后得到 b 和 c 跟 a 的 一个关系式。那么第二小问的话， 这两个线段之间关系也是通过这个坐标然后给它表出来的，最后可以得到 a 的 一个取值，从而求出二次函数的值。 n 取出来了，我们是把 n 去找这个 n 和 m 的 一个关系，因为这个函数它的一个最大值其实就是在对准轴的时候取到，所以我们可以把它最大值用 m 表示出来，相当于 n 和 m 的 关系，找到了，再根据 m 的 一个取值范围求出最后 n 的 一个范围就可以了。

中考数学想拿高分，这类二次函数里四十五度角求点 p 坐标的题型，你必须得会。题目告诉我们，抛物线与 y 轴交于点 a 与 x 轴交于点 b， 点 p 是 抛物线上一点，若角 b、 a、 p 等于四十五度，求点 p 的 坐标。这种题千万别一上来就硬算几何综合，先画图，再动笔。 题目要求角 b、 a、 p 等于四十五度，那我们就先画一个四十五度的角出来，以 a 为顶点，画一个四十五度角。一画，你就会明白，符合条件的直线 a、 p 一 共有两条，一条在 a、 b 的 下方，一条在 a、 b 的 上方，对应的就有两个点 p。 那 我们一步一步来，先看下方这个点 p、 e 这个点的解析式求出来，再和 p、 e 线连成方程组，解出来的 x 和 y 就是 焦点坐标。 所以核心就一件事，把直线 a、 p、 e 的 解析式求出来。一条直线我们只需要两个点，现在已经有点 a 了，只要再多一个点就能求解析式。题目给了四十五度，这个角非常特殊，看到四十五度，又想直角三角形。我们在 a、 p、 e 这条直线上取一点 c， 使 b、 c 垂直于 a、 p、 e。 只要把点 c 的 坐标求出来，直线 a、 p、 e 就 出来了。 图画出来，你就会发现，因为这里是四十五度角，所以这两条线段垂直且相等，这就是一线三垂直模型。我们只需要过点 c 做一条水平线，平行于 x 轴与 y 角交于点 e， 过点 b 往下做垂线，得到 b、 d， 那 么左右两个三角形必然相等。这个结论都知道吧？全等过后，我们设 c e 等于 x， 那 么 b、 d 也等于 x， o e 等于六减 x， 所以 a o 等于 a， e 减 c， e 等于六，减 x 再减 x 等于六点二， x， 而 a o 等于三，所以六点二， x 等于三，直接解出 x 等于一点五， c， e 等于一点五， o， e 等于一点五，所以点 c 的 坐标就是一点五个逗号负一点五。我们现在点 a 和点 c 的 两个坐标都有了， 那求 a p e 这条直线的解析式还不简单，过程我就不写了，直接给大家。结果，直线 a p e 的 解析式为 y 等于负三， x 加三点 p e 就是 直线 a p e 和抛物线的交点，所以我们直接把两个解析式连立，解出来的结果就是它们的交点坐标 化减方程，我们会得到两个解， x 等于零和 x 等于十一， x 等于零对应的就是点 a， 这是题目本来就已知的点，不是我们要求的点 p 一， 所以这个解直接舍去。剩下的另外一个解就是我们要找到点 p 一 的横坐标，把 x 等于十一带回直线，解析式算出 y 等于负三十，所以点 p 一 的坐标为十一到负三零。 接下来我们求上方这个点 p 二。很多同学都知道两直线垂直斜率乘积等于负一这个结论，但是很多地区用这个结论是容易扣分的。所以这道题这个方法我就不讲了，我们还是用最老实最安全的方法，依旧是用一线三垂直来搞定它。我们在 a p 二这条直线上取一点 h， 使 b h 垂直于 a， p 二，同样构造一线三垂直 或点 h 做水平线，平行于 x 轴，那么左右两个三角形同样全等，和前面的方法一模一样，设未知数列方程，很快我们就能求出点 h 的 坐标是四点五，逗号四点五。 再利用点 a 和点 h 直接求出 ap 二的解析式为， y 等于三分之一， x 加三。继续把直线 ap 二和抛物线连立方程组 解出来。同样两个结， x 等于零和 x 等于三分之十三， x 零对应的还是点 a， 直接舍去，把 x 等于三分之十三带回直线，算出纵坐标，得到上方这个点 p 二为三分之十三，逗号九分之四十。

咱们初一下册数学就是一个分水岭，互课版的初一下更是一个分水岭，只不过有的学校考的比较简单，所以这个分水岭的成绩呢，它的体现会稍微迟一点，真正拉开孩子们分数之间的差距。其实就两大核心板块。首先第一个是整式乘法和因式分解。 前面我们说的实数不等式，说白了它就是这种基础的计算和简单应用，它就考化减计算减不等式这些东西， 你盯紧了密的运算，不等式的整数解这些问题，符号、公式不要用乱多练，计算题根本就不会有问题，完全没有必要去钻研偏题、怪题和难题。但是整式乘法和因式分解不一样，它是整个初中代数的重中之重， 乘法公式、公式、利用因式分解、含餐运算、数形结合，这些全部都是月考、期中考、期末考的必考考点。 如果一个重点就是湘江线平行和平移， 这是期下的几何核心。这一章难不在于单纯的性质和判定，而是在于综合性的这种考察。他会结合折叠角度推导拐点模型啊，动点问题、最值问题，这些题型会非常灵活。最后很多孩子学到这里呢，他的成绩、数学成绩会有一个明显的下滑。 曹老师在这个春季的培优课核心就是这个内容，我要整式乘法、因式分解、平行线几何这些重点和难必考的难点，如果你想跟着我的节奏去学，在评论区回复沪科版七年级。

今天咱们要讲的是如何用构造相似三角形的方法来解决二次函数里面这个四十五度角的存在性问题。错，这个也是一个非常经典的一个类型题了，那这种问题呢，其实我们是有一个比较通用的三步的解法，嗯，通过构造相似三角形啊，把它转化成线段的比例关系，然后来进行求解。 没错，这个方法听起来就很实用啊，那我们就直接开始吧。好的，首先我们要讲的是关于这个问题的切入点和这个通法啊，就是为什么很多同学一看到这种在 x 轴上找一个点 p， 使得角 c p e 等于四十五度，就会有点懵。嗯，那这种问题有没有什么比较通用的思路或者说套路 可以去解决它呢？其实这种题目的话，大家觉得难，主要是没有抓住这个关键啊，就是你看到这种四十五度角的存在性，你要想到的就是构造模型化角为线， 嗯，就是把这个角的问题转化成线段的问题。 ok， 那 我们来看一下这个具体的题目啊，那现在是已知一个抛物线，它经过了 a 点一零， b 点三零和 c 点零三，然后呢，直线 c d 交抛物线于点 e， e 点的坐标是五八。嗯，现在就是要在 x 轴上找一点 p， 使得角 c p e 等于四十五度。嗯，就这个题，我们第一步应该怎么入手呢？首先啊，咱们先找找有没有什么隐藏的特殊角。对，因为你看这个 c 点坐标是零三， d 点坐标是负三零，所以呢，这个 o c 和 o d 的 长度都是三，那这个三角形 o c d 就是 一个等腰直角三角形， 所以这个角 p d e， 它就是一个四十五度角。哎，那我们要找的这个角和这个已知的四十五度角就产生联系了。没错，那接下来第二步，我们要怎么去做，才能利用上这个四十五度角来证明三角形相似呢？是这样的，因为题目里面说要让角 c p e 等于四十五度， 那我们已经知道了角 p d e 也是四十五度，对吧？嗯，然后呢，它们还有一个公共角，就是角 c e p， 所以 根据两角对应相等，我们就可以直接得到三角形 e c p 和三角形 e、 p、 d 是 相似的，那既然已经证明了这两个三角形相似， 接下来我们怎么通过这个相似比来求出点 p 的 坐标呢？接下来就很简单了，由这两个三角形相似，我们就可以得到一个比例关系，就是一 p 的 平方等于 e c 乘以 e d， 然后我们把这个数值带进去啊， e c 是 五倍根号二， e d 是 八倍根号二，所以一 p 的 平方就等于八十。 嗯，然后呢，过这个 e 点做 e h 垂直于 x 轴，那这个时候 e h 的 长度就是八。再用勾股定律，我们就可以求出 p h 等于四，然后这个 h 点的坐标是五零，所以 p 点就有两个可能啊，一个是把 h 点向左平移四个单位，那就是一零。 另一个就是把 h 点向右平移四个单位，那就是九零。明白了，那我们最后来总结一下啊，就是遇到这种二次函数里面有一个四十五度角的单位，那就是九零。明白了，那我们最后来总结一下啊，就是三步啊。 第一步就是先去找题目里面有没有隐藏的特殊角，比如说四十五度或者九十度。第二步就是根据这些特殊角以及题目条件去证明有三角形相似。 第三步就是利用相似三角形对应编程比例这个性质，把它转化成线段的比例关系，然后通过计算求出点的坐标。

各位同学大家好，我是你们的八戒老师，今天给大家分享一下合肥四十五中刚刚考的啊一模，然后距离安徽省中考倒计时还有 六十五天，那合肥四十五中这套试卷呢？到底难不难呢啊？其实呢，相对于其他学校的话，难度呢有所降低。 那这节课呢，张老师给大家分享一下第二十二题的快速来进行解答，你看张老师根据这个条件能得到哪些结论啊？你看张老师的什么逻辑思维啊，解析的什么思想思路， 重点是分析， ok 啊，来二十二题的话，它三角形 a、 c， b 是 九十度， a， c， b 是 九十度，对吧？然后呢， cd 是 ab 上的高啊， cd 是 ab 上高，那根据这个高，这个高，我能得到很多很多结论，能得到哪些结论呢？你看这个三角形和这个三角形对吧？高高对不对？什么 公角对吧？或者什么公边共角子母形对吧？根据这些条件能得到什么结论？或者是什么？根据什么？这两个面积干嘛用？面积对不对？ 在 abc 中对不对？是不是？那就是二分之一是吗？底乘高，二分之一是吗？底乘高对吧？给你这些条件，你能不能想想他那些结论是不是一定有这种思想在里面？那紧接着 b、 e， b、 e 是 他们的什么角平分线， abc 的 角，这两个角相等，那根据角平分线的性质，你能够想到哪些呢？对吧？看到垂直我就直接就想想办法连接他，为什么会想办法连接他呢？各位同学，为什么？因为我们知道 角平分线到两边的垂直距离是什么？是相等的，所以说这就是为什么为什么要连接他了呀？就什么非常的迎刃，而且又推下来，还有我上节课，对吧？大家看我的视频，我都说角平分线有一个相像性质，有哪个性质呢？ 你想 bc 对 吧？比上什么 b a 就 等于 c e， 比上什么 e a， 这是相似三角形，对吧？里边那个角平面性质，或者在这个三角形里面也可以，对不对？是不是？那 c b 比上 b、 d 就 等于什么 c f， 比上什么 f d， 对吧？给你的条件，你这些什么能想到哪些结论在里面，这就是考你的什么思想啊？分析，那首先的话，他让，他让我们干嘛呢？ 嗯，让我们求的是第一小问什么？第一小问是 c e 与 c f 干嘛相等？要想证明这两个边相等，我只要证明两个角相等不就行了吗？哎呀，太简单了呀，对吧？你看如何来证明呢？你看这个三角形，对吧？ bce 和什么和 bdf 啊，这两个三角形相不相？不相似，明显的干嘛？ 明显的相似啊？ ok 啊，好明显的相似，对吧？ ok， 大家画一下，好，画一下，那相似过后，对吧？ 为什么相似？垂直，垂直，对吧？角平分，这两个角干嘛相等，对不对？ ok 啊，相等，所以说角，角，角，角，有两个角相等就相似，那相似的话，这个角和这个角就什么 就相等。那这个角和这个角和这个角相等，因为这个角和这个角什么是对？顶角，所以呢？这两个角干嘛相等？再加上这个角相等，你说这两个底角相不相等，所以在这个三角形中对不对？对吧？ 啊？角 c f e 和什么和角 c e f 这两个底角相等了，它是什么？等？幺三角形，这两个幺相等，你说 c f 和 c e 不 就相等了吗？第一小问特别简单啊，特别简单，秒，对吧？ ok 啊， 那紧接着第二小问，第二小问的话，就是张老师刚刚说的，对吧？可以用很多种方法 啊。那我解一个给你们看，那 bc 是 等于几？ bc 是 等于六， c e 等于三，对吧？ bc 是 等于六， c e 等于几？等于三。 那我能想到哪些内容呢？那这个垂直的话，那 b e 我 能不能求出来，对不对？那这对折过来的对吧？这个三角形和这三角形一定干嘛 全懂，那这是几？那这是六，对不对？ ok， 那 这是六，因为对折过来的话，对吧？角平分线到里面距离相等，你说什么 c e 等于六， e h 呢？也不是， c e 是 等于三， e h 是 等几也等于三，对吧？ ok， 能得到很多结论， 那这个边呢？也能够求出来，是不是？ ok， 他 让我们求吗？求 a e 的 长度，这也太简单了呀，对吧？能想到很多内容，想到什么？什么内容？你看， 如果我是题目让我们求 a e 的， 我就舍什么 a e v x 行不行好吗？ a e v x 来了，我用的是什么 角？平角平分线的性质好，好不好？可以，都可以，或者是我用勾股定律，或者我用相乘三，都可以，对吧？那这个是什么？直角对不对？那这多少？这个是斜边，这个是三，说明 h a 不 就能求出来等于多少根号加 x 平方减去多少三的平方。各位同学来了， 那明显的这角平面性质也有啊，对不对？那 bc 比上什么 b a 就 等于什么 c e 比上什么？比上 e a， 对 吧？一相比的六比几啊？六比上六加上根号加 x 加三的平方就等于几？三比 x， 你 解出这个 x 就 等于什么 a， e 的 长度， 对吧？ a 的 长度，或者是你用什么，这个是垂直的，对不对？那这个三角形和什么？和这个三角形干嘛？相似什么形？明显的是什么？反 a 的 形，对不对？是不是？如果是这样子的话，就是什么 重 a 字型，但是人家那么这样垂直的，那所以说这个三角形和这三角形就是反 a 字型，那反 a 字型的话，那你什么 bc 比上什么 e， h 就 等于什么？就等于这个直角边比上什么？它的直角边 也都是 x， 迎刃而解，对吧？啊，张老师你算一下嘛？啊，算算算，好吧，那三角形我随用很多种方法都能都能解的啊，或者是直接用勾股定力对不对？为什么？你看这一个平方加上它的平方就等于什么 b， a 的 平方三种方法了， 对吧？是不是你 b、 c 的 平方加上 c， a 的 平方就等于什么 b， a 的 平方，这是几？这是三加 x， 这是几，这是六，对吧？这是平方加平方就等于几？六加上多少？这个是六啊，这多少加上多少？ x 平方加上减去什么三的平方，对不对？平方 勾股定律也可以，对吧？那这里往往我们是考察的相似量，我们用，我们用相似量来求，好吧？啊，都可以来， 那这个三角形和这三角相似的话啊，相似就是三角形 a， b， c， 对 吧？相似于三角形什么 a， h， e， 对 不对？相似的话对应边乘比例嘛。那 b， c 对 吧？ b， c 比上什么？那他的 a 对 应什么？直角边比他的什么对边啊？ a 对 啊， b c 比上什么？比上 c h 就 等于个。嗯， a c 比上他对不对？ 比上什么？ a h 对 吧？那 bc 是 几？ bc 是 等于六，那 h 这是六，这是几？ h e 几是三对不对？是三，那这个是多少？那 a h 是 ac 是 几？ ac 是 什么？三加 x， a h 是 多少？根号加 x 平方减去三， 对吧？ ok， 好， 我们交叉相乘都可以，对吧？那这是几？这是 i 对 不对？你交叉相乘也可以。等于几？等于六，根号下 x 平方减去多少？三的平方对不对？就等于几？三括号三加什么 x 对 不对？两边同时平方并平，直接约， 直接约就管了，约去几？约去三就等于多少？三加 x， 那 两边同时平方四， 然后呢？ x 平方减去九，这边是多少？平方的话就。那加上 i 六对不对？ x 加 x 平方对不对？大家知道吗？整体平方啊，整体平方， ok 啊， 那再来这边，再我再我再往这边画，我再往这边画吧。嗯，四，我写在这等会擦了啊。四 x 的 平方减去多少？三十六就等于多少？ 就等于九加上六 x 加上 x 平方，对不对？是不是？ ok 啊，那，那移过来，嗯，移过来的话就等于几？三 x 平方对不对？减去六 x 这边是多少？减去多少？二十七 不对哦。嗯，四十七啊。三十六加九等于几？四十五对不对？对吧？等于四十五等于零，对吧？两边同时除以三 x 平方减去 i x 减去多少？ 嗯，除以三的话，十五等于几？等于零，对不对？所以说等于几？嗯，十字相乘法得五三 x x 交叉相乘，满足吧？是不是符合满足？ 所以说什么 x 减五等于几 x 什么加三等于几等于零对不对？ x 等于几？ x 等于五 x 等于几等于负，这肯定不能为负的呀，肯定舍了，对不对？ x 等于五的话，那 a e 等于几？ a e 就 等于五呀，就这么简单，对吧？ a e 就 等于五，能听懂吗？就这么简单啊？ ok， 没有任何做辅助线，对吧？这个是第一个小问，是直接顺顺顺出来了， ok 啊，好，等于五啊，来第二小问呢？我已经解完了，我们再来看什么？第三小问， 第三角纹的话，他说什么？在这个 c e a c 上取一个 e 点，对不对？使得什么？使得 a e 等于 e c， 对 不对？那证明什么？这个平行， 那我想证明平行的话，就就要证明什么这两个角相等，或者是这个是垂直，对不对？如果证明这个是垂直的话，这也是垂直的话。同一角相两直线平行，或者证明这个角和这个角干嘛 相等，对吧？同位角相等，两直线平行，但是根据已知条件的话，他说根据他那这个边和这个边相等，有第一问小问的话，对吧？这个边和这个边相等，这个边和这相等，所以说这三条边干嘛 是相等的，对吧？三角边相等又能怎么样呢？我在想，对吧？嗯，如何来构造呢？啊？啊？连接什么？连接他？连接他的，我的想法是什么呢？为什么呢？因为连接他过后，对吧？嗯。这个三角形和这个三角形干嘛？ 全懂，对吧？全懂全懂了，对吧？这个边和这个边相等，因为这个这个边 和这个边什么都是相等的，所以说什么这个边和这边什么相等，对吧？那相等了，对不对？ 我只要能证明什么？这个为什么为平四边形就行了，对不对？为平行，四边形都行，那相等过后，那这个平平不平行啊？平行。为什么呢？你得看一下啊， 这个角是九十度，对不对？我设这个角多少 x， 那 这个角是什么？ y？ 大家跟我上课都知道，对不对？看倒九十度，我就想用的是什么？ x 加 y 等于多少度？等于九十度，来进行什么？来进行倒角， 对不对？来进行，干嘛？倒角？你看这个在这个三角形里边，对不对？那这是 x， 这是 y， 对 吧？ x 加 y 等于九十度，那这个是九十度的话，那这个是 y， 那 说明这一定是多少度？一定是 x， 对 不对？那因为刚已经证明这个三角形和这三角形干嘛全懂？为什么全懂？因为什么？ 嗯？有人说为什么全懂？全懂呀，我做这条线就是截取。什么？截取？这两个边是相等的啊，好吧，截取啊，这两个边是。呃，这两个边是相等的， 那相等过后对吧？一个边相等了一个角形的公共部分，对不对？什么 s， 什么 a？ s， 对 不对？所以这个三角形和这三角形干嘛就全等啊？全等过，这是 x， 那 这个呢？也是多少？也是什么 x， 对 吧？那两同位角相等，两直线干嘛平行？ 那这个和这个平行呢？再加上什么？加上这个边和这边相相等，那这个边和这个边相等，那这个边又和这个边相等，你说这个边和这边相相不相等也相等吧。所以呢？一组对边平行且相等的四边形，为什么？为平行四边形？ 所以说就能推出什么？推出四边形，四边形什么 f、 h、 a、 e 是 什么？是平行，对吧？ 四边形对不对？那平行四边形过后对吧？你说这个边和这边可平行，不就推出来了吗？对不对？所以呢，就能推出来什么？推出来 f g， 对 吧？平行于什么？ f g 就 平行于 a b 了，对吧？答案不就能求出来了吗？ ok 啊，好，再复盘一下啊， 给出这个条件，对吧？而且大家一定要知道，往往第一小问，对吧？他不可能和单单让让你求的，一定要结合的是什么？第三小问来进行，有有联系，大家一定要想到， 对吧？你不能干干巴巴的只看这个条件，你要想办法什么？看第一个条件对不对？你要有这种什么做题的经验，做题的感觉啊，要想证明这一个平行，我只要证明这个是什么 平四边形，如何来证明呢？证明什么？这个角这个是什么？平行且什么且相等， 那如何来证明相等呢？就证明这个三角形和这三角形吗？全等我做这条直线对不对？截取什么？ b h 和这什么和 b c 是 相等的，所以呢， b c f 和什么？和 b f h 这两个三角形，这两个三角形干嘛是全等的？ ok 啊， 这两个三角形是什么？是全等的对不对就行了？ ok 啊，对吧？那全等的话，你说它们的角可相等， 角也是相等的，那角相等的话，那这个再经倒角，那这个也是 x， 对 吧？这是 y 耶，对不对？ x 加 y 等于九十度， x 加 y 等于九十度，所以进行倒角，对吧？那这个两个是什么？都是 x 的 话，平行而且相等，所以说这就是什么平行四边形，所以说什么这个会变就平行 就推出来了，对吧？何为四十五中呢？还是比较呃，几何还是比较轻轻松松的啊。好评论区回复，中考加油，张老师带你们飞起来。

合肥四十五中一模数学终于考完了，作为当年四十五中的一员，也是当年四十五中一模的年级第一，我觉得这张卷子。

你坐在考场里，窗外阳光正好，事件发下来的那一刻，三年的宿学时光 浓缩成了眼前这几页纸。你闯过前面的每一道题，来到了事件的压轴题。这是一道爱憎含蓄。你阅读完题目，似乎没有想象中的难。你开始做第一问，你就一道题目，给了抛物线的两个零点， 所以你设零点式解析式，然后你将 b 点代入，解出 a， 等于负四分之三，代入解析式中，再化解一下，就解决了第一问。 然后你开始做第二问。你看着坐标轴，脑子里想着一点跑来跑去，你发现三角形面积在两端的时候最小，中间的时候更大。你突然发现 三角形 a、 b、 e 有 两个三角形组成，这两个三角形有一条公共边， d， e。 三角形 a， d， e 的 高是 a m， 三角形 b， d， e 的 高是 o m， 所以 三角形 a、 b、 e 的 面积可以这样表示， a、 o 是 定值。四、只要用 m 表示出 e、 d， 然后解方程就行。你先求出 a、 b 的 解析性，然后就求出 d 点的坐标了， e 点在抛物线上，你直接写出 e 点的坐标， e、 d 的 长也随即出来。你按之前的思路，把三角形面积表示出来， 然后解出两个答案，你估算了下，都在负四到零的范围内，然后你写下这两个答案，第二问也轻松做完了。 再接再厉，你开始做第三问。你又一次看着坐标轴，但是此刻没了思路，于是你干脆按题目的意思，将 a、 b 绕 b 点，瞬息间旋转四十五度，与抛物线相交的点就是一点。 你想了想， a、 b 也可以逆时针旋转，但是这种情况好像没有焦点，所以只有第一种情况符合。但是只有一个角度，要怎么求出 m 呢？你看着题目中的四十五度，想着要是有个直角就好了。 你思考了许久，想到可以自己做一个直角出来了。于是你过点 a 做 b， e 的 垂线， 交 b， e 于点 n， a， d 的 长度是固定的，那 a、 n 就 等于二分之根号二倍的 a、 b。 那 只需要再用一个含 m 式子表示 a、 n， 就 能解出 m 的 值。你又想了许久， 意识到第二问让你求了三角形 a、 b、 e 的 面积，在第三问中是不是能用上呢？你发现 a、 n 是 三角形 a， b、 e 的 高， a、 n 也能用这个式子表示， b， e 能用 m 表示出来一个方程，一个未知数，那 m 的 积就能解出来。你按照思路，先做辅助线，再计算出 a、 b 的 长，然后 a、 n 的 长也就出来了 一点坐标。第二问已经知道了，所以 b、 e 的 长可以用两点细算出。第二问，你推倒了三角形 a、 b、 e 的 面积，这里可以直接写。 根据之前的推导，你列出了关于 a、 m 的 等式。你带入肃静，得到了一个关于 m 的 方程。这个方程很复杂，你耗费了些许时间才将其化解。 你想用十字相乘法将其音系分解，你又花了数分钟的时间，都以失败告终。走投无路的你，只能再试试最基本的方法，那就是一元二次方程的求根公式。你通过自己的耐心计算，算出了求根公式中的德尔塔。 你看着自己耗费精力算出了德尔塔，庆幸他刚好能够开放。随后，你根据求根公信求出了两个根，第二个根不再负四到零的范围，便直接舍去。那第三问，你花费了大量时间，最终也是成功解决了。 紧接着你对第四问发起了挑战，要求 f 点的坐标，你直接就射出 f 点的坐标。题目说三角形 a， b， f 是 等腰三角形，那三边中两边相等，有三种可能， 首先是 a， b 等于 a f， 你 将 a、 b 绕点， a 旋转，得到了第一个点，然后继续旋转，得到了第二个点。 第一种情况就得到了两个点。也许你写下第一种情况，列方程，解出两个答案。第二种情况是 b， a 等于 b f， 你 将 b a 旋转， 得到了第三个点，第二种情况就只有这一个点。你同样的写出第二种情况，解出了两个答案。第二个答案其实就是 a 点 不符合提议舍去。第三种情况是 a， f 等于 b f， 你 做 ab 的 垂直平分线，与 x 轴的交点就是 f 点。你写下第三种情况，写出了第四个点，综象 f 点，一共有四个可能的坐标， 你终于将这道压轴题解决了。你做完这道题没多久，考试就结束了。你回去的路上想着这次肯定差不多满分。 到了查新成绩的那天，你查到你数学只有一百零九分，想着是不是选择填空哪里错了，虽然你数学不如预期，但整体成绩还行，于是你填爆了，现就撵高中。

好，我们今天来讲解一下关于中考必考的一个题型，二次函数角度问题当中四十五度角怎么来构造好，我们首先来看这个题目啊，这个题目就是需要我们找到一个动点 q， 使得这个角 a c q， 比如说 q 在 这个位置， 使得这个角度 a c q， 它刚好为四十五度的角。好，那么我们来想一想，四十五度的角在哪一些比较特殊的图形里面出现过呢？我们会发现应该在等腰直角三角形里面出现，对吧？好， 等腰直角三角形里面如果说有出现这个角度的话， 我就可以想办法先让它构造成为一个等腰直角三角形。好，我们来看一下怎么进行构造。如果这个角度已经是四十五度角的话，那么我可能会过 a 点做一条垂直于 a c 的 直线。 好，那么只要保证 a c 的 长度刚好等于这个直线上的某一个长度。好，这个点我们可以叫做 m 点，那么我们再把直线 c m 连接起来，这个时候 a c m 就 会是一个等腰直角三角形，如果它是一个等腰直角三角形，我就能知道我想要的点 q 如果在二次函数上动，它肯定就会在这个点的位置， 那关键就是我如果知道 c m 这个一次函数跟二次函数进行连力，就可以求解好，那么 m 的 点的坐标怎么来求呢？我们知道 等腰直角三角形，它满足 k 字形相等这样的一个结论，如果现在这是一个等腰直角三角形， 我们会发现 m 点和 n 点在这条直线上做垂线，垂完之后，这两个三角形应该是全等的好，所以我们可以利用全等的相关结论，先把点 m 的 坐标给它求出来。 根据二次函数解析式的相关结论，能推出 a 点坐标为一到零， b 点坐标为三到零， c 点坐标应该为零到负三。 好，我要找到一个 k 字形，那么那条直线是谁？那条直线应该是 x 轴，我现在做点 c 做一条垂线，再做点 m 做一条垂线，我应该能得到这一个三角形，比这个三角形应该是全等的好。如果这两个三角形全等，那么 o a 的 长度为一，我就能推出 m 的 坐标应该是负一。这个表。 如果 o c 的 长度为三，那我就能推出 a m 的 横坐标，差距应该为三，再加上这里的一，所以它应该是四。 所以我就知道 c 点坐标和 m 点的坐标分别是零的负三和四的负一。接下来我可以求直线 l 就是 c， m 的 长度好，可以用两点四或者是点斜四都行啊。建议大家先算斜率，斜率等于 y， 一 减 y， 二除以 x， 一 减 x 二。在大题里面不能用这个结论好，所以我们能够算出它的值应该是二除以四就是二分之一。直线斜作 y 等于二分之一 x 再减三 与二次函数 y 等于五， x 零八加四 x 减三连立求焦点，焦点有两个，一个是点 c 的 横坐标，还有一个就是你要求的点数。好，这个题讲到这里了。

合肥四十五中的学霸都在悄悄练的数学题集，你家孩子练了没有啊？中考幺六八苗子最多的四十五中出了一个几何辅助线的专利，现在已经在合肥的家长圈里面走红了。 不是盲目的跟风啊，而是重点班的孩子几乎是人手一本。因为几何辅助线这一块的基础如果没有打好啊，后续的几何综合旋转相似，中考的压轴通通都要卡壳。 那这套专题呢，从基础扎实到高分突破啊，系统性极强，直接帮孩子啃下几盒这块硬骨头。我呢，已经把它整理成了电子版，包括答案解析啊，有想要的家长评论区打几盒或者私信我，尤其是初三的孩子，一定要拿回去好好的练一练！

合肥四十五中本部和各个分校到底哪个实力最强？那么今天黄老师呢，带大家一起捋一捋，记得点赞关注！像二零二五年合肥中考四十五中本部的参考人数是一千一百七十九人，七百分以上九十一人，妥妥的王者。 六百八以上是三百七十五人，考入大小幺六八的这个年级占比啊，在百分之四十四左右，全校将近一半的学生都能够上岸，大小幺六八属于断层式的，领跑所有校区。那么森林城校区呢，参考人数是六百一十三人， 七百分以上二十人，六百八以上六十九人，考入这个大小幺六八的年级，占比在百分之三十一左右，高分段在分校里面的排名还是非常靠前的。那么像四十五中橡树湾校区呢，参考人数是七百二十五人，七百分以上十一个，六百八以上七十五个。考入大小幺六八的年级，占比在百分之三十三左右， 中等生源的性价比是比较高的。那么像四十五中长风路校区呢，作为这个第一届参加中考，参考人数也不多，只有四百二十四人，七百分以上五个，六百八以上四十八人，考入大小幺六八的年级，占比在百分之二十六左右， 那么作为首届的中考，成绩也算是在稳不提升。那么一句话总结，综合高分段数量加一六八录取率来看，四十五中本大于森林城，大于橡树湾，大于这个长风路。 那么你觉得四十五中还有哪个校区的性价比最高呢？或者还想了解合肥哪所学校，可以和我聊一聊，好，点赞关注升学有帮助！

四十五中几个校区谁最强？四十五森林城二五年中考七百分以上二十个、六百九十分以上四十三个、六百八十分、六十九个、六百七十分以上一百一十七个，年级前百分之三十一能走大小一六八。 四十五项数弯。七百分以上是十一个。六百九十分以上三十二个，六百七十分以上一百二十三个，年级前百分之三十三能走大小一六八， 这是我长风路。七百分以上五个、六百九十分以上二十一个、六百七十分以上六十五个、六百六十分，一百零一个。你觉得谁会是四十五中第一分校区？还想了解哪个学校，你可以打在评论区。

二零二六年安徽中考压轴题，如果是这一题，估计百分之九十的考生都得哭着走出考场。如果你不会分离系数法，那么这种多次多参数的代数推理题，你几乎不可能做出来。这道题是我们合肥名校压轴题训练营的第六十六题，他的第三问 考到了一种题型，叫做二次函数的横乘力问题。这种题型它的底层是考察大家代数推理的能力， 难度是比较大的。但这种题型呢，是安徽中考的热门题型。安徽中考过去的两年都在考这种代数推理的压轴的题型，这道题我们用分离系数法可以快速的确定解析思路。你只要记住我接下来讲的三个步骤，就能够掌握这样一种压轴题的解析的方法。 第一步，我们要区分变量和定量分离系数法，你分离的是谁的系数？注意，我们分离的是那个变量的系数。因为对于这种压轴的题型，它往往是有很多的参数，那么有的参数它是在变化的， 而有的参数呢，它其实是不变的。你像这道题，它有 m， 还有 t 二，还有 t 一， 还有 n， 还有 abc， 其实你要区分哪些参数其实是在变化的，哪些参数其实是不变的？好，这是第一步，一定要区分变量和定量。 第二步就是当我们确定了变量之后，我们把这个变量的系数给它分离出来，并且合并，类似于我们学过的合并同类项。第三步，如果是横成立问题的话，我们一般是令这个变量前面的系数为零。 接下来我们看第三问的具体的解决的过程。先读一下题目，他说抛物线上的一点 p m n。 好， 假设这是 p 点 m n， 横坐标是 m， 中坐标是 n， 那 么由于我们知道抛物线的解析式是 y 等于负 x 方加二 x， 所以 n 就 等于负 m 方加二 m， 所以 p 点坐标呢？我们就可以这样射出来， 由 p 点往这条直线， y 等于四分之五做垂线，垂足为大 m， 那 么大 m 的 坐标我们也可以射出来，那就是小 m。 逗号四分之五。 好，接下来他说是否存在一点 n 一 t 二这个 n 点呢？只能在这个对称轴上，你看他的横坐标是一，使 pm 等于 pm 横乘以，那么 pm 等于 pm 横乘以，这其实是一个什么？是一个方程。 pm 和 pm， 我 们都可以用两点之间的距离公式把它表示出来。为了这次方便，我们用 pm 的 平方和 pm 的 平方，这是 pm 的 平方，令他俩相等，我们能得出这样一个式子。 当然，这里是有一点计算量的，我们把 m 的 四次方和 m 的 四次方约掉， m 的 三次方和 m 的 三次方约掉。这个式子还剩下什么？是不是 m 的 二次 项， m 的 一次项、 t 二的二次项以及 t 的 一次项？好，这道题它的核心的环节就是对这个式子进行整理。接下来这个式子该怎么处理？就是我刚刚讲的三个步骤。 第一个，你要区分变量和定量，因为屁点是可以在整个二次函数上运动的，所以这个 m 是 一个变量。另外，根据题目中的问法，他说若存在，请求出 t 二的值，也就是说 t 二其实是一个具体的值。那么这样我们就将 m 和 t 二做了一个区分， t 二是一个固定的一个参数，而 m 呢，是一个变量，那么我们就把 m 这个变量的系数提取出来，然后进行合并好合并完之后， m 的 二次项，它前面的系数是二， t 二减二分之三， m 的 一次项，它前面的系数是三减四。 t 二，这里是常数项。 pm 等于 pm 横成立，那就是这个式子它是横成立的。由于 m 是 在变化的，要让这个式子横成立，也即是这三项的和。不管 m 取什么值，它都为零，那么我们就让这三项全部为零， 也即是二。 t 二减一点五等于零，三减四， t 二等于零，最后这一项也要为零， t 方减十六分之九等于零。 这三个方程要同时成立。我们来解一下第一个式子，我们解完之后发现 t 二是等于四分之三的。第二个式子 t 二也是等于四分之三。 所以我们得出一个结论，当 t 二等于四分之三十， pm 很 等于 p n。